Centrale Physique MP 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Grégoire Deback (ENS Lyon) ; il a été relu par Pierre
Flauder (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).
Ce sujet traite des miroirs hautement réfléchissants ; il fait intervenir des
notions
d'optique et, surtout, d'électromagnétisme.
La partie I permet d'introduire simplement le principe de mesure du coefficient
de
réflexion des miroirs d'une cavité résonante. Elle ne demande pas de lourds
calculs.
Les parties II et III sont en grande partie axées sur l'électromagnétisme et la
résonance, et comportent une analogie simple avec l'électronique. Il s'agit
d'effectuer
les calculs permettant de comprendre l'utilisation des miroirs à pouvoir
réflecteur
élevé dans les cavités résonantes.
La partie IV permet de comprendre comment un atome dans une cavité résonante
peut arrêter un faisceau laser, ceci permettant la réalisation d'expériences
d'électrodynamique. Elle fait appel à une analogie mécanique avec le couplage
d'oscillateurs
harmoniques.
Enfin, la dernière partie ouvre sur la problématique de la réalisation de bons
miroirs.
Indications
Partie I
I.D Penser à faire apparaître une exponentielle et non un terme en puissance
de R.
I.E Faire un développement limité de d1 . Regarder la puissance parvenant au
détecteur.
I.G Pour retrouver le résultat autrement, on peut remarquer que l'énergie
présente dans la cavité ne peut être dissipée qu'en sortant soit en direction du
détecteur, soit en direction du laser.
Partie II
II.C.4 On peut utiliser, pour chaque onde plane progressive monochromatique, la
relation
-
k -
B=
E
-
en faisant attention au sens du vecteur d'onde k .
Partie III
III.A.2 Ne pas oublier que l'aller-retour dans la cavité fait apparaître un
terme
supplémentaire de déphasage.
III.A.5 Même indication que pour la question II.C.4.
III.C.2.b La courbe obtenue étant une gaussienne, il faut penser à la largeur à
mihauteur.
III.C.3.c Faire un développement au deuxième ordre en
.
0
III.C.4.b Opérer de la même manière qu'à la question III.C.2.a., en faisant un
développement limité.
III.D.1 Penser au temps nécessaire pour exciter la cavité.
III.E.1 Comme la pression est faible, on peut assimiler les gaz à des gaz
parfaits.
III.E.3 On peut remarquer que R est utilisé uniquement pour trouver l'énergie
dissipée lors d'un aller-retour dans la cavité.
I.
Mesure impulsionnelle dans une cavité non résonante
I.A Comme R + T = 1, on en déduit que toute l'intensité lumineuse reçue par le
miroir est soit transmise, soit réfléchie (pas d'absorption). Cette relation
traduit la
conservation de l'énergie.
Les impulsions étant nettement séparées, leur durée est très petite devant le
temps d'un aller-retour entre les deux miroirs. Cet aller-retour correspond à
une
distance 2 L et à une durée 2 L/c. Par conséquent,
2L
c
I.B Le détecteur reçoit les impulsions après chaque intervalle de temps 2 L/c.
Ainsi,
tn =
2L
n
c
avec n N
I.C À chaque transmission, la puissance transmise est multipliée par T. Donc,
après
la traversée des deux miroirs, l'onde incidente a une puissance multipliée par
T2 :
W0 = Winc T2
Chacune des impulsions suivantes a subi deux réflexions supplémentaires, d'où
Wn = W0 R2n
ou encore
Wn = Winc T2 R2n
I.D Si l'on reprend le résultat de la question I.B, on obtient :
n=
c tn
2L
D'où, en remplaçant n dans l'expression de Winc trouvée à la question I.C :
ctn
Wn = Winc T2 R2 2L
soit
d'où
2
Wn = Winc T exp
Wn = W0 e-tn / d1
avec
c tn
ln R
L
d1 = -
L
c ln R
d1 est le temps caractéristique de la décroissance de l'énergie lumineuse. Il
est bien
positif, puisque R < 1.
I.E R étant voisin de l'unité, il est légitime de donner une formule approchée
pour
d1 :
d1
Alors
A.N.
L
c (1 - R)
R=1-
R=1-
donc
L
c d1
0, 39
3.108 × 2, 13.10-6
R = 0, 9994
Le miroir utilisé est donc extrêmement réfléchissant. Cependant, cela pose un
problème majeur. En effet, on a
W0 = Winc (1 - R)2
W0
= 4.10-7 1
Winc
donc, dans ce cas,
Il faut, par conséquent, utiliser des lasers très puissants pour obtenir en
sortie du
dispositif des impulsions détectables.
I.F D'après la question I.E
R=1-
L
c d1
L'incertitude relative sur R s'obtient en sommant les dérivées logarithmiques :
L d1
R
=
+
R
L
d1
On effectue l'application numérique en prenant L = 39 cm, L = 0, 2 m et
d1 / d1 = 0, 01 :
R
= 0, 015
R
Par conséquent, le coefficient de réflexion a une valeur comprise entre 0, 992
et 1.
R ne peut avoir plus de deux chiffres significatifs et on ne peut conserver que
la
valeur R = 0, 99.
I.G Soit Wtot l'énergie totale reçue par le détecteur au cours d'une expérience.
Alors, compte tenu de R < 1,
P
P 2n
1
Wtot =
Wn = W0
R
= W0
1 - R2
n=0
n=0
Or
1 - R2 = (1 + R)(1 - R) = (1 + R) T
et
W0 = Winc T2
donc, finalement,
Wtot = Winc
T
1+R
