Centrale Physique MP 2014

h .
yS|que :
MP @

4 heures Calculatrices autorisées N

Les télescopes infrarouges

Ce sujet traite de l'observation, à l'aide de télescopes, des rayonnements 
infrarouges provenant de l'espace. Ces
rayonnements sont émis par des corps tels que des étoiles jeunes ou des 
poussières froides. L'observation dans
ce domaine de longueurs d'onde se heurte à plusieurs difficultés. D'une part, 
ces rayonnements sont fortement
absorbés par l'atmosphère. D'autre part, l'atmosphère et les instruments de 
mesure sont également sources de
rayonnement infrarouge. On peut s'affranchir du problème de l'atmosphère en 
embarquant le télescope sur un
satellite et de l'émission thermique de l'instrument en refroidissant les 
différents éléments à l'aide de puissants
systèmes cryogéniques. Cependant, les dimensions des télescopes en orbite étant 
limitées, leur résolution théo--
rique est moins bonne que celle de certains télescopes au sol comme ceux du 
Very Large Telescope array (VLT)
de l'European Southern Observatory à Paranal au Chili qui bénéficient d'un ciel 
très pauvre en vapeur d'eau
et d'une atmosphère très stable.

Ce sujet est composé de parties relativement indépendantes: il n'est pas 
nécessaire d'avoir traité la totalité
d'une partie pour aborder la partie suivante mais la lecture de l'énoncé d'une 
partie peut aider à la résolution
d'une autre partie.

Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs 
compatible avec ceux utilisés
pour les données.

I Détection de rayonnement infrarouge

Les rayonnements infrarouges sont détectés par des instruments appelés 
bolomètres. Le principe de la détection
repose sur la variation de la résistance d'un matériau lors de son échauffement 
suite à une absorption de
rayonnement électromagnétique. La figure 1 présente le schéma de principe du 
bolomètre étudié dans cette
partie.

Le bolomètre, de capacité thermique Cth absorbe le flux électromagnétique 
incident i supposé constant. Il
possède par ailleurs une résistance électrique R(T) fonction de sa température 
T supposée uniforme et est
parcouru par un courant d'intensité I. Le bolomètre est relié mécaniquement et 
thermiquement à une source
froide maintenue à la température TS par des poutres de conductance thermique 
Gth. On mesure les variations
de la tension V à ses bornes lorsque la résistance R varie. La résistance 
électrique R du matériau varie avec la
température en suivant la loi linéaire

M) = R0 + aRo (T -- Ts)

où a et R0 sont des constantes caractéristiques du matériau. On suppose & < 0. Flux lumineux incident / / / / / / Bolomètre Température T(t) Résistance électrique R(T) Poutre de conductance thermique Gth Source froide à TS Figure 1 Schéma d'un bolomètre I.A -- Généralités sur les détecteurs I.A.1) Citer des détecteurs d'ondes électromagnétiques utilisés en travaux pratiques et le domaine des ondes auxquels ils sont sensibles. I.A.2) Dans quel intervalle de longueur d'onde se situent les rayonnements infrarouges ? I.A.3) La loi de Wien relative a l'émission thermique d'un corps noir peut s'écrire ÀmaXT : 2,89 >< 10_3 K-m avec ÀmaX une longueur d'onde et T une température. Expliciter les notations A...... et T de la loi de Wien. I.A.4) Expliquer, en le justifiant avec des valeurs numériques, pourquoi il est nécessaire de refroidir les instruments d'un télescope, qu'ils soient sur Terre ou dans l'espace (température de l'ordre de quelques dizaines de Kelvin). I.B -- Principe du bolomètre I.B.1) Proposer un montage électrique permettant d'assurer dans le bolomètre la circulation d'un courant électrique d'intensité ] constante. dT I.B.2) Montrer que la température T du bolomètre suit l'équation différentielle TÊ + T(t) : [3(OE,). On exprimera le coefficient T et la fonction [3(,).

I.B.3) Expliquer pourquoi un coefficient oz négatif garantit la stabilité du 
fonctionnement du dispositif.

I.B.4) Déterminer la température T p(CD,-) du bolomètre qui reçoit un flux (I), 
en régime permanent.

I.C -- Temps de réponse du bolomètre

On s'intéresse dans un premier temps au temps de réponse du bolomètre. Pour 
cela, le système étant en équilibre
thermique sous un flux électromagnétique incident ,, on supprime brutalement 
le flux électromagnétique
incident a l'instant t = 0.

I.C.1) Tracer l'allure de l'évolution T (t) On précisera sur le graphe la 
signification de la constante T.

I.C.2) Expliquer qualitativement l'influence de la capacité thermique Cth et de 
la conductance thermique
Gth sur le temps de réponse du bolomètre.

I.D -- Sensibilité du bolomètre

On souhaite enfin déterminer l'expression de la sensibilité S de l'instrument. 
Il s'agit de son aptitude à convertir
une variation du flux incident en une variation de la tension électrique V. On 
considère pour cela un flux incident
tel que CP,-(t) : (I).... + 900 cos (cut) et on s'intéresse a la variation de 
température par rapport a la température
d'équilibre T1 : O(t) : T(t) -- T1.

I.D.1) Montrer qu'en régime forcé, l'amplitude O0(w) des variations de 
température du bolomètre peut se

mettre sous la forme : OO : _, avec A une constante a préciser.
1 + T2w2
I.D.2) Déterminer, en régime forcé, l'expression de l'amplitude Vo des 
variations de la tension V(t) aux bornes
de R.
V0

I.D.3) En déduire l'expression de la sensibilité S(w) :
800

I.D.4) Tracer l'allure de la courbe SdB : 20 log S en fonction de logw.

I.D.5) Préciser la nature du filtre constitué par le détecteur. Comment 
peut--on justifier la chute de la sensi--
bilité en dehors de la bande passante ?

I.D.6) Dans quel sens faut--il faire varier la conductance thermique Gth pour 
augmenter la sensibilité dans la
bande passante ? Cela est--il en accord avec avec un gain de rapidité de la 
réponse du bolomètre ?

II Un télescope unitaire du VLT

Deux objets ponctuels a l'infini A et B sont observés dans les directions 
faisant des angles i A = 0 et i B # 0
par rapport a l'axe optique. Les deux directions dans lesquelles on observe a 
travers le télescope leurs images

font respectivement les angles i À et i ]'3 avec l'axe optique. Pour 
simplifier, on supposera que ces deux objets

émettent une unique radiation de longueur d'onde À : 2,00 pm.
II.A -- Montage de type Cassegrain

Les télescopes unitaires du VLT peuvent être utilisés en configuration dite « 
Cassegrain >> (cf. figure 2). Le
télescope est afocal, c'est--à--dire que l'image d'un objet situé a l'infini 
est a l'infini.

Le miroir primaire est un miroir sphérique concave de sommet 81, de diamètre D 
= 8,20 m, de rayon de
courbure R1 = 28,8 m et le miroir secondaire est un miroir sphérique convexe de 
sommet S2, de rayon de
courbure R2 = 4,52 m.

II.A.1) Déterminer numériquement la projection algébrique SlF1 entre le sommet 
et le foyer du miroir pri--
maire.

II.A.2) Faire de même pour la projection algébrique SZF2 entre le sommet et le 
foyer du miroir secondaire.

II.A.3) À quelle distance 8281 doivent être positionnés ces deux miroirs ? 
Justifier.

2014-03-05 13:39:37 Page 2/7 OE=c BY--NC-SA

?

@
Ë

Figure 2 Un télescope unitaire du VLT en montage de type Cassegrain

II.A.4) En s'appuyant sur une construction géométrique, déterminer la valeur 
numérique du grossissement
II.B -- Résolution limitée par la diffraction

On admet que les phénomènes de diffraction sont dus a la limitation du faisceau 
lumineux par le miroir primaire
de diamètre D.

II.B.1) En assimilant, pour simplifier, le premier miroir à une simple lentille 
convergente de même focale,
déterminer l'ordre de grandeur du rayon R de la tâche de diffraction (ou tâche 
d'Airy) qu'on observerait sur
l'image intermédiaire formée par le miroir primaire d'un objet ponctuel à 
l'infini envoyant une unique radiation
de longueur d'onde /\.

II.B.2) En déduire l'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire AG du faisceau 
image, définie par le fait que
les rayons émergent du télescope avec des angles i À :|: A9 et i ]'3 :|: A9 par 
rapport à l'axe optique.

II.B.3) En précisant le critère retenu, établir la relation que doivent 
vérifier les angles i À et i ]'3 pour pouvoir
discerner les images formées par le télescope.

II.B.4) En déduire la valeur numérique de la limite de résolution angulaire 
imin du télescope, c'est--à--dire
l'angle minimal entre deux étoiles pour que le télescope les discerne.

III Le télescope interférentiel VLTI

Pour surmonter le problème précédent, on peut faire interférer les signaux 
optiques reçus par deux télescopes

(cf. figure 3).
téléscope 2
téléscope 1

/ ligne à retard

superposition des faisceaux

Figure 3 Principe du VLTI

On assimile les deux télescopes distants de a (variable jusqu'à 100 m) a deux 
trous T1 et T 2 de taille négligeable,
de sorte que le VLTI sera équivalent au montage de la figure 4, où la lentille 
d'axe optique Oz, de centre O
possède une distance focale f '. Le foyer image de la lentille est noté F ' et 
le plan focal est le plan d'observation.
T1 et T2 sont a une distance a / 2 de l'axe optique.

III.A -- Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'acte optique

Un unique objet ponctuel à l'infini A est observé dans la direction de l'axe 
optique. Pour simplifier, on supposera
encore que cet objet émet une unique radiation de longueur d'onde À : 2,00 11m.

2014-03-05 13:39:37 Page 3/7 OE=C BY-NC-SA

v

Figure 4 Schéma équivalent du VLTI

III.A.1) Où se trouve l'image géométrique A' de A a travers la lentille ?

III.A.2) Calculer la différence de marche 60 entres les ondes provenant de A et 
se recombinant en A', passant
par les deux trous T1 et T2 sur la figure 4.

III.A.3) En déduire le rôle de la ligne à retard de la figure 3.

III.A.4) En quoi y a--t--il nécessité de la ligne à retard pour satisfaire aux 
conditions d'interférences ?

III.A.5) Dans quelle mesure peut--on considérer que le contraste des 
interférences vaut 1 ? Dans la suite on
supposera effectivement que le contraste vaut 1.

III.A.6) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IA(oe) d'un point 
d'abscisse a: dans le plan focal.
III.A.7 ) En déduire l'expression de l'interfrange.

III.A.8) Tracer l'allure de la figure d'interférence dans le plan (æF'y) telle 
qu'on pourrait l'observer avec une
caméra infrarouge.

III .B -- Observation d'une source ponctuelle dans une direction différente de 
celle de l'acte optique

Un unique objet ponctuel à l'infini B est observé dans la direction i B # 0 par 
rapport à l'axe optique dans le
plan oeOz, avec les mêmes caractéristiques que A.

III.B.1) À quelle distance 5133 de F' se trouve l'image géométrique de B ?
III.B.2) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse ÏB(OE) en un point 
d'abscisse oe.

III.B.3) L'interfrange est--il différent de celui trouvé précédemment ?

III.C -- Observation de deuoe sources ponctuelles

Deux objets ponctuels à l'infini A et B sont observés dans les directions i A = 
0 et i B # 0 par rapport à l'axe
optique dans le plan 5602". Pour simplifier, on supposera que ces deux objets 
émettent une unique radiation de
longueur d'onde À : 2,00 pm et la même puissance lumineuse.

III.C.1) Ces deux sources sont-elles cohérentes ? Justifier la réponse.
III.C.2) En déduire l'intensité lumineuse IAUB(OE) en un point d'abscisse oe.

III.C.3) Pour quelle(s) distances(s) a entre les deux télescopes y a--t--il 
brouillage des interférences ? On expri--
mera le résultat en fonction de i 3.

III.C.4) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle 
entre deux étoiles composant
une étoile double.

III.C.5) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de 
résolution angulaire i... du VLTI ?

IV Positionnement du télescope spatial James Webb au point de
Lagrange L2

Le successeur du télescope Hubble, appelé JWST (James Webb Space Telescope), 
dont le lancement est prévu en
2018, sera placé dans une position telle qu'il ne sera pas gêné par la lumière 
du Soleil. On note L2 cette position
qui a comme caractéristique d'être fixe par rapport a la Terre et au Soleil 
(c'est un « point de Lagrange »).

Soit 380 est le référentiel dans lequel le Soleil 8 et la Terre T sont fixes, 
de repère associé (S , üæ,fäy, 17.2). Le
point de Lagrange L2 est a la distance r << R de la Terre (of. figure 5). y S TÊ2 R 'T' Figure 5 Position du point de Lagrange L2 2014-03-05 13:39:37 Page 4/7 OE:C BY--NC-SA On considère la Terre ponctuelle en T, de masse MT : 5,97 >< 1024 kg, en orbite circulaire de rayon R = 150 >< 106 km autour du Soleil ponctuel en S , de masse M S = 1,99 >< 1030 kg dans le référentiel hélio-- centrique (R,, considéré galiléen) avec une période de révolution TT. On note G la constante de gravitation universelle. On néglige l'action de tous les autres corps célestes. I V.A -- Étude préliminaire IV.A.1) Déterminer l'expression de T T en fonction des données de l'énoncé. IV.A.2) Quel est, dans ÿEUR,,, le mouvement de 380 ? ÿEUR0 est--il galiléen ? I V.B -- Équilibre des forces IV.B.1) En effectuant un bilan des forces s'exerçant sur le télescope de masse m positionné en L2 dans le référentiel ÿ80, donner la relation qui traduit l'équilibre du téléscope dans ce référentiel. M 1/3 IV.B.2 Montrer ue r = --T R. > q (....)
IV.B.3) Calculer numériquement la distance r a laquelle se trouvera le 
télescope James Webb par rapport a
la Terre. Les hypothèses précédentes sont--elles--justifiées ?

I V.C -- Étude de la stabilité du point de Lagrange

Le satellite n'est plus au point L2, son déplacement à partir de L2 est 
caractérisé par le vecteur a:üOE +yüy + züz
où loel, lyl et lzl sont négligeables devant r. L'étude est toujours conduite 
dans ÿ80.

IV.C.1) Exprimer les énergies potentielles dont dérivent les différentes forces 
s'exerçant sur le télescope de
masse m.

IV.C.2) Un calcul non demandé permet alors d'obtenir l'expression ci--dessous 
pour les composantes, dans le
repère R0, de la force s'exerçant sur le satellite

3mMT
FOE= r3 513
mMT

Fy= _ 73 y
4mMT

FZ= -- 3743 z

Interpréter ces projections en terme de stabilité du satellite.

En réalité, pour mener à bien une étude plus complète, il conviendrait 
d'inclure la force d'inertie de Coriolis.

V Refroidissement cryogénique du télescope Herschel

La réfrigération par évaporation est une technique de refroidissement éprouvée. 
C'est par exemple de cette façon
que le corps humain régule sa température via la transpiration. Cette technique 
peut être appliquée dans toute
gamme de température où l'on peut trouver un composé liquide en équilibre avec 
sa phase vapeur. En dessous
de 4,00 K, les deux isotopes de l'hélium (3He et 4He) sont utilisés.

Ce principe de refroidissement est mis à profit dans les cryo--réfrigérateurs a 
adsorption. Ces dispositifs de
refroidissement sont adaptés aux contraintes de l'industrie spatiale car ils ne 
contiennent aucune pièce mobile.
L'absence de risque d'usure permet un gain de fiabilité.

Schématiquement, le cryo--réfrigérateur se présente sous la forme de deux 
sphères en titane reliées par un tube.
Dans l'une de ces sphères, appelée la pompe, se trouve du charbon actif. Ces 
charbons possèdent un pouvoir
d'ads0rption du gaz qui augmente lorsque la température diminue. La pompe peut 
être reliée à un thermostat
de température T,- = 2,00 K par un interrupteur thermique ou chauffée à TC : 
45,0 K par une chaufferette
électrique de puissance P. L'autre sphère est appelée évaporateur. Elle 
contient une mousse qui permet de
retenir le liquide par capillarité en l'absence de pesanteur. Elle peut 
également être reliée au thermostat de
température T, = 2,00 K par un interrupteur thermique. Le tube qui relie les 
deux sphères est thermalisé a
2,00 K et on considère que sa section est suffisante pour qu'il n'y ait pas de 
perte de charge entre la pompe et

l'évaporateur. Les pressions sont donc sensiblement les mêmes dans la pompe et 
l'évaporateur.

Lors de la première phase de fonctionnement de durée T1, la pompe est chauffée 
à 45,0 K pour désorber le gaz
qui va se condenser dans l'évaporateur maintenu à 2,00 K. Lors de la seconde 
phase, la pompe est maintenue
à 2,00 K et les charbons actifs pompent l'hélium liquide, la température du 
liquide en ébullition chute jusqu'à
Tf : 300 mK.

V.A -- Principe d'un interrupteur thermique

Le dispositif fonctionne à l'aide d'interrupteurs thermiques permettant de 
connecter ou déconnecter certaines
parties afin de laisser passer ou non la chaleur. L'interrupteur thermique à 
gaz tire parti de la conduction des

2014-03-05 13:39:37 Page 5/7 OE=C BY-NC-SA

gaz pour assurer sa position fermée. Il est composé (voir figure 6) de deux 
pièces conductrices cylindriques
concentriques en cuivre de rayons R1 et R2 > R1. L'espace entre les deux 
cylindres peut être vide ou rempli
d'hélium gazeux de capacité thermique massique cgaZ. On négligera les forces de 
pression et les transferts
thermiques par rayonnement et convection et les effets de bord.

" | ll T.
...) .. | .. l ll

le

Figure 6 Schéma d'un interrupteur thermique à gaz

S.3
\_/.
_/

On souhaite déterminer la conductance thermique de l'interrupteur en position 
fermée. À cet effet, on maintient
l'armature intérieure au contact de la source de température T, = 2,00 K et 
l'armature extérieure est reliée à
la pompe du cryo--réfrigérateur maintenue à la température T C = 45,0 K. 
L'espace entre les cylindres est rempli
de 3He de conductivité thermique À et de masse volumique p.

V.A.1) À partir d'un bilan énergétique effectué sur le volume de gaz compris 
entre les rayons ?" et |" + dr,
déterminer l'équation aux dérivées partielles vérifiées par la température du 
gaz TO", 15).

V.A.2) En déduire l'expression de T (7°) en régime permanent.

V.A.3) Déterminer, en régime permanent, l'expression du flux thermique (1) a 
travers un cylindre de rayon 7"
et de hauteur h orienté vers les 7" croissants.

V.A.4) Exprimer la conductance thermique G de l'interrupteur fermé en fonction 
de T.,-, TC et ©. En déduire
l'expression de G uniquement en fonction des données du problème.

V.A.5) Expliquer qualitativement comment ce dispositif peut jouer le rôle 
d'interrupteur thermique.

V.B -- Choioe du fluide réfrigérant

Pour comprendre le principe de ce type de refroidissement, on utilise le modéle 
suivant. Un récipient parfaite--
ment calorifugé contient une masse d'hélium liquide mo de capacité thermique 
massique cliq, initialement à la
température T 07 en équilibre avec sa vapeur. Le récipient comporte une soupape 
reliée à une pompe qui aspire
lentement et continûment la vapeur de ce récipient. La chaleur latente massique 
de vaporisation de l'hélium 3He
vaut É3He : 10,0 kJ-kg_1 et celle de l'hélium 4He vaut É4He : 22,5 kJ -kg_1. 
L'allure du diagramme des phases
de l'hélium est représenté sur le graphe de la figure 7.

P (bar) ,,
100 - Solide
... _ qu...dEUR Supercritique
1 -- Superfluide
0,1 --
0701 _ | | | | | >
1 2 3 4 5 T (K)

Figure 7 Allure du diagramme des phases de
l'hélium : pression en fonction de la température

V.B.1) Reproduire le diagramme des phases de l'hélium et y représenter 
l'évolution de la pression en fonction
de la température lors de l'opération de pompage.

V.B.2) Quelle(s) particularité(s) présente le diagramme des phases de l'hélium ?

2014-03-05 13:39:37 Page 6/7 OE=C BY-NC-SA

V.B.3) En effectuant un bilan sur un système que l'on définira avec soin, 
déterminer l'expression de la tem--
pérature T (t) de l'enceinte en fonction de la masse d'hélium liquide m(t) a 
l'instant 15. On introduira la chaleur
latente massique de vaporisation de l'hélium Évap et la capacité thermique 
massique de l'hélium liquide Cliq'

V.B.4) Lequel des deux isotopes de l'hélium semble le plus adapté a cette 
technique de refroidissement ?

V.B.5) Les courbes de pression de vapeur saturante en fonction de la 
température sont données pour les deux
isotopes de l'hélium sur la figure 8.

A P (bar)
105 _

104 _
103 _
100-- 4He
10--
1_
a1-

031-

0,00]. | | | | | >
0 1 2 3 4 5 T(K)

Figure 8 Pression de vapeur saturante de 3He et 4He en fonction de la 
température

Si on utilise une pompe capable d'abaisser la pression jusqu'à 0,100 Pa, quelle 
est la température la plus basse
que l'on peut espérer atteindre avec de l'hélium 3He ? avec de l'hélium 4He ? 
Dans ces conditions, quel isotope
de l'hélium semble le plus adapté au refroidissement cryogénique ?

V.C -- Fonctionnement du ergo-réfrigérateur
L'isotope choisi est l'hélium 3He.

V.C.1) Déterminer l'expression de la masse d'hélium évaporée m lorsque le 
liquide atteint 300 mK.

evap
V.C.2) En déduire l'expression de la chaleur Qextract extraite du liquide.
V.C.3) Définir le rendement du cryo--réfrigérateur et l'exprimer en fonction 
des données de l'énoncé.

V.C.4) Faire un schéma du dispositif lors de la première phase de 
fonctionnement, avec les températures des
différents éléments et les positions des interrupteurs thermiques.

V.C.5) Faire de même pour la seconde phase de fonctionnement.

Formulaire

Expression du gradient d'une fonction scalaire f (7°, 9, z) en coordonnées 
cylindriques

----ä __0f1 10f1 ôf1
gm f-- OEer+çæeô+OEez

oooFlNooo

2014-03-05 13:39:37 Page 7/7 OE=C BY-NC-SA