Centrale Physique MP 2003

Thème de l'épreuve Modélisation de l'effet de serre; stockage industriel du dioxyde de carbone
Principaux outils utilisés oscillateurs harmoniques couplés, corps noir, statique des fluides, changement d'état
Mots clefs effet de serre

Corrigé

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 % e...,...___..._ ...:Qoe>za u......>_ä... «dam om< 10 N. m et r0-- _ 0,166 nm). Alequ1hbre les deux liaisons ont même longueur et l'atome de carbone est confondu avec le centre d'inertie de la molécule. En dehors de l'équilibre, chaque atome est repéré par son déplacement relativement à sa position d'équilibre : x1,x2, x3 (figure 1). ' I.A.1) Définir le référentiel barycentrique (B) de la molécule. Justifier que ce référentiel est galiléen. ' Dans toute la suite, toutes les grandeurs cinématiques seront évaluées dans le référentiel barycentrique de la molécule. I.A.2) a) Justifier la relation: ml(xl +x3) +m2x2 : 0. b) Montrer que xl et x3 vérifient un système de la forme : de1 --2 +awc1 + 17363 = 0 dt et exprimer a et b en fonction de k,m1, m2. al2x3 2 - dt On recherche les solutions harmoniques du système. Dans ce cas, on peut asso-Â cier aux grandeurs x1...> x2(t) et x3(t) les grandeurs complexes ' x1(t) : Alexp(joet), x2(t) : A2exp(joet) et x3(t) = A3exp(joet) où les Ai sonta _ priori complexes. 0) Déterminer les deux seules valeurs positives de 00 qui conduisent à des coef-- ficients Az non tous nuls. On désignera la plus petite de ces pulsations par co, _ - et l'autre par 0) 11 et on les exprimera en fonction de k, m1» m2 . d) Calculer numériquement ml et a)". e) Les solutions harmoniques ainsi déterminées correspondent à deux sortes de mouvements. 0 Dans l'un d'entre eux l'atome de carbone reste fixe. Quelle est la pulsation associée et quel est alors le mouvement des deux atomes d'oxygène ? Pouvait- on le prévoir '? 0 Dans l'autre type de mouvement les deux atomes d'oxygène ont même dépla- cement à chaque instant. Quelle est la pulsation correspondante '? Calculer dans ce cas le rapport A2/A1 . On appellera dans la suite mode 1 et mode Il les mouvements associés respec- tivement aux pulsations col et (011- I.B - Modes de flexion de la molécule de 002 . On étudie maintenant un autre type de mouvement dans lequel les liaisons ont une longueur fixe, r0, mais où les deux liaisons CO peuvent former entre elles un angle (p (figure 2). Pour les faibles valeu}rs dze (p , l'énergie potentielle associée àla flexion de la molécule est notée Ep-- _ --C(p2 ,avec C-- _ 7 70 >< 1019.J I.B.1) Justifier qualitativement _ y la forme de cette énergie poten- F1gure 2 tielle. 1.82) On envisage un mode de déplacement particulier (figure 2), de faible amplitude, dans lequel : ° le plan de la molécule est fixe (noté ny ), ° l'atome de carbone reste sur la verticale Gy , avec un déplaoe- Flexion dela molécule de C02. ment 3/2 par rapport àla posi-- Les déplacements horizontaux des atomes tion d'équilibre (3 atomes d'oxygène ne sont pas représentés. alignés) Sur la figure on a y1 < 0 . 0 les deux atomes d'oxygène ont le même déplacement vertical yl et de petits déplacement horizontaux xl, x3 ). Ce type de mouvement est appelé mode III dans la suite. a) Montrer que, pour de petits déplacements, on a au premier ordre en (p : y2(1+fi)=roî etx1=x3=()_ b) Exprimer l'énergie cinétique de la molécule en fonction de d(P 0) Déterminer littéralement puis numériquement la pulsati0nt co 11 1 des petites oscillations de (p autour de 0 , dans ce mode de vibration. I.C - Interaction avec une onde électromagnétîque Les liaisons CO sont en réalité polarisées : chaque atome d'oxygène porte une charge --6e et l'atome de carbone une charge +25e (e est la charge élémentaire et 8 une constante positive inférieure à 1) On envoie sur la molécule alignée dans la direction ex et située dans le plan 2 =D une onde électromagnétique igcidente de pulsation Q , également pglarisée rectilignement dans la direction ex et se propageant dans la direction eZ . Le champ électrique de l'onde est : e 2 + E(z,t) : E0cos{Q(t--E)]ex, ou 0 représente la vitesse de la lumière dans le vide (c = 3 >< 108m.s_1) . 1.0.1) Sous l'effet de l'onde électromagnétique, les atomes se déplacent comme au LA). Justifier que l'on peut négliger la force magnétique agissant sur les atomes et établir le système d'équations vérifié par x1(t) et x3(t) . I.O.2) On résout ce système en régime sinusoïdal forcé, en utilisant la nota- tion complexe et en posant : x](t) : A] exp(th) , x3(t) : A3exp(th). Calculer A1 et A3 . Montrer l'existence d'une résonance pour une valeur particulière de Q. Que valent A1 et A3 à la résonance ? Qu'en pensez-vous ? I.C.3) On appelle Ê(t) le moment dipolaire résultant de la molécule. Expri-- mer Ë(t) en fonction de 6, e,EO, Q, 0011» m2, m1 et t. l.C.4) Absorption de l'onde incidenæ. a) Un dipôle électrique oscillant à la pulsation Q avec une amplitude p0 émet un rayonnement qui transporte en moyenne une puissance : 4 2 _HOQ Po P 127'CC (où "0 est la perméabilité du vide). Exprimer la puissance électromagnétique P émise par la molécule de CO2 en fonction de ô,e, EO, Q, (DU, u0,c, m2 et m1 . b) Rappeler l'expression de l'intensité 10 de l'onde incidente (puissance moyenne transportée à travers une unité de surface perpendiculaire à la direc- tion de propagation), en fonction de E0, c, "o . Montrer que l'on peut écrire P sous la forme P : nIO . Exprimer ]] en fonction de 8, e, Q, (ou, tu), m2 et m1 . c) On suppose maintenant que le milieu contient n molécules par unité de volume, dont le tiers, statistiquement, est dans l'orientation considérée jusqu'ici. L'énergie rayonnée par les molécules est prélevée de l'onde incidente, qui voit donc son intensité I(z) diminuer avec 2 . Montrer que [(g) varie selon une loi I(z) : I(O)exp(--z/l), et exprimer [ en fonction de n et n. Vérifier l'homogénéité de cette expression. En déduire que l'onde est très fortement absorbée lorsque Q + (011- d) À partir de l'analyse précédente, expliquer qualitativement pourquoi on observe également une absorption importante de l'onde électromagnétique inci- dente lorsque Q --> co..., mais aucune lorsque Q ----> (0 1- Calculer numériquement les longueurs d'ondes dans le vide 7*11 et À... des rayonnements électromagné-- tiques correspondant aux pulsations 0011 et co.... À quel domaine du spectre électromagnétique appartiennent-elles ? Partie II - CO2 et effet de serre On cherche dans cette partie à décrire le phénomène d'effet de serre et son amplification du fait de l'augmentation de la quantité de dioxyde de carbone dans l'atmosphère. II.A - Modèle à une couche La description du modèle est schématisée figure 3. La croûte terrestre est assi-- milée à un corps noir de température Tt , émettant un rayonnement thermique de flux surfacique CD,/... La Terre est supposée entourée d'une couche contenant du dioxyde de carbone gazeux en concentration C0 fixée. La température de la couche est notée TC et le rayonnement qu'elle émet est associé au flux surfaci- que CDC des deux côtés de la couche. cique reçu. Les rayons du soleil arrivent Figure 3 sous incidence normale sur la couche gazeuse. ...... II.A.1) a) Rappeler la forme de la loi de dépla-- (138EUR + $ cpc CDÉ croûte terrestre On désigne par (Ds le flux solaire surfa- q>s$ i®. couche de C02(g) température T C cement de Wien. b) On sait que le soleil (de température _ température Tt moyenne Ts : 6000K ) émet un ray onne- Effet de serre -- Modèle à une couche ment principalement situé dans le domaine visible (km : O, Sum). En utilisant un ordre de grandeur raisonnable pour les températures, déterminer approximativement la longueur d'onde d'émission radiative maximale de la croûte terrestre et de la couche de CO2 . EUR) À partir des résultats de la partie I, justifier alors que la couche de COZ(g) absorbe le rayonnement de flux surfacique (Di. On admettra par la suite que cette absorption est totale et donc que la couche de COZ(g) peut être assimilée à un corps noir dans le domaine spectral du flux radiatif terrestre mais qu'elle est transparente au rayonnement solaire (flux surfacique CDS ). d) Rappeler la loi de Stefan-Boltzmann. (On rappelle la valeur numérique de la constante de Stefan o = 5,670 >< 10--8W. m_er--4 ). H.A.2) a) Traduire l'équilibre radiatif de l'ensemble {couche + croûte terrestre} -- on supposera que la croûte terrestre et la couche ont sensiblement le même rayon, et donc la même surface émissive d'un côté. Faire de même pour la croûte ter-- restre seule. b) Exprimer la température T, en fonction de (DS et de la constante de Stefan. Comparer le résultat a celui que l'on obtiendrait si la couche n'existait pas. II.B - Modèle couches multiples On suppose que la quantité de COZ(g) augmente. On modélise cette augmenta- tion en considérant la superposition de N couches contenant du CO_,_(g) , toutes identiques à la précédente. Ainsi, chaque couche admet la même concentration Co en CO,(g) . La superposition des différentes couches est schématisée figure 4-a--. On note (DCP le rayonnement émis vers le haut et vers le bas par la p'eme couche de température Tcp. Le rayonnement émis par une couche est totale- ment absorbé par les autres couches. II.B.1) Traduire l'équilibre radiatif : 0 de l'ensemble {toutes les couches + croûte terrestre}, ° de la pième couche, _\ Figure 4-a . de la prem1ere couche, (Ds + (DON N1eme couche ' de la croûte terrestre, _ température TC N en terme de flux surfac1ques. @ , . @ + H.B.2) En dedu1re (DCP et cp, en 3 + CN fonction de (DS , de N et de p. (I) + + CD .\ H.B.3) Donner finalement Cp + 1 P+11EURmEUR COUChEUR l'expression de T, en fonction de temperature TCp+l 8 ...... (D , de N et de o. Conclure sur (1) 7-8 8 (DCP lmfluence de N sur T,. CI'Cp +1 ième couche II.C - Modele cont1nu temperature TCp 'D l l \ On modélise maintenant l'ensem- s +cpcp_1 (DC, carbone de manière continue. La (D + , température TC 1 8 (D p... Cp--1 Terre est donc entourée d'une cou-- che gazeuse sphérique de rayon @ + ' +® 8 Cl moyen proche de celui RT de la couche Terre et d'épaisseur h(h « RT) ...... temperature TCl ,, ... 1ère (voir figure 4-b). Le nombre de (1) + molécules de CO,(g) , par unité de 8 volume, C0 , ne varie pas ; seule h est susceptible de varier si la quantité de COZ(8) varie. Effet de serre - Modèle à couches multiples On suppose qu'initialement h = 5 km (on se situe dans la basse troposphère) et T, = 288 K. Le flux surfaci-- que du rayonnement solaire vaut (D, = 342 W.m--2 . croûte terrestre temperature T, II.C.1) Soit N 0 le nombre total de molécules de COZ(g) présentes dans la cou-- che gazeuse. Selon le modèle à couches multiples, N 0 est proportionnel au nom- bre de couches N : No : yN. a) Montrer alors que N : och , où oc est une constante positive que l'on exprimera en fonction de CO, y et RT. En déduire alors que Tt s'écrit : 1 Tt : (o3(1 +och)f 0 Figure 4-b couche de COz(g) , . , . , _ , Effet de serre -M0dèle continu b) Prec1ser la valeur numer1que et l un1te de OC . II.C.2) On suppose une augmentation de 10% du volume de CO2 présent dans la troposphère. Déterminer numériquement l'augmentation Ah de l'épaisseur de la couche de dioxyde de carbone. En déduire numériquement l'augmentation de la température Tt. II.D -- Validité du modèle Quel(s) phénomène(s) physique(s) a-t-on négligé dans les modèles précédents '? Partie III - Transport du CO2 industriel au fond des océans par torpilles de 002 solides Un des moyens de se débarrasser du CO2 industriel consiste à le stocker au fond des mers. Parmi les technologies possibles, l'idée suivante a été proposée : 0 A l'aide d'installa- tions frigorifiques P(bar) situées sur des plates formes marines, on solidifie le CO2 (issu d'un processus indus- triel) en le moulant sous forme de très grandes torpilles. Figure 5 liquide Point critique ----- | Gaz ° Ces torpilles sont abandonnées depuis la surface de la mer et Diagramme de phase du C 02 . tombent au fond où ' P 'lïr' le:P =5,ll bar ;T =216K; elles vont se ficher 0... IP T T dans les sédiments. Température de sublimationà ] bar : TS : 195K _--l__----------> TT = 216 T(K) Le 002 reste ainsi piégé au fond des océans. Un des problèmes posés par ce schéma est la perte de masse des torpilles par _ changement de phase au cours de leur chute. Le C 02 ainsi libéré est susceptible 7 de retourner à l'atmosphère, et doit donc être minimisé. Nous nous proposons d'évaluer cette perte de masse afin de juger de la viabilité du processus. Nous admettons que l'océan est un fluide au repos, incompressible homogène et uni-- ' forme de masse volumique p0-- _ 1030 kg.m3 ,de température T() également uni-- forme (To : 280 K). L'accélération de la pesanteur, g, vaut g-- _ 9, 8 m. s .Le CO2 solide a une masse volumique p = 1500 kg.m--3 , supposée indépendante de la température et de la pression. Son enthalpie massique de sublimation est L s = 570 U. kg _1 et celle de fusion est L f = 189 M. kg"1 (considérées constantes). Le diagramme de phase simplifié du 002 est donné sur la figure 5. On appelle Oz la verticale descendante, orientée par le vecteur unitaire ez .La cote z -- _0 correspond a la surface de l'océan (où il règne une pression PO-- _ lbar) , le fond est àla profondeur z = H = 4000 m. III.A - Changements de phase en surface des torpilles. III.A.1) Déterminer la pression dans l'océan en fonction de la profondeur z. Ill.A.2) En vous appuyant sur le diagramme de Figure 6 phase, montrer que le CO2 en surface de la torpille est susceptible de se sublimer jusqu'à une profon- r... - deur ZS et de subir une fusion au delà. Calculer numériquement Z S. III.A.8) Nous modélisons la torpille par un cylindre de rayon r(t) dépendant du temps et de hauteur h constante. Pour les applications numériques on prendra h = 30 m et r(t : 0): 2, 70 m. La température àla surface de la torpille est suppo- Schéma simplifié d'une torpille sée uniforme. Lorsque le centre d'inertie de la tor-- pille se trouve a la profondeur z , cette température est égale à la température d'équilibre de change- ment de phase Teq(z) régnant à cette profondeur. De ce fait, la torpille reçoit de la part de l'océan une puissance thermique par unité de surface Pth : K(TO-- Teq(z)) , où K est une constante (K = 66 >< 102 W.K_1.m_2) . On consi- __ dérera que ce transfert thermique se produit seulement par la surface latérale _ du cylindre. On note L(z) l'enthalpie massique de changement de phase (subli-_ mation ou fusion) du CO2 à la profondeur z . ' de C 02 solide. En pratique une torpille réelle serait profi- ' le'e pour optimiser ses proprié- tés hydrodynamiques. a) Quelle énergie 862 la torpille doit-elle recevoir par transfert thermique pour que son rayon varie d'une quantité infinitésimale dr par changement de phase ? b) En déduire le taux de variation dr/dt du rayon de la torpille en fonction de K, T0, L(z), Teq(z), p. Pour un raisonnement en ordre de grandeur, on suppose que durant la phase de sublimation la température reste constante et vaut T] : 205K et que durant la phase de fusion, elle vaut T2 : 223 K . c) Déterminer dr/dt durant les deux phases. III.B - Étude dynamique de la torpille Du fait des changements de phase se produisant à sa surface, la masse M (t) de la torpille varie au cours du temps ; on admet pour simplifier que la matière ainsi perdue a une vitesse nulle relativement au référentiel terrestre (supposé galiléen). On note V(t) la vitesse verticale (descendante). En plus de son poids M (t) g , la torpille est soumise àla force d'Archimède Fa et à une force de frotte- ment de la forme: F-- _ --afr 2VEURz ,où af est une constante, à peu près indépen- dante des dimensions de la torpîlle (af-- _ 1,0 >< 104 kg 8 ' .m_2). III.B.1) En raisonnant sur la quantité de mouvement d'une même quantité de matière à l'instant t et à l'instant t + dt , établir l'équation du mouvement : _> CHAlV) dt On remarquera que la masse de la torpille varie au cours du temps. à à + : Mg+Fa+F 111.82) En déduire que r(t) et V(t) sont liés par une équation différentielle du type dV +(2dr 1 d_t dans laquelle "CO et B sont des constantes que l'on exprimera en fonction de p, Po= af,h. lll.B.3) La résolution du système d'équations obtenu nécessite l'emploi de méthodes numériques. Celles-ci montrent que, pour les dimensions envisagées, on a : %%æl « -- (),hypothèse que l'on supposera vérifiée dans toute la suite. a) Déterminer la vitesse de la torpille (abandonnée sans vitesse initiale) en fonction du temps. Montrer qu'elle finit par atteindre une valeur limite VZ . Pou- vait-on physiquement déterminer cette valeur limite '? lnterpréter "EO physique- ment. b) Calculer VZ et 10 numériquement. III.C - Évaluation de la perte de masse HLC.1) Calculer numériquement le temps tC mis par la torpille pour toucher le fond (situé à 4000m). III.C.2) On montre que la phase de sublimation dure tS : 5,5 3. Calculer numériquement le rayon final de la torpille alors qu'elle arrive au fond de l'océan et sa perte relative de masse au cours de la chute. Que pensez-vous de ce moyen de se débarrasser du dioxyde de carbone '? ooo FIN ooo

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 Centrale Physique MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (ENS Lyon) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet étudie l'effet de serre induit par le CO2 atmosphérique et le réchauffement climatique qui s'ensuit. Il étudie également la possibilité de réduire la pollution due au CO2 en le stockant au fond des océans. La première partie propose une analyse des interactions d'une molécule de dioxyde de carbone libre avec une onde électromagnétique par l'intermédiaire de ses modes de vibration. On y utilise essentiellement l'étude d'oscillateurs harmoniques couplés, en régime libre et forcé, ainsi que des notions d'électromagnétisme. La deuxième se consacre à l'effet de serre en lui-même, en utilisant des modélisations de plus en plus fines qui reposent sur les propriétés d'un corps noir et sur des équilibres radiatifs. Enfin, la troisième partie étudie la possibilité de stocker le CO2 sous forme de torpilles solides déposées au fond des océans. Elle allie des bases de mécanique du point et de mécanique des fluides à la thermodynamique des changements d'état. Les deuxième et troisième parties requièrent une bonne maîtrise technique du cours, mais peu d'efforts d'adaptation, ce qui en fait des parties de difficulté tout à fait raisonnable. La première partie, en revanche, utilise des outils usuels dans un cadre plus inhabituel. Cela en fait la partie la plus difficile et suppose une bonne maîtrise conceptuelle, en plus de la maîtrise technique du cours. Enfin, l'ensemble est d'une longueur permettant de terminer le sujet dans les temps, si l'on ne reste pas bloqué sur une question. Ce sujet est l'occasion d'étudier et de discuter une modélisation d'un phénomène complexe, souvent cité mais rarement compris. Indications Partie I I.A.2.b Utiliser la relation de la question I.A.2.a afin d'éliminer x2 . I.A.2.e Pour trouver les relations entre les Ai , penser à utiliser la relation démontrée à la question I.A.2.a. I.B.1 Faire l'analogie avec un pendule de torsion. I.B.2.a Par définition du barycentre, pour un point M quelconque, on a -- -- -- -- m1 MO1 + m2 MC + m1 MO2 = (2 m1 + m2 ) MG Attention aux signes en projetant ! I.C.1 Penser à la relation entre les amplitudes des champs électrique et magnétique pour une onde électromagnétique dans le vide. I.C.4.c Faire un bilan de puissance entre z et z + dz. Partie II II.A.1.b Utiliser les données pour déterminer la constante dans la loi de déplacement de Wien. II.B.2 Les relations de la question précédente permettent de définir une suite récurrente du second ordre. Les solutions sont de la forme r1 n + r2 n si l'équation caractéristique possède deux racines distinctes r1 et r2 , et de la forme ( + n) r0 n si elle a une racine double r0 . II.C.1.a Utiliser la définition d'une concentration. Partie III III.A.2 Penser que la torpille a dû être refroidie à une température inférieure à 195 K pour être solide sous une pression de 1 bar. III.A.3.a Le rayon de la torpille diminue, donc dr < 0. III.B.1 N'utiliser le principe fondamental de la dynamique que sur un système fermé ! III.B.2 La masse de la torpille à l'instant t est directement liée à son volume. La force d'Archimède s'écrit : - Fa = - r2 h 0 - g III.C.1 Intégrer la loi de vitesse pour obtenir la loi de position et penser que le terme en exponentielle doit être négligeable. I. Vibrations de la molécule de CO2 et interaction avec une onde électromagnétique A. Vibrations longitudinales de la molécule I.A.1 On définit le référentiel barycentrique d'un système comme le référentiel attaché à son centre d'inertie et en translation par rapport à tout référentiel galiléen. Un référentiel est l'association d'un repère d'espace et d'une horloge (repère de temps). Un référentiel ne possède ni point ni direction privilégiés. Plusieurs repères sont possibles pour un même référentiel, et c'est pourquoi cela n'a pas de sens de dire qu'un référentiel est centré en un point. On dira d'un référentiel (B) qu'il est en translation par rapport à un référentiel (A) si un solide immobile dans (B) apparaît animé d'un mouvement de translation dans (A). On peut également dire qu'un référentiel (B) est en translation par rapport à un référentiel (A) si tous les points immobiles dans (B) apparaissent animés du même mouvement dans (A). Ainsi, dès lors que deux référentiels sont identifiés comme étant en translation l'un par rapport à l'autre, l'étude du mouvement d'un point fixe de l'un d'eux dans l'autre suffit à caractériser le mouvement relatif des deux référentiels. Un référentiel est galiléen s'il est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen. Le référentiel barycentrique étant en translation par rapport à tout référentiel galiléen, il sera galiléen si au moins l'un de ses points fixes est animé d'un mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen. Soit G le centre d'inertie de la molécule. La molécule étant supposée isolée, si on lui applique le théorème du centre d'inertie dans un référentiel galiléen, on obtient - - dVG (2 m1 + m2 ) = 0 dt Le point G, immobile dans le référentiel barycentrique, est donc affecté d'un mouvement rectiligne uniforme dans tout référentiel galiléen. On en déduit que le référentiel barycentrique (B) de la molécule est galiléen. I.A.2.a On note O1 et O2 les deux atomes d'oxygènes. La définition du barycentre donne la relation -- - -- - m1 GO1 + m2 GC + m1 GO2 = 0 En projetant cette relation sur l'axe Gx, on obtient m1 [(-r0 + x1 ) + (r0 + x3 )] + m2 (0 + x2 ) = 0 soit m1 (x1 + x3 ) + m2 x2 = 0 I.A.2.b L'oxygène O1 n'est soumis qu'à la force due à l'étirement du ressort qui le lie au carbone. En lui appliquant le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel barycentrique, on obtient donc m1 d2 x1 = -k (x1 - x2 ) dt2 En utilisant la relation démontrée à la question précédente pour éliminer x2 , il vient d2 x1 m1 (x1 + x3 ) m1 2 = -k x1 + dt m2 soit d2 x1 + a x1 + b x3 = 0 dt2 avec 1 1 + a = k m1 m2 k b = m2 De même, en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'oxygène O2 dans le référentiel barycentrique, on trouve m1 d2 x3 = -k(x3 - x2 ) dt2 d2 x3 + a x3 + b x1 = 0 dt2 donc I.A.2.c Dans la notation complexe, le système d'équations différentielles précédent peut s'écrire comme un système d'équations linéaires sur les Ai : ( a - 2 A1 + b A3 = 0 b A1 + a - 2 A3 = 0 Rappelons qu'en notation complexe, avec la convention e+jt , la dérivation par rapport au temps est équivalente à une multiplication par un facteur j . Ce système admet des solutions (A1 , A3 ) autres que (0, 0) si et seulement si : a - 2 b a - 2 d'où l'équation en b =0 a - 2 2 - b2 = 0 On reconnaît une identité remarquable qui permet de factoriser cette équation pour trouver deux solutions : k 2 I = a - b = m 1 1 2 2 II = a + b = k + m1 m2 soit I = r k m1 et s 1 2 II = k + m1 m2 I.A.2.d Application numérique : I = 2, 31 . 1014 rad.s-1 II = 4, 43 . 1014 rad.s-1