CCP Physique 2 MP 2013

Thème de l'épreuve Étude simplifiée de l'œil et électromagnétisme
Principaux outils utilisés optique géométrique et électromagnétisme
Mots clefs œil, optique, conducteur, supraconducteur, effet Meissner, Meissner

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2013 MPP2008 _:â=_ CONCOURS COMMUNS - - POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. \ Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte cinq parties indépendantes. Les parties 1 et II portent sur l'optique (de la page 2 àla page 8). Les parties III à V portent sur l'électromagnétisme (de la page 9 àla page 12). 1/ 12 OPTIQUE : L'OEIL ET SES DEFAUTS Les parties 1 et II sont indépendantes. Aucune connaissance sur l'oeil et son fonctionnement n'est exigée. PARTIE I : ETUDE SIMPLIFIEE DE L'OEIL HUMAIN L'oeil humain a sensiblement la forme d'une sphère limitée par une membrane (la sclérotique) qui est transparente à l'avant de l'oeil et forme la cornée (figure 1). L'intérieur du globe oculaire est divisé en deux parties séparées par le cristallin qui est une lentille convergente. Cette lentille est élastique et ses rayons de courbure varient lorsque l'oeil accommode, c'est-à-dire quand il passe de la vision de loin à la vision de près. La partie antérieure entre la cornée et le cristallin est remplie d'un liquide appelé humeur aqueuse. L'iris permet à l'oeil de diaphragmer et définit la pupille. La partie postérieure du cristallin est formée du corps vitré. La rétine qui sert de détecteur est tapissée de cellules de deux types différents, les cônes et les bâtonnets qui transforment l'excitation lumineuse en influx nerveux. La fovéa, partie de la rétine située sur l'axe optique de l'oeil, est la partie la plus sensible de la rétine. sclérotique cristallin / cornée humeur aqueuse nerf optique Figure 1 : coupe de l'oeil humain Les sous--parties I.A et LE peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. LA. Modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin Pour simplifier l'étude de l'oeil, on peut assimiler celui-ci à une lentille (L) plan-convexe d'indice n plongée dans l'air d'indice l. La lentille (L) possède une face d'entrée plane et une face de sortie sphérique. On se place dans le cas de la vision de loin quand l'oeil n'accommode pas. Un rayon parallèle à l'axe optique, situé à la distance h de celui--ci, est issu d'un point objet AG à l'infini sur l'axe optique (figure 2, page 3). Il pénètre par la face d'entrée plane de la lentille pour arriver au point I de la face concave où il se réfracte en passant du milieu, d'indice n = 1,33 , à l'air, d'indice l. Le rayon émergent intercepte l'axe optique au point image A,-- . 2/12 C est le centre de courbure de la face de sortie de la lentille et RC son rayon de courbure. On note i l'angle d'incidence et r l'angle réfracté par rapport a la normale CI . Dans un premier temps, les rayons ne seront pas considérés paraxiaux. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. (L) _________________ Aoe%oo [ ................................... . = ......................... l'" h iA\ __________________________ (? HS ATV n V Figure 2 : modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin Exprimer la relation entre les angles i etr a l'aide de la loi de Snell-Descartes. Soit H, le projeté de I sur l'axe optique. Exprimer les distances algébriques C_H et HA,-- en fonction de i, r et RC. En déduire l'expression de la distance algébrique C--Ai en fonction de i, r et RC. L'oeil regarde un objet en plein soleil de sorte que sa pupille est fermée. Dans ce cas, h = HI est très inférieur à RC et les rayons lumineux peuvent être considérés comme étant paraxiaux. 1.4.a Montrer, dans ces conditions, que la position du point A,-- ne dépend pas de i et donc de h. 1.4.b Dans ces conditions, H est confondu avec 5 (voir figure 2) et A,-- est le foyer image E-- de la lentille. On appelle f,-- : S_F,-- sa distance focale image. Déterminer f,-- en fonction de n et RC. 1.4.c La vergence de l'oeil normal, quand il n'accommode pas, est V = 60 5 . Calculer f,-- et RC. L'oeil regarde toujours un objet à l'infini, mais cette fois--ci, àla nuit tombante, de sorte que sa pupille est grande ouverte. Les rayons lumineux ne peuvent plus être considérés paraxiaux. 1.5 .a Montrer que C--Ai s'exprime en fonction de i, RC et n par la relation : CA- = "RC , . ncosi--Vl--n2 sin2i 3/12 I.5.b On cherche à exprimer la position du point A,-- en fonction de la hauteur il du rayon . . h par rapport à l'axe optique. On cons1dère pour cela que -- <<10_4 rad. Cette limite de résolution augmente fortement en vision périphérique. 1.6. On note po =OE la mesure algébrique repérant la position d'un objet lumineux AOBO perpendiculaire à l'axe optique et dont l'image se forme sur la rétine. La position de l'image est repérée par la grandeur algébrique p,-- : SA,-- . I.6.a Donner la relation entre po , p,-- et la vergence V de la lentille (L). Quel nom porte cette relation ? Donner la dimension de la vergence V et son unité en fonction des unités de base du Système International. I.6.b Calculer la valeur VmaX de V quand l'oeil emmétrope regarde un objet situé a la distance minimale de vision distincte dmin . 4/12 1.7. 1.8. I.6.c I.6.d Calculer la valeur Vmin de V dans le cas où ce même oeil emmétrope regarde un objet placé cette fois àla distance maximale de vision distincte dmaX . La variation de la vergence de l'oeil A=VmaX --Vmin est appelée l'amplitude d'accommodation. Calculer A dans le cas de l'oeil emmétrope. Avec l'âge, l'amplitude d'accommodation se réduit. Cette diminution physiologique porte le nom de presbytie. En pratique, un individu devient presbyte quand il doit éloigner son journal de plus de 35 cm de son oeil pour lire. Dans ce cas, la distance minimale de vision distincte augmente (dfnin = 35cm) et d{naX = dmaX reste inchangé. 1.7 .a 1.7 .b 1.7 .c Déterminer l'amplitude d'accommodation de l'oeil emmétrope d'un individu devenu presbyte. Quelle est la taille AOBO minimale des caractères du journal placé à d{nin = 35cm, que peut lire cet individu devenu presbyte ? Quelle serait la taille AOBO minimale des caractères si la presbytie de l'individu augmentait de telle façon qu'il doive placer le journal a l m de son oeil ? Conclure. Une personne voit nettement un point à l'infini sans accommoder mais ne peut voir un point situé a moins de l m en accommodant au maximum. Pour pouvoir lire confortablement un journal placé à 25 cm devant lui, il porte des lunettes dont chaque verre (assimilé à une lentille mince convergente (LL) de vergence VL et de centre optique SL) est placé 2 cm devant le centre optique de l'oeil (figure 3). Dans ces conditions, il n'accommode pas. I.8.a I.8.b I.8.c (LL) (L) A A V V Figure 3 : lentille correctrice placée devant l'oeil pour la vision de près. Calculer la vergence VL de chacun des verres des lunettes. En reprenant le schéma de la figure 3, représenter deux rayons issus de BO qui atteignent la rétine. Les échelles peuvent ne pas être respectées mais vous justifierez votre construction géométrique. En conservant ses lunettes, l'individu presbyte peut-il voir des objets situés à moins de 25 cm de ses yeux ? Si oui, jusqu'à quelle distance de ses yeux ? 5/12 I.8.d L'individu presbyte peut-il regarder de loin avec ses lunettes ? En conclusion, quel type de lunettes doit-il porter pour pouvoir facilement passer de la vision de près à la vision de loin ? PARTIE II : MESURE DU RAYON DE COURBURE D'UNE LENTILLE Pour caractériser une lentille mince correctrice, un opticien lunetier utilise le dispositif de la figure 4 dit des << anneaux de Newton ». x Ecran (E) OE Lentille de projection (Lp) : > OP Collimateur (C) A Lame semi- réfléchissante (LS ) S Y , O OC )) ' C v RC Lentille plan convexe (LL) ÿ\ / Lame réfléchissante (LR) S L Figure 4 : dispositif des anneaux de Newton (la figure n'est pas à l'échelle) Un collimateur fournit, à l'aide d'une source ponctuelle S située au foyer principal objet d'une lentille convergente de centre OC, un faisceau de lumière parallèle, monochromatique de longueur d'onde dans le vide ÂO qui tombe sur une lame semi-réflechissante (LS) d'épaisseur négligeable, centrée en O et inclinée à 45° sur l'axe du collimateur (yy' ). Une partie du faisceau se réfléchit parallèlement à l'axe (xx' ), axe du système centré formé de la lentille plan convexe étudiée (LL) et de la face plane de la lame réfléchissante (LR) qui sont en contact ponctuel au point SL. L'intervalle situé entre la face sphérique de rayon RC de centre C de (LL) et la face plane réfléchissante de (LR) forme une lame d'air d'épaisseur @ qui varie en fonction de la distance r à l'axe du système (figure 5, page 7). 6/12 x; A «» C v (O) A (2) (1) \ ] (LL) ' SL ] (LR) X Figure 5 : marche d'un rayon lumineux (0) réfléchi soit par la face sphérique de (LL) (rayon (1)) soit par la surface plane de (LR) (rayon (2)). II.]. L'onde plane tombant sur la lentille (LL) (rayon (O)) se divise en deux ondes de même amplitude à l'interface verre-air au point P. La première onde est réfléchie à l'interface verre- air (rayon (1)) tandis que la seconde est totalement réfléchie en ] sur (LR) (rayon (2)). Les deux ondes interférent au point P. La figure d'interférences localisée au voisinage de la lentille est visualisée sur l'écran à l'aide de la lentille convergente de projection (Lp) de centre OP qui forme l'image de la lentille sur l'écran (E) placé perpendiculairement à l'axe (xx') au point OE (figure 4, page 6). II.1.a II.] .b II.1.c II.] .d Donner l'expression de l'épaisseur @ de la lame d'air en fonction de r et RC. On se place dans le cas où le rayon de courbure de la lentille est très grand devant son diamètre d'ouverture. Montrer que dans ce cas, l'épaisseur peut se mettre sous la r2 forme : e ; aR-- où 05 est une constante numérique dont on précisera la valeur. C L'épaisseur @ étant très faible par rapport à r, donner au point P l'expression de la différence de chemin optique géométrique AL : Lz -- L1 entre les rayons (2) et (1) en fonction de r et RC. En tenant compte des déphasages introduits lors des différentes réflexions, donner l'expression de la différence de phase ACD entre les deux ondes qui interférent au point P. 7/12 11.2. 11.3. 11.1.e En déduire l'expression de l'intensité lumineuse au point P, en fonction de r, RC, ÂO et de l'intensité 10 de l'onde incidente. Justifier l'aspect de la figure d'interférence observée sur l'écran (E) (figure 6, page 8). 11.1.f Pour quelles valeurs de r, observe-t-on des franges sombres '? La figure d'interférence localisée au voisinage de la lentille est projetée sur l'écran (E) par l'intermédiaire de la lentille (Lp) de distance focale image fPi = +10 cm. On donne OPSL = 15 cm. La photographie de la figure d'interférence observée sur l'écran est donnée figure 6 alors que l'on opère avec une lumière monochromatique de longueur d'onde ÂO = 546,074 nm. 10 mm 10 mm Figure 6 : photographie de la figure d'interférence 11.2.a Calculer la distance OPOE a laquelle on doit positionner l'écran par rapport a la lentille de projection. 11.2.b Calculer le grandissement transversal GIP du système de projection. 11.2.c Calculer a partir des informations fournies par la photographie de la figure 6 le rayon RC de la lentille (L). On éclaire maintenant le dispositif des anneaux de Newton par la lumière jaune du sodium qui est formée de deux radiations de longueur d'onde À1 = 588,995 nm et Â2 = 589,593 nm. Comment le phénomène observé est-il modifié '? Calculer la plus petite valeur non nulle de l'ordre d'interférence pour laquelle les franges sombres des deux systèmes seraient superposées. 8/ 12 ELECTROMAGNETISME : PROPAGATION EN ELECTROMAGNETISME Les parties III, IV et V sont indépendantes. Conformément aux usages internationaux, les vecteurs sont notés en gras tandis que les grandeurs complexes sont soulignées d'une barre. PARTIE III : REFLEXION D'UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE Dans l'espace, défini par le repère (0, x, y, 2), une onde plane électromagnétique, progressive, sinusoïdale, monochromatique de pulsation a) et polarisée rectilignement suivant Ox arrive, conformément à la figure 7, avec l'incidence i sur l'interface en Z = 0 séparant le vide (2 < 0) d'un milieu conducteur métallique parfait non chargé (z > O) de permittivité et perméabilité assimilables respectivement à 80 =8,85.10_12 Fm--1 champs complexes caractérisant les ondes. et flo =47z.10_7H.m_1. On s'intéresse aux Vide (2 < 0) Métal (2 > O) ' C) (\ © v ! Figure 7 : onde plane électromagnétique incidente III.]. Onde incidente III.].a Rappeler ce qu'est une onde progressive. III.].b Déterminer les composantes du vecteur de propagation k de l'onde incidente. III.].c Ecrire en notations complexes, en un point M du vide repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y et Z < 0 et à un instant [ donné, l'expression du champ électrique Ei. On notera EO son amplitude et on prendra la convention exp £--j(wt -- ça)] avec j2 =--1. III.].d Déduire, des équations de Maxwell, l'équation de structure de l'onde. 9/12 III.1 .e III.] .f Ecrire en notations complexes en fonction de E0 , en M et a l'instant t, l'expression du champ magnétique Qi associé à Ei. Quelle est la direction de polarisation de B ? --i Déterminer l'expression du vecteur de Poynting réel R de l'onde incidente. Quelle est sa valeur moyenne temporelle < R > ? Quelle est la direction de R ? Justifier. III.2. Onde réfléchie III .2 .a III .2 .b III .2 .c III .2 .d III .2 .e Après avoir énoncé les lois de Descartes pour la réflexion, déterminer l'expression du vecteur de propagation k, de l'onde réfléchie. On suppose que la polarisation de l'onde réfléchie est du même type et de même direction que celle de l'onde incidente. Donner l'expression générale, en M et a l'instant t, du champ électrique Er de l'onde réfléchie, d'amplitude E.... En déduire l'expression générale du champ magnétique Er de l'onde réfléchie. Enoncer les équations de passage sur le champ électrique et sur le champ magnétique, à la traversée d'une surface séparant deux milieux, notés 1 et 2, puis rappeler les propriétés d'un conducteur parfait. En déduire l'expression de EOr , en fonction de E0 . Déterminer l'expression du vecteur de Poynting réel Rr de l'onde réfléchie. Quelle est sa valeur moyenne temporelle < Rr > ? Comparer < HRÏH > avec < HRH >. Quelle est la direction de Rr ? Justifier. III.3. Onde résultante III .3 .a III .3 .b Déterminer les expressions des champs réels résultants électrique Et et magnétique Bt dans le vide. Déterminer l'expression du vecteur de Poynting résultant Rt ainsi que sa valeur moyenne temporelle < Rt >. Commenter. PARTIE IV : COURANT DANS UN CONDUCTEUR EN REGIME VARIABLE Le conducteur métallique ci-dessus n'est plus supposé parfait mais posséde une conductivité 7/, ce dernier paramètre intervenant dans la loi d'Ohm locale. Ce conducteur est le siège d'un courant volumique J sinusoïdal de pulsation élevée a). On admet que la loi d'Ohm locale liant le courant volumique et le champ électrique est vérifiée dans le domaine de fréquences considérées. IV.] Ecrire les équations locales de Maxwell pour ce milieu non chargé. 10/12 IV.2 IV.3 IV.4 IV.5 Définir le courant de déplacement J D et montrer, qu'à très haute fréquence, son amplitude est négligeable devant celle du courant de conduction JC. Pour cela, on prendra l'exemple du cuivre de conductivité 7/= 5,7.107 8.1. à la fréquence v = 100 MHZ. On négligera par la suite le courant de déplacement dans le conducteur. . . . , . , . , . BJ . Montrer que J sat1sfa1t a une equat10n aux der1vees part1elles de la forme AJ --0{ 8_ = O , ou t 05 est une constante à déterminer en fonction de flo et de 7/. On rappelle, que pour le champ de vecteurs F , V /\ (V /\ F ) = V (V.F ) -- V2F , dans laquelle V représente l'opérateur nabla. Le courant volumique J est parallèle à l'axe Oy et ne dépend que du temps t et de la coordonnée z. IV.4.a Ecrire l'équation aux dérivées partielles satisfaite par J (2, t). IV.4.b Vérifier qu'en notation complexe l'expression de J(z, t) peut être du type J(z, t)=JO exp(--z/5)exp{j((z/5)--æt)] où 5 et (Osont des constantes. IV.4.c Expliciter 5 en fonction de a), flo et 7/. IV.4.d Calculer 5 en utilisant les données numériques fournies au IV.2. Préciser son unité et conclure sur la pénétration du courant dans un conducteur à très haute fréquence. Donner l'expression réelle de J dans le conducteur et en déduire l'expression du champ électrique réel E (M , t) en tout point M du conducteur. Déterminer l'expression de la puissance volumique moyenne << PJ >> dissipée par effet Joule sur une période d'oscillation du champ et dans la totalité du conducteur, en fonction du module de J 0 , des paramètres 5 et 7/ et de la surface S du conducteur. PARTIE V : SUPRACONDUCTIVITE / EFFET MEISSNER Certains conducteurs métalliques, comme le plomb, deviennent supraconducteurs à température suffisamment basse. On se replace dans les configurations géométriques précédentes avec le vide (2 < 0) et le milieu conducteur(z > 0). V.]. On admettra qu'un tel supraconducteur est un conducteur parfait pour lequel la densité 2 volumique de courant Jc est rehee au potentiel vecteur A par JC = ----A, A etant ch01s1 de me façon à ce que sa divergence soit nulle, n, e et me représentant respectivement le nombre d'électrons de conduction par unité de volume, la charge élémentaire et la masse de l'électron. V.1.a Rappeler la contrainte imposée sur le champ électrique intérieur au matériau. 11/12 V.2 V.3 V.4 V.5 V.1.b Calculer une quantité 5 de même nature physique que dans la partie précédente 1/2 me "62/10 plomb en considérant n = 1028 m_3, @ = 1, 602.10_19 C et m, = 9,1.10--31 kg. (partie IV) et qui peut se mettre ici sous la forme 5 = dans le cas du Ecrire les équations de Maxwell à l'intérieur du supraconducteur pour les champs électrique et magnétique. Montrer que ce dernier vérifie une équation de la forme AB --ÂZB = 0 , où Â est une constante que l'on exprimera en fonction de 5. On suppose qu'à l'extérieur du matériau supraconducteur règne un champ magnétique statique et uniforme Bext (BO, O, O). V.3.a Le champ magnétique étant pris continu à l'interface Z = 0 , comment varie le champ B à l'intérieur du supraconducteur en fonction de z ? V.3.b Des assertions suivantes "l'effet Meissner consiste en l'expulsion du champ magnétique du volume du supraconducteur" ou "le champ magnétique est nul à l'intérieur d'un supraconducteur", quelle est celle qui vous semble la plus correcte ? Justifier votre réponse. Pour la fin de l'épreuve, on conservera cette dernière. Déduire des conditions de passage à la traversée de la surface, l'expression du vecteur de densité surfacique de courant ]S qui apparait sur la surface du supraconducteur. Montrer qu'il existe une force électromagnétique par unité de surface du supraconducteur. Quelle est sa direction ? Quelle pression exerce-t-elle ? Fin de l'énoncé. 12/12 IMPRIMERIE NATIONALE -- 131159 -- D'aprèsdocumentsf0urnis

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 CCP Physique 2 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Raphaël-David Lasseri (ENS Cachan) ; il a été relu par Étienne Thibierge (Doctorant-ENS Lyon) et par Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce sujet porte sur l'oeil humain puis sur la propagation d'ondes électromagnétiques. Ses cinq parties sont indépendantes. · Dans une première partie proche du cours d'optique géométrique de sup, on modélise l'oeil humain par une lentille. Celle-ci est choisie plan-convexe pour modéliser la vue de loin et on s'intéresse alors au rôle de la pupille (rayons paraxiaux ou non). Pour modéliser la vue de près, on choisit une lentille biconvexe et on s'intéresse à la presbytie. · La deuxième partie poursuit sur le thème de la vision avec une méthode de mesure du rayon de courbure d'une lentille utilisable par un opticien. L'étude repose sur le dispositif des anneaux de Newton pour obtenir une figure d'interférences. · La troisième partie, proche du cours mais nécessitant quelques calculs, concerne la réflexion d'une onde électromagnétique sur un conducteur parfait. · La quatrième partie s'intéresse à la propagation du courant dans un conducteur non parfait. · La cinquième partie aborde la supraconductivité et l'effet Meissner, un thème récurrent aux concours. Ce problème permet de faire le point sur l'optique géométrique (sup) et sur l'électromagnétisme (spé). Indications Partie I I.5.a Développer cos(a - b) et sin(a - b) grâce aux identités trigonométriques. Partie II II.1.a Utiliser le théorème de Pythagore. II.2.c Ne pas oublier le grandissement dans le calcul. Partie III III.1.b Penser à l'équation de d'Alembert. III.1.d Pour simplifier le calcul, passer en représentation complexe. - III.1.c Attention au signe devant k . III.1.f Le vecteur de Poynting a pour expression - - - EB R = µ0 Utiliser le fait que cos2 (t) = 1/2 et hcos(t) sin(t)i = 0. Partie IV - IV.4.a Projeter l'expression sur ey . - - IV.5 Utiliser l'expression de la puissance volumique J · E , puis intégrer sur la totalité du conducteur. Partie V V.1.b Il s'agit d'une simple application numérique ; l'énoncé ne demande pas de démontrer l'unité, qu'il faudra toutefois préciser. V.5 Utiliser l'expression de la force de Laplace surfacique. I. Étude simplifiée de l'oeil humain I.A Modèle simplifié de l'oeil pour la vision de loin I.1 La relation de Snell-Descartes à l'interface entre l'air d'indice nair =1 et un milieu d'indice n est sin r = n sin i I.2 Reprenons le schéma de l'énoncé pour préciser des angles : (L) A r I i h i r-i i r-i H S C Ai Vu l'orientation de l'axe (CS) donnée par l'énoncé, le triangle CHI fournit, puisque CI = RC , CH = RC cos i et IH = RC sin i Avec le triangle IHAi , HAi tan(r - i) = IH donc HAi = RC sin i tan(r - i) I.3 D'après les égalités précédentes et la relation de Chasles, CAi = CH + HAi = RC cos i + sin i tan(r - i) I.4.a Pour des rayons paraxiaux, les angles i, r et r - i sont petits, si bien que sin i i, sin r r et tan(r - i) r - i à l'ordre 1. Le résultat de la question I.2 se simplifie en HAi = RC HAi = i i = RC r-i ni - i RC n-1 La position du point Ai ne dépend donc ni de i, ni de h. (Snell-Descartes) Ce résultat ne doit pas surprendre : tous les rayons arrivant sur une lentille convergente parallèlement à son axe de symétrie sont réorientés par la lentille vers son foyer principal image, qui ne dépend que de sa géométrie et de l'indice du matériau qui la compose. On pouvait également montrer que CAi = n RC /(n - 1), ce qui autorise la même conclusion et établit directement le lien entre CAi et HAi . I.4.b Avec les simplifications proposées, fi = SFi = |{z} SH +HFi = HAi 0 RC fi = n-1 (d'après la question précédente) I.4.c La vergence étant par définition l'inverse de la distance focale, fi = 1 = 1,7 cm V et en utilisant la question précédente, RC = n-1 = 5,5 mm V La vergence étant donnée avec deux chiffres significatifs seulement par l'énoncé, on ne peut pas donner plus de chiffres après la virgule. En revanche, on pouvait tout à fait exprimer ces résultats en mètres avec la notation scientifique : 1,7 · 10-2 m. I.5.a D'après la question I.3, CAi = RC cos(r - i) cos i + sin i sin(r - i) cos r cos i + sin r sin i = RC cos i + sin i sin r cos i - sin i cos r sin r cos2 i - sin i cos i cos r + sin i cos i cos r + sin r sin2 i sin r cos i - sin i cos r sin r = RC (cos2 i + sin2 i = 1) sin r cos i - sin i cos r n sin i p = RC (Snell-Descartes) n sin i cos i - sin i 1 - n2 sin2 i = RC CAi = n RC p n cos i - 1 - n2 sin2 i (en simplifiant par sin i)