CCP Physique 2 MP 2009

Thème de l'épreuve Écrantage d'un champ magnétique. Polarisation et diffraction des ondes lumineuses.
Principaux outils utilisés induction, polarisation des ondes lumineuses, diffraction
Mots clefs écrantage, ARQP, polarisation, dichroïsme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé complet

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 wc.--:o...-- .v " cm.--SQ « ...ËOOEÈË m--z ÊH--A--h - flDO--h--Uflhoe ËËÆH ......=o_z:uu-->dcm ":::--tou ...::euzcv ' SESSION 2009 A MPP2008 CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Partie A : ÉLECTROMAGNÉTISME Écrantage d'un champ magnétique Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras. On rappelle les expressions de la divergence et du rotationnel d'un vecteur en coordonnées cylindriques 6 A 6A 6A div(A) =_1__(îL)_+_l_ __Ê_+__À r ôr r 69 Ôz A ôA A A 6 A ôA rot(A)=(--l--Ô Z ------9]er+(Ô " ----5 Z)ea+--l--( (r 9)-- '" )ez rôô' 62 "à? ôr r ôr 56 On rappelle que rot(rot(A)) : grad(div(A)) ---A(A) et la valeur de la perméabilité magnétique du vide : ,uO = 47r10_7 H.m"' . On utilisera les coordonnées cylindriques (r,6', z) et la base locale associée (e,,eg,ez) . Dans tout le problème, on se place dans l'approximation des régimes quasi permanents. Les trois parties sont indépendantes. 1/9 PARTIE 1 On considère deux solénoïdes 21 et 22 coaxiaux, d'axe 02, de même longueur L =20 cm, de rayons '"1 =lOcm et r2 =5cm et comportant respectivement N1 =7OO et N2 =SOO spires jointives, enroulées dans le même sens (voir Figure 1). Dans toute la suite on négligera les effets de bord ; on considèrera donc les solénoïdes comme très longs. Ces deux bobines ont pour résistance respectivement R1 et R2 : 50Q . On pourra introduire les nombres de spires par unité de longueur nl. : --. {O 010 014 024 014 »}4 Figure 1. Vue en coupe longitudinale ]) Le solénoïde 21 est parcouru par un courant d'intensité i, 22 étant en circuit ouvert. a. Exprimer le champ magnétique B1 créé dans tout l'espace. le b. En déduire que le coefficient d'inductance L1 de 2 vaut #0 --Z--7[r12 ; donner 1' expression de L2 , l' inductance deZ 22 et calculer sa valeur numérique. c. Définir le coefficient de mutuelle inductance M entre les deux solénoïdes. Montrer que N1N2 7272. L 2 M=,uO 2) Le solénoïde 21 est alimenté par un générateur idéal de courant électromoteur io (t) = 10 cos(wt) avec 10 =1A ; les deux extrémités du solénoïde 22 sont reliées par un fil sans résistance. 21. Déterminer l'amplitude complexe du courant i2 (t) circulant dans 22 en fonction de M , L2 K] "(î--Lo et R2. La mettre sous la forme i2= ----------- O.n donnera l'expression de K en fonction de _ l+j--Cg-- C N] et N2 et celle de wc en fonction de R2 et L2. b. En déduire l'expression de l'amplitude complexe 132 du champ magnétique total à l'intérieur du solénoïde 22 . Montrer que ce champ tend vers 0 à haute fréquence. Commenter ce résultat. 0. Application numérique ; calculer cac ainsi que les amplitudes de i2 (t) et de 32 pour une B fréquence de 11 kHz. Calculer le rapport des amplitudes --Ë-- . 1 2/9 PARTIE II Le solénoïde 22 est remplacé par un cylindre conducteur de rayon intérieur r2 = 5cm , d'épaisseur h = 50um , de longueur L et de conductivité ;/ = 4.107S.m"1. On néglige à nouveau les effets de bord. Dans un premier temps, on assimile le cylindre à une surface. Le solénoïde 21 est traversé par un courant i() (t) = 10 cos(wt) . 1) 2) 3) Justifier rapidement que l'on puisse écrire js = )/ h E où js est la densité de courant surfacique sur le conducteur et E le champ électrique au même point. Justifier que js est orthoradial. a. Déterminer la direction du champ magnétique dans tout l'espace. b. Calculer le champ magnétique Be dans l'espace r2 < r < '"1-- c. Montrer que le champ magnétique Bi est uniforme dans l'espace r < r2 . (1. Déterminer la direction du champ électrique E pour r  : '1UoEURj(k'r+w > - vectorielle : _T_(r,t) : _Yj_(r)e"'"" avec _Yj (r) : 'E,e"""""'u . 1.1. Polarisation rectiligne 1.1.1. Définir l'état de polarisation rectiligne des ondes lumineuses représentées par les champs électrique E et magnétique B. Qu'appelle-t-on plan de polarisation ? 1.1.2. Donner, dans la base orthonormale {ex,ey,ez} , les expressions complexes des champs électriques 154 et __E_2 , associés aux ondes polarisées suivantes : - le champ 5.1 se propage suivant l'axe 2 et fait un angle de 30° avec l'axe x. - le champ _E_2 de polarisation rectiligne suivant l'axe x se propage dans une direction qui fait, dans le plan yz, un angle de 45° avec l'axe y. 1.2. Production et analyse d'une lumière polarisée rectilignement Décrire et placer schématiquement les éléments d'un montage permettant de produire une lumière polarisée rectilignement et de l'analyser. 1.3. Loi de Malus 1.3.1. Énoncer et formuler la loi de Malus. 1.3.2. Soit trois polariseurs linéaires parfaits P1, P2 et P3 alignés normalement à un axe central le long duquel se propage un rayon incident d'intensité Io issu d'une source de lumière naturelle. Les axes de polarisation de P1 et P3 étant respectivement horizontal et vertical, déterminer en fonction de 10 l'expression de l'intensité émergente le de P3 dans les cas suivants : 1.3.2.1. P2 a son axe de polarisation vertical. 1.3.2.2. P2 a son axe de polarisation orienté de 45° avec la verticale. 1.3.2.3. P2 tourne avec une pulsation ou autour de l'axe central. En déduire la pulsation de l'oseillation de l'intensité du rayon émergent. 1.4. Polarisation par réflexion 1.4.1. Phénomène de Brewster: Une onde électromagnétique plane se propage dans un milieu transparent d'indice de réfraction ... et tombe sur un dioptre sous un angle 5/9 d'incidence 91. L'onde est réfractée sous l'angle (% dans un milieu transparent d'indice de réfraction n2 > n1 . 1.4.1.1. L'onde incidente est polarisée rectilignement, le champ électrique E 1 étant perpendiculaire au plan d'incidence. En considérant le rayonnement de dipôles oscillants, peut--il exister des ondes réfléchies et réfractées quel que soit l'angle d'incidence 91 ? Justifier votre réponse. 1.4.1.2. L'onde incidente est polarisée rectilignement, le champ électrique E|| étant contenu dans le plan d'incidence. Expliquer pourquoi, pour un angle d'incidence HB (appelé angle de Brewster), le champ EIl n'est pas réfléchi. 1.4.1.3. Déduire, de la question précédente, l'expression de l'angle HB en fonction des indices nl et nz et calculer la valeur de GB pour le cas de la transmission air (n1= l)--verre (nz = 1,732). 1.4.1.4. L'onde plane incidente est issue d'une source de lumière naturelle. Après réflexion sur le dioptre, pourquoi la lumière se trouve--t-elle polarisée totalement quand l'angle d'incidence est HB ? 1.4.1.5. En déduire une méthode expérimentale pour déterminer l'axe d'un polariseur en présence d'une lumière naturelle. 1.5. Polarisation par dichroïsme (anisotropic d'absorption) 1.5.1. 1.5.2. 1.5.3. Cristaux dichroïques: La tourmaline (borosilicate naturel d'aluminium) présente, quand elle est traversée par la lumière blanche, une couleur verdâtre dans une certaine orientation et apparaît 0paque pour une autre orientation. Expliquer le phénomène de dichroïsme dans la tourmaline. Grille métallique : On considère une grille constituée de fils métalliques parallèles. La période d'espacement des fils est de l'ordre de la longueur d'onde de la lumière. Pourquoi cette grille présente-t--elle la propriété de dichroïsme ? Quel est l'état de polarisation à la sortie de la grille pour une lumière naturelle qui arrive perpendiculairement sur la grille (Figure 1) ? Feuilles polarisantes : Les polariseurs les plus courants sont réalisés avec des feuilles polarisantes. Expliquer la technique de fabrication et l'origine du dichroïsme de ces feuilles polarisantes. 1.6. Polarisation par diffusion 1.6.1. Diflusion par un électron atomique : On interprète cette diffusion dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié. L'électron de charge q = -- e, de masse m, est ° \ ! ° \ I ' 2 ' soum1s a un champ electnque E(t), a une force elast1que de rappel --mwor , ou r représente l'écart à la position d'équilibre et à une force de frottement visqueux m dr T dt . 1.6.1.1. Etablir la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l'électron quand le champ électrique E(t) est appliqué. 1.6.1.2. Déterminer, en représentation complexe, la solution particulière [_ correspondant au régime permanent (ou établi), sous la forme r =5mel"" jwt pour un champ : _E_(t) : _E_me 6/9 1.6.1.3. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit p et son module |_p' . 4753 MZ 6 380Â4 ) 1.6.1.4. Montrer que la puissance moyenne rayonnée par l'atome < P >= dans le cas de la diffusion Rayleigh (600 >> 60 >> --1--), est proportionnelle à r % 4 (Î) où 20 correspond àla pulsation cao. 1.6.2. Ciel bleu et soleil jaune. 1.6.2.1. Pourquoi le ciel terrestre est--il bleu ? Qu'en est--il de sa couleur en l'observant de la lune ? 1.6.2.2. Vu de la terre le soleil semble jaune, pourquoi ? Quelle est sa couleur, vue depuis l'espace ? 2. DIFFRACTION 2.1. Principe de Huygens-Fresnel L'interprétation quantitative, la plus simple, de la diffraction, repose sur une théorie ondulatoire dont les hypothèses de base, formulées par Huygens dès 1678, furent complétées par Fresnel en 1818 et synthétisées sous le nom de << principe de Huygens-Fresnel ». 2.1.1. Quelle est la contribution de Huygens ? 2.1.2. Quelle est celle attribuée à Fresnel ? 2.2 Diffraction de Fraunhofer D'après le principe de Huygens--Fresnel, l'amplitude complexe d'une onde monochromatique scalaire en un point M s'écrit : £ (M) = C JL _'EO (P) Êîl%LkÏ--)--dS où £O (P) est l'amplitude complexe de l'onde incidente en P de S, r = PM et k : --2--7--t-- le nombre d'onde de la vibration. 2 2.2.1. Dans l'expression de _'1_"_ (M) , que traduit le terme exp(jkr) et que caractérise la fonction --1-- ? Quelle est la dimension physique de la constante C ? 1" 2.2.2. On désigne par Oxy le plan pupillaire, comprenant le diaphragme fl), Oz l'axe normal à ce plan, P le point de coordonnées (x, y) et (X, Y, 2) les coordonnées du point M (Figure 2). Montrer que r s'exprime en fonction deR : OM , de OP et du produit scalaire . . OM , . . . , . e -OP où le vecteur umta1re e = _O_M_ caractense la d1rect10n d observatmn. 2.2.3. En déduire que, dans l'approximation de Fraunhofer, la simplification de r dans ___exp (J kr) conduit à l'expression approchée suivante pour l'amplitude complexe de r . . , 27"E l'onde au pomth {(M) % _IÇIL)_'P_O (P) exp(--Jk -OP)dS ou k : ke : Îe . 7/9 Expliciter la constante _Ig en fonction de la constante C, de R et k. Quelle est la dimension physique de &? fl . . , . a 2.2.4. On 1ntrodu1t les frequences spat1ales u = ---- et v = -- où a et ,6' sont les composantes   du vecteur unitaire 3 suivant les axes Ox et Oy. Que devient l'expression de l'amplitude complexe _SP_ (M) = £(u,v) '? En déduire l'intensité de l'onde lumineuse I(u,v) dans le plan d'observation suivant la direction (u,v). 2.3. Diffraction par une fente Le système optique, représenté sur la Figure 3, comprend un écran opaque (E), percé d'un diaphragme rectangulaire (Figure 4), placé entre deux lentilles minces convergentes identiques (L1) et (L2) (focales images j). Une source ponctuelle (S) émettant une radiation monochromatique (longueur d'onde Â) est placée au foyer objet de (L1). La lumière diffractée est observée sur un écran (E') placé dans le plan focal image de (L2). On repère un point P du diaphragme par ses coordonnées x et y dans (E) et un point M de (E') par ses coordonnées X et Y dans (E'). Les axes Ox et O'X d'une part, Oy et O'Y d'autre part, sont parallèles. Les deux lentilles sont disposées suivant le même axe optique Oz perpendiculaire à (E) et (E '). 2.3.1. 2.3.2. Montrer que l'amplitude de l'onde lumineuse diffractée par la fente, représentée sur la Figure 4, dans la direction du vecteur unitaire e(a,fl,y) est de la forme : sin U sinV £(U,V)=£O U V Les paramètres 50, U et V seront exprimés en fonction de a, [9 dimensions de la fente, de _'1"_0 (P), de _I{ (défini en question 2.2.3.) et des fréquences spatiales u et v pour la longueur d'onde /l. En déduire l'intensité I(u,v) en un point M(u,v) de l'écran (E '). On recouvre la fente rectangulaire transparente de dimensions a et [) d'une pupille rectangulaire transparente de même centre O, de mêmes axes de symétries Ox et Oy, de dimensions a/2 et b et qui introduit un déphasage de TC pour les ondes qui la traversent (Figure 5). Déterminer, à nouveau, l'amplitude diffractée _'1_"_Ï (u,v) et l'intensité I'(u,v) au point M(u,v) de (E'). 2.4. Diffraction par deux fentes 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. On fait subir à la fente une translation dans son plan Oxy pour la centrer au point de coordonnées (xo, yo). Exprimer l'amplitude complexe _'1_"_0 (u,v) ; en quoi diffère--t--elle de £ (u, v) '? Comparer la nouvelle intensité Io(u,v) à I(u,v). En tenant compte du résultat de la question précédente, quelles sont les amplitudes complexes _'H_l(u,v) et f_2(u,v) de deux fentes centrées respectivement en (x] = O;y1 =+d) et (x2 =O;y2 : --d) (Figure 6) ? En déduire l'amplitude complexe &""(u,v) et l'intensité I"(u,v), que l'on mettra sous la forme Ié'.f(u).g(v), de la lumière diffractée par ces deux fentes sur l'écran (E'). On exprimera les 15' , f (u) et g(v) . Comment peut--on, à partir de la représentation graphique (non demandée) de la fonction g(v), déterminer la distance entre les fentes et une des deux dimensions des fentes ? 8/9 _ ................................Æ.u........................................ . ....... b . . .Û............................u.........................w/A. . 4 " x ......m. JO. Îw E) 6 " An-...4.....u...Lluunuu... nnnnnnn finrrrunnu OE .................... ................ b. . +. ........................................ . ................... .................... _ ... . . . . . . . . . .......... _.O. o . . . . . . . . . . .............. ....H ..... ......_... A|l|.'.|' "'-tt-.-.-.l'l"il1 ..... . . . . 2.. ------------> 2 x .................... .................... .................... (L2) 4 .--- ...... ... ,) ..................... ..... Z. ....... 47.. .4. . . . . . y . .n... ........wæ. ....w.... . .2. .. . .+ . _ . . .-. . ./ ) x .w .. ................ a E \U \ V . . . ............................. .... . ... . (\ L - ' .:....î -- =... (\ ........... ................................w............................................ .................... .......... -----___-______4____-__.------- [| II | | | | | '. | l | F1ure3 l'.---------- 9/9 Fin de l'énoncé Fi ure 5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Olivier Frantz (Professeur agrégé) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Ce sujet est divisé en deux problèmes de longueurs égales, indépendants, portant sur l'électromagnétisme et sur l'optique ondulatoire. · Le premier aborde le problème de l'écrantage d'un champ magnétique variable dans un conducteur dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents. Dans une première partie, il s'agit de décrire l'influence mutuelle de deux bobines coaxiales. Dans une deuxième partie, on remplace l'une des deux bobines par un cylindre conducteur creux considéré comme une nappe conductrice. Enfin, la dernière partie est consacrée à l'étude de la profondeur de pénétration du champ électromagnétique dans un conducteur. · Le second problème traite de deux aspects de l'optique ondulatoire. Dans la première partie, il s'agit d'étudier différents dispositifs permettant de générer une onde de polarisation rectiligne. Dans la seconde, on propose de retrouver quelques résultats portant sur la diffraction à l'infini. Ce problème est tout à fait abordable mais très long. Comme les années précédentes, il aborde l'optique et l'électromagnétisme ; il nécessite une excellente connaissance du cours dans ces deux disciplines. En outre, cette épreuve a la particularité d'évaluer les connaissances acquises en TP-cours, ce qui se traduit par des questions sur les dispositifs expérimentaux. On peut cependant regretter qu'un certain nombre de questions soient en dehors de la lettre (et parfois de l'esprit) du programme. La rédaction de certaines questions pose des problèmes : quels sont les résultats et hypothèses supposés connus et admis ? Quels sont ceux qu'il faut impérativement retrouver ? L'énoncé n'aide pas sur ce point. Par ailleurs, une bonne maîtrise du cours permet souvent de répondre très rapidement à une question en apparence calculatoire. Il faut avoir vu au moins une fois ce type d'énoncé avant de passer les écrits. Indications Partie A A.I.1.a Malgré la faiblesse du rapport L/r2 , considérer les solénoïdes comme infinis. A.I.2.a S'appuyer sur l'ARQS pour pouvoir retrouver le champ créé par i0 (t), puis appliquer la loi de Maxwell-Faraday à 2 sans oublier qu'une partie du flux du champ magnétique à travers 2 est due au champ créé par 1 . A.I.2.b Utiliser le principe de superposition. À haute fréquence les phénomènes inductifs dominent-ils les phénomènes résistifs ? A.II.1 Exploiter les symétries du dispositif. A.II.3.a Utiliser le théorème d'Ampère. - A.II.3.c Considérer que le champ B est rigoureusement nul en dehors du cylindre. A.III.3 Si l'épaisseur du cylindre est très petite devant , que peut-on dire des champs dans le cylindre ? Partie B B.1.3.1 Ne pas confondre la loi de Malus avec le théorème de Malus ! B.1.3.2.3 Remarquer les angles complémentaires. B.1.4.1.1 Par quoi les ondes réfléchies et transmises sont-elles « émises » ? Le mécanisme d'émission est-il isotrope ? B.1.4.1.2 Y a-t-il des directions interdites par le mécanisme d'émission des ondes réfléchies et transmises ? B.1.5.2 Y a-t-il transfert d'énergie quand les électrons sont dans l'impossibilité de se déplacer dans la direction imposée par le champ électrique de l'onde ? B.1.6.1.4 Loin de la résonance, l'amplitude de la réponse en fréquence d'un oscillateur harmonique amorti ne dépend plus que de 0 . B.2.2.3 L'exponentielle complexe et la fonction 1/r varient-elles avec la même distance caractéristique ? Les conseils du jury Le rapport du jury souligne quelques points essentiels qu'il est bon de rappeler. · « Les candidats doivent se convaincre qu'il faut faire les applications numériques demandées et que celles-ci doivent comporter une unité, sinon les réponses sont nulles. De même il faut maîtriser les relations d'homogénéité. En particulier l'argument d'une exponentielle est sans dimension. » · « Dès que la réponse demande une petite rédaction, elle rappelle les remarques des années précédentes : manque de précision, de clarté et de concision, sans oublier l'orthographe qui ne va pas s'arranger à l'ère des SMS. » · « On constate, de nouveau, que certains résultats sont affirmés alors que les arguments pour y parvenir sont loin d'être convaincants. Le candidat « n'admet plus » un résultat pour passer à la question suivante, mais il lui faut à tout prix trouver « un pseudo-raisonnement ». » Ce rapport précise également que « les candidats ne se sont pas concentrés sur une seule partie du sujet, mais que l'ensemble des questions a été abordé avec plus ou moins de succès. Généralement les parties de cours (champ dans un solénoïde infiniment long, coefficients d'autoinduction et de mutuelle induction, équations de Maxwell, diffraction par une ou deux fentes...) semblent connues de la plupart des candidats. » A. Écrantage d'un champ électromagnétique - A.I.1.a Examinons les propriétés de symétrie du champ magnétique B (r, , z) engendré par un solénoïde infini, où r désigne la distance à l'axe de révolution du solénoïde. Soit un point M(r, , z) (à l'intérieur ou à l'extérieur du solénoïde) ; le plan contenant M et perpendiculaire à l'axe de révolution du solénoïde est un plan de sy - métrie du dispositif. Il en résulte que B (M) est porté par la direction perpendiculaire - à ce plan : B (M) = B(M) - ez . En outre, l'invariance du dispositif par rotation autour - de l'axe porté par e et par translation parallèlement à ce vecteur entraîne le fait que z B(M) ne dépend ni de ni de z. On en déduit que - B (r, , z) = B(r) - ez Appliquons le théorème d'Ampère aux trois contours représentés sur la figure ci-contre. Aucun courant ne traverse la surface délimitée par C1 . De plus le champ est perpendiculaire aux portions radiales du contour donc r re C3 rd r1 rb i1 1 (B(ra ) - B(rb ))z = 0 pour tous ra , rb < r1 C2 C 1 - Ainsi, B est uniforme à l'intérieur du solénoïde. ra - Le même raisonnement appliqué à C3 montre que B z z est également uniforme à l'extérieur du solénoïde. Appliquons à nouveau le théorème d'Ampère au contour C2 . Le courant traversant une surface s'appuyant sur ce contour est égal au produit du nombre de spires N1 z/L = n1 z traversant le contour par le courant i1 parcourant chacune de ces spires. Le théorème d'Ampère s'écrit alors : B(ra )z - B(rd )z = µ0 n1 z i1 Le champ dans tout l'espace se déduit donc de sa valeur en un point à l'intérieur du solénoïde. Calculons-le en un point O de l'axe de révolution z de ce dernier en sommant les contributions de chacune des spires. Le champ créé par une spire centrée en M en un point O de son axe de révolution est donné par la loi de Biot et Savart : - I - µ0 d - ur B (O) = 2 4 spire r est le vecteur normé colioù r2 = r1 2 + z 2 , - u r - - néaire à PO et d = r1 d - e . Remarquons que tout plan contenant l'axe de révolution de cette - spire est un plan d'antisymétrie du système : B est donc parallèle à l'axe commun à tous ces plans, c'est-à-dire à l'axe z. B(O) est alors le pro - jeté de B sur - e : - ez - u r O z M z µ0 B(O) = 4 I spire - - ( d - ur ) · ez r2 i1 r d r1 - P d