Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017

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 Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par Louis Salkin (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE). Ce sujet s'intéresse à la chute des corps dans le champ de pesanteur terrestre, d'un point de vue classique puis quantique. Il est composé de deux parties indépendantes très inégales. · Dans la première partie, très courte, on utilise le théorème de Gauss pour déterminer l'expression du champ de pesanteur dans le cas d'une distribution de masse sphérique. Ensuite, on étudie la chute de Felix Baumgartner (2012). Compte tenu de l'altitude de départ (presque 39 km), il est légitime d'aborder une première phase de mouvement sans frottement. La prise en compte des frottements de l'air, qui peuvent devenir prépondérants, permet d'expliquer les différentes mesures effectuées lors de ce saut hors norme. Les dernières questions sont relativement ouvertes, conformément à l'esprit des nouveaux programmes. · Dans la seconde partie, on s'intéresse à la chute quantique d'un neutron. Dans un premier temps, on introduit les notions de quantum de longueur et d'énergie. Ensuite, on détermine les états stationnaires du neutron dans le champ de pesanteur par résolution de l'équation de Schrödinger. On termine cette partie en étudiant le dispositif qBounce de mesure des niveaux d'énergie du neutron. Même si elle comporte quelques questions relativement ouvertes, cette partie repose essentiellement sur le cours de mécanique quantique de seconde année, notamment sur la résolution de l'équation de Schrödinger. Intéressant et bien construit, ce sujet fait appel à de nombreuses connaissances relatives à la mécanique de première année et à la physique quantique. Au vu des épreuves de l'année précédente, il faut s'attendre à d'autres sujets de mécanique quantique dans les années à venir. Indications Partie I I.B.2 Décomposer le mouvement en deux étapes : tout d'abord l'objet n'est soumis qu'à son poids et sa vitesse augmente jusqu'à la vitesse du son en z = z max . Ensuite, le système subit aussi la force de frottement qui va le freiner. Partie II II.A.3 Déterminer l'expression de la durée dt entre les deux positions z et z + dz. Par ailleurs, normaliser la loi de probabilité permet de trouver la constante de proportionnalité entre dPcl et dt. II.A.7 L'énergie du neutron doit être du même ordre de grandeur que le quantum d'énergie potentielle. II.B Représenter l'orbite de phase avec une énergie potentielle m g z. L'aire sous la courbe est délimitée par z = 0 et z = H. II.C.4 Montrer que les niveaux d'énergie n coïncident avec les zéros de la fonction d'Airy. II.C.5 La densité de probabilité de présence s'écrit |(z)|2 . II.D.2.a Écrire la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la relation entre la vitesse vz et Hn . II.D.2.e La probabilité d'absorption entre chaque rebond vaut T1 . II.D.2.f Sur une distance x, la particule a effectué x/L1 rebonds. II.D.3.b Ne pas oublier que la fonction d'onde i (z) vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire d'énergie Ei . En outre, multiplier chaque membre de l'équation par 1 , puis intégrer entre z = 0 et z = + pour déterminer la première équation différentielle. II.D.3.d |ci |2 est lié à la probabilité de trouver la particule dans l'état d'énergie Ei . II.D.3.f Relier la fréquence d'absorption à la fréquence du photon émis lorsque la particule passe de l'état d'énergie E3 à celui d'énergie E1 . II.D.3.h Pour un mouvement sinusoïdal d'amplitude Xmax et de pulsation , l'amplitude de l'accélération s'écrit a0 = 2 Xmax II.D.3.i Utiliser la relation entre le temps de passage t et la largeur du premier pic d'absorption f : f t 1 I. Un saut supersonique I.A.1 Le théorème de Gauss gravitationnel est le suivant : Le flux sortant du champ de gravitation à travers une surface fermée S est proportionnel à la masse intérieure Mint à cette surface, d'où ZZ - - g · d S = -4 G Mint S I.A.2 Tout plan contenant le vecteur - er et passant par M est un plan de symétrie - de la distribution de masse, donc g est selon - er . Par ailleurs, la distribution de la masse est invariante par rotation selon et , d'où - g = g(r) - e r Choisissons comme surface de Gauss une sphère de rayon r. Pour r > RT , Mint = MT . Par conséquent, le théorème de Gauss devient 4 r2 g(r) = -4 G MT Ainsi G MT - g (r > RT ) = - 2 - er r Pour r 6 RT , Mint = Par le théorème de Gauss, 4 3 MT r3 r = 3 RT 3 G MT r - - g (r 6 RT ) = - er RT 3 On vérifie que les deux expressions coïncident en r = RT . Cette continuité du champ est due à la modélisation volumique de la distribution de masse. I.A.3 Utilisons l'expression du champ gravitationnel en r = RT : g= Par conséquent, MT = G MT RT 2 g RT 2 = 5,97 · 1024 kg G On rappelle les limites de ce modèle : la Terre n'est pas parfaitement immobile du fait de sa rotation propre, et n'est pas parfaitement sphérique mais aplatie aux pôles. Ces modifications entraînent de légères corrections dans l'expression du champ de pesanteur. I.B.1 En l'absence de frottement, la conservation de l'énergie mécanique du sauteur entre les instants t = 0 (où z = hmin et v = 0) et t = tf (où z = 0 et v = cson ) s'écrit mghmin = Ainsi hmin = 1 m cson 2 2 cson 2 = 5,89 km 2g I.B.2 Supposons l'accélération de la pesanteur - g uniforme. De plus, on considère l'atmosphère isotherme, de température T = 300 K. En présence de la force de - frottement FD , le principe fondamental de la dynamique appliqué au sauteur dans le référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit - d- v m = -mg - ez + FD dt La vitesse est maximale lorsque mg = KA (z max ) v 2 Posons H = RT/Ma g tel que (z) = 0 e -z/H . Cherchons l'altitude z max telle que v = cson . Il vient mg = 0 e -zmax /H KA cson 2 L'énoncé fournit la vitesse terminale v t = 79,4 m.s-1 . Cette vitesse reste constante a priori jusqu'à l'ouverture du parachute. Prenons pour simplifier z = 0. Cette approximation est vérifiée à la fin de la question. mg = KA 0 v t 2 L'équation en z = z max peut alors s'écrire e zmax /H = cson vt 2 Pour T = 300 K, on trouve H = 8,79 km, d'où cson z max = 2H ln = 25,6 km vt La valeur de la constante des gaz parfaits R donnée dans l'énoncé est erronée. En effet, R = 8,31 J.K-1 .mol-1 . Mais cette coquille affecte peu les résultats. Il reste à déterminer l'altitude initiale h qui permet d'atteindre z = z max avec une vitesse v = cson . Décomposons la chute en deux temps : la chute libre jusqu'à z = z max puis le système, toujours soumis à son poids, est maintenant soumis à la force de frottement. Pendant la première phase, le système chute de z = h à z = z max et sa vitesse varie de 0 à cson . D'après la question précédente, 1 mgh = mgz max + m cson 2 2 p d'où cson = 2g (h - z max ) Ainsi h = z max + cson 2 = 31,5 km 2g Faisons quelques remarques : · la valeur obtenue est du même ordre de grandeur que la hauteur réelle ; · l'hypothèse de l'atmosphère isotherme peut être remise en cause car à ces altitudes, la température est loin d'être égale à 300 K ; · la hauteur calculée est sous-estimée. En effet, on a choisi une vitesse terminale en z = 0. En réalité, cette vitesse est obtenue à une altitude plus élevée, au moment où Felix Baumgartner ouvre son parachute. D'après le document, la hauteur d'ouverture du parachute est de l'ordre de 2,5 km.