Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Vie et mort d'un photon
Principaux outils utilisés mécanique, physique quantique, ondes, électronique
Mots clefs photon, cavité, atomes de Rydberg, faisceau gaussien, circuits couplés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique-chimie 1
MP

4 heures Calculatrice autorisée

2019

Vie et mort d'un photon

Dans la plupart des expériences, la mesure de la présence d'un photon se fait 
par absorption, c'est-à-dire par
destruction du photon: un oeil ou une caméra CCD détruisent les photons 
incidents en les absorbant. De
nombreux travaux ont toutefois permis de réaliser des mesures quantiques non 
destructives (QND, quantum
non-demolition measurement). Ainsi, à la fin du xx° siècle, la présence d'un 
photon a pu être détectée sans que
celui-ci ne soit détruit, ouvrant la porte à des mesures successives de l'état 
du même photon.

L'équipe de Serge Haroche de l'École Normale Supérieure de Paris a en 
particulier utilisé ses connaissances en
électrodynamique quantique en cavité (CQED, cavity quantum electrodynamics) 
pour mesurer sans le détruire
l'état d'un seul photon piégé. Pour la première fois, l'apparition et la 
disparition du même photon ont pu être
observées en direct.

Figure 1 Principe de l'expérience d'électrodynamique quantique en cavité
(Exploring the Quantum - Atoms, cavities and photons - Serge Haroche et Jean-
Michel Raimond - Oxford University Press (2006))

Dans cette expérience, le photon est piégé dans une cavité C constituée de deux 
miroirs en vis-à-vis (figure 1). Le
photon effectue des allers-retours entre les deux miroirs jusqu'à sa 
disparition (absorption par l'un des miroirs
ou fuite hors de la cavité).

Pour sonder la présence du photon, on utilise un atome de Rubidium sortant du 
four © dont la vitesse est
sélectionnée grâce aux lasers L; et L'. L'atome est ensuite excité dans un état 
dit de Rydberg circulaire au niveau
de B. L'atome subit ensuite une impulsion micro-onde au niveau de R;, ce qui le 
place dans une superposition
de deux états. En traversant la cavité C, les deux états acquièrent un 
déphasage relatif &,, dépendant de la
présence ou non d'un photon. L'atome subit une deuxième impulsion micro-onde au 
niveau de À, et son état
final est mesuré par le détecteur D. Cet état final dépend du déphasage relatif 
®,, et donc de la présence ou non
du photon. Celui-ci n'a pas été absorbé par l'atome, mais à seulement induit un 
déphasage dans la structure
électronique de l'atome.

L'équipe de Serge Haroche a par la suite généralisé la mesure non destructive à 
un nombre de photons supérieur
à un et à utilisé cette technique pour réaliser une expérience de chat de 
Schrôdinger, ce qui a entre autres
valu à Serge Haroche l'obtention du prix Nobel de physique en 2012. Dans le 
cadre de ce sujet, nous ne nous
intéresserons toutefois qu'à certains aspects de l'expérience décrite sur la 
figure 1.

La partie I étudie quelques propriétés des atomes de Rubidium excités dans 
l'état de Rydberg (on parle alors
d'atomes de Rydberg) ainsi que leur détection. La partie IT s'intéresse aux 
propriétés de la cavité permettant de
piéger un photon pendant une durée suffisante. La partie IIT étudie le couplage 
entre un atome de Rydberg et
un photon de la cavité. Les trois parties sont indépendantes, même si le 
contexte reste celui de l'expérience de
la figure 1.

Des données numériques, un formulaire et une annexe sont présents en fin de 
sujet.

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Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

I Étude des atomes de Rydberg circulaires

Les atomes utilisés dans l'expérience sont des atomes de Rubidium dont 
l'électron situé sur la couche électronique
la plus énergétique est excité dans un état de nombre quantique principal n 
très élevé. Des atomes ainsi excités
sont appelés atomes de Rydberg. Si de plus le nombre quantique secondaire £ de 
l'électron excité est maximum,
alors on parle d'atomes de Rydberg circulaires.

I.A ---  Préliminaires
Q 1. Donner la structure électronique du Rubidium (Z = 37) dans son état 
fondamental. Entourer le ou
les électron(s) de valence. À quelle famille cet élément appartient-il ?

Considérons un atome polyélectronique contenant Z électrons. Le noyau sera 
considéré comme ponctuel et fixe
en ©. On s'intéresse à l'électron de la couche électronique la plus énergétique 
que l'on repère en coordonnées
sphériques. L'énergie potentielle électrostatique de cet électron est de la 
forme

Z(r)q
Ur) = =
2
e
où l'on a posé q -- n avec EUR, la permittivité diélectrique du vide. La 
fonction Z{(r) est positive et vérifie
TE)

Z(r -- 0) =Zet Z(r -- +oo) = 1.
Q 2. Justifier le signe de U(r.).

Q 3. Interpréter physiquement les valeurs limites de la fonction Z{(r) en r -- 
0 et r -- +oo.
Q 4. On cherche un ordre de grandeur de la taille typique a, de l'atome. On 
estime que a, est de la forme
Gp = h° q°mn? où m, est la masse de l'électron. Établir soigneusement que a = 
2, 8 = --1et y = --1. La grandeur

a, est appelée rayon de l'atome de Bohr, calculer sa valeur numérique.

I.B ---  Atomes de Rydberg

L'électron le plus énergétique de l'atome précédent est excité dans un niveau 
de nombre quantique n > 1
(typiquement n = 50), le reste de l'atome étant inchangé. On étudie par la 
suite le comportement de cet
électron dont la masse est toujours notée m,. L'atome est isolé de son 
environnement extérieur.

I.B.1) Étude classique

Q 5. Justifier que l'énergie potentielle de l'électron est alors : U(r) = 1
Tr
Q 6. Démontrer que le moment cinétique £ de cet électron est constant et en 
déduire que le mouvement

de l'électron est plan. On introduit le repère sphérique (r,0,%) tel que £ = 
Le, avec £ > 0. Le noyau est
toujours à l'origine du repère. Montrer que le mouvement de l'électron est 
alors situé dans le plan Oxy et
donner l'expression de la constante Z en fonction de m,, r et ç.

Q 7. Que peut-on dire de l'énergie mécanique EUR,, de l'électron ? Montrer que 
l'on peut mettre cette énergie
mécanique sous la forme

1
Em = Mi + Cpetr(r)

7 2
où l'on exprimera &,,.g(r) en fonction de q, r, m, et £.
Q 8. Justifier que, pour une trajectoire circulaire, Eper(r) est minimale. En 
déduire la valeur du rayon re
de l'électron lorsqu'il est sur une trajectoire circulaire. On exprimera r,; en 
fonction de £, m, et q, puis on
£L?

vérifiera que ro = 72 0:

I.B.2) Étude quantique

En physique quantique, l'état de l'électron excité dans le niveau n est décrit 
par la fonction d'onde Y(M,t).
Celle-ci vérifie l'équation de Schrôdinger

2
RU = ay Ty
Ot 2m T

EUR

où À est l'opérateur laplacien.
On cherche V(M,t) sous la forme d'un état stationnaire : YW(M,t) = (M)x(t).

2019-05-10 12:11:14 Page 2/11 (C)EATETSS
Et
Q 9. Justifier que x(t) est de la forme Y{t) = A exp (©) avec À et EUR deux 
constantes.

Q 10. Justifier sans calcul le signe de EUR pour l'électron étudié.

I
On met P(M) sous la forme P(M) = -u(r)Y (4,4) et on admet que u(r) vérifie 
l'équation
T

(- + PU +1) _ 1) u(r) = Eur) (I.1)

2m,7T r

où £ est le nombre quantique secondaire.
Q 11.  Rappeler les valeurs permises pour le nombre quantique £.

Q 12. En utilisant notamment la question 7 et en procédant par identification, 
justifier qu'en physique
quantique les valeurs possibles de £? sont £(£ + 1)h°. Quelle est en 
particulier la valeur maximale que £? peut
prendre pour l'électron étudié ?

Q 13. Que vaut alors le rayon r, de la trajectoire circulaire obtenue en 
question 8 ? On donnera le résultat
en fonction de a, et de n pour un atome de Rydberg.

Q 14. On cherche à adimensionner l'équation (1.1). Montrer que cette équation 
peut se mettre sous la forme

d' (+1) 2 |
x p° p
en posant p = r/ap et EUR = --E/E,, avec EUR, une constante que l'on exprimera 
en fonction de a, et de q. Quelle

est la valeur numérique de EUR, en électron-volts ?

IC --- Atomes de Rydberg circulaires

L'électron le plus énergétique est maintenant placé dans un état de nombre 
quantique principal n > 1 et de
nombre quantique secondaire EUR maximum. Sa fonction d'onde spatiale est

D(r,0,w) = A(n) (2 sin 0 ee) exp (=) (L.3)

ap na

avec A(n) une constante réelle positive de normalisation.

Q 15.  Exprimer la probabilité dP de trouver l'électron entre r et r + dr, 
quels que soient 0 et &. On ne
cherchera pas à calculer les éventuelles intégrales.

dP
Q 16. Montrer que la densité de probabilité dr est maximale pour le rayon r,,, 
= n'a. Commenter ce
T

résultat.

Q 17. Faire l'application numérique pour n = 50. Pourquoi qualifie-t-on les 
atomes de Rydberg circulaires
d'atomes géants ?

L'expression de la fonction d'onde (non demandée) permettrait en outre de 
montrer que la probabilité de

présence est maximale dans la direction 0 = 7x/2. On admet également que la 
dispersion relative de r et la

A 1
dispersion de 0 sont de l'ordre de Du AÛ = ----
T

V2n
Q 18. Pourquoi peut-on dire que le comportement de l'électron excité de l'atome 
de Rydberg circulaire est
« classique » ?

Q 19. Donner, à partir de la forme de la fonction d'onde (1.3), l'expression de 
u(p) pour l'électron le plus
énergétique dans un atome de Rydberg circulaire, à un facteur multiplicatif 
constant près. En déduire l'expression
de EUR puis de EUR pour l'électron dans un tel état. Commenter ce résultat.

Q 20. Calculer la fréquence z,, du photon correspondant à la transition entre 
les états EUR, _50 et EUR, _51. Dans
quel domaine des ondes électromagnétiques se situe-t-il ?

I.D --- Détection des atomes de Rydberg circulaires

On se reportera aux différents documents de l'annexe pour traiter cette 
sous-partie qui est indépendante des
résultats précédents.

Q 21. Considérons tout d'abord un atome d'hydrogène dans son état fondamental. 
L''électron est à une
distance moyenne du noyau de l'ordre de 107! m. Donner l'ordre de grandeur de 
la norme du champ électrique
créé par le proton au niveau de l'électron. Justifier pourquoi on peut, en 
ordre de grandeur, assimiler la valeur
de ce champ électrique à celle du champ d'ionisation de l'atome d'hydrogène.

Q 22. On assimile l'état de Rydberg circulaire n à un atome d'hydrogène dont 
l'électron est excité dans le
niveau n > 1. On s'intéresse aux trois états de Rydberg circulaires n = 50, n = 
51 et n = 52. Une approche
théorique non détaillée ici permet de calculer les champs d'ionisation des 
trois états précédents. Ces champs sont
dans le désordre, en unités du système international, 1,48 X 10°, 1,36 x 10° et 
1,60 x 10°. Attribuer à chaque n
son champ d'ionisation en justifiant succinctement.

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Q 23. Classer les potentiels V,, V,, V., V3, V et V; des différentes électrodes 
de la figure 11 dans l'ordre
croissant en justifiant.

Q 24.  Estimer la vitesse des atomes de Rydberg dans la zone d'ionisation à 
l'aide du protocole I.

Q 25. Dans le protocole 2, la variation de V,(t) suit une loi affine : V,(t) = 
V, + K(t--t,) avec V, = 32 V
le potentiel de l'électrode b, t, l'instant initial de déclenchement de la 
variation de V,(t) et K° une constante.
Déterminer l'instant de déclenchement t, de la rampe et sa pente X° permettant 
d'observer les deux signaux
d'ionisations sélectives de la figure 13 de l'annexe.

Q 26. Quel problème pourrait-on rencontrer si l'on choisissait une variation de 
V,(t) plus rapide ? Et plus
lente ?

Q 27. Quelle valeur faut-il prendre pour t,, défini dans le paragraphe « 
Principe de la détection » à la fin de
l'annexe ? Quelle(s) cause(s) expérimentale(s) pourraient fausser l'attribution 
de l'électron détecté au bon état

de Rydberg ?

II Étude de la cavité micro-ondes

La cavité micro-ondes est constituée de deux miroirs métalliques en vis-à-vis 
entre lesquels un photon de longueur
d'onde À, est piégé. Dans un premier temps (sous-partie IL.A) nous allons nous 
intéresser aux propriétés d'une
cavité composée de miroirs métalliques plans avant d'aborder le cas des miroirs 
sphériques (sous-partie IL.B).

IT. À --- Miroirs plans

Considérons une cavité constituée de deux miroirs plans métalliques (figure 2) 
séparés par le vide d'une distance
d -- 26,6 mm. Le coefficient de réflexion r,, en amplitude pour le champ 
électrique est identique pour les deux
miroirs. r,, est un réel négatif à la longueur d'onde À, considérée : --1 < rx < 0 et 1--{ryl & 1. 7 Sy RLTOSTTRÈQOT--+ A 24 ' L TT 23 7 S9 TT RÈRQoT TT y 7 -- LRO 8] y S 29 TRÈS TT + 7 - 7 Z O d L 7 Vide L miroir de gauche miroir de droite Figure 2 Cavité plane On se place dans l'approximation scalaire. L'intensité est définie comme 1 = 5 s* où s est l'amplitude complexe de la vibration. Une onde 5, (2: t) = Syexp(ilwt -- kz)) se propage dans la cavité (S, est un réel positif). Elle subit des réflexions multiples dans la cavité. On note s (&:t) l'onde réfléchie sur le miroir de droite, 8, (2:t) l'onde réfléchie sur le miroir de gauche et de manière générale s (2; t) l'onde ayant subi n réflexions. Q 28.  Onse place en un point d'abscisse z à l'intérieur de la cavité. Exprimer s .( t) en fonction de s (2: t). Q 29.  Exprimer 5, (2; t) en fonction de 5 (2: t) ainsi que 5, (2: t) en fonction de 8 (2; t). On fera intervenir la grandeur ® = 4rd/). Q 30.  Simplifier alors l'expression de la somme cohérente des amplitudes complexes des ondes se propa- +00 geant dans le sens des z croissants : s, (2, t) = > 8, (2 t). De même pour la 
somme cohérente des amplitudes
p=0

+00
complexes des ondes se propageant dans le sens des z décroissants : s (2,1) = > 
Sn Ce: t).
p=0

On admet que l'intensité maximale L,,. de l'onde totale 8, (2: t)+s (z,t) au 
niveau d'un de ses ventres dépend
de ® selon l'expression

Î
Luax = _ (IL.1)
1 + M sin°(®/2)

4R
AR)

avec Î,, une constante et M -- où À -- Sr. La dépendance en ® de Z,,, est 
tracée en figure 3.

2019-05-10 12:11:14 Page 4/11 (C)EATETSS

Lax
DER

0 --A4r --37r --27 1 T° 27x 37 47
Phase

Figure 3 Tracé de /,.. en fonction de ®

Q 31. Pour quelles fréquences 7... cette intensité est-elle maximale ?

Q 32. On s'intéresse à la largeur à mi-hauteur 06® des pics de Z,,, définie par 
1,,,(0®/2) = 1,,/2. Dans
l'hypothèse où 1 -- À EUR 1, donner l'expression de 0® en fonction de M. En 
déduire la largeur en fréquence 07
des pics de résonance de la cavité.

Q 33. Associer à cette largeur de fréquence une durée typique 7 de l'onde dans 
la cavité en fonction de EUR, d
et À, toujours dans l'hypothèse où 1 -- R 1.

Nous cherchons maintenant à retrouver l'ordre de grandeur de cette durée 7 en 
adoptant un point de vue
corpusculaire. À chaque réflexion, la probabilité que le photon franchisse le 
miroir et sorte de la cavité est
T=1---Rk.

Q 34. Déterminer la durée de vie moyenne du photon dans la cavité en fonction 
de EUR, d et À.

Q 35. Que doit valoir 1 -- À pour avoir une durée de vie du photon de 100 ms ? 
Commenter.

Q 36. On recouvre en pratique les miroirs d'un supraconducteur de résistance 
électrique nulle. Pourquoi ?

ITI.B --- Miroirs sphériques

Les miroirs ont en réalité une dimension finie. Considérons la situation où 
l'on aurait des disques plans de rayon
a -- 25 mm. Comme indiqué en figure 4, l'onde électromagnétique parvenant sur 
un miroir (ici le miroir de
droite) est ainsi diffractée. Une partie de l'onde diffractée n'est pas captée 
par le miroir en vis-à-vis (ici le miroir
de gauche).

} O
miroir de gauche ES V miroir de droite

Figure 4 Diffraction sur l'un des
deux miroirs (ici le miroir de droite)

Q 37. Estimer la durée 7x au bout de laquelle l'intensité restant dans la 
cavité est divisée d'un facteur
1000 par rapport à l'intensité initiale pour un photon de fréquence 51,1 GHz. 
Commenter ce résultat.

y

Figure 5 Photographie des miroirs sphériques, Schéma d'un miroir sphérique, 
Schéma de la cavité

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Afin de palier le problème lié à la diffraction, on prend des miroirs en forme 
de portion de sphère de rayon
de courbure R, -- 40 mm. Le rayon des miroirs est toujours a -- 25 mm, mais la 
distance entre les deux est
désormais d' = 27,6 mm. La cavité est présentée en figure 5. On se place 
dorénavant en coordonnées cylindriques
avec l'origine du repère au centre de la cavité ct l'axe (Oz) selon son axe de 
révolution. L'intérieur de la cavité est
dans le vide. On admet que la diffraction est ainsi limitée et on s'intéresse à 
l'étude de l'onde électromagnétique
dans cette cavité.

Pour une longueur d'onde À,, l'onde stationnaire pouvant exister dans la cavité 
est de la forme

2 2
U r 2T2 À0Z AT
-- 8, --0 _ LE 207 --__ IL.2
s(M,t) 02 EXP | 7) COS | x, arctan ne) + KR) + s) exp(iwt) (IL.2)

d(r, 2)

D
À0Z
Où W(z) = Wp4/1 + (2) est le rayon typique du faisceau au niveau de l'abscisse 
z dans le plan perpendicu-

2
AW,

laire à (Oz), w, est une constante appelée col du faisceau (waist en anglais), 
R,(2) est le rayon de courbure des sur-

2 / /
) 1 TW À d d
faces d'onde : R,(2) = z+- su et & est une phase constante. On admet que wy = 
1| -- TS Ry -- 5 J:
Z 0 T

Q 38. Calculer w, pour une fréquence de 51,1 GHz.

Q 39. Au niveau de l'axe (Oz) (r = 0), on souhaite que la structure d'onde 
stationnaire présente un noeud
au niveau de chaque miroir et p ventres avec en particulier un ventre au niveau 
de ©. En déduire, en fonction
de p, la variation en valeur absolue de P(r = 0,2) entre z = 0 et z = d'/2. Que 
vaut p pour une fréquence de
l'onde de 51,1 GHZ ?

Q 40. En faisant l'analogie avec la corde de Melde, estimer l'ordre de grandeur 
de la taille d'un fuseau.
Faire l'application numérique et commenter sachant que le jet atomique traverse 
la cavité en son centre et a un
diamètre de 0,7 mm.

III Couplage entre un atome de Rydberg et la cavité

Les deux parties précédentes ont permis de mettre en évidence qu'un atome de 
Rydberg et une cavité sont deux
systèmes dans lesquels il est possible de stocker de l'énergie : une énergie 
hv,, = Aw,, pour l'atome (entre les deux
niveaux d'énergie n = 50 et n = 51 que l'on supposera isolés des niveaux 
inférieurs) et une énergie hr, = Au,
pour un photon piégé dans la cavité. Nous allons maintenant voir comment ces 
deux systèmes peuvent interagir,
échanger éventuellement de l'énergie et comment on peut utiliser cette 
interaction pour détecter la présence
d'un photon dans la cavité sans le détruire.

Le traitement de ces interactions est quantique, mais il est possible de faire 
des analogies avec des systèmes
classiques usuels.

IIT. A --- Représentation électrocinétique du couplage atome-photon

On admet que le couplage entre l'atome et un photon de la cavité peut être 
assimilé à la présence d'une
inductance mutuelle M entre deux circuits LC (figure 6). Le circuit de gauche 
représente la cavité tandis que le
circuit de droite est analogue à l'atome. On note w,.., et w.. les pulsations 
propres de chacun des deux circuits
en l'absence de couplage.

C C

Cav at

Figure 6 Circuit équivalent au sys-
tème {photon + atome}

Q 41. Déterminer les expressions de w,, et w,,, en fonction de Z, C', et Ca.
Q 42. Les deux circuits sont considérés sans résistance. Quels phénomènes 
physiques sont ainsi négligés au
niveau de l'atome et au niveau de la cavité ?

On pose 0 = w,4 --w.., le désaccord entre les deux pulsations. On considèrera 
dans toute la suite que [| &
Weav + Wat

(151 & w,+). Par ailleurs, on note : w, -- 5

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Q 43. Montrer que les deux intensités 2, et ?,. vérifient le système 
d'équations couplées suivant :

décay Q d'in 2 .
ae ag de + (6 ie = 0

(IIL.1)
d'i Q d°i

at Cav 2 -

------ + (wi +eE)ji,; = 0

dt? «w, dt? KG + Er

où l'on exprimera Q et EUR en fonction de w, à, M et L.

On cherche la possibilité pour que l'ensemble du circuit oscille à la même 
pulsation w (on parle de mode propre).
On cherche ainsi ,, et 4, sous la forme complexe à, (t) =, expliwt) et à (4) = 
I, exp(iut).

Q 44. Déterminer l'équation vérifiée par w, équation que l'on écrira sous la 
forme d'un polynôme en w qui
s'annule, mais que l'on ne cherchera pas à résoudre.

On admet que w peut prendre deux valeurs dans le cas où à > (7, situation dans 
laquelle on se place désormais :

ÿ ®
We = wp + Ë + 5) | (IIL.2)

ITI.B --- Couplage atome-photon de la cavité

Revenons à l'expérience d'électrodynamique quantique. On considère maintenant 
le système {atome + cavité}.
En l'absence de couplage entre l'atome et la cavité, les niveaux d'énergie de 
ce système sont représentés en figure
figure 7.

niveaux d'énergie
À

n = 51, 1 photon

fu

at

n = 91, 0 photon

io

Nu, +

n = 50, 1 photon

fu

Cav

n = 90, 0 photon

Figure 7 Niveaux d'énergie du système
{atome + cavité} en l'absence de couplage

En présence de couplage entre l'atome et la cavité, le niveau {n = 50 + 0 
photon dans la cavité} garde la même
énergie. Il est pris comme niveau de référence des énergies.

En présence de couplage, l'état {atome n = 50 + 1 photon dans la cavité} a une 
énergie w_ tandis que l'état
{atome n = 51 + aucun photon dans la cavité} a une énergie Aw,. L'état {atome n 
= 51 + 1 photon dans la
cavité} voit quant à lui son énergie augmentée de +hQ?/(26).

Q 45.  Reproduire la figure 7 sur votre copie et dessiner en pointillés la 
position des quatre états considérés
en présence de couplage.

Q 46. En l'absence de couplage entre la cavité et l'atome, la différence 
d'énergie entre les niveaux n -- 50
et n = 51 est Aw,,. Que vaut la différence d'énergie Aw', entre les niveaux n = 
50 et n = 51 en présence d'un
couplage cavité-atome dans le cas où la cavité ne contient pas de photon ? En 
déduire la variation de la pulsation

Oph
Au{0P = w',--w,, de l'atome correspondante.

Q 47. Déterminer de même l'expression de Ag tiPn) dans le cas où la cavité 
contient 1 photon.

Afin de détecter la présence ou non d'un photon dans la cavité, on crée un 
atome de Rydberg initialement dans
l'état n = 50, comme indiqué en introduction de ce sujet et illustré dans la 
figure 1. Une impulsion micro-onde
place l'atome dans une superposition des états n = 50 et n --= 51. Les deux 
états quantiques acquièrent un
déphasage D, = Awystea Où tv est la durée d'interaction entre l'atome et la 
cavité. Comme nous venons de le
voir, ce déphasage dépend de la présence ou non d'un photon dans la cavité. Une 
deuxième impulsion micro-onde
en sortie de cavité fait interférer ces deux états quantiques. On règle les 
impulsions micro-ondes de manière à ce
que l'atome se retrouve dans l'état n = 50 en l'absence de photon dans la 
cavité et dans l'état n = 51 en présence
d'un photon dans la cavité. On détecte alors l'état de l'atome à l'aide du 
dispositif étudié en sous-partie ID.
L'état de l'atome renseigne sur la présence d'un photon dans la cavité sans 
pour autant avoir détruit celui-ci.

2019-05-10 12:11:14 Page 7/11 (C)EATETSS

| Î

ps | HN

Te

n=50

0,0 0,5 1,0 1,9 2,0 2,5

temps (s)

Figure 8 Mesure non destructive de la présence d'un photon dans la cavité, 
adapté
de« Mesure quantique non destructive répétée de la lumière : états de Fock et 
trajectoires
quantiques » - Christine Guerlin - Thèse de doctorat de l'Université Paris VI 
(14 décembre
2007)

Îl est alors possible d'envoyer plusieurs atomes à la suite comme indiqué sur 
la figure 8 : une détection dans
n = 90 est représentée par un trait bleu vers le bas, une détection dans n = 51 
par un trait rouge vers le haut.
Dans cette mesure, un photon (d'origine thermique) est apparu dans la cavité à 
1,1 ms et a disparu à 1,5 ms.
Îl a ainsi été capturé pendant 0,4 ms. Pendant cette durée, il a parcouru une 
distance de 1,2 x 10° km, soit
l'équivalent de À fois la circonférence de la Terre !

Données et formulaire

Masse de l'électron m, = 9,11 x 10 kg

Charge élémentaire e = 1,60 x 10  C

Permittivité diélectrique du vide Ep -- 8,89 X 10 Fm !

Constante de Planck h = 6,63 x 10 * J:s, À = 1.05 x 10 * J:s-rad !
Célérité de la lumière dans le vide ce = 3,00 x 10 mess !

Figure 9 Base sphérique
Volume infinitésimal en coordonnées sphériques
dV = r° sin 0 dr d'do

Opérateur gradient en coordonnées sphériques

Of. lof. 1 Of.

df= Ze, + 2,4 TT
grad J 9" | r 00 0 rsin00p

Opérateur laplacien d'un scalaire en coordonnées sphériques

1 Of 1 Of. Of I of
Af=--=-- 2) 5 ( )
J r? Ôr (r Or T r2 sin 0 06 \" 06 " r? sin" 0 04°

2019-05-10 12:11:14 Page 8/11 CO) 8Y-Nc-sA
Annexe

La plupart des documents et les textes entre guillemets de cette annexe sont 
issus de la thèse de doctorat de
l'université Paris VI d'Alexia Auffèves, soutenue le 29 juin 2004 « Oscillation 
de Rabi à la frontière classique-
quantique et génération de chats de Schrôüdinger ». Certaines figures et 
données expérimentales ont été adaptées
pour les besoins de l'épreuve.

Le phénomène d'ionisation

« L'ionisation d'un atome désigne l'émission vers le continuum d'un électron 
initialement dans un état lié. Elle
peut advenir par interaction de l'atome avec une onde lumineuse 
(photo-ionisation) ou, comme dans notre cas,
avec un champ électrique quasi statique. »

Prenons une assemblée de N atomes identiques que l'on place dans un champ 
électrique extérieur Æ que l'on
augmente linéairement au cours du temps. L'augmentation est lente si bien que 
le champ peut être considéré
comme quasi statique. On relève le nombre d'atomes ionisés par unité de temps 
d\N/dt. La dépendance en Æ
de AN /dt est représentée sur la figure 10.

1800 -

1600 + t,
1400 - Mu
Je
1200 oi
EH
1000 - UT
-- HE
] OE
u sh
800 Æ u
| EH
600 ï U
e EH
400 -- É [1
2 | EH
00 - ed ...
0 + nn
| E
C
-200

100 | 200 | 300
Figure 10 Variation de dN/dt en fonction de E
(unité arbitraire)

Le champ critique, ou champ d'ionisation, E,., est la valeur du champ 
électrique pour laquelle le signal d'ionisation
est le plus élevé.

Présentation du détecteur

On cherche à déterminer si l'atome de Rydberg étudié est dans l'état n = 50 ou 
n = 51.

Un des deux détecteurs utilisés dans l'expérience est présenté en figure 11. 
Les atomes de Rydberg pénètrent dans
la zone d'ionisation, entre les électrodes parallélépipédiques a et b. 
L'électron arraché à l'atome traverse alors
l'électrode b qui est percée d'un diaphragme de 6 mm de diamètre. Il entre dans 
la zone de focalisation, constituée
d'une succession d'électrodes (électrodes c à e), avant de parvenir au 
multiplicateur d'électrons (ME) situé juste
derrière l'électrode f. Le multiplicateur d'électrons permet, à partir d'un 
électron incident, d'obtenir un courant
électrique mesurable. On peut ainsi relever l'instant où l'électron parvient au 
multiplicateur d'électrons. On
négligera la durée mise par l'électron pour franchir la zone de focalisation.

La zone d'ionisation (figure 11) pourra être assimilée à un condensateur plan 
(l'effet du trou dans l'électrode b
sur le champ électrostatique sera négligé, de même que l'influence de la zone 
de focalisation). L'électrode b est
portée à un potentiel V, = 32 V fixe. L''électrode a est portée à un potentiel 
V,(t) ajustable.

Tout électron arraché à un atome se trouvant devant le diaphragme parvient au 
multiplicateur d'électrons.

Réglage du détecteur

On prend comme origine des temps l'instant où l'atome est excité dans l'état de 
Rydberg circulaire, au niveau
de la boîte B de la figure 1.

Protocole 1

« On prépare un atome de vitesse fixée et on commence par repérer à quel 
instant précis t,. l'atome ainsi
préparé est au centre du diaphragme. Pour cela on applique [à V,(t)] une rampe 
d'ionisation très raide qui
permet d'ioniser instantanément tous les niveaux dans lesquels pourrait se 
trouver l'atome. Lorsqu'on balaye le
déclenchement de cette rampe dans le temps, on obtient un électron si l'atome 
se trouve dans le diaphragme et
rien sinon. » Pour chaque instant t de déclenchement de la rampe, on réitère 
l'expérience avec le même nombre
N d'atomes. On relève pour chaque instant { le nombre d'atomes N, ionisés. Le 
résultat est présenté en figure 12.

2019-05-10 12:11:14 Page 9/11 (C)EATETSS

do Ho >

SOrm

15mm

Figure 11 Présentation générale du détecteur et zoom sur la zone d'ionisation

800 -
700 - Ang Un ns.
=
- /
E

600 - / \

J / =
500 -- = \

1 E
400 --
Z 300- /

200 - "

100 - | \ |

0 - suuss _...

-100

500 505 510 515 520 525 530
Temps (US)
Figure 12 Pointé du centre du diaphragme de
la zone d'ionisation

Protocole 2

Une fois t, connu on peut faire varier V.(t) de manière affine et plus lente 
que dans le protocole 1, en partant
de la valeur V,. La variation est choisie de manière à ce que les champs 
d'ionisation E,.:9 et Æ,;:, des états
de Rydberg circulaires n = 50 et n = 51 soient balayés pendant que l'atome se 
trouve dans la zone devant le
diaphragme. On réitère l'expérience pour un grand nombre d'atomes de même 
vitesse, la moitié étant préparés
dans l'état n = 50, l'autre moitié dans l'état n = 51. On relève pour chaque 
instant # le nombre d'atomes N,
ionisés. Le résultat de l'expérience est donné en figure 13.

La rampe est choisie de manière à ce que l'ionisation soit sélective : chaque 
courbe en cloche correspond à un
état de Rydberg (n = 50 ou 51) défini.

(é-- 0)
c?
ou 2 (figure 13). Les ajustements donnent : a, = 512,8 : b, = 515,4ps ; EUR, = 
1,0 ps: a) = 559,1 ; b, = 519,2 ps:

Co = 0,9 ps.

On ajuste les deux signaux 1 et 2 par une fonction gaussienne de la forme N, = 
a; exp (- | avec à = 1

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= ---- Ajustement du signal 1 seulement

500 - =: # soc: ---- Ajustement du signal 2 seulement
D

400 - " 500 -
400 +
300 - a

300 -
200 - m "
200 -

æ "" 100 -

[I o

0 + mt" "snsmpsn oi

511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 511 512 513 514 515 516 517 
518 519 520 521 522 523
Temps (45) Temps (15)

Nombre d'événements
D
Nombre d'événements

26" Signal 2

2 Signal 1

Nombre d'ionisations N, pour chaque instant t où Ajustement des deux signaux 
par une fonction gaus-
la rampe est appliquée sienne

Figure 13

Principe de la détection

À l'aide de l'étalonnage effectué dans le procotole 2, on se fixe un instant t, 
qui délimite la frontière entre les
2 états de Rydberg : un électron qui parviendra au multiplicateur d'électrons 
avant t, sera attribué à l'un des
deux états de Rydberg, un électron qui parviendra au multiplicateur d'électrons 
après t, sera attribué à l'autre
état de Rydberg.

ee oeFrFINeee

2019-05-10 12:11:14 Page 11/11 (GO) sY-Nc-sA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Charlie Leprince (ENS Paris-Saclay) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à la détection non destructive de photons. Il est composé 
de
trois parties indépendantes.
· Dans la première partie, on regarde les propriétés des atomes de Rydberg 
circulaires. Après avoir discuté de l'énergie potentielle d'interaction entre 
l'électron
et le noyau, une première étude classique est réalisée. On détermine ainsi la
valeur classique du rayon de l'orbite circulaire de l'électron. Ensuite, on 
détermine ces mêmes caractéristiques avec une étude purement quantique. Enfin, 
on
finit par regarder le système de détection du photon. Les dernières questions
sont essentiellement liées aux documents de l'énoncé. Toute cette partie repose
sur des notions de mécanique classique de première année et de mécanique
quantique de seconde année.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la cavité micro-ondes qui sert à 
piéger
le photon. On calcule l'intensité maximale à l'intérieur de la cavité pour en
déduire la durée de vie moyenne d'un photon dans cette cavité. On finit cette
partie par l'étude d'un faisceau gaussien. Cette partie requiert essentiellement
des notions de propagation des ondes.
· Le couplage entre un atome de Rydberg et la cavité est étudié dans la dernière
partie, plus courte que les deux autres. On fait ici une analogie avec 
l'électrocinétique. La majorité des questions de cette partie peuvent être 
traitées dès la
première année après le cours d'induction.
De longueur typique pour un sujet Centrale, l'épreuve fait appel à de nombreuses
connaissances relatives aux cours sur la physique quantique et la propagation 
des
ondes électromagnétiques. Intéressant et bien construit, ce sujet mélange des 
questions proches du cours, d'autres plus calculatoires, d'autres enfin qui 
demandent
d'interpréter les expériences étudiées.

Indications
Partie I
3 Pour r  +, les électrons des couches inférieures font écran aux protons.
4 Déterminer la dimension de q à partir de l'expression de l'énergie 
potentielle.
9 Introduire l'expression de  dans l'équation de Schrödinger puis diviser par
(M) (t).
15 La probabilité de trouver l'électron dans le volume compris entre V et V + dV
s'écrit dP = |(M, t)|2 dV.
25 Au bout d'un certain temps, le champ électrique atteint la valeur du champ
d'ionisation de l'état n = 51 puis celui de l'état n = 50 un peu plus tard.
Partie II
28 En z = d, s1 (d, t) = rM s0 (d, t). De plus, on peut écrire

d - x
s1 (z, t) = s1 d, t -
c
30 Le temps de vie moyen du photon dans la cavité s'écrit
=

+
(1 - R) d X
n Rn-1
c
n=1

37 Calculer le rapport de surface S/S où S est la surface des miroirs et S 
celle liée
à l'intensité lumineuse qui arrive sur le miroir en face en prenant en compte le
phénomène de diffraction. Puis calculer le nombre de rebonds nécessaires pour
diminuer l'intensité d'un facteur 1000.
39 La distance d entre les deux miroirs correspond à p demi-longueurs d'onde.
Partie III
43 Faire un développement limité de  at/cav à l'ordre le plus bas non nul en /0 
.
44 Écrire les équations sous forme matricielle. Il existe des solutions non 
nulles si et
seulement si le déterminant est nul.

Vie et mort d'un photon
I. Étude des atomes de
Rydberg circulaires
1 La configuration électronique du rubidium est
Rb (Z = 37) :

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1

Les électrons de valence sont les électrons de la couche externe et ceux des 
souscouches non remplies. Le rubidium n'a qu'un seul électron de valence : 
celui de
la couche 5s.
D'après sa configuration électronique, le rubidium appartient à la première 
colonne et la cinquième période : il s'agit d'un alcalin.
2 L'énergie potentielle électrostatique correspond à l'énergie d'interaction 
entre le
--

-
noyau de charge positive et un électron de charge négative. Avec F = -grad U, la
force associée est donc attractive :
L'énergie potentielle est bien négative.
3 L'atome étant électriquement neutre, il y a autant de protons que d'électrons.
Lorsque l'électron étudié est proche du noyau (r  0), il interagit uniquement 
avec
les Z protons, d'où Z(0) = Z. Par contre, quand l'électron est suffisamment 
éloigné du
noyau (r  +), les Z- 1 électrons des couches inférieures font écran aux Z 
protons.
La charge vue par l'électron est constituée de Z - (Z - 1) protons, 
c'est-à-dire une
particule chargée de charge q = e. Par conséquent, Z(+) = 1.
4 La constante ~ est en J.s : sa dimension est M.L2 .T-1 . D'après l'expression 
de
l'énergie potentielle donnée dans l'énoncé,
[q] = [U] [r] = M.L3 .T-2
L'équation aux dimensions s'écrit
L = (M.L2 .T-1 ) . (M.L3 .T-2 ) . M
On doit résoudre le système suivant :

0 =  +  + 
 0 = - + 
1 = 2 + 3
1 = -

0 = - - 2
 = -2

Par conséquent,

 = 2,

Numériquement :

a0 =

 = -1 et  = -1

~2
= 5,26 × 10-11 m
q me

On retrouve l'ordre de grandeur typique de la taille d'un atome.
5 Plus le nombre quantique n est élevé, plus l'électron excité se situe sur une 
orbite
éloignée du noyau. Pour n  1, r  a0 où r est la distance entre le noyau et 
l'électron.
On peut alors écrire Z(r)  1. L'énergie potentielle devient
U(r) = -

q
r

6 La force qui dérive de cette énergie potentielle est
-

dU -
q 

F (r) = -
er = - 2 -
er
dr
r
Cette force est centrale et conservative : le moment en O de cette force est 
nulle.
Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron dans le référentiel 
terrestre
supposé galiléen,

-

-
dL
= 0
dt
Le moment cinétique est constant.
-

L garde alors toujours la même direction. De plus, le moment cinétique est 
orthogonal au vecteur position et au vecteur vitesse. Le mouvement se fait 
toujours
dans un plan orthogonal au moment cinétique.

-

Comme L = L -
e , le mouvement se fait alors dans le plan orthogonal, c'est-à-dire
z

dans le plan Oxy. Utilisons les coordonnées polaires (r, ) du plan Oxy. Le 
vecteur
vitesse s'écrit alors

-

v = r -
e + r  -
e
r

-

L = me -
r -
v = me r2  -
ez

d'où
c'est-à-dire

L = me r2 

7 La force qui dérive de U(r) est une force conservative : L'énergie mécanique
se conserve. Celle-ci s'écrit
1
q
E m = me (r2 + r2 2 ) -
2
r
D'après la question précédente, le moment cinétique est constant et  = L/(me r2 
).
L'énergie mécanique devient
Em =
Par conséquent,

1
L2
q
me r2 +
-
2
2me r2
r

E p,eff (r) =

L2
q
-
2me r2
r

8 Traçons l'énergie potentielle effective en fonction de r :
E p,eff

1
r2
-

0

1
r
r

Em