Centrale Physique MP 2007

Thème de l'épreuve Freinage électromagnétique d'une plaque métallique
Principaux outils utilisés oscillateur harmonique amorti, électrostatique, magnétostatique, force de Laplace
Mots clefs freinage électromagnétique, courants de Foucault

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


Concours Centrale - Supélec 2007 Épreuve : PHYSIQUE Filière MP PHYSIQUE Filière MP PHYSIQUE Freinage êlectromagnêtique d'une plaque métallique Les calculatrices sont autorisées. Les courants de Foucault sont d'un usage fréquent dans le frei- nage des véhicules utilitaires. L'expérience décrite ci-dessous, aisément réalisable dans le labo- ratoire d'enseignement d'un Lycée, permet une étude quanti- tative de ce phénomène physique. Une plaque en aluminium oscille dans un plan vertical situé entre deux bobines parcourues par un courant constant. Les oscillations de la plaque amorties par l'inte- raction des courants de Foucault et du champ magnétique sont sui- vies par une méthode rhéographi- que qui génère une tension image du déplacement horizontal de la DiSPositif rhéographique 1 de mesure de la position p aque° de la plaque Les notations et les valeurs numériques des grandeurs physi- Générateur de puissance Deux bobines montées en série Figure | Ordinateur ques intervenant lors de la mise en équation de cette expérience sont précisées ci-dessous : Accélération de la pesanteur Charge de l'électron Permittivité diélectrique du vide Masse volumique de l'aluminium Conductivité électrique de l'aluminium Concours Centrale-Supé/ec 2007 g=9,81N-kg_l qe = --e = --1,60- 10_19 c 80 = 8,85 - 10--12F-m_1 u = 2,72-103kg-nf3 y = 3,61 - 107Q_1-m_1 1/11 PHYSIQUE Filière MP Filière IVIP Epaisseur de la plaque carrée h 1, 00 mm 30, 0 cm Longueur d'un côté de la plaque carrée d Vitesse de déplacement constante imposée par 1 l'expérimentateur (parties II et III) "0 = 1' 00 m ' S Longueur caractéristique de l'extension de la zone de champ & = 3, 00 cm Intensité du champ magnétique Bo : 40, 0 mT Nous rappelons également quelques relations mathématiques utiles : +°° 2 foeXP(--%)du = Æ Laplacien en coordonnées cylindriques d'une fonction scalaire g(r, 6), z) : 2 2 2 Ag : ê..â+l ââ+lâ.â+ê£ _ ôr2 '"Ô'" r2882 622 Divergence et rotationnel en coordonnées cylindriques, d'un vecteur + + + + A : Arur + Aeue + AZuZ . d A 8A 8A divÂ=% (r r)+l-----Ê 2 + . ôr r 89 62 IË : (l ôAZ âAe)e <ôAr aA2)uî+% (ô(rAe)_ôAr)Î r 68--82 ôr_ôr ôr ao 2' Ï' Partie I - Analyse d'une expérience On se propose d'étudier les oscillations libres, puis amorties, d'une plaque homo-- gène carrée de côté d , de masse m et d'épaisseur h négligeable devant d , astreinte à se déplacer dans le plan Oxy . Le point 0 est l'intersection de l'axe de révolution des bobines avale plan delæaplgque. Cette plaque est reliée aux points fixes 01 et 02 (avec 002 - uy : -- OO1 - uy : d/2) par deux fils inextensi- bles, sans masse et de longueur L fixés au niveau de la plaque en A1 et A2 . Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/11 PHYSIQUE Filière MP Nous faisons l'hypothèse que, durant les 02 / oscillations, les fils restent tous les deux ten-- / dus et que les liaisons aux différents points de fixation sont parfaites. Nous notons /\/\ % + + + + + 01A1 @ = (uanlAl) : (ux,02A2), ur : ?> + + + + + ue=uzAuretg =gux. Soieri G le centre de masse de la plaque, y : OG-uî, et z? : vÎ : ya? la composante horizontale de la vitesse de G dans le référen- tiel du laboratoire. On pourra supposer que G est en 0 lorsque la plaque est au repos. Figure 2 LA - Étude des petites oscillations libres À l'instant initial, la plaque est lâchée sans vitesse en 8 = 60 . I.A.1) a) Exprimer les vectàeurs vitesse des points A1 et A2 par rapport au référentiel du laboratoire. Soit % : Quz le vecteur rotation de la plaque dans ce référentiel Que peut--on dire de Q et du mouvement de la plaque dans ce même référentiel ? b) Exprimer alors l'énergie cinétiqÛue de la plaque dans le référentiel du labora-- toire en fonction de m , L et è : (Eli--£ . c) En traduisant la conserva- . , . , . y(Cm) t1on de l'energ1e mecanique du système, établir l'expression de 62 en fonction de g , L, 60 et 6). Montrer que pour les petites oscillations, l'équation du mou- vement de la plaque se met sous la forme 6 + (008 = 0 . En déduire l'équation différentielle vérifiée par y(t) pour ces petites oscilla- tions. Ù1 J'> du vb + 0 --\ N ... J> u1 t(s) 0 05 1 15 2 2,5 3 35 4 45 5 Figure 3 d) La figure 8 fournit des cour- bes expérimentales relatives à diverses conditions initiales. En quoi ces courbes sont-elles en accord avec cette équation différentielle ? Concours Centrale-Supé/ec 2007 3/11 PHYSIQUE Filière MP e) Déterminer pour chacune des trois courbes les valeurs maximales de ÿ(t). Représenter les trois trajectoires associées à ces courbes dans l'espace des pha- ses (y, ÿ) . Quelle propriété géométrique relie ces courbes '? I.A.2) a) À partir des résultats expérimentaux fournis en figure 3 déterminer la valeur numérique de la longueur L des fils de suspension. b) Dans le cas d'une amplitude angulaire de 6max : 15° , déterminer et compa- rer les valeurs numériques des amplitudes crête à crête, des déplacements du centre de masse G selon Ox et Oy , notés respectivement AxG et AyG. I.B - Détermination expérimentale du coefficient d'amortissement des petites oscillations Dans cette question les bobines sont parcourues par un courant continu d'inten- sité i. La plaque de cuivre, en mouvement quasi horizontal selon Oy dans le champ magnétiquq ainsi gréé, est alors soumise à un freinage électromagnéti-- que de résultante F : --ow . I.B.l) Montrer que l'équation différentielle normalisée traduisant l'évolution temporelle de y dans cette situation expérimentale de petites oscillations amor- ties est : 2 C--l--ï+2kÊ'-Ï+oeäy : O.Relier )» à oc et m. 2 dt dt I.B.2) La figure 4 correspond à (m?) un enregistrement effectué pour y 3 3 un courant d'intensité i0 : 2, 85 A, 2 52 pour lequel on précise les coordon-- 1 nées des trois premiers maxima ° locaux S1(t1,yl), SZ(t2,y2) et '1 S3(t3, y3) avec: 2 42 cm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ? °l-- )--À l -- 0,610s y1 1, 35 cm Figure 4 &l-- l\.) | t3 : 2,97s y3 : 0,764 cm a) Calculer numériquement et comparer 6 : ln(y1/y2) et 6' : âln(y1/Y3) . En justifiant vos calculs par un raisonnement, déterminer alors la valeur numéri-- que expérimentale keXp du coefficient ?» pour ce courant continu d'intensité io = 2, 85 A. Concours Centrale-Supé/ec 2007 4/11 PHYSIQUE Filière MP b) En déduire la valeur numérique expérimentale (lexp du coefficient oc . I.B.8) Le tableau ci-dessous regroupe des valeurs expérimentales xexp obte- nues pour différents courants continus d'intensité i . On se propose de vérifier si ces résultats sont en accord avec une loi de variation du type )» = 7'0 + Bi2 . i (A) 0 0, 24 0, 52 0, 77 1 1,15 1, 57 1, 84 2,1 2, 45 ?» ( 8--1) 0, 0138 0, 0182 0, 0309 0, 0513 0, 0689 0, 0932 0,151 0, 203 0, 260 0, 355 a) À quel phénomène physique correspond le terme 7'0 '? b) Pourquoi cherche--t-on à priori une dépendance de ?» en i2 et non en i ? c) Le modèle proposé est-il en accord avec les résultats expérimentaux ? d) Dans l'affirmative, déterminer les valeurs numériques de 7'0 et [3 . I.B.4) Algorithmique. Lors de l'enregistrement des données expérimentales, il est créé un tableau D de n valeurs réelles D , p variant de 1 à n, correspondant à un échantillon-- nage à intervalles de temps réguliers de la variable y(t). Nous avons donc Di : y( p >< At) , où At désigne une durée choisie par l'expérimentateur. a) Ecrire une procédure F (D, n) qui renvoie le nombre de maxima locaux détec- tés lors de l'acquisition. b) Ecrire une procédure G(D, n) qui retourne la moyenne des décréments loga-- rithmiques évalués à chaque fois à partir de deux maxima locaux successifs. I.C - Structure du champ magnétique créé par les bobines Le dispositif de production de champ magnétique (voir figure 1) est constitué de deux bobines cylindriques identiques d'axe commun Oz et placés symétriquement par rapport à l'origine du repère Oxyz . La figure 5 représente les lignes de champ magnéti- que dans une partie du plan sz . I.C.1) Le sens du courant dans les bobi- Figure 5 nes étant précisé sur la figure 1, indiquer sur un schéma l'orientation des lignes de champ magnétique. I.C.2) Peut-on réaliser une carte de champ dans le plan xOy ? I.C.8) Quelles conséquences peut--on tirer de la géométrie cylindrique des deux bobines ? Concours Centrale-Supé/ec 2007 5/11 PHYSIQUE Filière MP I.C.4) Dans le volume intérieur de ces bobines, les lignes de champ peuvent être considérées comme parallèles. Montrer que ceci implique que le champ magnétostatique est uniforme dans ce domaine. I.C.5) On considère une ligne de champ ,. magnétique située au voisinage de l'axe Oz (les / X échelles en x et en 2 de la figure 6 ne sont donc pas identiques). En un point A de cet axe / (resp.C ) , la distance séparant la ligne de champ JA fc 2) de l'axe vaut r A(resp.rC) . Exprimer BZ(A) , com- A C posante selon Oz du champ magnétique en A en fonction de BZ(C) , '"A et '"0- Figure 6 I.C.6) Établir que pour un point de cote z , situé sur l'axe Oz au voisinage du point 0 , la composante BZ varie en 2 2 Bz(z) ÈBZ(0)[1 +z /l ]. Dans cette expression, [ désigne une longueur caractéristique que l'on ne cher-- chera pas à déterminer. I.C.7) On cherche maintenant à caractériser la composante BZ dans le plan xOy, tout en restant au voisinage du point 0. A partir d'une équation locale vérifiée par le champ magnétostatique B , établir que BZ(r, z = 0) % BZ(O)[1-- & r2] . Exprimer la constante & . Partie II - Structure du champ électrostatique dans la plaque métallique Moyennant quelques hypothèses simplificatrices, il est possible d'établir une expression théorique du coefficient oc . En repérant un point M de l'espace par les coordonnées cartésiennes (x, y, z) , nous supposerons que : ° dans le plan Oxy, le champ magnétostatique créé par les bobines est de la forme 2 2 + + B(x,y,0) : B0 exp(--x +2y )uz 2a où a est une longueur caractéristique de l'extension de la zone de champ magné-- tostatique dans ce plan. Concours Centrale-Supé/ec 2007 6/11 PHYSIQUE Filière MP ° Dans Æ5, le référentiel des bobines créant le champ magnétostatique, la pla-- que métallique ie déplace selon Oy a une vitesse v0 : v0uy, maintenue constante uÎ par un opérateur. De plus, la plaque en translation est à tout instant parallèle au plan Oxy . Ux En pratique, cette hypothèse n'est pas très restric- Z tive pour l'étude des oscillations de la plaque dans Figure 7 la mesure où le temps de réorganisation des char-- ges statiques est extrêmement court devant la période de l'oseillateur. ° Comme l'épaisseur h de la plaque est très petite devant a , le champ magné- tostatique dans le volume occupé par la plaque est correctement décrit par la seule composante BZ dans le référentiel fig, : 2 2 à % B(x,y,z) : Bo exp(--x +2y )uz. Za ° Les dimensions de la plaque dans les directions Ox et Oy sont très grandes devant a , ce qui permet de négliger les effets de bords. ° La vitesse du conducteur est suffisamment faible, pour que le champ magné- tique créé par les courants induits soit négligeable devant le champ magné- tostatique créé par les bobines. Par ailleurs, on définit les coordonnées cartésiennes réduites utiles dans la suite par les relations X : x/a , Y : y/a et Z : z/a . II.A - Distribution volumique de charges statiques Le conducteur en mouvement dans une zone de champ magnétique n'est plus en équilibre électrostatique. La densité volumique de charge p n'est donc plus, a priori, identiquement nulle dans le matériau conducteur. Comme la plaque est en translation uniforme, cette distribution de charges est stationnaire dans fig, . La zone ghargée est donc fixe par rapport aux bobines, mais se déplace à la vitesse --v0uy par rapport au conducteur. II.A.1) En prenant en compte dans %;, le champ magnétostatique Ë créé par les bobines et le champ électrostatique Ê' généré par les charges fixes, montrer que la densité volumique de courant Î dans ce référentiel %;, s'écrit Î = Y(Ê + Z, A È) . II.A.2) Écrire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par ; . Concours Centrale-Supé/ec 2007 7/11 PHYSIQUE Filière MP II.A.8) En déduire que, en coordonnées cartésiennes réduites, p se met sous la forme X 2 + YZ) p(X,Y,Z) = rx exp(-- 2 Expliciter la constante F en fonction de 80 , vo, Bo et a . II.A.4) La densité volumique de charges p est maximale en M 3 et minimale en M {, . Déterminer les coordonnées réduites de ces points et préciser la valeur maximale pmax de p. II.A.5) Expliciter les éléments de symétrie de la distribution de charges p et tracer l'allure des courbes d'isodensité de charges dans le plan OXY . II.A.6) On cherche à estimer le défaut d'électrons dans le demi--espace X > 0 . On note Q la charge électrique contenue dans cette partie de la plaque. Montrer que Q : Æ sovoBoha . Combien d'électrons excédentaires cela représente--t-il dans la partie X < 0 ? Commenter le résultat obtenu. II.B - Résolution de l'équation de Poisson dans le référentiel %;, Les charges statiques, dont la répartition vient d'être étudiée, créent en tout point de l'espace un potentiel électrostatique V(x, y, 2) que l'on prendra nul au centre O du dispositif expérimental V(O, O, O) = O. II.B.1) Si h «a , on peut montrer que la composante EZ est ratiquement négligeable devant les autres composantes du champ électrique E dans la pla- que métallique. En déduire que dans le matériau conducteur, en un point M , le potentiel électrostatique ne /d@end que des variables de position --9.----+ r = ./x2+y2 et 9 = (ux,ÛM),reliant V(M) et p(M). II.B.2) Écrire l'équation de Poisson en coordonnées cartésiennes réduites (X, Y) puis en coordonnées polaires réduites (R : A/X2 + YZ, 6) . À grande distante de O , donc pour R » 1 ,le potentiel électrostatique doit s'appa- renter à celui d'une distribution dipolaire invariante par translation suivant OZ du type VOY-Y-SË . Nous chercherons donc une solution de l'équation de Pois-- son de la forme cosH V(R, @) = V0Îf (R) la fonction adimensionnée ;" (R) vérifiant les conditions f(0) : 0 et Rlim ;" (R) = 1. Concours Centrale-Supé/ec 2007 8/11 PHYSIQUE Filière MP II.B.3) Donner l'expression de V0 en fonction de v() , BO et a. Vérifier son homogénéité et montrer que f (R) vérifie l'équation différentielle d2f df _ 3 R2 Æ'2ËË -- --R "Pt--2")- La solution de cette équation compatible avec les conditions aux limites s'écrit 2 ;" (R) = l--exp<-- %). II.B.4) Le potentiel est maximal en M Î et minimal en M "1. Rechercher les coordonnées réduites de ces points et placer sur un schéma les points M Î , M "1 , M3, Mg, (cf. II.A.4). II.B.5) Établir l'expression littérale de AV male entre deux points de la plaque conductrice. Déterminer la valeur numéri-- max, différence de potentiel maxi- que de AVmax . II.C - Structure du champ électrique II.C.1) Montrer que, en coordonnées réduites, le champ électrique se met sous la forme -- R'/2 + V _ --R2/2 _ 2 % V _ % E=--9--l---Ë--2--------e R/2 cosGuR+---91 62 sin6u6. a R a R II.C.2) La figure 8, ci-contre, représente les lignes .. Y 3--, de champ électrique dans le domaine (0 5 X 5 3 ; 0 5 Y s 3 ). Reproduire cette figure en précisant l'orientation de ces lignes et en la complétant pour 2 " (--35X53 ;--3sYs3). II.C.3) Déterminer, au centre O de la zone de cham_p magnétique, l'expression du champ électri- que ë(O) et ècalculer sa valeur numérique. Compa- rer E(O) à v0 A B(O). II.C.4) Pour vérifier la cohérence du calcul précé- dent, on enlève la plaque conductrice et on place deux fils infinis parallèles à OZ , passant par les points M Î et M "1 . Les fils portent des densités linéiques de charges opposées :>» , telles que ?» = Q/ h (+ Q étant définie àla question II.A.6). La densité est positive pour le fil qui passe par M Î et négative pour l'autre. Figure 8 a) Établir rapidement l'expression du champ électrostatique d'un fil portant la densité linéique 7». b) En déduire l'expression Ê '(O) du champ électrique produit en 0 par les deux fils infinis passant par les points M Î et M "1 . Concours Centrale-Supé/ec 2007 9/11 PHYSIQUE Filière MP à + c) Comparer E'(O) et E(O). Partie III - Répartition des courant de Foucault et estimation de la résultante des force de Laplace III.A - Expression théorique du coefficient d'amortissement Nous revenons maintenant à l'étude de la plaque et nous allons chercher à déterminer la répartition des courants de Foucault au sein du volume conduc-- teur. III.A.l) Déduire des parties précédentes les exprgssions des composantes polaires réduites de la densité volumique de courant j . III.A.2) Indiquer, le cas échéant, les plans de symétrie ou d'antisymétrie de la distribution de courants. III.A.3) Comparer Î(O) et yÊ(O). III.A.4) Rechercher les coordonnées réduitgs deg points N1 et N 2 pour les- quels j = 0 . III.A.5) La figure ci-contre indique les lignes de courants dans le plan OXY. Reproduire l'allure de cette figure en précisant l'orientation des lignes de cou-- rant (on rappelle que "0 > 0 ). Placer les points N1 , N2 , et MÎ et Mi . III.A.6) Comment choisir la surface d'intégration 2 pour que le flux de j à travers 2 soit l'intensité totale I ... associée aux courants induits. Une esti-- mation rapide donne l'ordre de gran- Figure 9 deur I ... z thoBoa . A titre indicatif, I ... est de l'ordre de plusieurs dizaines d'ampères dans les conditions expérimenta-- les de la Partie I. III.B - Expression théorique du coefficient d'amortissement III.B.1) Rappeler l'expression de la densité volumique fî des forces de Laplace. III.B.2) Montrer à l'aide d'arguments de symétrie clairement dégagés que la résultante F L des forces de Laplace est colinéaire à u y . Concours Centrale-Supé/ec 2007 10/11 PHYSIQUE Filière MP III.B.3) Mettre FÎ sous la forme Fî : --atheozÎ en explicitant atheo en fonction de y,h,Bo eta. III.B.4) Application numérique : comparer atheo et anp . Une des raisons du désaccord, certes limité mais réel, entre ce modèle théorique et les résultats expérimentaux est liée à l'existence de charges électriques réparties en surface sur les bords latéraux de la plaque pour maintenir les lignes de courant au sein du conduc- teur. Si la plaque n'est pas assez grande, ces effets de bords doivent être pris en compte. III.C - Effet Joule et résistance équivalente de la plaque conductrice III.C.1) Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans le conducteur en fonction de atheo et de vo. III.C.2) Montrer que la résistance électrique totale Rtot qu'oppose la plaque aux courants induits ne dépend en première approximation que de son épais-- seur et de la conductivité du matériau. III.C.3) Estimer Rtot pour la plaque étudiée dans l'expérience de la Partie I. ooo FIN ooo Concours Centrale-Supé/ec 2007 11/11

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 Centrale Physique MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet aborde l'étude des courants de Foucault au sein d'un conducteur massif en mouvement dans un champ magnétique. L'une des applications de ce phénomène d'induction est le freinage des véhicules utilitaires. Le calcul des courants de Foucault est réputé difficile et rarement étudié en classes préparatoires. Cette épreuve permet de se familiariser avec ce phénomène physique intéressant en considérant le cas relativement simple d'une plaque carrée oscillant entre deux bobines. Quelques approximations permettent de mener à bien les calculs. · La partie I traite de mécanique. Les sous-parties I.A et I.B sont simples (régime pseudo-périodique d'un pendule) avec toutefois deux questions tout à fait inattendues d'algorithmique ! La sous-partie I.C de magnétostatique est plus compliquée ; en outre, la formule donnée par l'énoncé pour le rotationnel contient une erreur. · La partie II, qui porte sur l'électrostatique, est totalement indépendante de la précédente et commence assez simplement (II.A). La suite (II.B) n'est pas toujours très bien formulée et demande une certaine autonomie. Il en va de même pour la fin de la sous-partie II.C. · La partie III constitue le coeur de l'épreuve : étude des courants de Foucault dans la sous-partie III.A, calcul du coefficient de frottement fluide induit dans la sous-partie III.B. Il ne faut pas se laisser impressionner par la première question ! Celle-ci semble indiquer que ce qui précède doit avoir été traité : ce n'est pas le cas, tous les résultats nécessaires sont donnés dans l'énoncé. Enfin, l'épreuve s'achève par la sous-partie III.C, qui étudie l'effet Joule dans la plaque. Ce sujet constitue un bon problème de révision de tout ce qui a trait à la mécanique et à l'électromagnétisme. Il permet de vérifier la maîtrise du concept fondamental de symétrie par quelques questions originales. Les applications numériques ne doivent pas être négligées, l'une d'entre elles demandant d'ailleurs de savoir résoudre numériquement une équation sans solution analytique. L'épreuve est longue et de difficulté très variable d'une question à l'autre ; néanmoins, les parties sont indépendantes et donnent suffisamment de résultats intermédiaires pour ne pas rester bloqué. Signalons enfin que l'énoncé a été un peu négligé (titres identiques pour les parties III.A et III.B, erreur dans le formulaire) et qu'il n'est pas facile, à la lecture des questions, d'évaluer leur difficulté : voilà de quoi déstabiliser les candidats. Indications Partie I I.A.1.a Les fils restent tendus donc la plaque ne peut pas tourner. I.A.1.b Qu'implique la non-rotation de la plaque ? I.A.1.e Penser à relier ymax à y max . I.A.2.b Lire l'introduction de la partie I.B. I.B.2.a Montrer que le décrément logarithmique et la pseudo-période T sont liés par la relation = T. I.B.3.b Utiliser le principe de modération de Lenz. I.B.3.d Faire une régression linéaire. - I.C.2 Comment le champ B (M) est-il orienté pour M appartenant au plan (xOy) ? I.C.4 Trouver la direction du champ, puis utiliser les équations de Maxwell. I.C.5 Se servir de la version intégrale de l'équation de Maxwell-Thomson, c'est-à - dire div B = 0, appliquée à un tube de champ bien choisi. I.C.7 Écrire l'équation de Maxwell-Ampère afin d'obtenir une première forme de Bz , puis celle de Maxwell-Thomson pour approximer Br près de l'axe Oz et s'en servir pour réexprimer Bz et trouver = 1/(22 ). Partie II II.A.2 Écrire l'équation de conservation de la charge. II.A.3 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss. II.A.4 Remarquer que (X, Y) = f (X)g(Y). II.A.5 La formule donnant permet de trouver les symétries. II.A.6 Comparer l'excédent d'électrons au nombre d'Avogadro. -- - II.B.1 Penser à écrire E = - grad V. II.B.3 Insérer la forme proposée du potentiel V dans l'équation de Poisson, puis identifier V0 afin que f satisfasse l'équation différentielle fournie par l'énoncé. II.B.4 Une solution analytique n'existe pas, il faut utiliser une méthode de résolution numérique. - II.C.2 Utiliser les symétries et le lien entre V et E . Partie III III.A.2 Les symétries découlent de la formule de - . - III.A.6 Comment est le champ de vecteur dans le plan XOY ? III.B.2 Que peut-on dire du plan XOZ ? III.B.3 Intégrer selon , puis simplifier l'expression obtenue et terminer par le calcul de l'intégrale selon R. III.C.1 Que donne la conservation de l'énergie ? III.C.2 Utiliser l'expression de Itot donnée dans l'énoncé. I. Analyse d'une expérience I.A Étude des petites oscillations libres z I.A.1.a Représentons, pour débuter, le système étudié avec une vue de face. x Faire un dessin est une bonne façon d'aborder un problème. On se rend ainsi compte que la plaque ne peut pas tourner, vu que les fils restent tendus. Dans le soucis de nous conformer à l'énoncé, nous n'avons pas mis les points d'attache A1 et A2 aux coins de la plaque. Notons que leur position n'a en fait aucune importance pour la suite. - u y O1 - O2 u r L L A1 - g A2 G d O y d Le point d'attache O1 étant fixe dans le référentiel du laboratoire, la vitesse de A1 , dans ce référentiel, peut s'exprimer --- dO1 A1 - v A1 = dt --- - Sachant de plus que O A = L u , on obtient 1 1 r - v A1 = L - u d- u d d- u r r = = - u dt dt d Rappelons que La vitesse du point A2 se calcule de même, en dérivant par rapport au temps le --- --- (O est fixe lui aussi), ce qui donne vecteur position O2 A2 = O1 A1 = L - u r 2 - - v = v = L - u A2 A1 Les fils restant tendus, la plaque ne peut avoir qu'un mouvement de translation (non rectiligne) et par conséquent son vecteur rotation est nul - - = 0 C'est pour cette raison que - v A2 = - v A1 , comme on peut le voir sur la formule - - - - - - de Varignon v = v + A A . Plus généralement, tous les points de A2 A1 1 2 la plaque ont le même vecteur vitesse. I.A.1.b Le théorème de König relie l'énergie cinétique de la plaque, notée Ec , dans le référentiel du laboratoire, à celle Ec , dans le référentiel barycentrique associé, et à - - la vitesse - v G du barycentre de la plaque : Ec = Ec + mvG 2 /2. La condition = 0 . On aboutit ainsi à implique que E = 0 et que - v =- v = L - u c G A1 1 Ec = m(L)2 2 I.A.1.c L'énergie mécanique de la plaque se conserve, car : · les liaisons sont parfaites et ne dissipent par conséquent pas d'énergie ; - - · les forces de tension des fils T1 et T2 ne travaillent pas, puisqu'elles sont pa- rallèles à ur , alors que le mouvement de A1 et A2 se fait dans la direction ; perpendiculaire - u · seul le poids travaille et l'énergie potentielle associée s'écrit, à une constante additive près, Epp = -mgxG . De plus, comme xG = xA1 + d/2 et xA1 = L cos , on a, toujours à une constante près Epp = -mgL cos + Cte Ainsi, la conservation de l'énergie mécanique Em = Ec + Epp s'écrit 1 m(L)2 - mgL cos = C 2 Les conditions initiales (0) = 0 et (0) = 0 fournissent C = -mgL cos 0 puis 2 = 2g (cos - cos 0 ) L L'équation du mouvement s'obtient en dérivant cette équation par rapport au temps et en simplifiant par rapport à (qui est non identiquement nul) g + sin = 0 L Il ne reste alors qu'à linéariser le sinus en sin , approximation valable pour les petits angles, ce qui donne bien r g 2 + 0 = 0 avec 0 = L On aurait aussi pu d'abord développer l'énergie mécanique à l'ordre deux en grâce à cos 1 - 2 /2, puis dériver l'expression obtenue par rapport au temps, pour trouver l'équation du mouvement aux petits angles. Notons de plus que les déviations aux petits angles apparaissent lorsque le terme d'ordre 3 dans le développement du sinus n'est plus négligeable, soit (en prenant un facteur arbitraire 100) 3 /6 /100, ce qui fournit & 14 . -- Pour aboutir à l'équation que vérifie y(t), écrivons ce que vaut le vecteur OG. Étant donné que le barycentre G se déplace comme le point A1 , on a -- OG = L (cos - 1) - ux + L sin - u y Il découle de ce calcul que y = L sin L Ainsi aux petits angles, y est proportionnel à et vérifie la même équation différentielle que , à savoir y + 0 2 y = 0 I.A.1.d Les courbes de la figure 3 montrent que les oscillations sont isochrones, c'est-à-dire que quelle que soit l'amplitude des oscillations, la période est inchangée. Elle vaut ici T0 = 1,0 s. C'est une propriété importante des oscillateurs harmoniques. Ce résultat expérimental prouve donc que l'approximation des petits angles est justifiée et que les oscillations sont sinusoïdales.