Centrale Physique MP 2011

Thème de l'épreuve Laser de forte puissance
Principaux outils utilisés diffraction, réseaux, conduction électrique
Mots clefs diffraction, modèle de Drude, réflexion des ondes, conduction dans les métaux, ionisation, réflexion sur une sufrace métallique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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t '» Physique °°« --/ MP EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées 2011 Ce problème est constitué de deux parties largement indépendantes. Certaines valeurs numériques sont regroupées en fin d 'énoncé. Les résultats numériques fournis par les candidats tiendront compte du nombre de chiffres significatifs des valeurs numériques de l'énoncé. Dans l'ensemble du sujet on notera j le nombre compleæe dont le carré vaut -1. Laser de forte puissance Ce problème présente une méthode performante d'amplification d'impulsions laser, appelée technique CPA (chirped pulse amplification), qui est mise en oeuvre en laboratoire depuis les années 2000. Cette technique est utilisée dans les lasers de forte puissance, comme par exemple le laser petawatt au Laboratoire pour l'Utilisation des Lasers Intenses de l'École Polytechnique et sera utilisée dans le projet européen ELI (Extreme Light Infra-- structure). La technique CPA consiste à étaler spatialement et temporellement a l'aide d'une paire de réseaux de diffraction une impulsion temporellement courte, puis d'amplifier l'impulsion couleur après couleur, de sorte que la puissance dans le matériau amplificateur reste en--dessous d'un seuil destructeur. On recomprime ensuite l'impulsion par un dispositif symétrique de réseaux pour obtenir une impulsion très intense. I Étirement temporel d'une impulsion laser Après avoir établi les propriétés fondamentales des réseaux de diffraction, cette partie étudie la manière dont on peut étirer temporellement une impulsion laser de courte durée avec une paire de réseaux. I.A -- Difiraction par un réseau plan Le réseau utilisé est un réseau en réflexion constitué d'une succession de facettes réfléchissantes contenues dans le plan 0502. Il est placé dans le vide et éclairé par une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde À et d'amplitude AO. I.A.1) Énoncer le principe de Huygens et Fresnel. I.A.2) On considère une facette contenue dans le plan Omz (le repère Oæyz étant orthonormé direct). Suivant OOE la largeur de la facette est b (elle est contenue entre 9 a: = 0 et a: = b), alors que sa longueur (suivant 02) est très grande devant À. L'onde incidente, est contenue dans le plan 0103; et fait un angle io avec l'axe Oy (io E [O, 7r/2]). i0 On observe l'onde diffractée dans la direction du plan Oæy faisant un angle 9 avec Op (0 EUR [--7r/2,7r/2]). 0 a) Justifier qu'on se limite à l'étude de l'onde diffractée dans le plan Omy. Figure 1 b ) Établir l'expression de so(9), amplitude complexe de la vibration lumineuse diffrac- tée à l'infini dans la direction (9. o) En déduire l'éclairement Ig(0) diffracté dans la direction 9 par une facette. Préciser la valeur 90 de l'angle 9 pour laquelle on a un maximum d'éclairement. Quel résultat d'optique géométrique retrouve-t-on '? d ) Tracer l'allure de l'intensité lumineuse en fonction de sin 9. Préciser sur le graphique la largeur de la tache centrale de diffraction. I.A.3) On considère un réseau constitué de N facettes identiques à la précédente, translatées les unes par rapport aux y autres de la distance a > b suivant 0316 (cf. figure 2). L'onde incidente et la direction d'observation n'ont pas changé. On numérote les facettes de 0 a N -- 1 de façon a ce que la facette de rang n est comprise entre :o = na et x = na + b. a ) Soit sn(9) l'amplitude complexe de la vibration lumineuse difiractée à. l'infini dans la direction 0 par la énième facette. Montrer que l'on peut mettre sn(9) sous la forme : @@ = âo(9) exp(jn@) où rt est un déphasage à exprimer en fonction de À, a et des angles io et 9. Figure 2 b) En déduire l'expression de l'éclairement I(9) diffracté à l'infini dans la direction 9 par l'ensemble des fentes. c) La figure 3 représente le tracé de l(9) en fonction de sin 9 en incidence normale (io = 0) pour une radiation de longueur d'onde À = 1050 nm. I(9) sin 0 -1 -0,5 0 0,5 1 Figure 3 À quel domaine des ondes électromagnétiques appartient cette longueur d'onde '? Commenter ce tracé. En particulier, on déduira de la position des maxima la valeur du pas a du réseau. Préciser l'ordre d'interférence pour chacun des pics visibles. Pourquoi n'en voit-cn pas plus? Estimer la valeur de b. d) Que se passe-t-il si on éclaire le réseau avec une lumière polychromatique? Tracer I(0) dans les mêmes conditions qu'à la question précédente pour une onde composée de deux radiations monochromatiques de lon- gueurs d'onde /\1 = 1050 nm et À2 = 1200 nm. Laquelle est la plus déviée? I.B -- Difiractz'on par un réseau à échelettes En pratique on préfère utiliser un réseau a échelettes constitué de facettes réfléchissantes (largeur b) inclinées d'un angle & par rapport au plan du réseau. Une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde À éclaire le réseau sous un angle ig par rapport à l'axe Oy et on observe l'onde diffractée à l'infini dans la direction faisant un angle 0 avec ce même axe. Les angles d'incidence et d'observation par rapport a la normale à la facette sont respectivement 70 et fy (cf. figure 4). Figure 4 I.B.1) Diffraction par une facette a) Exprimer la différence de marche à l'infini entre les ondes correspondant a deux rayons incidents dont l'un arrive sur l'extrémité O de la facette et l'autre en un point P quelconque de la facette en fonction de m, "y et de la distance a" : OP (cf. figure 5). b) En déduire l'expression de l'amplitude complexe de la vibration lumineuse diffractée par une facette dans la direction v. 43) Quelle est la valeur de "y correspondant au maximum d'éclairement de la figure de diffraction? I.B.2) Diffraction par le réseau a) Exprimer le déphasage entre deux ondes diffractées par deux facettes suc- cessives séparées d'une distance a7 en fonction de a et des angles io et 0. Figure 5 b ) On note HP les valeurs des directions d'observation correspondant aux maxima principaux. Exprimer sin EUR,, en fonction de ig, a, À et de l'ordre d'interférence p. 0) On veut faire coïncider pour une longueur d'onde A = 1050 nm, le maximum à l'ordre 1 du réseau avec le maximum de la figure de diffraction par une facette. Donner l'expression de l'angle & permettant de réaliser cette condition en fonction de a, A et ig. Sachant qu'il s'agit d'un réseau constitué de 1740 facettes par millimètre et qu'il est utilisé sous une incidence io = 61,0°, calculer & ainsi que l'angle 01. d ) Quel est l'intérêt de ce réseau par rapport au réseau plan du I.A '? I.C -- Etirement temporel d'une impulsion laser avec une paire de réseau:): On utilise deux réseaux identiques, placés symétriquement dans le vide. Ils sont parallèles et distants de d. L'onde incidente, plane progressive arrive sur le pre- mier réseau en faisant un angle io avec sa normale. Les caractéristiques des réseaux sont telles que seuls les rayons à l'ordre 1 sont a prendre en compte. La figure 6 représente la marche d'un tel rayon pour une onde plane progressive monochromatique de longueur d'onde /\. En notant 9 l'angle que fait ce rayon avec la normale au premier réseau on a l\ Plan sc : 0 (avec a le pas du réseau) : Figure 6 sin io + sin 0 = -- a I.C.1) Cas d'une onde monochromatique a) Justifier que. quelle que soit la longueur d'onde, le rayon émergent de l'ensemble est parallèle au rayon incident. b) On note P et Q les intersections entre les rayons incident et émergent et le plan x = 0 (cf. figure 6). Calculer le chemin optique entre P et Q en fonction de 'l0, 0 et la distance d entre les réseaux. En déduire le temps t de parcours entre P et Q. I.C.2) Cas d'un doublet L'onde incidente est constituée de deux longueurs d'onde À1 et À2 (avec À1 < À2). @) Faire un schéma de la marche des deux rayons dans la paire de réseaux. On fera clairement apparaître les angles 91 et 02 correspondant respectivement aux longueurs d'onde À1 et À2. b) On note At : t2 --t1 le décalage temporel entre les deux rayons émergents (ti représentant la date d'arrivée du rayon correspondant à À,-). Montrer que l'on peut écrire At sous la forme : 2 . à . . At = 5' (mg) -- f(À1)) f(A) = # c 1 -- (à -- sin ig) où c est la vitesse de la lumière dans le vide. 43) On a d = 70 cm, a = 0,58 um, À1 = 1050 nm, À2 : 1060 nm et io : 61,0°. Calculer At et la dérive de fréquence [? définie par : A 5=A--î OùAÀ=À2--À1 On exprimera B en nm - ns_1. Quel est le signe de 5 ? Interpréter. I.C.3) Cas d'une impulsion laser On éclaire maintenant la paire de réseaux précédente avec une impulsion laser (onde plane progressive) de longueur d'onde moyenne À0 = 1050 nm et de durée 7' = 1 ps. On supposera que l'amplitude de l'onde est constante sur la durée T et égale à A0. En un point d'abscisse a: = 0 on peut alors écrire l'onde g(t) en notation complexe sous la forme : Q(t) = {A0 EURXp(j27wot) si t E [0,T] c _ avec 1/0 = -- 0 s1non À0 On rappelle qu'une telle onde peut s'écrire sous la forme d'une somme d'ondes harmoniques : +00 +00 g(t) =/ A(V)éxp(j27flflî)dV où A(1/) =/ g(t)exp(--j27rut)dt --00 --00 @) Exprimer A(V) en fonction de A0, T, 1/0 et u. Que représente |A(U)| ? Tracer l'allure de |A(V)| en fonction de V. On fera apparaître 1/0 sur ce graphique ainsi que les deux premières valeurs 1/1 et V2 de la fréquence (V1 < 1/0 < V2) pour lesquelles |A(V)| = 0. b) Donner l'expression puis la valeur numérique de la largeur spectrale A1/ = V2 -- V1. Comparer à la fréquence moyenne U0 et en déduire la largeur spectrale en longueur d'onde AA de l'impulsion. EUR) Cette impulsion est envoyée sur la paire de réseaux. Expliquer pourquoi on peut parler d'étirement temporel. En supposant que la dérive de fréquence 5 est de l'ordre de 5 nm - ns"1 dans le domaine de fréquence utilisé, quelle est la durée de l'impulsion qui émerge du système ? A--t-on réalisé le but recherché'.7 d) Une fois l'impulsion étirée elle peut être amplifiée puis recomprimée avec une deuxième paire de réseaux afin de retrouver une impulsion de la durée initiale. Quelle condition doit vérifier la dérive de fréquence pour cette deuxième paire de réseau ? En pratique cette condition est réalisée en ajoutant un ensemble de deux lentilles afocal entre les réseaux. II Réflexion sur une surface métallique, ionisation, puissance limite Lors de la réflexion d'une onde électromagnétique de forte intensité sur une surface métallique (comme dans le cas du réseau de la partie I), celle-ci risque d'être endommagée du fait de l'ionisation du milieu sous l'effet du champ électrique. Dans cette partie, le but est de déterminer l'ordre de grandeur de la puissance maximale de l'onde incidente pour éviter ce phénomène. Le métal (de l'or) occupe tout le demi-espace 2 > 0, le demi espace 2 < 0 étant de l'air assimilé au vide. L'onde incidente est supposé monochromatique et se propage dans le vide suivant l'axe Oz dans le sens des z croissants (incidence normale). La longueur d'onde dans le vide de cette onde est A = 1050 nm. II.A -- Propagation d'une onde électromagnétz'que dans le métal II.A.1) Conductivité du milieu Le métal est constitué d'ions et d'électrons libres. On note n le nombre d'électrons libres par unité de volume, q = --e la charge d'un électron et m sa masse. La vitesse d'un électron au point M à l'instant t est notée 17(M , t). On adopte le modèle suivant (modèle de Drude) : -- les électrons sont traités dans le cadre de la mécanique classique; -- le déplacement des électrons est faible devant la longueur d'onde et l'accélération des électrons en M est 317 ôt( ) m _. -- les électrons subissent de la part du réseau cristallin une force de la forme ----v(M , t), où 7' est une constante 7' caractéristique du milieu; -- l'effet du champ magnétique sur un électron est négligeable. a ) En appliquant le principe fondamental de la dynamique a un électron, donner l'équation différentielle vérifiée par Ü(M , t). On se place pour toute la suite dans le cas d'un régime si11usoïdal forcé de pulsation w : Ü(M, t) = Re (ÿ(M, t)) avec ÿ(M,t) = Ü(M)e'"'. Donner l'expression de ÿ(M, t) en fonction du champ électrique complexe É (M , t). --» b ) Justifier que la contribution des ions au vecteur densité de courant électrique 1 (M , t) est négligeable. c) Montrer que l'on peut écrire : i< 107 S -- m_1. En supposant que chaque atome donne un électron libre, calculer la densité d'électrons n dans l'or ainsi que la constante T. Montrer, en tenant compte des applications numériques précédentes, que l'on peut simplifier l'expression de la conductivité a : .nq2 g=--3-- mw II.A.2) Nature de l'onde On suppose que le milieu n'est pas magnétique et qu'à tout instant et en chaque point la densité volumique de charge électrique est nulle. (1) Écrire les équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique et magnétique dans le conducteur. b ) En déduire l'équation d'onde vérifiée par le champ électrique. c) On cherche à étudier la propagation d'un champ de la forme É(M,t) = E(0)e' 0 z ) _ onde réfléchie métal Figure 7 Les champs électriques des ondes incidente et réfléchie dans le vide sont respectivement : Ëi(z,t) : E06jw(t--z/c)üæ et Ê,...(z,t) : 'Ï'EOÜjw(t+z/C)üæ où 7" est le coeflicient, éventuellement complexe, de réflexion. II.B.1) Donner les expressions des champs magnétiques correspondants. II.B.2) Quelles relations les champs électriques et magnétiques des ondes incidente, réfléchie et transmise doivent-ils vérifier? II.B.3) En déduire l'expression du coefficient de réflexion. Que peut-on dire de l'amplitude de l'onde réfléchie par rapport a celle de l'onde incidente ? II.B.4) Donner l'expression de l'amplitude E(O) en fonction de E0, w et Ldp. |E(O)| du champ électrique à la surface du conducteur II.B.5) On note @@ la vitesse maximale atteinte par les électrons dans le conducteur. En tenant compte des ordres de grandeur de w et cap, montrer que : II.C -- Ionisatz'on dans le métal, limite en puissance Les électrons accélérés risquent d'ioniser par impact les atomes voisins, l'équilibre de la matière ainsi rompu provoque l'éjection de particules hautement ionisés et la destruction du dépôt. II.C.1) Sachant que l'or a pour numéro atomique Z = 79 et un rayon atomique r = 140 pm, estimer l'ordre de grandeur de l'énergie nécessaire pour provoquer une ionisation. Calculer cette énergie. En fait les tables donne une énergie de l'ordre de 9 eV. Comment peut-on expliquer l'écart entre les deux valeurs. On prendra la valeur tabulée pour la suite des calculs. II.C.2) En supposant que lors d'un choc électron-ion toute l'énergie cinétique de l'électron est transmise à l'ion, quelle est l'ordre de grandeur de la vitesse susceptible de créer une ionisation supplémentaire. II.C.3) Quelle est l'amplitude du champ électrique de l'onde incidente susceptible de donner lieu à une telle vitesse ? II.C.4) Quelle est la puissance moyenne de cette onde sachant que la section du faisceau est de l'ordre de 260 cm2 ? II.C.5) Expérimentalement, pour une impulsion de une picoseconde, on mesure un seuil d'endommagement de 0,5 J - cm"? Comparer au résultat précédent et commenter la pertinence du modèle. Données Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - s"1 Perméabilité du vide ,u0 = 47r10_7 (SI) Permittivité du vide 50 = 8,85 >< 10_12 (SI) Charge de l'électron (] = --e = --1,60 >< 10_19 C Masse de l'électron m = 9,11 >< 10"31 kg Constante d'Avogadro N A = 6,02 >< 1023 mol"1 oooFINooo

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Roman Yurchak (ENS Cachan) ; il a été relu par Julien Tailleur (Chercheur au CNRS) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes : l'une présente un procédé de manipulation de la lumière laser, l'autre étudie l'interaction entre un métal et une onde électromagnétique. · Dans la première partie, on s'intéresse à la technique CPA (chirped pulse amplification) qui consiste en un système de quatre réseaux permettant d'étaler temporellement l'impulsion du laser avant l'amplification et de la recomprimer par la suite. En particulier, on étudie les réseaux à échelettes qui permettent de limiter les pertes d'intensité lumineuse. Les sous-parties I.A et I.C constituent une bonne révision des notions de diffraction. · Dans une deuxième partie, on modélise l'interaction du laser avec une surface métallique. En particulier, on décrit la réflexion de l'onde sur la surface ainsi que le seuil d'intensité lumineuse incidente qui correspond à la dégradation du métal. Cette partie permet de revoir les équations de Maxwell, la théorie de conduction électrique ainsi que la réflexion des ondes électromagnétiques. Ce sujet, suffisamment guidé, ne présente pas de difficultés particulières, bien que la première partie soit assez longue. Il fait appel à des notions d'optique ondulatoire, d'électromagnétisme et il est par conséquent bien adapté à toutes les filières. Indications Première partie I.A.2.a Comparer aux dimensions du réseau suivant Ox et Oy. I.A.2.b Appliquer le principe de Huygens-Fresnel pour la diffraction à l'infini. Pour cela, calculer la différence de marche entre les rayons incidents en O et un point quelconque de la facette. I.A.3.a Remarquer que les ondes émises par chaque facette sont identiques, à un déphasage près qu'on peut calculer grâce à la différence de marche entre les ondes émises en x = 0 et en x = n a. I.A.3.c À partir du graphique, identifier les deux échelles du problème : largeur de la tache de diffraction et distance entre les pics. I.B.1.a Les calculs sont similaires à ceux de la question I.A.3.a à une rotation près. I.B.2.c Utiliser les résultats de la question I.B.1.c. I.C.1.b Tracer une droite orthogonale à - ux passant par A. I.C.2.b Développer le résultat de la question I.C.1.b en utilisant la relation entre i0 et ainsi que les formules de trigonométrie. Deuxième partie II.A.1.b Penser aux rapport des masses entre les ions et les électrons. II.A.2.b Il faut combiner les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday. II.B.2 Les champs sont continus à la traversée d'une interface dans une distribution volumique de charges et de courants. II.B.3 Utiliser l'expression calculée à la question II.A.2.e. II.B.5 La densité de courant fait intervenir la vitesse des électrons. II.C.1 Se rappeler du lien entre l'énergie d'ionisation et l'énergie potentielle. II.C.3 Tirer profit du résultat de la question II.B.5. Laser de forte puissance I. Étirement temporel d'une impulsion laser I.A Diffraction par un réseau plan I.A.1 Le principe de Huygens-Fresnel s'énonce de la manière suivante. La lumière se propage de proche en proche. Chaque élément de surface atteint par elle se comporte comme une source secondaire rayonnant une ondelette sphérique dont l'amplitude est proportionnelle à l'aire de l'élément de surface. L'amplitude complexe en un point est égale à la somme des amplitudes complexes incidentes en ce point. I.A.2.a Puisque la longueur de la facette suivant (Oz) est très grande devant , la diffraction dans cette direction est négligeable et le problème peut être étudié uniquement dans le plan (Oxy). I.A.2.b Notons s i l'amplitude complexe de la vibration lumineuse atteignant le réseau. D'après le principe de Huygens-Fresnel, Z b 2 s 0 () = K s i exp j dx 0 avec K une constante et une différence de marche que l'on calcule à partir de la figure ci-dessous. y K2 K1 i0 i0 P b x O x = (K1 P) + (PK2 ) = x (sin + sin i0 ) Posons = 2/x, s 0 () = K s i e jx j b e j - 1 = K si j s 0 () = K s i e jb/2 donc x=0 e jb/2 - e -jb/2 j b b s 0 () = K b s i exp j (sin + sin i0 ) sinc (sin + sin i0 ) La réflexion sur la facette introduit une phase supplémentaire de pour chaque rayon. Néanmoins cette dernière n'intervient pas dans le résultat puisque l'on s'intéresse uniquement à la différence de marche entre deux rayons réfléchis. I.A.2.c Par définition, I0 () = |s 0 ()|2 d'où 2 I0 () = (|K s i | b) sinc 2 b (sin + sin i0 ) Le maximum d'éclairement est atteint pour 0 = -i0 . On retrouve la loi de SnellDescartes pour la réflexion. I.A.2.d Cherchons les zéros de I0 (sin ) notés z+ et z- , qui permettent de calculer la largeur de la tache de diffraction : b + + sin i0 z- = + - b (z+ - z- ) = 2 Soustrayons ces deux relations, La largeur de la tache de diffraction est 2 . b I0 (sin ) 2 b z- - sin i z+ 0 0 sin I.A.3.a Calculons la différence de marche n entre deux rayons homologues diffractés par les facettes O et On . y s0 () sn () K2 K1 i0 i0 x On O x = na n = (K1 On ) + (On K2 ) = na (sin + sin i0 ) d'où soit sn () = s0 () e j2n / sn () = s0 () e jn avec = 2a (sin + sin i0 )