Centrale Physique MP 2012

Thème de l'épreuve Étude du satellite Jason 2
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique ondulatoire, ondes électromagnétiques
Mots clefs satellite, moment cinétique, vecteur de Runge-Lenz, potentiel de gravitation, période nodale, radar, diffraction, milieu conducteur, ionosphère, plasma froid, pulsation plasma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MP 4 heures Calculatrices autorisées 2012 Physique Lancé le 20 juin 2008 de Vandenberg (Californie), le satellite océanographique Jason 2 permet, entre autre, de mesurer la hauteur des océans. Dans une première partie, le problème étudie la trajectoire de ce satellite au-dessus de l'ionosphère, d'abord en considérant la Terre comme sphérique, puis en prenant en compte sa non-sphéricité. La seconde partie du problème aborde la diffusion des ondes radar sur l'océan et la troisième partie étudie l'influence de l'ionosphère sur la propagation de telles ondes. Les trois parties sont indépendantes. Notations + , Dans tout le problème, f (M, t) désigne la valeur moyenne dans le temps de la grandeur f (M, t). La pulsation sera toujours réelle, positive, non nulle. ! " À toute grandeur réelle f (M, t) ! " = A(M ) cos t - (M ) , on pourra associer la grandeur complexe f (M, t) = A(M ) exp i t - (M ) . Le nombre imaginaire i est tel que i2 = -1. La polarisation d'une onde électromagnétique fera référence au champ électrique. Données utiles Masse d'un proton mp = 1,67 × 10-27 kg Masse d'un électron me = 9,11 × 10-31 kg Charge élémentaire e = 1,60 × 10-19 C Permittivité diélectrique du vide 0 = 8,85 × 10-12 F · m-1 Perméabilité magnétique du vide µ0 = 410-7 H · m-1 Célérité de la lumière dans le vide c = 3,00 × 108 m · s-1 Constante de gravitation G = 6,67 × 10-11 N · m2 · kg-2 Masse de la Terre MT = 5,97 × 1024 kg Rayon de la Terre RT = 6378 km Vitesse angulaire de rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique T = 7,29 × 10-5 rad · s-1 Formulaire 2 - 1- þ 2 -- 1 þ ) - A þ rot rot(A ) = grad div(A Gradient d'un champ scalaire V en coordonnées sphériques (r, , ) -- 1 V 1 V V þur + þu + þu grad V = r r r sin Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs compatible avec celui utilisé pour les données de l'énoncé. 3 avril 2012 10:50 Page 1/6 I Le satellite Jason 2 I.A ­ Étude de l'orbite I.A.1) Rappeler l'expression de la force de gravitation Fþ qu'exerce la Terre (centre T , masse MT ) sur un satellite (point matériel S, masse m), en fonction de la constante de gravitation G, des masses MT et m, de la - distance r = T S et du vecteur unitaire þuT S = T S/T S. y þu þuT S S x T Figure 1 I.A.2) On se place dans le référentiel géocentrique (T, xg , yg , zg ) noté (Rg ), de base fixe (þexg , þeyg , þezg ) (figure 2b). zg Nord zg zg S þ Z N yg i yg T Plan équatorial N xg xg (xg T yg ) : plan équatorial Sud (a) (b) r = TS (c) Figure 2 a) Définir le référentiel géocentrique. Pourquoi ce référentiel n'est-il pas rigoureusement galiléen ? Justifier. Dans toute la suite, le référentiel géocentrique (Rg ) est considéré comme galiléen et, sauf mention contraire, seule l'action de la Terre est prise en compte. b) Dans ce référentiel, quelles sont les deux grandeurs mécaniques du satellite qui se conservent (on justifiera la réponse) ? Quelles caractéristiques du mouvement peut-on en déduire ? I.A.3) On se propose d'établir l'expression de la trajectoire du satellite autour de la Terre à partir de l'invaþ = þv þT - GMT m þuT S où þv est riant dynamique de Runge-Lenz. On définit le vecteur de Runge-Lenz par R la vitesse du satellite dans (Rg ) et þT le moment cinétique du satellite dans (Rg ), calculé en T . þ dR dans (Rg ). Conclure. a) Calculer dt þ ? Justifier. b) Dans quel plan se trouve R 2 þ et l'angle entre R þ et - þ · þuT S = T - GMT m où T est la c) On note R la norme de R T S. Montrer que R mr norme du moment cinétique þT du satellite. En déduire l'expression de la trajectoire du satellite sous la forme p r() = ; donner les expressions de p et e en fonction de T , G, MT , m et R. 1 + e cos Suivant les valeurs de e, rappeler les différentes trajectoires possibles. I.A.4) On admet que la trajectoire de Jason 2 est circulaire (en réalité, e = 9,5 × 10-5 ), de centre T , de rayon r0 = 7714 km, soit une altitude h = 1336 km (juste au dessus de l'ionosphère). La masse du satellite Jason 2 est m = 525 kg. Établir en fonction de G, MT , m et r0 , les expressions de : - la norme de la vitesse orbitale du satellite v0 ; - la période de révolution T0 ; - son énergie mécanique Em . Calculer numériquement ces grandeurs pour le satellite Jason 2. 3 avril 2012 10:50 Page 2/6 I.B ­ Écart à la trajectoire circulaire On appelle inclinaison du satellite l'angle i = 66 entre le plan équatorial et le plan de l'orbite (ici 0 < i < 90 : þ le vecteur unitaire orthogonal au plan de l'orbite et orienté on parle d'orbite prograde) (cf. figure 2a). On note Z à partir du sens de parcours de la trajectoire (le sens de parcours est indiqué sur les schémas). On appelle noeuds N et N les deux intersections de la trajectoire circulaire du satellite avec le plan équatorial (figure 2b). À cause des irrégularités de la répartition de la masse terrestre (en particulier l'aplatissement aux pôles) et des forces d'attraction de la Lune et du Soleil, en utilisant les coordonnées sphériques (figure 2c.), le potentiel de gravitation V s'écrit (à l'ordre le plus bas en la perturbation) : B A 3 42 " RT J2 ! GMT 2 3 cos - 1 1- V (r, ) = - r r 2 où J2 = 1083 × 10-6 est un nombre sans dimension. I.B.1) Déterminer les composantes gr , g , g du champ de gravitation dans- la base - sphérique (þur , þu , þu ) (cf. figure 2c). Donner l'ordre de grandeur de la valeur maximale du rapport -g /gr - dans le cas du satellite Jason 2. Conclure. La composante gr confère à la trajectoire les propriétés essentielles (mouvement plan, circulaire) ; on se propose d'étudier l'influence de g . I.B.2) Soit þT le moment en T de la force de gravitation, appliquée en S. Déterminer ses coordonnées dans la base sphérique (þur , þu , þu ). Ce moment peut également être projeté dans la base fixe (þexg , þeyg , þezg ) de (Rg ) (cf. figures 2b et c) ; on peut montrer (la démonstration n'est pas demandée au candidat) qu'en moyennant sur une période T0 on obtient, pour le mouvement circulaire du satellite : 2 = - T T0 3 RT r0 , 2 y = - T T0 + , z = 0 3 RT r0 + + x , 42 42 3 J2 sin i cos i cos 2 3 J2 sin i cos i sin 2 Exprimer þT en fonction de sa norme T , i, et des vecteurs unitaires þexg , þeyg et þezg . dþT Déterminer ensuite dans (Rg ) (à ce stade, on considèrera que T , i et dépendent du temps). dt + , dþT = þT et que la norme T reste à peu près constante, déterminer de nouvelles En admettant que + , dt + , + , expressions de x , y et z . I.B.3) I.B.4) Montrer que i ne dépend pas du temps et que ó 3 42 GMT RT d 3 cos i = - J2 dt 2 r03 r0 d þ correspondant à cette variation ? Comparer les . Que représente le vecteur dt þ et vecteurs þ T (vecteur rotation de la Terre sur elle-même) en direction et sens. En s'aidant de la figure 2b et du théorème du moment cinétique en T , montrer qu'on pouvait prévoir le sens de variation de . I.B.5) On définit alors une nouvelle période, la période nodale, qui est le temps entre deux passages à l'équateur dans le même sens. Pour Jason 2, elle vaut Tn = 112 min 26 s, elle est très voisine de T0 . Pour les satellites océanographiques, il est intéressant d'avoir un échantillonnage homogène de la surface du globe pendant une période, appelée période de répétitivité TR : il faut pour cela que le satellite repasse à la verticale des mêmes points du sol tous les TR = N Tn où N est le nombre entier de révolutions du satellite durant une période de répétitivité. On note k le nombre de fois où un même point du sol croise le plan de l'orbite du satellite dans un sens donné pendant une période de répétitivité. Déterminer l'expression de k en fonction de Tn , T , et N . Calculer la valeur de k pour N = 127. Dans la suite, on note = 3 avril 2012 10:50 Page 3/6 II Diffusion des ondes radar par l'océan Un radar altimétrique embarqué émet une onde électromagnétique (onde radio de fréquence f = 13,6 GHz). L'onde est émise en direction de la mer, celle-ci absorbe l'onde et la réémet : on parle de diffusion. Cette onde rétrodiffusée, appelée écho, est captée en retour par le radar. La mesure de la durée du trajet aller-retour permet de déterminer la distance {surface océan ­ satellite} ; par différence avec la position du satellite par rapport à un ellipsoïde de référence, on en déduit la hauteur de la mer. On supposera que, durant ce trajet aller-retour, le satellite est immobile au dessus de la mer. Dans toute cette partie, l'atmosphère sera assimilée au vide (indice optique égal à 1). Certaines perturbations apportées par le fait que l'ionosphère est un plasma seront abordées dans la partie III. II.A ­ Diffusion sur une mer plate On s'intéresse au processus de rétrodiffusion de l'onde réémise par une surface S de l'océan, éclairée par le radar. L'onde arrivant sur l'océan est considérée comme plane (bien qu'étant sphérique). Elle se propage dans la direction þu = sin þey - cos þez (figure 3) ( est sans rapport avec celui de la partie I). La direction de propagation n'est donc pas forcément celle de la verticale. þu z þu P y O -- OP = x þex + y þey Figure 3 On s'intéresse à la rétrodiffusion dans la direction , cette rétrodiffusion est à rapprocher de la diffraction à l'infini. On considère que les angles et sont faibles. L'amplitude de l'onde diffractée (ou rétrodiffusée) en un point M à l'infini par une ouverture de surface S est donnée par la relation suivante : 3 4 ÚÚ -- 2 Ad (M ) = K t(P ) exp i (þu - þu ) · OP dS S où K est une constante complexe, t(P ) un coefficient rendant compte de l'efficacité de la diffusion et la longueur d'onde de l'onde radar. On s'intéresse à une portion de mer carrée, de côté a = 7 km selon les axes x et y, centrée en O, lisse de telle sorte que t(P ) = t0 avec t0 R+ . On considèrera que les vecteurs directeurs þu et þu des rayons incidents et rétrodiffusés sont toujours dans le plan (yOz) (cf. figure 3). II.A.1) Déterminer l'éclairement diffracté (ou rétrodiffusé) Ed en M , en fonction de , , , a et de l'éclairement maximal E0 . II.A.2) Pour quel angle l'éclairement est-il maximal ? Cela peut-il correspondre à l'écho perçu par le satellite ? II.B ­ Diffusion sur une mer houleuse On envisage la même portion de mer, mais cette fois-ci houleuse, de telle sorte que 4 3 2y t(P ) = t0 + t1 cos d avec a d et a . II.B.1) L'hypothèse a était-elle valable à la question précédente ? II.B.2) Montrer que l'onde diffusée est constituée de trois ondes se propageant dans trois directions que l'on déterminera en fonction de , d et . II.B.3) Laquelle de ces trois ondes est susceptible de correspondre à l'écho reçu par le satellite ? Quelle condition doivent vérifier d, et pour pouvoir effectivement récupérer cet écho ? 3 avril 2012 10:50 Page 4/6 III Propagation d'ondes électromagnétiques III.A ­ Ondes électromagnétiques dans le vide III.A.1) Rappeler les équations de Maxwell en présence de charges et de courants. Quelles sont les traductions globales, dites aussi formes intégrales, de ces lois locales ? þ III.A.2) Établir l'équation de propagation du champ E(M, t) dans le vide (en l'absence de charges et de courants). III.A.3) On considère une onde dont le champ électrique en notation complexe s'écrit : þ E(M, t) = E0 exp i(t - kx) þey où E0 R+ et k R+ . Caractériser cette onde (donner 5 qualificatifs). III.A.4) À quelle condition sur k et cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation ? Comment appelle-t-on cette relation ? Le vide est-il un milieu dispersif (à justifier) ? þ III.A.5) Déterminer l'expression réelle du champ magnétique B(M, t). þ III.A.6) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M, t). Quelle est la signification physique du flux þ de à travers une surface S ouverte, arbitrairement orientée ? III.B ­ Ondes électromagnétiques dans un milieu conducteur III.B.1) En absence de densité volumique de charges, mais en présence de densité volumique de courants þ t) en fonction de þ (M, t). þ (M, t), établir l'équation de propagation du champ E(M, þ III.B.2) On considère une onde du type E(M, t) = E0 exp i(t - kx) þey où E0 R+ et k C. On pose, en þ notation complexe, la relation d'Ohm : þ (M, t) = E(M, t) où est la conductivité électrique complexe du milieu, on suppose qu'elle ne dépend ni de l'espace ni du temps. þ t) en fonction de . Réécrire l'équation de propagation du champ E(M, À quelle condition sur k et cette onde est-elle une solution de l'équation de propagation ? On ne cherchera pas à résoudre cette équation. III.B.3) On pose k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels. þ a) Écrire en notation réelle l'expression du champ électrique E(M, t). b) Par analogie avec le vide, dire ce que représente k1 , la partie réelle de k. Donner une interprétation du signe de k1 . Quel phénomène physique traduit k2 , la partie imaginaire de k ? Que dire si le produit k1 k2 est positif ? Que dire si le produit k1 k2 est négatif ? c) Définir par une phrase la vitesse de phase v et donner l'expression de la vitesse de phase de cette onde en fonction des grandeurs précédemment définies. þ þ t), þk (vecteur d'onde complexe) et B(M, t). III.B.4) Démontrer une relation simple entre les vecteurs E(M, þ Déterminer les expressions de la représentation complexe du champ magnétique B(M, t) et du champ réel þ þ þ B(M, t). Que dire des champs E(M, t) et B(M, t) si k2 est non nul ? þ III.B.5) Déterminer l'expression du vecteur de Poynting (M, t) puis l'expression de sa valeur moyenne + , þ (M, t) . Commenter. þ (M, t) = E0i exp i(t - k x) þey où E0i R et k = kA1 + i kA2 avec kA1 et III.B.6) Une onde incidente, E + i A A kA2 deux réels, se propageant dans le milieu (A) arrive en incidence normale sur une interface située en x = 0 et séparant le milieu (A) du milieu (B). þ (M, t) = E exp i(t + k x) þey , se Cette onde incidente donne naissance à deux ondes, l'une réfléchie, E r 0r A þ propageant dans le milieu (A) et l'autre transmise, E t (M, t) = E 0t exp i(t - k B x) þey où k B = kB1 + i kB2 avec kB1 et kB2 deux réels, se propageant dans le milieu (B). On définit les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques au niveau de l'interface située en x = 0 par .f .f e. e. .þ . .þ . .r (O, t). .t (O, t). .f .f R = e. et T = e. .þ .þ . . .i (O, t). .i (O, t). þ i (O, t), þ r (O, t) et þ t (O, t) représentent respectivement les vecteurs de Poynting, au voisinage d'un point O où þ désigne le module du vecteur A). þ de l'interface, des ondes incidente, réfléchie et transmise (ëAë þ (M, t). a) Justifier l'écriture du champ E r b) Donner les expressions de R et de T en fonction des données précédentes. 3 avril 2012 10:50 Page 5/6 c) Que vaut la somme R + T ? Quelle est la signification de cette égalité ? d) Que dire des coefficients R et T si kB1 = 0 ? Quelle en est la signification ? Ne pouviez-vous pas prévoir ce résultat dès les questions III.B.4 ou III.B.5 ? e) Connaissez-vous un exemple similaire en électrocinétique ? III.C ­ Propagation des ondes électromagnétiques dans l'ionosphère L'ionosphère, couche de l'atmosphère située à plus de 60 km d'altitude, peut être considérée comme un plasma : c'est un milieu ionisé, caractérisé par une densité volumique d'électrons libres de charge -e, de masse me , égale à n1 = 1,00 × 1011 m-3 et une densité volumique de cations de charge +e, de masse mC , égale aussi à n1 , l'ensemble est donc globalement neutre. La valeur de n1 est supposée constante. þ t) = E0 exp i(t - kx) þey où On se propose d'étudier dans ce milieu la propagation d'ondes du type E(M, E0 R+ et k C. On pose à nouveau k = k1 + i k2 , avec k1 et k2 réels ; si k1 Ó= 0, alors on choisira k1 > 0. Dans toute la suite, vous pourrez utiliser les résultats démontrés dans la partie III.B. Dans le plasma, les électrons et les ions sont soumis à la force de Lorentz due aux champs électrique et magnétique de l'onde. On négligera l'effet de la pesanteur et les interactions entre particules chargées, et on supposera que les particules sont non relativistes (i.e. leurs vitesses sont très petites devant c). III.C.1) En admettant que le rapport /|k| est de l'ordre de c, montrer que les effets de la partie magnétique de la force de Lorentz sont négligeables devant les effets de la partie électrique de la force de Lorentz. III.C.2) En régime établi, et en supposant que l'amplitude des déplacements des charges reste petite devant la longueur d'onde, déterminer l'expression du vecteur vitesse þv e (dans le référentiel galiléen d'étude) d'un électron, þ t). Donner l'expression du vecteur vitesse þv i positionné en M à l'instant t, en fonction de me , e, et E(M, d'un cation. En déduire l'expression de la conductivité complexe du plasma . À la vue des valeurs numériques, n1 e2 . montrer que = -i me III.C.3) Calculer la puissance volumique moyenne fournie par le champ électromagnétique aux électrons libres. Commenter. III.C.4) Établir l'expression de k 2 dans le plasma. Mettre en évidence une pulsation caractéristique dite pulsation plasma p ; donner son expression et calculer sa valeur numérique pour l'ionosphère. Calculer la longueur d'onde dans le vide p associée. À quel domaine du spectre électromagnétique appartient cette longueur d'onde ? III.C.5) On se place dans le cas < p . a) Donner l'expression de k en fonction de p , et c (on prendra k2 négatif). þ þ b) Donner les expressions des champs réels E(M, t) et B(M, t). Caractériser l'onde obtenue. + , þ c) Donner l'expression de (M, t) dans le plasma. III.C.6) On se place dans le cas > p . a) Donner l'expression de k en fonction de p , et c. Commenter. þ þ b) Donner les expressions de E(M, t) et B(M, t). Caractériser l'onde obtenue (donner 5 qualificatifs). + , þ c) Donner l'expression de (M, t) . d) Déterminer l'expression de la vitesse de phase v () de cette onde en fonction de p , et c. Le milieu est-il dispersif (justifier la réponse) ? e) Calculer la vitesse de groupe vg () en fonction de p , et c. Donner la signification physique de cette vitesse. f) Comparer v () et vg () à c. Que penser du fait que v () puisse être supérieure à c ? III.C.7) Le choix de la fréquence des ondes radars émises par Jason 2 (f = 13,6 GHz) vous semble-t-il correct ? · · · FIN · · · 3 avril 2012 10:50 Page 6/6

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 Centrale Physique MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Tom Morel (ENS Cachan) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Ce sujet, composé de trois parties indépendantes, traite de différentes questions physiques liées à un satellite, en l'occurrence le satellite océanographique Jason 2, lancé en 2008. · La première partie traite des aspects mécaniques de l'orbite du satellite et des perturbations dues à l'aplatissement de la Terre. Elle débute par des questions de cours, puis conduit à la démonstration de la trajectoire conique du satellite à l'aide du vecteur de Runge-Lenz. C'est relativement classique, mais assez calculatoire et il faut maîtriser les coordonnées sphériques. Ensuite, la question de l'écart à la trajectoire keplerienne du fait de l'aplatissement de la Terre est traitée, de manière guidée, à tel point qu'il est possible de répondre à bien des questions sans en comprendre réellement le sens. Cette partie est certainement la plus difficile du sujet : elle nécessite une grande vigilance dans les calculs et des capacités de repérage dans l'espace. · La deuxième partie concerne la diffusion des ondes radar par l'océan, en la traitant à l'aide de l'expression de l'amplitude diffractée à l'infini. Elle débute par des questions de cours (diffraction par un carré), puis les prolonge avec un facteur de transmission. Les calculs sont ici aussi relativement guidés. · Enfin, la troisième partie étudie la communication entre le satellite et les stations au sol. Elle pose des questions de cours assez nombreuses et termine par le problème très classique de la détermination de la pulsation plasma en utilisant un modèle microscopique simple. Cette partie est, elle aussi, très guidée. La difficulté globale de ce sujet est moyenne, ce qui cache de fortes disparités : d'un côté, les questions de cours, nombreuses et variées, et de l'autre, certaines questions, formulées de manière abrupte, mais nécessitant des calculs parfois fastidieux. Peu de réelles difficultés théoriques, hormis celles résultant de la vision dans l'espace dans la première partie. Pour autant, il faut être à la fois rapide et précis. Répondre à une question de cours ne souffre aucune approximation, et une erreur dans un long calcul peut se répercuter très longtemps après. Certes, des résultats sont donnés régulièrement et permettent de détecter ces erreurs, mais leur recherche peut faire perdre du temps. Il importe donc de rester rigoureux de bout en bout, quitte à sauter certaines questions de la première partie si elles déconcertent trop. Indications Partie I I.A.3.a Exprimer d'abord - T en coordonnées sphériques, puis calculer la dérivée - de R . Se souvenir que d- u TS d - = u dt dt I.B.1 Pour le calcul de |g /gr |, se contenter d'évaluer les ordres de grandeur du dénominateur et du numérateur. I.B.2 Utiliser les coordonnées de gr et g obtenues à la question précédente. - I.B.3 Le moment cinétique est dirigé suivant Z , défini à la figure 2.a : exprimer ce vecteur dans la base cartésienne. - I.B.4 Le vecteur est le vecteur rotation de la ligne des noeuds (N N). I.B.5 De quel angle tourne la ligne des noeuds pendant TR ? Et la Terre ? Quel est le lien entre ces deux angles si la Terre fait k tours complets pendant TR ? Partie II II.A.1 Donner l'expression du vecteur - u avant de calculer l'amplitude diffractée. II.B.2 Exprimer t(P) avec le cosinus en notation complexe, puis exprimer l'amplitude diffractée sous forme de trois termes. Le calcul n'est pas demandé, il suffit de faire apparaître les directions de propagation. Partie III III.A.6 Calculer le vecteur de Poynting avec les expressions réelles des champs. III.C.2 Écrire la deuxième loi de Newton appliquée à un électron, en utilisant la dépendance en e it du champ électrique. - III.C.3 La puissance fournie aux électrons est P = - · E. III.C.6.e La vitesse de groupe est v g = d/dk1 . I. Le satellite Jason 2 I.A.1 La force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite est - m MT - u TS F = -G r2 I.A.2.a Le référentiel géocentrique est lié au centre de la Terre et en translation par rapport aux étoiles lointaines. Il n'est pas galiléen car il n'est pas en translation rectiligne et uniforme par rapport au référentiel de Copernic, supposé galiléen. Le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen pour étudier des mouvements de durée assez faible pour que son mouvement dans le référentiel de Copernic puisse être considéré comme rectiligne et uniforme. Le référentiel de Copernic n'est pas rigoureusement galiléen, vu qu'il est en translation non rectiligne uniforme dans le référentiel galactocentrique. La période de révolution du Soleil dans la Voie Lactée est d'environ 200 millions d'années : le référentiel de Copernic peut donc être considéré comme galiléen avec une bonne approximation. I.A.2.b Une grandeur mécanique du satellite qui se conserve est son moment cinétique. En effet, le théorème du moment cinétique dans le référentiel Rg s'écrit - - - d- T = TS F = 0 dt donc le moment cinétique - T du satellite par rapport au point T est constant. - - - Comme - = TS m v , où v est la vitesse du point S dans le référentiel géoT centrique, il en résulte que le mouvement est plan. Par ailleurs, l'énergie mécanique est constante car l'unique force qui s'exerce - sur le satellite, F , est conservative. I.A.3.a Comme la trajectoire est plane, on peut décrire le mouvement dans le plan de la trajectoire à l'aide des coordonnées polaires. Exprimons tout d'abord le moment - - - cinétique - T dans la base ( u TS , u , uz ). - - - T = TS m v dr - d - - = r u TS m u TS + r u dt dt - 2 d - u T = mr z dt L'expression de - dR comporte trois termes : dt - - - dR d- v dT - G M m d u TS - = - T+ v T dt dt dt dt Le deuxième est nul car - T est constant. Compte tenu de la deuxième loi de Newton, le premier terme s'écrit - d- v F - - T = T dt m MT d - = -G 2 - u TS m r2 u z r dt d - u = G MT m dt d- v d- u TS - T = G MT m dt dt - Finalement, le premier terme de la dérivée de R est égal à l'opposé du troisième, d'où - - dR = 0 dt - Ainsi, R est un vecteur constant tout au long du mouvement du satellite. - I.A.3.b Le vecteur R est la somme d'un vecteur contenu dans le plan de l'orbite (parallèle à - u TS ) et d'un vecteur orthogonal à - T , lui-même orthogonal au plan de l'orbite. Par conséquent, - R est contenu dans le plan de l'orbite du satellite. - I.A.3.c Exprimons le terme - v - T apparaissant dans R : dr - d - - - 2 d - v T = u TS + r u m r uz dt dt dt 2 d - - 3 On en déduit (v T ) · u TS = m r dt Ceci est égal au premier terme du deuxième membre de l'égalité proposée. En effet, d'après l'expression de - T déterminée à la question I.A.3.a, 2 d T 2 = m r3 mr dt Finalement, on obtient bien l'égalité - - T 2 R · u TS = - G MT m mr - Ce produit scalaire peut également s'écrire R · - u TS = R cos . Il vient 2 T R cos = - G MT m mr T 2 /m G MT m + R cos Ceci peut se mettre sous la forme de l'équation d'une conique : d'où r= r() = p 1 + e cos avec p= T 2 G MT m2 et e= R G MT m