Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017

kyRd

S?vbB[m2@+?BKB2 R
JS
9 ?2m`2b

*H+mHi`B+2b miQ`Bbû2b

JQmp2K2Mib /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2
*2 bmD2i T`QTQb2 Hûim/2 /2 KQmp2K2Mib /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2- ¨ 
/Bzû`2Mi2b û+?2HH2b /ûM2`;B2
2i /2 HQM;m2m`X a2HQM H2b +b ûim/Bûb- +2b KQmp2K2Mib b2`QMi /û+`Bib T` H 
Kû+MB[m2 +HbbB[m2 Qm [mMiB[m2X
PM T`QTQb2 /Mb mM T`2KB2` i2KTb /2 KQ/ûHBb2` H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2 2i 
/ûim/B2` H /vMKB[m2 /m
bmi bmT2`bQMB[m2 /2 62HBt "mK;`iM2`X G b2+QM/2 T`iB2 /2 +2 bmD2i- BM/ûT2M/Mi2 
/2 H T`2KB`2- +QM+2`M2
Hûim/2 /m KQmp2K2Mi /2 M2mi`QMb /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2X lM2 
TTHB+iBQM ¨ H K2bm`2 /2
HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m` 2bi T`QTQbû2X
lM 2Mb2K#H2 /2 pH2m`b MmKû`B[m2b 2i mM 7Q`KmHB`2 bQMi /BbTQMB#H2b 2M }M 
/ûMQM+ûX AH 2bi +QMb2BHHû /2 H2b HB`2
pMi /2 +QKK2M+2` ¨ i`Bi2` H2 bmD2iX
*2`iBM2b [m2biBQMb- T2m Qm Tb ;mB/û2b- /2KM/2Mi /2 HBMBiBiBp2 /2 H T`i /m 
+M/B/iX G2m` ûMQM+û 2bi `2Tû`û
T` mM2 #``2 2M K`;2X AH 2bi HQ`b /2KM/û /2tTHB+Bi2` +HB`2K2Mi H /ûK`+?2- H2b 
+?QBt 2i /2 H2b BHHmbi`2`H2 +b û+?ûMi- T` mM b+?ûKX G2 #`K2 pHQ`Bb2 H T`Bb2 
/BMBiBiBp2 2i iB2Mi +QKTi2 /m i2KTb Mû+2bbB`2 ¨ H
`ûbQHmiBQM /2 +2b [m2biBQMbX

A lM bmi bmT2`bQMB[m2
AX 

*?KT /2 T2bMi2m` +`ûû T` H h2``2 BKKQ#BH2

PM KQ/ûHBb2 H h2``2 T` mM2 #QmH2 BKKQ#BH2 /2 +2Mi`2 - /2 `vQM
 2i /2 Kbb2 iQiH2  mMB7Q`KûK2Mi `ûT`iB2 2M pQHmK2X lM TQBMi
 2bi `2Tû`û ;`+2 ¨ b2b +QQ`/QMMû2b bT?û`B[m2b    /Mb H #b2
    U};m`2 RVX
PM MQi2    H2 +?KT /2 T2bMi2m` [m2 H h2``2 +`û2 2M mM TQBMi X
a MQ`K2- MQiû2   - 2bi TT2Hû2 BMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`X
AXXRV
úMQM+2` H2 i?ûQ`K2 /2 :mbb TTHB[mû ¨ H ;`pBiiBQMX

SH2 MQ`/

ú[mi2m`

AXXkV
T`b mM 2tK2M T`û+Bb /2b T`QT`Bûiûb /2 bvKûi`B2 2i /BMp@
`BM+2 /2 H /Bbi`B#miBQM /2 Kbb2- ûi#HB` H2tT`2bbBQM /2    ¨ H2tiû@
`B2m` +QKK2 ¨ HBMiû`B2m` /2 H h2``2X
AXXjV
1M miBHBbMi H2b pH2m`b MmKû`B[m2b 7Qm`MB2b 2M }M /ûMQM+û/QMM2` mM2 pH2m` 
MmKû`B[m2 /2 H Kbb2 /2 H h2``2  X
AX" 

SH2 bm/
6B;m`2 R

G2 bmi /2 62HBt "mK;`iM2`

.Q+mK2Mi R , H2 bmi bmT2`bQMB[m2 /2 62HBt "mK;`iM2`
.T`b CXJX *QHBMQ 2i HX- ûim/2 /vMKB[m2 /mM KûKQ`#H2 THQM;2QM 2M +?mi2 HB#`2- 
S?vbB+b hQ/v- p`BH
kyR9X
G2 bmi /2 iQmb H2b `2+Q`/b
G2 R9 Q+iQ#`2 kyRk- 62HBt "mK;`iM2` 2z2+im2- /Mb HiKQbT?`2 i2`@
`2bi`2- mM THQM;2QM ?Q`b@MQ`K2 , H2b `2+Q`/b /2 iQmb b2b T`û/û+2bb2m`b
bQMi #iimbX "mK;`iM2` 7mi iQmi /#Q`/ ?Bbbû Dmb[m¨ mM2 HiBim/2
pQBbBM2 /2 jN FK ;`+2 ¨ mM #HHQM /?ûHBmKX lM TT`2BH :Sa- }tû
bm` b TQBi`BM2- T2`KBi /2 bmBp`2 T`û+BbûK2Mi b TQbBiBQM m +Qm`b /m
bmiX
1M 7ûp`B2` kyRj- H2b Q`;MBbi2m`b /2 +2ii2 KBbbBQM `2M/B`2Mi Tm#HB[m2b
+2b /QMMû2bX *QM}`Kû2b T` H 7û/û`iBQM BMi2`MiBQMH2 /2b bTQ`ib û@
`B2Mb- 2HH2b KQMi`2Mi [m2 "mK;`iM2`  ûi#HB i`QBb `2+Q`/bX S`2KB@
`2K2Mi- BH  ii2BMi mM2 pBi2bb2 KtBKH2 /2 Rj8d-e FK?R- bmTû`B2m`2
/2 RRW ¨ H pBi2bb2 /m bQM /Mb HB` UT`Bb2 û;H2 ¨ j9y KbRVX AH b;Bi 6B;m`2 k 
62HBt "mK;`iM2` m /û@
/2 H THmb ;`M/2 pBi2bb2 p2`iB+H2 DKBb ii2BMi2 bMb /BbTQbBiB7 /2 T`i /2 bQM bmi
bi#BHBbiBQMX .2mtBK2K2Mi- "mK;`iM2`  bmiû /mM2 HiBim/2 `2@
+Q`/ /2 j3-NeN9 FKX 1M}M- BH 2bi `2biû 2M +?mi2 HB#`2 bm` mM2 ?mi2m`
`2+Q`/ /2 je-9yke FKX

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 Rf3

lM2 zB`2 /2 i`BMû2
G2b +Q`Tb [mB +?mi2Mi p2`b H bm`7+2 i2``2bi`2 M2 H2 7QMi Tb bQmb H b2mH2 +iBQM 
/2 H T2bMi2m`X AHb bQMi mbbB
bQmKBb ¨ mM2 7Q`+2 /B`B;û2 /Mb H2 b2Mb QTTQbû ¨ H pBi2bb2- 2t2`+û2 T` HB` 
iKQbT?û`B[m2X *2ii2 7Q`+2- TT2Hû2
7Q`+2 /2 i`BMû2- 2bi T`QTQ`iBQMM2HH2 m +``û /2 H pBi2bb2X 1HH2 2bi /QMMû2 T` H 
`2HiBQM    - Q 
2bi HB`2 /2 HQ#D2i T`QD2iû bm` mM THM Q`i?Q;QMH ¨ H /B`2+iBQM /m KQmp2K2Mi-  H 
Kbb2 pQHmKB[m2 /2 HB`
2i  mM2 +QMbiMi2X
Zm2H[m2b /ûiBHb bm` H2 bmi /2 "mK;`iM2`
G2b /QMMû2b 2M`2;Bbi`û2b T2M/Mi H2 bmi KQMi`2Mi [mBMBiBH2K2Mi- H +QKTQbMi2 /2 H 
pBi2bb2 /2 "mK;`iM2`
T`HHH2 m bQH 2bi MmHH2X *QKK2 HB` 2bi ``û}û 2M ?mi2 HiBim/2- H 7Q`+2 /2 i`Mû2 
DQm2 T2m m /û#mi /m bmi
2i H++ûHû`iBQM /2 "mK;`iM2` bB/2MiB}2 [mbBK2Mi ¨ HBMi2MbBiû /m +?KT /2 
T2bMi2m`X 1MbmBi2- m 7m` 2i
¨ K2bm`2 [m2 H pBi2bb2 m;K2Mi2 2i [m2 HHiBim/2 /BKBMm2- H+iBQM /2 HB` /2pB2Mi 
/2 THmb 2M THmb BKTQ`iMi2
2i H 7Q`+2 /2 i`BMû2 û[mBHB#`2 H2 TQB/bX G pBi2bb2 i2`KBMH2 /2 "mK;`iM2` ii2BMi 
dN-9 KbRX

.Q+mK2Mi k , H2 KQ/H2 /2 HiKQbT?`2 BbQi?2`K2
aQmb H2z2i /2 H T2bMi2m`- H2b KQHû+mH2b +QMbiBimiBp2b /2 HB` QMi i2M/M+2 ¨ 
iQK#2` p2`b H2 bQHX G;BiiBQM
i?2`KB[m2  mM 2z2i Mi;QMBbi2 2i i2M/ ¨ mMB7Q`KBb2` H /Bbi`B#miBQM /2b KQHû+mH2b 
/Mb HiKQbT?`2X GQ`b[mQM
bbBKBH2 HB` ¨ mM ;x T`7Bi 2i [m2 HQM +QMbB/`2 H i2KTû`im`2 2i H T2bMi2m` 
mMB7Q`K2b /Mb HiKQbT?`2BH 2M `ûbmHi2 mM2 /Bbi`B#miBQM /û[mBHB#`2- +`+iû`Bbû2 T` 
H2 +?KT /2 Kbb2 pQHmKB[m2 bmBpMi- [mB M2 /ûT2M/
 
[m2 /2 HHiBim/2  +QKTiû2 /2TmBb H2 bQH ,     FYQ    Q  /ûbB;M2 H Kbb2 pQHmKB[m2 
m MBp2m

/m bQH 2M   -  H +QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib-  H i2KTû`im`2 /2 HiKQbT?`2-  H Kbb2 
KQHB`2 /2 HB`
2i  HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`X
AH 2bi Hû;BiBK2 /2 b2 /2KM/2` TQm`[mQB BH 2bi Mû+2bbB`2 /2 ?Bbb2` H2 bmi2m` ¨ 
mM2 HiBim/2 mbbB ûH2pû2 }M
/ii2BM/`2 H pBi2bb2 /m bQMX
AX"XRV
Zm2HH2 /2p`Bi i`2 HHiBim/2 KBMBKH2 /2 /ûT`i bB H2 bmi2m`- pQmHMi ii2BM/`2 H 
pBi2bb2 /m bQMMûiBi bQmKBb [m¨ H 7Q`+2 /2 T2bMi2m` \
AX"XkV
1M 2tTHQBiMi H2b /Q+mK2Mib R 2i k- /QMM2` mM2 2biBKiBQM /2 H ?mi2m` KBMBKH2 /2 
bmi [mB
T2`K2i /ii2BM/`2 H pBi2bb2 /m bQM m +Qm`b /2 H +?mi2X G2 +?QBt /2 +2`iBM2b 
pH2m`b MmKû`B[m2b `2Hp2
/2 pQi`2 BMBiBiBp2X *QKT`2` H2biBKiBQM Q#i2Mm2 ¨ HHiBim/2 /2 /ûT`i /2 62HBt 
"mK;`iM2` 2i /Bb+mi2` H2b
?vTQi?b2b [m2 pQmb m`2x `2i2Mm2bX

AA úiib biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m`
G T`Bb2 2M +QKTi2 /2 H ;`pBiiBQM /Mb H2b T?ûMQKM2b [mMiB[m2b 2bi mM +?KT +iB7 
BKTQ`iMi /2 `2+?2`+?2
2M T?vbB[m2X G2b 2MD2mt 2M [m2biBQM +QM+2`M2Mi- 2Mi`2 mi`2b- H2 i2bi /2 H 
`Q#mbi2bb2 /2 H HQB /2 L2riQM 2i /2
Hû;HBiû /2b Kbb2b BM2`iB2HH2 2i ;`pBiiBQMM2HH2 ¨ Hû+?2HH2 /2 HBM}MBK2Mi T2iBi- 
Qm 2M+Q`2 H /û+Qmp2`i2 /2 H
KiB`2 MQB`2X
PM +?2`+?2 ¨ /ûi2`KBM2` H2b MBp2mt /ûM2`;B2 /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` 
i2``2bi`2X S` H2m`
K2bm`2- QM T2mi ++û/2` ¨ H pH2m` /2 HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`- bmTTQbû2 
mMB7Q`K2 /Mb iQmi2 H bmBi2
/m bmD2iX
AAX 

ú+?2HH2 +`+iû`BbiB[m2 /2 ?mi2m`

1tKBMQMb H2tTû`B2M+2 `2T`ûb2Miû2 bm` H };m`2 jX lM2 T`iB+mH2 /2 Kbb2 

2bi H+?û2 /2TmBb mM2 ?mi2m`  /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2- p2+ mM2
pBi2bb2 BMBiBH2 MmHH2X 1HH2 2bi bQmKBb2 ¨ H b2mH2 7Q`+2 /2 T2bMi2m`X G2 bQH 2M

   2bi BKTûMûi`#H2 2i +Q``2bTQM/ ¨ mM2 #``B`2 /2 TQi2MiB2H /KTHBim/2   
BM}MB2X PM bmTTQb2 [m2 H2 `2#QM/ bm` H2 bQH b2 7Bi bMb T2`i2 /ûM2`;B2 Kû+MB[m2H 
pBi2bb2 p2`iB+H2 pQvMi bQM b2Mb +?M;2` KBb Tb b MQ`K2X Gt2  2bi
p2`iB+H b+2M/MiX

AAXXRV
.QMM2` H2tT`2bbBQM /2 HûM2`;B2 TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`   /2 H
T`iB+mH2X PM bmTTQb2    X Zm2 T2mi@QM /B`2 /2 HûM2`;B2 Kû+MB[m2 /2 H 6B;m`2 j 
*?mi2 HB#`2 /2@
T`iB+mH2 m +Qm`b /2 bQM KQmp2K2Mi \ _2T`ûb2Mi2`   2M 7QM+iBQM /2  bm` mM TmBb 
mM2 ?mi2m` 
;`T?2 2i v 7B`2 };m`2` HûM2`;B2 Kû+MB[m2 X
AAXXkV
PM b2 TH+2 /Mb H2 +/`2 /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2X .ûi2`KBM2` H2tT`2bbBQM /2 
HûM2`;B2 +BMûiB[m2
/2 H T`iB+mH2 ¨ mM2 HiBim/2  [m2H+QM[m2 +QKT`Bb2 2Mi`2  2i X G2tT`BK2` 2M 
7QM+iBQM /2 - -  2i X
AAXXjV
hQmDQm`b /Mb H2 +/`2 /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2- [m2HH2b bQMi H2b HiBim/2b 
++2bbB#H2b ¨ H T`iB+mH2 \
}M /2 +QKTHûi2` pQi`2 `ûTQMb2- /û}MB` 2i +H+mH2` H T`Q
+HbbB[m2 E  /2 H T`iB+mH2
2Mi`2 H2b HiBim/2b  2i  EX PM T`û+Bb2 [m2 H T`Q
2bi T`QTQ`iBQMM2HH2
¨ H /m`û2 Tbbû2 T` H T`iB+mH2 2Mi`2 +2b /2mt HiBim/2bX PM p2BHH2` ¨ MQ`KHBb2` 
+Q``2+i2K2Mi +2ii2 HQB /2
E
2M 7QM+iBQM /2 X *QKK2Mi2` [mHBiiBp2K2Mi H2 ;`T?2
T`Q
E
Q#i2MmX
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 kf3

 X Zm2HH2 2bi b /BK2MbBQM \

1M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /m [mMimK /ûM2`;B2 TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`  2M 7QM+iBQM 
/2 -  2i  X
PM /û}MBi H ;`M/2m` bmBpMi2 ,   

AAXX9V
AAXX8V

AAXXeV TTHB+iBQM MmKû`B[m2
.QMM2` H2b pH2m`b MmKû`B[m2b /2  2i /2  U2M 2oV TQm` mM M2mi`QMX

AAXXdV
G2 i#H2m R T`ûb2Mi2 H2b +`+iû`BbiB[m2b /2 /Bzû`2Mib M2mi`QMbX Zm2H ivT2 /2 
M2mi`QM pQmb T`i
H2 KB2mt /Tiû ¨ H KBb2 2M ûpB/2M+2 2tTû`BK2MiH2 /2  \ CmbiB}2` H `ûTQMb2X
L2mi`QM /2 }bbBQM L2mi`QM i?2`KB[m2
úM2`;B2

k J2o

 NT

oBi2bb2

AAX" 

L2mi`QM 7`QB/

k8 K2o

j K2o

kkyy KbR

3yy KbR

L2mi`QM mHi`7`QB/
  OF7
  NT

h#H2m R *iû;Q`B2b /2 M2mi`QMb

TT`Q+?2 b2KB@+HbbB[m2

.Q+mK2Mi j , _;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/
.T`b X J2bbB?- Jû+MB[m2 ZmMiB[m2- iQK2 R- .mMQ/X
G2b T`2KB`2b 2tTû`B2M+2b bm` H2b iQK2b m /û#mi /m pBM;iBK2 bB+H2 pB2Mi T2`KBb 
/2 `ûpûH2` H Mim`2 /Bb+`i2
/2 H2m`b MBp2mt /ûM2`;B2X *2T2M/Mi- H2b HQBb /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2 M2 
T2`K2iiB2Mi Tb /2 `2M/`2 +QKTi2
/2 +2 7Bi 2tTû`BK2MiH 2i T`ûpQvB2Mi mM2 /Bbi`B#miBQM +QMiBMm2 /2b ûM2`;B2b 
TQbbB#H2bX
SQm` `2M/`2 +QKTi2 /2 H [mMiB}+iBQM /2 HûM2`;B2- "Q?` 2i aQKK2`72H/ T`QTQb2Mi 
H2 T`Q+û/û bmBpMi , QM
/K2i [m2 H T`iB+mH2 bmBi H2b HQBb /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2 2i QM M2 `2iB2Mi [m2 
H2b bQHmiBQMb [mB pû`B}2Mi mM2
`;H2 /2 [mMiB}+iBQM / ?Q+X
*QMbB/û`QMb H2t2KTH2 /mM Qb+BHHi2m` ?`KQMB[m2 /QMi H2 KQmp2K2Mi 2bi +QMi`BMi /2 
b2 7B`2 H2 HQM; /mM
t2  X 1M MQiMi  H TmHbiBQM T`QT`2 /2 HQb+BHHi2m` 2i  b Kbb2- bQM ûM2`;B2 
Kû+MB[m2 b2tT`BK2

  - Q  2i  `2T`ûb2Mi2Mi `2bT2+iBp2K2Mi H [mMiBiû /2 KQmp2K2Mi 2i H#b+Bbb2 /2
T`   

HQb+BHHi2m` mMB/BK2MbBQMM2HX

6B;m`2 9 P`#Bi2 /2 T?b2
/mM Qb+BHHi2m` ?`KQMB[m2
/ûM2`;B2 

*2ii2 `2HiBQM /û}MBi- /Mb H2bT+2 /2b T?b2b   - mM2 +Qm`#2 72`Kû2 bbQ+Bû2
¨ H pH2m` /2 - +2bi HQ`#Bi2 /2 T?b2X SQm` HQb+BHHi2m` ?`KQMB[m2- +2ii2 +Qm`#2
2bi mM2 2HHBTb2 UpQB` };m`2 9VX GB`2 BMiû`B2m`2 ¨ HQ`#Bi2 /2 T?b2 2bi û;H2 ¨ 
H+iBQM
 /2 HQb+BHHi2m` ,
     E  

a2HQM "Q?` 2i aQKK2`72H/- H2b b2mH2b ûM2`;B2b T2`KBb2b bQMi +2HH2b TQm` 
H2b[m2HH2b
H+iBQM  2bi mM KmHiBTH2 2MiB2` /2 H +QMbiMi2 /2 SHM+F X *2H b2 i`/mBi T`
H `;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/ ,
     E  

p2+

SQm` HQb+BHHi2m` ?`KQMB[m2- +2ii2 +QM/BiBQM /QMM2 +QKK2 2tT`2bbBQM TT`Q+?û2 /2b 
ûM2`;B2b TQbbB#H2b /2
HQb+BHHi2m` ,   X
G `;H2 /2 [mMiB}+iBQM /2 "Q?`@aQKK2`72H/ +QMbiBim2 mM2 TT`QtBKiBQM- /Bi2 
b2KB@+HbbB[m2- [mB 2bi ++2T@
i#H2 HQ`b[m2 H2b p`BiBQMb bTiBH2b /2 H HQM;m2m` /QM/2 /2 /2 "`Q;HB2 /2 H 
T`iB+mH2 bQMi 7B#H2bX
.Mb H2 `û;BK2 /2 +?mi2 HB#`2 [mMiB[m2- H2b ûM2`;B2b TQbbB#H2b /mM M2mi`QM /Mb 
H2 +?KT /2 T2bMi2m` 7Q`K2Mi
mM bT2+i`2 /Bb+`2iX *?[m2 MBp2m /ûM2`;B2 T2mi i`2 `2Tû`û T` mM 2MiB2`    2i 
+Q``2bTQM/ ¨ mM2 ?mi2m`
 X .2 7ÏQM BK;û2- QM T2mi /B`2 [m2 bB H T`iB+mH2 /2 H };m`2 j 2bi mM M2mi`QM- 
H2b ?mi2m`b /2 `2#QM/ 
bQMi [mMiB}û2b 2i M2 T2mp2Mi T`2M/`2 [m2 H2b pH2m`b /Bb+`i2b  X
1M miBHBbMi H2 /Q+mK2Mi j- T`QTQb2` mM2 2tT`2bbBQM TT`Q+?û2 /2b MBp2mt /ûM2`;B2 
 /mM M2mi`QM /Mb H2
+?KT /2 T2bMi2m` 2M K2iiMi 2M mp`2 mM2 TT`Q+?2 b2KB@+HbbB[m2X
AAX*  .ûi2`KBMiBQM /2b ûiib biiBQMMB`2b T` `ûbQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2`
PM T`QTQb2 KBMi2MMi /2 /ûi2`KBM2` H2b ûiib biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM /ûM2`;B2  2i 
/2 Kbb2  /Mb
H2 +?KT /2 T2bMi2m` m@/2bbmb /2 H bm`7+2    T` `ûbQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 
a+?`/BM;2`X G 7QM+iBQM

/QM/2 [mB /û+`Bi H2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM 2bi ,       FYQ J X PM /K2i [m2 H 
7QM+iBQM /QM/2

T`QT`2   2bi bQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/ûT2M/Mi2 /m i2KTb [mB 2bi 
`TT2Hû2 /Mb H2 7Q`KmHB`2X
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 jf3

G2 M2mi`QM M2 T2mi Tb TûMûi`2` /Mb H2 bQH /QMi H bm`7+2 +QMbiBim2 mM2 #``B`2 /2 
TQi2MiB2H /KTHBim/2
BM}MB2X PM +QMbB/`2 /QM+ [m2       2i [m2 TQm`   -   +QMb2`p2 H KK2 2tT`2bbBQM 
[m¨ H
[m2biBQM AAXXRX
AAX*XRV
Zm2bi@+2 [mmM ûii biiBQMMB`2 \
ú+`B`2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/ûT2M/Mi2 /m i2KTb bQmb 7Q`K2 /BK2MbBQMMû2 2M 
miBHBbMi

HHiBim/2 /BK2MbBQMMû2  
2i HûM2`;B2 /BK2MbBQMMû2   X

.Mb H bmBi2- QM miBHBb2` mbbB #B2M H2b p`B#H2b bMb /BK2MbBQM  2i  [m2 H2b 
;`M/2m`b /BK2MbBQMMû2b
+Q``2bTQM/Mi2b  2i X
AAX*XjV
Zm2HH2b bQMi H2b +QM/BiBQMb mt HBKBi2b [mB bBKTQb2Mi ¨   \
AAX*XkV

AAX*X9V

G bQHmiBQM ++2Ti#H2 /2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/ûT2M/Mi2 /m i2KTb /BK2MbBQMMû2 
bû+`Bi
    "J   

Q  2bi mM 7+i2m` /2 MQ`KHBbiBQM U[mB M2bi Tb ¨ +H+mH2`VX hQmi2b H2b BM7Q`KiBQMb 
miBH2b bm` H 7QM+iBQM
/B`v "J U`2T`ûb2MiiBQM ;`T?B[m2- HBbi2 /2b i`QBb T`2KB2`b xû`Qb 2i +QKTQ`i2K2Mi 
bvKTiQiB[m2 2M V bQMi
/QMMû2b /Mb H2 7Q`KmHB`2 2M }M /ûMQM+ûX
.QMM2` H2b pH2m`b MmKû`B[m2b /2b MBp2mt /ûM2`;B2     TQm` H2b /2mt T`2KB2`b 
MBp2mt /ûM2`;B2
U   2i VX *QKT`2` p2+ H2b pH2m`b TT`Q+?û2b Q#i2Mm2b ¨ H [m2biBQM AAX"X
AAX*X8V
_2T`ûb2Mi2` HHHm`2 /2 H /2MbBiû /2 T`Q
7QM+iBQM /2  TQm` H2b
/2mt T`2KB2`b MBp2mt /ûM2`;B2X PM 2tTHB+Bi2` H /ûK`+?2 bmBpB2X Zm2HH2UbV 
/Bzû`2M+2UbV MQi#H2UbV T2mi@QM
`2H2p2` T` `TTQ`i m +b +HbbB[m2 U[m2biBQM AAXXjV \
AAX. 

aT2+i`Qb+QTB2 `ûbQMMi2 ;`pBiiBQMM2HH2

.Q+mK2Mi 9 , H2tTû`B2M+2 ["QmM+2
G K2bm`2 /2b MBp2mt /ûM2`;B2 /mM M2mi`QM /Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` T2`K2i /++û/2` 
¨ H pH2m` /2
HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`X G +QKT`BbQM 2Mi`2 H2b K2bm`2b 2i H KQ/ûHBbiBQM 
i?ûQ`B[m2 T2`K2i /2
pHB/2` H i?ûQ`B2 /2 H ;`pBiiBQM mt û+?2HH2b +QMbB/û`û2bX
G2tTû`B2M+2 ["QmM+2 T2`K2i /2 K2bm`2` T`û+BbûK2Mi H2b MBp2mt /ûM2`;B2 /2b ûiib 
biiBQMMB`2b /mM M2mi`QM
/Mb H2 +?KT /2 T2bMi2m` i2``2bi`2X 1HH2 2bi `ûHBbû2 m KQv2M /m /BbTQbBiB7 
b+?ûKiBbû bm` H };m`2 8X

62Mi2 +QHHBKi`B+2

M2mi`QM

/ûi2+i2m`

6B;m`2 8 a+?ûK /m /BbTQbBiB7 2tTû`BK2MiH /2 H2tTû`B2M+2 ["QmM+2X .T`b hX C2MF2 
2i HX- _2@
HBxiBQM Q7 ;`pBiv `2bQMM+2 bT2+i`Qb+QTv i2+?MB[m2- Lim`2 S?vbB+b d- 9e3@9dk 
UkyRRV
G2 /BbTQbBiB7 2tTû`BK2MiH 2bi +QMbiBimû /2b ûHûK2Mib bm++2bbB7b bmBpMib ,
 mM2 72Mi2 +QHHBKi`B+2- ¨ i`p2`b H[m2HH2 H2b M2mi`QMb bQMi BMD2+iûb /Mb H2 
/BbTQbBiB7 c
 mM T`2KB2` ;mB/2- +QMbiBimû /mM KB`QB` ¨ M2mi`QMb  Up2``2 QTiB[m2 TQHBV bm` b 
T`iB2 #bb2 2i /mM
ûHûK2Mi #bQ`#2m` /2 M2mi`QMb  bm` H T`iB2 ?mi2 /m ;mB/2 U};m`2 8VX G2 KB`QB` 2i 
H#bQ`#2m` bQMi
bûT`ûb /mM2 ?mi2m`     ËNX *2 ;mB/2  mM2 HQM;m2m` Ub2HQM V     DNX PM H2 bmTTQb2
BMp`BMi T` i`MbHiBQM /Mb Hmi`2 /B`2+iBQM ?Q`BxQMiH2  c
 mM KB`QB` ¨ M2mi`QMb   - /2 HQM;m2m` ?Q`BxQMiH2     DN b2HQM  2i /QMi H 
TQbBiBQM Qb+BHH2
p2`iB+H2K2Mi ¨ H TmHbiBQM - /2 bQ`i2 [m2 H++ûHû`iBQM p2`iB+H2 /2 H bm`7+2 
`û~û+?BbbMi2 T` `TTQ`i m
`û7û`2MiB2H i2``2bi`2 UbmTTQbû ;HBHû2MV bû+`Bi ,     DPT  X *2 KB`QB` 2bi mbbB 
BMp`BMi T` i`MbHiBQM
b2HQM Hmi`2 /B`2+iBQM ?Q`BxQMiH2  c
 mM b2+QM/ ;mB/2   - B/2MiB[m2 m T`2KB2` c
 mM /ûi2+i2m` /2 M2mi`QMb ¨ H bQ`iB2 /m /BbTQbBiB7X
G2b M2mi`QMb i`p2`b2Mi H2 /BbTQbBiB7 p2+ mM2 pBi2bb2 ?Q`BxQMiH2     NT [mB 
`2bi2 BM+?M;û2 iQmi H2 HQM;
/m /BbTQbBiB7X

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 9f3

*2`iBM2b pH2m`b MmKû`B[m2b Mû+2bbB`2b ¨ H `ûbQHmiBQM /2b [m2biBQMb bmBpMi2b 
};m`2Mi /Mb H2 /Q+mK2Mi 9X
AAX.XRV LBp2mt /ûM2`;B2 /Mb H2 ;mB/2 ¨ M2mi`QMb
.Mb mM ;mB/2- QM /û+`Bi H2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM- /Mb H2 `û7û`2MiB2H i2``2bi`2 
bmTTQbû ;HBHû2M- T` mM2 7QM+iBQM
/QM/2 /2 H 7Q`K2 ,
      FYQ J

 FYQJ    

X *2ii2 7QM+iBQM /QM/2 /QBi pû`B}2` Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` `TT2Hû2 ¨ H }M /m 
bmD2iX

V
Zm2 /û+`Bi H2 7+i2m` FYQJ     \ JQMi`2` [m2   2bi bQHmiBQM /mM2 û[miBQM /2 
a+?`/BM;2`
BM/ûT2M/Mi2 /m i2KTb- bbQ+Bû2 ¨ mM2 ûM2`;B2 X
G2b +QM/BiBQMb mt HBKBi2b [mB bBKTQb2Mi ¨   bQMi ,       2i      X 1HH2b 
2Mi`M2Mi mM2
[mMiB}+iBQM /2 HûM2`;B2 X PM MQi2  U   V +?+mM2 /2b pH2m`b miQ`Bbû2bX
#V .Mb +2ii2 [m2biBQM mMB[m2K2Mi- QM Mû;HB;2 HBM~m2M+2 /2 H ;`pBiû U   VX 
CmbiB}2` [mHQ`b H2 bT2+i`2
/ûM2`;B2 2bi +2HmB /m TmBib /2 TQi2MiB2H BM}MBK2Mi T`Q7QM/ /2 H`;2m` X
PM MQi2  H2b pH2m`b +Q``2bTQM/Mi2b- p2+    X .QMM2` H2tT`2bbBQM /2  2M 7QM+iBQM 
/2 - - 
2i X
+V
G };m`2 e /QMM2 mM2 `2T`ûb2MiiBQM /2 HûM2`;B2 /BK2MbBQMMû2     /m MBp2m 
7QM/K2MiH 2M
7QM+iBQM /2  /Mb mM2 û+?2HH2 HQ;`Bi?KB[m2X *2b pH2m`b QMi ûiû Q#i2Mm2b T` mM2 
`ûbQHmiBQM MmKû`B[m2X
p2+  

6B;m`2 e

úpQHmiBQM /2 HûM2`;B2 /BK2MbBQMMû2 /m MBp2m 7QM/K2MiH 2M 7QM+iBQM /2 H ?mi2m`
/BK2MbBQMMû2 /m ;mB/2 Uû+?2HH2 HQ;`Bi?KB[m2V

.ûi2`KBM2` H T2Mi2 /2 HbvKTiQi2 /Mb H HBKBi2    2i BMi2`T`ûi2` H2 `ûbmHiiX 
Zm2HH2 pH2m` /2  `2i`Qmp2@
i@QM /Mb H HBKBi2    \

/V
liBHBb2` H };m`2 e TQm` /ûi2`KBM2` H pH2m` /2 HûM2`;B2 /BK2MbBQMMû2  /m MBp2m 
7QM/K2MiH /mM
M2mi`QM [mB ûpQHm2 /Mb H2 ;mB/2X
AAX.XkV #bQ`TiBQM bûH2+iBp2 /2b M2mi`QMb /Mb H2 ;mB/2
}M /2 KQ/ûHBb2` bBKTH2K2Mi H#bQ`TiBQM /2b M2mi`QMb /Mb H2 ;mB/2 2M 7QM+iBQM /2 
H2m` ûM2`;B2- QM bbQ+B2 m
MBp2m /ûM2`;B2  mM2 i`D2+iQB`2 T`#QHB[m2 m b2Mb /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2 i2HH2 
[m2 H2 M2mi`QM `2#QM/Bi
bm` H2 KB`QB` BM7û`B2m` 2i ii2BMi H2 bQKK2i /2 b i`D2+iQB`2 ¨ H ?mi2m`  
m@/2bbmb /m KB`QB` BM7û`B2m`X G
/BbiM+2 ?Q`BxQMiH2 T`+Qm`m2 T` mM M2mi`QM 2Mi`2 /2mt `2#QM/b bm++2bbB7b bm` H2 
KB`QB` BM7û`B2m` 2bi MQiû2 
U};m`2 dVX

6B;m`2 d

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

_2#QM/b /mM M2mi`QM /Mb mM ;mB/2

S;2 8f3

V

1M miBHBbMi H2b HQBb /2 H Kû+MB[m2 +HbbB[m2- KQMi`2` [m2    

UQM `TT2HH2 [m2  2bi H

pBi2bb2 ?Q`BxQMiH2 /mM M2mi`QMVX
#V G2b M2mi`QMb T2mp2Mi i`2 bûH2+iBp2K2Mi #bQ`#ûb T` H#bQ`#2m` 2M 7QM+iBQM /2 
H2m` ûM2`;B2 b2HQM H `;H2
bmBpMi2 ,
 bB   - H2 M2mi`QM 2bi #bQ`#û HQ`b /mM2  +QHHBbBQM  p2+ H#bQ`#2m` 2i M2 T`pB2Mi 
/QM+ Tb ¨ i`p2`b2`
H2 ;mB/2 c
 bB   - H2 M2mi`QM T2mi ii2BM/`2 H ?mi2m`  T` 2z2i imMM2H /2TmBb H2 bQKK2i /2 b 
i`D2+iQB`2 2i
i`2 #bQ`#ûX G T`Q
i`D2+iQB`2 2bi
MQiû2  X PM /QMM2 bQM 2tT`2bbBQM TT`Q+?û2 ,
  FYQ  

PM /QMM2 ,     ËN-     ËN 2i     ËNX
úiMi /QMMû2 H pH2m` /2 - [m2HH2b bQMi H2b ûM2`;B2b /2b M2mi`QMb bmb+2TiB#H2b /2 
i`p2`b2` H2 ;mB/2 \
+V ZmTT2HH2@i@QM 2z2i imMM2H 2M Kû+MB[m2 [mMiB[m2 \ *Bi2` mM T?ûMQKM2 T?vbB[m2 
/2 pQi`2 +QMMBbbM+2
[mB 7Bi BMi2`p2MB` +2i 2z2iX
PM bBMiû`2bb2 ¨ H i`MbKBbbBQM ¨ i`p2`b H2 ;mB/2 /2b M2mi`QMb /ûM2`;B2  X
/V TTHB+iBQM MmKû`B[m2
*H+mH2` H pH2m` MmKû`B[m2 /2  X
2V
PM MQi2  U  V H T`Q
1tT`BK2` 
2M 7QM+iBQM /2  2i  - TmBb  2M 7QM+iBQM /2  2i  X

7V
1M /û/mB`2 H2tT`2bbBQM /2 H T`Q
#bQ`#û T`b pQB`
T`+Qm`m- /2TmBb H2Mi`û2 /m ;mB/2- mM2 /BbiM+2 ?Q`BxQMiH2 X PM 72` TT`i`2 H 
HQM;m2m` +`+iû`BbiB[m2
/#bQ`TiBQM     X
;V TTHB+iBQM MmKû`B[m2
PM /K2i [mQM T2mi /û}MB` /2 KK2 mM2 HQM;m2m` +`+iû`BbiB[m2 /#bQ`TiBQM
 TQm` H2b M2mi`QMb /ûM2`;B2  X PM /QMM2     DNX
*H+mH2` H pH2m` MmKû`B[m2 /2  X *QKT`2`  2i  ¨ H HQM;m2m` /m ;mB/2X *QM+Hm`2 
[mMi ¨ H bûH2+iBpBiû
/m ;mB/2 b2HQM HûM2`;B2 /2b M2mi`QMbX
AAX.XjV J2bm`2 /2 HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m`
.Mb H T`iB2 BMi2`Kû/BB`2 /m /BbTQbBiB7- H2 KB`QB` BM7û`B2m` Qb+BHH2 ¨ H 
TmHbiBQM  miQm` /mM2 TQbBiBQM
KQv2MM2X G2 KQmp2K2Mi /m M2mi`QM /Mb +2ii2 xQM2 2bi ûim/Bû /Mb H2 `û7û`2MiB2H  
HBû m KB`QB` KQ#BH2X SQm`

+2- QM miBHBb2 H 7QM+iBQM /QM/2 ,        FYQJ    - p2+  
X PM T2mi KQMi`2` UH2 +H+mH

M2bi Tb /2KM/ûV [m2    pû`B}2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` mMB/BK2MbBQMM2HH2 bmBpMi2 ,
J

GûM2`;B2 TQi2MiB2HH2    /mM M2mi`QM /Mb +2ii2 xQM2 bû+`Bi      
   Q HûM2`;B2
TQi2MiB2HH2 /2 T2bMi2m`    H KK2 2tT`2bbBQM [m¨ H [m2biBQM AAXXR 2i Q    2bi 
HûM2`;B2 TQi2MiB2HH2
/QMi /û`Bp2 H 7Q`+2 /BM2`iB2 /2Mi`M2K2MiX
V
CmbiB}2` [m2 H2 `û7û`2MiB2H  2bi MQM ;HBHû2MX úi#HB` H2tT`2bbBQM        Q   
`2T`ûb2Mi2
H++ûHû`iBQM p2`iB+H2 /m KB`QB` KQ#BH2 T` `TTQ`i m `û7û`2MiB2H i2``2bi`2X
#V
PM +?2`+?2 mM2 bQHmiBQM /2 Hû[miBQM /2 a+?`/BM;2` bQmb H 7Q`K2 bmBpMi2 ,
      FYQ J

  FYQ J

PM `TT2HH2 [m2 H2b 7QM+iBQMb /QM/2   2i   bQMi +2HH2b [mB QMi ûiû /û}MB2b ¨ H 
[m2biBQM AAX*X9 c 2HH2b
bQMi `2bT2+iBp2K2Mi bbQ+Bû2b mt MBp2mt /ûM2`;B2  2i  X PM H2b bmTTQb2 
+Q``2+i2K2Mi MQ`KHBbû2bX G2b
+Q2{+B2Mib   2i   bQMi +QKTH2t2bX PM /û}MBi H2b +Q2{+B2Mib bmBpMib ,

 E

 E

       E

PM T`û+Bb2 [m2 ,      E  X PM /û}MBi mbbB H TmHbiBQM  

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 ef3

X

úi#HB` H2b û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b bmBpMi2b ,
E 
 FYQ J    
     
E
E 
J 
   
      FYQ J 
E

J

PM H2m` /DQBMi H2b +QM/BiBQMb BMBiBH2b bmBpMi2b ,       2i      X

+V
CmbiB}2` H2 +?QBt /2b +QM/BiBQMb BMBiBH2bX
/V
PM 2MpBb;2 H2 +b Q     UKB`QB` BKKQ#BH2VX AMi2`T`ûi2` H2b bQHmiBQMb   2i   
Q#i2Mm2b /Mb +2
+bX
2V GQ`b[m2     DPT  - H `ûbQHmiBQM /2 +2b /2mt û[miBQMb /Bzû`2MiB2HH2b 2bi 
2z2+imû2 T` pQB2 MmKû`B[m2X

.Mb H };m`2 3- QM  `2T`ûb2Miû   2i   2M 7QM+iBQM /m i2KTb- TQm` /Bzû`2Mi2b 
pH2m`b /2 H TmHbiBQM
/2t+BiiBQM  2i /Bzû`2Mi2b pH2m`b /2  X

  -  

] ] - ] ]

6B;m`2 3 úpQHmiBQM i2KTQ`2HH2 /2   U2M i`Bi +QMiBMmV 2i   U2M TQBMiBHHûbV TQm` 
i`QBb pH2m`b
/Bzû`2Mi2b /m `TTQ`i  2i mM2 KK2 KTHBim/2 /++ûHû`iBQM /m KB`QB`   UHB;M2 
bmTû`B2m`2V- TmBb
TQm` i`QBb pH2m`b /2 +2ii2 ++ûHû`iBQM UmMBiû `#Bi`B`2V ¨ H TmHbiBQM  UHB;M2 
BM7û`B2m`2VX
Zm2H 2bi H2z2i /2 H KBb2 2M Qb+BHHiBQM /m KB`QB` \ SQm`[mQB T`H2@i@QM /2 
`ûbQMM+2
HQ`b[m2    \
!
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+,4& 5+6/789779:/ !)#7"

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6B;m`2 N hmt /2 i`MbKBbbBQM /2b M2mi`QMb 2M 7QM+iBQM /2 H 7`û[m2M+2X 6B;m`2 
2ti`Bi2 /2 :X *`QM2M#2`;
2i HX-  :`pBiv Q7 1`i? K2bm`2K2Mi rBi?  ["QmM+2 2tT2`BK2Mi- S`Q+22/BM;b Q7 i?2 
1Sa *QM72`2M+2 QM
>B;? 1M2`;v S?vbB+b kyR8- `sBp ,R8RkXyNRj9

kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 df3

7V
G };m`2 N `2T`ûb2Mi2 H2 MQK#`2 /2 M2mi`QMb `2+m2BHHBb T` mMBiû /2 i2KTb ¨ H 
bQ`iB2 /m b2+QM/ ;mB/2 2M
7QM+iBQM /2 H 7`û[m2M+2 /Qb+BHHiBQM /m KB`QB`X
G /BKBMmiBQM /m imt /2 i`MbKBbbBQM /2b M2mi`QMb Q#b2`pû2 2Mi`2 9yy >x 2i 8yy >x 
BKTHB[m2 H2b ûiib /ûM2`@
;B2  2i  X 1tTHB[m2` TQm`[mQB H2 imt /2 i`MbKBbbBQM T`ûb2Mi2 mM2 pH2m` KBMBKH2 
/Mb +2i BMi2`pHH2
/2 7`û[m2M+2X G2tTû`B2M+2 KQMi`2 [m2 +2ii2 pH2m` KBMBKH2 /ûT2M/ /2 HKTHBim/2  
/2 H++ûHû`iBQM /m
KB`QB`   X GQ`b[mQM m;K2Mi2  ¨ T`iB` /mM2 pH2m` MmHH2- H pH2m` KBMBKH2 /m 
MQK#`2 /2 M2mi`QMb
/ûi2+iûb ¨ H bQ`iB2 /m /2`MB2` ;mB/2 +QKK2M+2 T` /BKBMm2` pMi /m;K2Mi2` ¨ 
MQmp2mX AMi2`T`ûi2` +2ii2
ûpQHmiBQM 2M bB/Mi /2 H };m`2 3X
*QKK2Mi 2tTHB[m2` H +?mi2 bBKBHB`2 /m imt /2 i`MbKBbbBQM 2Mi`2 eyy >x 2i dyy >x 
\
;V
.û/mB`2 mM2 pH2m` MmKû`B[m2 /2 HBMi2MbBiû /m +?KT /2 T2bMi2m` - ++QKT;Mû2 /2 
bQM BM+2`iBim/2b+?Mi [m2 H 7`û[m2M+2 /2 `ûbQMM+2 2bi û;H2 ¨ 9e9 >x p2+ mM2 
BM+2`iBim/2 /2 R-y >xX
?V
G2b K2bm`2b /2 H };m`2 N QMi ûiû Q#i2Mm2b TQm` mM2 KTHBim/2 /++ûHû`iBQM     NT 
X § [m2HH2
KTHBim/2 /2 /ûTH+2K2Mi /m KB`QB` +Q``2bTQM/@2HH2 ¨ H `ûbQMM+2 \ *QKK2Mi2` 
HQ`/`2 /2 ;`M/2m` Q#i2MmX
BV
1M 2tTHQBiMi H +Qm`#2 /2 H };m`2 N- 2biBK2` H2 i2KTb /2 Tbb;2 /mM M2mi`QM 
m@/2bbmb /m KB`QB`
Qb+BHHMiX PM 2tTHB+Bi2` H /ûK`+?2 bmBpB2X *QKT`2` p2+ H pH2m` [mQM T2mi /û/mB`2 
/m /Q+mK2Mi 9X

.QMMû2b MmKû`B[m2b
*QMbiMi2 /2 ;`pBiiBQM mMBp2`b2HH2

      LH N T

_vQM /2 H h2``2
AMi2MbBiû KQv2MM2 /m +?KT /2 T2bMi2m` ¨ H bm`7+2 /2 H h2``2
*QMbiMi2 /2b ;x T`7Bib

      LN
    NT

    +, NPM

Jbb2 KQHB`2 /2 HB`

      LHNPM

*QMbiMi2 /2 SHM+F

      +T

*QMbiMi2 /2 SHM+F `û/mBi2

      +T

Jbb2 /m M2mi`QM

      LH

 F7      +

úH2+i`QM@pQHi

6Q`KmHB`2

ú[miBQM /2 a+?`/BM;2` BM/ûT2M/Mi2 /m i2KTb , 

PTû`i2m` HTH+B2M 2M +QQ`/QMMû2b +`iûbB2MM2b ,    

_2HiBQM 2Mi`2 H`;2m` bT2+i`H2 2i /m`û2 ,     
6QM+iBQM /B`v

 ú[miBQM /2 a+?`/BM;2` , J

*QKTQ`i2K2Mi bvKTiQiB[m2 2M

"J 

"J 

FYQ    

h`QBb T`2KB2`b xû`Qb /2 "J 

r r r 6AL r r r
kyRd@yj@R8 Ry,RR,jj

S;2 3f3

R

k

j

k-j9

9-yN

8-8k

Centrale Physique et Chimie 1 MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Louis Salkin (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce sujet s'intéresse à la chute des corps dans le champ de pesanteur terrestre, 
d'un
point de vue classique puis quantique. Il est composé de deux parties 
indépendantes
très inégales.
· Dans la première partie, très courte, on utilise le théorème de Gauss pour
déterminer l'expression du champ de pesanteur dans le cas d'une distribution
de masse sphérique. Ensuite, on étudie la chute de Felix Baumgartner (2012).
Compte tenu de l'altitude de départ (presque 39 km), il est légitime d'aborder
une première phase de mouvement sans frottement. La prise en compte des
frottements de l'air, qui peuvent devenir prépondérants, permet d'expliquer les
différentes mesures effectuées lors de ce saut hors norme. Les dernières 
questions
sont relativement ouvertes, conformément à l'esprit des nouveaux programmes.
· Dans la seconde partie, on s'intéresse à la chute quantique d'un neutron. Dans
un premier temps, on introduit les notions de quantum de longueur et d'énergie.
Ensuite, on détermine les états stationnaires du neutron dans le champ de
pesanteur par résolution de l'équation de Schrödinger. On termine cette partie
en étudiant le dispositif qBounce de mesure des niveaux d'énergie du neutron.
Même si elle comporte quelques questions relativement ouvertes, cette partie
repose essentiellement sur le cours de mécanique quantique de seconde année,
notamment sur la résolution de l'équation de Schrödinger.
Intéressant et bien construit, ce sujet fait appel à de nombreuses connaissances
relatives à la mécanique de première année et à la physique quantique. Au vu des
épreuves de l'année précédente, il faut s'attendre à d'autres sujets de 
mécanique
quantique dans les années à venir.

Indications
Partie I
I.B.2 Décomposer le mouvement en deux étapes : tout d'abord l'objet n'est soumis
qu'à son poids et sa vitesse augmente jusqu'à la vitesse du son en z = z max .
Ensuite, le système subit aussi la force de frottement qui va le freiner.
Partie II
II.A.3 Déterminer l'expression de la durée dt entre les deux positions z et z + 
dz.
Par ailleurs, normaliser la loi de probabilité permet de trouver la constante
de proportionnalité entre dPcl et dt.
II.A.7 L'énergie du neutron doit être du même ordre de grandeur que le quantum
d'énergie potentielle.
II.B Représenter l'orbite de phase avec une énergie potentielle m g z. L'aire 
sous
la courbe est délimitée par z = 0 et z = H.
II.C.4 Montrer que les niveaux d'énergie n coïncident avec les zéros de la 
fonction
d'Airy.
II.C.5 La densité de probabilité de présence s'écrit |(z)|2 .
II.D.2.a Écrire la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la relation 
entre
la vitesse vz et Hn .
II.D.2.e La probabilité d'absorption entre chaque rebond vaut T1 .
II.D.2.f Sur une distance x, la particule a effectué x/L1 rebonds.
II.D.3.b Ne pas oublier que la fonction d'onde i (z) vérifie l'équation de 
Schrödinger
stationnaire d'énergie Ei . En outre, multiplier chaque membre de l'équation
par 1 , puis intégrer entre z = 0 et z = + pour déterminer la première
équation différentielle.
II.D.3.d |ci |2 est lié à la probabilité de trouver la particule dans l'état 
d'énergie Ei .
II.D.3.f Relier la fréquence d'absorption à la fréquence du photon émis lorsque 
la
particule passe de l'état d'énergie E3 à celui d'énergie E1 .
II.D.3.h Pour un mouvement sinusoïdal d'amplitude Xmax et de pulsation , 
l'amplitude de l'accélération s'écrit
a0 = 2 Xmax
II.D.3.i Utiliser la relation entre le temps de passage t et la largeur du 
premier pic
d'absorption f :
f t  1

I. Un saut supersonique
I.A.1 Le théorème de Gauss gravitationnel est le suivant :
Le flux sortant du champ de gravitation à travers une surface fermée S
est proportionnel à la masse intérieure Mint à cette surface, d'où
ZZ

-

-
g · d S = -4 G Mint
S

I.A.2 Tout plan contenant le vecteur -
er et passant par M est un plan de symétrie

-

de la distribution de masse, donc g est selon -
er . Par ailleurs, la distribution de la
masse est invariante par rotation selon  et , d'où

-

g = g(r) -
e
r

Choisissons comme surface de Gauss une sphère de rayon r. Pour r > RT , Mint = 
MT .
Par conséquent, le théorème de Gauss devient
4 r2 g(r) = -4 G MT
Ainsi

G MT 
-

g (r > RT ) = - 2 -
er
r

Pour r 6 RT ,

Mint =

Par le théorème de Gauss,

4 3
MT r3
r  =
3
RT 3

G MT r -
-

g (r 6 RT ) = -
er
RT 3

On vérifie que les deux expressions coïncident en r = RT . Cette continuité
du champ est due à la modélisation volumique de la distribution de masse.
I.A.3 Utilisons l'expression du champ gravitationnel en r = RT :
g=

Par conséquent,

MT =

G MT
RT 2

g RT 2
= 5,97 · 1024 kg
G

On rappelle les limites de ce modèle : la Terre n'est pas parfaitement immobile 
du fait de sa rotation propre, et n'est pas parfaitement sphérique mais
aplatie aux pôles. Ces modifications entraînent de légères corrections dans
l'expression du champ de pesanteur.
I.B.1 En l'absence de frottement, la conservation de l'énergie mécanique du 
sauteur
entre les instants t = 0 (où z = hmin et v = 0) et t = tf (où z = 0 et v = cson 
) s'écrit
mghmin =
Ainsi

hmin =

1
m cson 2
2

cson 2
= 5,89 km
2g

I.B.2 Supposons l'accélération de la pesanteur -
g uniforme. De plus, on considère
l'atmosphère isotherme, de température T = 300 K. En présence de la force de
-
frottement FD , le principe fondamental de la dynamique appliqué au sauteur 
dans le
référentiel terrestre supposé galiléen s'écrit

-
d-
v

m
= -mg -
ez + FD
dt
La vitesse est maximale lorsque
mg = KA (z max ) v 2
Posons H = RT/Ma g tel que (z) = 0 e -z/H . Cherchons l'altitude z max telle que
v = cson . Il vient
mg
= 0 e -zmax /H
KA cson 2
L'énoncé fournit la vitesse terminale v t = 79,4 m.s-1 . Cette vitesse reste 
constante
a priori jusqu'à l'ouverture du parachute. Prenons pour simplifier z = 0.
Cette approximation est vérifiée à la fin de la question.
mg = KA 0 v t 2
L'équation en z = z max peut alors s'écrire
e zmax /H =

cson
vt

2

Pour T = 300 K, on trouve H = 8,79 km, d'où

cson
z max = 2H ln
= 25,6 km
vt
La valeur de la constante des gaz parfaits R donnée dans l'énoncé est erronée.
En effet, R = 8,31 J.K-1 .mol-1 . Mais cette coquille affecte peu les résultats.
Il reste à déterminer l'altitude initiale h qui permet d'atteindre z = z max 
avec une
vitesse v = cson . Décomposons la chute en deux temps : la chute libre jusqu'à 
z = z max
puis le système, toujours soumis à son poids, est maintenant soumis à la force 
de
frottement. Pendant la première phase, le système chute de z = h à z = z max et 
sa
vitesse varie de 0 à cson . D'après la question précédente,
1
mgh = mgz max + m cson 2
2
p
d'où
cson = 2g (h - z max )
Ainsi

h = z max +

cson 2
= 31,5 km
2g

Faisons quelques remarques :
· la valeur obtenue est du même ordre de grandeur que la hauteur réelle ;
· l'hypothèse de l'atmosphère isotherme peut être remise en cause car à ces 
altitudes, la température est loin d'être égale à 300 K ;
· la hauteur calculée est sous-estimée. En effet, on a choisi une vitesse 
terminale
en z = 0. En réalité, cette vitesse est obtenue à une altitude plus élevée, au
moment où Felix Baumgartner ouvre son parachute. D'après le document, la
hauteur d'ouverture du parachute est de l'ordre de 2,5 km.