Centrale Physique MP 2014

Thème de l'épreuve Les télescopes infrarouges
Principaux outils utilisés thermodynamique, optique géométrique, diffraction, interférences, mécanique du point, conduction thermique
Mots clefs infrarouges, bolomètre, sensibilité, télescope Cassegrain, bilan thermique, tache d'Airy, point de Lagrange, stabilité, interrupteur thermique, transition de phase

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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h . yS|que : MP @ 4 heures Calculatrices autorisées N Les télescopes infrarouges Ce sujet traite de l'observation, à l'aide de télescopes, des rayonnements infrarouges provenant de l'espace. Ces rayonnements sont émis par des corps tels que des étoiles jeunes ou des poussières froides. L'observation dans ce domaine de longueurs d'onde se heurte à plusieurs difficultés. D'une part, ces rayonnements sont fortement absorbés par l'atmosphère. D'autre part, l'atmosphère et les instruments de mesure sont également sources de rayonnement infrarouge. On peut s'affranchir du problème de l'atmosphère en embarquant le télescope sur un satellite et de l'émission thermique de l'instrument en refroidissant les différents éléments à l'aide de puissants systèmes cryogéniques. Cependant, les dimensions des télescopes en orbite étant limitées, leur résolution théo-- rique est moins bonne que celle de certains télescopes au sol comme ceux du Very Large Telescope array (VLT) de l'European Southern Observatory à Paranal au Chili qui bénéficient d'un ciel très pauvre en vapeur d'eau et d'une atmosphère très stable. Ce sujet est composé de parties relativement indépendantes: il n'est pas nécessaire d'avoir traité la totalité d'une partie pour aborder la partie suivante mais la lecture de l'énoncé d'une partie peut aider à la résolution d'une autre partie. Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec ceux utilisés pour les données. I Détection de rayonnement infrarouge Les rayonnements infrarouges sont détectés par des instruments appelés bolomètres. Le principe de la détection repose sur la variation de la résistance d'un matériau lors de son échauffement suite à une absorption de rayonnement électromagnétique. La figure 1 présente le schéma de principe du bolomètre étudié dans cette partie. Le bolomètre, de capacité thermique Cth absorbe le flux électromagnétique incident i supposé constant. Il possède par ailleurs une résistance électrique R(T) fonction de sa température T supposée uniforme et est parcouru par un courant d'intensité I. Le bolomètre est relié mécaniquement et thermiquement à une source froide maintenue à la température TS par des poutres de conductance thermique Gth. On mesure les variations de la tension V à ses bornes lorsque la résistance R varie. La résistance électrique R du matériau varie avec la température en suivant la loi linéaire M) = R0 + aRo (T -- Ts) où a et R0 sont des constantes caractéristiques du matériau. On suppose & < 0. Flux lumineux incident / / / / / / Bolomètre Température T(t) Résistance électrique R(T) Poutre de conductance thermique Gth Source froide à TS Figure 1 Schéma d'un bolomètre I.A -- Généralités sur les détecteurs I.A.1) Citer des détecteurs d'ondes électromagnétiques utilisés en travaux pratiques et le domaine des ondes auxquels ils sont sensibles. I.A.2) Dans quel intervalle de longueur d'onde se situent les rayonnements infrarouges ? I.A.3) La loi de Wien relative a l'émission thermique d'un corps noir peut s'écrire ÀmaXT : 2,89 >< 10_3 K-m avec ÀmaX une longueur d'onde et T une température. Expliciter les notations A...... et T de la loi de Wien. I.A.4) Expliquer, en le justifiant avec des valeurs numériques, pourquoi il est nécessaire de refroidir les instruments d'un télescope, qu'ils soient sur Terre ou dans l'espace (température de l'ordre de quelques dizaines de Kelvin). I.B -- Principe du bolomètre I.B.1) Proposer un montage électrique permettant d'assurer dans le bolomètre la circulation d'un courant électrique d'intensité ] constante. dT I.B.2) Montrer que la température T du bolomètre suit l'équation différentielle TÊ + T(t) : [3(OE,). On exprimera le coefficient T et la fonction [3(,). I.B.3) Expliquer pourquoi un coefficient oz négatif garantit la stabilité du fonctionnement du dispositif. I.B.4) Déterminer la température T p(CD,-) du bolomètre qui reçoit un flux (I), en régime permanent. I.C -- Temps de réponse du bolomètre On s'intéresse dans un premier temps au temps de réponse du bolomètre. Pour cela, le système étant en équilibre thermique sous un flux électromagnétique incident ,, on supprime brutalement le flux électromagnétique incident a l'instant t = 0. I.C.1) Tracer l'allure de l'évolution T (t) On précisera sur le graphe la signification de la constante T. I.C.2) Expliquer qualitativement l'influence de la capacité thermique Cth et de la conductance thermique Gth sur le temps de réponse du bolomètre. I.D -- Sensibilité du bolomètre On souhaite enfin déterminer l'expression de la sensibilité S de l'instrument. Il s'agit de son aptitude à convertir une variation du flux incident en une variation de la tension électrique V. On considère pour cela un flux incident tel que CP,-(t) : (I).... + 900 cos (cut) et on s'intéresse a la variation de température par rapport a la température d'équilibre T1 : O(t) : T(t) -- T1. I.D.1) Montrer qu'en régime forcé, l'amplitude O0(w) des variations de température du bolomètre peut se mettre sous la forme : OO : _, avec A une constante a préciser. 1 + T2w2 I.D.2) Déterminer, en régime forcé, l'expression de l'amplitude Vo des variations de la tension V(t) aux bornes de R. V0 I.D.3) En déduire l'expression de la sensibilité S(w) : 800 I.D.4) Tracer l'allure de la courbe SdB : 20 log S en fonction de logw. I.D.5) Préciser la nature du filtre constitué par le détecteur. Comment peut--on justifier la chute de la sensi-- bilité en dehors de la bande passante ? I.D.6) Dans quel sens faut--il faire varier la conductance thermique Gth pour augmenter la sensibilité dans la bande passante ? Cela est--il en accord avec avec un gain de rapidité de la réponse du bolomètre ? II Un télescope unitaire du VLT Deux objets ponctuels a l'infini A et B sont observés dans les directions faisant des angles i A = 0 et i B # 0 par rapport a l'axe optique. Les deux directions dans lesquelles on observe a travers le télescope leurs images font respectivement les angles i À et i ]'3 avec l'axe optique. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde À : 2,00 pm. II.A -- Montage de type Cassegrain Les télescopes unitaires du VLT peuvent être utilisés en configuration dite « Cassegrain >> (cf. figure 2). Le télescope est afocal, c'est--à--dire que l'image d'un objet situé a l'infini est a l'infini. Le miroir primaire est un miroir sphérique concave de sommet 81, de diamètre D = 8,20 m, de rayon de courbure R1 = 28,8 m et le miroir secondaire est un miroir sphérique convexe de sommet S2, de rayon de courbure R2 = 4,52 m. II.A.1) Déterminer numériquement la projection algébrique SlF1 entre le sommet et le foyer du miroir pri-- maire. II.A.2) Faire de même pour la projection algébrique SZF2 entre le sommet et le foyer du miroir secondaire. II.A.3) À quelle distance 8281 doivent être positionnés ces deux miroirs ? Justifier. 2014-03-05 13:39:37 Page 2/7 OE=c BY--NC-SA ? @ Ë Figure 2 Un télescope unitaire du VLT en montage de type Cassegrain II.A.4) En s'appuyant sur une construction géométrique, déterminer la valeur numérique du grossissement II.B -- Résolution limitée par la diffraction On admet que les phénomènes de diffraction sont dus a la limitation du faisceau lumineux par le miroir primaire de diamètre D. II.B.1) En assimilant, pour simplifier, le premier miroir à une simple lentille convergente de même focale, déterminer l'ordre de grandeur du rayon R de la tâche de diffraction (ou tâche d'Airy) qu'on observerait sur l'image intermédiaire formée par le miroir primaire d'un objet ponctuel à l'infini envoyant une unique radiation de longueur d'onde /\. II.B.2) En déduire l'ordre de grandeur de l'ouverture angulaire AG du faisceau image, définie par le fait que les rayons émergent du télescope avec des angles i À :|: A9 et i ]'3 :|: A9 par rapport à l'axe optique. II.B.3) En précisant le critère retenu, établir la relation que doivent vérifier les angles i À et i ]'3 pour pouvoir discerner les images formées par le télescope. II.B.4) En déduire la valeur numérique de la limite de résolution angulaire imin du télescope, c'est--à--dire l'angle minimal entre deux étoiles pour que le télescope les discerne. III Le télescope interférentiel VLTI Pour surmonter le problème précédent, on peut faire interférer les signaux optiques reçus par deux télescopes (cf. figure 3). téléscope 2 téléscope 1 / ligne à retard superposition des faisceaux Figure 3 Principe du VLTI On assimile les deux télescopes distants de a (variable jusqu'à 100 m) a deux trous T1 et T 2 de taille négligeable, de sorte que le VLTI sera équivalent au montage de la figure 4, où la lentille d'axe optique Oz, de centre O possède une distance focale f '. Le foyer image de la lentille est noté F ' et le plan focal est le plan d'observation. T1 et T2 sont a une distance a / 2 de l'axe optique. III.A -- Observation d'une source ponctuelle dans la direction de l'acte optique Un unique objet ponctuel à l'infini A est observé dans la direction de l'axe optique. Pour simplifier, on supposera encore que cet objet émet une unique radiation de longueur d'onde À : 2,00 11m. 2014-03-05 13:39:37 Page 3/7 OE=C BY-NC-SA v Figure 4 Schéma équivalent du VLTI III.A.1) Où se trouve l'image géométrique A' de A a travers la lentille ? III.A.2) Calculer la différence de marche 60 entres les ondes provenant de A et se recombinant en A', passant par les deux trous T1 et T2 sur la figure 4. III.A.3) En déduire le rôle de la ligne à retard de la figure 3. III.A.4) En quoi y a--t--il nécessité de la ligne à retard pour satisfaire aux conditions d'interférences ? III.A.5) Dans quelle mesure peut--on considérer que le contraste des interférences vaut 1 ? Dans la suite on supposera effectivement que le contraste vaut 1. III.A.6) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse IA(oe) d'un point d'abscisse a: dans le plan focal. III.A.7 ) En déduire l'expression de l'interfrange. III.A.8) Tracer l'allure de la figure d'interférence dans le plan (æF'y) telle qu'on pourrait l'observer avec une caméra infrarouge. III .B -- Observation d'une source ponctuelle dans une direction différente de celle de l'acte optique Un unique objet ponctuel à l'infini B est observé dans la direction i B # 0 par rapport à l'axe optique dans le plan oeOz, avec les mêmes caractéristiques que A. III.B.1) À quelle distance 5133 de F' se trouve l'image géométrique de B ? III.B.2) Déterminer l'expression de l'intensité lumineuse ÏB(OE) en un point d'abscisse oe. III.B.3) L'interfrange est--il différent de celui trouvé précédemment ? III.C -- Observation de deuoe sources ponctuelles Deux objets ponctuels à l'infini A et B sont observés dans les directions i A = 0 et i B # 0 par rapport à l'axe optique dans le plan 5602". Pour simplifier, on supposera que ces deux objets émettent une unique radiation de longueur d'onde À : 2,00 pm et la même puissance lumineuse. III.C.1) Ces deux sources sont-elles cohérentes ? Justifier la réponse. III.C.2) En déduire l'intensité lumineuse IAUB(OE) en un point d'abscisse oe. III.C.3) Pour quelle(s) distances(s) a entre les deux télescopes y a--t--il brouillage des interférences ? On expri-- mera le résultat en fonction de i 3. III.C.4) Proposer alors une méthode de détermination expérimentale de l'angle entre deux étoiles composant une étoile double. III.C.5) Quelle est la valeur numérique (en secondes d'arc) de la limite de résolution angulaire i... du VLTI ? IV Positionnement du télescope spatial James Webb au point de Lagrange L2 Le successeur du télescope Hubble, appelé JWST (James Webb Space Telescope), dont le lancement est prévu en 2018, sera placé dans une position telle qu'il ne sera pas gêné par la lumière du Soleil. On note L2 cette position qui a comme caractéristique d'être fixe par rapport a la Terre et au Soleil (c'est un « point de Lagrange »). Soit 380 est le référentiel dans lequel le Soleil 8 et la Terre T sont fixes, de repère associé (S , üæ,fäy, 17.2). Le point de Lagrange L2 est a la distance r << R de la Terre (of. figure 5). y S TÊ2 R 'T' Figure 5 Position du point de Lagrange L2 2014-03-05 13:39:37 Page 4/7 OE:C BY--NC-SA On considère la Terre ponctuelle en T, de masse MT : 5,97 >< 1024 kg, en orbite circulaire de rayon R = 150 >< 106 km autour du Soleil ponctuel en S , de masse M S = 1,99 >< 1030 kg dans le référentiel hélio-- centrique (R,, considéré galiléen) avec une période de révolution TT. On note G la constante de gravitation universelle. On néglige l'action de tous les autres corps célestes. I V.A -- Étude préliminaire IV.A.1) Déterminer l'expression de T T en fonction des données de l'énoncé. IV.A.2) Quel est, dans ÿEUR,,, le mouvement de 380 ? ÿEUR0 est--il galiléen ? I V.B -- Équilibre des forces IV.B.1) En effectuant un bilan des forces s'exerçant sur le télescope de masse m positionné en L2 dans le référentiel ÿ80, donner la relation qui traduit l'équilibre du téléscope dans ce référentiel. M 1/3 IV.B.2 Montrer ue r = --T R. > q (....) IV.B.3) Calculer numériquement la distance r a laquelle se trouvera le télescope James Webb par rapport a la Terre. Les hypothèses précédentes sont--elles--justifiées ? I V.C -- Étude de la stabilité du point de Lagrange Le satellite n'est plus au point L2, son déplacement à partir de L2 est caractérisé par le vecteur a:üOE +yüy + züz où loel, lyl et lzl sont négligeables devant r. L'étude est toujours conduite dans ÿ80. IV.C.1) Exprimer les énergies potentielles dont dérivent les différentes forces s'exerçant sur le télescope de masse m. IV.C.2) Un calcul non demandé permet alors d'obtenir l'expression ci--dessous pour les composantes, dans le repère R0, de la force s'exerçant sur le satellite 3mMT FOE= r3 513 mMT Fy= _ 73 y 4mMT FZ= -- 3743 z Interpréter ces projections en terme de stabilité du satellite. En réalité, pour mener à bien une étude plus complète, il conviendrait d'inclure la force d'inertie de Coriolis. V Refroidissement cryogénique du télescope Herschel La réfrigération par évaporation est une technique de refroidissement éprouvée. C'est par exemple de cette façon que le corps humain régule sa température via la transpiration. Cette technique peut être appliquée dans toute gamme de température où l'on peut trouver un composé liquide en équilibre avec sa phase vapeur. En dessous de 4,00 K, les deux isotopes de l'hélium (3He et 4He) sont utilisés. Ce principe de refroidissement est mis à profit dans les cryo--réfrigérateurs a adsorption. Ces dispositifs de refroidissement sont adaptés aux contraintes de l'industrie spatiale car ils ne contiennent aucune pièce mobile. L'absence de risque d'usure permet un gain de fiabilité. Schématiquement, le cryo--réfrigérateur se présente sous la forme de deux sphères en titane reliées par un tube. Dans l'une de ces sphères, appelée la pompe, se trouve du charbon actif. Ces charbons possèdent un pouvoir d'ads0rption du gaz qui augmente lorsque la température diminue. La pompe peut être reliée à un thermostat de température T,- = 2,00 K par un interrupteur thermique ou chauffée à TC : 45,0 K par une chaufferette électrique de puissance P. L'autre sphère est appelée évaporateur. Elle contient une mousse qui permet de retenir le liquide par capillarité en l'absence de pesanteur. Elle peut également être reliée au thermostat de température T, = 2,00 K par un interrupteur thermique. Le tube qui relie les deux sphères est thermalisé a 2,00 K et on considère que sa section est suffisante pour qu'il n'y ait pas de perte de charge entre la pompe et l'évaporateur. Les pressions sont donc sensiblement les mêmes dans la pompe et l'évaporateur. Lors de la première phase de fonctionnement de durée T1, la pompe est chauffée à 45,0 K pour désorber le gaz qui va se condenser dans l'évaporateur maintenu à 2,00 K. Lors de la seconde phase, la pompe est maintenue à 2,00 K et les charbons actifs pompent l'hélium liquide, la température du liquide en ébullition chute jusqu'à Tf : 300 mK. V.A -- Principe d'un interrupteur thermique Le dispositif fonctionne à l'aide d'interrupteurs thermiques permettant de connecter ou déconnecter certaines parties afin de laisser passer ou non la chaleur. L'interrupteur thermique à gaz tire parti de la conduction des 2014-03-05 13:39:37 Page 5/7 OE=C BY-NC-SA gaz pour assurer sa position fermée. Il est composé (voir figure 6) de deux pièces conductrices cylindriques concentriques en cuivre de rayons R1 et R2 > R1. L'espace entre les deux cylindres peut être vide ou rempli d'hélium gazeux de capacité thermique massique cgaZ. On négligera les forces de pression et les transferts thermiques par rayonnement et convection et les effets de bord. " | ll T. ...) .. | .. l ll le Figure 6 Schéma d'un interrupteur thermique à gaz S.3 \_/. _/ On souhaite déterminer la conductance thermique de l'interrupteur en position fermée. À cet effet, on maintient l'armature intérieure au contact de la source de température T, = 2,00 K et l'armature extérieure est reliée à la pompe du cryo--réfrigérateur maintenue à la température T C = 45,0 K. L'espace entre les cylindres est rempli de 3He de conductivité thermique À et de masse volumique p. V.A.1) À partir d'un bilan énergétique effectué sur le volume de gaz compris entre les rayons ?" et |" + dr, déterminer l'équation aux dérivées partielles vérifiées par la température du gaz TO", 15). V.A.2) En déduire l'expression de T (7°) en régime permanent. V.A.3) Déterminer, en régime permanent, l'expression du flux thermique (1) a travers un cylindre de rayon 7" et de hauteur h orienté vers les 7" croissants. V.A.4) Exprimer la conductance thermique G de l'interrupteur fermé en fonction de T.,-, TC et ©. En déduire l'expression de G uniquement en fonction des données du problème. V.A.5) Expliquer qualitativement comment ce dispositif peut jouer le rôle d'interrupteur thermique. V.B -- Choioe du fluide réfrigérant Pour comprendre le principe de ce type de refroidissement, on utilise le modéle suivant. Un récipient parfaite-- ment calorifugé contient une masse d'hélium liquide mo de capacité thermique massique cliq, initialement à la température T 07 en équilibre avec sa vapeur. Le récipient comporte une soupape reliée à une pompe qui aspire lentement et continûment la vapeur de ce récipient. La chaleur latente massique de vaporisation de l'hélium 3He vaut É3He : 10,0 kJ-kg_1 et celle de l'hélium 4He vaut É4He : 22,5 kJ -kg_1. L'allure du diagramme des phases de l'hélium est représenté sur le graphe de la figure 7. P (bar) ,, 100 - Solide ... _ qu...dEUR Supercritique 1 -- Superfluide 0,1 -- 0701 _ | | | | | > 1 2 3 4 5 T (K) Figure 7 Allure du diagramme des phases de l'hélium : pression en fonction de la température V.B.1) Reproduire le diagramme des phases de l'hélium et y représenter l'évolution de la pression en fonction de la température lors de l'opération de pompage. V.B.2) Quelle(s) particularité(s) présente le diagramme des phases de l'hélium ? 2014-03-05 13:39:37 Page 6/7 OE=C BY-NC-SA V.B.3) En effectuant un bilan sur un système que l'on définira avec soin, déterminer l'expression de la tem-- pérature T (t) de l'enceinte en fonction de la masse d'hélium liquide m(t) a l'instant 15. On introduira la chaleur latente massique de vaporisation de l'hélium Évap et la capacité thermique massique de l'hélium liquide Cliq' V.B.4) Lequel des deux isotopes de l'hélium semble le plus adapté a cette technique de refroidissement ? V.B.5) Les courbes de pression de vapeur saturante en fonction de la température sont données pour les deux isotopes de l'hélium sur la figure 8. A P (bar) 105 _ 104 _ 103 _ 100-- 4He 10-- 1_ a1- 031- 0,00]. | | | | | > 0 1 2 3 4 5 T(K) Figure 8 Pression de vapeur saturante de 3He et 4He en fonction de la température Si on utilise une pompe capable d'abaisser la pression jusqu'à 0,100 Pa, quelle est la température la plus basse que l'on peut espérer atteindre avec de l'hélium 3He ? avec de l'hélium 4He ? Dans ces conditions, quel isotope de l'hélium semble le plus adapté au refroidissement cryogénique ? V.C -- Fonctionnement du ergo-réfrigérateur L'isotope choisi est l'hélium 3He. V.C.1) Déterminer l'expression de la masse d'hélium évaporée m lorsque le liquide atteint 300 mK. evap V.C.2) En déduire l'expression de la chaleur Qextract extraite du liquide. V.C.3) Définir le rendement du cryo--réfrigérateur et l'exprimer en fonction des données de l'énoncé. V.C.4) Faire un schéma du dispositif lors de la première phase de fonctionnement, avec les températures des différents éléments et les positions des interrupteurs thermiques. V.C.5) Faire de même pour la seconde phase de fonctionnement. Formulaire Expression du gradient d'une fonction scalaire f (7°, 9, z) en coordonnées cylindriques ----ä __0f1 10f1 ôf1 gm f-- OEer+çæeô+OEez oooFlNooo 2014-03-05 13:39:37 Page 7/7 OE=C BY-NC-SA

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 Centrale Physique MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Michel Fruchart (ENS Lyon) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE). L'épreuve, intitulée « Les télescopes infrarouges », comporte cinq parties largement indépendantes traitant de divers aspects de l'observation des rayonnements infrarouges venus de l'espace, à l'aide de dispositifs variés comme le VLT (Very Large Telescope) au Chili. · La première partie traite de généralités sur les ondes électromagnétiques. Via un bilan thermique en régime permanent, puis en régime sinusoïdal forcé, un détecteur de flux lumineux infrarouge appelé bolomètre est ensuite étudié. · La deuxième partie traite des télescopes Cassegrain utilisés dans le VLT. Elle aborde ainsi brièvement l'optique géométrique, puis la diffraction. Cette partie ne peut pas être réalisée dans le cadre du nouveau programme. · La troisième partie mène une étude très détaillée d'un télescope interférentiel. On calcule l'intensité lumineuse produite par interférences, puis on évalue la limite de résolution angulaire de ce dispositif. · Une courte quatrième partie aborde des aspects mécaniques du positionnement du télescope spatial James Webb ; il y est question d'un point de Lagrange et de sa stabilité. · Enfin, la cinquième partie traite plus en profondeur le cas du refroidissement du télescope Herschel. On étudie le principe d'un interrupteur thermique, puis le fonctionnement du cryo-réfrigérateur. Globalement, ce sujet est très guidé. À plusieurs reprises, il comporte des enchaînements de questions élémentaires permettant d'avancer vite. Pour autant, il n'est pas toujours simple car les dispositifs étudiés sont complexes. Par endroits, l'énoncé est difficile à comprendre et il faut le relire plusieurs fois pour éviter les contresens ou les oublis. Les différents thèmes abordés couvrent une vaste palette de domaines de la physique : thermodynamique, optique géométrique, optique physique, mécanique. Chaque partie peut être traitée comme un exercice, indépendant du reste du sujet. Lors de l'épreuve, un tel découpage permet de grappiller des points un peu partout. Indications Partie I I.A.4 Calculer max pour un corps sur Terre et dans l'espace. I.B.2 Faire un bilan énergétique sur le bolomètre. I.C.1 Identifier les températures initiale et asymptotique. I.D.4 Étudier les régimes asymptotiques comme pour un filtre électrique. Partie II II.A.3 À quelle condition le système est-il afocal ? II.A.4 Tracer un schéma de principe avec un rayon arrivant sur le miroir primaire en passant par le foyer, et y faire apparaître les angles. II.B.1 Une tache d'Airy a pour ouverture angulaire 1,22 /D. II.B.3 Utiliser le critère de Rayleigh. Partie III III.A.3 Y aurait-il symétrie, dans le dispositif réel, sans la ligne à retard ? III.A.4 Y a-t-il cohérence avec une différence de marche de cent mètres ? III.A.6 Faire un schéma de principe en se souvenant qu'à partir de l'entrée dans la lentille, les chemins optiques sont identiques. III.B.2 Quelle différence de marche supplémentaire est introduite par le fait que l'incidence est non normale ? III.C.4 Privilégier le tracé d'un graphe pour identifier iB . III.C.5 Le brouillage pour l'angle le plus petit possible est observé pour a = 100 m. Partie IV IV.A.1 Utiliser la troisième loi de Kepler. IV.B.1 La force d'inertie d'entraînement a pour norme m 2 (R + r), où s'exprime en fonction de TT déterminée précédemment. IV.B.2 Faire un développement limité au premier ordre en r/R. IV.C.2 Quels sont les effets des variations de x, y et z sur les forces, donc sur le mouvement ultérieur du satellite ? Partie V V.A.4 Une conductance thermique est un flux divisé par un écart de température. C'est un nombre positif. V.B.1 L'équilibre liquide-vapeur est toujours réalisé. V.B.3 Faire un bilan sur la masse de liquide à la date t. V.B.4 Bien relire le préambule de la partie V avant de commencer les schémas. Les télescopes infrarouges I. Détection de rayonnement infrarouge I.A.1 Les photorésistances, les photodiodes et les phototransistors sont des composants électroniques permettant la détection d'ondes électromagnétiques. Ils sont sensibles en général dans les domaines UV, visible et infrarouge. Les antennes, elles, sont utilisées pour les ondes radio. I.A.2 Les rayonnements électromagnétiques infrarouges ont des longueurs d'ondes comprises approximativement entre 800 nm et 1 mm. I.A.3 La longueur d'onde max de la loi de Wien est la longueur d'onde du maximum d'émission du corps noir à l'équilibre thermique à la température absolue T. I.A.4 La température sur Terre est voisine de 300 K ; elle est de 10 K dans l'espace. Les longueurs d'ondes max des maxima d'émissivité des corps noirs à l'équilibre thermique à ces températures sont respectivement voisines de 10 µm et 0,3 mm, toutes deux dans l'infrarouge. Les spectres des corps noirs à ces températures sont ainsi riches en infrarouges. Un télescope doit alors être refroidi pour éviter qu'il ne détecte les infrarouges qu'il produit lui-même. I.B.1 Le montage suivant constitue un générateur de courant : si l'amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire, le bolomètre de résistance R(T) est parcouru par un courant d'intensité I = U1 /R1 . R(T) I R1 U1 - + I.B.2 Le bolomètre reçoit une puissance lumineuse i et une puissance Joule PJ = R(T) I2 . Par ailleurs, il cède à la source froide la puissance Pf = Gth (T - TS ). Sa capacité thermique étant Cth , le bilan énergétique s'écrit Cth dT = i + P J - P f dt dT = i + R0 I2 + R0 (T - TS ) I2 - Gth (T - TS ) dt On obtient alors l'équation différentielle soit Cth -Cth dT + ( R0 I2 - Gth ) T = ( R0 I2 - Gth ) TS - i - R0 I2 dt qui se met sous la forme avec = Cth Gth - R0 I2 dT + T = (i ) dt et (i ) = TS + i + R0 I2 Gth - R0 I2 I.B.3 Les solutions d'une équation différentielle de ce type sont de la forme T(t) = A e -t/ + B Pour que l'exponentielle ne diverge pas lorsque t devient grand, il faut que soit positif, donc que Gth - R0 I2 soit positif. Si est négatif, ceci est vrai quels que soient Gth , R0 et I. Un coefficient négatif garantit bien la stabilité du fonctionnement du dispositif. I.B.4 En régime permanent, la température est Tp (i ) = (i ), soit encore Tp (i ) = TS + i + R0 I2 Gth - R0 I2 I.C.1 Initialement, la température est Tp (i ). Lorsqu'on supprime le flux incident, elle décroît pour tendre vers Tp (0). L'expression de T(t) est alors T(t) = Tp (0) + (Tp (i ) - Tp (0)) e -t/ Cela permet de tracer le graphe suivant, où apparaît la constante de temps : T Tp (i ) Tp (0) 0 t La constante de temps est l'abscisse de l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote horizontale. C'est la durée caractéristique du régime transitoire, qui représente le temps de réponse du bolomètre. I.C.2 D'après la question I.B.2, lorsque la capacité thermique Cth augmente, augmente : plus le bolomètre peut stocker de l'énergie thermique, plus le régime transitoire est long. Lorsque la conductance thermique Gth augmente, diminue : plus la conduction thermique permettant d'évacuer l'énergie thermique est facile, plus le régime transitoire est court. I.D.1 En régime forcé, l'équation différentielle vérifiée par T(t) s'écrit dT i (t) + R0 I2 + T = TS + dt Gth - R0 I2 avec i (t) = i0 + 0 cos(t) La température d'équilibre T1 est donc T1 = TS + i0 + R0 I2 Gth - R0 I2 En introduisant (t) = T(t) - T1 , on obtient l'équation différentielle d 0 cos(t) += dt Gth - R0 I2