CCP Physique 2 MP 2010

Thème de l'épreuve Optique. Électromagnétisme.
Principaux outils utilisés optique géométrique, optique ondulatoire, ondes, électromagnétisme
Mots clefs miroir plan, coin de cube, interféromètre de Michelson, réflexion, miroir de Lloyd, interférences à deux ondes, division du front d'onde, miroirs de Fresnel, brouillage, onde plane, paquet d'onde, vitesse de groupe, vitesse de phase, vitesse de propagation de l'énergie, conducteur parfait, relation de dispersion, résonateur électromagnétique, guide d'ondes, vecteur de Poynting

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                 

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2010 MPP2008 A (ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** Partie A : OPTIQUE Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes : l'étude de la réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des applications diverses illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées. Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras. -- ]. Miroirs plans --- Réflexion 1.1. Le miroir plan 1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface plane {P} et parvient au point B (figure 1). A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que le chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée. SESSION 2010 MPP2008 A (ORCOURS COMMUNS POIYTECÜNIOUÉS EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** Partie A : OPTIQUE Le problème d'optique sur les miroirs plans comprend deux parties indépendantes : l'étude de la réflexion, suivie de celle du phénomène d'interférence entre deux ondes. Des applications diverses illustrent ces différentes parties et ne devront pas être négligées. Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras. -- ]. Miroirs plans --- Réflexion 1.1. Le miroir plan 1.1.1. Un rayon lumineux issu d'un point A se réfléchit en I sur une surface plane {P} et parvient au point B (figure 1). A partir des lois de Descartes, montrer, par un raisonnement de géométrie, que le chemin optique [AIB] est minimal, la position des points A et B étant fixée. 1.1.2. Application: Dans léplan xOy, deux rayons lumineux issus du point A (O, +a) se réfléchissent sur { P} aux points J et K (figure 2). y A (1) (2) +a &» " {P} X 0 /Jx' K ! figure 2 Écrire les équations des droites représentatives des rayons réfléchis ( l) et (2) en fonction des tangentes des angles 9, == (AO, AJ) et 9, == (AO, AIO puis calculer les coordonnées du point C, intersection des rayons (l.) et (2). Quelle est alors l'image du point A ? En déduire une propriété caractéristique du miroir plan. 1.2. Association de deux miroirs Expériences réalisables en « Travaux Pratiques » où l'objet ponctuel. A et la source ponctuelle S sont lumineux. 1.2.1. Les miroirs sont parallèles et distants de d (figure 3). (m2) (ml) A 9 ' V X d '? figure 3 Un objet ponctuel A situé entre les miroirs à la distance x de (um) donne par réflexions successives sur les miroirs (m1) et (m2) une série d'images sur l'axe X'X. On note A; l'image de A par réflexion sur (m1), puis Az l'image de A par réflexion sur (m1) puis sur (m3), etc. Déterminer, en fonction de X et d, les abscisses AA1 , AA2 , AA3 et AA4 d'origine A, des images A1, A2, A3 et A4 et en déduire celles des_images AN suivant que N est pair ou impair. Quel est le nombre d'images que l'on observe '? 1.2.2. Les miroirs forment un angle a (figure 4). Un objet ponctuel. A situé entre (ml) et (m3) est repéré par l'angle (OA, (ml)) == 6. La série d'images (A1, AZ,...,AN,...) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur (m1), tandis que la série (A-{,AÊ,_, ..... ,AÇ,.,...) correspond aux rayons réfléchis d'abord sur (m2). Déterminer les positions angulaires (OA, CAN) et (OA, OAÂ,) des images AN et AZ,. pour N pa1r et 1mpa1r. Quel est le nombre d'1mages d1st1nctes observees 81 a = ---- avec P ;) entier ? 1.2.3. Les miroirs sont en position « Michelson >> (figure 5). Y . M2 (1112) A S M 0 ' X (L) (1111) oeil ? figure 5 Dans le trièdre Oxyz, les points S, O, M; et M2 appartiennent au plan Oxy. On donne : OS:--15 cm., OM1 : OM2 =+5 cm. Les miroirs (m,) et (m2) sont respectivement parallèles aux plans Oyz et OXZ. La lame semi--réfléchissante (L), d'épaisseur négligeable, est située dans le plan bissecteur des plans des deux miroirs. Les rayons lumineux transmis par (L) ne sont pas déviés et les rayons réfléchis sur (L) se comportent comme dans le cas du miroir plan. Les images obtenues S; et SZ de la source ponctuelle S à travers le système optique s'observent dans la direction Oy par un observateur situé dans les ynégatifs. On note : SÏ : l'image de S à travers (m.) 81 : l'image de S{ à travers (L) S' : l'image de S à travers (L) 82 : l'image de S' à travers (m2). 1.2.3.1. Préciser les axes sur lesquels se trouvent les images S', S, S; et 82 puis déterminer leurs positions en exprimant les valeurs de: 05' , OS," ,ÜÎSÎ et 052 . 1.2.3.2. Le miroir (nn) est translaté de 1 cm vers les X positifs. Recalculer les quatre valeurs précédentes. 1.2.3.3. Le miroir (ml) ramené à sa position initiale, subit une rotation d'un angle }/= --5" (sens inverse du sens trigonométrique). Représenter schéma-- tiquement les positions des images S' , Sî , 81 et 82. 1.3. Association de trois miroirs 1.3.1. Association en « coin de cube » Trois miroirs plans sont associés pour former un trièdre rectangle Oxyz. Un rayon lumineux de vecteur unitaire u= (a, ,6, y) se réfléchit successivement sur chacun des trois miroirs. Exprimer en fonction des composantes de a, les vecteurs unitaires u,, u2 et 113 après réflexions respectives sur les miroirs plans OXZ, Oyz et Oxy. Que peut--on en conclure ? 1.3.2. Application : Réflecteurs lunaires. Depuis l'année 1969, où des réflecteurs à «coin de cube » ont été déposés sur la lune par les sondes soviétiques (Lunakhod) et par les missions américaines (Apollo), la télémétrie Terre--Lune par impulsion laser s'est affinée pour déterminer avec précision la distance Terre-Lune (ah,). On envoie une impulsion lumineuse à l'aide d'un laser dirigé vers la Lune, qui tombe sur le réflecteur et qui se trouve réfléchie vers son point de départ sur la Terre. Point de départ et point d'arrivée du signal sont au niveau du foyer d'un télescope placé à la surface de la Terre. 1.3.2.1. Calculer cette distance du, sachant que le temps écoulé entre l'émission et la réception du signal est de: t = 2 563 ms. Vitesse, supposée exacte, de la lumière dans le vide : (:= 300 000 kms"1 . 1.3.2.2. On cherche maintenant à estimer le rapport entre l'énergie détectée au retour par rapport à l'énergie envoyée au départ. On détermine un rendement «aller» pA rapport entre l'énergie reçue par le réflecteur et l'énergie émise . . . , . . a . par le laser, qu1 sera pris egal au rapport des a1res : pA =--l-- avec an ane du A réflecteur lunaire et A} aire de la tache lumineuse du faisceau laser sur la a, A, A; aire de la tache lumineuse réfléchie sur la Terre par le réflecteur lunaire. Quel est le rapport entre l'énergie émise par le laser et celle reçue en retour par le télescope ? On suppose qu'il n'y a pas de perte à la réflexion sur les miroirs et on néglige l'effet de l'absorption atmosphérique. Lune. De même le rendement «retour» p R : avec a; aire du télescope et Données : Ouverture du faisceau laser, cône cr1 z 4"d'arc . , . 2 Ane du reflecteur luna1re : 31 = 0,45 m Ouverture du faisceau réflecteur, cône &, z lO"d'arc Diamètre du télescope : DT : 1,5 m Distance Terre--Lune : du 2. Miroirs plans ---- Interférences 2.1. Miroir de Lloyd On considère le dispositif interférentiel du miroir de Lloyd composé d'un miroir plan AB, de largeur let d'un écran placé en B, orthogonalement au plan du miroir. Une source ponctuelle S, située à une hauteur 11 au--dessus du plan du miroir et à une distance d de l'extrémité A du miroir, éclaire celui-ci sous incidence rasante (11 << d+1), d'une lumière de longueur d'onde À. Les faisceaux, direct et réfléchi par le miroir, contribuent aux interférences observées en un point M de l'écran (figure 6, page suivante). 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. M "'!4 w M d I figure 6 Ce dispositif est--il a division du front d'onde ou a division d'amplitude ? Quelle est la conséquence sur les intensités [; et 12 des faisceaux issus des sources secondaires S] et SZ '? Positionner les sources secondaires 81 et 82 dans ce dispositif interférentiel et délimiter le Champ d'interférences dans le plan de la figure 6. Contrairement au rayon direct, le rayon réfléchi subit, lors de la réflexion, un déphasage de TC. Ces sources secondaires sont-elles cohérentes ? synchrones ? en phase ? Déterminer la différence de marche optique 5 et l'ordre d'interférence p au point M (BM 3 x) en fonction de À, 17, ], d et X. En déduire l'expression de l'intensité lumineuse [(X) en M. Quelle est la forme des franges obtenues ? Déterminer la position et la nature de la frange centrale. Exprimer l'interfrange 1' et en déduire le nombre N de franges que l'on peut observer sur l'écran en fonction de À, 17, let d. Application numérique : Calculer 1' et Ng, nombre de franges brillantes, sachant que : À 3 632,8 nm, !] ===--l mm, 13 30 cm et d= 50 cm. Application : Un bateau en mer à 10 km de la côte veut capter une émission radio FM de fréquence 100 MHZ. Le faisceau parallèle, provenant de l'émetteur situé sur la côte, se réfléchit en partie sur la mer et le dispositif s'identifie à celui du miroir de Lloyd (figure 7). zÿteau \ H \ ; --M(z) 0 -- I' Aflt' : ' mer figure 7 2.1.6.1. Par mer calme, celle-ci se comporte comme un miroir parfait : pour quelle raison l'émission de radio est--elle mal perçue quand l'émetteur est situé à une hauteur de 10 m et la perception bien meilleure quand celui-ci se trouve sur une colline à une hauteur de 700 m ? On justifiera la réponse en calculant l'interfrange i ' au niveau du bateau qui fait office d'écran. Ce calcul nécessite celui de la différence de marche géométrique A'= 22 sin6 (_ à démontrer), de la différence de marche optique d', de l'ordre d'interférence p'(z) et éventuellement celui de l'intensité vibratoire I'(z). L'interfrange 1" s'exprimera en fonction de la longueur d'onde émettrice Â' et de l'angle 6 indiqué sur la figure 7. 2.2. 21.62. Par mer agitée, celle--ci se comporte comme un miroir imparfait : la vibration propagée par le faisceau parallèle est perpendiculaire au plan d'incidence, avec un facteur de réflexion du miroir imparfait R, = 80 %. Exprimer, en fonction de [} (intensité du faisceau direct) et [ '; (intensité du faisceau ! ! ° o . ,.-. [, "" [, . reflech1) purs en fonct10n de R_L , le contraste "rfi" = --îOE-"------ÎÆL. + max min Calculer %pour R,= 80 %. La perception des ondes est--elle bien contrastée quand l'antenne réceptrice se déplace le long du mât du bateau '? Miroirs de Fresnel On considère le système interférentiel des miroirs de Fresnel (figure 8). Les miroirs (M1) et (M,--;), d'arête commune (A), font entre eux un angle a==3' et sont éclairés par une source ponctuelle S située à la distance d = 60 cm de (A), dans le plan de symétrie du système perpendiculaire à (A). Les miroirs donnent de S deux images S; et 82. Les interférences sont observées dans un plan (E) parallèle à (A) et perpendiculaire au plan médiateur de 8182 à la distance D = 1,40 m de (A). La position d'un point P sera repérée par sa distance X à l'axe (yiy), intersection du plan médiateur de S;Sz avec (E). S 2.2.1. La source (laser lle--Ne) émet de la lumière monochromatique de longueur d'onde flo == 632,8 nm.. 2.2.1.1. Exprimer la différence de marche optique ô(x) et l'intensité lumineuse [(P) dans le plan (E) en fonction de [O, a, (1, D, X et 2.0. ([ 51 === [S2 = [0 : intensité commune des sources secondaires). 2.2.1.2. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques de l'interfrange 1' et de la largeur [du champ d'interférences. 2.2.2. La source S (lampe spectrale) émet deux radiations lumineuses de même intensité [ '0 et de longueurs d'ondes Â1 = 577,0 nm et Â2 = 579,1 nm (doublet jaune du mercure). 222.1. Établir l'expression de l'intensité [(P) en un point P de (E) et montrer qu'elle s'écrit sous la fom1e : ['(X) == 4[(', {l + cos[2m5(x). 1'(Àl , Â.,)] .cos[2rt.ô(x).g(Â1 , Â,)]} où l'on définira les fonctions f et g. 2.2.2.2. Montrer que, en théorie, des mesures sur le graphe de l'enregistrement de [ '( X) permettraient de déduire les valeurs des deux longueurs d'ondes. Le dispositif étudié ici permet-il effectivement de calculer /l, et xl, '? Justifier votre réponse. Partie B : ELECTROMAGNETISME Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes: une première partie « Onde quasi-monochromatique » comme approches mathématique et physique de l'onde monochromatique, suivie d'une seconde partie où deux plans conducteurs parallèles se comportent soit en « résonateur électromagnétique », soit en « guide d'ondes » pour une onde qui se propage à l'intérieur de ces plans. Représentation des grandeurs scalaires : &, AB et vectorielles : &, AB En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : @, AB, 2, A_I_ä_' Notation du produit scalaire (F - G) et vectoriel (F >< G) des deux vecteurs F et G. Célérité des ondes dans le vide : c= 3><10"7 H.m" l ---------------F.m°"l 361t><109 Permittivité du vide : 80 = l. Onde quasi--monochromatique Une onde plane progressive monochromatique : ï{(z, [) : Y{,.e--""""'"' (où j2 = ------l) d'amplitude . . . . (0 % en tout pomt, de pulsat1on co et de vecteur d'onde k, se propage a la wtesse v= ; dans tout l'espace, la variable 2 prenant toutes les valeurs de l'intervalle]--oe,+oe[. Cette onde est mathématiquement acceptable si elle satisfait à l'équation de propagation des ondes et physiquement acceptable si l'énergie Wæ foe'gf_(z,t)lz dz transportée par cette onde à chaque instant est finie. 1.1. L'onde Fl_{ ( z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? Vérifie--telle la condition énergétique '? 1.2. On construit une nouvelle fonction 'I_{'( z,t) : '£_',(z,t)+'£,(z,t) en superposant deux ondes planes progressives monochromatiques de fréquences voisines, de même amplitude et se déplaçant ensemble à la même vitesse : ' - =w ----Aw k = k -----Ak Î1(Zaï)= A-6'ka'2) et Î2(Z,t)=Ae""5t"kfi) avec{w1 0 et { 1 0 w,=w0+Aw k,=k0+Ak 1.2.1. Montrer que '_z_'_"( z, t) : 5"J(z, t).e"'"°'°"°" en exprimant 'PO'( 2, t) sous sa forme réelle. Quelle est l'expression de la vitesse V du maximum de l'amplitude de l'onde résultante 'I__{'( 2, t) '? 1.2.2. L'onde Î_"(z,t) est--elle solution de l'équation des ondes '? Vérifie--telle la condition énergétique et en quoi diffère--t--elle de Y_'(z,t) ? 1.3. En superposant un plus grand nombre d'ondes monochromatiques de fréquences voisines et de même amplitude, on parvient à la notion de « paquet d'ondes » ou « d'onde quasi- monochromatique » où les vecteurs d'ondes [( sont contenus dans un petit domaine Air de valeur centrale ko. L'onde résultante de la superposition de p ondes Y_{p(z, {) : A.e' où l'on exprimera YÇ,ÎZ, !) . 1.3.3. Dans '£"(z,t) , quel est le terme qui suscite le caractère monochromatique de l'onde '? Quelle relation doit--il exister entre la constante A et le domaine Ak pour obtenir une condition énergétique physiquement acceptable de .'{_'"( z,t) ? Que peut--- on conclure quant à la vitesse Ve de propagation de l'énergie '? , +oo -- *- , sm u Donnee : I { ) du=1t. ...... u 1.3.4. Pour une onde quelconque, montrer que vg peut s'exprimer en fonction de V.,, co et dV$ da) Application : Dans le cas d'ondes électromagnétiques se propageant dans un guide . , . . . ca) d'ondes, la v1tesse de phase est donnee par la 101 de d1spers1on : V,, = 7 7 q . a)" -- c"a"' Calculer Vg. Commentaire. 2. 2.1. 2.2. 2.3. Onde entre deux plans parfaitement conducteurs. Dans l'espace rapporté au repère orthonormé direct Oxyz, on définit la base (ex, ey, ez). On dispose de deux plans métalliques parallèles au plan yOz et d'équations X = 0 et .r= &. Dans l'espace vide entre ces plans conducteurs, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique sinusoïdalede pulsation co et polarisée rectilignement suivant Oy. Suivant le sens de propagation de l'onde, les deux plans métalliques joueront le rôle de «résonateur électromagnétiqoe » (figure 2) ou de « guide d'ondes » (figure 3). X a ___________________________________________________________________ f--- .-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:?:ï:ï:ï:ï:èô:àdu©teùi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" M ___ ex EA V1de [( O .................................. e,. .-:ï:ï:ï:èz':ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ïédndiiètèufi:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" 2 Y figure2 À? 3 .................................. "T"" .-:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï.é9hdùfitèùrï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" M __ ex , v1de EI kg 0- . .............................. ey -'ï'ï°ï'è'zï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:bixùdiiÇï®r}:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï:ï" Z y figure3 Montrer que dans un conducteur parfait, en l'absence de champ statique, nous avons: E :O , B: 0 , j = 0 , p = O(champ électrique, champ magnétique, densité volumique de courant et densité volumique de charges). Compléter les quatre relations de passage ci--après concernant les champs E et B au niveau de la surface d'équation X = 0 entre le conducteur parfait (milieu 1) et le vide (milieu 2). Les composantes de E et B seront indicées T (tangentielles) et N (normales) et nous poserons 05 et js respectivement la densité surfacique de charges et le vecteur surfacique de courant. Relations: (l) E,.2 "Eîi : ; (2) EN2 "EN, : ; (3) BT2 ----BTl :: ; (4) BN2 "BN, : Montage en « résonateur électromagnétîqae » (figure 2) L'onde électromagnétique incidente (L}, _B_,--), polarisée rectilignement et parallèlement à Oy, se propage vers le métal dans le sens du vecteur d'ondek : ----k.ex. En notation complexe, le r - ' -- r ' k. champ electr1que 1noedent est donne par : _E, = E, e"""" "e,. 2.3.1. Déterminer, à l'aide de l'équation de structure d'une onde plane, le champ magnétique incident _l},-. 2.4. 2.3.2. En utilisant les relations de passage des composantes du champ électrique, déterminer le champ _l:Ï,(O, [) de l'onde réfléchie sur le plan conducteur d'équation .r= O, et en déduire les champs électrique _E_} et magnétique Q,. de l'onde réfléchie en tout point de l'espace. 2.3.3. Exprimer le champ électrique total _E(X, [) et le champ magnétique total Ë(X, [) à l'instant t en un point M(x, y, z) de la cavité. En déduire le rapport des modules des E champs complexes ------- en fonction de c, [( et X. B 2.3.4. Montrer que la fréquence de l'onde dans cette cavité ne peut prendre que des valeurs discrètes & exprimées à l'aide de l'entier N. Application numérique : Calculer la fréquence propre minimale de ce résonateur pour une distance a = 3 cm entre les plans métalliques. L es résultats des quatre ques tions suivantes seront exprimés en fonction de EUR... C, E... a etpourN:l . 2.3.5. Déterminer le vecteur de Poynting R(X, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle ;. Commenter le résultat. 2.3.6. Calculer la densité volumique d'énergie électromagnétique u(x, t) puis sa moyenne temporelle t en fonction de 80 et E0. 2.3.7. Déterminer le vecteur densité surfacique de courant j,(t) qui parcourt à l'instant tla plaque métallique, à l'interface métal--vide, en x= 0. 2.3.8. En déduire, en fonction de 80 et E), la pression électromagnétique moyenne df , , temporelle < P>F<ä'ÿ> exercee par londe sur cette plaque, sachant que , _ B(O,t) _ , ,, , df : JS(Ï)dS >< 2 est la force de Laplace exercee sur l element de surface dS du plan métallique d'équation X = O. _ Application numérique : On donne la valeur EO = 100 V.m"l ; calculer . et < p> {, Montage en « guide d'ondes » (figure 3, page 9) On considère une onde électromagnétique (fil, 51), progressive, monochromatique, se propageant dans le vide entre deux plans conducteurs distants de &, suivant la direction de Oz et telle que le champ électrique reste parallèle aux deux plans. On impose que la forme de _E1 est : _El(x, z, :) == E,(x) e'(wt'kgz'e ), . 2.4.1. Exprimer l'équation de Maxwell--Faraday et en déduire que _Ig'1 est de la forme : _B,(x,z,t)=[F(X)ex+jG(x)ez]e'W--ng', sachant que l'on exclut de _l}_'1 toute composante statique. Expliciter les fonctions F(X) et G(X). Justifier l'attribution du sigle « T.E » à cette onde. 2.4.2. Exprimer l'équation de Maxwell-Ampère et en déduire l'équation différentielle vérifiée par l'amplitude E](X) du champ électrique. Les champs E1 et fil vérifient-ils les deux autres équations de Maxwell '? Justifier votre réponse. 2.4.3. Résoudre l'équation différentielle vérifiée par E] (X) et donner la solution dans le cas . (0 . . , . . . _ ou [(EUR < ---- , sachant que le champ electrique El ver1fie des conditions sur les plans c conducteurs du guide d'ondes. On notera a l'amplitude de la solution obtenue pour 51 (X) et on introduira un nombre entier Nl, non nul et positif, dénombrant Nl « modes » de propagation. 2.4.4. Connaissant E](X), déterminer les expressions, en représentations complexe et réelle, des champs électrique E1 et magnétique _là. 2.4.5. Exprimer kg en fonction de a), c, Nl et a. Quelle est la fréquence de coupure fc en dessous de laquelle la propagation de l'onde n'existe pas ? Calculer numériquement 12pour le mode N] = 1 eta = 3 cm. Les 1*ésultaz's des cinq questions suivantes seront exprimés pour N 1 = 1. 2.4.6. On nomme f la fréquence de l'onde. Exprimer la vitesse de phase V,, en fonction de 1" c et du rapport ---£- . !" Application numérique : Calculer numériquement v,, pour f= 3 12. 2.4.7. Déterminer le vecteur de Poynting R1(x, z, t) de l'onde résultante et en déduire sa moyenne temporelle [. 2.4.8. En déduire le flux énergétique moyen @... à travers une surface S perpendiculaire à l'axe Oz et de largeur b suivant la direction O y. On introduira la vitesse de phase V,, dans le résultat de ®.... 2.4.9. Exprimer la densité volumique d'énergie électromagnétique ul(x, z, t) et sa moyenne temporelle ;. 2.4.10. Calculer l'énergie électromagnétique localisée en moyenne dW..., dans un volume d'épaisseur dz et limité par deux surfaces S perpendiculaires à Oz. En déduire la vitesse de propagation de l'énergie moyenne v,. en fonction de v., à travers les surfaces S perpendiculaires à Oz. Commenter le résultat. f Représenter sur un même graphe V9 et V,, en fonction du quotient des fréquences ? . C Positionner sur le graphe les points représentatifs de V6. et v,, correspondant à l'application numérique de la question 2.4.6. Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé à l'université) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants. · Le premier problème aborde différents aspects de l'optique des miroirs plans : réflexion et interférences entre deux ondes sont discutées, le tout assorti de quelques applications. On peut vite se perdre dans la partie d'optique ondulatoire si l'on ne maîtrise pas le dispositif de base des interférences à deux ondes (trous d'Young), que l'on retrouve constamment. Les différentes sous-parties ne sont indépendantes qu'en apparence, aussi ne faut-il pas négliger les premières questions d'optique géométrique (elles n'utilisent que le programme de sup) qui sont importantes pour la fin du problème. L'ensemble reste largement abordable et constitue un catalogue quasi exhaustif des dispositifs interférentiels classiques par division du front d'onde. · Le second problème est intitulé « Électromagnétisme ». Toutefois, l'étude menée sur les ondes quasi-monochromatiques est également valable pour tout problème de physique des ondes. On discute des limites du modèle de l'onde plane et de son amélioration via la notion de paquet d'onde. Cette partie, assez calculatoire et technique, n'est cependant pas très difficile. Enfin, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques entre deux plans parfaitement conducteurs, ce qui permet de travailler la notion de relation de dispersion et les aspects énergétiques. Les deux problème sont de longueurs sensiblement égales et la difficulté des questions est constante. Le jour du concours, face à un tel sujet, il est préférable de commencer par ce qu'on sait le mieux traiter (d'où l'importance de toujours lire l'énoncé avant de composer). La partie d'optique ondulatoire est assez riche et peut servir d'approfondissement ; celle sur les ondes électromagnétiques est bien guidée et peut être utilisée pour vérifier l'assimilation du cours. Indications Partie A 1.1.1 Quel est le plus court chemin pour relier deux points ? 1.2.1 Ne pas oublier que les distances demandées sont algébriques. 1.2.2 Montrer que le problème se ramène à celui de la question 1.2.1 en remplaçant les distances par les angles. Si = /p, montrer que les deux séries d'images se recouvrent. 1.2.3.3 À une rotation de du miroir correspond une rotation de 2 d'un rayon réfléchi. 2.1.3 Pour déterminer la différence de marche, utiliser la même méthode que lors de l'étude des trous d'Young. Attention de ne pas oublier le déphasage de à la réflexion métallique. 2.1.4 La frange centrale est celle dont l'intensité ne dépend pas de la longueur d'onde. 2.1.5 À une frange brillante correspond un ordre d'interférence entier. 2.1.6.2 Le coefficient de réflexion est celui en intensité. 2.2.1.2 Pour trouver le champ d'interférences, tracer les rayons frappant les extrémités de chaque miroir. 2.2.2.1 La source émet deux longueurs d'onde différentes et de ce fait incohérentes. Partie B 1.2.1 La vitesse V recherchée n'est pas la vitesse de phase, c'est celle liée au déplacement de 0 (z, t). 1.3.3 Effectuer le changement de variables u = (v g t - z) k/2 et utiliser le formulaire. Pour déterminer la vitesse de propagation de l'énergie, déterminer l'énergie contenue à l'instant t entre les positions z et z + dz. 1.3.4 Comparer les vitesses de phase et de groupe à la vitesse de la lumière. 2.1 Utiliser la loi d'Ohm locale. Un conducteur parfait est caractérisé par une conductivité infinie. Exploiter ensuite les différentes équations de Maxwell. 2.3.2 Le champ électrique réfléchi a la même direction que le champ incident. Utiliser alors la question 2.2. Attention au sens du vecteur d'onde réfléchi. 2.3.4 Que vaut le champ électrique en x = a ? 2.3.5 Pour calculer le vecteur de Poynting, utiliser les champs réels. 2.4.10 Écrire l'énergie traversant la surface S pendant dt soit en fonction de son flux (question 2.4.8), soit en fonction de la densité volumique moyenne d'énergie (question 2.4.9) se propageant à la vitesse v e . A. Optique 1. Miroirs plans ­ Réflexion 1.1.1 Dans un milieu homogène isotrope, la lumière se propage en ligne droite. Soit A le symétrique de A par rapport au dioptre. Par construction, AI = A I et i = -i. D'après les lois de Descartes pour la réflexion, i = -i et donc i = i . Ainsi, les points A , I et B sont alignés. Soit n l'indice du milieu, supposé homogène. Le chemin optique s'écrit A B i i {P} I A J i [AIB] = n A IB Considérons un rayon issu de A et passant par B frappant le dioptre en un point J 6= I comme illustré sur la figure ci-dessus. Par construction, [AJB] = n AJB = n A JB Or, le chemin le plus court pour relier deux points étant la ligne droite, A JB > A IB Dès lors, [AJB] > [AIB] Le chemin optique [AIB] est donc minimal. Le principe de Fermat, hors programme, stipule que la lumière parcourt le trajet de chemin optique extrémal et peut être considéré comme un des principes fondateurs de l'optique géométrique. Il permet entre autres de retrouver les lois de Descartes, même si ici on a fait l'inverse en montrant que ces dernières prouvent que le trajet est minimal. 1.1.2 Soit A le point symétrique de A par rapport au miroir. Par construction, OA = A O = a D'après la question 1.1.1, A appartient à la droite (1), qui passe par J = (a tan 1 , 0). Cette droite a pour coefficient directeur A O 1 = OJ tan 1 y A Son équation cartésienne est donc y(x) = a 1 (x - a tan 1 ) tan 1 y(x) = (2) 2 a soit (1) 1 x -a tan 1 O 1 J K {P} x A De même, pour la droite (2) représentative du rayon réfléchi passant par le point K, y(x) = x -a tan 2 Le point d'intersection C des droites (1) et (2) vérifie xC xC -a= -a yC = tan 1 tan 2 soit, comme 1 6= 2 , xC = 0 et yC = -a On remarque que C = A . L'image du point A par le miroir est donc le point C, symétrique de A par rapport au miroir. De plus, les coordonnées de C ne dépendent ni de 1 , ni de 2 . On peut généraliser le tracé à une infinité de rayons passant par A : ils semblent tous provenir d'un unique point C. Le miroir plan est parfaitement stigmatique. Le miroir plan est de plus aplanétique (l'image d'un plan est un plan) et son grandissement est unitaire. Pour obtenir une image plus grande, on peut par exemple utiliser un miroir sphérique et se placer dans les conditions de Gauss. Dans ce cas, le stigmatisme, tout comme l'aplanétisme, ne sont qu'approchés. 1.2.1 Les images successives du point A depuis une première réflexion sur (m1 ) sont indiquées ci-dessous : A1 est le symétrique de A par rapport à (m1 ), A2 celui de A1 par rapport à (m2 ), etc. (m2 ) A4 (m1 ) d A2 A A1 x x+d x x+d x+2d x+3d Ainsi, De même A3 x+2d x+3d AA1 = 2 x AA2 = AA1 + A1 A2 = 2 x - 2 (x + d) AA2 = - 2 d On poursuit le raisonnement pour écrire AA3 = AA2 + A2 A3 = -2 d + 2 (x + 2 d) AA3 = 2 x + 2 d Enfin, AA4 = AA3 + A3 A4 = 2 x + 2 d - 2 (x + 3 d) AA4 = - 4 d