Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019

Thème de l'épreuve Vie et mort d'un photon
Principaux outils utilisés mécanique, physique quantique, ondes, électronique
Mots clefs photon, cavité, atomes de Rydberg, faisceau gaussien, circuits couplés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
           

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Charlie Leprince (ENS Paris-Saclay) et Louis Salkin (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à la détection non destructive de photons. Il est composé 
de
trois parties indépendantes.
· Dans la première partie, on regarde les propriétés des atomes de Rydberg 
circulaires. Après avoir discuté de l'énergie potentielle d'interaction entre 
l'électron
et le noyau, une première étude classique est réalisée. On détermine ainsi la
valeur classique du rayon de l'orbite circulaire de l'électron. Ensuite, on 
détermine ces mêmes caractéristiques avec une étude purement quantique. Enfin, 
on
finit par regarder le système de détection du photon. Les dernières questions
sont essentiellement liées aux documents de l'énoncé. Toute cette partie repose
sur des notions de mécanique classique de première année et de mécanique
quantique de seconde année.
· Dans la deuxième partie, on s'intéresse à la cavité micro-ondes qui sert à 
piéger
le photon. On calcule l'intensité maximale à l'intérieur de la cavité pour en
déduire la durée de vie moyenne d'un photon dans cette cavité. On finit cette
partie par l'étude d'un faisceau gaussien. Cette partie requiert essentiellement
des notions de propagation des ondes.
· Le couplage entre un atome de Rydberg et la cavité est étudié dans la dernière
partie, plus courte que les deux autres. On fait ici une analogie avec 
l'électrocinétique. La majorité des questions de cette partie peuvent être 
traitées dès la
première année après le cours d'induction.
De longueur typique pour un sujet Centrale, l'épreuve fait appel à de nombreuses
connaissances relatives aux cours sur la physique quantique et la propagation 
des
ondes électromagnétiques. Intéressant et bien construit, ce sujet mélange des 
questions proches du cours, d'autres plus calculatoires, d'autres enfin qui 
demandent
d'interpréter les expériences étudiées.

Indications
Partie I
3 Pour r  +, les électrons des couches inférieures font écran aux protons.
4 Déterminer la dimension de q à partir de l'expression de l'énergie 
potentielle.
9 Introduire l'expression de  dans l'équation de Schrödinger puis diviser par
(M) (t).
15 La probabilité de trouver l'électron dans le volume compris entre V et V + dV
s'écrit dP = |(M, t)|2 dV.
25 Au bout d'un certain temps, le champ électrique atteint la valeur du champ
d'ionisation de l'état n = 51 puis celui de l'état n = 50 un peu plus tard.
Partie II
28 En z = d, s1 (d, t) = rM s0 (d, t). De plus, on peut écrire

d - x
s1 (z, t) = s1 d, t -
c
30 Le temps de vie moyen du photon dans la cavité s'écrit
=

+
(1 - R) d X
n Rn-1
c
n=1

37 Calculer le rapport de surface S/S où S est la surface des miroirs et S 
celle liée
à l'intensité lumineuse qui arrive sur le miroir en face en prenant en compte le
phénomène de diffraction. Puis calculer le nombre de rebonds nécessaires pour
diminuer l'intensité d'un facteur 1000.
39 La distance d entre les deux miroirs correspond à p demi-longueurs d'onde.
Partie III
43 Faire un développement limité de  at/cav à l'ordre le plus bas non nul en /0 
.
44 Écrire les équations sous forme matricielle. Il existe des solutions non 
nulles si et
seulement si le déterminant est nul.

Vie et mort d'un photon
I. Étude des atomes de
Rydberg circulaires
1 La configuration électronique du rubidium est
Rb (Z = 37) :

1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s1

Les électrons de valence sont les électrons de la couche externe et ceux des 
souscouches non remplies. Le rubidium n'a qu'un seul électron de valence : 
celui de
la couche 5s.
D'après sa configuration électronique, le rubidium appartient à la première 
colonne et la cinquième période : il s'agit d'un alcalin.
2 L'énergie potentielle électrostatique correspond à l'énergie d'interaction 
entre le
--

-
noyau de charge positive et un électron de charge négative. Avec F = -grad U, la
force associée est donc attractive :
L'énergie potentielle est bien négative.
3 L'atome étant électriquement neutre, il y a autant de protons que d'électrons.
Lorsque l'électron étudié est proche du noyau (r  0), il interagit uniquement 
avec
les Z protons, d'où Z(0) = Z. Par contre, quand l'électron est suffisamment 
éloigné du
noyau (r  +), les Z- 1 électrons des couches inférieures font écran aux Z 
protons.
La charge vue par l'électron est constituée de Z - (Z - 1) protons, 
c'est-à-dire une
particule chargée de charge q = e. Par conséquent, Z(+) = 1.
4 La constante ~ est en J.s : sa dimension est M.L2 .T-1 . D'après l'expression 
de
l'énergie potentielle donnée dans l'énoncé,
[q] = [U] [r] = M.L3 .T-2
L'équation aux dimensions s'écrit
L = (M.L2 .T-1 ) . (M.L3 .T-2 ) . M
On doit résoudre le système suivant :

0 =  +  + 
 0 = - + 
1 = 2 + 3
1 = -

0 = - - 2
 = -2

Par conséquent,

 = 2,

Numériquement :

a0 =

 = -1 et  = -1

~2
= 5,26 × 10-11 m
q me

On retrouve l'ordre de grandeur typique de la taille d'un atome.
5 Plus le nombre quantique n est élevé, plus l'électron excité se situe sur une 
orbite
éloignée du noyau. Pour n  1, r  a0 où r est la distance entre le noyau et 
l'électron.
On peut alors écrire Z(r)  1. L'énergie potentielle devient
U(r) = -

q
r

6 La force qui dérive de cette énergie potentielle est
-

dU -
q 

F (r) = -
er = - 2 -
er
dr
r
Cette force est centrale et conservative : le moment en O de cette force est 
nulle.
Appliquons le théorème du moment cinétique à l'électron dans le référentiel 
terrestre
supposé galiléen,

-

-
dL
= 0
dt
Le moment cinétique est constant.
-

L garde alors toujours la même direction. De plus, le moment cinétique est 
orthogonal au vecteur position et au vecteur vitesse. Le mouvement se fait 
toujours
dans un plan orthogonal au moment cinétique.

-

Comme L = L -
e , le mouvement se fait alors dans le plan orthogonal, c'est-à-dire
z

dans le plan Oxy. Utilisons les coordonnées polaires (r, ) du plan Oxy. Le 
vecteur
vitesse s'écrit alors

-

v = r -
e + r  -
e
r

-

L = me -
r -
v = me r2  -
ez

d'où
c'est-à-dire

L = me r2 

7 La force qui dérive de U(r) est une force conservative : L'énergie mécanique
se conserve. Celle-ci s'écrit
1
q
E m = me (r2 + r2 2 ) -
2
r
D'après la question précédente, le moment cinétique est constant et  = L/(me r2 
).
L'énergie mécanique devient
Em =
Par conséquent,

1
L2
q
me r2 +
-
2
2me r2
r

E p,eff (r) =

L2
q
-
2me r2
r

8 Traçons l'énergie potentielle effective en fonction de r :
E p,eff

1
r2
-

0

1
r
r

Em