CCP Physique 2 MP 2011

Thème de l'épreuve Appareil photographique. Champs magnétique et électrique d'une sphère uniformément chargée.
Principaux outils utilisés optique géométrique, optique ondulatoire, diffraction, électrostatique
Mots clefs appareil photographique, système de lentilles minces, objectif, sphère uniformément chargée

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 MPP2008 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Partie A : OPTIQUE QUELQUES PROPRIETES ET APPLICATIONS DE L'APPAREIL PHOTOGRAPHIQUE Un appareil photo est constitué d'un ensemble de lentilles dont le but est de former l'image réelle d'un objet sur un détecteur sensible aux radiations lumineuses, c'est-à-dire film argentique ou barrettes CCD. Cet ensemble est associé à un boîtier qui joue le rôle de chambre noire et qui contient un obturateur, un système optique de visée et de mise au point ainsi qu'une cellule photoélectrique qui permet de mesurer le flux lumineux incident. La figure 1, ci-dessous, représente les principaux éléments d'un appareil photo de type réflex, avec un miroir pivotant (a), un verre de visée (b), une lentille collectrice (c), un pentaprisme en toit (d) ainsi qu'un oculaire (e). Pentaprisme Figure 1 : appareil photo Préambule Le système optique qui constitue l'objectif doit restituer la forme et les couleurs de l'objet, ceci dans des conditions où les rayons lumineux incidents ne vérifient pas nécessairement les conditions dites de Gauss. Il doit donc pouvoir corriger les aberrations chromatiques et géométriques. La valeur absolue de la distance focale de l'objectif est communément appelée << focale >>. Elle représente la distance entre la pellicule (ou la matrice CCD) et la lentille équivalente à l'objectif pour un sujet à l'infini, c'est-à-dire à grande distance. Les usages veulent que l'on qualifie de longue (respectivement courte) focale, un objectif dont la focale est plus grande (respectivement plus petite) que la longueur de la diagonale du détecteur utilisé, c'est-à-dire pellicule ou matrice CCD. Ceci implique que le choix de la focale est indissociable de celui du format du détecteur. Les deux parties du sujet d'optique sont indépendantes. Les notations sont telles que tout paramètre relatif à un objet sera indice' avec un 0, tandis que tout paramètre lié à une image le sera par un i. PARTIE I : ÉTUDE DE DEUX COMPOSANTS ESSENTIELS, L'OBJECTlF ET LE PENTAPRISME MODÉLISATION D'UN OBJECTIF PHOTO 1. Objectif assimilé à une simple lentille mince (L1), de focale image f,--1 = 50 mm On considère le protocole représenté sur la figure 2. L'appareil est initialement réglé sur un objet placé à l'infini. On constate alors que pour former une image nette sur une pellicule fixe d'un objet situé à une distance x de l'objectif (comptée positivement) : x(> O) = --PO, il faut déplacer l'objectif d'une certaine distance, appelée tirage, et notée t. Cette opération constitue la mise au point. 1.1 À l'aide de la relation de conjugaison, exprimer le tirage ten fonction des seuls x et ]? ]. I.2 Exprimer littéralement puis calculer la variation de ce tirage pour un objet placé entre x = 2 et x = 100 fi]. Sachant qu'une mise au point n'a de sens que pour un déplacement mécanique d'au moins un demi-millimètre, cette dernière est-elle nécessaire dans le cas présent ? 1.3 Reprendre la question précédente pour un objet placé entre x = 100fi1 et x = 10 1%. (L1) Figure 2 : protocole avec lentille simple 11. Objectif bifocal Considérons trois lentilles minces (L2), (L3) et (L4), de centres O2, 03 et 04, placées suivant un même axe optique. (L2) et (L4) sont identiques et divergentes, de distance focale image | fi2 | = 60 mm, tandis que (L3) est convergente avec |fl3 | = 35 mm. 11.1 Dans cette première configuration (a), les lentilles (L2) et (L3) sont accolées. Il.1.a. Il.1.b. Il.1.c. Montrer que la distance focale image fi23 de la lentille équivalente au système (L2) + (L3) peut se mettre sous la forme fi23 = fi, & / ( fi2 + fia). La calculer et en déduire la nature de cette lentille équivalente. Pour un rayon incident parallèle à l'axe optique, tracer le rayon à la sortie de cette lentille équivalente de foyer image F ,v23. Déterminer la distance 0204 en fonction de fl2 et fl3 pour que le système constitué des trois lentilles soit afocal. La calculer. Exprimer le grandissement transversal G... en fonction de fi2 et fl3 pour un objet éclairé par un rayon incident qui arrive parallèlement à l'axe optique. On pourra raisonner en termes de faisceau lumineux cylindrique parallèle à l'axe optique dont on exprimera le grandissement du rayon à travers le système optique. Donner finalement l'application numérique de ce grandissement transversal. II.2 Dans cette deuxième configuration (b), les lentilles (L3) et (L4) sont maintenant accolées en ayant pris soin de maintenir la distance 0204 identique à celle de la question précédente. Montrer que le nouveau grandissement transversal % est relié à G... par une relation très simple que l'on précisera, et en faire l'application numérique. 11.3 En se replaçant en configuration (a) et en supposant les conditions de Gauss respectées, exprimer le grandissement angulaire G,... = a' / a en fonction de fl23 et fi4, avec a et a' les angles orientés des rayons incident et émergent définis par rapport à l'axe optique. Calculer G..., puis le comparer à G.... Pour s'aider dans le calcul, faire un schéma où seront tracés deux rayons incidents, parallèles entre eux, l'un passant par le centre 02 de la lentille équivalente, l'autre passant par le foyer objet équivalent F023. Reprendre le raisonnement pour la configuration (b), et déterminer Gab le grandissement angulaire correspondant. II.4 On place enfin derrière la lentille (L4), la lentille (L1) utilisée en I. II.4.a. II.4.b. II.4.c. II.4.d. II.4.c. À quelle distance de (L4) doit-on placer la pellicule photographique (ou la matrice CCD) pour obtenir une image nette d'un objet placé à l'infini ? La distance 0401 importe-t-elle ? Où doit-on placer la lentille (L1) pour que l'encombrement du système lentilles pellicule / CCD soit le plus faible possible ? À l'aide de G,... et Gaz, (grandissement angulaire dans la configuration (b)), exprimer les dimensions A,1 B}.1 de l'image formée sur la pellicule / CCD d'un objet placé à l'infini pour les configurations (a) et (b), et dont le rayon limite arrive sur la lentille (L1) selon un angle de a = 5° par rapport à l'axe optique de cette lentille. Calculer ces dimensions. En déduire les distances focales images fia et fi}, de l'objectif constitué des quatre lentilles, respectivement pour les configurations (a) et (b). Pour ce faire, la taille des images AflBi1 calculée précédemment, on admettra l'existence d'une lentille équivalente pour les deux configurations (a) et (b) et on montrera (par exemple) que pour (a) : fia = fi ] G..., et l'on donnera l'application numérique correspondante de fia. On appelle champ angulaire la portion conique de l'espace objet dont l'objectif photographique donne une image nette. Ce champ est exprimé par l'angle 205 du cône qui a pour sommet le centre 0 d'une lentille mince équivalente (voir figure 3 et raisonnement ci-dessus). Ce champ est limité par la plus grande dimension du détecteur d, c'est-à-dire la diagonale d'un format rectangulaire. Après avoir exprimé la relation entre a, d et la focale f de l'objectif (celle de la lentille équivalente des questions précédentes, c'est-à-dire f = fia et f = fil,), calculer le champ angulaire pour les deux configurations de lentilles (a) et (b) susmentionnées pour un film de format 24 >< 36 mm. Commenter la compatibilité des valeurs obtenues pour les champs angulaires avec les conditions dites de Gauss. / \ f pellicule objectit \\ \ Figure 3 : champ angulaire 11.5 Si l'on compare maintenant avec l'objectif mono-lentille de la section 1.1, quel est l'avantage de l'objectif bifocal ? Y aurait-il des inconvénients ? III Objectifs dédiés spécifiquement àla macrophotographie. La macrophotographie concerne l'ensemble des techniques photographiques permettant de photographier des sujets de petite taille. On considère un objet réel situé à 30 cm de l'objectif mono-lentille (L1) utilisé en I et II, avec un tirage fixé à t = 6 mm. III.1 Déterminer la position de l'image p,--; par rapport à la lentille (L1), ainsi que le grandissement transversal G, 1. Peut-on photographier de manière nette cet objet ? III.2 On place devant l'objectif, à une distance 6, une lentille additionnelle convergente (L5), de focale fi5 supérieure àfi;. On pose x = -- po5 (comptée positivement), la distance entre l'objet et le centre 05 de la lentille (L5). Donner l'expression de x en fonction des distances focales images fi ; et fi5, de e et t, afin que l'image soit nette sur la pellicule. III.3 La distance 6 valant 5 cm, déterminer les valeurs minimales de x pour que l'objet puisse être photographié de façon nette pour les deux valeurs de distances focales 125 = 20 et 50 cm. III.4 Conclure quant à l'intérêt d'utiliser cette lentille additionnelle (L5) et quant à la dépendance de x en fonction de 1%. PARTIE II : QUELQUES PARAMETRES IMPORTANTS D'UN APPAREIL PHOTO Outre les notions de tirage, de grandissement transversal et de champ angulaire déjà vues dans la première partie, celles de profondeur de champ, de résolution et d'éclairement du plan image sont toutes aussi importantes pour caractériser un appareil photographique. Profondeur de champ / Résolution La photographie d'un objet de taille finie doit demeurer nette sur toute la profondeur de champ. On se reportera à la figure 4 qui modélise un objectif avec la simple lentille mince de distance focale image fl ] du I de la première partie, et sur laquelle on peut voir que l'ensemble des points objets situés sur l'axe optique entre A01 et A02, pour un diamètre Bd du diaphragme (D), n'impressionnent qu'un seul grain argentique de la pellicule (ou un seul pixel de la matrice CCD). Cette gamme de distance séparant ces objets de l'objectif Ado = dol -- d,,2 est appelée profondeur de champ, avec do; et dog respectivement les distances algébriques Ag,O et Ag,O. En effet, l'image d'un objet ponctuel AO n'a pas nécessité d'être rigoureusement ponctuelle en raison de la taille finie & d'un grain (ou d'un pixel), et par conséquent, la photo restera "nette" si la dimension 8,-- de l'image d'un point est inférieure à cette taille 6. La profondeur de champ dépend également de la focale, de la distance à laquelle se trouve l'objet ainsi que du nombre d'ouverture qui correspond à une ouverture maximale du diaphragme. II 1.1 1.2 Figure 4 : profondeur de champ En notant d,, la distance AOO à laquelle un objet de dimension 80 donne une image de dimension 8,- = 8 dans le plan de détection, exprimer do; et d,,g en fonction de do, Dd, 8 et du module du grandissement transversal |th = EUR,- / s.,. En déduire l'expression de la profondeur de champ. Influence de la diffraction I.2.a. I.2.b. Dans cette question, on détermine l'ordre de grandeur de la limite de résolution spatiale due à la seule diffiaction. Une fente infinie selon Oy, de largeur a selon Ox, est éclairée normalement selon l'axe Oz en lumière monochromatique, d'intensité 10, de longueur d'onde À et suivant les conditions dites de Fraunhofer. Elle est suivie de la lentille (L1), de focale image fi]. On observe alors la figure de diffraction sur un écran placé dans le plan focal image de (L1). Exprimer l'intensité lumineuse I sur l'écran en fonction de x, coordonnée suivant l'axe (Ox) de l'écran. En déduire l'expression de la largeur de la tache centrale de diffraction en fonction de it, a et ]? 1. En admettant que la limite de résolution spatiale Ax,-- pour une pupille d'entrée d'un objectif photographique de diamètre D,; (tel qu'étudié précédemment) est assimilable à la largeur de la tache centrale de diffraction obtenue dans la question précédente pour une fente infinie de largeur a = 2Dd, calculer cette limite de résolution spatiale due à la seule diffraction pour l'ouverture numérique maximale N.O = 2,8 ainsi que pour l'ouverture numérique minimale N.O = 1,4, sachant que l'objectif est éclairé sous une longueur d'onde de 550 nm. Comparer ces nombres à EUR et conclure. Éclairement du plan image L'éclairement du plan image È,- est donné comme le rapport dqä,- / dS,--, avec q5,-- le flux lumineux image et Si la surface du plan image, et s'exprime donc en W. m_2. La figure 5 décrit les principaux paramètres qui fixent l'éclairement du plan image. On reconnaît entre l'entrée E et la sortie S du système optique, les pupilles Pe et Ps qui diaphragment le faisceau optique et fixent ainsi les angles maximaux d'inclinaison des rayons incidents [30 et images [$,-. On peut montrer que le flux lumineux infinitésimal image est donné par dq)i = Li dS'JCOSÔÇ in avec L,-- : 1:L,, la luminance du plan image liée à celle de l'objet L,, par le facteur de transmission 1:, 6,-- l'angle d'inclinaison image variant entre 0 et [B,--, et dQ,-- l'élément infinitésimal d'angle solide image. 11.1 Exprimer l'éclairement du plan image Èi en fonction de l'angle [31--, La et "L'. 11.2 En partant de l'expression trouvée en 11.1, montrer que l'expression littérale approchée :rrL0 4(N.O)2 Pour ce faire, on utilisera la conservation du stigmatisme dans un plan perpendiculaire à l'axe optique qui s'exprime par la relation des sinus d'Abbe : no sin [30 = G, ni sin ,--, ainsi que la relation approchée (petits angles) qui lie grandissement transversal G,, quantité sin /30 et nombre d'ouverture, N.O, soit G; = 2 (NO) sin &. L'effet produit sur le film ou la matrice CCD ne dépend que de l'énergie lumineuse reçue, donc de l'exposition lumineuse È}T , avec T le temps de pose. L'exposition variant en T / (N.O)2, discuter brièvement le compromis entre le temps de pose et l'ouverture du diaphragme. (petits angles) de l'éclairement vaut : È,-- % Plan objet Plan image Figure 5 : éclairement du plan image Partie B : ÉLÉCTROMAGNETISME Le champ magnétique Ce problème, composé de trois parties, propose la détermination du champ magnétique pour une boule chargée dans différentes configurations. L'assimilation de cette boule chargée à l'électron permettra, dans quelques applications, d'approcher la valeur du rayon de l'électron. Représentation des grandeurs scalaires : a, AB Représentation des grandeurs vectorielles : (1, AB Notation du produit scalaire (F - G) et vectoriel (F x G) des deux vecteurs F et G. Données : masse : m = 9,1x10""kg - pour l'électron charge : e = --l, 6 >< 10--19C rayon: R6 = 3 >< 10_15 m (valeur donnée par excès) - Constante de Planck : h = 6, 6x10'34J.s - Perméabilité du vide : ,uo = 475x10_7 H.m_1 1 3675 >< 109 - Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3 >< 108m.s'1 - Permittivité du vide : 50 = F.m'1 - Dans un système de coordonnées sphériques (r, 0, ça), on définit : - la base orthonorrnée directe (e,, eg, e,). - le gradient d'une fonction : grad f (r, 6, (p) = âf er + 1 ôf ea + _1 âf e ôr r 66 rsml9 ôcp "' - l'élément de volume : du = r2 sin 6drd0dtp - l'élément de surface sur la sphère de rayon a : dS = a2 sin Bdl9d(p - la valeur de l'intégrale : f:Ï sin'6dû = Î Les parties 1, II et III sont majoritairement indépendantes (résultats de 1.3. utilisés en 11.6.2.). I. Boule chargée au repos. On considère une boule de centre C, de rayon R uniformément chargée de densité volumique de charges p. 1.1. Exprimer la charge Q de la boule en fonction de p et de R. 1.2. Par utilisation des règles de symétrie et les invariances du système, expliquer la forme du champ électrostatique E (M) en un point M(r, @, ça) et E(C). 1.3. Appliquer le théorème de Gauss pour définir le champ électrostatique dans les cas : Eint (r < R) et Eext (r a R) que l'on explicitera en fonction de Q, R, r et e,. II. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. Application numérique : calculer E...(R) pour Q = lei et R = Re. Tracer l'allure de E(r) champ déduit de 1.3. et reporter les coordonnées de E...(R.). Dans cette configuration de « boule chargée au repos >>, quel est alors le champ magnétique B(M) ? En déduire, en fonction de Q et de R, les énergies électromagnétiques W1 dans la boule et W2 à l'extérieur de la boule et vérifier que l'énergie électromagnétique 2 W=Wl+W2 = 3Q . 2On£0R Application numérique : en assimilant l'énergie de repos mc2 de l'électron à l'énergie électrostatique de la boule immobile, déterminer la valeur du rayon R(, de l'électron. Boule chargée en mouvement de translation La boule précédente est animée d'un mouvement de translation rectiligne uniforme de vitesse v suivant la direction Ox. À l'instant t = 0, le centre C de la boule passe par l'origine 0. Un point M est repéré par r = CM et 0 = (Cx, CM) (figure 1). 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Figure 1 : boule chargée en mouvement de translation Définir, en tout point M, en fonction de Q, R et v, le vecteur densité de courant j. On notera jim et j... les vecteurs densité de courant, respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de la boule de rayon R. Exprimer, d'après la loi de Biot et Savart et à l'instant t = O, le module B... du champ magnétique B... au point M extérieur à la boule, en fonction de Q, v, r et 0. Déterminer la circulation C B de B..., le long d'un contour circulaire (T') du plan yOz ext (EUR = 15/2), centré en O et de rayon r = R légèrement supérieur à R (on supposera que B...(r > R) : B...(r "' R )). Exprimer le flux CD,-- de la densité de courant j à travers une surface qui s'appuie sur (F). En déduire que le théorème d'Ampère appliqué à la densité de courant j sur (F) n'est pas vérifié. Quelle en est la cause ? III. 11.6 En régime variable, le théorème d'Ampère doit s'appliquer à la densité de courant: J = j + 50 % où j est la densité de courant définie en 11.1. , ôE , . [1.6.1 Que represente le terme 50 î dans l expressmn de J ? [1.6.2 Exprimer les champs EiIlt et Eext trouvés en 1.3 respectivement en fonction de gradM (r2 ) = 2r et de gradM (1/ r) = --r/ r'. [1.6.3 Montrer que : E. E a .... =Êgrade 

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Tailleur (Chercheur au CNRS) ; il a été relu par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) et Vincent Freulon (ENS Ulm). Comme souvent pour cette épreuve du concours CCP, le sujet est constitué de deux problèmes indépendants : un d'optique et un d'électromagnétisme. · Le premier problème vise à étudier le fonctionnement d'un appareil photographique : mise au point, objectif bifocal, profondeur de champ, macrophotographie, luminosité. La première partie utilise exclusivement l'optique géométrique et plus précisément les systèmes constitués de plusieurs lentilles minces, tandis que la seconde aborde la diffraction de Fraunhofer. · Le deuxième problème aborde un grand « classique », le champ électromagnétique créé par une boule uniformément chargée. Trois cas sont pris en compte : la boule au repos, en translation rectiligne uniforme, puis en rotation autour d'un axe fixe. Dans le premier cas, on est dans le cadre de l'électrostatique ; dans le deuxième, c'est quasiment de la magnétostatique et dans le dernier, on utilise la notion de moment magnétique. Grâce à des considérations énergétiques, on applique les résultats pour obtenir une approximation classique du rayon de l'électron et de son moment magnétique « de spin ». Si le sujet est relativement long, les questions sont de difficulté modérée et constituent d'excellentes révisions du cours. Certaines peuvent sembler déroutantes et il est important de ne pas bloquer trop longtemps sur un point précis, puisque sauter une question est rarement pénalisant pour la suite. Les questions les plus délicates ne requièrent pas de calculs compliqués, mais simplement de prendre un peu de recul ­ et de faire de bons schémas, pour l'optique géométrique. Indications A. Optique I.2 La mise au point est nécéssaire si la variation de tirage t > 5 mm. II.1.a Calculer l'image A d'un point A de l'axe focal par (L2 ), puis l'image A de A par (L3 ). Relier alors O2 A et O2 A grâce aux relations de conjugaison des lentilles (L2 ) et (L3 ). Attention, f i2 = -60 mm < 0. II.1.b Un système afocal fait l'image à l'infini d'un objet à l'infini. II.2 Remarquer que l'on peut passer de (a) à (b) en retournant l'axe optique. II.3 Comparer les trajectoires de deux rayons parallèles passant par le foyer objet et par le centre de la lentille équivalente à (L2 ) + (L3 ). II.4.c L'énoncé est erronné et il faut considérer le cas où l'angle correspond à l'angle fait par le faisceau de rayons incidents sur la lentille (L2 ). III.2 En notant A l'image d'un point A par (L5 ), puis A l'image de A par (L1 ), l'image de A est nette si O1 A est égal à f i1 + t. Utiliser les relations de conjugaison pour en déduire x. III.3 Ne pas tenir compte de « minimal » et utiliser le résultat de la question III.2. I.1 Utiliser le théorème de Thalès dans les triangles de sommet Ao1 , puis dans ceux de sommet Ao2 . I.2.b Le nombre d'ouverture est le rapport entre la focale et le diamètre du diaphragme. est typiquement entre 5 µm et 30 µm. B. Électromagnétisme - II.1 On rappelle que = - v. - II.2 Le vecteur étant constant, on peut le mettre en facteur devant l'intégrale. Reconnaître alors l'expression du champ électrique calculée précédemment. II.3 Le plan contenant M et l'axe (Ox) est un plan de symétrie pour la distribution - de courants, B est donc suivant - e. ext II.4 Choisir comme surface le disque s'appuyant sur (). II.6.3 Les dérivées temporelles et spatiales commutent. y et z sont constants, tandis que x varie au cours du temps. Attention au signe de x. - II.6.5 La surface étant une calotte sphérique de centre C, d S = dS - er . Ainsi, seule la composante radiale de J intervient dans le théorème d'Ampère. Vérifier que - l'expression de B ext (M) obtenue est en accord avec celle calculée grâce à la loi de Biot et Savart à la question II.2. III.1 Un élément de spire porte la charge 3 Q = d . Il suffit d'intégrer le long de la spire pour obtenir sa charge totale. Le courant électrique est égal à la charge électrique totale divisée par la durée d'une révolution de la spire. A. Optique I. Étude de deux composants essentiels, l'objectif et le pentaprisme I.1 La relation de conjugaison des lentilles minces s'écrit 1 1 1 - = f i1 OAi OA0 Or, OA0 = -x et OAi = f i1 + t, donc 1 1 1 = - f i1 + t f i1 x Ainsi, d'où t = f i1 x - f i1 x - f i1 t = f i1 f i1 x - f i1 Remarquons que lorsque x tend vers l'infini, le tirage tend vers 0, ce qui correspond bien au fait que l'image d'un objet à l'infini est au foyer image. Réciproquement, lorsque x tend vers f i1 , le tirage tend vers l'infini puisque l'image d'un objet situé au foyer objet est à l'infini. Par ailleurs, on pouvait également utiliser la relation de conjugaison avec origine aux foyers Fo1 A0 · Fi1 Ai = -f i1 2 où Fo1 désigne le foyer objet de (L1 ). En remarquant que Fo1 A0 = f i1 - x et Fi1 Ai = t, on obtient alors directement t= f i1 2 x - f i1 I.2 Lorsque l'objet est à l'infini, son image est au foyer image et le tirage est nul (ce qui est confirmé par la formule précédente t 0 pour x ). Lorsque x = 100f i1, le tirage est égal à t100f i1 = f i1 f i1 f i1 = 100f i1 - f i1 99 La variation de tirage est t = |t - t100f i1 |. Par conséquent, f i1 = f i1 = 0,51 mm 99 Sachant que la mise au point mécanique n'a de sens que pour un tirage d'au moins un demi-millimètre, L'intérêt de la mise au point est marginal. I.3 Lorsque x = 10f i1, le tirage doit être égal à t10f i1 = f i1 9 La variation du tirage entre x = 100f i1 et x = 10f i1 est t = |t100f i1 - t10f i1 |, d'où t = f i1 10 = 5,1 mm 99 La variation de tirage nécessaire est égale à environ 10 fois le déplacement mécanique minimal pour que la mise au point ait un sens. La mise au point est donc nécessaire dans ce cas. II.1.a On note A l'image par la lentille (L2 ) d'un point A de l'axe optique. La relation de conjugaison des lentilles minces appliquée à (L2 ) s'écrit 1 1 1 - = f i2 O2 A O2 A On note ensuite A l'image de A par la lentille (L3 ). Comme O2 et O3 sont confondus, la relation de conjugaison des lentilles minces s'écrit pour (L3 ) 1 1 1 - = f i3 O2 A O2 A En sommant ces deux équations, on obtient alors la relation entre O2 A et O2 A : 1 1 1 1 f i2 + f i3 - = + = f i2 f i3 f i2 f i3 O2 A O2 A On reconnaît la relation de conjugaison d'une lentille mince de centre O2 et de focale f i23 = Fi23 O2 f i2 f i3 = 84 mm f i2 + f i3 (L2 )+(L3 ) Attention, il faut prendre f i2 = -60 mm < 0. f i23 > 0 et le système (L2 ) + (L3 ) est équivalent à une lentille mince convergente. II.1.b Un système afocal est un système qui forme une image à l'infini d'un objet placé à l'infini. Pour qu'un système composé d'une lentille convergente suivie d'une lentille divergente soit afocal, il suffit que le foyer image de la première lentille corresponde au foyer objet de la seconde. Cette condition s'écrit O2 O4 = f i23 + f i4 = f i2 + si bien que O2 O4 = f i2 f i2 f i3 f i2 + f i3 f i2 + 2f i3 = 24 mm f i2 + f i3