Centrale Physique MP 2006

Thème de l'épreuve Étude de l'orbite et du maintien à poste d'un satellite héliosynchrone
Principaux outils utilisés mécanique du point, électromagnétisme, électronique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 % ...Ê... ...:Qoe>za Ëä... oe8w uoeäQ:OE - ÆOEÈOEU mÈ8coü Étude de l'orbite et du maintien à poste d'un satellite héliosynchrone Les satellites d'observation comme SPOT 5 (lancé en mai 2002 avec succès par une fusée Ariane IV) évoluent sur des orbites dites héliosynchrones. Une orbite héliosynchrone per-- met de s'assurer que le satellite survolera toujours à la même heure solaire locale une région quelconque de la planète. Ainsi, l'illumination des terrains survolés est toujours la même et permet une comparaison efficace de photographies prises à des époques différen- tes. Ce problème se propose dans un premier temps d'étudier les caractéristiques d'une orbite héliosynchrone et dans un deuxième temps de préciser les caractéristiques du module de radionavigation du satellite ( module qui lui permet de rester sur son orbite de travail). Les deux parties sont indépendantes. Partie I - Caractéristique d'une orbite héliosynchrone La Terre est considérée dans cette partie comme un solide de révolution autour de l'axe des pôles z'z , de masse % . Le mouvement est décrit dans le référentiel géocentrique. Question préliminaire : Définir ce référentiel. Dans toute la suite, les frottements seront négligés. I.A - Premier modèle du champ de gravitation La Terre, dans ce premier modèle, ' est sphérique --> de rayon R, formée de couches concentriques F1gure 1 homogènes. On rappelle qu'en un point M , situé à la dis- 0 tance r du centre géométrique O , le potentiel de x' x gravitation selon la loi de Newton est V(M ) , et le vecteur champ de gravitation g est défini par: ê(M ) --grîid (V(M )) Dans le plan du mouvement, les coordonnées cylindro- polaires d'origine 0 seront notées r -- _,OM 6_ -- (x'x, OM) , et u... ue les vecteurs unitaires correspondants (figure 1). En M , hors de la distribution de masses, V prend ici la forme (potentiel newtonien) : % V(r) : -- G --r-- où G est la constante de la gravitation universelle. I.A.1) Citer, avec justification rapide, deux grandeurs relatives au mouve- ment, qui restent invariantes au cours du mouvement général elliptique d'un satellite, assimilé à un point matériel de masse m , autour de la Terre. Définir la « constante des aires » C et donner son expression en fonction de r et 6 . I.A.2) On se propose de retrouver la nature et l'équation de la trajectoire par la méthode ci--après : a) Relier, à l'aide du principe fondamental de la dynamique, les dérivées des vecteurs vitesse Ô(t) et â9(t). b) En déduire l'expression de v(t) que l'on mettra sous la forme: v(t): K (ue(t) + E) où E est un vecteur constant durant le mouvement, fixé par les conditions du lancement. Préciser l'expression de K . c) Projeter la relation précédente sur ?Le et retrouver l'expression classique de la trajectoire d'un satellite de la forme : = p r( B) 1 + e cos [3 ' Définir (3. Afin d'exprimer simplement r en fonction de 6 ,on montrera qu 'il est a --> judicieux de choisir l'axe polaire x'x, en donnant à l'angle (E, x 'x) une valeur remarquable y , à calculer. d) Représenter, dans Son plan, la trajectoire, le vecteur E ,et le satellite M dans une position quelconque. Proposer un nom pour le vecteur E. [B - Deuxième modèle du champ de gravitation Dans cette partie, on retient un autre modèle pour le « géo'1'dé terrestre », assi- milé maintenant à un ellipsoïde de révolution autour de l'axe z'z , et l'expression V(M ) du potentiel de gravitation est un développement limité dont on retiendra seulement les deux premiers termes. Au potentiel newtonien vu précédemment, s'ajoute une perturbation très faible dépendant non seulement de r , mais aussi de la latitude X du point M . Au point M de latitude )» , tel que OM : r (figure 2), R2 2 2r % V(M) = --G 7 1+n (l--3sin2k) ,avec --3 n : l,083-10 ,R = 6378km ,G%= 4,00-10'4 SI. I.B.1) Exprimer les composantes Ër et âx du champ de gravitation sur la base adaptée (ü... ux) . I.B.2) Satellite héliosynchrone. Pour un satellite d'observation, il est intéressant d'optimiser les visées de toutes les régions de la Terre : 0 par le choix d'une trajectoire pratiquement circulaire, d'orbite assez basse (altitude 800 km environ), 0 et par les mêmes conditions d'éclairement solaire des zones observées. Or, quand le satellite repasse, au z| terme de quelques jours, àla verticale % d'une cible, le déplacement du Soleil t3 dans sa course apparente autour de 0 devrait changer son éclairement. Un choix convenable de l'inclinaison oc de la trajectoire sur le plan équato-- rial peut corriger cet inconvénient. ' En effet, le terme principal g',... du champ de gravitation confère àla tra-- jectoire ses propriétés essentielles (mouvement plan, circulaire), tandis que le terme à très faible devant le précédent, perturbe le mouvement idéal, par une lente évolution des paramètres au cours du temps. Si l'on Figure 3 | admet l'hypothèse raisonnable (H 1) qu'au cours d'une révolution du satellite, le mouvement reste plan et circulaire, dans ce modèle, le plan H de l'orbite subit une précession et une nutation lentes, fonction de son inclinaison ou sur le plan équatorial de la Terre : torial ;? s :1 Plan équ La figure 3 montre le plan équatorial de la Terre et le plan H de l'orbite circu- laire de rayon r non perturbée. On définit les référentiels et bases vectorielles suivantes : ° Ra , référentiel galil}éepa}bsolu des deux modèles dg pote}ntiel (sphérique et perturbé), de base (il, i2, i3) , où i3 est porté par z'z , il et i2 étant situés dans le plan équatorial. ° Rg __}reÂérentiel intermédiaire (fixe dans le premier modèle), de base (u u: i3 ) , u| étant s___i}tué à l'intersection du plan équatorial terrestre et du plan H.On note (il. ul) : ip. , , _ _/ --> --> % --> , _ _--> ° Rt , referent1el 11e au plan H , de base (u 1» t2, t,) , telle que t3 est dedu1t de L3 , par rotation d'angle oc autour de u] : on est l'angle d'inclinaison de H sur le plan équatorial de la Terre. . ---+ .--> ° precessmn : mouvement dans Ra du vecteur ul autour de 1,3. _ --> --> ° nutat1on. ' mouvement dans Ra du vecteur t3 autour de u]. À cause de la perturbation, la base de Rt est en mouvement de vecteur rotation Q par rapport à Ra et u tourne autour de i3 à la vitesse angulaire d1p/dt. Selon (HI), le mouvement du satellite dans Rt est circulaire uniforme et on note cp-- -- (ul, OM). a) Exprimer Q en fonction de dw/dt et doc/dt. b) Selon (H 1) , quelle est, dans la base (Îc ] ,_i2.--i3) de Rt , l'expression du moment cinétique 30 du satellite M (point matériel de masse m ) ? Que vaut alors le pro- duitQ oO '? Dans toute la suite de la partie l, on fera l'hypothèse suivante : Q 00 = 0 (hypothèse (H 2)) Justifier cette hypothèse. c) En tenant compte de (H 1 ), donner l'expression vectorielle du théorème du moment cinétique appliqué en O , dans le référentiel Ra , au satellite M . --> _'à .) .) ') (1) Montrer, en tenant compte de (H1) et (H2) que : Q : mOM - (oo - gU/ob. Pour la suite, on admet les relations suivantes : --> --> sink : sina- sincp et t3 - uÀ : cosa/cos)». I.C - I. C. l) La perturbation gx (et par suite Q ) étant très faible, on recherche la valeur moyenne < Q > de Q sur une période où cp varie de 0 à 211. Montrer que: _+ --> --> /G%  =--%- r7 --nR3cosqsinîa,avecr=OM. Interpréter ces deux résultats. . , . _) I_%C.2) On 1mpose alors au mouvement de precess1on du vecteur ul autour de i3 d'avoir pour vitesse angulaire la vitesse apparente de rotation du soleil dans le repère géocentrique. Quel est son ordre de grandeur numérique ? ° Montrer qualitativement que cette condition répond à une des exigences demandées aux satellites d'observation. 0 Écrire l'équation dont l'inclinaison oc du plan Il est solution. Calculer numériquement oc pour une altitude h = 800 km et aE[0,n]. Conclusion '? Partie II - Maintien à poste du satellite : étude du module de radionavigation Pour que le satellite puisse remplir sa mission (télécommunication, observa- tion...), il est nécessaire que ce dernier reste sur son orbite d'évolution. Il est donc impératif de contrôler en permanence le positionnement du satellite pour éventuellement corriger sa trajectoire si celle-ci dévie. Cela est réalisé par le module de navigation spatiale du satellite. Il réalise trois mesures différentes : une mesure d'altitude, une mesure de vitesse et une mesure d'angle. Cette par- tie se propose d'étudier une réalisation possible de chacune de ces fonctions. II.A - Mesure d'altitude Düü On se propose d'étudier la technique de radioaltimétrie MFOC (Modulation de Fréquence à Onde Continue), utilisant un radar MFOC. La mesure de distance vraie est ici effectuée à Figure 4b l'aide d'une mesure de fréquence. Le schéma de principe de la chaîne de mesure est représenté figure 4a. Le radar émet un signal en multiplieur filtre passe- -bas direction du sol, figure 4b, Signal émis M d (on ne s'intéresse pas ici à -'aelîitälee l'étude de l'antenne trans- Slgnal Te£u, Fi ure 4a: -Chaîne oe mesure formant l'information élec-- g trique en onde électromagnétique ; quand on parlera de signal émis ou reçu, il s'agira donc de signaux électriques). Le sol réfléchit le signal en direction du satellite. Les deux signaux, émis et reçu, sont alors envoyés à l'entrée de la chaîne de mesure. Le multiplieur réalise le produit des signaux émis et reçu, avec une constante multiplicative le. A la sortie du multiplieur, le signal est filtré par un filtre passe-bas qui ne laisse passer que la composante de plus basse fréquence. La fréquence fe(t) du signal émis en direction du sol suit une loi de variation en dents de scie, comme représenté figure 5. Elle est centrée autour de la valeur f0- De plus, AF=fe _fe-«f0' Dans la suite, nous poserons m(t) : (2n/a) ' ( fe(t) -- f o) , avec oc constante réelle non nulle. II.A.1) Génération du signal d'émission On veut émettre le signal e(t) : Ae - cos(Be(t)) , dont la fréquence ] d9EUR(t) fe... : 2--7: dt est représentée figure 5. On réalise alors une modulation de fréquence. En effet, la fréquence de e(t) n'est pas fixe, mais est modulée autour de la fréquence f () appelée porteuse. m(t) est le signal modulant. On peut encore écrire e(t) sous la forme e(t) : Ae - cos(2n -- f0 - t + cp(t)) , où dcp/dt : ocm(t). Pour élaborer ce signal e(t), on utilise un Oscillateur Contrôlé en Tension (OCT), qui permet de contrôler la fréquence du signal de sortie du montage en fonction de la tension en entrée de l'OCT. On propose le dispositif représenté figure 6 utilisant la synthèse d'Armstrong et nécessitant la présence d'un oscillateur local très stable. Oscillateur e0(t) It local --Î Signal _ . mult1pheur >< ,. modulant m(t) L'oscillateur local fournit le signal e0(t) : Ao' sin(2rc- fo - t) où fo est la fré- quence de la porteuse. L'intégrateur réalise l'intégration de m(t) , avec une cons- tante multiplicative k0. On notera M (t) l'intégrale de m(t). Le multiplieur réalise le produit des deux signaux en entrée, avec une constante multiplicative k . a) Donner l'expression des signaux e2(t) , e3(t) et e(t) . 6... soustracteu + intégrateur ko Figure 6 b) Simplifier l'expression de e(t) dans le cas d'une faible profondeur de modu- lation (kk0M (t) « 1) et comparer son expression avec l'expression e(t) : Ae - cos(2n - f0 - t + cp(t)) recherchée (avec m(t) : (Zn/oc) - (fe(t) --fO) ). II.A.2) Mesure de l'altitude On revient au montage de la figure 4a. Le multiplieur est le même que celui uti- lisé figure 6. On note h l'altitude du satellite. Les ondes électromagnétiques se propagent àla vitesse de la lumière 0 , constante toute au long de leur parcours. Le signal reçu est de la forme r(t) : Ar- cos(6,(t)) . a) Tracer sur un même graphe l'allure de fe(t) et celle de f ,,(t) fréquence du signal reçu. b) Étudier et tracer l'allure générale du signal en sortie du multiplieur. c) On fait l'hypothèse supplémentaire que 2h < CAT (hypothèse (H 3) ). Donner, en fonction de h , c , AT et AF l'expression du signal en sortie du filtre passe-- bas, supposé de gain statique Go-- Conclusion ? L'hypothèse (H 3) est-elle vrai- ment nécessaire ? d) Proposer une réalisation du filtre passe-bas, et préciser ses caractéristiques pour un fonctionnement correct du circuit. e) Voyez-vous des limitations à ce système ? II.B - Mesure de vitesse Il existe deux types de mesures de récepteur / v1tesse : une mesure de pseudov1tesse '" 6 et une mesure de vitesse vraie. Le but y R ÿMÆîL de cette partie est d'étudier le principe _} / / " de ces mesures. Dans les deux cas, la ve mesure de vitesse est basée sur l'effet Doppler: il correspond à la modifica- tion de la fréquence d'une onde / / 0 émetteur Figure 7 , lorsqu'elle est reçue par un récepteur ' en mouvement et/ou lorsqu'elle est émi_se par un émetteur en mouvement. Ainsi, pour un émetteur mobile de vitesse ve dans un référentiel R , émettant une (aide monochromatique de fréquence fe , et pour un récepteur mobile de vitesse U,. dans R , la fréquence f ,. de l'onde reçue par le récepteur peut s'écrire en pre- mière approximation : f.*= fe'(1-- Ainsi, seules les vitesses radiales Ve : vecosôe et V,. : vrcos6r de l'émetteur et du récepteur importent et le décalage Doppler vaut : + u x + C C v,. cos B,. ve cos Be) v cost) v cos9 A = _ (_ r r + e e) f D f e C C II.B.1) Étude de l'effet Doppler a) Connaissez-vous une manifesta- z onde incidente --> tion physique de l'effet Doppler '? &, x On se propose de retrouver l'expres- sion du décalage Doppler dans le cas particulier de la réflexion d'une onde électromagnétique plane harmonique sur une plaque métallique parfaite, Plaque de métal parfait infinie --+ . --a supposée 1nfin1e, en translatmn à la v1tesse vo : v0ux constante dans le réfé- rentiel R(Oxyz) (figure 8). _) % À t = 0 , la plaque est en x = 0 . L'onde incidente est de la forme (E,--, B,) avec : Ëî- : Eocos(oei(t --Ë)) ZZ. , , , _ ----> --> --à x --è Londe reflech1e est de la forme (E,, B,) avec :E,. : E,.cos(oe,(t + E)) uz . Pour exprimer la réflexion de l'onde et vérifier les conditions aux limites, il convient d'étudier la réflexion dans le référentiel R' en translation par rap- port à R et dans lequel la plaque est immobile. + --> b) En notant (E, B) un champ électromagnéti_que dans R et (E' ,Ë' ) le même champ évalué dans R', montrer que E': E + vo A B et que B'= B. c) Exprimer B en fonction de E0, c, ou,--, t et x. H --> Exprimer E' ,E' ,B' ,B', en fonction de E0, 0, ou,-, t, x et vo. d) En déduire f ,. en fonction de f ,- , vo et c . Comparer ce résultat à celui obtenu en appliquant directement la relation donnant Af D . e) Pourquoi |E,.| < |E,l '? II.B.2) Mesure de la pseudovitesse La mesure de la pseudovitesse est réalisée lorsque la liaison spatiale est monodirectionnelle : par exemple, une station au sol envoie un signal au satel-- lite_qui joue le rôle de récepteur (on se place dans ce cas pour la suite du II.B.2). Les oscillateurs des dispositifs d'émisSion et de réception sont donc différents. On cherche à exprimer, dans le référentiel R lié àla Terre, la vitesse radiale V,. du satellite par rapport à l'émetteur fixe. 0 On note f 6 la fréquence du signal sinusoïdal émis et A f 6 l'incertitude sur f 6 . 0 On note f0L la fréquence de l'oscillateur local du récepteur et AfOL l'incer-- titude sur f 0 L La chaîne de mesure eSt multiplieur filtre passe-bas t) représentée figure 9. Le SOL( mesure signal SOL(t) est le signal 3 (t) >< \ de la sinuso'idaly produit par r k vltesse l'oseillateur local. Le Figure 9 :chaîne de mesure signal s,.(t) est le signal reçu par le satellite, supposé de même amplitude que sOL(t). Le multiplieur possède les mêmes caractéristiques que celui de la figure 6. Le filtre passe-bas ne conserve que la composante de plus basse fréquence, fréquence notée f b . La mesure de la fréquence f b est supposée parfaite (l'incertitude Afb sur la mesure est nulle). a) Montrer que le signal en sortie du filtre passe-bas a pour fréquence fb fe' (1--Y--) f0L C b) Les fréquences de l'émetteur et de l'oscillateur local sont maintenant suppo-- sées identiques. Donner l'expression de W,] et son incertitude A|V,.\ (on négli- gera dans l'expression finale de A|V,i le terme en V,/c devant 1). Conclusion ? c) Peut-on obtenir le signe de V,. ? II.B.8) Mesure de la vitesse vraie La liaison spatiale est maintenant bidirectionnelle. On se place alors dans le cas où l'oscillateur émetteur/récepteur est unique. Le signal sinusoïdal de fréquence f 0 L est émis par le satellite, réfléchi par la Terre et reçu par le satellite. a) La chaîne de mesure restant la même (figure 9), quelle est l'expression de |V,.| en fonction de f ,) ? Que vaut A|V,] ? b) Que pensez-vous de la nécessité de disposer d'un oscillateur local très stable dans le cas d'une mesure de vitesse vraie ? c) Les mesures précédentes estiment seulement la vitesse radiale du satellite. Que proposez-vous pour une estimation de la vitesse 3 du satellite '? II.C - Mesure d'angles _ ' S De nombreux'diSpositifs permettent la mesure d'angles. Nous Figure 10 nous limitérons à l'étude du principe de mesures interféromé- triques. Le satellite S , émet un signal. radioélectrique (se pro- pageant à la vitesse c), capté par deux récepteurs au sol A et A1 A2 A2 , et distants de a (figure 10). On note D1-- _ SA, D2-- _ SA2 et - '" AD= D --D2 .Le but de la mesure est de déterminer l'angle de visée @. Vu les distances mises en jeu (A1A2 « AIS et A1A2 « A2S ) on considérera les rayons incidents parallèles entre eux. II.C.1) Sachant que le signal émis par S est de la forme se(t) : Ae - cos(2nft) , donner l'expression des signaux 31... et s2(t) reçus en A1 et A2 ; on négligera les atténuations possibles du signal sur son trajet. En déduire l'expression de la différence de phase Atp entre le signal reçu en A2 et celui reçu en A1 . Donner l'expression de oc en fonction de Acp. II. C. 2) La mesure de Acpi permet donc d'accéder à la mesure de a. Comment s 'effectue pratiquement la mesure de Acp dans un dispositif interférométrique a deux ondes ? À quel dispositif classique s 'apparente le système étudié. " En faire le schéma de principe; on placera en particulier sur ce schéma les points S , A1 et A2. II.C.3) Le système étudié permet-il la mesure de la direction de visée de l'émetteur en orbite ? Si non, proposer une solution possible. 00. FIN ooo

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 Centrale Physique MP 2006 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE), Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve aborde deux aspects de la physique d'un satellite en orbite héliosynchrone autour de la Terre. · La première partie est consacrée à l'étude de l'orbite héliosynchrone d'un satellite, c'est-à-dire l'orbite qui permet à celui-ci de se présenter plusieurs fois à la verticale d'un même point de la Terre avec une même position relative de la Terre et du Soleil, afin que l'éclairement de la zone observée soit toujours le même. Cette partie est divisée en deux exercices indépendants : ­ Le premier (I.A), très classique, propose au candidat de résoudre l'équation du mouvement du satellite dans un champ de pesanteur à symétrie sphérique en s'appuyant sur deux invariants du mouvement, le moment cinétique du satellite par rapport au centre de la Terre et un vecteur invariant supplémentaire qui sera caractérisé. ­ Le deuxième exercice (I.B) affine la description du champ de pesanteur terrestre en assimilant la Terre à un ellipsoïde de révolution. Dans ce cadre, on étudie la trajectoire du satellite en orbite héliosynchrone en décomposant les différentes phases du mouvement : orbite circulaire sur un plan en précession et en nutation. Les échelles de temps associées à ces phases sont suffisamment différentes pour permettre cette décomposition. · La deuxième partie du sujet est consacrée aux dispositifs permettant de mesurer la position et la vitesse du satellite par rapport à la Terre. Cette partie est divisée en trois exercices indépendants. ­ Le premier (II.A) traite de la synthèse et de la lecture d'un signal modulé en fréquence. Ce signal est utilisé dans un dispositif radar afin d'évaluer la distance Terre-satellite. ­ Le deuxième (II.B), consacré à la mesure de vitesse par effet Doppler, aborde la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur parfait en translation rectiligne uniforme, puis la mesure du décalage de fréquence induit par cette translation par multiplication de deux signaux de fréquences légèrement différentes. ­ Le troisième exercice (II.C) montre comment on peut mesurer une inclinaison via l'obtention d'interférences à deux ondes. Ce sujet ne présente que quelques difficultés inégalement distribuées. Les exercices (I.A) et (II.C) sont proches du cours. L'exercice (II.B) passe trop rapidement sur les changements de référentiel en électromagnétisme, ce qui peut amener certaines confusions (voir les indications). Les exercices (I.B) et (II.A) s'avèrent d'un abord difficile, principalement en raison de la dilution dans l'énoncé des informations nécessaires à leur résolution. Indications Première partie I.B.1 L'analogie avec les coordonnées sphériques « classiques » permet d'exprimer simplement le gradient du potentiel dans le système de coordonnées considéré. I.B.2.c Penser à la formule de dérivation en base mobile. I.B.2.d Prendre le produit vectoriel par - O de l'équation trouvée à la question précédente. - I.C.1 L'énoncé invite à calculer k- O k en fonction de k gr k. I.C.2 À propos de la conclusion : le satellite Spot 5 ne fournit pas que des photos de l'équateur et des tropiques. Deuxième partie II.A.1.b Remarquer que cos kk0 M(t) 1 et sin kk0 M(t) kk0 M(t) lorsqu'on a la relation kk0 M(t) 1. II.A.2.b La linéarisation du signal de sortie du multiplieur et la prise en compte des ordres de grandeur des fréquences des signaux qui le composent simplifient grandement cette étude. II.B.1.c Exploiter la relation de structure des ondes planes dans le vide pour cal - - - culer Bi , B i et B r . Pour obtenir l'onde réfléchie, exploiter les conditions de passage sur le miroir dans le référentiel R . Prendre garde à la transformation des coordonnées. Se placer dans le cadre de la physique classique (v0 c) pour simplifier les résultats à l'ordre 1 en v0 /c. II.B.1.d On peut décomposer le trajet de l'onde de l'émetteur au récepteur en un aller émetteur-miroir, puis en un retour miroir-récepteur, puis calculer le décalage Doppler pour ces deux trajets. Un autre moyen de parvenir au même résultat est de prendre l'image du récepteur par le miroir, dans le référentiel du miroir, et de déterminer les vitesses apparentes de l'émetteur et de l'image du récepteur par rapport au miroir. II.B.1.e Où donc s'est tapie l'énergie apparemment perdue lors de la réflexion (ou juste avant) ? I. Caractéristique d'une orbite héliosynchrone Question préliminaire Le référentiel géocentrique RG est le référentiel attaché au point O, centre de la Terre, dont les axes pointent vers des étoiles lointaines et ont donc des directions fixes. Il en résulte que ce référentiel est en translation elliptique par rapport au référentiel héliocentrique. RG est approximativement galiléen, ce qui signifie qu'on peut négliger les forces d'inertie engendrées par l'accélération de ce référentiel dans le référentiel héliocentrique par rapport aux autres forces appliquées sur un corps de masse m. A. Premier modèle du champ de gravitation I.A.1 On se place dans RG supposé galiléen. La seule force appliquée sur le satellite -- - . Cette force dérive d'une énergie est F (M) = - grad [mV(M)] = -GM m/r2 - u r potentielle, donc le système est conservatif et l'énergie mécanique Em = Ecin + mV(M) est un invariant du mouvement. - De plus, F (M) est une force centrale : elle est dirigée vers O. Appliquons le théorème du moment cinétique au satellite par rapport au point O, centre de la Terre, fixe dans RG : GM m - d- O - = r - ur dt r2 - d- O sont colinéaires, donc Or - r et - u = 0 r dt Ainsi le moment cinétique de M par rapport à O est un deuxième invariant du mouvement. Puisque le moment cinétique - O est invariant, le mouvement du satellite est plan. - , - Appelons uz le vecteur complétant la base (- u r u ) du plan du mouvement pour en , - - faire une base orthonormée directe (- u r u , uz ). Le moment cinétique par rapport au point O est - = m- r - v O - 2 - O = mr uz qui donne ici dA - r O - v dt M -- L'aire dA balayée pendant dt par OM sur la figure ci-contre est l'aire du triangle de côtés - r et - v dt. Elle s'écrit donc 1 - dA = k- r v dtk 2 k- Ok = |r2 | m O est une constante, donc C = r2 l'est aussi. C est appelée « constante des aires » -- car la vitesse de variation de l'aire balayée A par OM durant le mouvement est dA C = dt 2 De plus k- r - v dtk = I.A.2.a Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel M de masse m s'écrit d- v GM m - m =- u r dt r2 - Exprimons la dérivée de u en fonction de r et C : d- u =-C - = - - u u r r dt r2 d- v GM d- u = dt C dt , on obtient En isolant 1/r2 - u r I.A.2.b Posons K= GM C ) - d(- v -K- u = 0 dt L'intégration de cette équation conduit directement à L'égalité précédente s'écrit - +- v = K(- u E) - où E est un vecteur invariant du mouvement. I.A.2.c En coordonnées polaires, - v s'écrit - + r - v = r - u u r - = r v ·- u Donc - C K(1 + E · - u ) = r - - Posons = ( E , - u ), e = k E k et p = C/K pour obtenir r() = p 1 + e cos - - L'angle formé par E et x x est - - = ( E , x x) - , - = (E,- u ) + (- u x x) - 2 Il apparaît alors judicieux de choisir = , afin de substituer à dans l'expression de r, ce qui conduit à =- 2 - Le vecteur E est donc orthogonal à l'axe polaire. =- Seul cos() est connu, si bien qu'on ne connaît que ||. Ceci nous donne une indication sur la symétrie de la trajectoire.