CCINP Physique et Chimie MP 2021

SESSION 2021 MP2PC

GP

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE - CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a êté amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non efjaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en évidence

des résultats.
° Ne pas utiliser de correcteur.
«_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de cinq parties indépendantes.

1/16

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au contact avec le bitume en /1. Il en est de même pour la paire de roues avant 
en 22 et on note
L=T 1 ü, le couple appliqué par le moteur sur celle-ci (77,7 0).

L'axe OZ du repère est choisi ascendant ; on note g = -gu, l'accélération de la 
pesanteur.
Les réactions exercées par la chaussée sur le container et sur les roues sont 
décrites :
-- pour le container par: R =-Tju,+Nou,,

-- pour les roues par: R =Tu,.+Nu, et R, =T,u,+N;,u..

Le filin, accroché horizontalement à une hauteur h au-dessus de la chaussée, 
exerce une force de

traction F sur le container. Le centre de masse G de la voiture se trouve à la 
même hauteur 4 par
rapport au sol, sur la médiatrice du segment [/1, 2]. On donne la valeur de 
l'empattement Z1 2 = 2b.
Le schéma de l'ensemble {container, filin, voiture} est donné en figure 1. Les 
actions mécaniques
subies par le container y sont représentées.

Toutes les valeurs numériques utiles de Q1 à Q8b sont regroupées à la fin de 
cette partie I.

U,
u,
R, __/ N ü,
F G RN\
--> À
OO
mp£ ñ 2b L

D | D.
D. | D

Figure 1 - Schéma de l'ensemble {container, filin, voiture}

Q1. Reproduire la figure 1 et la compléter en indiquant toutes les actions 
mécaniques extérieures
subies par la voiture.

Q2. En appliquant le postulat fondamental de la dynamique au container et à 
l'aide d'une loi sur le
frottement solide à préciser, obtenir l'expression de F en fonction de fo, mo, 
g et ü...

On suppose qu'aucune roue ne glisse sur la chaussée. On admet alors que les 
actions de contact
chaussée/roues ne dissipent n1 ne fournissent de puissance aux roues.

Q3. a) Par l'application d'un théorème énergétique à la voiture, établir la 
relation entre la
puissance de F et la puissance Y, fournie par le moteur.

b) Calculer Pr en kilowatt et en cheval-vapeur. Le choix de deux voitures dans 
cette mise en
scène vous semble-t-il réaliste ?

Q4. a) Rappeler la loi du moment cinétique scalaire appliquée à un solide en 
rotation autour d'un
axe fixe dans un référentiel galiléen. On précisera tous les termes et 
notations introduits.
b) Recenser toutes les actions mécaniques (résultantes ou couples) s'exerçant 
sur la roue
arrière, puis sur la roue avant.
c) On suppose chaque roue en liaison pivot parfaite avec le reste de la 
voiture. En appliquant
la loi du moment cinétique scalaire à chaque roue en rotation à vitesse 
angulaire constante

3/16
dans un référentiel et par rapport à des axes à préciser, montrer que 71 -- 0 
et que

Fr =7,< 2 Q5. a) Montrer que F =T, ü.. b) En déduire 7", et faire l'application numérique. Q6. La loi du moment cinétique scalaire appliquée à la voiture par rapport à l'axe (G,w,) permet de montrer que (N ---N,)b=T,h. a) Pourquoi le couple 7°, n'intervient-1il pas dans ce résultat ? b) En déduire N. et N en fonction de fo, h, b, m, mo et g. Q7. Les lois de Coulomb sur le frottement solide permettent d'assurer que les roues ne glissent pas sur la chaussée si IT, 

(e\

|] @ O'

--
direction de

propagation de
l'onde réfléchie

ÿ
X

LI 1

Figure 2 - Vue de dessus du radar et du véhicule

La face arrière du véhicule est modélisée par un plan métallique parfaitement 
conducteur
(P) = (0'y7, perpendiculaire à l'axe (Ox).

Le radar émet une onde électromagnétique plane progressive harmonique de 
direction de
propagation #,, de fréquence fi et réceptionne l'onde réfléchie par (P, qui a 
pour direction de
propagation --#. et pour fréquence f, différente de f1 car le véhicule est en 
mouvement.

L'air est assimilé au vide.

En notant ; le complexe tel que j 22], le champ électrique de l'onde incidente 
émise dans (R) par

--_

le radar s'écrit, en représentation complexe, É;(x,0 = E exp(jæ(f---x/c)ju,, où 
ÆEQ est une
constante réelle positive et où &, =27 f, est la pulsation de l'onde incidente.

Le champ électrique de l'onde réfléchie par le véhicule en mouvement s'écrit 
alors dans (R) :
E,(x,t) = r Epexp(j@ ((+x/cju, où ©, =2rf, est la pulsation de l'onde réfléchie 
et r une

grandeur a priori complexe désignant le coefficient de réflexion en amplitude 
de champ électrique.

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Q9. a) En exploitant une équation de Maxwell à préciser, exprimer le champ 
magnétique B; (x, f)

de l'onde incidente dans (R).
b) En utilisant le système (6), établir l'expression ci-dessous du champ 
électrique de l'onde
incidente dans (R') :

E;(x,0 (1-28 exp(ja(t-x/c))E,.
C

Q10. En suivant la même démarche qu'en Q9a et Q9b, établir les expressions des 
champs de l'onde

réfléchie, B,.(x,t) et EË.(x,r) dans (R').

Q11. On admet que la relation de continuité du champ électrique sur (P°) 
s'écrit, pour tout f > 0:

E;(x=Vi,t)+E,(x =", =0.

a) En déduire le rapport des fréquences f2/f1.
b) Exprimer l'écart de fréquence Af = f -- fi en fonction de ji et du rapport 
V/c.
c) Donner Af à l'ordre 1 en P/c.

Q12. Dans le cas du véhicule de la figure 2, le radar émet un signal sinusoïdal 
de fréquence
f1 = 24,125 000 0 GHZ et reçoit un signal écho de fréquence f> = 24,124 995 0 
GHz.
Donner la valeur du décalage Doppler Af. En déduire la vitesse en km/h du 
véhicule. On

prendra c =3,00-10°m-s ".

Q13. Le radar utilise en fait la technique ULB (Ultra Large Bande) basée sur 
l'émission et la
réception d'impulsions (ou pulses) de très courte durée (Touse = 1 ns) avec une 
FRP
(Fréquence de Répétition des Pulses) 7; -- 500 KH/Z, le signal émis par le 
radar de la question
Q12 servant de porteuse.

a) Exprimer, puis calculer la portée de ce radar, c'est-à-dire la distance 
maximale à la cible
assurant qu'un pulse écho soit reçu avant que le pulse suivant ne soit émis.

La porteuse des pulses échos est comparée à la porteuse des pulses émis afin 
d'obtenir (par un
traitement non détaillé 1c1) un signal sinusoïdal de fréquence f}, = Af . 
L'estimation de la vitesse

du véhicule est ensuite réalisée au moyen d'un algorithme FFT ("Fast Fourier 
Transform") appliqué
à un échantillonnage ("sampling") de ce signal sinusoïdal.

b) La gamme des vitesses mesurables par le radar est [10 km/h ; 180 km/h]. 
Donner la valeur
minimale fsmin de la fréquence d'échantillonnage nécessaire à assurer toute la 
gamme des
vitesses mesurables.

c) Avec une fréquence d'échantillonnage # -- 40 kHz et un nombre N -- 256 points
d'échantillonnage, exprimer puis calculer la résolution 6 sur la mesure de la 
vitesse.

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Partie III - Des moteurs " dopés "

On s'intéresse dans cette partie au principe d'un moteur suralimenté. Il s'agit 
d'expliquer par quels
procédés 1l est possible d'augmenter la puissance d'un moteur thermique de 
cylindrée donnée.

On rappelle que le cheval-vapeur (symbole ch) est une unité de puissance : 1 ch 
= 736 W.

IIL.1 - Étude préliminaire du cycle de Beau de Rochas

Le bloc moteur correspond à un ensemble de 4 cylindres munis de 4 pistons.
Le mouvement de chaque piston se décompose selon les 4 étapes ou " temps-moteur 
"" (figure 3), de

durée totale +, chaque " temps-moteur " ayant pour durée t/4 :

--
è EMS | PMB
Admission Compression Explosion-détente Echappement

Figure 3 - Les quatre " temps-moteur "

* Admission AB : la soupape d'admission s'ouvre, le piston descend en aspirant 
un mélange air-
carburant. Le débit massique aspiré est constant au cours de cette étape.

* Compression BC : la soupape d'admission se ferme, le piston remonte en 
comprimant le
mélange air-carburant introduit dans le cylindre à l'étape précédente. Cette 
compression est
supposée adiabatique réversible.

*_ Explosion-détente CDE : une étincelle produit l'inflammation du mélange 
air-carburant. Le gaz
ainsi chauffé de manière isochore (CD), finit par repousser le piston vers le 
bas (DE). Cette
détente est supposée adiabatique réversible.

* Échappement EBA : la soupape d'échappement s'ouvre, la pression chute de 
manière isochore
(EB), puis le piston remonte en évacuant les gaz brûlés (BA).

Le piston évolue entre deux positions extrémales : le point mort haut (PMH) et 
le point mort bas
(PMB), le volume du cylindre valant alors Vrn quand le piston se trouve au PMH 
et Va quand il
est au PMB. C1 = Vinax -- Vmin définit la cylindrée unitaire et C = 4 C1 la 
cylindrée du moteur.

Les quatre pistons sont montés sur un vilebrequin, ou arbre à cames, 
transformant le mouvement de

va-et-vient des pistons en mouvement de rotation (figure 4). La fréquence de 
rotation du
vilebrequin est notée fin.

7/16
+

vilebrequin
Figure 4 - Quatre pistons montés sur vilebrequin

Le mélange air-carburant (G) est assimilé à un gaz parfait de composition 
chimique inchangée
malgré la combustion. Sa masse molaire M, ses capacités thermiques massiques à 
pression et à

volume constants c, et cv, et son coefficient de Laplace y = c,/C, sont 
supposés indépendants des
conditions de température et de pression.

La constante molaire des gaz parfaits vaut R =8,31 J-K°'-:mol !.

La figure 5 donne le cycle de Beau de Rochas en diagramme (P,V) décrit par une 
quantité donnée
de (G) admise dans l'un des quatre cylindres :

PA

D.
D»

Vin Vnax V
Figure 5 - Le cycle de Beau de Rochas en diagramme (P,V)
Q14. Recopier la figure 5. La compléter en indiquant le sens de parcours du 
cycle et les points À,
B,C, Det E.
Q15. Exprimer les rapports Ztc/18 et Tn/TE en fonction du rapport volumétrique 
a =Vax/V min.

Q16. Rappeler la définition du rendement thermodynamique n associé à ce cycle. 
Exprimer n en
fonction des températures 78, Tc, Tn et Tr, puis en fonction de a et de 7.
Application numérique : calculer n pour a = 8 et y = 1,3.

Q17. Quel est le nombre de tours effectués par le vilebrequin au bout des 4 " 
temps-moteur " ? En
déduire t en fonction de fn. Calculer t pour f,, = 2 400 tr/min.

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Dans toute la suite de cette partie IE, on s'intéresse au fonctionnement du 
moteur sur des temps
longs devant t, ce qui amène à traiter le bloc moteur comme un système ouvert 
traversé par un flux
moyenné permanent de gaz.

IIL.2 - Combustion, débits et puissances

Considérons l'ensemble {collecteur d'admission, bloc moteur} représenté 
schématiquement sur la
figure 6.

(G)

rm LT Tec, Pec ; Pec

Bloc moteur 4 cylindres

(G)
T'ad, Pad, Pad

° ------------
Î E

Mcarb +--
------+| Collecteur d'admission

air
Lan RE Tag, Pad: Pair

Figure 6 - Schéma fonctionnel de l'ensemble {collecteur d'admission, bloc 
moteur}

injection
de carburant

L'air et le carburant sont mélangés dans le collecteur d'admission. Leurs 
débits massiques moyennés
sont respectivement Mair et Mcarb. Le mélange gazeux (G) ainsi obtenu, traverse 
le bloc moteur

avec un débit massique moyenné m".

Q18. Quelle relation lie m, Mair et Mcarb ?

Q19. On assimile le carburant à de l'octane CsHis, de masse molaire M,,4. La 
réaction de

combustion complète de l'octane avec le dioxygène de l'air (appelé comburant) 
est donnée c1-
dessous :

25
CsHis@) + . O2 (8 -- 8 CO2( + 9 H20 (9) ()

L'air, de masse molaire M

air St supposé constitué uniquement de dioxygène et de diazote avec

pour proportions molaires : 20 % en dioxygène et 80 % en diazote.

Le pouvoir comburivore du carburant en air, (pco).,;. est défini par le rapport 
des masses d'air et de
carburant nécessaires pour une combustion complète dans les conditions 
stæoechiométriques :

(PCO air -- (Mir Mb )oechio"

a) Établir l'expression de ( PCO)air Sous la forme (pco).i: = PM: / Ma dans 
laquelle on
explicitera le facteur numérique f.

Calculer (pco),;- pour M: = 29 g-mol | et M p =114 g-mol .

car

b) En déduire l'expression de m en fonction de mai et de (pco);- pour que (G) 
soit un
mélange stoechiométrique.

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Consigne : compte-tenu de la valeur de (pco),;;, on admettra dans toute la 
suite les

approximations M = M,;. et m = Mair .

On définit aussi le pci (pouvoir calorifique inférieur) d'un carburant comme la 
chaleur dégagée par
kilogramme de carburant brûlé dans sa réaction de combustion complète 
produisant du dioxyde de
carbone et de la vapeur d'eau.

Q20. Soit À H° l'enthalpie de réaction standard de la réaction (£). Donner la 
relation entre pci,

Mat et À H°. Application numérique : calculer pci sachant que A.H° = -- 5 000 
kJ: mol !.

Q21. Rappeler, sans la démontrer, l'expression générale du premier principe 
pour un fluide en
écoulement permanent à travers une surface de contrôle Z. On utilisera les 
notations
suivantes :

m pour le débit massique ;

h pour l'enthalpie massique ;

ec et ep pour les énergies cinétique et potentielle macroscopiques massiques ;
Pin pour la puissance thermique reçue ;

X XX + +

*__Y pour la puissance utile reçue.

On notera respectivement avec les indices e et s les grandeurs d'entrée et de 
sortie.
On rappelle que la puissance utile reçue est la puissance mécanique transférée 
au fluide par
toutes les surfaces mobiles en contact avec lui.

Dans toute la suite, nous conviendrons de négliger tous les termes d'énergies 
cinétique et potentielle
macroscopiques.

Q22. Considérons (G) à la traversée du bloc moteur. Sa température est Tia à 
l'admission et T4 à
l'échappement.
En appliquant, d'une part, le premier principe à (G) et en supposant, d'autre 
part, que la
chaleur dégagée par la réaction de combustion est entièrement récupérée par 
(G), obtenir deux
relations faisant intervenir la puissance utile Y, et la puissance thermique Yà 
en fonction de

m, Moarb , Cp, PCI, Tad Et Lec.
Q23. Soit Pm -- -- Pa la puissance motrice. Justifier sans calcul quel est le 
signe de Pn.

Q24. Montrer que Yn peut s'écrire sous la forme suivante :

° ci
Pn = m LC (Tee Tag)
(PCO )air

Le bloc moteur joue le rôle d'une pompe. La fréquence du vilebrequin fu, la 
cylindrée C et la

masse volumique de (G) à l'admission p,, , déterminent alors le débit massique 
"1.

Q25. Établir l'expression de m en fonction de Pag > EUR Et fvilb.

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IIL.2.1 - Cas du moteur atmosphérique : simple mais moyennement puissant...

Dans le cas d'un moteur atmosphérique, l'air frais atmosphérique, de pression P 
et de température
To, est directement admis dans le collecteur d'admission où 1l est mélangé au 
carburant de manière
isotherme, isobare et stoechiométrique. Alors, la température d'admission vaut 
Taa -- T0 -- 290 K et
la pression d'admission vaut Paa -- Po = 1 bar.

Q26. a) En écrivant la loi des gaz parfaits, exprimer puis calculer p,,.

b) Pour C = 2 L, calculer m , puis le débit molaire en air Fair

cpatmo

c) Donner la valeur de la puissance motrice pour ce moteur, %,

, en kilowatt puis en

cheval-vapeur, avec les valeurs numériques suivantes :
c, =1200J-K7 kg ; pci=44.10° J-kg ; (pco)ar= 16, Tad = 290 K et Tec = 1 200 K.

IIL.2.2 - Cas du moteur turbocompressé : l'incontournable en course automobile.

Dans un moteur turbocompressé, l'air frais atmosphérique traverse un 
compresseur avant d'entrer
dans le collecteur d'admission dans lequel est réalisé le mélange 
stoechiométrique air
comprimé/carburant. Après combustion dans les cylindres, les gaz d'échappement 
formés traversent
une turbine couplée mécaniquement au compresseur, avant d'être rejetés dans 
l'atmosphère.

À cylindrée et à régime moteur inchangés par rapport au moteur atmosphérique, 
le dispositif de

turbo-compression permet d'obtenir un débit molaire en air Maïir =3,7mol.s let 
une puissance

motrice Pi#P° = 340 ch.

Q27. Expliquer en trois ou quatre lignes au maximum :
a) l'obtention d'un débit molaire en air augmenté par rapport à la valeur 
trouvée en Q26b ;
b) l'obtention d'une puissance motrice augmentée par rapport à la valeur 
trouvée en Q26c ;
c) le rôle de la turbine couplée mécaniquement au compresseur.

IIL.2.3 - Cas du moteur turbocompressé avec kit "nitro" : l'option qui " 
décoiffe " !

Les amateurs de tuning automobile savent qu'il est possible d'augmenter 
ponctuellement la
puissance d'un moteur par l'installation d'un kit "nitro" ou NOS (Nitrous Oxyde 
System) quand il
s'agit de faire un "run", un dépassement, une pointe de vitesse, ou un top 
départ. La photo 2,
illustre une telle installation. Le principe consiste à introduire dans le 
collecteur d'admission une
masse gazeuse de protoxyde d'azote N20 en parallèle de l'admission d'air du 
système d'origine. Au
moment de la compression, le protoxyde d'azote se décompose en libérant du 
diazote et du
dioxygène. Il y a alors un surplus de dioxygène disponible, ce qui permet 
d'augmenter la quantité de
carburant à injecter et ainsi d'obtenir plus de puissance.

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Photo 2 - Voiture au moteur " tuné " par un kit "nitro" à deux bouteilles 
installées dans le coffre
(https://luctuture.skyrock.com)

Q28. Écrire la réaction supposée totale de décomposition de N20 en diazote et 
en dioxygène.

Q29. Calculer le pourcentage molaire de dioxygène dans le gaz de décomposition 
de N20.
Comparer au pourcentage molaire de dioxygène dans l'air. Commenter.

Considérons d'abord la situation théorique où l'air d'admission serait remplacé 
en totalité par N°0.

Q30. Le carburant utilisé est inchangé (il s'agit toujours d'octane). Calculer 
son pouvoir
comburivore en N20, noté ( PCO)N 0 défini comme le rapport des masses de N20 et 
de
carburant nécessaires à assurer la stoechiométrie de la réaction de combustion 
(£) fournie en

Q19. On donne la masse molaire de N20 : Mx,0 = 448: mol"!.
Q31. La capacité thermique massique du gaz de décomposition de N20 est c,-- 1 
100 J: K '-kg.

En notant ñ\,0 le débit molaire du protoxyde d'azote, la formule de la 
puissance motrice

fournie en Q24 devient :

° CI
gfullnitro _h MX o P -c!, (Te Ty)
M0 V0! (pcox 0

On donne pour ce moteur muni de son kit NOS : Tia -- 330 K, Tec -- 630 K et no 
=3,7mol.s ".

P fullnitro

n qui pourrait être obtenue dans ce cas théorique et la comparer à la

Calculer la puissance

valeur PP° = 340 ch.

En pratique, pour éviter la " casse-moteur ", on restreint l'accroissement de 
puissance à 40 % de la

puissance nominale d'origine turbo . L'admission de N20 vient alors en 
complément de l'admission

d'air. Les débits molaires en air et en N20 sont alors nair = 3,2 mol: s let A0 
= 0,5mol:s |.

boost

Q32. Quelle est la puissance maximale Y, " alors accessible ?

Q33. Le kit NOS monté est constitué de deux bouteilles de contenance 7 300 g de 
N20 chacune.
Calculer la durée maximale du "boost" réalisable avec ce kit.

12/16
Partie IV - Le protoxyde d'azote : un gaz prétendument "fun" ?

Le protoxyde d'azote de formule brute N20 est aussi connu sous le nom de gaz 
hilarant. C'est un
gaz aux nombreux usages : 1l est utilisé dans les cartouches pour siphon à 
chantilly, dans certains
aérosols, dans les kits NOS qui augmentent la puissance des moteurs à 
combustion interne, ou
encore en chirurgie comme agent antalgique et anesthésique. Mais détourné de 
ces usages courants,
il est parfois inhalé comme produit euphorisant, ce qui lui vaut une 
surveillance accrue par
l'observatoire français des drogues et des toxicomanies. Cette pratique 
dangereuse et addictive,
touchant souvent un public jeune et insouciant, est à proscrire absolument. 
Cette partie traite de
quelques aspects de la chimie de cette molécule.

IV.1 - La molécule N20

Q34. à) Donner la structure de Lewis des trois formes mésomères de la molécule 
N20 (l'atome
central est un atome d'azote). Indiquer celle qui met en défaut la règle de 
l'octet.
b) Justifier par un argument simple s1 les deux autres formes sont 
équiprobables. Expliquer si
on peut conclure à l'existence d'un moment dipolaire pour la molécule N20.

IV.2 - Obtention de N20

Données thermodynamiques à 298 K

Constante molaire des gaz parfaits : R=8,31 J-K°_'-mol

NH4NO: (9 | HO N20 (9) N2 (9) O2 (e)
Enthalpie standard de formation
_-- -- 82,05 X X
AfH° (k]J :mol ") 365,6 289,1
E
ntropie standard 151,1 69,91 219,9 191,3 204,8
S° (J-K -mol )
NHINO; H0
Enthalpi dard de fusi
nthalpie standar e usion 5.86 x
\fusH° (KJ-mol  )
Température de fusion Tius (K) 443 X
Enthalpie standard de vaporisation K 10.8
AvapH° (kJ ° mol )
Température de vaporisation Tvap (K) X 373

Q35. Le protoxyde d'azote est préparé par décomposition du nitrate d'ammonium 
fondu à 520 K
selon la réaction bilan suivante :
NH4NOS3 @ = 2 H20 (9) + N20 (9) (1)

On suppose les grandeurs AH° et S° indépendantes de la température dans tout 
domaine délimité
par deux changements d'états successifs.

a) Calculer l'enthalpie standard de la réaction (1) (on fera attention aux 
phases des
constituants réactionnels). Cette réaction est-elle thermodynamiquement 
favorisée à basse
ou à haute température ? Justifier votre réponse.

b) Calculer les entropies standards de NHINO3 (1 et de H20 (9).

c) En déduire l'entropie standard de la réaction (1). Justifier son signe.

d) Exprimer l'enthalpie libre standard de réaction A:G°1(7).

e) Calculer la constante d'équilibre de la réaction (1) à 520 K. Commenter.

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Q36. Dans cette question, on considère un domaine de température tel que la 
réaction (1) est un
équilibre chimique.
Quelle est alors l'influence sur cet équilibre :
a) de l'ajout de vapeur d'eau à température et volume constants ?
b) de l'ajout d'un gaz inerte à température et pression constantes ?
On justifiera les réponses à l'aide de la notion de quotient réactionnel.

IV.3 - Aspect cinétique de la décomposition de N20

Soit la réaction de décomposition de N20 suivante, supposée totale dans le 
domaine de température
T considéré :
N20 (9) = N2 @ + (1/2) Où (9) (2)

À l'instant initial { = 0, on introduit dans un réacteur thermostaté à la 
température T, de volume
constant V, préalablement vidé, une quantité n1 de protoxyde d'azote à la 
pression initiale P1. Soit
n(f) la quantité de matière en protoxyde d'azote à une date ultérieure f 
quelconque. On suit
l'évolution de la réaction en mesurant la pression totale P(f) en fonction du 
temps. Les résultats
obtenus à 873 K sont reportés dans le tableau ci-dessous.

t (S) 0 25 45 90
PP; 1,000 1,120 1,196 1,314

Tableau - Valeurs du rapport P/P: en fonction du temps

Q37. Établir l'expression de P(1)- =R en fonction de n(?), R, T'et V.

I
Q38. En déduire l'expression de la vitesse volumique de la réaction v = Te en 
fonction de R, T
[

dP
Et --.,
dt
La réaction est d'ordre 1 par rapport à N20 avec # la constante de vitesse à la 
température T.

Q39. Établir l'équation différentielle vérifiée par P(r). On la mettra sous la 
forme :
dP +kP= 3 k P .
dt 2

Q40. Donner l'expression de P(?) et l'allure du graphe correspondant.

P
Q41. La figure 7 est la représentation graphique de 2e en fonction du temps, 
tracée à
1
l'aide des données du tableau ci-dessus.
En tirer la valeur de k.

14/16
Inf3-2P/P.)

- 0.6

- 0.7

- 0.8

- 0.9

- 1.0

40

60

70

80

90

de

R

si

f (s)

Figure 7 - Graphe (3 -- 2 | -- f(f) avec f en seconde
1

Q42. On rappelle que le temps de demi-réaction est défini comme la durée au 
bout de laquelle
l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final (c'est-à-dire quand f-- 
« ) et qu'il vaut

In 2 ri
lo = = pour une réaction d'ordre 1. Calculer t12 pour la réaction (2).

Q43. Rappeler la loi d'Arrhenius. L'énergie d'activation de la réaction est Æ, 
=280 KT: mol |.
Calculer le temps de demi-réaction à la température 72 = 1 200 K.

Q44. Dans un moteur automobile à combustion interne, la durée de l'étape de 
compression est
typiquement de l'ordre de quelques dizaines de millisecondes et la température 
atteinte en fin
de compression est de l'ordre de 1 200 K. Conclure quant à l'utilisation du 
protoxyde d'azote
dans les kits "nitro" pour moteur automobile.

Partie V - Du "cash" en pierres précieuses modifiées

Le butin récupéré à l'ouverture du coffre-fort est supposé contenir des 
émeraudes de Colombie (la
variété d'émeraude la plus recherchée en joaillerie) ; en fait, ce sont des 
pierres cristallines qui, à
l'issue d'un traitement thermique, ont une couleur modifiée qui permet de les 
faire passer pour des
émeraudes. On se propose d'expliquer cette modification de couleur à l'aide de 
la mécanique
quantique.

L'équation de Schrôdinger pour une particule non relativiste de masse m décrite 
par la fonction
d'onde w(r,t) dans un champ d'énergie potentielle (7) est :

-- 2
RCD LU AG, 0 + VEN
OI 2m

où ñ est la constante de Planck réduite, A l'opérateur Laplacien et j le 
complexe tel que } 2 =].

On considère un électron de masse m confiné dans un puits d'énergie potentielle 
unidimensionnel de
profondeur infinie et de largeur a. L'énergie potentielle au fond du puits est 
prise nulle : V = 0 pour

xe[0;a|.

15/16
Q45. à) Rappeler l'écriture de la fonction d'onde d'un état stationnaire 
d'énergie E. On notera
(x) la partie spatiale de la fonction d'onde.

b) En déduire l'équation différentielle vérifiée par oe@(x).
c) Donner la forme générale de (x), puis montrer que l'énergie de l'électron 
est quantifiée.

Q46. à) Exprimer l'énergie 1 associée à l'état fondamental et £2 associée au 
premier niveau excité.
L'application numérique avec a = 0,633 nm donne £1 -- 0,931 eV et E2 = 3,74 eV.
b) À l'issue d'un traitement thermique, le puits dans lequel se trouve 
l'électron est élargi à la

valeur a' =2"a. Calculer les nouveaux niveaux d'énergie £"1 et £".

Q47. Si de la lumière blanche pénètre dans le cristal, quelle est la longueur 
d'onde de la lumière
absorbée et la couleur de la lumière transmise dans le cas du cristal modifié ? 
Les données
numériques sont fournies en fin d'énoncé et on pourra s'aider de la roue des 
couleurs donnée

en figure 8.
705 1405
620 430
Rouge | Violet
: Les longueurs d'onde sont indiquées en nm.
Chaque couleur est diamétralement opposée
Indigo
à sa couleur complémentaire.
Du blanc auquel on soustrait une couleur
580 Tate Bleu 460 donne sa couleur complémentaire.
Vert
560 490

Figure 8 - La roue des couleurs

Données numériques

Masse de l'électron : _m=9,11:107°! kg :
Constante de Planck : h=6,63 -107* J:s :
Vitesse de la lumière : c=3,00-10° m-s! :

Conversion d'énergie : 1 eV = 1,60 107! J.

IMPRIMERIE NATIONALE - 211155 - D'après documents fournis