Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Vie et mort d'un photon
Principaux outils utilisés mécanique, physique quantique, ondes, électronique
Mots clefs photon, cavité, atomes de Rydberg, faisceau gaussien, circuits couplés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Charlie Leprince (ENS Paris-Saclay) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à la détection non destructive de photons. Il est composé de trois parties indépendantes. · Dans la première partie, on regarde les propriétés des atomes de Rydberg circulaires. Après avoir discuté de l'énergie potentielle d'interaction entre l'électron et le noyau, une première étude classique est réalisée. On détermine ainsi la valeur classique du rayon de l'orbite circulaire de l'électron. Ensuite, on détermine ces mêmes caractéristiques avec une étude purement quantique. Enfin, on finit par regarder le système de détection du photon. Les dernières questions sont essentiellement liées aux documents de l'énoncé. Toute cette partie repose sur des notions de mécanique classique de première année et de mécanique quantique de seconde année. · Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la cavité micro-ondes qui sert à piéger le photon. On calcule l'intensité maximale à l'intérieur de la cavité pour en déduire la durée de vie moyenne d'un photon dans cette cavité. On finit cette partie par l'étude d'un faisceau gaussien. Cette partie requiert essentiellement des notions de propagation des ondes. · Le couplage entre un atome de Rydberg et la cavité est étudié dans la dernière partie, plus courte que les deux autres. On fait ici une analogie avec l'électrocinétique. La majorité des questions de cette partie peuvent être traitées dès la première année après le cours d'induction. De longueur typique pour un sujet Centrale, l'épreuve fait appel à de nombreuses connaissances relatives aux cours sur la physique quantique et la propagation des ondes électromagnétiques. Intéressant et bien construit, ce sujet mélange des questions proches du cours, d'autres plus calculatoires, d'autres enfin qui demandent d'interpréter les expériences étudiées. Indications Partie I 3 Pour r +, les électrons des couches inférieures font écran aux protons. 4 Déterminer la dimension de q à partir de l'expression de l'énergie potentielle. 9 Introduire l'expression de dans l'équation de Schrödinger puis diviser par (M) (t). 15 La probabilité de trouver l'électron dans le volume compris entre V et V + dV s'écrit dP = |(M, t)|2 dV. 25 Au bout d'un certain temps, le champ électrique atteint la valeur du champ d'ionisation de l'état n = 51 puis celui de l'état n = 50 un peu plus tard. Partie II 28 En z = d, s1 (d, t) = rM s0 (d, t). De plus, on peut écrire d - x s1 (z, t) = s1 d, t - c 30 Le temps de vie moyen du photon dans la cavité s'écrit = + (1 - R) d X n Rn-1 c n=1 37 Calculer le rapport de surface S/S où S est la surface des miroirs et S celle liée à l'intensité lumineuse qui arrive sur le miroir en face en prenant en compte le phénomène de diffraction. Puis calculer le nombre de rebonds nécessaires pour diminuer l'intensité d'un facteur 1000. 39 La distance d entre les deux miroirs correspond à p demi-longueurs d'onde. Partie III 43 Faire un développement limité de at/cav à l'ordre le plus bas non nul en /0 . 44 Écrire les équations sous forme matricielle. Il existe des solutions non nulles si et seulement si le déterminant est nul. Vie et mort d'un photon I. Étude des atomes de Rydberg circulaires 1 La configuration électronique du rubidium est Rb (Z = 37) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1 Les électrons de valence sont les électrons de la couche externe et ceux des souscouches non remplies. Le rubidium n'a qu'un seul électron de valence : celui de la couche 5s. D'après sa configuration électronique, le rubidium appartient à la première colonne et la cinquième période : il s'agit d'un alcalin. 2 L'énergie potentielle électrostatique correspond à l'énergie d'interaction entre le -- - noyau de charge positive et un électron de charge négative. Avec F = -grad U, la force associée est donc attractive : L'énergie potentielle est bien négative. 3 L'atome étant électriquement neutre, il y a autant de protons que d'électrons. Lorsque l'électron étudié est proche du noyau (r 0), il interagit uniquement avec les Z protons, d'où Z(0) = Z. Par contre, quand l'électron est suffisamment éloigné du noyau (r +), les Z- 1 électrons des couches inférieures font écran aux Z protons. La charge vue par l'électron est constituée de Z - (Z - 1) protons, c'est-à-dire une particule chargée de charge q = e. Par conséquent, Z(+) = 1. 4 La constante ~ est en J.s : sa dimension est M.L2 .T-1 . D'après l'expression de l'énergie potentielle donnée dans l'énoncé, [q] = [U] [r] = M.L3 .T-2 L'équation aux dimensions s'écrit L = (M.L2 .T-1 ) . (M.L3 .T-2 ) . M On doit résoudre le système suivant : 0 = + + 0 = - + 1 = 2 + 3 1 = - 0 = - - 2 = -2 Par conséquent, = 2, Numériquement : a0 = = -1 et = -1 ~2 = 5,26 × 10-11 m q me On retrouve l'ordre de grandeur typique de la taille d'un atome. 5 Plus le nombre quantique n est élevé, plus l'électron excité se situe sur une orbite éloignée du noyau. Pour n 1, r a0 où r est la distance entre le noyau et l'électron. On peut alors écrire Z(r) 1. L'énergie potentielle devient U(r) = - q r 6 La force qui dérive de cette énergie potentielle est - dU - q F (r) = - er = - 2 - er dr r Cette force est centrale et conservative : le moment en O de cette force est nulle. Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron dans le référentiel terrestre supposé galiléen, - - dL = 0 dt Le moment cinétique est constant. - L garde alors toujours la même direction. De plus, le moment cinétique est orthogonal au vecteur position et au vecteur vitesse. Le mouvement se fait toujours dans un plan orthogonal au moment cinétique. - Comme L = L - e , le mouvement se fait alors dans le plan orthogonal, c'est-à-dire z dans le plan Oxy. Utilisons les coordonnées polaires (r, ) du plan Oxy. Le vecteur vitesse s'écrit alors - v = r - e + r - e r - L = me - r - v = me r2 - ez d'où c'est-à-dire L = me r2 7 La force qui dérive de U(r) est une force conservative : L'énergie mécanique se conserve. Celle-ci s'écrit 1 q E m = me (r2 + r2 2 ) - 2 r D'après la question précédente, le moment cinétique est constant et = L/(me r2 ). L'énergie mécanique devient Em = Par conséquent, 1 L2 q me r2 + - 2 2me r2 r E p,eff (r) = L2 q - 2me r2 r 8 Traçons l'énergie potentielle effective en fonction de r : E p,eff 1 r2 - 0 1 r r Em