CCP Physique 2 MP 2014

Thème de l'épreuve Miroirs de télescopes et réseau 4G
Principaux outils utilisés optique ondulatoire, optique géométrique, ondes électromagnétiques
Mots clefs télescope, satellite, 4G

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 MPP2008 .::=_ CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites \ Le sujet comporte cinq parties indépendantes. Les parties 1 et Il portent sur l'optique (de la page 2 à la page 9). Les parties III à V portent sur l'électromagnétisme (de la page 10 à la page 14). Les calculatrices ne sont pas autorisées : les applications numériques sont pourtant importantes pour conclure et devront être réalisées à la main. On ne demande pas une valeur exacte, mais une bonne valeur approchée. 1/14 OPTIQUE : LES MIROIRS DE TELESCOPE Les parties 1 et 11 sont indépendantes PARTIE I : MESURE DU RAYON DE COURBURE D'UN MIROIR PAR UNE METHODE INTERFERENTIELLE 1.1. Interférences de deux sources ponctuelles L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct 91 =(O,xyz). Des interférences lumineuses sont obtenues à l'aide d'un dispositif interférentiel permettant de créer deux sources ponctuelles cohérentes S1 et S2 à partir d'une même source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde dans l'air ft. Les deux sources S1 et S2 , distantes de a, émettent des ondes lumineuses sphériques en phase et de même intensité (ou éclairement) 10. Le milieu S du segment S1S2 est situé sur l'axe Ox. L'écran d'observation est placé dans le plan yOz à la distance d de S. Le dispositif interférentiel est placé dans l'air d'indice 1. Il permet d'orienter l'axe des sources, soit parallèlement à l'écran selon l'axe 02 (figure 1), soit perpendiculairement à l'écran selon l'axe Ox (figure 2). M(O,y,2) M(0,y,Z) aA -/',, /  \ = = :  v 5 0 x 5 5 0 x . 2 1 S2 a 4--> d d Figure 1 Figure 2 1.1.1. Exprimer l'intensité lumineuse (ou l'éclairement) ] (M) en un point M (O, y,z) de l'écran en fonction de l'intensité 10 de chacune des sources et du déphasage Afi(M ) au point M entre les deux ondes issues de S1 et S2 . 1.1.2. Relier Aq5(M ) à la différence de marche géométrique AL(M ) au point M entre les deux ondes lumineuses provenant des sources S1 et S 2 et atteignant M. 2/14 1.1.3. 1.1.4. On se place dans le cas où l'axe des deux sources est parallèle au plan de l'écran (figure 1, page 2). Pour observer des interférences, le dispositif interférentiel est éclairé avec une source monochromatique de longueur d'onde xl = 500nm et réglé de façon à obtenir une figure d'interférence dont les dimensions sont de l'ordre du centimètre, avec a =l mm et d = lm. I.1.3.a. En fonction des réglages imposés au dispositif interférentiel, exprimer la différence de marche AL(M ) en fonction de a, d et de la position du point M. I.1.3.b. Exprimer l'intensité ] (M ) sur l'écran d'observation en fonction de la position du point M. I.1.3.c. Calculer l'ordre d'interférence po au point 0. Commenter. I.1.3.d. Décrire l'allure de la figure d'interférence observée sur l'écran. Déterminer en fonction de a,  et d la distance di entre deux franges brillantes (interfrange). I.1.3.e. Application numérique: calculer la position du premier maximum d'intensité lumineuse situé en dehors du centre O de l'écran. On se place maintenant dans le cas où l'axe des deux sources est perpendiculaire au plan de l'écran (figure 2, page 2). Le dispositif interférentiel est toujours éclairé avec la même source et il est réglé de façon à obtenir une figure d'interférence dont les dimensions sont de l'ordre du centimètre avec a =l mm et d = lm. I.1.4.a. En fonction des réglages imposés au dispositif interférentiel, montrer que la différence de marche AL(M ) au point M s'exprime en fonction de a et de l'angle i, formé entre le segment SM et l'axe Ox par la relation : AL(M ) = a cosi. ll sera judicieux d'utiliser l'égalité S,M' = SM' + ss,2 --2sîl - sÎ, . I.1.4.b. D'après les dimensions de la figure d'interférence, l'angle i est voisin de 0 et on peut utiliser les développements limités de sinus, cosinus et tangente à l'ordre 2. Exprimer la différence de marche AL(M ) au point M en fonction de d, a et de la position du point M. I.1.4.c. Donner l'expression de l'intensité ] (M ) sur l'écran d'observation en fonction de la distance p = OM. I.1.4.d. Application numérique: calculer l'ordre d'interférence po au point 0. Commenter. I.1.4.e. Représenter, en la justifiant, l'allure de la figure d'interférence observée sur l'écran. 3/14 I.1.4.f. Evaluer approximativement la position du premier maximum d'intensité lumineuse situé en dehors du centre O de l'écran. 1.1.5. Comment faut-il modifier le système pour observer les figures d'interférences localisées à l'infini '? 1.2. Dispositif interférentiel Le dispositif interférentiel est représenté figure 3. Son principe de fonctionnement est similaire à celui de l'interféromètre de Michelson. Il est composé d'un séparateur de faisceau constitué de deux prismes droits de section rectangle isocèle identiques accolés par leurs bases et de deux miroirs plans M1 et M 2 , de centre respectif 01 et O,. Il est éclairé par une source ponctuelle S L , obtenue grâce à un faisceau de lumière parallèle monochromatique de longueur d'onde  = 500 nmprovenant d'un laser ; le faisceau laser est expansé grâce à une lentille de focale image f ' = lcm placée entre le faisceau laser et la face d'entrée du séparateur. Le séparateur de faisceau se comporte comme une lame séparatrice Lp , unique, d'épaisseur nulle (face commune aux deux prismes) qui transmet 50 % de l'intensité lumineuse, l'autre partie étant réfléchie. On note [ = SLOp = 10 cm la distance entre la source ponctuelle SL et le centre Op de la séparatrice et L = OPO = 70 cm la distance entre la séparatrice et l'écran (E). Les deux miroirs sont mobiles et peuvent pivoter autour de leurs axes 01 y et O,y. On note 051 et a, les angles de rotation de chacun des miroirs, pris respectivement entre (0,2 et M1) et (O,x et M 2 ). '7%x M \ \ ' o1 ' J. 0'1 A L x,, p V 052 /I À / / ** > '/ ' SL Op 02,1; Z I / [ / MZ \ T Ecran (E) O 7 Z X Figure 3 : dispositif interférentiel 4/14 1.2.1. On se place dans le cas où les deux miroirs M1 et M 2 sont orthogonaux (M 1 est dans le plan yOlz et M 2 dans le plan xO2 y ). Les positions des miroirs sont données par les distances a'1 = 01901 et d2 = OpO2 avec d2 2 d,. 1.2.1.a. I.2.1.b. 1.2.1.c. En vous aidant d'un schéma clair, déterminer les coordonnées dans le repère (O,xyz) des sources secondaires S1 et S2 créées par l'interféromètre en fonction de L', L, d1 et d,. S1 est l'image de la source SL issue des réflexions sur L}) et M1 ; S2 est l'image de S L issue des réflexions sur M 2 et Lp. En déduire la distance a qui sépare les sources S1 et S2 et la distance d de leur milieu S à l'écran en fonction de EUR , L, d1 et d2 . Le miroir M1 réglé à d1 = EUR restant fixe, le miroir M 2 est translaté de façon à obtenir un éclairement uniforme de l'écran. Donner dans ces conditions la valeur de a. 1.2.2. A partir de la position précédente, le miroir M 2 est déplacé parallèlement à l'axe 02 d'une distance 6, telle que d2 --a'1 = EUR > 0 avec 6 << d1 et EUR << d, . I.2.2.a. I.2.2.b. I.2.2.c. Décrire la figure d'interférence observée sur l'écran. Le centre de la figure d'interférence est brillant. La première frange brillante, hors de l'axe, est située à 20 mm du centre de la figure. Calculer, à partir des résultats obtenus dans la partie 1.1, la distance 6. Calculer l'ordre d'interférence au centre de la figure d'interférence. 1.2.3. A partir de la position des miroirs obtenus question 1.2.1.c, on fait subir à chaque miroir une très faible rotation, dans le même sens et du même angle a (051 = a, = a). 1.2.3.a. 1.2.3.b. 1.2.3.c. 1.2.3.d. 1.2.3.c. Montrer, en vous aidant d'un schéma, que les sources secondaires S1 et S2 créées par l'interféromètre sont situées sur un axe parallèle à Oz, le milieu S de SIS2 étant sur l'axe Ox. Déterminer la distance a entre les deux sources et la distance d du milieu des sources à l'écran en fonction de a, [' et d1 ou d,. Décrire la figure d'interférence observée sur l'écran. La distance entre deux franges brillantes consécutives est égale a di = 5mm. Calculer, à partir des résultats obtenus dans la partie 1.1, l'angle & en radians. Comment varie la distance entre les franges si on augmente l'angle a '? 5/14 1.3. Mesure du rayon de courbure d'un miroir L'interféromètre de la question précédente est initialement réglé en plaçant les deux miroirs orthogonalement et à la même distance de la séparatrice (d1 = d2 = EUR ). Le miroir M1 est un miroir de référence parfaitement plan. Le miroir M 2 est alors remplacé par un miroir sphérique convexe M '2, dont le sommet est positionné en 02 et de centre C2 (figure 4). L'axe Opz est l'axe optique du miroir M '2 et R2 = O,C2 son rayon. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. Ml 01 A /Lp // M'2 V S L OP T Ecran (E) 0 Z ' x Figure 4 : mesure du rayon de courbure d'un miroir Déterminer la position 0,52 de Si , image de S L par M '2 en l'absence du séparateur de faisceau en fonction de R2 et EUR. Déterminer les coordonnées dans le repère (O,xyz) des sources secondaires S1 et S2 créées par l'interféromètre en fonction de [' , L et R2 . Montrer que, dans le cas où R2 >> EUR , la distance a entre les deux sources se met sous 2 la forme a z -- et que la distance d du milieu des sources à l'écran est voisine de 2 d=L+3É. En déduire l'aspect de la figure d'interférence observée sur l'écran. Le centre de la figure d'interférence est un point brillant. La cinquième frange brillante est située à 12,5 mm du centre. Calculer la valeur du rayon R2 du miroir M '2 . 6/14 PARTIE II : LES TELESCOPES POUR L'OBSERVATION DE LA TERRE SPOT et les Pléiades sont des satellites optiques d'observation de la Terre. Les satellites d'observation de la Terre fournissent des images numériques de la surface de la Terre composées de pixels. L'image numérique est une matrice de L lignes et C colonnes de petits éléments d'images appelés pixels. Chaque pixel représente l'image formée sur un des capteurs carrés de côté CC , d'une petite surface terrestre dont les longueurs des côtés sont CT et [T. La résolution est la taille CT ou lT au niveau du sol correspondant à un pixel de l'image de la surface terrestre. L'acquisition des images se fait par lignes successives de largeur au sol LT grâce à des capteurs juxtaposés linéairement sur une barrette. Le déplacement du satellite assure le passage d'une ligne à l'autre. L'orbite du satellite est circulaire et polaire et son altitude la demeure constante lors des prises de vues. La vitesse linéaire du satellite sur son orbite est VS et la vitesse VST par rapport au sol du projeté du satellite T sur la surface terrestre est sensiblement parallèle à un méridien terrestre (figure 5). barrette de capteurs capteur Z (détecteur) V_; '\cËtr_eoptique 0 i axe de visée vertical angle de visée ,B trace au sol alt1tude h ligne L ligne L + 1 Figure 5 : principe de l'acquisition d'images satellitaires II.]. Le satellite Pléiades - lA est situé à la = 694 km d'altitude. Le système optique du satellite peut être assimilé à une lentille mince de distance focale image f ' et de centre optique 0. L'axe optique, appelé axe de visée, est vertical selon OZ. Le rayon de la Terre est RT = 6 370 km. 7/14 II.1.1. Le système optique est-il convergent ou divergent '? Justifier votre réponse. II.1.2. Exprimer le grandissement transversal G, du système optique en fonction de CT et CC , puis en fonction de h et f '. II.1.3. Les images en noir et blanc (mode panchromatique) ont une résolution àla verticale de 0,7 m au sol (CT = [T = 0,7 m). Elles comportent 30 000 lignes et 30 000 colonnes. La taille de chaque capteur est CC = 12, 6 pm. II.1.3.a. Calculer la distance focale f ' du système optique. Est-il concevable de réaliser l'instrument d'optique avec une seule lentille '? Justifier. II.1.3.b. Calculer la largeur LT d'une ligne de prise de vue au sol. II.1.4. Les images en 4 couleurs (mode multispectral) comportent 7500 lignes et 7500 colonnes. Une série de quatre capteurs forme un pixel. Les capteurs sont regroupés par 30 000 sur une barrette et un filtre interférentiel sélectionne la longueur d'onde. Chacun des quatre capteurs de chaque couleur a la même géométrie qu'en mode panchromatique. Quelle est la résolution l'T au sol des images en mode multispectral du satellite Pléiades - lA '? II.1.5. Donner l'ordre de grandeur de l'angle de champ de prise de vue ,8 d'une ligne. Le système optique du satellite Pléiades - lA fonctionne-t-il dans les conditions de Gauss '? Justifier. II.1.6. La période de révolution du satellite Pléiades - lA est ]} = 1 h 40 min. II.1.6.a. Calculer la vitesse au sol VST . II.1.6.b. Calculer, en mode panchromatique, la durée d'acquisition At d'une ligne sachant qu'en visée verticale CT = [T = 0,7 m. II.1.6.c. La durée d'acquisition At' est-elle la même en mode multispectral '? La calculer sachant qu'en visée verticale c'T = I 'T . 11.2. Les systèmes optiques des satellites d'observation de la Terre sont composés de télescopes. Le télescope du satellite SPOT est dérivé du télescope de Schmidt. Il est composé d'un miroir plan M1 , d'un miroir sphérique concave M 2 (centre CM2 et sommet S M2 ), d'un système afocal de correction d'ouverture composé de deux lentilles minces (L1 et L,) auquel s'ajoute un miroir orientable de changement de visée placé à l'entrée du système optique (figure 6, page 9). 8/14 sens de déplacement du satellite (L1) (L2) 175 axe optique miroir plan * V de visée oblique à 450 i 30° II.2.1. II.2.2. II.2.3. II.2.4. II.2.5. II.2.6. L V /ËD .////ë\ miroir plan M1 détecteur v verticale m1rorr spher1que M2 Figure 6 : instrument d'optique du satellite SPOT La distance focale du miroir M 2 est f 'M2 =l 080 mm. Déterminer son rayon RM2 . Le satellite est placé à l'altitude h = 832 km en orbite circulaire autour de la Terre. Si on considère que les rayons qui tombent sur le système optique sont quasiment parallèles à l'axe de visée, calculer la position SM2D du détecteur formé de plusieurs barrettes de capteurs '? En visée verticale, la largeur au sol des images de SPOT, qui comportent 6 000 lignes et 6 000 colonnes de pixels en mode panchromatique, est LT = 60 km. Estimer la taille cc d'un capteur du satellite SPOT. La prise de vue peut concerner une zone de faible altitude proche de la mer ou une région himalayenne où l'altitude peut atteindre 8 000 m. Estimer la variation de la position du détecteur ASM2D en fonction de la variation d'altitude Ah du satellite. L'instrument d'optique de SPOT doit-il disposer d'un dispositif de mise au point '? Le système afocal est formé par une lentille convergente L1 de centre OL1 , de foyers objet FL] et image F ' L1 et d'une lentille divergente L2 de centre OL2 , de foyers objet FL2 et image F 'L2. La distance qui sépare les deux centres optiques des lentilles est eL = OL,OL, . II.2.5.a. Quelle relation existe-t-il entre les distances focales images f 'L1 et f 'L2 des deux lentilles (respectivement L1 et L,) et la distance eL '? II.2.5.b. Situer sur un schéma la position des foyers des lentilles. II.2.5.c. Tracer sur le même schéma la marche d'un rayon passant par OL1 et incliné par rapport à l'axe optique des deux lentilles. L'instrument du satellite SPOT possède un miroir de visée oblique. Quel est l'intérêt d'un tel dispositif ? 9/14 ELECTROMAGNETISME : GSM 4G Données : - célérité des ondes électromagnétiques dans le vide ou l'air : c = 3.108ms_1 , 1 F _] 367z109 - perméabilité magnétique du vide ou de l'air : % = 47z10_7 Hm? 9 - permittivité diélectrique du vide ou de l'air : 50 = Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Toutefois, la compréhension et la réalisation de la première partie permettent d'aborder plus rapidement les deux dernières parties. On s'intéresse à l'un des deux standards de télécommunication, candidat pour la 4EUR génération de la téléphonie mobile, << Long Term Evolution -- Advanced >>. Il est constitué, en France, de deux bandes de fréquences dites 800 MHZ et 2 600 MHZ. Par le déploiement de technologies particulières, des débits supérieurs à 30 Mbits / seconde pour des mobiles en mouvement sont visés. L'espace est défini par un repère orthonormé direct R = (O,êx,êy,êz) et on considère un point M de l'espace repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y,z). On pose OM = r . PARTIE III : PROPAGATION DANS L'AIR III.]. Propagation III.].1. Donner, en les nommant, les équations de Maxwell sous leurs formes locales dans l'air en l'absence de sources. On traitera des champs Ë(M,t) et Ë(M,t) comme n'étant pas nécessairement ceux d'une Onde Plane Progressive Sinusoïdale (OPPS). III.].2. Etablir l'équation de propagation en champ électrique et en déduire l'expression de la vitesse de propagation de l'onde, en fonction des données de l'énoncé. III.].3. On considère à présent que le champ Ë(M,t) est celui d'une OPPS polarisée rectilignement parallèlement à êx, se propageant suivant les 2 croissants et dont la formulation générale est donnée par l'expression complexe É (M ,t) =? ej k est le vecteur d'onde de norme constante k, 50 est la pulsation et Z_Îm est une constante complexe vectorielle. III.].3.a. Préciser et justifier l'expression de [EUR et la direction de Ëm . III.].3.b. Donner l'expression de E (M ,t) en fonction des coordonnées de M et en projection dans la base cartésienne @ associée à @. 10/14 III.].4. III.].5. III.].3.c. Expliciter les deux termes de l'équation de propagation en fonction de k, 50 et É (M ,t). III.].3.d. En déduire la relation de dispersion du milieu. Dans l'hypothèse de la question précédente, expliciter le champ È(M,t) dans la base cartésienne @ en fonction de Em , (3, k et a). En notant I_îm = Em e" , (p étant une constante, expliciter les champs réels É (M ,t) et Ë(M,t). III.2. Puissance et rayonnement III.2.1. III.2.2. III.2.3. Donner la définition du vecteur de Poynting Ï2(M,t) en fonction des champs et son interprétation physique. Quelle est sa dimension physique '? Montrer que la valeur moyenne temporelle de la norme de Ë(M,t) peut s'écrire <"ËH> = & 680Em2 pour les champs de l'OPPS définie dans la partie III.]. On donnera la valeur de la constante &. Dans le cas d'une antenne réelle, l'hypothèse de l'OPPS n'est valable que localement. On sait alors que la valeur de 
  • dépend de la distance d à l'antenne, de la puissance Pa d'alimentation et de son gain G, lequel dépend de la direction d'observation. On peut ainsi écrire: 47ïd2 <"Ë(d)'> =Pa G. Exprimer l'amplitude Em du champ en fonction de c, 80 , B, , G et d. III.3. Exposition Il est parfois nécessaire de privilégier un sens de fonctionnement de l'antenne L'énergie rayonnée par une antenne est alors répartie de manière inégale dans l'espace et il existe des directions privilégiées, appelées "lobes de rayonnement". Ces différentes directions peuvent être visualisées à l'aide du diagramme de rayonnement réalisé en trois dimensions. Le lobe le plus important est appelé "lobe principal". Il est dirigé vers l'avant de l'antenne. Les lobes secondaires, moins importants, sont dirigés vers l'arrière ou sur les côtés de l'antenne. La norme sanitaire pour ce type de rayonnement est actuellement en France Emax = 61 V/ m. Elle correspond à un seuil défini sur la base des effets thermiques (échauffement) liés au champ électromagnétique. A titre de comparaison, la norme en Italie, Russie, Pologne et Chine est de E,=6V/m. III.3.1. Dans le cadre d'une implantation urbaine, il se peut que certains locaux interceptent le lobe principal. En considérant dans ce cas une puissance Pa =50 W, un gain G = 63 et une distance d = 100 m, calculer l'intensité du champ Em]. Commenter le résultat. 11/14 III.3.2. Une autre possibilité d'être exposé au rayonnement d'une antenne relais concerne le lobe secondaire orienté vers le sol. Dans ce cas le gain est plus faible, mais la distance également. Calculer, pour la même puissance Pa =50 W, le champ Em2 dans le cas où G = 2 et d = 10 m. Commenter le résultat. PARTIE IV : REFLEXION D'UNE OPPS PAR UN MUR DE BETON De façon préliminaire, on considère une interface air -- métal parfait dans le plan 2 = O. L'air occupe l'espace des 2 < 0 et le métal celui des 2 > O. L'onde incidente est une OPPS se propageant dans l'air, polarisée selon êx et qui arrive normalement à l'interface. On note Emi = Emejç" et 1_î ml,, respectivement, les amplitudes complexes des champs incident et réfléchi. On note lË, et IE,, les vecteurs d'ondes associés respectifs. On admet que l'onde réfléchie a la même polarisation que l'onde incidente. IV.1. Expressions des champs IV.2. IV.].1. IV.].2. IV.].3. IV.].4. IV.].5. Exprimer les champs électrique É, (M ,t) et magnétique l_î(M,t) incidents en fonction de E _mi ) -- a) z, w,tet k=||k,H=--. c Exprimer les champs électrique É,(M,t) et magnétique Ë,(M,t) réfléchis en fonction de E _mr ) -- a) z, w,tet k=Hk,H=--. c Rappeler les propriétés d'un conducteur à l'équilibre Quelles sont les expressions des champs ÉC(M,t) et ËC(M,t) dans le conducteur '? Enoncer, sous sa forme la plus générale, la relation de passage pour les composantes tangentielles du champ électrique. En déduire la valeur du coefficient de reflex1on en champ 5 = ----W . _mi Champ total et ondes stationnaires IV.2.]. IV.2.2. IV.2.3. IV.2.4. IV.2.5. --> Déterminer l'expression du champ total réel E ...] (M ,t) . Quelle est sa particularité '? Justifier. _ Représenter l'amplitude de E ..., (M ,t) en fonction de la position de M pour trois valeurs différentes de t. Localiser et nommer les points remarquables de la représentation. Donner la distance dm entre un minimum et un maximum adjacents en fonction de la longueur d'onde À de l'onde. 12/14 On remplace à présent le métal parfait par du béton. On reprend l'ensemble du problème et des notations considérées dans les parties IV.] et IV.2. On donne le nouveau coefficient de réflexion en champ [ = ref" dans la gamme de fréquence de la bande 2 600 MHZ avec r = 0,386 et 05 = 169". _. IV.3. Mettre le champ total Étoml(M,t) dans l'air sous la forme Émm; (MJ) = [f (z)] _, (MJ) et exprimer f(z) en fonction de r, a , z et k. _-- E _total et minimale 1113X IV.4. En constatant que "E..., , exprimer les valeurs maximale | =|z
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     CCP Physique 2 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Rémi Lehe (ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Le Roux (agrégé de physique, doctorant en physique) et Vincent Freulon (professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux thèmes : les miroirs de télescope (optique, 2 parties) et la réception 4G (électromagnétisme, 3 parties). · Dans la première partie, on cherche à mesurer le rayon de courbure d'un miroir sphérique de télescope en plaçant ce miroir dans un interféromètre de Michelson. Après avoir retrouvé plusieurs résultats concernant les interférences à deux sources et l'interféromètre de Michelson, on est amené à relier la configuration avec le miroir sphérique à une configuration de type lame d'air. On analyse sa figure d'interférence en conséquence, pour finalement en déduire son rayon. · La deuxième partie porte sur la formation des images dans les satellites SPOT et Pléiades. On utilise principalement des propriétés d'optique géométrique afin d'établir diverses propriétés des systèmes d'imagerie de ces satellites. · Dans la troisième partie, on s'intéresse aux ondes électromagnétiques émises dans le cadre de transmissions de données à travers le réseau 4G. On retrouve ainsi différents résultats connus concernant la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. · La quatrième partie se concentre sur les conséquences des réflexions des ondes du réseau 4G sur divers obstacles. On considère ainsi la structure de ces ondes au voisinage d'un conducteur, puis d'un mur en béton. On en déduit que les réflexions peuvent être gênantes pour la réception du signal. · Afin de réduire l'impact de ces réflexions, la cinquième partie introduit la technique MIMO qui consiste à combiner les valeurs d'une onde mesurée en deux points distincts pour en déduire sa provenance. Les parties 1, 3 et 4 sont très proches du cours : interférences à deux ondes (partie 1) et propagation d'ondes électromagnétiques dans le vide (parties 3 et 4). Elles serviront utilement de révision sur ces chapitres. Les parties 2 et 5 sont pour l'essentiel accessibles et reposent principalement sur une bonne lecture du sujet. Quelques questions des parties 1 et 2 nécessitent des connaissances sur les miroirs sphériques, qui ne figurent plus dans les nouveaux programmes de MPSI. Toutefois, ces questions sont localisées et on peut facilement poursuivre le sujet en utilisant les réponses données dans ce corrigé. Indications Partie I p I.1.4.a Calculer S1 M1 = S1 M21 en utilisant la formule de l'énoncé, ainsi qu'un développement limité bien choisi. I.1.4.f Remarquer que l'ordre d'interférence correspondant au premier maximum en dehors du centre est p0 - 1, et conclure grâce à l'expression de L (question I.1.4.b). I.2.1.b Raisonner sur les distances entre les différents points considérés, et utiliser le fait que les réflexions conservent ces distances. I.2.2.b Réutiliser l'expression obtenue en I.1.4.f et l'inverser afin d'obtenir a, puis e. I.2.3.a Remarquer que les axes O1 S2 et O1 S1 forment respectivement un angle 2 et -2 avec l'axe OO1 . I.3.1 Cette question nécessite des connaissances sur les miroirs sphériques, qui ne figurent plus dans les nouveaux programmes de MPSI. Partie II II.1.3.a Utiliser le fait que le grandissement transverse d'une lentille a pour expression Gt = OA /OA. II.2.3 Négliger l'impact du système afocal précédant le miroir M2 , et utiliser le fait que le grandissement d'un miroir sphérique vaut Gt = -SM /SM. II.2. Les questions II.2.1 à II.2.4 nécessitent des connaissances sur les miroirs sphériques, qui ne figurent plus dans les nouveaux programmes de MPSI. II.2.5.c Utiliser un rayon parallèle au rayon incident entre les lentilles L1 et L2 et passant par OL2 . Partie III III.1.4 Utiliser l'équation de Maxwell-Faraday. Partie IV IV.2.4 Chercher ici les points où l'amplitude d'oscillation du champ est nulle, ainsi que les points où cette amplitude est maximale. IV.7 Penser aux conséquences des interférences destructives pour la réception du signal. Partie V - - - - - - V.1.1 Utiliser le fait que les triplets de vecteurs k1 , E1 , B1 et k2 , E2 , B2 forment des trièdres orthogonaux directs. V.2.3 Chercher une valeur de pour laquelle l'exponentielle complexe dans f 1 vaut -1. Faire ensuite de même avec f 2 . V.2.4 Faire le lien avec les problèmes posés par les réflexions à la fin de la partie IV. Optique : Les miroirs de télescope I. Mesure du rayon de courbure d'un miroir par une méthode interférentielle I.1.1 Les ondes lumineuses issues des sources S1 et S2 ont la même longueur d'onde et sont cohérentes entre elles. Elles peuvent donc interférer, et, par propriété du cours, l'intensité en M est I(M) = 2 I0 [ 1 + cos( (M) ) ] I.1.2 De manière générale, le déphasage (M) s'exprime comme 2 L(M) où L(M) est la différence de chemin optique. Ici, l'indice optique est considéré homogène et égal à 1. Dans ces conditions, la différence de chemin optique L(M) est égale à la différence de marche géométrique L(M), et on a donc (M) = (M) = 2 L(M) I.1.3.a Puisque a et d valent 1 mm et 1 m respectivement, on a a d. Par ailleurs, les dimensions de la figure d'interférence sont de l'ordre du centimètre, donc |z| d et |y| a. Dans ce cas, on peut effectuer un développement limité dans les expressions des distances S1 M et S2 M, afin d'arriver à une expression simplifiée de L(M) L(M) = S2 M - S1 M r r a 2 a 2 2 + z+ = + y - d2 + z - + y2 2 2 ! r r 1 1 a 2 y 2 a 2 y 2 =d 1+ 2 z+ + 2 - 1+ 2 z- + 2 d 2 d d 2 d 2 2 2 a y 1 a y2 1 z + + - 1 - z - - = d 1+ 2 d2 2 2 d2 2 d2 2 2 d2 d2 L(M) = az d où l'on a effectué un développement limité à l'ordre 1 de la fonction racine carrée. Remarquons au passage que l'expression finale de la différence de marche est indépendante de y. I.1.3.b À partir des résultats des questions I.1.1, I.1.2 et I.1.3.a, on obtient az I(M) = 2 I0 1 + cos 2 d I.1.3.c L'ordre d'interférence au point O est défini par p0 = L(O)/. Or, le point O se situe en z = 0, et donc L(O) = 0 d'après la question I.1.3.a. Par conséquent, p0 = 0 Ce résultat n'est pas surprenant, car le point O est à égale distance de S1 et S2 , ce qui entraîne directement L(O) = 0 et p0 = 0 (sans avoir besoin d'utiliser la question I.1.3.a). Par ailleurs, le résultat p0 = 0 indique que les ondes issues de S1 et S2 interfèrent constructivement en O. L'intensité en ce point vaut donc 4 I0 (d'après la question I.1.3.b), et le point O correspond donc à la position d'une frange brillante. I.1.3.d D'après l'expression obtenue à la question I.1.3.b, la figure d'interférence est constituée de franges rectilignes régulièrement espacées et parallèles à l'axe Oy. Les franges brillantes sont obtenues pour les valeurs de z qui vérifient az cos 2 =1 d c'est-à-dire pour z=n d a d'où l'expression de l'interfrange : di = d a où n est un entier relatif I.1.3.e D'après les résultats de la question précédente, la position du premier maximum (c'est-à-dire de la première frange brillante) est z= d = 0,5 mm a I.1.4.a La différence de marche s'exprime comme L(M) = S2 M - S1 M p p = S2 M2 - S1 M2 q q - -- - -- 2 2 L(M) = SM + SS2 - 2 SM · SS2 - SM2 + SS12 - 2 SM · SS1 où l'on a utilisé l'égalité suggérée. D'après la disposition des points S, M, S1 et S2 sur la figure 2, les produits scalaires peuvent s'exprimer comme - -- SM · SS1 = SM SS1 cos i et - -- SM · SS2 = -SM SS2 cos i En remplaçant ces relations dans l'expression de L, on obtient p p L(M) = SM2 + SS22 + 2 SM SS2 cos i - SM2 + SS12 - 2 SM SS1 cos i ! r r SS2 SS1 SS22 SS12 = SM 1+ +2 cos i - 1 + -2 cos i SM2 SM SM2 SM Or, SS1 et SS2 valent a/2 = 0,5 mm, tandis que SM est de l'ordre de d = 1 m. On a donc SS1 /SM 1 et SS2 /SM 1. Effectuons un développement limité de L(M) à l'ordre 1 en ces deux variables : SS2 SS1 L(M) = SM 1 + cos i - 1 + cos i = (SS1 + SS2 ) cos i SM SM Ainsi, L(M) = a cos i