Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017

Thme de l'preuve Mouvements dans le champ de pesanteur terrestre
Principaux outils utiliss mcanique, physique quantique
Mots clefs chute libre, thorme de Gauss gravitationnel, quation de Schrdinger, neutron, fonction d'onde, puits quantique, effet tunnel

Corrig

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kyRd

S?vbB[m2@+?BKB2 R
JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bb2b

JQmp2K2Mib /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2
*2 bmD2i T`QTQb2 Him/2 /2 KQmp2K2Mib /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2-  
/Bz`2Mi2b +?2HH2b /M2`;B2
2i /2 HQM;m2m`X a2HQM H2b +b im/Bb- +2b KQmp2K2Mib b2`QMi /+`Bib T` H 
K+MB[m2 +HbbB[m2 Qm [mMiB[m2X
PM T`QTQb2 /Mb mM T`2KB2` i2KTb /2 KQ/HBb2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 2i 
/im/B2` H /vMKB[m2 /m
bmi bmT2`bQMB[m2 /2 62HBt "mK;`iM2`X G b2+QM/2 T`iB2 /2 +2 bmD2i- BM/T2M/Mi2 
/2 H T`2KB`2- +QM+2`M2
Him/2 /m KQmp2K2Mi /2 M2mi`QMb /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2X lM2 
TTHB+iBQM  H K2bm`2 /2
HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m` 2bi T`QTQb2X
lM 2Mb2K#H2 /2 pH2m`b MmK`B[m2b 2i mM 7Q`KmHB`2 bQMi /BbTQMB#H2b 2M }M 
/MQM+X AH 2bi +QMb2BHH /2 H2b HB`2
pMi /2 +QKK2M+2`  i`Bi2` H2 bmD2iX
*2`iBM2b [m2biBQMb- T2m Qm Tb ;mB/2b- /2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i /m 
+M/B/iX G2m` MQM+ 2bi `2T`
T` mM2 #``2 2M K`;2X AH 2bi HQ`b /2KM/ /2tTHB+Bi2` +HB`2K2Mi H /K`+?2- H2b 
+?QBt 2i /2 H2b BHHmbi`2`H2 +b +?Mi- T` mM b+?KX G2 #`K2 pHQ`Bb2 H T`Bb2 
/BMBiBiBp2 2i iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb M+2bbB`2  H
`bQHmiBQM /2 +2b [m2biBQMbX

A lM bmi bmT2`bQMB[m2
AX 

*?KT /2 T2bMi2m` +` T` H h2``2 BKKQ#BH2

PM KQ/HBb2 H h2``2 T` mM2 #QmH2 BKKQ#BH2 /2 +2Mi`2 - /2 `vQM
 2i /2 Kbb2 iQiH2  mMB7Q`KK2Mi `T`iB2 2M pQHmK2X lM TQBMi
 2bi `2T` ;`+2  b2b +QQ`/QMM2b bT?`B[m2b    /Mb H #b2
    U};m`2 RVX
PM MQi2    H2 +?KT /2 T2bMi2m` [m2 H h2``2 +`2 2M mM TQBMi X
a MQ`K2- MQi2   - 2bi TT2H2 BMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`X
AXXRV
MQM+2` H2 i?Q`K2 /2 :mbb TTHB[m  H ;`pBiiBQMX

SH2 MQ`/

[mi2m`

AXXkV
T`b mM 2tK2M T`+Bb /2b T`QT`Bib /2 bvKi`B2 2i /BMp@
`BM+2 /2 H /Bbi`B#miBQM /2 Kbb2- i#HB` H2tT`2bbBQM /2     H2ti@
`B2m` +QKK2  HBMi`B2m` /2 H h2``2X
AXXjV
1M miBHBbMi H2b pH2m`b MmK`B[m2b 7Qm`MB2b 2M }M /MQM+/QMM2` mM2 pH2m` 
MmK`B[m2 /2 H Kbb2 /2 H h2``2  X
AX" 

SH2 bm/
6B;m`2 R

G2 bmi /2 62HBt "mK;`iM2`

.Q+mK2Mi R , H2 bmi bmT2`bQMB[m2 /2 62HBt "mK;`iM2`
.T`b CXJX *QHBMQ 2i HX- im/2 /vMKB[m2 /mM KKQ`#H2 THQM;2QM 2M +?mi2 HB#`2- 
S?vbB+b hQ/v- p`BH
kyR9X
G2 bmi /2 iQmb H2b `2+Q`/b
G2 R9 Q+iQ#`2 kyRk- 62HBt "mK;`iM2` 2z2+im2- /Mb HiKQbT?`2 i2`@
`2bi`2- mM THQM;2QM ?Q`b@MQ`K2 , H2b `2+Q`/b /2 iQmb b2b T`/+2bb2m`b
bQMi #iimbX "mK;`iM2` 7mi iQmi /#Q`/ ?Bbb Dmb[m mM2 HiBim/2
pQBbBM2 /2 jN FK ;`+2  mM #HHQM /?HBmKX lM TT`2BH :Sa- }t
bm` b TQBi`BM2- T2`KBi /2 bmBp`2 T`+BbK2Mi b TQbBiBQM m +Qm`b /m
bmiX
1M 7p`B2` kyRj- H2b Q`;MBbi2m`b /2 +2ii2 KBbbBQM `2M/B`2Mi Tm#HB[m2b
+2b /QMM2bX *QM}`K2b T` H 7/`iBQM BMi2`MiBQMH2 /2b bTQ`ib @
`B2Mb- 2HH2b KQMi`2Mi [m2 "mK;`iM2`  i#HB i`QBb `2+Q`/bX S`2KB@
`2K2Mi- BH  ii2BMi mM2 pBi2bb2 KtBKH2 /2 Rj8d-e FK?R- bmT`B2m`2
/2 RRW  H pBi2bb2 /m bQM /Mb HB` UT`Bb2 ;H2  j9y KbRVX AH b;Bi 6B;m`2 k 
62HBt "mK;`iM2` m /@
/2 H THmb ;`M/2 pBi2bb2 p2`iB+H2 DKBb ii2BMi2 bMb /BbTQbBiB7 /2 T`i /2 bQM bmi
bi#BHBbiBQMX .2mtBK2K2Mi- "mK;`iM2`  bmi /mM2 HiBim/2 `2@
+Q`/ /2 j3-NeN9 FKX 1M}M- BH 2bi `2bi 2M +?mi2 HB#`2 bm` mM2 ?mi2m`
`2+Q`/ /2 je-9yke FKX

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 Rf3

lM2 zB`2 /2 i`BM2
G2b +Q`Tb [mB +?mi2Mi p2`b H bm`7+2 i2``2bi`2 M2 H2 7QMi Tb bQmb H b2mH2 +iBQM 
/2 H T2bMi2m`X AHb bQMi mbbB
bQmKBb  mM2 7Q`+2 /B`B;2 /Mb H2 b2Mb QTTQb  H pBi2bb2- 2t2`+2 T` HB` 
iKQbT?`B[m2X *2ii2 7Q`+2- TT2H2
7Q`+2 /2 i`BM2- 2bi T`QTQ`iBQMM2HH2 m +`` /2 H pBi2bb2X 1HH2 2bi /QMM2 T` H 
`2HiBQM    - Q 
2bi HB`2 /2 HQ#D2i T`QD2i bm` mM THM Q`i?Q;QMH  H /B`2+iBQM /m KQmp2K2Mi-  H 
Kbb2 pQHmKB[m2 /2 HB`
2i  mM2 +QMbiMi2X
Zm2H[m2b /iBHb bm` H2 bmi /2 "mK;`iM2`
G2b /QMM2b 2M`2;Bbi`2b T2M/Mi H2 bmi KQMi`2Mi [mBMBiBH2K2Mi- H +QKTQbMi2 /2 H 
pBi2bb2 /2 "mK;`iM2`
T`HHH2 m bQH 2bi MmHH2X *QKK2 HB` 2bi ``} 2M ?mi2 HiBim/2- H 7Q`+2 /2 i`M2 
DQm2 T2m m /#mi /m bmi
2i H++H`iBQM /2 "mK;`iM2` bB/2MiB}2 [mbBK2Mi  HBMi2MbBi /m +?KT /2 
T2bMi2m`X 1MbmBi2- m 7m` 2i
 K2bm`2 [m2 H pBi2bb2 m;K2Mi2 2i [m2 HHiBim/2 /BKBMm2- H+iBQM /2 HB` /2pB2Mi 
/2 THmb 2M THmb BKTQ`iMi2
2i H 7Q`+2 /2 i`BM2 [mBHB#`2 H2 TQB/bX G pBi2bb2 i2`KBMH2 /2 "mK;`iM2` ii2BMi 
dN-9 KbRX

.Q+mK2Mi k , H2 KQ/H2 /2 HiKQbT?`2 BbQi?2`K2
aQmb H2z2i /2 H T2bMi2m`- H2b KQH+mH2b +QMbiBimiBp2b /2 HB` QMi i2M/M+2  
iQK#2` p2`b H2 bQHX G;BiiBQM
i?2`KB[m2  mM 2z2i Mi;QMBbi2 2i i2M/  mMB7Q`KBb2` H /Bbi`B#miBQM /2b KQH+mH2b 
/Mb HiKQbT?`2X GQ`b[mQM
bbBKBH2 HB`  mM ;x T`7Bi 2i [m2 HQM +QMbB/`2 H i2KT`im`2 2i H T2bMi2m` 
mMB7Q`K2b /Mb HiKQbT?`2BH 2M `bmHi2 mM2 /Bbi`B#miBQM /[mBHB#`2- +`+i`Bb2 T` 
H2 +?KT /2 Kbb2 pQHmKB[m2 bmBpMi- [mB M2 /T2M/
 
[m2 /2 HHiBim/2  +QKTi2 /2TmBb H2 bQH ,     FYQ    Q  /bB;M2 H Kbb2 pQHmKB[m2 
m MBp2m

/m bQH 2M   -  H +QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib-  H i2KT`im`2 /2 HiKQbT?`2-  H Kbb2 
KQHB`2 /2 HB`
2i  HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`X
AH 2bi H;BiBK2 /2 b2 /2KM/2` TQm`[mQB BH 2bi M+2bbB`2 /2 ?Bbb2` H2 bmi2m`  
mM2 HiBim/2 mbbB H2p2 }M
/ii2BM/`2 H pBi2bb2 /m bQMX
AX"XRV
Zm2HH2 /2p`Bi i`2 HHiBim/2 KBMBKH2 /2 /T`i bB H2 bmi2m`- pQmHMi ii2BM/`2 H 
pBi2bb2 /m bQMMiBi bQmKBb [m H 7Q`+2 /2 T2bMi2m` \
AX"XkV
1M 2tTHQBiMi H2b /Q+mK2Mib R 2i k- /QMM2` mM2 2biBKiBQM /2 H ?mi2m` KBMBKH2 /2 
bmi [mB
T2`K2i /ii2BM/`2 H pBi2bb2 /m bQM m +Qm`b /2 H +?mi2X G2 +?QBt /2 +2`iBM2b 
pH2m`b MmK`B[m2b `2Hp2
/2 pQi`2 BMBiBiBp2X *QKT`2` H2biBKiBQM Q#i2Mm2  HHiBim/2 /2 /T`i /2 62HBt 
"mK;`iM2` 2i /Bb+mi2` H2b
?vTQi?b2b [m2 pQmb m`2x `2i2Mm2bX

AA iib biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m`
G T`Bb2 2M +QKTi2 /2 H ;`pBiiBQM /Mb H2b T?MQKM2b [mMiB[m2b 2bi mM +?KT +iB7 
BKTQ`iMi /2 `2+?2`+?2
2M T?vbB[m2X G2b 2MD2mt 2M [m2biBQM +QM+2`M2Mi- 2Mi`2 mi`2b- H2 i2bi /2 H 
`Q#mbi2bb2 /2 H HQB /2 L2riQM 2i /2
H;HBi /2b Kbb2b BM2`iB2HH2 2i ;`pBiiBQMM2HH2  H+?2HH2 /2 HBM}MBK2Mi T2iBi- 
Qm 2M+Q`2 H /+Qmp2`i2 /2 H
KiB`2 MQB`2X
PM +?2`+?2  /i2`KBM2` H2b MBp2mt /M2`;B2 /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` 
i2``2bi`2X S` H2m`
K2bm`2- QM T2mi ++/2`  H pH2m` /2 HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`- bmTTQb2 
mMB7Q`K2 /Mb iQmi2 H bmBi2
/m bmD2iX
AAX 

+?2HH2 +`+i`BbiB[m2 /2 ?mi2m`

1tKBMQMb H2tT`B2M+2 `2T`b2Mi2 bm` H };m`2 jX lM2 T`iB+mH2 /2 Kbb2 

2bi H+?2 /2TmBb mM2 ?mi2m`  /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2- p2+ mM2
pBi2bb2 BMBiBH2 MmHH2X 1HH2 2bi bQmKBb2  H b2mH2 7Q`+2 /2 T2bMi2m`X G2 bQH 2M

   2bi BKTMi`#H2 2i +Q``2bTQM/  mM2 #``B`2 /2 TQi2MiB2H /KTHBim/2   
BM}MB2X PM bmTTQb2 [m2 H2 `2#QM/ bm` H2 bQH b2 7Bi bMb T2`i2 /M2`;B2 K+MB[m2H 
pBi2bb2 p2`iB+H2 pQvMi bQM b2Mb +?M;2` KBb Tb b MQ`K2X Gt2  2bi
p2`iB+H b+2M/MiX

AAXXRV
.QMM2` H2tT`2bbBQM /2 HM2`;B2 TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`   /2 H
T`iB+mH2X PM bmTTQb2    X Zm2 T2mi@QM /B`2 /2 HM2`;B2 K+MB[m2 /2 H 6B;m`2 j 
*?mi2 HB#`2 /2@
T`iB+mH2 m +Qm`b /2 bQM KQmp2K2Mi \ _2T`b2Mi2`   2M 7QM+iBQM /2  bm` mM TmBb 
mM2 ?mi2m` 
;`T?2 2i v 7B`2 };m`2` HM2`;B2 K+MB[m2 X
AAXXkV
PM b2 TH+2 /Mb H2 +/`2 /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2X .i2`KBM2` H2tT`2bbBQM /2 
HM2`;B2 +BMiB[m2
/2 H T`iB+mH2  mM2 HiBim/2  [m2H+QM[m2 +QKT`Bb2 2Mi`2  2i X G2tT`BK2` 2M 
7QM+iBQM /2 - -  2i X
AAXXjV
hQmDQm`b /Mb H2 +/`2 /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2- [m2HH2b bQMi H2b HiBim/2b 
++2bbB#H2b  H T`iB+mH2 \
}M /2 +QKTHi2` pQi`2 `TQMb2- /}MB` 2i +H+mH2` H T`Q
+HbbB[m2 E  /2 H T`iB+mH2
2Mi`2 H2b HiBim/2b  2i  EX PM T`+Bb2 [m2 H T`Q
2bi T`QTQ`iBQMM2HH2
 H /m`2 Tbb2 T` H T`iB+mH2 2Mi`2 +2b /2mt HiBim/2bX PM p2BHH2`  MQ`KHBb2` 
+Q``2+i2K2Mi +2ii2 HQB /2
E
2M 7QM+iBQM /2 X *QKK2Mi2` [mHBiiBp2K2Mi H2 ;`T?2
T`Q
E
Q#i2MmX
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 kf3

 X Zm2HH2 2bi b /BK2MbBQM \

1M //mB`2 H2tT`2bbBQM /m [mMimK /M2`;B2 TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`  2M 7QM+iBQM 
/2 -  2i  X
PM /}MBi H ;`M/2m` bmBpMi2 ,   

AAXX9V
AAXX8V

AAXXeV TTHB+iBQM MmK`B[m2
.QMM2` H2b pH2m`b MmK`B[m2b /2  2i /2  U2M 2oV TQm` mM M2mi`QMX

AAXXdV
G2 i#H2m R T`b2Mi2 H2b +`+i`BbiB[m2b /2 /Bz`2Mib M2mi`QMbX Zm2H ivT2 /2 
M2mi`QM pQmb T`i
H2 KB2mt /Ti  H KBb2 2M pB/2M+2 2tT`BK2MiH2 /2  \ CmbiB}2` H `TQMb2X
L2mi`QM /2 }bbBQM L2mi`QM i?2`KB[m2
M2`;B2

k J2o

 NT

oBi2bb2

AAX" 

L2mi`QM 7`QB/

k8 K2o

j K2o

kkyy KbR

3yy KbR

L2mi`QM mHi`7`QB/
  OF7
  NT

h#H2m R *i;Q`B2b /2 M2mi`QMb

TT`Q+?2 b2KB@+HbbB[m2

.Q+mK2Mi j , _;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/
.T`b X J2bbB?- J+MB[m2 ZmMiB[m2- iQK2 R- .mMQ/X
G2b T`2KB`2b 2tT`B2M+2b bm` H2b iQK2b m /#mi /m pBM;iBK2 bB+H2 pB2Mi T2`KBb 
/2 `pH2` H Mim`2 /Bb+`i2
/2 H2m`b MBp2mt /M2`;B2X *2T2M/Mi- H2b HQBb /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2 M2 
T2`K2iiB2Mi Tb /2 `2M/`2 +QKTi2
/2 +2 7Bi 2tT`BK2MiH 2i T`pQvB2Mi mM2 /Bbi`B#miBQM +QMiBMm2 /2b M2`;B2b 
TQbbB#H2bX
SQm` `2M/`2 +QKTi2 /2 H [mMiB}+iBQM /2 HM2`;B2- "Q?` 2i aQKK2`72H/ T`QTQb2Mi 
H2 T`Q+/ bmBpMi , QM
/K2i [m2 H T`iB+mH2 bmBi H2b HQBb /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2 2i QM M2 `2iB2Mi [m2 
H2b bQHmiBQMb [mB p`B}2Mi mM2
`;H2 /2 [mMiB}+iBQM / ?Q+X
*QMbB/`QMb H2t2KTH2 /mM Qb+BHHi2m` ?`KQMB[m2 /QMi H2 KQmp2K2Mi 2bi +QMi`BMi /2 
b2 7B`2 H2 HQM; /mM
t2  X 1M MQiMi  H TmHbiBQM T`QT`2 /2 HQb+BHHi2m` 2i  b Kbb2- bQM M2`;B2 
K+MB[m2 b2tT`BK2

  - Q  2i  `2T`b2Mi2Mi `2bT2+iBp2K2Mi H [mMiBi /2 KQmp2K2Mi 2i H#b+Bbb2 /2
T`   

HQb+BHHi2m` mMB/BK2MbBQMM2HX

6B;m`2 9 P`#Bi2 /2 T?b2
/mM Qb+BHHi2m` ?`KQMB[m2
/M2`;B2 

*2ii2 `2HiBQM /}MBi- /Mb H2bT+2 /2b T?b2b   - mM2 +Qm`#2 72`K2 bbQ+B2
 H pH2m` /2 - +2bi HQ`#Bi2 /2 T?b2X SQm` HQb+BHHi2m` ?`KQMB[m2- +2ii2 +Qm`#2
2bi mM2 2HHBTb2 UpQB` };m`2 9VX GB`2 BMi`B2m`2  HQ`#Bi2 /2 T?b2 2bi ;H2  
H+iBQM
 /2 HQb+BHHi2m` ,
     E  

a2HQM "Q?` 2i aQKK2`72H/- H2b b2mH2b M2`;B2b T2`KBb2b bQMi +2HH2b TQm` 
H2b[m2HH2b
H+iBQM  2bi mM KmHiBTH2 2MiB2` /2 H +QMbiMi2 /2 SHM+F X *2H b2 i`/mBi T`
H `;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/ ,
     E  

p2+

SQm` HQb+BHHi2m` ?`KQMB[m2- +2ii2 +QM/BiBQM /QMM2 +QKK2 2tT`2bbBQM TT`Q+?2 /2b 
M2`;B2b TQbbB#H2b /2
HQb+BHHi2m` ,   X
G `;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/ +QMbiBim2 mM2 TT`QtBKiBQM- /Bi2 
b2KB@+HbbB[m2- [mB 2bi ++2T@
i#H2 HQ`b[m2 H2b p`BiBQMb bTiBH2b /2 H HQM;m2m` /QM/2 /2 /2 "`Q;HB2 /2 H 
T`iB+mH2 bQMi 7B#H2bX
.Mb H2 `;BK2 /2 +?mi2 HB#`2 [mMiB[m2- H2b M2`;B2b TQbbB#H2b /mM M2mi`QM /Mb 
H2 +?KT /2 T2bMi2m` 7Q`K2Mi
mM bT2+i`2 /Bb+`2iX *?[m2 MBp2m /M2`;B2 T2mi i`2 `2T` T` mM 2MiB2`    2i 
+Q``2bTQM/  mM2 ?mi2m`
 X .2 7QM BK;2- QM T2mi /B`2 [m2 bB H T`iB+mH2 /2 H };m`2 j 2bi mM M2mi`QM- 
H2b ?mi2m`b /2 `2#QM/ 
bQMi [mMiB}2b 2i M2 T2mp2Mi T`2M/`2 [m2 H2b pH2m`b /Bb+`i2b  X
1M miBHBbMi H2 /Q+mK2Mi j- T`QTQb2` mM2 2tT`2bbBQM TT`Q+?2 /2b MBp2mt /M2`;B2 
 /mM M2mi`QM /Mb H2
+?KT /2 T2bMi2m` 2M K2iiMi 2M mp`2 mM2 TT`Q+?2 b2KB@+HbbB[m2X
AAX*  .i2`KBMiBQM /2b iib biiBQMMB`2b T` `bQHmiBQM /2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2`
PM T`QTQb2 KBMi2MMi /2 /i2`KBM2` H2b iib biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM /M2`;B2  2i 
/2 Kbb2  /Mb
H2 +?KT /2 T2bMi2m` m@/2bbmb /2 H bm`7+2    T` `bQHmiBQM /2 H[miBQM /2 
a+?`/BM;2`X G 7QM+iBQM

/QM/2 [mB /+`Bi H2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM 2bi ,       FYQ J X PM /K2i [m2 H 
7QM+iBQM /QM/2

T`QT`2   2bi bQHmiBQM /2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/T2M/Mi2 /m i2KTb [mB 2bi 
`TT2H2 /Mb H2 7Q`KmHB`2X
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 jf3

G2 M2mi`QM M2 T2mi Tb TMi`2` /Mb H2 bQH /QMi H bm`7+2 +QMbiBim2 mM2 #``B`2 /2 
TQi2MiB2H /KTHBim/2
BM}MB2X PM +QMbB/`2 /QM+ [m2       2i [m2 TQm`   -   +QMb2`p2 H KK2 2tT`2bbBQM 
[m H
[m2biBQM AAXXRX
AAX*XRV
Zm2bi@+2 [mmM ii biiBQMMB`2 \
+`B`2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/T2M/Mi2 /m i2KTb bQmb 7Q`K2 /BK2MbBQMM2 2M 
miBHBbMi

HHiBim/2 /BK2MbBQMM2  
2i HM2`;B2 /BK2MbBQMM2   X

.Mb H bmBi2- QM miBHBb2` mbbB #B2M H2b p`B#H2b bMb /BK2MbBQM  2i  [m2 H2b 
;`M/2m`b /BK2MbBQMM2b
+Q``2bTQM/Mi2b  2i X
AAX*XjV
Zm2HH2b bQMi H2b +QM/BiBQMb mt HBKBi2b [mB bBKTQb2Mi    \
AAX*XkV

AAX*X9V

G bQHmiBQM ++2Ti#H2 /2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/T2M/Mi2 /m i2KTb /BK2MbBQMM2 
b+`Bi
    "J   

Q  2bi mM 7+i2m` /2 MQ`KHBbiBQM U[mB M2bi Tb  +H+mH2`VX hQmi2b H2b BM7Q`KiBQMb 
miBH2b bm` H 7QM+iBQM
/B`v "J U`2T`b2MiiBQM ;`T?B[m2- HBbi2 /2b i`QBb T`2KB2`b x`Qb 2i +QKTQ`i2K2Mi 
bvKTiQiB[m2 2M V bQMi
/QMM2b /Mb H2 7Q`KmHB`2 2M }M /MQM+X
.QMM2` H2b pH2m`b MmK`B[m2b /2b MBp2mt /M2`;B2     TQm` H2b /2mt T`2KB2`b 
MBp2mt /M2`;B2
U   2i VX *QKT`2` p2+ H2b pH2m`b TT`Q+?2b Q#i2Mm2b  H [m2biBQM AAX"X
AAX*X8V
_2T`b2Mi2` HHHm`2 /2 H /2MbBi /2 T`Q
7QM+iBQM /2  TQm` H2b
/2mt T`2KB2`b MBp2mt /M2`;B2X PM 2tTHB+Bi2` H /K`+?2 bmBpB2X Zm2HH2UbV 
/Bz`2M+2UbV MQi#H2UbV T2mi@QM
`2H2p2` T` `TTQ`i m +b +HbbB[m2 U[m2biBQM AAXXjV \
AAX. 

aT2+i`Qb+QTB2 `bQMMi2 ;`pBiiBQMM2HH2

.Q+mK2Mi 9 , H2tT`B2M+2 ["QmM+2
G K2bm`2 /2b MBp2mt /M2`;B2 /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` T2`K2i /++/2` 
 H pH2m` /2
HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`X G +QKT`BbQM 2Mi`2 H2b K2bm`2b 2i H KQ/HBbiBQM 
i?Q`B[m2 T2`K2i /2
pHB/2` H i?Q`B2 /2 H ;`pBiiBQM mt +?2HH2b +QMbB/`2bX
G2tT`B2M+2 ["QmM+2 T2`K2i /2 K2bm`2` T`+BbK2Mi H2b MBp2mt /M2`;B2 /2b iib 
biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM
/Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2X 1HH2 2bi `HBb2 m KQv2M /m /BbTQbBiB7 
b+?KiBb bm` H };m`2 8X

62Mi2 +QHHBKi`B+2

M2mi`QM

/i2+i2m`

6B;m`2 8 a+?K /m /BbTQbBiB7 2tT`BK2MiH /2 H2tT`B2M+2 ["QmM+2X .T`b hX C2MF2 
2i HX- _2@
HBxiBQM Q7 ;`pBiv `2bQMM+2 bT2+i`Qb+QTv i2+?MB[m2- Lim`2 S?vbB+b d- 9e3@9dk 
UkyRRV
G2 /BbTQbBiB7 2tT`BK2MiH 2bi +QMbiBim /2b HK2Mib bm++2bbB7b bmBpMib ,
 mM2 72Mi2 +QHHBKi`B+2-  i`p2`b H[m2HH2 H2b M2mi`QMb bQMi BMD2+ib /Mb H2 
/BbTQbBiB7 c
 mM T`2KB2` ;mB/2- +QMbiBim /mM KB`QB`  M2mi`QMb  Up2``2 QTiB[m2 TQHBV bm` b 
T`iB2 #bb2 2i /mM
HK2Mi #bQ`#2m` /2 M2mi`QMb  bm` H T`iB2 ?mi2 /m ;mB/2 U};m`2 8VX G2 KB`QB` 2i 
H#bQ`#2m` bQMi
bT`b /mM2 ?mi2m`     NX *2 ;mB/2  mM2 HQM;m2m` Ub2HQM V     DNX PM H2 bmTTQb2
BMp`BMi T` i`MbHiBQM /Mb Hmi`2 /B`2+iBQM ?Q`BxQMiH2  c
 mM KB`QB`  M2mi`QMb   - /2 HQM;m2m` ?Q`BxQMiH2     DN b2HQM  2i /QMi H 
TQbBiBQM Qb+BHH2
p2`iB+H2K2Mi  H TmHbiBQM - /2 bQ`i2 [m2 H++H`iBQM p2`iB+H2 /2 H bm`7+2 
`~+?BbbMi2 T` `TTQ`i m
`7`2MiB2H i2``2bi`2 UbmTTQb ;HBH2MV b+`Bi ,     DPT  X *2 KB`QB` 2bi mbbB 
BMp`BMi T` i`MbHiBQM
b2HQM Hmi`2 /B`2+iBQM ?Q`BxQMiH2  c
 mM b2+QM/ ;mB/2   - B/2MiB[m2 m T`2KB2` c
 mM /i2+i2m` /2 M2mi`QMb  H bQ`iB2 /m /BbTQbBiB7X
G2b M2mi`QMb i`p2`b2Mi H2 /BbTQbBiB7 p2+ mM2 pBi2bb2 ?Q`BxQMiH2     NT [mB 
`2bi2 BM+?M;2 iQmi H2 HQM;
/m /BbTQbBiB7X

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 9f3

*2`iBM2b pH2m`b MmK`B[m2b M+2bbB`2b  H `bQHmiBQM /2b [m2biBQMb bmBpMi2b 
};m`2Mi /Mb H2 /Q+mK2Mi 9X
AAX.XRV LBp2mt /M2`;B2 /Mb H2 ;mB/2  M2mi`QMb
.Mb mM ;mB/2- QM /+`Bi H2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM- /Mb H2 `7`2MiB2H i2``2bi`2 
bmTTQb ;HBH2M- T` mM2 7QM+iBQM
/QM/2 /2 H 7Q`K2 ,
      FYQ J

 FYQJ    

X *2ii2 7QM+iBQM /QM/2 /QBi p`B}2` H[miBQM /2 a+?`/BM;2` `TT2H2  H }M /m 
bmD2iX

V
Zm2 /+`Bi H2 7+i2m` FYQJ     \ JQMi`2` [m2   2bi bQHmiBQM /mM2 [miBQM /2 
a+?`/BM;2`
BM/T2M/Mi2 /m i2KTb- bbQ+B2  mM2 M2`;B2 X
G2b +QM/BiBQMb mt HBKBi2b [mB bBKTQb2Mi    bQMi ,       2i      X 1HH2b 
2Mi`M2Mi mM2
[mMiB}+iBQM /2 HM2`;B2 X PM MQi2  U   V +?+mM2 /2b pH2m`b miQ`Bb2bX
#V .Mb +2ii2 [m2biBQM mMB[m2K2Mi- QM M;HB;2 HBM~m2M+2 /2 H ;`pBi U   VX 
CmbiB}2` [mHQ`b H2 bT2+i`2
/M2`;B2 2bi +2HmB /m TmBib /2 TQi2MiB2H BM}MBK2Mi T`Q7QM/ /2 H`;2m` X
PM MQi2  H2b pH2m`b +Q``2bTQM/Mi2b- p2+    X .QMM2` H2tT`2bbBQM /2  2M 7QM+iBQM 
/2 - - 
2i X
+V
G };m`2 e /QMM2 mM2 `2T`b2MiiBQM /2 HM2`;B2 /BK2MbBQMM2     /m MBp2m 
7QM/K2MiH 2M
7QM+iBQM /2  /Mb mM2 +?2HH2 HQ;`Bi?KB[m2X *2b pH2m`b QMi i Q#i2Mm2b T` mM2 
`bQHmiBQM MmK`B[m2X
p2+  

6B;m`2 e

pQHmiBQM /2 HM2`;B2 /BK2MbBQMM2 /m MBp2m 7QM/K2MiH 2M 7QM+iBQM /2 H ?mi2m`
/BK2MbBQMM2 /m ;mB/2 U+?2HH2 HQ;`Bi?KB[m2V

.i2`KBM2` H T2Mi2 /2 HbvKTiQi2 /Mb H HBKBi2    2i BMi2`T`i2` H2 `bmHiiX 
Zm2HH2 pH2m` /2  `2i`Qmp2@
i@QM /Mb H HBKBi2    \

/V
liBHBb2` H };m`2 e TQm` /i2`KBM2` H pH2m` /2 HM2`;B2 /BK2MbBQMM2  /m MBp2m 
7QM/K2MiH /mM
M2mi`QM [mB pQHm2 /Mb H2 ;mB/2X
AAX.XkV #bQ`TiBQM bH2+iBp2 /2b M2mi`QMb /Mb H2 ;mB/2
}M /2 KQ/HBb2` bBKTH2K2Mi H#bQ`TiBQM /2b M2mi`QMb /Mb H2 ;mB/2 2M 7QM+iBQM /2 
H2m` M2`;B2- QM bbQ+B2 m
MBp2m /M2`;B2  mM2 i`D2+iQB`2 T`#QHB[m2 m b2Mb /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2 i2HH2 
[m2 H2 M2mi`QM `2#QM/Bi
bm` H2 KB`QB` BM7`B2m` 2i ii2BMi H2 bQKK2i /2 b i`D2+iQB`2  H ?mi2m`  
m@/2bbmb /m KB`QB` BM7`B2m`X G
/BbiM+2 ?Q`BxQMiH2 T`+Qm`m2 T` mM M2mi`QM 2Mi`2 /2mt `2#QM/b bm++2bbB7b bm` H2 
KB`QB` BM7`B2m` 2bi MQi2 
U};m`2 dVX

6B;m`2 d

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

_2#QM/b /mM M2mi`QM /Mb mM ;mB/2

S;2 8f3

V

1M miBHBbMi H2b HQBb /2 H K+MB[m2 +HbbB[m2- KQMi`2` [m2    

UQM `TT2HH2 [m2  2bi H

pBi2bb2 ?Q`BxQMiH2 /mM M2mi`QMVX
#V G2b M2mi`QMb T2mp2Mi i`2 bH2+iBp2K2Mi #bQ`#b T` H#bQ`#2m` 2M 7QM+iBQM /2 
H2m` M2`;B2 b2HQM H `;H2
bmBpMi2 ,
 bB   - H2 M2mi`QM 2bi #bQ`# HQ`b /mM2  +QHHBbBQM  p2+ H#bQ`#2m` 2i M2 T`pB2Mi 
/QM+ Tb  i`p2`b2`
H2 ;mB/2 c
 bB   - H2 M2mi`QM T2mi ii2BM/`2 H ?mi2m`  T` 2z2i imMM2H /2TmBb H2 bQKK2i /2 b 
i`D2+iQB`2 2i
i`2 #bQ`#X G T`Q
i`D2+iQB`2 2bi
MQi2  X PM /QMM2 bQM 2tT`2bbBQM TT`Q+?2 ,
  FYQ  

PM /QMM2 ,     N-     N 2i     NX
iMi /QMM2 H pH2m` /2 - [m2HH2b bQMi H2b M2`;B2b /2b M2mi`QMb bmb+2TiB#H2b /2 
i`p2`b2` H2 ;mB/2 \
+V ZmTT2HH2@i@QM 2z2i imMM2H 2M K+MB[m2 [mMiB[m2 \ *Bi2` mM T?MQKM2 T?vbB[m2 
/2 pQi`2 +QMMBbbM+2
[mB 7Bi BMi2`p2MB` +2i 2z2iX
PM bBMi`2bb2  H i`MbKBbbBQM  i`p2`b H2 ;mB/2 /2b M2mi`QMb /M2`;B2  X
/V TTHB+iBQM MmK`B[m2
*H+mH2` H pH2m` MmK`B[m2 /2  X
2V
PM MQi2  U  V H T`Q
1tT`BK2` 
2M 7QM+iBQM /2  2i  - TmBb  2M 7QM+iBQM /2  2i  X

7V
1M //mB`2 H2tT`2bbBQM /2 H T`Q
#bQ`# T`b pQB`
T`+Qm`m- /2TmBb H2Mi`2 /m ;mB/2- mM2 /BbiM+2 ?Q`BxQMiH2 X PM 72` TT`i`2 H 
HQM;m2m` +`+i`BbiB[m2
/#bQ`TiBQM     X
;V TTHB+iBQM MmK`B[m2
PM /K2i [mQM T2mi /}MB` /2 KK2 mM2 HQM;m2m` +`+i`BbiB[m2 /#bQ`TiBQM
 TQm` H2b M2mi`QMb /M2`;B2  X PM /QMM2     DNX
*H+mH2` H pH2m` MmK`B[m2 /2  X *QKT`2`  2i   H HQM;m2m` /m ;mB/2X *QM+Hm`2 
[mMi  H bH2+iBpBi
/m ;mB/2 b2HQM HM2`;B2 /2b M2mi`QMbX
AAX.XjV J2bm`2 /2 HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m`
.Mb H T`iB2 BMi2`K/BB`2 /m /BbTQbBiB7- H2 KB`QB` BM7`B2m` Qb+BHH2  H 
TmHbiBQM  miQm` /mM2 TQbBiBQM
KQv2MM2X G2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM /Mb +2ii2 xQM2 2bi im/B /Mb H2 `7`2MiB2H  
HB m KB`QB` KQ#BH2X SQm`

+2- QM miBHBb2 H 7QM+iBQM /QM/2 ,        FYQJ    - p2+  
X PM T2mi KQMi`2` UH2 +H+mH

M2bi Tb /2KM/V [m2    p`B}2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2` mMB/BK2MbBQMM2HH2 bmBpMi2 ,
J

GM2`;B2 TQi2MiB2HH2    /mM M2mi`QM /Mb +2ii2 xQM2 b+`Bi      
   Q HM2`;B2
TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`    H KK2 2tT`2bbBQM [m H [m2biBQM AAXXR 2i Q    2bi 
HM2`;B2 TQi2MiB2HH2
/QMi /`Bp2 H 7Q`+2 /BM2`iB2 /2Mi`M2K2MiX
V
CmbiB}2` [m2 H2 `7`2MiB2H  2bi MQM ;HBH2MX i#HB` H2tT`2bbBQM        Q   
`2T`b2Mi2
H++H`iBQM p2`iB+H2 /m KB`QB` KQ#BH2 T` `TTQ`i m `7`2MiB2H i2``2bi`2X
#V
PM +?2`+?2 mM2 bQHmiBQM /2 H[miBQM /2 a+?`/BM;2` bQmb H 7Q`K2 bmBpMi2 ,
      FYQ J

  FYQ J

PM `TT2HH2 [m2 H2b 7QM+iBQMb /QM/2   2i   bQMi +2HH2b [mB QMi i /}MB2b  H 
[m2biBQM AAX*X9 c 2HH2b
bQMi `2bT2+iBp2K2Mi bbQ+B2b mt MBp2mt /M2`;B2  2i  X PM H2b bmTTQb2 
+Q``2+i2K2Mi MQ`KHBb2bX G2b
+Q2{+B2Mib   2i   bQMi +QKTH2t2bX PM /}MBi H2b +Q2{+B2Mib bmBpMib ,

 E

 E

       E

PM T`+Bb2 [m2 ,      E  X PM /}MBi mbbB H TmHbiBQM  

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 ef3

X

i#HB` H2b [miBQMb /Bz`2MiB2HH2b bmBpMi2b ,
E 
 FYQ J    
     
E
E 
J 
   
      FYQ J 
E

J

PM H2m` /DQBMi H2b +QM/BiBQMb BMBiBH2b bmBpMi2b ,       2i      X

+V
CmbiB}2` H2 +?QBt /2b +QM/BiBQMb BMBiBH2bX
/V
PM 2MpBb;2 H2 +b Q     UKB`QB` BKKQ#BH2VX AMi2`T`i2` H2b bQHmiBQMb   2i   
Q#i2Mm2b /Mb +2
+bX
2V GQ`b[m2     DPT  - H `bQHmiBQM /2 +2b /2mt [miBQMb /Bz`2MiB2HH2b 2bi 
2z2+im2 T` pQB2 MmK`B[m2X

.Mb H };m`2 3- QM  `2T`b2Mi   2i   2M 7QM+iBQM /m i2KTb- TQm` /Bz`2Mi2b 
pH2m`b /2 H TmHbiBQM
/2t+BiiBQM  2i /Bz`2Mi2b pH2m`b /2  X

  -  

] ] - ] ]

6B;m`2 3 pQHmiBQM i2KTQ`2HH2 /2   U2M i`Bi +QMiBMmV 2i   U2M TQBMiBHHbV TQm` 
i`QBb pH2m`b
/Bz`2Mi2b /m `TTQ`i  2i mM2 KK2 KTHBim/2 /++H`iBQM /m KB`QB`   UHB;M2 
bmT`B2m`2V- TmBb
TQm` i`QBb pH2m`b /2 +2ii2 ++H`iBQM UmMBi `#Bi`B`2V  H TmHbiBQM  UHB;M2 
BM7`B2m`2VX
Zm2H 2bi H2z2i /2 H KBb2 2M Qb+BHHiBQM /m KB`QB` \ SQm`[mQB T`H2@i@QM /2 
`bQMM+2
HQ`b[m2    \
!
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+,4& 5+6/789779:/ !)#7"

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6B;m`2 N hmt /2 i`MbKBbbBQM /2b M2mi`QMb 2M 7QM+iBQM /2 H 7`[m2M+2X 6B;m`2 
2ti`Bi2 /2 :X *`QM2M#2`;
2i HX-  :`pBiv Q7 1`i? K2bm`2K2Mi rBi?  ["QmM+2 2tT2`BK2Mi- S`Q+22/BM;b Q7 i?2 
1Sa *QM72`2M+2 QM
>B;? 1M2`;v S?vbB+b kyR8- `sBp ,R8RkXyNRj9

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 df3

7V
G };m`2 N `2T`b2Mi2 H2 MQK#`2 /2 M2mi`QMb `2+m2BHHBb T` mMBi /2 i2KTb  H 
bQ`iB2 /m b2+QM/ ;mB/2 2M
7QM+iBQM /2 H 7`[m2M+2 /Qb+BHHiBQM /m KB`QB`X
G /BKBMmiBQM /m imt /2 i`MbKBbbBQM /2b M2mi`QMb Q#b2`p2 2Mi`2 9yy >x 2i 8yy >x 
BKTHB[m2 H2b iib /M2`@
;B2  2i  X 1tTHB[m2` TQm`[mQB H2 imt /2 i`MbKBbbBQM T`b2Mi2 mM2 pH2m` KBMBKH2 
/Mb +2i BMi2`pHH2
/2 7`[m2M+2X G2tT`B2M+2 KQMi`2 [m2 +2ii2 pH2m` KBMBKH2 /T2M/ /2 HKTHBim/2  
/2 H++H`iBQM /m
KB`QB`   X GQ`b[mQM m;K2Mi2   T`iB` /mM2 pH2m` MmHH2- H pH2m` KBMBKH2 /m 
MQK#`2 /2 M2mi`QMb
/i2+ib  H bQ`iB2 /m /2`MB2` ;mB/2 +QKK2M+2 T` /BKBMm2` pMi /m;K2Mi2`  
MQmp2mX AMi2`T`i2` +2ii2
pQHmiBQM 2M bB/Mi /2 H };m`2 3X
*QKK2Mi 2tTHB[m2` H +?mi2 bBKBHB`2 /m imt /2 i`MbKBbbBQM 2Mi`2 eyy >x 2i dyy >x 
\
;V
./mB`2 mM2 pH2m` MmK`B[m2 /2 HBMi2MbBi /m +?KT /2 T2bMi2m` - ++QKT;M2 /2 
bQM BM+2`iBim/2b+?Mi [m2 H 7`[m2M+2 /2 `bQMM+2 2bi ;H2  9e9 >x p2+ mM2 
BM+2`iBim/2 /2 R-y >xX
?V
G2b K2bm`2b /2 H };m`2 N QMi i Q#i2Mm2b TQm` mM2 KTHBim/2 /++H`iBQM     NT 
X  [m2HH2
KTHBim/2 /2 /TH+2K2Mi /m KB`QB` +Q``2bTQM/@2HH2  H `bQMM+2 \ *QKK2Mi2` 
HQ`/`2 /2 ;`M/2m` Q#i2MmX
BV
1M 2tTHQBiMi H +Qm`#2 /2 H };m`2 N- 2biBK2` H2 i2KTb /2 Tbb;2 /mM M2mi`QM 
m@/2bbmb /m KB`QB`
Qb+BHHMiX PM 2tTHB+Bi2` H /K`+?2 bmBpB2X *QKT`2` p2+ H pH2m` [mQM T2mi //mB`2 
/m /Q+mK2Mi 9X

.QMM2b MmK`B[m2b
*QMbiMi2 /2 ;`pBiiBQM mMBp2`b2HH2

      LH N T

_vQM /2 H h2``2
AMi2MbBi KQv2MM2 /m +?KT /2 T2bMi2m`  H bm`7+2 /2 H h2``2
*QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib

      LN
    NT

    +, NPM

Jbb2 KQHB`2 /2 HB`

      LHNPM

*QMbiMi2 /2 SHM+F

      +T

*QMbiMi2 /2 SHM+F `/mBi2

      +T

Jbb2 /m M2mi`QM

      LH

 F7      +

H2+i`QM@pQHi

6Q`KmHB`2

[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/T2M/Mi2 /m i2KTb , 

PT`i2m` HTH+B2M 2M +QQ`/QMM2b +`ibB2MM2b ,    

_2HiBQM 2Mi`2 H`;2m` bT2+i`H2 2i /m`2 ,     
6QM+iBQM /B`v

 [miBQM /2 a+?`/BM;2` , J

*QKTQ`i2K2Mi bvKTiQiB[m2 2M

"J 

"J 

FYQ    

h`QBb T`2KB2`b x`Qb /2 "J 

r r r 6AL r r r
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 3f3

R

k

j

k-j9

9-yN

8-8k

Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017 -- Corrig
Ce corrig est propos par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a t relu par
Louis Salkin (professeur en CPGE) et Stphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intresse  la chute des corps dans le champ de pesanteur terrestre, 
d'un
point de vue classique puis quantique. Il est compos de deux parties 
indpendantes
trs ingales.
 Dans la premire partie, trs courte, on utilise le thorme de Gauss pour
dterminer l'expression du champ de pesanteur dans le cas d'une distribution
de masse sphrique. Ensuite, on tudie la chute de Felix Baumgartner (2012).
Compte tenu de l'altitude de dpart (presque 39 km), il est lgitime d'aborder
une premire phase de mouvement sans frottement. La prise en compte des
frottements de l'air, qui peuvent devenir prpondrants, permet d'expliquer les
diffrentes mesures effectues lors de ce saut hors norme. Les dernires 
questions
sont relativement ouvertes, conformment  l'esprit des nouveaux programmes.
 Dans la seconde partie, on s'intresse  la chute quantique d'un neutron. Dans
un premier temps, on introduit les notions de quantum de longueur et d'nergie.
Ensuite, on dtermine les tats stationnaires du neutron dans le champ de
pesanteur par rsolution de l'quation de Schrdinger. On termine cette partie
en tudiant le dispositif qBounce de mesure des niveaux d'nergie du neutron.
Mme si elle comporte quelques questions relativement ouvertes, cette partie
repose essentiellement sur le cours de mcanique quantique de seconde anne,
notamment sur la rsolution de l'quation de Schrdinger.
Intressant et bien construit, ce sujet fait appel  de nombreuses connaissances
relatives  la mcanique de premire anne et  la physique quantique. Au vu des
preuves de l'anne prcdente, il faut s'attendre  d'autres sujets de 
mcanique
quantique dans les annes  venir.

Indications
Partie I
I.B.2 Dcomposer le mouvement en deux tapes : tout d'abord l'objet n'est soumis
qu' son poids et sa vitesse augmente jusqu' la vitesse du son en z = z max .
Ensuite, le systme subit aussi la force de frottement qui va le freiner.
Partie II
II.A.3 Dterminer l'expression de la dure dt entre les deux positions z et z + 
dz.
Par ailleurs, normaliser la loi de probabilit permet de trouver la constante
de proportionnalit entre dPcl et dt.
II.A.7 L'nergie du neutron doit tre du mme ordre de grandeur que le quantum
d'nergie potentielle.
II.B Reprsenter l'orbite de phase avec une nergie potentielle m g z. L'aire 
sous
la courbe est dlimite par z = 0 et z = H.
II.C.4 Montrer que les niveaux d'nergie n concident avec les zros de la 
fonction
d'Airy.
II.C.5 La densit de probabilit de prsence s'crit |(z)|2 .
II.D.2.a crire la conservation de l'nergie mcanique pour trouver la relation 
entre
la vitesse vz et Hn .
II.D.2.e La probabilit d'absorption entre chaque rebond vaut T1 .
II.D.2.f Sur une distance x, la particule a effectu x/L1 rebonds.
II.D.3.b Ne pas oublier que la fonction d'onde i (z) vrifie l'quation de 
Schrdinger
stationnaire d'nergie Ei . En outre, multiplier chaque membre de l'quation
par 1 , puis intgrer entre z = 0 et z = + pour dterminer la premire
quation diffrentielle.
II.D.3.d |ci |2 est li  la probabilit de trouver la particule dans l'tat 
d'nergie Ei .
II.D.3.f Relier la frquence d'absorption  la frquence du photon mis lorsque 
la
particule passe de l'tat d'nergie E3  celui d'nergie E1 .
II.D.3.h Pour un mouvement sinusodal d'amplitude Xmax et de pulsation , 
l'amplitude de l'acclration s'crit
a0 = 2 Xmax
II.D.3.i Utiliser la relation entre le temps de passage t et la largeur du 
premier pic
d'absorption f :
f t  1

I. Un saut supersonique
I.A.1 Le thorme de Gauss gravitationnel est le suivant :
Le flux sortant du champ de gravitation  travers une surface ferme S
est proportionnel  la masse intrieure Mint  cette surface, d'o
ZZ

-

-
g  d S = -4 G Mint
S

I.A.2 Tout plan contenant le vecteur -
er et passant par M est un plan de symtrie

-

de la distribution de masse, donc g est selon -
er . Par ailleurs, la distribution de la
masse est invariante par rotation selon  et , d'o

-

g = g(r) -
e
r

Choisissons comme surface de Gauss une sphre de rayon r. Pour r > RT , Mint = 
MT .
Par consquent, le thorme de Gauss devient
4 r2 g(r) = -4 G MT
Ainsi

G MT 
-

g (r > RT ) = - 2 -
er
r

Pour r 6 RT ,

Mint =

Par le thorme de Gauss,

4 3
MT r3
r  =
3
RT 3

G MT r -
-

g (r 6 RT ) = -
er
RT 3

On vrifie que les deux expressions concident en r = RT . Cette continuit
du champ est due  la modlisation volumique de la distribution de masse.
I.A.3 Utilisons l'expression du champ gravitationnel en r = RT :
g=

Par consquent,

MT =

G MT
RT 2

g RT 2
= 5,97  1024 kg
G

On rappelle les limites de ce modle : la Terre n'est pas parfaitement immobile 
du fait de sa rotation propre, et n'est pas parfaitement sphrique mais
aplatie aux ples. Ces modifications entranent de lgres corrections dans
l'expression du champ de pesanteur.
I.B.1 En l'absence de frottement, la conservation de l'nergie mcanique du 
sauteur
entre les instants t = 0 (o z = hmin et v = 0) et t = tf (o z = 0 et v = cson 
) s'crit
mghmin =
Ainsi

hmin =

1
m cson 2
2

cson 2
= 5,89 km
2g

I.B.2 Supposons l'acclration de la pesanteur -
g uniforme. De plus, on considre
l'atmosphre isotherme, de temprature T = 300 K. En prsence de la force de
-
frottement FD , le principe fondamental de la dynamique appliqu au sauteur 
dans le
rfrentiel terrestre suppos galilen s'crit

-
d-
v

m
= -mg -
ez + FD
dt
La vitesse est maximale lorsque
mg = KA (z max ) v 2
Posons H = RT/Ma g tel que (z) = 0 e -z/H . Cherchons l'altitude z max telle que
v = cson . Il vient
mg
= 0 e -zmax /H
KA cson 2
L'nonc fournit la vitesse terminale v t = 79,4 m.s-1 . Cette vitesse reste 
constante
a priori jusqu' l'ouverture du parachute. Prenons pour simplifier z = 0.
Cette approximation est vrifie  la fin de la question.
mg = KA 0 v t 2
L'quation en z = z max peut alors s'crire
e zmax /H =

cson
vt

2

Pour T = 300 K, on trouve H = 8,79 km, d'o

cson
z max = 2H ln
= 25,6 km
vt
La valeur de la constante des gaz parfaits R donne dans l'nonc est errone.
En effet, R = 8,31 J.K-1 .mol-1 . Mais cette coquille affecte peu les rsultats.
Il reste  dterminer l'altitude initiale h qui permet d'atteindre z = z max 
avec une
vitesse v = cson . Dcomposons la chute en deux temps : la chute libre jusqu' 
z = z max
puis le systme, toujours soumis  son poids, est maintenant soumis  la force 
de
frottement. Pendant la premire phase, le systme chute de z = h  z = z max et 
sa
vitesse varie de 0  cson . D'aprs la question prcdente,
1
mgh = mgz max + m cson 2
2
p
d'o
cson = 2g (h - z max )
Ainsi

h = z max +

cson 2
= 31,5 km
2g

Faisons quelques remarques :
 la valeur obtenue est du mme ordre de grandeur que la hauteur relle ;
 l'hypothse de l'atmosphre isotherme peut tre remise en cause car  ces 
altitudes, la temprature est loin d'tre gale  300 K ;
 la hauteur calcule est sous-estime. En effet, on a choisi une vitesse 
terminale
en z = 0. En ralit, cette vitesse est obtenue  une altitude plus leve, au
moment o Felix Baumgartner ouvre son parachute. D'aprs le document, la
hauteur d'ouverture du parachute est de l'ordre de 2,5 km.