Centrale Physique MP 2009

Thème de l'épreuve Éléments de cosmologie
Principaux outils utilisés mécanique du point, rayonnement thermique, optique, thermodynamique
Mots clefs problème à deux corps, diffusion de Rutherford, potentiel d'interaction, effet Doppler, théorème du Viriel, vecteur excentricité, rayonnement fossile à 3K, rayon de Schwarzschild, lentille gravitationnelle, relativité, expansion de l'Univers, loi de Hubble

Corrigé

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Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve : PHYSIQUE Filière MP PHYSIQUE Filière MP PHYSIQUE Les calculettes sont autorisées. Éléments de cosmologie Ce problème se propose d'établir quelques propriétés simples de l'Univers, telle qu'on les comprend actuellement, mais au moyen de modèles physiques simplifiés. À notre échelle, l'Univers est formé d'étoiles et de leurs planètes, regroupées en amas ou galaxies, ainsi que d'une certaine quantité de gaz interstellaire. Cependant, à plus vaste échelle, nous serons éventuellement amenés à traiter l'Univers comme un système fluide homogène. Données : Célérité de la lumière dans le vide c = 3, 00 u 10 8 m.s ­1 Constante de Boltzmann k B = 1, 38 u 10 ­23 J.K ­1 Constante de la gravitation universelle G Constante de Planck h = 6, 63 u 10 ­34 J.s Durée d'une année 365, 25jours = 3,16 u 10 7 s Masse du Soleil M = 1, 99 u 10 30 kg Rayon du Soleil R = 6, 95 u 10 8 m = 6, 67 u 10 ­ 11 m 3 .kg ­1 .s ­2 Les quatre parties et de nombreuses questions peuvent être abordées de manière très largement indépendante. Partie I - Déviation de la lumière par les étoiles Cette partie étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d'une particule par une étoile E , considérée comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de rayon R , de masse M et de centre O . La particule étudiée A est ponctuelle et de masse m . On considère le système formé de A et E comme isolé. Le référentiel d'étude ( K ) est galiléen. Concours Centrale-Supélec 2009 1/11 PHYSIQUE Filière MP Filière MP I.A - Étude du système Y formé de A et E I.A.1) Définir le référentiel barycentrique du mouvement du système Y relati* vement à ( K ) ; on le notera ( K ). Quelle propriété importante du référentiel * ( K ) peut-on affirmer ? I.A.2) On notera O un point fixe de ( K ), G le centre d'inertie du système Y ; on notera r G = OG . On notera aussi r = EA (voir figure). Les dérivées temporelles successives, prises dans le référentiel ( K ), de ces vecteurs sont notées : dr G dv G dr dv v G = --------- , v = ------ , a G = ----------- et a = ------- . dt dt dt dt r A G rG E O (K ) Exprimer la vitesse et l'accélération de A relativement à ( K ) en fonction de v G , v , a et des masses m et M . I.A.3) Exprimer le moment cinétique m 0 en O du système Y relativement à ( K ) en fonction de r G , v G , r , v de m T = m + M et de la masse réduite + définie par 1/+ = 1/m+1/M. Exprimer aussi l'énergie cinétique E c du système Y relativement à ( K ) en fonction de v G , v , m T et + . I.A.4) Expliciter l'équation différentielle du second ordre qui régit l'évolution de r . On notera r = r et on supposera r > R . I.A.5) En déduire la conservation du moment cinétique barycentrique m * du système. L'énergie cinétique barycentrique du système E c* se conserve-t-elle ? I.B - Trajectoires hyperboliques de la particule A On se place dans toute la suite du problème dans le référentiel ( K * ). On suppose que M » m . I.B.1) Montrer dans ce cas que GA 5 r et que la vitesse de A dans le référentiel barycentrique est voisine de v . Relier de même les constantes du mouvement barycentrique m * et E c* au moment cinétique et à l'énergie cinétique de A dans le référentiel ( K * ). I.B.2) On supposera r > R . Quelle est l'équation du mouvement de A ? Montrer que le mouvement de A est plan. Concours Centrale-Supélec 2009 2/11 PHYSIQUE On appellera Gxy le plan du mouvement ; on repère la position de A dans le plan Gxy par ses coordonnées polaires r = GA et e = ( e x u r ) . On notera e r, e e la base locale polaire correspondante (voir figure ci-contre). Filière MP y ee v0 I.B.3) On pose er 6 r b A 6 \ e G z x 6' v1 m * u e z = mC . Expliciter C en fonction de r et e = de / dt , puis expliciter la dérivée dv / de en fonction de G , M et C . En déduire que le vecteur e = _v ­ e e est, pour un choix que l'on précisera de la constante _ , une constante du mouvement. Expliquer pourquoi on ne perd pas de généralité dans l'étude du mouvement en posant e = ee y avec e > 0 . I.B.4) À partir du résultat de la question précédente, exprimer v u e e en fonction de _ , e et e ; en déduire l'équation de la trajectoire, qu'on écrira sous la forme p / r = 1 + e cos e . Expliciter p en fonction de _ et C , puis en fonction de C , G et M . À quelle condition, portant sur e , la trajectoire de A est-elle hyperbolique ? I.C - Étude de la trajectoire On ne fait plus ici d'hypothèse particulière quant à la direction du vecteur e dans le plan Gxy du mouvement. I.C.1) Lorsque la particule A est encore située à très grande distance de l'étoile E ( x A A ­ ' , voir la figure ci-dessus), sa vitesse v 0 est colinéaire à Gx ; elle a pour norme v 0 . L'asymptote 6 à cette trajectoire incidente passe à la distance b de G . Exprimer C en fonction de b et v 0 ; préciser en particulier le signe de C. I.C.2) Lorsque la particule A s'est largement éloignée de l'étoile E , sa trajectoire est à nouveau une droite 6v parcourue à la vitesse constante v 1 . Quelle est la norme de v 1 ? I.C.3) Exprimer, pour t A ­ ' puis pour t A +' , le vecteur e projeté sur la base e x, e y en fonction de _ , v 0 et de l'angle de déviation \ entre les droites 6 et 6' . En déduire une expression de tan ( \ / 2 ) en fonction de v 0 , C , G et M . Concours Centrale-Supélec 2009 3/11 PHYSIQUE Filière MP I.C.4) Lors de son mouvement, la particule A passe à un certain instant à une distance minimale d du centre de l'étoile E . À partir par exemple de deux lois de conservation, déterminer une équation du second degré dont 1 / d est solution. En déduire que : C2 d = ---------------------------------------------------------- . G M + G 2 M 2 + C 2 v02 I.C.5) Quel est le sens de variation, pour v 0 fixé, de la fonction \ ( d ) reliant l'angle de déviation et la distance minimale d'approche ? Commenter. I.C.6) Lorsque cette distance minimale correspond à une trajectoire rasante ( d = R ) , quelle est la valeur de la déviation \ 0 ? On montrera que : \0 GM tan -----2 = --------------------------------2 v0 R ( R + l ) où l'on exprimera l en fonction de G , M , et v0 . I.C.7) Déterminer numériquement l , appelé rayon de Schwarzschild, dans le cas du Soleil pour une particule de vitesse v 0 5 c . I.D - Déviation de la lumière par le Soleil La lumière est ici traitée comme un faisceau de photons, particules dont la masse m n'a pas besoin d'être précisée dans la suite (même si on sait aujourd'hui qu'elle est nulle), et qu'on traitera dans le cadre de la mécanique non relativiste (même si cette approximation n'est pas légitime). Ces photons seront considérés comme soumis, comme une particule matérielle ordinaire, à l'interaction gravitationnelle avec l'étoile. On admettra que, pour les photons passant à proximité du Soleil, l « R (voir I.C.6). I.D.1) Déterminer, en secondes d'arc, la déviation \ 0 correspondant à un photon rasant le Soleil. On prendra v 0 = c . I.D.2) Une expédition fut montée en mai 1919 pour observer cette déviation à l'occasion d'une éclipse de Soleil. La météo ne fut pas très bonne, pas plus donc que la qualité des observations ; toutefois, des mesures ultérieures menées lors de diverses éclipses de 1922 à 1999 confirmèrent progressivement une valeur mesurée expérimentalement \ e = 1, 75vv . Pourquoi la mesure doit-elle être menée lors d'une éclipse du Soleil ? Commenter la valeur de \ e . Concours Centrale-Supélec 2009 4/11 PHYSIQUE Filière MP I.E - Effets de lentille gravitationnelle La présence d'un astre massif E sur le trajet d'un faisceau de lumière parallèle provoque une déviation des rayons lumineux formant ce faisceau. L'angle de déviation \ dépend de la distance b entre le rayon étudié et l'astre E , sous la forme G M , où M est la masse de l'astre E . \ 5 g u ----------c2b I.E.1) Par analyse dimensionnelle, préciser l'unité de la grandeur constante g . I.E.2) Montrer que la déviation gravitationnelle de la b \ lumière par l'astre E se comporte, pour un rayon passant à la distance b de l'astre E (cf. figure ci-contre), E comme une lentille convergente dont on exprimera la distance focale fv en fonction de b , g , c , G et M . On considère un rayon lumineux rasant la surface du Soleil ; b est donc voisin du rayon R du Soleil. I.E.3) Déterminer fv dans ces conditions ; on prendra g = 2 SI et on exprimera le résultat en années-lumière (une année-lumière est la distance parcourue par la lumière pendant une année). I.E.4) L'observation des astres lointains et peu lumineux est parfois améliorée lorsque s'interpose, sur le trajet de la lumière entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait ? Partie II - Thermodynamique des étoiles et galaxies II.A - Stabilité des systèmes simples On étudie d'abord un système mécanique simple, à un seul degré de liberté, en1 2 tièrement caractérisé par son énergie cinétique E c = --- J q où J est une gran2 deur constante, positive. Toutes les actions mécaniques subies par ce système dérivent de son énergie potentielle E p fonction du seul paramètre q : E p = E p(q) . II.A.1) Étudier l'existence de positions q 0 d'équilibre du système et étudier la stabilité d'un équilibre pour des petits mouvements autour de cet équilibre. Montrer que la condition d'équilibre stable s'exprime en fonction de deux dérivées de la fonction énergie potentielle E p ( q ) . Concours Centrale-Supélec 2009 5/11 PHYSIQUE Filière MP II.A.2) Expliquer brièvement pourquoi les conclusions de la question II.A.1 sont inchangées, même si l'énergie cinétique du système se met sous la forme 1 2 E c = --- J ( q )q , où J ( q ) > 0 est une fonction de q . 2 II.B - Instabilité des systèmes autogravitants Nous admettrons ici qu'un système thermodynamique peut atteindre un équilibre stable si sa capacité thermique est positive. Le système Y étudié ici est un système autogravitant (étoile, galaxie ou Univers considéré comme isolé), c'està-dire un système constitué de N particules dont l'interaction est seulement gravitationnelle. On notera E c ( t ) son énergie cinétique et E p ( t ) son énergie potentielle. On appelle viriel du système Y la quantité définie par N V = - F i u ri , i=1 où F i désigne la force exercée sur la particule i , placée au point r i . On note aussi · f oe la moyenne temporelle d'une grandeur variable au cours du temps f ( t ) , définie comme la limite (si elle existe) : · f oe = lim TA' 1 ---T T 0t = 0 f ( t ) dt . Sous certaines réserves qu'on supposera vérifiées, on peut montrer et on admettra que l'énergie cinétique moyenne du système est donnée par 2 · E coe = ­ · V oe . II.B.1) La force exercée sur la particule i du système s'écrit Fi = - FjAi Gm m i j où F j A i = ­ ---------------------(r ­ r j) . 3 i ri ­ r j j&i L'énergie potentielle d'interaction entre deux particules i et j peut s'écrire G mi m j i, j E p = ­ ---------------------. ri ­ r j Parmi les deux expressions (1) et (2) ci-dessous, choisir celle qui exprime l'énergie potentielle d'interaction du système autogravitant tout entier ; justifier. N N Ep = - i, j E p = ­G i< j - i = 1 j = i+1 N Ep = i, j - E p = ­G i, j N - i=1 j=1 Concours Centrale-Supélec 2009 mi m j -------------------- , ou bien : ri ­ r j mi m j -------------------ri ­ r j (1) (2) 6/11 PHYSIQUE Filière MP II.B.2) Par application du principe des actions réciproques (ou principe de l'action et de la réaction), regrouper, dans la somme qui définit le viriel, les particules par paires. En déduire que l'énergie potentielle E p ( t ) est liée très simplement au viriel V ( t ) . II.B.3) En déduire que l'énergie mécanique totale du système U vaut U = ­ · E coe . II.B.4) On suppose que le centre d'inertie du système Y est au repos dans le référentiel galiléen d'étude. Relier · E coe à la température T du système Y . En déduire que la capacité thermique isochore C v d'un système autogravitant est négative, et qu'il est thermodynamiquement instable. Commenter. II.B.5) Dans le cas du Soleil ou des autres étoiles en activité, qu'est-ce qui empêche leur effondrement ? Partie III - Effet Doppler et Loi de Hubble Compte tenu de l'instabilité des systèmes autogravitants, et donc de l'Univers lui-même, nous allons chercher à caractériser l'évolution de ce système au cours du temps, c'est-àdire actuellement son expansion. La première évidence expérimentale acquise quant à cette expansion a été la loi de Hubble, dont la mise en évidence repose sur les propriétés de l'effet Doppler-Fizeau ou effet Doppler. III.A - Effet Doppler Considérons une onde monochromatique d'amplitude complexe a , se propageant dans la direction du vecteur unitaire u , décrite dans le référentiel ( K ) . Dans ce référentiel on note ( r, t ) la position et l'instant du passage de l'onde avec la phase , a = a 0 exp ( i ) où = tt ­ k u r avec k = ku . III.A.1) Dans un référentiel ( Kv ) en translation par rapport à ( K ) à la vitesse V = V u x , indiquer la position rv et l'instant t v du même passage, dans le cadre de la mécanique classique. III.A.2) La phase doit avoir même valeur dans les deux référentiels ; en déduire les formules de l'effet Doppler classique, liant les caractéristiques ( t, k ) et ( tv, kv ) de l'onde dans ( Kv ) et ( K ) . III.A.3) Relier les vitesses de phase et de groupe v q et v g de l'onde a dans les deux référentiels. Commenter. III.A.4) Expliquer pourquoi ces deux lois sont en fait incompatibles avec les lois de propagation des ondes électromagnétiques, déduites des équations de Maxwell. Concours Centrale-Supélec 2009 7/11 PHYSIQUE Filière MP III.A.5) Nous admettrons que, dans le cadre de la mécanique relativiste, la loi de transformation de la pulsation d'une onde électromagnétique ou lumineuse est : t v = at ( 1 ­ `u u u x ) où ` = V / c et a = 1 / 1 ­ ` 2 , où on note c la célérité de la lumière dans le vide. En déduire la relation liant les longueurs d'onde h et hv de la lumière dans ( K ) et ( Kv ). Que deviennent ces expressions de t v et hv si la vitesse V de changement de référentiel est faible devant celle de la lumière ? Comparer à l'effet Doppler-Fizeau classique étudié en III.A.2. III.B - Loi de Hubble Lorsqu'une onde électromagnétique est émise à la longueur d'onde h , relativement au référentiel ( K ) de l'émetteur, cette même onde sera reçue par un récepteur fixe dans le référentiel ( Kv ) , mais qui s'éloigne longitudinalement de ( K ) à la vitesse V , avec une longueur d'onde hv différente de h . La relation qui lie h et h' est : V h' = h £ 1 + ----¥ . ¤ c¦ On rappelle que le spectre de rayonnement d'une étoile de température de surface T , assimilé à une émission thermique, est donné par la loi de Planck qui donne la puissance rayonnée par unité de surface de l'étoile dP u entre les longueurs d'onde h et h + dh : 2 2/hc 1 dP u = --------------- ---------------------------------------dh 5 hc £ h exp ---------------¥ ­ 1 ¤ hk B T ¦ où h est la constante de Planck et k B la constante de Boltzmann. On appelle h m la valeur de h pour laquelle la fonction dP u / dh présente un maximum. III.B.1) Donner une expression approchée de la relation liant h m , T , h , c et k B . On pourra supposer que, au voisinage de ce maximum h m , exp ( hc / kh m T ) » 1 , avant de vérifier la validité de cette approximation. III.B.2) Calculer h m pour une étoile de température de surface T = 6000 K .À quel domaine du spectre électromagnétique correspond h m ? III.B.3) Expliquer brièvement pourquoi, compte tenu de la forme de la distribution de Planck au voisinage de son maximum, la mesure du déplacement de h m par effet Doppler ne constitue pas une méthode précise de mesure de la vitesse V de l'étoile émettrice par rapport au système solaire. III.B.4) En vous basant sur les propriétés de l'absorption de la lumière par les atomes, montrer que la présence d'une couche d'atomes froids entourant une étoile permet de proposer une méthode plus précise de mesure de V . Concours Centrale-Supélec 2009 8/11 PHYSIQUE Filière MP L'astrophysicien américain Hubble a, le premier, appliqué cette méthode de façon systématique, montrant une relation linéaire entre la vitesse d'éloignement des galaxies et leur distance au système solaire : c'est la loi de Hubble. D'après celle-ci, une galaxie (ou une étoile) A située à la distance R ( t ) d'une origine arbitraire s'éloigne de ce point O avec une vitesse radiale V o ( A, t ) = H ( t ) R ( t ) , où la grandeur H ( t ) , identique pour toutes les galaxies (ou étoiles), porte le nom de constante de Hubble. On peut aussi écrire vectoriellement la vitesse de la galaxie (ou étoile) A sous la forme V o ( A, t ) = H ( t )OA . III.B.5) Soit Ov un point lié à une galaxie quelconque de l'Univers. Déterminer la vitesse V ov ( A, t ) de la galaxie A par rapport à Ov . En déduire que la loi de Hubble est vérifiée avec une origine quelconque Ov , avec la même constante de Hubble H ( t ) . Commenter. III.B.6) Une étoile E émet un rayon lumineux vers le point O , avec OE = R ( t ) ; en admettant que H ( t ) et R ( t ) restent quasiment constantes au cours du laps de temps qui sépare le voyage d'un rayon lumineux depuis son étoile d'émission jusqu'à son point de réception, calculer la variation relative 6h / h de longueur d'onde due à l'effet Doppler entre émission et réception, en fonction de H ( t ) , R ( t ) et c . On dira qu'il y a dilatation commune de toutes les longueurs au cours de l'expansion, qu'il s'agisse de distances matérielles ou de longueurs caractéristiques, comme les longueurs d'onde. Partie IV - Échelle de temps de l'expansion IV.A - Refroidissement de l'Univers IV.A.1) À tout instant t , l'Univers peut être considéré comme un émetteur thermique à la température T ( t ) . On montre (Partie III), qu'au cours de l'évolution de l'Univers, la longueur d'onde d'un photon quelconque varie proportionnellement aux dimensions caractéristiques de l'Univers. En déduire qu'un Univers en expansion se refroidit. La loi de Wien pour un émetteur thermique donne la longueur d'onde du maximum d'émission h m en fonction de la température T sous la forme ­3 h m T 5 3, 0 u 10 m u K . IV.A.2) Quelle est la température actuelle de l'Univers si la longueur d'onde du maximum de l'émission est égale à 1, 1 mm ? Dans quel domaine spectral se trouve ce maximum d'émission ? Concours Centrale-Supélec 2009 9/11 PHYSIQUE Filière MP IV.B - Ère à dominante matérielle Actuellement, l'énergie mécanique de l'Univers est essentiellement présente sous forme matérielle, énergie mécanique de particules en interaction gravitationnelle. Nous décrirons l'Univers comme un fluide homogène de masse volumique l ( t ) , ayant la symétrie de révolution autour d'une étoile centrale O arbitraire. L'expansion de l'Univers est décrite par la loi de Hubble (voir III.B.4). IV.B.1) Une étoile A de masse m se situe, à l'instant t , à la distance R ( t ) de O . Montrer que la masse M R contenue à l'intérieur de la sphère de centre O et de rayon R ( t ) est constante au cours du temps. Donner l'expression du champ de gravitation exercé sur l'étoile A , assimilée à un point matériel, en fonction de G , M R et R ( t ) . En déduire l'énergie potentielle E p de A en fonction de G , m , M R et R ( t ) puis en fonction de G , m , R ( t ) et l ( t ) . On choisira E p = 0 si R ( t ) = 0 . IV.B.2) Déterminer l'énergie mécanique totale E de la même étoile, en fonction de m , R , l , G et de la constante de Hubble H ( t ) . IV.B.3) Montrer que le caractère ouvert ou fermé de l'Univers, c'est-à-dire la possibilité pour les étoiles de s'éloigner indéfiniment les unes des autres, dépend seulement de la valeur de l ( t ) relativement à une valeur critique l c qu'on exprimera en fonction de H ( t ) et G . IV.B.4) H vaut actuellement 15 km u s ­1 par million d'années-lumière (une année-lumière est la distance parcourue par la lumière à la vitesse c pendant une année). Calculer la valeur actuelle de l c . IV.B.5) En exprimant la conservation de la masse, montrer que l ( t ) varie pron portionnellement à R ( t ) et préciser l'entier n . IV.C - Ère à dominante radiative Dans les premiers temps de l'Univers, l'essentiel de l'énergie de celui-ci était présent sous forme de rayonnement électromagnétique ; nous admettrons dans la suite que lors d'une telle période, on peut utiliser les résultats de la mécanique classique à condition de remplacer la densité volumique l ( t ) par le rapport 2 l ( t ) = u ( t ) / c , où u ( t ) est la densité volumique d'énergie électromagnétique à l'instant t ; il s'agit simplement d'une extension de la relation classique d'équi2 valence masse-énergie E = mc . IV.C.1) Exprimer la puissance dP u partant de l'unité de surface d'un émetteur thermique à la température T et dont la fréquence est située entre les valeurs i et i + di , en fonction de h , c , k B , T , i , di et de la fonction f définie par 3 x hv f ( x ) = -------------------------- où l'on a posé x = ----------kBT exp ( x ) ­ 1 Concours Centrale-Supélec 2009 10/11 PHYSIQUE Filière MP IV.C.2) On donne la valeur de l'intégrale. ' 00 4 / f ( x ) d x = ------ . 15 En déduire la puissance P u rayonnée, par unité de surface de l'émetteur thermique, sur l'ensemble du spectre électromagnétique, en fonction de T et de constantes universelles. IV.C.3) En admettant que la densité volumique d'énergie électromagnétique u et la puissance rayonnée P u vérifient la relation cu = 4P u , montrer que l ( t ) est ­4 proportionnel à R ( t ) ; on pourra utiliser le résultat établi dans la partie III : les dimensions h et R varient proportionnellement au cours du temps. IV.D - L'âge de l'Univers Selon l'ère étudiée (dominante radiative au début, matérielle ensuite), on écrira p la masse volumique de l'Univers sous la forme l ( t ) = K p R ( t ) où p vaut ­ 4 au début de l'histoire de l'Univers et ­ 3 ensuite ; la constante K p n'a évidemment pas la même valeur dans les deux cas. Dans les deux cas, on supposera que l'Univers est très proche de la situation critique décrite en IV.B.4, donc que la constante de Hubble H ( t ) s'écrit : 8/ G l ( t ) ------------------------ . 3 H(t) = IV.D.1) En utilisant la loi de Hubble, établir une équation différentielle pour R ( t ) en fonction de p , G et K p . IV.D.2) Montrer que la durée séparant deux instants t 1 et t 2 est liée aux masses volumiques en ces deux instants, selon : 3 2 1 1 t 2 ­ t 1 = ------ ------------- ----------------- ­ ----------------- . p 8/ G l ( t ) l ( t1 ) 2 IV.D.3) Pendant l'ère à dominante radiative, l = _T 4 où _ = 1, 22 u 10 ­ 32 kg u m ­3 uK ­4 . Calculer la durée nécessaire pour que l'Univers se refroidisse depuis sa tempé7 rature initiale ( T i > 10 8 K ) jusqu'à 10 K puis jusqu'à 3000 K . IV.D.4) En utilisant la relation établie en IV.D.2 de manière approchée avec une valeur moyenne de p , évaluer l'âge de l'Univers. On prendra pour masse volu­ 27 ­3 mique actuelle de l'Univers la valeur l c = 4, 5 u 10 kg u m . ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 11/11

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 Centrale Physique MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Aymeric Spiga (École Polytechnique) ; il a été relu par Wahb Ettoumi (ENS Lyon) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). L'épreuve a pour cadre général l'astronomie et la cosmologie. Le sujet est constitué de quatre parties pouvant être traitées de façon indépendante. · Nettement plus longue que les autres, la partie I aborde de manière approfondie la déviation de la lumière par les étoiles. Après quelques rappels sur le formalisme du problème à deux corps, le cas de la déviation d'une particule par un corps massif est examiné en détail ; la question des photons déviés par le Soleil est ensuite abordée. Enfin, les effets de lentille gravitationnelle sont décrits par des analogies avec l'optique géométrique. · La partie II est consacrée à une analyse énergétique des étoiles et des galaxies : après une étude de stabilité d'un système mécanique à un degré de liberté, l'énoncé propose d'établir l'instabilité thermodynamique de systèmes plus complexes dits autogravitants. · La partie III débute par l'établissement des formules de l'effet Doppler, qui sont ensuite reliées à l'éloignement relatif des galaxies (loi de Hubble). Cette partie fait intervenir des notions de rayonnement thermique et comporte des questions qualitatives difficiles mais instructives. · Complétant les éléments développés dans les parties précédentes, la partie IV permet d'obtenir des résultats préliminaires sur l'évolution de l'Univers dans le temps et s'achève par une estimation de l'âge de l'Univers. L'énoncé comporte une forte dominante de mécanique du point. Une partie significative de la résolution repose sur des notions de première année. L'épreuve est longue (54 questions, dont 22 pour la seule partie I) mais de difficulté raisonnable et peu calculatoire, bien que certaines questions puissent s'avérer déstabilisantes sans constituer pour autant un frein à la résolution. Certaines parties consistent en une reformulation originale de problèmes classiques apparus dans de nombreuses épreuves de concours. Excellent problème de révision, ce sujet constitue une introduction intéressante à quelques grandes notions de cosmologie : rayon de Schwarzschild, lentille gravitationnelle, limites relativistes, instabilité des systèmes autogravitants, expansion de l'Univers, fond diffus cosmologique. Indications Partie I I.A.2 I.A.3 I.A.4 I.B.3 I.B.4 I.C.1 I.C.2 I.C.3 I.C.4 I.C.5 I.C.6 La définition du point O dans l'introduction est erronée. Un théorème du cours permet d'obtenir directement le résultat. Quelle est l'équation du mouvement de la particule réduite ? Dériver l'expression de - e par rapport à . - - Remarquer que v · e = C/r. Utiliser le point D, intersection de avec (Gy). Que vaut l'énergie potentielle de la particule A pour xA - et xA + ? Pour t - et t +, le vecteur - er est tangent à la trajectoire. Le moment cinétique et l'énergie se conservent entre t - et r = d. Montrer que b et d ont le même sens de variation, au contraire de b et . Utiliser l'équation de degré 2 obtenue à la question I.C.4 pour exprimer C à l'aide de d, v0 , G et M. Noter que l'expression donnée est vraie en remplaçant R par toute valeur d. I.D.2 Il n'est pas à exclure que la théorie ne corresponde pas à l'observation. I.E.4 Expliquer pourquoi le dispositif produit plusieurs images d'une même source. Partie II II.A.2 Par un développement limité à l'ordre 2 en = q - q0 , montrer que d2 Ep (q0 ) = 0 J + dq 2 P- P- P- II.B.2 Remplacer F ·- r par F ·- r + F ·- r ji j6=i i ji ji II.B.4 Que vaut hEc i dans le cas d'un gaz parfait monoatomique de N particules ? Partie III III.A.1 Raisonner par exemple dans un repère cartésien. - - - III.A.3 Montrer que - v est égal à v plus un vecteur constant. Idem pour v g et v g . III.B.3 En pratique, comment m est-elle mesurée à l'aide d'un spectromètre ? III.B.4 À quelle température les photons absorbés sont-ils réémis par la couche d'atomes froids ? Partie IV IV.A.1 IV.B.1 IV.B.2 IV.B.3 IV.C.1 IV.D.2 IV.D.4 Utiliser les résultats des questions III.B.1 et III.B.6. Comparer la vitesse d'expansion des sphères de rayon R et R + dR. La loi de Hubble peut aussi s'écrire R(t) = H(t) R(t). Factoriser 4 G m R2 (t)/3 dans l'expression de l'énergie mécanique. L'élément d doit être remplacé par c d/ 2 puisque = c/. Séparer les variables puis intégrer. La densité i de l'Univers primordial est très élevée donc i c . Le rapport du jury renouvelle quelques recommandations évidentes sur la rédaction et fait un bilan général sur l'épreuve : « De longueur raisonnable, ce sujet aborde des notions du cours de première et de seconde année. De nombreuses questions qualitatives ont permis de cerner le niveau de compréhension de la situation physique abordée. Les bons candidats ont pu se démarquer en abordant les questions plus délicates du problème. Trop de candidats présentent d'énormes lacunes sur des questions véritablement élémentaires. Une lecture attentive de l'énoncé leur aurait pourtant permis d'obtenir des points précieux en faisant preuve d'un minimum de réflexion physique. Si la précision peut aller de pair avec la concision, certains étudiants tombent dans le travers d'une copie rédigée en style télégraphique, ce que le jury sanctionne bien évidemment. Il est nécessaire de rappeler qu'une succession de relations mathématiques n'a jamais constitué une bonne démonstration, ni même une explication. Un minimum de rédaction est indispensable. » I. Déviation de la lumière par les étoiles I.A Étude du système formé de A et E I.A.1 Le référentiel barycentrique (K ) associé au système est attaché au point G, barycentre du système formé par le point A pondéré par la masse m et le point E pondéré par la masse M. Par définition, ses directions sont identiques à celles de (K). Le référentiel (K ) est en translation par rapport au référentiel galiléen (K). D'après le principe d'inertie, comme le système est isolé, le mouvement de translation de (K ) par rapport à (K) est rectiligne uniforme donc (K ) est un référentiel galiléen. - - I.A.2 La position du point A dans (K) est définie par OA = - r G - AG. Comme barycentre de A et E, le centre d'inertie G du système vérifie, pour tout point P, - - - (m + M) PG = m PA + M PE - - soit pour P A (m + M) AG = -M r - - OA = r G+ M - r m+M La vitesse et l'accélération de A relativement à (K) se déduisent alors par dérivation d'où - dOA - M - = v v G+ dt m+M et - d2 OA - M - = G+ 2 dt m+M I.A.3 D'après le premier théorème de König, le moment cinétique - O en O du système dans (K) se compose d'un terme associé à la masse réduite dans le référentiel (K ) et d'un terme associé au centre d'inertie dans le référentiel (K) - - - - - - - O = + G = µ r v + mT rG vG L'expression de l'énergie cinétique Ec du système relativement à (K) est, quant à elle, donnée par une décomposition similaire grâce au second théorème de König Ec = Ec + EG c = 1 1 2 µ k- v k 2 + mT k - v Gk 2 2 I.A.4 Dans le référentiel (K), l'étude dynamique du système isolé formé de deux corps se ramène à l'étude dans le référentiel (K ) du mouvement de la particule -- réduite Pr de masse µ, de vecteur position GPr = - r soumise à la force - G µ mT - F =- r r3 Ainsi, l'équation différentielle du second ordre qui régit l'évolution de la position de la particule réduite Pr s'écrit d2 - r G mT =- 3 - r dt2 r Cette relation s'obtient en appliquant le principe fondamental de la dynamique aux deux systèmes A et E. Difficile d'évaluer le degré de précision requis par le terme « expliciter » dans l'énoncé. Le sens du mot « expliciter » est néanmoins plus proche du mot « énoncer » que du mot « démontrer », d'où le choix d'une réponse brève. Le rapport du jury précise que l'équation différentielle demandée est trop souvent écrite en omettant le symbole de vecteur, ce qui la vide de tout sens. I.A.5 La particule réduite Pr dans le référentiel barycentrique (K ) est animée d'un mouvement à force centrale, dont le moment en Pr dans (K ) est nul. Le théorème du moment cinétique indique alors que - = µ - r - v se conserve. L'énergie cinétique barycentrique Ec ne se conserve pas en raison du travail des forces intérieures au système (le travail des forces extérieures est nul car le système est isolé). La grandeur qui se conserve ici est l'énergie mécanique barycentrique totale E = Ec + Ep où Ep est l'énergie potentielle d'interaction (ou énergie potentielle des forces intérieures). I.B Trajectoires hyperboliques de la particule A I.B.1 En reprenant les résultats de la question I.A.2 dans le cas M m, on obtient les relations approchées - - - GA r et v - v A La valeur de la masse réduite µ est, quant à elle, voisine de m ce qui conduit, à partir des résultats de la question I.A.3, aux relations approchées du moment cinétique et de l'énergie cinétique de A dans le référentiel (K ) - - - m GA vA µ- r - v = et - 1 1 2 m kvA k µ k- v k2 = Ec 2 2