Centrale Physique et Chimie 1 MP 2020

Thème de l'épreuve L'énergie électrique d'origine nucléaire
Principaux outils utilisés thermodynamique, diffusion, cristallographie, cinétique chimique
Mots clefs radioactivité, réacteur nucléaire, centrale nucléaire, diagramme thermodynamique, uranium, durée de vie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Physique-chimie 1

T

MP
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

L'énergie électrique d'origine nucléaire

Le but de ce problème est de regarder, en tant que scientifique non expert du 
sujet, quelques aspects d'une
centrale nucléaire de type EPR (signifiant Evolutionary Pressurised water 
Reactor), qui est un type de réacteur
à eau pressurisée (REP).

Les 19 centrales nucléaires actuellement en fonctionnement en France ont été 
globalement construites sur
le même mode. Tous leurs réacteurs utilisent la même technologie, dans laquelle 
de l'eau sous pression sert
à transporter la chaleur produite par les réactions nucléaires. |...

Les centrales nucléaires regroupent un total de 58 réacteurs dont 34 produisent 
chacun une puissance
électrique de 900 MégaWatt (MWe) -- 900 MWe permet d'alimenter près de 500 000 
foyers. À cela s'ajoutent
20 réacteurs de 1300 MWe, tandis que les quatre derniers délivrent 1450 MWe. Un 
59ème réacteur est
actuellement en construction à Flamanville, dans la Manche. De type EPR 
(Evolutionary Pressurised water
Reactor), il développera une puissance électrique de l'ordre de 1600 MWe. 
Actuellement, ces installations
produisent près de 80% de l'électricité produite en France.

Autorité de Sûreté Nucléaire, informations mises à jour en février 2018

Les trois parties du problème sont largement indépendantes, mais les données 
numériques fournies dans les
différentes parties sont susceptibles d'être utilisées dans toutes les parties.

Les applications numériques seront faites avec un nombre de chiffres 
significatifs adapté. Les données numériques
sont fournies dans le document réponse à rendre avec la copie.

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

I L'uranium, source d'énergie

IA ---  L'uranium naturel

L'uranium est l'élément chimique de numéro atomique 92, de symbole U. Il fait 
partie de la famille des
actinides.
L'uranium est le 48° élément le plus abondant dans la croûte terrestre, son 
abondance est supérieure à celle
de l'argent, comparable à celle du molybdène ou de l'arsenic, mais quatre fois 
inférieure à celle du thorium.
Il se trouve partout à l'état de traces, y compris dans l'eau de mer.
C'est un métal lourd radioactif (émetteur alpha) de période très longue (+ 
4,4688 milliards d'années
pour l'uranium 238 et -- 703,8 millions pour l'uranium 235). Sa radioactivité, 
additionnée à celle de ses
descendants dans sa chaine de désintégration, développe une puissance de 0,082 
watt par tonne d'uranium,
ce qui en fait, avec le thorium 232 (quatre fois plus abondant, mais trois fois 
moins radioactif) et le
potassium 40, la principale source de chaleur qui tend à maintenir les hautes 
températures du manteau
terrestre, en ralentissant de beaucoup son refroidissement.
L'isotope ?U est le seul isotope fissile naturel. Sa fission libère une énergie 
voisine de 202,8 MeV par atome
fissionné dont 9,6 MeV d'énergie non récupérable, communiquée aux neutrinos 
produits lors de la fission.
L'énergie récupérable est plus d'un million de fois supérieure à celle des 
combustibles fossiles pour une
masse équivalente. De ce fait, l'uranium est devenu la principale matière 
première utilisée par l'industrie
nucléaire.
Le minerai d'uranium qui à été exploité sur Terre possède une teneur en uranium 
pouvant varier de 0,1% à
20%. L'uranium est dit naturel quand il est constitué d'isotopes dans leur 
proportion d'origine (identique
pour tous les minerais d'uranium) : soit 99,2743% d'uranium 238 accompagné de 
0,7202% d'uranium 235
et d'une quantité infime d'isotope 234 (0,0055 %).

Wikipédia

2020-02-26 19:43:34 Page 1/7 CEE

Dans la suite nous négligerons l'apport de l'uranium 234 et considérerons que 
les proportions naturelles de
l'uranium sont de 99,28 % pour *®U et de 0,72% pour *®U. De plus. le terme « 
proportion d'uranium 235 »
sera toujours à comprendre comme la proportion d'uranium 235 par rapport à tout 
l'uranium présent et non
pas la proportion d'uranium 235 dans toute la matière présente (au cas où 
celle-ci ne serait pas composée
uniquement d'uranium).

I.A.1) Évolution de la population d'uranium au cours du temps

On rappelle que la radioactivité naturelle (radioactivité «) est telle que, 
pour un noyau donné, la probabilité de
désintégration par unité de temps, notée À, est une caractéristique intrinsèque 
et invariable dans le temps. On
l'appelle usuellement constante radioactive.

Q 1. Quelle est la dimension de la constante radioactive À ?

Q 2. On considère une population de noyaux radioactifs identiques, dont le 
nombre à l'instant { est donné

par N(t). Relier N(t + dt) à N(t) et À puis montrer que l'évolution de N(t) est 
gouvernéc par l'équation
dN

différentielle a + AN(&) = 0.

Q 3. La période radioactive, notée T' J2+ St la durée au bout de laquelle la 
moitié des noyaux se sont
désintégrés. Établir le lien entre À et T, /2-
Q 4. Calculer numériquement les valeurs des constantes radioactives À928 et 
À925 des noyaux respectifs

d'uranium 238 et 235. Commenter ces valeurs en sachant que la constante 
radioactive du thorium est de 1,6 x
107 USI environ.

Q 5. La proportion d'uranium 235 dans les minerais augmente-t-elle ou 
diminue-t-elle au cours du temps ?
Q 6. Pour faire fonctionner un réacteur nucléaire, il faut disposer d'un 
minerai contenant beaucoup d'ura-
nium et que cet uranium présente au moins 3% d'uranium 235 de sorte que la 
fission puisse s'auto-entretenir.
Entre la formation de la Terre et notre époque, y a-t-il eu une période pendant 
laquelle les minerais naturels
étaient suffisamment riches en uranium 235 pour faire fonctionner un réacteur 
nucléaire ? Si oui, estimer la
durée de cette période.

I.A.2) Radioactivité naturelle au xxI° siècle

De nos jours, on estime qu'une parcelle carrée de 20 mètres de côté contient 
environ 24 kg d'uranium naturel
sur une profondeur de 10 mètres.

Q 7. Estimer la puissance dégagée par la radioactivité de l'uranium sur une 
telle parcelle. Comparer avec
la valeur donnée par l'extrait ci-dessus (0,082 watt par tonne d'uranium).

I.B - Le combustible nucléaire

L'uranium, une fois extrait, est d'abord enrichi en uranium 235 afin de pouvoir 
servir de combustible. Il est
ensuite transformé en dioxyde d'uranium.

[.B.1) Cristal de dioxyde d'uranium

Le cristal de dioxyde d'uranium UO» est un cristal ionique (UT, O7) qui a la 
structure d'une fluorite (CaF,),
à Savoir :

-- les ions d'uranium forment un réseau cubique face centrée :

-- les ions d'oxygène forment un réseau cubique.

La maille correspondante est visible sur la figure À du document réponse.

Q 8. Indiquer sur cette figure la position des ions Uf+ et O7. Comment 
s'appellent les sites du réseau de
l'uranium occupés par les ions d'oxygène ?

Q 9. Vérifier que le nombre d'ions est cohérent avec la formule UO:.

Q 10. Quelle est la longueur du côté de la maille ? Commenter ce résultat. 
Comparer cette longueur avec les
rayons ioniques des ions uranium et oxygène qui valent respectivement 97 pm et 
140 pm.

L.B.2) Combustible utilisé dans les centrales

Le dioxyde d'uranium enrichi à 5 % est d'abord produit sous forme de poudre 
avant d'être compacté en pastilles
de 7,5 g (cf figure 1).

Figure 1 Pastilles de
combustible d'uranium

2020-02-26 19:43:34 Page 2/7 C)EXETS

Q 11. Quelle est l'énergie Æ, que va dégager cette pastille combustible si tout 
l'uranium 235 se désintègre
naturellement (par radioactivité «) ? Un ordre de grandeur est attendu.

La radioactivité naturelle (radioactivité &) n'est pas utile au fonctionnement 
d'une centrale nucléaire qui exploite
plutôt la fission : lorsqu'un neutron de faible énergie cinétique, dit lent, 
entre en collision avec un noyau d'uranium
235, celui-ci donne deux noyaux fils, en général du krypton 93 et du baryum 140 
ou bien du strontium 94 et
du xénon 140. Ces deux noyaux emportent de l'énergie sous forme cinétique 
(environ 200 MeV) qu'ils restituent
au matériau dans lequel ils sont présents. En plus de ces noyaux, la fission du 
noyau d'uranium libère deux
ou trois neutrons qui vont, à leur tour, entrer en collision avec un autre 
noyau d'uranium ou être absorbés
par un autre atome. Lorsque les réactions de fission sont nombreuses, le 
phénomène peut s'emballer car il y a
plus de neutrons produits que de neutrons absorbés (on parle de divergence). En 
revanche, si les neutrons sont
trop souvent absorbés par d'autres noyaux que l'uranium 235, la réaction 
s'arrête. Le fonctionnement optimal
d'une centrale se fait au point d'équilibre : il est nécessaire qu'il y ait 
suffisamment de neutrons produits pour
engendrer des réactions de fission en chaine, mais sans excès de manière à 
éviter l'emballement.

Q 12. Un foyer composé de 4 personnes habitant dans une maison de 150 m° avec 
chauffage électrique

consomme en moyenne une énergie électrique correspondant à 20 000 KW:h en une 
année. Evaluer les masses de
combustible nécessaires pour alimenter un tel foyer en électricité pendant un 
an dans le cas d'une centrale au
charbon, puis d'une centrale nucléaire de type REP. Commenter.

II Le coeur du réacteur

Le principe de fonctionnement d'une centrale nucléaire est représenté figure 2. 
Le réacteur chauffe une certaine
quantité d'eau qui circule, en boucle fermée, dans le circuit primaire. L'eau 
du circuit primaire permet de
vaporiser l'eau contenue dans le circuit secondaire dont la circulation assure 
la rotation de turbines couplées à
des alternateurs. Le circuit tertiaire est utilisé pour liquéfier l'eau du 
circuit secondaire en sortie des turbines,
avant qu'elle ne soit à nouveau injectée dans les générateurs de vapeur.

Centrale nucléaire
Réacteur à Eau Pressurisée (REP)

Nuage de vapeur

Circuit primaire

AT N el  R ul: Circuit de refroidissement

Figure 2 Principe d'une centrale nucléaire (source : Wikipedia)

Au coeur d'une tranche de centrale (qui comporte en général 2 ou 3 tranches), 
le combustible nucléaire est
sous forme de pastilles cylindriques (figure 1). Ces pastilles sont regroupées 
en crayons, eux-même réunis en
assemblages (figure 3). Un assemblage contient 600 kg de dioxyde d'uranium 
enrichi. Un coeur de réacteur est
l'association de 241 assemblages (figure 4).

IT. À --- Quelques analyses préliminaires

Q 13. Pourquoi produire le combustible sous forme de pastilles au lieu de 
cylindres prêts à mettre dans
la gaine du crayon ? Quel est l'intérêt de faire une multitude de petits 
crayons de combustibles plutôt que
quelques-uns, plus gros ?

2020-02-26 19:43:34 Page 3/7
pan nm + Bouchon soude

Pastille d'oxyde
d'uranium
Hauteur :
4 mètres
Grille de maintien
des crayons

© CEA Viande

Figure 3 Assemblage du combustible au coeur d'une centrale

Figure 4 Vue du coeur d'un réacteur

Q 14. Un assemblage est un quadrillage de 17 x 17 emplacements. Or, il ne 
contient que 265 crayons de
combustible. À quoi peuvent servir les autres emplacements ?

Q 15. Vérifier que la surface totale d'échange entre l'eau du circuit primaire 
et les crayons indiquée dans les
données (environ 8000 m°) est cohérente avec la structure du coeur du réacteur.

II.B --- Approche théorique

II.B.1) Modélisation

On modélise un crayon radioactif par un cylindre d'axe (O2) et de rayon R dans 
lequel les réactions nucléaires
produisent une puissance volumique uniforme. Le régime est considéré 
stationnaire.

On utilise le système de coordonnées cylindriques d'axe (O2) : (r,0, 2).

Q 16. Justifier que la température est une fonction de r uniquement. Que 
peut-on en déduire sur la densité
de courant thermique 7 ?

Q 17. La figure 5 présente quatre profils de température à l'intérieur du 
crayon, ainsi que les expressions
analytiques de T'(r) associées (pour chacune de ces expressions, la constante K 
est une constante positive). Parmi
ces profils, quel est le seul susceptible de correspondre au crayon radioactif 
étudié ? Justifier votre réponse à
partir d'arguments qualitatifs uniquement (sans aucun calcul).

Q 18. En admettant que le profil identifié représente réellement le champ de 
température à l'intérieur du
crayon, relier la constante Æ aux grandeurs physiques pertinentes dont les 
valeurs numériques sont données
dans le document réponse.

Q 19. À l'aide des caractéristiques du coeur données dans le document réponse, 
proposer une estimation de
la puissance volumique libérée dans le combustible lorsque le réacteur est en 
fonctionnement nominal.

2020-02-26 19:43:34 Page 4/7 CIEL

Profil 1:T(r) =T(R)+K{(r--R) Profil 2: T{r) =T(R) - K(r--R)
il al
Profil 3: T(r) =T(R) + K(r° -- R?) Profil 4: T(r) =T(R) -- K(r° -- R?)
Figure 5

Q 20. Proposer une définition plausible de la puissance linéique. Confirmer (ou 
non) cette définition par
un calcul d'ordre de grandeur (une page maximum). Comment expliquer l'existence 
d'une puissance linéique
maximale ?

Q 21. En supposant que la température en r = À est celle de l'eau au voisinage 
des crayons, calculer
numériquement la température au « coeur » du crayon (en r = 0). Commenter.

II.B.2) Amélioration du modèle

Q 22. Pourquoi la température en r = À ne vaut-elle pas exactement la 
température de l'eau indiquée dans
les données ?

Q 23. À l'aide d'une démarche à préciser (une page maximum), proposer un modèle 
conduisant à une
meilleure estimation de la température au coeur du crayon en tenant compte du 
constat précédent. Ne pas
hésiter, pour cela, à introduire les grandeurs physiques pertinentes en 
proposant, le cas échéant, des ordres de
grandeur raisonnables.

Q 24. En réalité, la conductivité thermique du dioxyde d'uranium n'est pas 
indépendante de la température
mais possède le profil donné figure 6. Expliquer, de manière qualitative mais 
argumentée, de quelle manière est
modifié le profil de température et, en particulier, si on peut s'attendre à 
une température plus élevée ou plus
basse que celle calculée précédemment.

T 15
< 7 E E D TS = = D = S 5 E 5 TS T en + 0 © 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Température (K) Figure G 2020-02-26 19:43:34 Page 5/7 CERTES III Du réacteur aux turbines Au niveau du circuit secondaire, la centrale fonctionne comme représenté sur le schéma de la figure 7. Dans ce schéma x désigne le titre de vapeur, c'est à dire le rapport entre le débit massique de vapeur d'eau et le débit massique total (liquide et vapeur). É A 70 bar x = 1 À; 11 bar | surchauffeur Al 70 bar HP x = 1 TL -- 70 bar L< > x = 0
ms : S 0,05 b
circuit 11 bar . GC
ne GV x = 0,88
primaire x = 0,90
11 bar
C{ x =0 | circuit
70 bar lp RiY tertiaire
76 °C |
0 récupérateur
- compresseur
x --0 condenseur
Figure 7

Les échanges d'énergie avec le circuit primaire se font au niveau du générateur 
de vapeur (GV), dans lequel
l'eau du circuit secondaire entre avec un débit R,, initialement à l'état (D). 
À la sortie du générateur de vapeur.
l'eau est sous forme de vapeur saturante (état À). La plus grande partie (débit 
À.) est dirigée vers la turbine
haute pression (HP) ; une autre (débit R;) est destinée au surchauffeur. Dans 
la turbine, l'eau passe de l'état
(A) à l'état (B). De là, l'eau passe dans un séparateur dont le seul rôle est 
de répartir les deux phases par
gravité. En haut de ce séparateur sort de la vapeur saturante dans l'état (Æ), 
avec un débit R,, qui est ensuite
surchauffée jusqu'à T} = 281 °C grâce à la liquéfaction totale jusqu'à l'état 
(7) d'une partie de la vapeur issue
du générateur de vapeur. Une fois surchauffée, la vapeur dans l'état (F) passe 
dans une turbine basse pression
(BP) dont elle sort à l'état (G). Elle est ensuite entièrement liquéfiée par 
échange thermique avec le circuit
tertiaire (en général, de l'eau de rivière ou de mer) jusqu'à l'état (H). Avant 
d'être réinjectée dans le générateur
de vapeur, un récupérateur-compresseur, récolte l'eau entièrement liquide issue 
du séparateur, du surchauffeur
et du condenseur et les comprime jusqu'à l'état (D).

ITIT. À --- Approche générale
Soit un élément quelconque, avec une seule entrée et une seule sortie, pour 
lequel on note :
-- À le débit massique de fluide à travers l'élément ;
-- À, la puissance fournie au fluide par les forces autres que pressantes :
-- P,,, la puissance thermique fournie au fluide :
-- h,, l'enthalpie massique du fluide juste avant l'entrée :
-- h,, l'enthalpie massique du fluide juste après la sortie.
Q 25. Montrer que R(h,--h.) = P, + Pi.
Dans le cas d'un élément comportant plusieurs entrées et sorties, le bilan 
précédent se généralise en
D Rhi-- D Rh;=P;+P.

à (sorties) j (entrées)
ITTI.B --- Analyse du cycle
Q 26. Placer tous les états À, B,C',...,1 sur le diagramme (7,5) de l'eau 
fourni dans le document réponse.
III.B.1) Enthalpies massiques
Q 27. Par lecture graphique, déterminer la valeur de l'enthalpie massique h- de 
l'eau dans l'état (F).

Q 28. Calculer les valeurs des enthalpies massiques h 4 et h« à partir des 
données numériques fournies.

Q 29.  Estimer la valeur de l'enthalpie massique h;,.

2020-02-26 19:43:34 Page 6/7 C)EXETS
III.B.2) Calcul des différents débits
Q 30.  Exprimer les relations simples qui existent entre les débits RQ, R, et 
Ra, puis entre R;, R, et x (titre
de vapeur au point B) et enfin entre R,, R, et xp.

Q 31. Le surchauffeur est un simple échangeur de chaleur entre deux fluides ; 
il n'y a donc aucune puissance
mécanique mise en jeu. En supposant que le surchauffeur soit parfaitement 
calorifugé, trouver une relation entre
les débits À, et À; faisant intervenir des enthalpies massiques à préciser.

Q 32. Calculer numériquement les différents débits.
III.B.3) Au niveau des turbines

Les machines réalisant la compression ou la détente d'un fluide ont une 
conception très compacte pour des
raisons de poids, d'encombrement et de coût. Pour les mêmes raisons, elles 
tournent très vite (plusieurs milliers
de tours par minute).

Q 33. Les transformations dans les turbines HP et BP sont-elles réversibles ? 
Justifier soigneusement votre
réponse. Dans le cas où les transformations sont irréversibles, quelles sont 
les causes de cette irréversibilité ?
III.B.4) Au niveau du condenseur

Le condenseur fonctionne de la même manière que le surchauffeur.

Q 34. Déterminer l'expression du débit que doit avoir le circuit tertiaire pour 
que son élévation de tempé-
rature ne dépasse pas 5 °C. Estimer puis commenter son ordre de grandeur. 
Justifier l'existence d'une limite
supérieure de l'élévation de température.

ITI.C -- Rendement du cycle
III.C.1) Rendement effectif

Q 35. Définir et calculer un rendement pour l'ensemble du circuit secondaire. 
Comparer ce rendement à
d'autres rendements connus. (Pour information, chaque réacteur est en fait 
associé à 4 circuits secondaires
identiques.)

III.C.2) Intérêt du surchauffeur

Q 36. A l'aide d'une démarche à préciser, déterminer une estimation du 
rendement que l'on obtiendrait en
l'absence de surchauffeur. Commenter.

ee erFINee.e

2020-02-26 19:43:34 Page 7/7 CO) 8Y-Nc-sA

OO Numéro de place |
(el Numéro d'inscription | Signature
t (, Nom |
ne. Prénom |
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC Epreuve : Physique-chimie 1 MP
Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complétement rempli l'entête 
Feuille /

Figure À Maille de dioxyde d'uranium
(source : Solid State)

Formulaire

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques

Pour un champ scalaire f = f(r,0,2) :

grad f -- a, + ox, + ol.
r

r OÙ OZ
10 / of\  102f of
af = a Cor) + 5m + ae

Pour un champ vectoriel À = A,.(r,0,2)ju,. + Aj(r,0, 2)ü + A,(r,6,2)u, :

. -- 1ô(r4,) 104, 04,
ASS tr 5 * à

2020-02-26 19 :38 :50

dans la partie barrée

D
L
mr
=
\o
a
D
.--
D
=

P019-DR/20190321 MKIV

6 8 L 9 S ÿ EUR t L 0
SO ee ms 0
009EUR - : En  :
001 001
OULC =
O08C
002 007
OOO£ = #Y
00EUR 00EUR
OOTE :
= sr Sr VE
00 LAÉPAIUS _00+
È [SX [US y =
OOE = [-SXçUU U9 4 É
= IQ US 4 =
00$ | us L: smup) + 005
7 LT SNA 60pp'p =°S |
009 [SX LA Y'LOIT =°4 = 009
08e [SX du LI£O0'0 =°4
: 18q OT'ITC = 4 -
00£ : | Do ST'VLE =°L : onbnuo ju10g| : O0Z
000Y - 3
: nv9 ,p InodeA I] 9p onbidonus sumueisSrIq :
O0IY = ... | D =
PTT Anne
6 8 L 9 S y EUR t L 0

Valeurs numériques

L'uranium source d'énergie

Uranium 235

Dioxyde d''Uranium enrichi

masse atomique 2°U 235,04 g:mol"! proportion 2%U 5,0%
abondance naturelle 2U 0,72% proportion *8U 95,0%
période radioactive 2U 703,8 x 10$ années masse volumique du cristal 11,0 g-cm *

Uranium 238

Pastille nucléaire

masse atomique 2 U 238,04 gmol | forme géométrique cylindre
abondance naturelle ?U 99,,%8% hauteur & 14 mm
période radioactive 2$U 4,468 x 10° années diamètre 8,19 mm
Désintégration @ Unité énergétique
énergie libérée ZU 4,68 MeV 1 eV 1.60 x 10 !°J
énergie libérée Z$U 4,27 MeV 1 tonne équivalent charbon 29,3 x 10°J
Fission 1 tonne équivalent pétrole 41,9 x 10°J
énergie libérée 2U 2,0 x 10° MeV
Oxygène
masse molaire 16 g-mol !

Constante d'Avogadro

N À

6,02 x 10° mol-!

Sur les caractéristiques du coeur

Structure

Circuit primaire

réseau assemblage carré 17x17 crayons| |débit par boucle 27,2 x 10*m°*h !
nombre de crayons de combustible 265 nombre de boucles 4
diamètre d'un crayon 9,5 mm pression 155 bar
épaisseur de la gaine d'un crayon 0,57 mm température à l'entrée 296 °C
nombre d'assemblages 241 par coeur température au voisinage des crayons 332 °C
masse d''UO> par assemblage 600 kg température à la sortie 330 °C
Combustible (dioxyde d'uranium) surface d'échange 8000 m°
conductivité thermique moyenne 5,0 W:m !-K-! densité de courant thermique en 
périphérie [1157 W:cm *
température de fusion 9865 °C d'un crayon (fonctionnement nominal)
puissance linéique (fonctionnement nominal) [470 W:cm"
puissance linéique maximale à ne pas 590 W:cm !

dépasser

Sur les caractéristiques du circuit secondaire

générateur de vapeur D -- À

surchauffeur À = I&E = F

débit de vapeur 640 kgs"! état physique à l'entrée (A) vapeur saturante sèche
état physique à l'entrée liquide pression entrée (À) 70 bar
température entrée 76 °C état physique sortie (1) liquide saturant

état physique à la sortie

vapeur saturante

pression sortie (1)

70 bar

pression

70 bar

état physique à l'entrée (Æ)

vapeur saturante sèche

turbine haute pression À -- B

pression entrée (E)

11 bar

état physique à l'entrée

vapeur saturante

état physique sortie (F)

vapeur sèche

pression entrée

70 bar

pression sortie (F)

11 bar

état physique à la sortie

vapeur humide

température sortie (F)

250 °C

titre en vapeur à la sortie 0,90 condenseur G -- H

pression sortie 11 bar état physique à l'entrée vapeur humide
turbine basse pression F -- G titre en vapeur à l'entrée 0,88

état physique à l'entrée vapeur sèche état physique à la sortie liquide saturant

température entrée 250 °C pression 0,05 bar

pression entrée 11 bar

état physique à la sortie vapeur humide

titre en vapeur à la sortie 0,88

pression sortie 0,05 bar

Sur l'eau

Pression de 70 bar

Pression de 0,05 bar

température d'équilibre liquide -- vapeur [286 °C température d'équilibre 
liquide -- vapeur 33,0 °C
cnthalpie massique du liquide 1268 kJ-kg" ' enthalpie massique du liquide 137,8 
kJ-kg" !
enthalpie massique de la vapeur 2772 kJ-kg ! enthalpie massique de la vapeur 
2561 kJ-kg !

entropie massique du liquide

312kJ-ke !K-1

entropie massique du liquide

0,476 kJ-ke 1.K-1

entropie massique de la vapeur

581kJkg !K 1

entropie massique de la vapeur

8,39 kJ-kg 1K-1

Pression de 11 bar

température d'équilibre liquide -- vapeur  |184 °C
enthalpie massique du liquide 781 kJ-kg"*
enthalpie massique de la vapeur 2781 kJ-kg"!

entropie massique du liquide

2,18 kJ-kg*-K7!

entropie massique de la vapeur

6,55 kJ-kg-1.K-1

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 MP 2020 -- Corrigé

Ce corrigé est proposé par Émilie Frémont (professeur en CPGE) ; il a été relu
par Tom Morel (professeur en CPGE), Alexandre Herault (professeur en CPGE) et
Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré à l'énergie électrique d'origine nucléaire. Son 
architecture
en trois parties indépendantes permet d'explorer plusieurs facettes de la 
production
d'énergie nucléaire et de mettre en évidence quelques difficultés afférentes à 
sa mise
en oeuvre.
· Dans la partie I, le questionnement se focalise sur l'uranium, d'abord sous 
forme
naturelle, puis sous forme de combustible nucléaire. Cette partie fait appel à 
des
notions relativement simples du programme mais permet néanmoins de tester
les capacités d'analyse des candidats par l'intermédiaire de plusieurs questions
non guidées.
· Dans la partie II, on s'interroge sur les raisons pour lesquelles le 
combustible
nucléaire est conditionné sous forme de pastilles cylindriques, puis on modélise
les variations de température au sein de ces pastilles dans une situation de
production d'énergie en régime nominal. L'objectif implicite est de valider a
posteriori le dimensionnement du circuit de refroidissement d'un réacteur à
eau pressurisée.
· Enfin, dans la partie III, on s'intéresse aux transformations thermodynamiques
que l'on fait subir à l'eau du circuit secondaire d'une centrale nucléaire pour 
en
extraire une puissance utile. Cette partie, sans doute la plus difficile du 
sujet,
requiert l'écriture du premier principe pour un fluide en écoulement au travers
d'éléments divers de l'installation, ainsi que l'exploitation d'un diagramme 
thermodynamique (T, s). Bien que non explicitement inscrite au programme 
officiel
de la filière MP, la lecture et l'exploitation d'un tel diagramme ne présentent
pas de difficultés majeures dès lors que la manipulation des diagrammes (P, h)
est maîtrisée.
De difficulté modérée, ce sujet propose une couverture du programme 
relativement restreinte et la manipulation des données numériques utiles se 
révèle fastidieuse
lorsqu'on traite le sujet dans son intégralité. Il peut néanmoins s'avérer 
intéressant et
formateur pour les étudiants désireux de réviser les notions en lien avec les 
machines
thermiques, qui pourront alors concentrer leurs efforts sur la partie III.
De façon plus générale, les questions non guidées proposées dans ce sujet sont
abordables et intéressantes ; il paraît donc pertinent d'y consacrer un temps 
de réflexion raisonnable en vue de la préparation des épreuves du concours 
Centrale.

Indications
Partie I
3 Résoudre l'équation différentielle établie dans la question précédente.
6 L'âge de la Terre est d'environ 4,5 milliards d'années (ce qui correspond 
approximativement à la période radioactive de l'uranium 238).
7 Les dimensions de la parcelle considérée sont sans intérêt ici. En revanche, 
on
peut grandement simplifier le raisonnement en ne considérant que la contribution
de l'isotope 238 à la puissance dégagée.
10 Exploiter la masse volumique du dioxyde d'uranium dont la valeur est fournie
dans le document-réponse.
12 Une consommation énergétique de 1 kWh correspond à 3,6 MJ ; le rendement
d'une centrale électrique est de l'ordre de 30 %.
Partie II
17 À l'aide de considérations de symétrie, justifier que la densité de courant 
ther- doit s'annuler au niveau de l'axe Oz.
mique 
18 Expliciter le paramètre K en fonction de la densité de courant thermique j 
(R)
en périphérie du crayon.
19 On pourra par exemple réaliser un bilan de puissance sur le crayon étudié en
régime stationnaire.
23 Les échanges conducto-convectifs à l'interface entre un solide et un fluide 
peuvent
être modélisés par la loi de Newton. Dans le cas où le fluide est de l'eau en 
convection forcée, l'ordre de grandeur du coefficient d'échange 
conducto-convectif h est
de 103 W · m-2 · K-1 .
Partie III
25 Appliquer le premier principe de la thermodynamique, entre deux instants 
infiniment proches, à un système fermé judicieusement choisi.
26 Selon que l'on se réfère à la figure 7 de l'énoncé ou aux valeurs données 
dans le
document-réponse, la température au point F n'est pas la même. Dans ce corrigé,
on choisit la valeur TF = 250  C.
Pour placer les différents points sur le diagramme, commencer par repérer la
courbe de saturation ; le domaine correspondant au liquide seul se trouve à sa
gauche (les courbes isobares s'y superposent toutes) tandis que le domaine 
correspondant à la vapeur sèche se trouve à droite.
30 L'énoncé définit explicitement le titre de vapeur comme le rapport entre le 
débit
massique de vapeur d'eau et le débit massique total (liquide et vapeur).
33 Exploiter (en justifiant) la position relative des points A et B, ainsi que 
celle des
points F et G, dans le diagramme (T, s).
34 L'eau du circuit tertiaire se comporte comme une phase condensée 
incompressible
et indilatable ; sa capacité thermique massique est cliq = 4,2 kJ · K-1 · kg-1 .
35 Ne pas oublier de prendre en compte la puissance mécanique absorbée par le
compresseur dans la définition du rendement.

Publié dans les Annales des Concours

L'énergie électrique d'origine nucléaire
I. L'uranium, source d'énergie
1 La constante radioactive  correspond à une probabilité par unité de temps et
est donc homogène à l'inverse d'un temps
[] = T-1
2 Notons N le nombre de noyaux qui se désintègrent entre les instants t et t + 
dt.
La désintégration  étant ici le seul phénomène physique engendrant une variation
du nombre de noyaux, l'évolution de population satisfait le bilan
N (t + dt) = N (t) - N
avec N =  N (t) dt d'après la définition de la constante radioactive. Au premier
ordre en dt, on obtient alors l'équation
dN
(t) dt = -  N (t) dt
dt
dN
(t) +  N (t) = 0
dt

d'où

3 La solution de l'équation établie à la question précédente s'écrit
N (t) = N (0) e -t
En traduisant la définition de la période radioactive, on obtient

N (0)
N T1/2 = N (0) e -  T1/2 =
2
d'où
4

T1/2 =

ln 2

Étant donné le nombre important de données numériques figurant dans le
document-réponse qui accompagne l'énoncé, il importe de mentionner 
explicitement dans la copie les valeurs retenues pour effectuer les applications
numériques.

La période radioactive de l'uranium 238 est de 4,468 · 109 ans. En considérant
qu'une année compte 365,25 jours, le calcul qui permet d'évaluer la constante 
radioactive de cet isotope est
238 =
On trouve ainsi

ln 2
ln 2
=
T1/2 (238 U)
4,468 · 109 × 365,25 × 24 × 3 600
238 = 4,916 · 10-18 s-1

En transposant le calcul ci-dessus au cas de l'uranium 235, dont la période est
cette fois de 703,8 · 106 ans, on aboutit à
235 = 3,121 · 10-17 s-1
Il apparaît ainsi que la constante radioactive de l'uranium 235 est environ dix
fois plus grande que celle de l'uranium 238. On constate également que la valeur

de la constante radioactive de l'uranium 238 est environ égale à trois fois 
celle du
thorium 232, ce qui permet de vérifier a posteriori l'affirmation du document 
selon
laquelle le thorium 232 est « trois fois moins radioactif » que l'uranium 238.
5 Les calculs numériques de la question précédente permettent de constater que
235 > 238 . Cela signifie que la population d'uranium 235 décroît plus vite que
celle de l'isotope 238. Par conséquent, la proportion d'uranium 235 dans les
minerais diminue au cours du temps.
6 Définissons l'origine des temps t = 0 au moment où vous lisez ce corrigé et
cherchons la proportion d'uranium 235 dans les minerais à une date t quelconque
en supposant que tous les paramètres du problème sont restés inchangés depuis la
formation de la Terre (laquelle correspond à la date ti ' -4,5 · 109 ans).
En notant respectivement N235 et N238 le nombre de noyaux d'uranium 235 et
d'uranium 238 dans le minerai considéré, la proportion d'uranium 235, notée  (t)
par la suite, est définie par
N235 (t)
=
N235 (t) + N238 (t)

 (t) =

1
N238 (t)
1+
N235 (t)

L'injection de la loi de décroissance radioactive obtenue à la question 3 dans 
cette
définition conduit alors à l'expression
 (t) =

1
N238 (0) (235 -238 )t
e
1+
N235 (0)

On sait en outre que la proportion naturelle d'uranium 235 est à ce jour de 
0,72 %,
ce qui montre que N235 (0)  N238 (0) et permet d'obtenir les expressions 
simplifiées
 (0) '

 (t) '

puis

N235 (0)
= 0,72 · 10-2
N238 (0)
 (0)
 (0) + e (235 -238 )t

On peut dès lors chercher l'instant tmax en deçà duquel la proportion d'uranium 
235 dans le minerai est supérieure à  min = 3 %. On obtient

 (0) (1 -  min )
1
ln
tmax =
235 - 238
 min
"
#
0,72 · 10-2 × 1 - 3 · 10-2
1
AN: tmax =
ln
3,121 · 10-17 - 4,916 · 10-18
3 · 10-2
' -5,6 · 1016 s
tmax ' -1,8 · 109 ans
La comparaison des dates ti et tmax permet de conclure.
Après la formation de la Terre, il y a eu une phase pendant laquelle les 
minerais
naturels étaient suffisamment riches en uranium 235 pour faire fonctionner un
réacteur nucléaire ; cette phase a duré tmax - ti ' 2,7 · 109 ans.