Centrale Physique et Chimie 1 MP 2016

Thème de l'épreuve Confinement de particules
Principaux outils utilisés physique quantique, physique statistique, magnétostatique, mécanique
Mots clefs magnétosphère, moment magnétique, aurore boréale, équation de Schrödinger, oscillateur harmonique quantique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Physique--chimie 1 MP 4 heures Calculatrices autorisées 2016 Ce sujet est accompagné d'un document réponse à rendre avec la copie. La magnétosphère de la Terre D'après : Gilbert Pietryk (sous la direction de), Panorama de la physique, Pour la Science, Belin, 2007. La magnétosphère est la dernière enveloppe d'une planète, avant le milieu interplanétaire. Ce milieu est dominé essentiellement par le vent solaire, constitué de protons et d'électrons très rapides. Comme son nom l'indique, la magnétosphère est caractéristique des planètes qui ont un champ magnétique propre. La magnétosphère terrestre est la mieux connue puisqu'elle est la plus facilement accessible et qu'elle est explorée depuis l'ère des projets spatiaux. Pourtant de nombreux mystères subsistent quant a son fonctionnement, en particulier sur la manière dont elle répond aux modifications de l'activité solaire. æo, Vent solaire be ' b© ( , °° E°be Axe ' ' Ë3{ÆÎÂ de rotation, Plasmosphère Ceintured radiafions 7_777etcouran annu a|re Figure 1 Coupe méridienne de la magnétosphère de la Terre. Le Soleil est loin sur la gauche. Les traits fins symbolisent les lignes de champ magnétique, les flèches jaunes le mouvement du plasma. L'avant de la magnétosphère se caractérise par une première frontière nette, le choc. Ce choc est dû au fait que le vent solaire a une vitesse d'ensemble supérieure a toutes les vitesses possibles de propagation des ondes dans le milieu. Derrière le choc se trouve la magnétogaine, région où le plasma du vent solaire est ralenti, chauffé et où l'on observe une turbulence importante. Le champ magnétique est encore celui du vent solaire un peu modifié par la traversée du choc. Cette région intermédiaire est suivie d'une autre frontière nette, la magnét0pause. Cette frontière sépare la zone d'influence du champ magnétique terrestre de celle du vent solaire. Cette frontière est une discontinuité mince comme un choc mais ce n'est pas un choc, c'est une frontière qui isole vraiment les deux milieux, l'énorme majorité des particules du vent solaire restant à l'extérieur. On constate donc que ce qui fait obstacle au vent solaire ce n'est pas la planète elle--même, ni son atmosphère, mais son champ magnétique. Le contournement du vent solaire donne à la magnétosphère sa forme caractéristique, avec une queue allongée dans la direction opposée au Soleil et deux immenses « lobes » presque totalement vides. L'ionosphère est une région importante dans la dynamique de la magnétosphère (bien qu'invisible à l'échelle de la figure). Elle résulte de l'ionisation des couches supérieures de l'atmosphère par le rayonnement UV du Soleil qui la rend conductrice, et lui fait jouer un rôle dans la fermeture des courants magnétosphériques. La magnétosphère et son intense activité électromagnétiqne ne sont pas visibles du sol sauf dans les régions polaires où elles peuvent se manifester de façon très spectaculaire. Le champ magnétique terrestre est a peu près celui d'un dipôle dont l'axe passe dans les régions polaires. Les lignes de champ qui viennent des régions éloignées de la Terre plongent donc dans l'atmosphère dans les régions polaires. Comme dans la magnétosphère le plasma est peu dense, il n'y a pas de collisions et les particules chargées restent liées aux lignes de champ. Quand une reconfiguration magnétique intervient (ce qu'on appelle un sous--orage magnétique), les particules 2016--02--08 11:45:03 Page 1/8 (cc BY--NC-SA Figure 2 Aurore boréale vue du sol sur la Terre. La Lune, visible à côté de l'aurore, donne une idée de la lumi-- nosité (Centre d'étude spatiale des rayonnements ©CNRS Photothèque/V. Génot). accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le long du champ sur les couches denses de l'atmosphère et produisent des aurores. Dans le même temps, ces électrons accélérés émettent un rayonnement radio dont la longueur d'onde est de l'ordre du kilomètre et qui s'échappe de la magnétosphère par les pôles. Une liste de données numériques et un formulaire sont disponibles a la fin du sujet. Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées et demandent de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées, si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement. I Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique I.A -- Aurores polaires terrestres Les aurores polaires sont des phénomènes lumineux se produisant entre 80 et 400 km d'altitude causés par la précipitation de particules chargées en provenance de l'espace sur les atomes et les molécules des couches externes de l'atmosphère terrestre. Ces particules sont principalement des électrons dont l'énergie cinétique est de l'ordre du keV pour les aurores les plus spectaculaires. I.A.1) Expliquer le caractère lumineux d'une aurore polaire. I.A.2) Pourquoi une aurore boréale (hémisphère nord) apparaît--elle simultanément à une aurore australe (hémisphère sud) ? I.A.3) Comparer la carte de champ magnétique donnée figure 1 a celle d'un unique dipôle modélisant l'activité magnétique terrestre. I.B * Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme Afin d'interpréter l'arrivée des particules chargées a l'origine des aurores polaires, on se propose dans la suite de modéliser la dynamique d'un électron dans une zone de champ magnétique stationnaire. I.B.1) Dans le référentiel géocentrique (JE) supposé galiléen, on considère tout d'abord un électron de masse m pénétrant en 0 dans une zone de champ magnétique Ê0 : BOÜZ (B() > 0). La force gravitationnelle terrestre a--t--elle une influence sur la dynamique de cet électron ? On attend un argument qualitatif fondé sur un calcul d'ordre de grandeur. I.B.2) On suppose que la vitesse initiale de la particule s'écrit 50 : 'UOZÜZ (UOZ > 0). Comment se déplace l'électron vis a vis des lignes de champ magnétique ? I.B.3) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en 0 avec une vitesse initiale ÜO : UOOEÜ.OE (UOOE > 0). (1) Mettre en évidence une pulsation wc caractéristique du mouvement de l'électron et l'évaluer dans le champ magnétique terrestre régnant à l'altitude d'un satellite géostationnaire. b) Montrer que la trajectoire de l'électron est circulaire en établissant son équation cartésienne. Évaluer son rayon RC. I.B.4) Un électron accéléré non relativiste perd de l'énergie en rayonnant à un instant donné une puissance 1 2 d" 2 _eacfi _" 47r50 3 dt (1) Déterminer les valeurs oz et fi. électromagnétique ? : 2016--02--08 11:45:03 Page 2/8 (cc BY--NC-SA b) Après avoir exprimé la variation de l'énergie cinétique de l'électron dE lorsque RC varie de dRC, établir 67T£ c3B l'expression de la fonction Rc(t) et établir que le temps caractéristique T mis en évidence s'écrit T = %. ew C Conclure. I.B.5) On suppose désormais que l'électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en 0 avec la vitesse initiale ÜO : U0OEüoe + vOZÜZ ("cm > 0 et 'U0z > 0). Comment se déplace l'électron vis a vis des lignes de champ magnétique ? I.C + Mouvement d'un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme On se limite ici au cas d'un champ magnétique stationnaire É : BZ (r, z)üz+Br (T', z)ür possédant une géométrie cylindrique autour d'une ligne de champ confondue avec l'axe (Oz). On note L l'échelle caractéristique de variation de ce champ magnétique selon l'axe Oz. On supposera en première approximation que BZ ne dépend que de z : Bz(z). Figure 3 Initialement, l'électron possède la vitesse ÜO : U0OEÜOE + "0zÜz (vo,C > 0, 1... > O) et se situe au point de coordonnées cartésiennes (O, --RC(O), 0). 7" dBZ _ä dz ' I.C.2) À quelle condition sur L, la composante radiale B,.(r,z) du champ magnétique pourra--t--elle être traitée comme une perturbation de la composante axiale BZ '? I.C.1) Montrer qu'une propriété structurelle du champ magnétique impose : B,. (7°, z) 2 Dans la suite, on supposera cette condition vérifiée. I.C.3) Justifier qualitativement l'existence d'un rayon caractéristique R(z), dépendant de z, pour la trajec-- toire électronique. On donnera l'expression de R(z) en fonction de BZ et de va, composante orthoradiale de la vitesse de l'électron. LCA) En assimilant le mouvement de l'électron a une boucle de courant, associer un moment magnétique JÎ au mouvement de l'électron et l'exprimer en fonction de R(z) et de la composante du champ magnétique suivant (Oz). Établir que la relation entre Mz, composante de JÎ selon "(L, et Æz, moment cinétique de l'électron par rapport à l'axe (Oz), s'écrit __L MZ _ 2mzz 1.0.5) En supposant que l'on puisse utiliser les résultats relatifs à l'action d'un champ magnétique sur un dipôle magnétique, justifier que MZ est une constante du mouvement. Comment se déplace l'électron vis a vis des lignes de champ magnétique '? 2 1.0.6) Dans cette question, on suppose un champ axial de la forme Bz(r, z) u B0 (1 + ;) . (1) Pourquoi peut--on dire que cette configuration de champ magnétique assure un confinement de l'électron dans un domaine de l'espace situé entre deux limites appelées miroirs magnétiques ? Le candidat pourra s'appuyer sur la conservation de l'énergie... b) Exprimer une pulsation caractéristique w... associée à ce confinement et en déduire l'ordre de grandeur du temps mis par un électron confiné pour accomplir un aller--retour entre le pôle Nord et le pôle Sud terrestres. 1.0.7) La Terre émet un rayonnement radio au--dessus de ses régions aurorales (cf. document d'introduction). a ) Expliquer les localisations spatiale et spectrale de ce phénomène. b ) Pourquoi a--t--il fallu attendre l'ère spatiale pour observer ce rayonnement '? 2016--02--08 11:45:03 Page 3/8 @@ BY--NC-SA I.D -- Ceintures de Van Allen La Terre est entourée d'une zone où des particules de haute énergie cinétique, typiquement de quelques 100 MeV au GeV, sont piégées par le champ magnétique. Ces particules sont réparties dans des ceintures autour du plan équatorial dites ceintures de Van Allen ou ceintures de radiation. Ces ceintures sont très stables et contrai-- rement aux autres éléments de la magnétosphère, elles sont peu sensibles aux orages, sous--orages et autres reconfigurati0ns de la magnét0sphère. De ce fait, les particules s'en échappent difiicilement. Évaluer la vitesse typique d'un électron dans ces ceintures. La dynamique d'un tel électron peut--elle se déduire des résultats précédents ? II Confinement d'objets quantiques II.A * Confinement d'électrons dans une boîte quantique On sait réaliser depuis quelques années des « boîtes quantiques », de dimensions nanométriques, qui confinent les électrons de conduction d'un solide à basse température. La possibilité de contrôler les états d'énergie d'un tel dispositif ouvre des perspectives très riches en opto--électronique. Une boîte quantique est constituée d'un matériau A jouant le rôle de puits, autour duquel on dépose un matériau B qui forme une barrière de potentiel autour de A (figure 4). 17 (nm) Figure 4 Ensemble de boîtes quantiques de GaN (matériau A) déposées à 705 °C sur un substrat d'AlN (matériau B) et mûries sous vide. Image obtenue par microscopie à force atomique. Source : CEA--Grenoble/DSM/DRPMC/SP2M Rapport d'activité 1996--1998 du SP2M II.A.1) Fonction d'onde électronique Nous nous intéressons ici au confinement d'un électron dans une telle boîte. Les directions 33 et y étant suppo-- sées équivalentes, on traite dans un premier temps le problème a une dimension horizontale ac. L'influence du confinement vertical suivant la direction 2 sera abordé ultérieurement. On admet que dans la boîte, la dynamique de l'électron est décrite par l'équation de Schrôdinger où : -- la masse de l'électron libre m est remplacée par une masse effective m* = 0,07 m ; -- l'ensemble des atomes des matériaux A et B crée un potentiel effectif harmonique V(æ) : %m*w varie lentement à l'échelle atomique et pour lequel w = 9,10 >< 1013 rad-sil. Dans tout le problème, on néglige tout effet associé au spin de l'électron. 2332 qui a) Citer deux exemples de systèmes analogues de confinement, dans des domaines différents de la physique classique. Pour chacun d'eux, établir l'équation d'évolution par une méthode énergétique et décrire les échanges énergétiques mis en jeu. b) Écrire l'équation de Schrôdinger vérifiée par la fonction d'onde '111D(x,t) associée à l'état quantique de l'électron dans la boîte. Que représente cette fonction d'onde '? 2016--02--08 11:45:03 Page 4/8 (CC BY--NC-SA c) On s'intéresse aux états stationnaires unidimensionnels \IllD(æ,t) :  est nulle. Montrer que cette valeur de l'énergie est liée au confinement spatial de l'électron. Comparer au cas classique. Dans la suite. on admettra que les états stationnaires unidimensionnels \111D7n (oe, t) ont des énergies du type E0 + nOEhw avec nm EUR IN. On souhaite désormais prendre en compte le confinement équivalent de l'électron dans la direction horizontale y. Le potentiel effectif bidimensionnel dans lequel évolue l'électron doit alors s'écrire V(æ) + V(y) : %m*w2æ2 + %m*w2y2 9) On cherche les états stationnaires bidimensionnels \112D (æ,y,t) : BS(T) () 2 4 6 8 10 Figure 5 Fréquence des deux premiers pics d'absorption de la boîte quantique en fonction du champ magnétique appliqué à une température T : 10 K 2016--02--08 11:45:03 Page 5/8 @@ BY--NC-SA Dans la suite, on désigne par wc la pulsation cyclotron mise en évidence dans la première partie. On admet alors que, dans le régime wc < w/x/î, la résolution de l'équation de Schrôdinger dans le potentiel V(æ) + V(y) conduit pour les trois premiers niveaux d'énergie accessibles par l'électron a ñwc 2 have E'=ñQ EÎOEZñQ+ 2 0 E+ oe 2ñQ + , _ 2 2 avec Q _ w +wü/4. c) Déterminer les valeurs de champ magnétique vérifiant l'inégalité wc < w/\/Î et wc : eBS /m*. d) À une température de 10 K, on constate que seul le niveau d'énergie Eô contribue de manière significative au signal d'absorption. Justifier quantitativement ce fait. 6) En exploitant la figure 5 reproduite en figure A dans le document réponse, déterminer le domaine de champ magnétique pour lequel le modèle adopté pour la boîte quantique permet d'interpréter les résultats expérimen-- taux obtenus. II.A.3) Anisotropie de la boîte quantique On peut montrer que les résultats expérimentaux précédents sont interprétables intégralement si on prend en compte une légère anisotropie de la boîte quantique, ce qui revient à considérer le potentiel de confinement Y(oe,y) : %m*w2(l + e)æ2 + âm*w2(l -- e)y2 avec 6 << 1 En exploitant la figure 5, déterminer la valeur de l'anisotropie EUR. II.A.4) Rôle de la dimension 2 Le confinement dans la direction 2 peut être modélisé par un puits carré infini de largeur D. a ) Etablir les énergies EZ des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direction 2. b) A quelle condition reliant D et w est--il légitime de considérer que le mouvement de l'électron selon 2 est « gelé », c'est a dire que l'on peut ne s'intéresser qu'aux premiers niveaux du mouvement harmonique dans la direction a: ou y ? 0) Sur la figure 4, l'échelle de la direction verticale n'est pas la même que l'échelle dans le plan oeOy. En supposant que l'approximation consistant à ignorer le mouvement selon 2: est valide, déterminer si cette échelle verticale est dilatée ou contractée. On se servira de la grandeur Aa: déterminée à la question II.A.1. d ) Déterminer complètement l'expression des états stationnaires unidimensionnels de l'électron suivant la direc-- tion 2. e) Proposer une analogie formelle entre ces résultats et ceux obtenus pour une corde vibrante. Mettre en regard les différences notables entre ces deux systèmes. f ) Représenter les fonctions d'ondes spatiales de l'électron dans la direction 2 pour les trois premiers niveaux d'énergies EZ sur la figure B du document réponse ainsi que les densités de probabilité de présence associées. Commenter. 9) Discuter des résultats attendus dans le cas des énergies élevées. II.B + Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique Nous allons préciser les propriétés physiques d'un unique oscillateur harmonique quantique a une dimension en équilibre thermodynamique avec un thermostat a la température T. Comme indiqué dans la partie précédente, la résolution de l'équation de Schrôdinger pour un tel oscillateur de pulsation w conduit a des états stationnaires d'énergie En : E0 + nñw avec n E N. On admet qu'à l'équilibre avec le thermostat, cet oscillateur ne se trouve pas dans un état stationnaire mais dans un mélange statistique des états stationnaires d'énergie En affectés des poids respectivement proportionnels au En facteur de Boltzmann e kBT. II.B.1) Exprimer la probabilité d'occupation p,, de l'état d'énergie En. II.B.2) En déduire le rapport r entre la probabilité d'occupation de l'état d'énergie En,1 et celle de l'état d'énergie En. Comment la température infiuence--t--elle ce résultat '? II.B.3) Déterminer l'énergie moyenne (E') de l'oscillateur harmonique quantique en équilibre thermodyna-- mique. II.B.4) La figure 6 représente la variation en fonction de la température des énergies moyennes d'un oscillateur harmonique quantique et d'un oscillateur harmonique classique. Identifier, en justifiant votre réponse, chacune des courbes. 2016--02--08 11:45:03 Page 6/8 @@ BY--NC-SA Energie moyenne A Figure 6 Commenter le comportement de ces oscillateurs -- à T = 0 K ; -- à basse température ; -- à haute température. Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 ms1 Masse de l'électron m : 9,11 >< 1(T31 kg Charge élémentaire e = 1,60 >< 1049 C Permittivité diélectrique du vide 50 : 8,85 >< 1042 F -mÎ1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 molf1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10Ï23 J-KÎ1 Constante de Planck h = 6,63 >< 10Î34 J-s Constante de Planck réduite ñ : h/ (27r) Rayon de la Terre RT : 6,37 >< 103 km Vitesse angulaire de rotation propre de la Terre QT : 7,29 >< 10*5 rad-sf1 Rayon de l'orbite géostationnaire Rg : 4,22 >< 104 km Intensité du champ de pesanteur a la surface de la Terre g : 9,81 m-sf2 Ordre de grandeur du champ magnétique à la surface de la Terre 5 >< 10*5 T Formulaire -- Impulsion d'une particule relativiste 1 1 1 p=*ymv avec Py:-- \/1--'u2/c2 -- Énergie cinétique d'une particule relativiste m «m E =m02(7--1) avec v= C 2016--02--08 11:45:03 Page 7/8 GQ BY--NC-SA -- Champ créé au point [V] par un dipôle de moment magnétique JÎ placé en O Ë(M)-- 'U'0 (3 2'Fä--JÎ/Ï) avec Î"=OM _ 47T7"3 ?" -- Couple subi par un dipôle de moment magnétique ÎÎ dans un champ magnétique extérieur Ë Î : 317 /\ È -- Opérateur divergence en coordonnées cylindriques au point M (T, 0, z) 87" +ÎË+ ôz % 1 ô(rAr) 1 ôAe ôAz ? -- Densité de probabilité pour une loi normale d'espérance (moyenne) (55) et d'écart type a f(x) : U 127T exp (_â <æ--Û_)2) -- Relation d'indétermination spatiale d'Heisenberg AOEApOE } % oooFlNooo 2016--02--08 11:45:03 Page 8/8 GQ BY--NC-SA Signature : / Épreuve de Physiquefchimie 1 Filière MP EÜNEDUHS EENTHHLE°SUFËLEE ËËËËÎÊE : A H V A un EQ @ v--1 O O 0 0 00 O 0 O 0 O 0 @ 0 0 0 0 0 0  

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique et Chimie 1 MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Henri Lastakowski (Professeur en CPGE) et Louis Salkin (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux parties consacrées respectivement à la magnétosphère terrestre et au confinement d'objets quantiques. Ces deux parties sont entièrement indépendantes. · Dans la première partie, après avoir caractérisé les aurores polaires on décrit le mouvement d'un électron dans un champ magnétique uniforme et ses caractéristiques. On traite ensuite le cas d'un champ magnétique non uniforme. Cette partie repose essentiellement sur des notions de mécanique dans un champ magnétique et sur quelques éléments de magnétisme. · On s'intéresse dans la seconde partie au confinement d'objets quantiques. On étudie d'abord une particule confinée dans un potentiel harmonique à une dimension, puis on démontre quelques propriétés dans le cas bidimensionnel. On termine en étudiant l'oscillateur harmonique dans le cadre de la physique statistique. Cette partie requiert des notions de mécanique quantique et de physique statistique vues en seconde année. Cette épreuve fait appel à de nombreuses connaissances relatives au magnétisme et à la physique quantique. On notera que la deuxième partie est bien dans l'esprit des « nouveaux programmes ». À ce titre, ce sujet peut servir de problème de révision sur la physique quantique. Cette épreuve alterne des questions ouvertes, indiquées par un trait plein sur le sujet, des questions difficiles et des raisonnements proches du cours. Peu de résultats intermédiaires sont donnés ; toutefois, le sujet comporte suffisamment de passages indépendants pour qu'il soit toujours possible de progresser. Indications Partie I I.B.3.a Utiliser la formule du champ magnétique créé par un dipôle magnétique en r = Rg et r = RT sachant que B(RT ) = 5 · 10-5 T. I.B.3.b Déterminer les équations horaires et vérifier que l'on obtient bien l'équation d'un cercle : x2 + y 2 = R2 avec R le rayon du cercle. I.B.4.a Écrire la force de Coulomb pour trouver la dimension de 0 . I.B.4.b Utiliser le théorème de la puissance cinétique. I.C.1 Prendre un contour cylindrique fermé compris entre z et z + dz. Le champ magnétique est à flux conservatif donc tot = 0 - I.C.6.a Utiliser l'énergie potentielle d'un dipôle M dans un champ magnétique : - - Ep = -M · B Les particules vont se localiser dans les minima d'énergie potentielle. Partie II II.A.1.e Identifier l'écart-type grâce au formulaire puis, avec hxi = 0, utiliser p x = hx2 i II.A.1.h La dégénérescence consiste à compter le nombre de couples (nx , ny ) qui vérifient, pour un entier n fixé, nx + ny = n + entre E + puis II.A.2.e Trouver l'expression des fréquences d'absorption f- 0 et E- tracer ces courbes sur la figure 5. II.A.3 Écrire l'énergie totale en utilisant la question II.A.1.g et faire un développement limité à l'ordre le plus bas non nul en . II.A.4.b Les énergies excitées ne doivent pas être accessibles par la particule. II.A.4.d Utiliser la condition de normalisation de la fonction d'onde Z D |(z)|2 dz = 1 0 II.B.3 Penser à l'astuce mathématique X n=0 En e -En d =- d X n=0 e -En ! II.B.4 Le comportement classique s'obtient pour ~ 0. I. Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique I.A.1 Le vent solaire excite les particules de l'ionosphère. En se désexcitant, ces mêmes particules retournent dans leur état de repos et rayonnent dans le visible. La transition entre deux niveaux d'énergie électroniques, de l'ordre de quelques eV, correspond effectivement à l'émission d'un photon dans le domaine visible. I.A.2 L'axe magnétique de la Terre étant quasiment orthogonal au vent solaire, si le phénomène se produit dans l'hémisphère Nord, par symétrie, il va aussi se produire dans l'hémisphère Sud. I.A.3 Représentons les lignes de champ d'un dipôle magnétique : - M D'après la figure 1, on constate que les lignes de champ terrestre sont repoussées par le vent solaire. I.B.1 Calculons le rapport des normes du poids m g et de la force de Lorentz magnétique e v B avec B la valeur du champ magnétique terrestre, v la vitesse de l'électron. Estimons v pour une énergie cinétique de 1 keV : r 2Ec v= = 2 · 107 m.s-1 m mg = 6 · 10-14 Ainsi ev B De fait, Le poids est négligeable devant la force magnétique. I.B.2 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel terrestre supposé galiléen, m - d- v - = -e v B0 dt . Le champ magnétique est selon - donc Projetons cette équation sur - u u z z - (- v B0 ) · - uz = 0 Ainsi vz (t) = v0z . Puisque la force magnétique de Lorentz ne travaille pas, l'énergie cinétique de l'électron est conservée au cours du mouvement. Entre l'instant initial et un instant t quelconque, 1 1 m v0z 2 = m (vx 2 (t) + vy 2 (t) + v0z 2 ) 2 2 Cette équation implique vx (t) = vy (t) = 0 à tout instant. La particule ne ressent pas le champ magnétique. , La particule est en mouvement rectiligne uniforme selon - u z parallèlement aux lignes de champ magnétique. I.B.3.a Le principe fondamental de la dynamique se met sous la forme d- v e B0 - =- v - u z dt m e B0 /m est donc homogène à une pulsation, d'où c = e B0 m Évaluons le champ magnétique terrestre à l'altitude d'un satellite géostationnaire en R = Rg . Le champ magnétique créé par le dipôle magnétique terrestre est donné dans le formulaire, et peut s'écrire en norme µ0 k 4 r3 où k est une constante directement liée au moment magnétique et ne dépendant pas de r. Or, le champ magnétique à la surface de la Terre (r = RT ) vaut 5 · 10-5 T. Dans ce cas, B(Rg ) peut se réécrire 3 RT B(Rg ) = B(RT ) = 2 · 10-7 T Rg B(r) = d'où c = e B(Rg ) = 4 · 104 rad.s-1 m , le principe fondamental de la I.B.3.b En calculant le produit vectoriel - v - u z dynamique se met sous la forme vx vy vy = - c -vx vz 0 vx = - c vy Le système d'équations s'écrit vy = c vx Dérivons la première, vx = - c vy = - c2 vx On obtient une équation différentielle du deuxième ordre. La solution s'écrit vx (t) = A cos c t + C sin c t Or vx (0) = v0x et vy (0) = 0. D'après le système d'équations, la deuxième condition initiale revient à écrire vx (0) = 0. Il vient