Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017

Thme de l'preuve Mouvements dans le champ de pesanteur terrestre
Principaux outils utiliss mcanique, physique quantique
Mots clefs chute libre, thorme de Gauss gravitationnel, quation de Schrdinger, neutron, fonction d'onde, puits quantique, effet tunnel

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres


 Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017 -- Corrig Ce corrig est propos par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a t relu par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Stphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet s'intresse  la chute des corps dans le champ de pesanteur terrestre, d'un point de vue classique puis quantique. Il est compos de deux parties indpendantes trs ingales.  Dans la premire partie, trs courte, on utilise le thorme de Gauss pour dterminer l'expression du champ de pesanteur dans le cas d'une distribution de masse sphrique. Ensuite, on tudie la chute de Felix Baumgartner (2012). Compte tenu de l'altitude de dpart (presque 39 km), il est lgitime d'aborder une premire phase de mouvement sans frottement. La prise en compte des frottements de l'air, qui peuvent devenir prpondrants, permet d'expliquer les diffrentes mesures effectues lors de ce saut hors norme. Les dernires questions sont relativement ouvertes, conformment  l'esprit des nouveaux programmes.  Dans la seconde partie, on s'intresse  la chute quantique d'un neutron. Dans un premier temps, on introduit les notions de quantum de longueur et d'nergie. Ensuite, on dtermine les tats stationnaires du neutron dans le champ de pesanteur par rsolution de l'quation de Schrdinger. On termine cette partie en tudiant le dispositif qBounce de mesure des niveaux d'nergie du neutron. Mme si elle comporte quelques questions relativement ouvertes, cette partie repose essentiellement sur le cours de mcanique quantique de seconde anne, notamment sur la rsolution de l'quation de Schrdinger. Intressant et bien construit, ce sujet fait appel  de nombreuses connaissances relatives  la mcanique de premire anne et  la physique quantique. Au vu des preuves de l'anne prcdente, il faut s'attendre  d'autres sujets de mcanique quantique dans les annes  venir. Indications Partie I I.B.2 Dcomposer le mouvement en deux tapes : tout d'abord l'objet n'est soumis qu' son poids et sa vitesse augmente jusqu' la vitesse du son en z = z max . Ensuite, le systme subit aussi la force de frottement qui va le freiner. Partie II II.A.3 Dterminer l'expression de la dure dt entre les deux positions z et z + dz. Par ailleurs, normaliser la loi de probabilit permet de trouver la constante de proportionnalit entre dPcl et dt. II.A.7 L'nergie du neutron doit tre du mme ordre de grandeur que le quantum d'nergie potentielle. II.B Reprsenter l'orbite de phase avec une nergie potentielle m g z. L'aire sous la courbe est dlimite par z = 0 et z = H. II.C.4 Montrer que les niveaux d'nergie n concident avec les zros de la fonction d'Airy. II.C.5 La densit de probabilit de prsence s'crit |(z)|2 . II.D.2.a crire la conservation de l'nergie mcanique pour trouver la relation entre la vitesse vz et Hn . II.D.2.e La probabilit d'absorption entre chaque rebond vaut T1 . II.D.2.f Sur une distance x, la particule a effectu x/L1 rebonds. II.D.3.b Ne pas oublier que la fonction d'onde i (z) vrifie l'quation de Schrdinger stationnaire d'nergie Ei . En outre, multiplier chaque membre de l'quation par 1 , puis intgrer entre z = 0 et z = + pour dterminer la premire quation diffrentielle. II.D.3.d |ci |2 est li  la probabilit de trouver la particule dans l'tat d'nergie Ei . II.D.3.f Relier la frquence d'absorption  la frquence du photon mis lorsque la particule passe de l'tat d'nergie E3  celui d'nergie E1 . II.D.3.h Pour un mouvement sinusodal d'amplitude Xmax et de pulsation , l'amplitude de l'acclration s'crit a0 = 2 Xmax II.D.3.i Utiliser la relation entre le temps de passage t et la largeur du premier pic d'absorption f : f t 1 I. Un saut supersonique I.A.1 Le thorme de Gauss gravitationnel est le suivant : Le flux sortant du champ de gravitation  travers une surface ferme S est proportionnel  la masse intrieure Mint  cette surface, d'o ZZ - - g  d S = -4 G Mint S I.A.2 Tout plan contenant le vecteur - er et passant par M est un plan de symtrie - de la distribution de masse, donc g est selon - er . Par ailleurs, la distribution de la masse est invariante par rotation selon et , d'o - g = g(r) - e r Choisissons comme surface de Gauss une sphre de rayon r. Pour r > RT , Mint = MT . Par consquent, le thorme de Gauss devient 4 r2 g(r) = -4 G MT Ainsi G MT - g (r > RT ) = - 2 - er r Pour r 6 RT , Mint = Par le thorme de Gauss, 4 3 MT r3 r = 3 RT 3 G MT r - - g (r 6 RT ) = - er RT 3 On vrifie que les deux expressions concident en r = RT . Cette continuit du champ est due  la modlisation volumique de la distribution de masse. I.A.3 Utilisons l'expression du champ gravitationnel en r = RT : g= Par consquent, MT = G MT RT 2 g RT 2 = 5,97  1024 kg G On rappelle les limites de ce modle : la Terre n'est pas parfaitement immobile du fait de sa rotation propre, et n'est pas parfaitement sphrique mais aplatie aux ples. Ces modifications entranent de lgres corrections dans l'expression du champ de pesanteur. I.B.1 En l'absence de frottement, la conservation de l'nergie mcanique du sauteur entre les instants t = 0 (o z = hmin et v = 0) et t = tf (o z = 0 et v = cson ) s'crit mghmin = Ainsi hmin = 1 m cson 2 2 cson 2 = 5,89 km 2g I.B.2 Supposons l'acclration de la pesanteur - g uniforme. De plus, on considre l'atmosphre isotherme, de temprature T = 300 K. En prsence de la force de - frottement FD , le principe fondamental de la dynamique appliqu au sauteur dans le rfrentiel terrestre suppos galilen s'crit - d- v m = -mg - ez + FD dt La vitesse est maximale lorsque mg = KA (z max ) v 2 Posons H = RT/Ma g tel que (z) = 0 e -z/H . Cherchons l'altitude z max telle que v = cson . Il vient mg = 0 e -zmax /H KA cson 2 L'nonc fournit la vitesse terminale v t = 79,4 m.s-1 . Cette vitesse reste constante a priori jusqu' l'ouverture du parachute. Prenons pour simplifier z = 0. Cette approximation est vrifie  la fin de la question. mg = KA 0 v t 2 L'quation en z = z max peut alors s'crire e zmax /H = cson vt 2 Pour T = 300 K, on trouve H = 8,79 km, d'o cson z max = 2H ln = 25,6 km vt La valeur de la constante des gaz parfaits R donne dans l'nonc est errone. En effet, R = 8,31 J.K-1 .mol-1 . Mais cette coquille affecte peu les rsultats. Il reste  dterminer l'altitude initiale h qui permet d'atteindre z = z max avec une vitesse v = cson . Dcomposons la chute en deux temps : la chute libre jusqu' z = z max puis le systme, toujours soumis  son poids, est maintenant soumis  la force de frottement. Pendant la premire phase, le systme chute de z = h  z = z max et sa vitesse varie de 0  cson . D'aprs la question prcdente, 1 mgh = mgz max + m cson 2 2 p d'o cson = 2g (h - z max ) Ainsi h = z max + cson 2 = 31,5 km 2g Faisons quelques remarques :  la valeur obtenue est du mme ordre de grandeur que la hauteur relle ;  l'hypothse de l'atmosphre isotherme peut tre remise en cause car  ces altitudes, la temprature est loin d'tre gale  300 K ;  la hauteur calcule est sous-estime. En effet, on a choisi une vitesse terminale en z = 0. En ralit, cette vitesse est obtenue  une altitude plus leve, au moment o Felix Baumgartner ouvre son parachute. D'aprs le document, la hauteur d'ouverture du parachute est de l'ordre de 2,5 km.