CCINP Physique et Chimie MP 2023

SESSION 2023 MP2PC

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

1/16
Le soleil a rendez-vous avec la pluie

Ce sujet traite des gouttes d'eau et de l'arc-en-ciel qui résulte de 
l'interaction des rayons solaires
avec la pluie.

Il est constitué de 8 parties qui peuvent être résolues de manière totalement 
indépendante les unes
des autres.

Dans les parties let Il (mécanique du point) et Ill (électrostatique), on 
s'intéresse d'abord à la vitesse
limite de chute des gouttes de pluie et à la mesure de leurs diamètres, puis, 
dans la partie IV, à la
répartition (distribution) de ces diamètres dans une averse et, dans la partie 
V (étude d'un signal),
à une autre mesure de ces diamètres.

Ensuite, dans les parties VI (optique géométrique) et VIT (interférences), on 
étudie les phénomènes
optiques engendrés par les gouttes d'eau éclairées par le Soleil.

Enfin, la dernière partie VIIT (chimie) s'intéresse à la valorisation des eaux 
de pluie.

Dans tout le sujet, on suppose les gouttes d'eau sphériques. L'ordre de 
grandeur de leur diamètre,
noté D, est le millimètre.

Partie | - Vitesse des gouttes de pluie

On s'intéresse à la chute dans l'air d'une goutte d'eau de diamètre D et de 
masse volumique

p =1,0-10° kg-m °. On prendra pour l'air une masse volumique égale à p, =1,3 
kg-m *.

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. L'axe Oz est vertical 
descendant. L'accélération de la

pesanteur vaut g =ge, avec g=9,8m:s°.

Q1. Définir " référentiel galiléen ". Définir et exprimer le poids d'une goutte 
d'eau.

Q2. On admet que la seule autre force mise en jeu est la force de frottement, 
due à l'air,
proportionnelle au carré de la vitesse v de la goutte. Elle s'écrit :

Fu =-Cr,Dv?e, avec C =6,0:10 À.
Vérifier l'homogénéité de cette formule.

Q3. En appliquant la seconde loi de Newton à la goutte dans le référentiel 
terrestre, montrer que
sa vitesse limite, donc indépendante du temps, s'écrit :

Vin = VD,
où K est un coefficient à exprimer en fonction de », p,, Cet de g.

Calculer la vitesse limite pour des diamètres égaux à 1 mm, 3 mm et 5 mm.

2116
Gunn et Kinzer ont mesuré en 1949 avec précision des vitesses limites de 
gouttes de différents
diamètres. Les résultats de leurs mesures avec les barres d'incertitudes sont 
reportés sur la figure 1
en trait plein ainsi que la représentation de la relation obtenue en Q3 en 
traits pointillés.

Q4. Pour quelle(s) raison(s) le modèle théorique élaboré aux questions de Q1 à 
Q3 n'est-il pas
validé pour toutes les tailles de gouttes ?

12

10 =

Vi (m.s1)
O

D(mm)

Figure 1 - Influence du diamètre sur la vitesse limite

Selon les précipitations, la taille des gouttes de pluie est très variable. La 
distribution des tailles de
goutte, qui renseigne sur les événements météorologiques, doit souvent être 
mesurée. On utilise
pour cela un disdromètre ("Distribution of Drops Meter").

Partie Il - Disdromètre à impact avec platine

On suppose dans cette partie que la vitesse limite atteinte par une goutte de 
diamètre D qui tombe
dans l'atmosphère est donnée par la relation :

vi. =KVDe, avec K=150 m/2.s 1.

Il existe deux types de disdromètres : le plus ancien est le disdromètre à 
impact (photo 1).

Photo 1 - Disdromètre Joss-Waltvogel

3/16
Il se compose d'une platine sensible recevant les gouttes de pluie de masse 
m(D) ayant atteint leur
vitesse limite et d'un système de traitement permettant la mesure de celle-ci.

On modélise la platine par un disque plan horizontal, de rayon R et de masse M, 
relié à un support
fixe par l'intermédiaire d'une suspension, modélisée par un système 
masse-ressort amorti.

On note Kk la raideur du ressort liant la platine au support, /, sa longueur à 
vide et 2 le coefficient

de frottement traduisant l'amortissement du disque : la force de frottement, 
qui s'oppose à la vitesse
de la platine, s'écrit donc f = -- AVplatine .

La goutte exerce, lors de son impact sur la platine, une force F(t)= F(t}e, 
verticale sur celle-ci.

Le référentiel lié au support est supposé galiléen.

Le déplacement de la platine du disdromètre par rapport à sa position 
d'équilibre est Z(t) (figure 2).

L @
g | | m(D), Vim(D)
Position d'équilibre de la platine -- + 0
Platine à l'instant t -- Z(t)
Support fixe
Z
y

Figure 2 - Modélisation du disdromètre à impact à platine

Q5. Exprimer la longueur léqu du ressort à l'équilibre de la platine, sans 
impact de goutte.
Q6. Montrer que l'équation liant Z(t) à F(t) est:

d?Z(t)  aZ(t)
dè "7 at

-pz(9-20

et exprimer les coefficients > et 5 en fonction de k, M et de 1.

4/16
La force F(t) est modélisée par :

e F=F mp) mi) pour O7.

Q7. Donner la signification physique de 7 et justifier que son ordre de 
grandeur est :

D
F(p)< Viim (D) On utilise en pratique un facteur correctif £ = 0,65 tel que : D F(p)- Vin (D) Calculer 7 pour D = 2,5mm. Q8. Onse place à O pour réaliser Z(r) = ? Montrer alors que Z(r) est 
proportionnel à

D° et donner la valeur de «.
d) Tracer l'allure de Z{t) pour O°e-*dx = 105V7

+116.
0 16

Faire l'application numérique en mm:-h-1 pour D, =1,5 mm.

En général, le disdromètre sépare les gouttes en " classes ": à chaque classe 
correspond un
diamètre D moyen et une " largeur" 6D en diamètre. Cela signifie 
qu'appartiennent à la même

classe toutes les gouttes dont le diamètre est compris dans l'intervalle D _ D 
+ 2

On donne (figure 4) l'histogramme obtenu après une mesure sur une durée de 24 
heures avec un
disdromètre de surface S = 80cm.

Cet histogramme donne le nombre de gouttes mesuré pour chaque classe, de 
largeur en diamètre
variable :
e 6D=0,1mm pour Omm 2 mm.

8/16
100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

Nombre de gouttes

30000

20000

10000

0

©, O5
©,15
0,25

0,35

0,45 RE

0,55

0,65

0,75 RE

0,85

0,95 =

1,1 =

1,3 ==
D
U
J
|
|
|
|

1,5
1,7
1,9

2,2
2,6
3,0
3,4
3,8

D(mm)
Figure 4 - Résultats d'une mesure sur une durée de 24 heures

Q18. Expliquer comment il est possible de calculer R à l'aide de ces données 
(le calcul n'est pas
demandé).

Partie V - Disdromètre optique

Le second type de disdromètre, plus récent, est le disdromètre optique (photo 
4).

Il est constitué :
-- d'une source émettant un faisceau lumineux de section rectangulaire traversé 
par les gouttes
de pluie. Le faisceau a une épaisseur h -1,0 cm, une largeur / = 4,0 cm et une 
longueur

L = 25,0 cm (figure 5) ;
-- d'un capteur, sur lequel est focalisé le faisceau lumineux qui délivre une 
tension e(t)
proportionnelle à l'intensité lumineuse reçue.

Sans passage de goutte : e(t)=kl, où l, est l'intensité du faisceau et k une 
constante. Lors du

passage d'une goutte : e(t)= k(l --1(t)) où /(t) est l'intensité occultée par 
la goutte.

Photo 4 - Disdromètre Parsivel

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Gouttes

sh
j L
\ {Lentilles de focalisation' ;

1
1
1
4
D.
ni
\
\
\
\

Figure 5 - Modèle de disdromètre optique

Le signal e(t) est traité de la manière représentée sur le schéma ci-dessous :

Élimination de la Inversion du signal Extraction de la

composante continue (changement de signe) racine carrée

O
PR
Th
...--"
Oo
PT
Th
...--"

/
/
L

Q19. Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. 
Quel composant
électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Après traitement de e(t), on obtient le signal s(t), dû au passage d'une goutte 
dans le faisceau
présenté figure 6. On suppose que le diamètre de la goutte est inférieur à h.

A S(t)
{= 1,3 ms
S max t, = 1,6 ms
{, = 2,8 MS
{, = 3,1 ms
(ms)

Figure 6 - Signal s(t) généré par le passage d'une goutte dans le faisceau 
lumineux

Q20. Calculer la vitesse de chute de la goutte en expliquant la démarche.

Q21. Montrer que le maximum Ss., du signal s(t) est proportionnel au diamètre D 
de la goutte
détectée :

Sax = KD.
Q22. Quel avantage présente le disdromètre optique par rapport au disdromètre à 
impact ?

10/16
Partie VI - Théorie géométrique de l'arc-en-ciel
Lorsque le soleil éclaire les gouttes d'eau, on peut observer dans certaines 
conditions un arc-en-ciel.

On considère une goutte d'eau sphérique, de diamètre D et d'indice de 
réfraction n. Les trajets des
rayons lumineux sont représentés sur la figure 7.

Soit un rayon lumineux incident, arrivant avec un angle d'incidence j (qui 
n'est pas nécessairement
petit) sur la goutte. On note r l'angle de réfraction associé à l'angle 
d'incidence i.

L'indice de l'air vaut n,, = 1.
On considère un rayon sortant de la goutte d'eau après une seule réflexion à 
l'intérieur de la goutte

et deux réfractions à l'entrée et à la sortie de la goutte (figure 7) : ce 
rayon est à l'origine de l'arc-
en-ciel principal.

Angle
orienté A

Figure 7 - Cas d'une réflexion et de deux réfractions

Q23. Rappeler les lois de Descartes de la réfraction et donner la relation 
entre l'angle d'incidence ;
et l'angle de réfraction r.

Q24. La déviation est l'angle dont il faut tourner le rayon incident pour 
lamener sur le rayon
émergent ; afin d'avoir une valeur positive, on considère ici son opposé, 
l'angle orienté A
(figure 7).

Montrer que : A = 7 -- 4r +2i.
Exprimer l'angle A en fonction de net de x=sin(i).

Q25. Montrer que A{x) passe par un extremum lorsque x a pour valeur :

2
X = Sin (in) =

Donnée : T Arcsin(u) _ |
au 1-u*

Q26. Justifier à l'aide de la figure 8 qu'on observe une accumulation de 
lumière dans la direction
An =A(X»):

11/16

A (°)

190 -
Longueur d'onde À = 700 nm

180 ++

170 - N

160 - K | | | r.
150 - | | M | | "

150 =

Figure 8 - Déviation en fonction de l'angle d'incidence

Q27. Calculer x,, et À, (en degrés) dans le cas de l'eau, pour le violet ( 1 = 
400nm, n -1,343 ) et
le rouge ( 2 = 700 nm, n =1,330 ).

Q28. Sur un schéma faisant apparaître les rayons incidents, parallèles, le 
rideau de pluie et l'oeil de
l'observateur, tracer les rayons émergents rouge et bleu dans la direction À. 
L'observateur

observe-t-il le rouge à l'intérieur ou à l'extérieur de l'arc ?

Partie VII - Théorie ondulatoire de l'arc-en-ciel

Q29. Cette question a pour but de rappeler certaines conditions d'observation 
des interférences
lumineuses.

Deux sources lumineuses ponctuelles S, et S, émettent deux ondes 
électromagnétiques
monochromatiques de pulsations respectives «, et ©,.

Ces deux ondes se propagent dans un milieu d'indice n et interfèrent en un 
point P après avoir
parcouru les distances x, = S,P et x, = S,P. On modélise les amplitudes des 
ondes en P par

les grandeurs scalaires :
s,(P,t)=a,cos(oet-k,x, +9)

s, (P,t)=a, cos(æ,t-Kk,x, +9)
avec k; = na (i = 1,2), 4,, à,, o,, @, constantes.

c est la célérité de la lumière dans le vide.

a) Donner un ordre de grandeur de «, et w, pour la lumière visible.

12/16
b) L'intensité lumineuse I(P) observée à l'oeil nu en P est proportionnelle à 
la valeur moyenne
du carré de l'amplitude reçue en P, soit : I(P)=K{s? (Pt) . Sur quelle durée 7 
cette

valeur moyenne est-elle calculée ?
c) Calculer l'intensité /(P) et montrer qu'elle s'écrit : /(P)=1, +1, +1,,(P).

À quelle(s) condition(s) le terme /,,(P) est-il non nul ?
Donnée : cos(a)cos(b)=1/2| cos(a+b)+cos(a-b)|.
d) On suppose dans la suite que «©, = ©, = © et y =@.

Montrer que l'intensité en P s'écrit /(P)=1, +1, +2,JLI, cos 2 o(P)]

où 1 est la longueur d'onde dans le vide. La grandeur ô(P) sera exprimée en 
fonction de
l'indice n du milieu, de x, et de x..

Il est possible (photo 5) dans un arc-en-ciel d'observer, outre les arcs 
décrits par l'optique
géométrique, un phénomène d'interférences responsable d'arcs dits " 
surnuméraires .

pee ent NT CE LL
TE ns tnt né nn creer ER reed A Les

ER R
RE cspns

Photo 5 - Franges d'interférences obtenues en lumière monochromatique avec une 
goutte d'eau

Q30. Représenter la courbe /(P) en fonction de 6(P). En observant la photo 5, 
que peut-on dire
de 1, et |, ?

On considère (figure 9) deux rayons d'incidences j, et j,, voisins du rayon 
d'incidence j,, (en

pointillés) sur une goutte d'eau, se réfléchissant une seule fois à l'intérieur 
de la goutte d'eau et
émergeant dans des directions parallèles.

Figure 9 - Rayons responsables des interférences

13/16
Q31. Où ces rayons interfèrent-ils ?

Q32. On admet que la différence de marche en un point P du champ 
d'interférences s'écrit :
ô(P)=D(cos(i,)-cos{i,)}-2Dn(cos(r,)-cos(r,)).

Q33.

Exprimer la condition permettant d'observer des interférences constructives. 
L'écart angulaire
entre les franges est-il plus grand pour les petites ou les grosses gouttes ? 
Justifier

qualitativement.

Les rayons incidents d'angles d'incidence j, =50,13° et j, -67,98° donnent pour 
une

radiation rouge (4 = 700 nm, n =1,330) des rayons émergents parallèles.
Quel diamètre de goutte permettra d'observer la frange claire d'ordre ---2 dans 
la direction des
rayons émergents ?

Données à 298 K :

Enthalpies standard de formation :

Partie VIIT - Valorisation des eaux de pluie par électrolyse en ligne

O, (gaz) H,O(lig) H,(gaz)
A;H(kKJ-mol!} O 285,5 O
Potentiels redox standard en \, à 298 K :
CI, /CF Na*/Na O, /H,0 H+/H,
E° (V) 1,36 -- 2,11 1,23 0
Surpotentiels seuils sur électrode de platine :
CI, /CIF O, /H,0 H+/H,
n. (V) 0,08 0,77
ne (V) -- 0,07

Masses molaires (en g-mol') : M(Na)=23,0 et M(CI)= 35,5.

Charge par mole de charges élémentaires : 1 Faraday = ,f =96 500 C-mol.

Constante des gaz parfaits : R =8,31J-K-!-mol.
RTLn(10)/F = 0,06 V.

La récupération d'eau de pluie dans des bacs de stockage permet de nombreuses 
utilisations :

arrosage, alimentation des chasses d'eau et lave-linge entre autres.

Dans l'agriculture, on l'utilise également pour le bétail au prix d'un 
traitement de désinfection par
production de dichlore, qui peut être réalisé par électrolyse.

On considère tout d'abord l'électrolyse de l'eau pure à T = 298 K, avec deux 
électrodes de platine,
sous l'action d'une différence de potentiel UÜ, permettant de recueillir du 
dioxygène et du dihydrogène

gazeux.

14/16

On donne le schéma de principe de la cellule d'électrolyse (figure 10).

Q34.

Q35.

Q36.

Q37.

Q38.

Q39.

[D
--
U

Figure 10 - Cellule d'électrolyse

Préciser les demi-réactions électroniques qui se produisent lors de 
l'électrolyse de l'eau pure
et en donner le bilan (pour une unité stæoechiométrique d'eau). On précise que 
le platine des
électrodes ne participe à aucune réaction.

Calculer la constante d'équilibre K° de l'équation bilan ainsi que l'enthalpie 
libre standard de
réaction A,G° à la température T = 298K.

Déterminer l'enthalpie standard A,H° de la réaction à T = 298K . Est-il 
préférable de pratiquer
cette électrolyse à haute température ou à basse température ? Justifier.

Reproduire le schéma de la figure 10 sur votre copie et faire apparaître le 
sens de circulation
du courant et des électrons, les noms des électrodes et le sens de circulation 
des ions dans
la solution.

En considérant uniquement l'aspect thermodynamique, quelle tension minimale 
ÜU.., doit être

appliquée pour que l'électrolyse démarre ? On suppose p{H,)=p(O,)=1bar.

On constate qu'en réalité il faut appliquer une différence de potentiel 
supérieure à
U,;, = 2,07 V afin d'observer une réaction sur des électrodes de platine, en 
raison de l'aspect

cinétique de la réaction. On propose en figure 11 les courbes 
intensité-potentiel relatives à

l'électrolyse. Identifier les courbes et justifier la valeur de Ü., par un 
calcul.

À |

1,23

Figure 11 - Courbes intensité-potentiel pour l'électrolyse de l'eau
15/16
Q40.

Q41.

Q42.

Q43.

En réalisant expérimentalement cette manipulation, on constate que le courant 
circulant est
extrêmement faible. Pourquoi ?

Pour traiter cette eau, on ajoute du chlorure de sodium Na* +Cl° à raison de 
100 g par m°

de solution. On considère p(Cl,)=1bar. Les demi-réactions électroniques 
sont-elles
modifiées ? Pourquoi ? Écrire la réaction d'oxydo-réduction correspondante.

L'intensité du courant circulant dans l'électrolyseur vaut | = 10 À. Quel 
volume de solution peut-
on traiter par heure ?

Le dichlore se décompose au contact de l'eau en acide hypochloreux HCIO et en 
acide
chlorhydrique. Ecrire le bilan de cette réaction. Cette réaction est-elle une 
réaction acido-
basique ou une réaction redox ? Justifier.

FIN

16/16

NATIONALE - 231127 - D'après documents fournis

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