CCP Physique 2 MP 2008

Thème de l'épreuve Optique géométrique. Magnétisme.
Principaux outils utilisés focométrie, magnétostatique, induction
Mots clefs méthode de Badal, méthode de Bessel, méthode de Silbermann, autocollimation, lunette, doublet achromatique, loi de Lenz, roue de Barlow, loi de Faraday, solénoïde, spire, potentiel vecteur, champ magnétique, théorème d'Ampère, loi de Biot et Savart

Corrigé

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 wc.--:o...-- .v " cm.--SQ « ...ËOOEÈË m--z ÊH--A--h - flDO--h--Uflhoe ËËÆH ......=o_z:uu-->dcm ":::--tou ...::euzcv ' Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Partie A : OPTIQUE Ce problème d'optique comprend deux parties indépendantes : focométrie et lunette astronomique achromatique. La première partie concerne la mesure, par différentes méthodes, des distances focales de lentilles minces convergentes et divergentes. La seconde partie consiste à rechercher les conditions pour limiter l'aberration chromatique, c'est-à-dire les défauts de formation des images dus à la dispersion des verres des objectif et oculaire d'une lunette astronomique. Les quatre figures de la partie « Optique » sont en page 6. On considérera que les lentilles minces de ce problème sont utilisées dans le cadre de l'approximation de Gauss. 1. FOCOMETRIE L'axe (x·x) d'un banc d'optique est orienté dans le sens de parcours de la lumière. On notera O1 et O2 les centres de deux lentilles (L1 ) convergente et ( L 2 ) divergente, A et A· les points sur l'axe optique d'un objet lumineux transverse AB et de son image A·B· par l'instrument. 1.1. Lentille convergente : ( L1 ) de centre O1 et de distance focale f1' On exprimera f1' et û f1' à 0,1 cm près. 1.1.1. Méthode d'autocollimation 1.1.1.1. Décrire la méthode expérimentale dite « d'autocollimation » qui permet de mesurer la distance focale d'une lentille mince convergente. 1/11 1.1.1.2. Quand l'image A·B· de l'objet AB est obtenue par cette méthode, la distance mesurée objet-lentille est de 20,2 cm. Les incertitudes absolues de lecture sur l'axe et de mise au point de l'image étant au total évaluées à 0,5 cm, exprimer la distance focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û f1' . 1.1.2. Formule de conjugaison de Descartes L'objet réel AB placé à 35 cm de la lentille ( L1 ) donne une image nette A·B· de cet objet sur un écran (E) situé à 46,5 cm de la lentille. 1.1.2.1. Déterminer la distance focale f1' de cette lentille. 1.1.2.2. Sachant que les incertitudes absolues sur les distances objet-lentille (incertitude de lecture) et lentille-écran (incertitudes de lecture et de netteté de l'image) sont respectivement évaluées à 0,4 cm et 0,8 cm, calculer l'incertitude absolue û f1' . 1.1.3. Méthode de Bessel Un objet AB et un écran (E) sont fixes et distants de D. Entre l'objet et l'écran, on déplace la lentille (L1) pour obtenir sur (E) une image nette A·B·. 1.1.3.1. On pose p = O1 A . Montrer que si D >Dmin, valeur minimale que l'on exprimera en fonction de f1' , alors il existe deux positions distinctes p1 et p2 (avec p1 p2 ) de ( L1 ) pour lesquelles une image nette se forme sur l'écran. Donner les expressions de p1 et p2 en fonction de D et f1' . 1.1.3.2. Si d représente la distance entre les deux positions de la lentille ( L1 ) quand D >Dmin, montrer que la distance focale f1' s'exprime en fonction de D et d. 1.1.3.3. Déterminer l'incertitude absolue û f1' de l'expression de f1' sachant que les incertitudes absolues de D et d sont respectivement notées par û D et û d. 1.1.3.4. Calculer la distance focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û f1' sachant que D = (90 ± 1) cm et d = (30 ± 1) cm. 1.1.4. Méthode de Silbermann L'objet AB étant fixe, sa position sera prise comme origine sur l'axe optique. On cherche les positions de la lentille ( L1 ) et de l'écran (E) telles que le grandissement A'B' 1 . La distance objet-écran est alors D0 ± û D0. AB 1.1.4.1. Utiliser la relation de conjugaison de Descartes et l'expression du grandissement pour obtenir f1' en fonction de D0. 1.1.4.2. On mesure D0 = 80,4 cm avec une incertitude absolue de 0,5 cm comprenant la lecture et la mise au point de l'image pour ce grandissement. En déduire la distance focale f1' de ( L1 ) et son incertitude absolue û f1' . 1.1.4.3. La méthode de Silbermann peut-elle se déduire de la méthode de Bessel ? Justifier votre réponse. transversal J 1.1.5. Comparaison des méthodes Parmi ces quatre méthodes quelle est celle qui vous semble la plus rapide à mettre en oeuvre pour obtenir l'ordre de grandeur de f1' et celle qui vous permet la meilleure précision ? 2/11 1.2. Lentille divergente : ( L 2 ) de centre O2 et de distance focale f 2' On exprimera f 2' à 0,1 cm près. 1.2.1. Théorème des vergences (formule des opticiens) Pour déterminer la distance focale d'une lentille mince divergente ( L 2 ), on accole celleci à une lentille mince convergente ( L0 ) de vergence V0 = 8 m-1 et on utilise ce système mince [( L0 )+ ( L 2 )] pour obtenir d'un objet réel AB, une image réelle A·B·, renversée, de même dimension que l'objet. La distance objet-image mesurée est égale à 1 m. 1.2.1.1. Déterminer la vergence V du système de lentilles accolées. 1.2.1.2. En déduire la vergence V2 et la distance focale f 2' de la lentille ( L 2 ) sachant que pour l'association [( L0 )+ ( L 2 )] nous avons : V = V0 + V2 . 1.2.1.3. Les centres optiques des lentilles dites « accolées » sont en fait distants de e = 0,5 cm. Evaluer à nouveau V2 et f 2' à partir de cette formule de Gullstrand qui prend en compte la distance entre les centres optiques : V = V0 + V2 ­ e V0 V2 . 1.2.2. Viseur à frontale fixe Un viseur à frontale fixe est utilisé pour déterminer la distance focale f 2' de la lentille ( L 2 ). On vise d'abord l'objet AB, on insère ( L 2 ) entre l'objet et le viseur à une distance x de AB et enfin on doit reculer d'une distance D pour viser l'image A·B·. 1.2.2.1. À partir de la relation de conjugaison de Descartes, montrer que la distance focale f 2' s'exprime en fonction des distances x et D. 1.2.2.2. Sachant que x = 30 cm et D = 16,5 cm, calculer f 2' . 1.2.3. Méthode de Badal La méthode de Badal se déroule en deux étapes : 1ère étape : une lentille convergente ( L ) donne d'un objet ponctuel A situé au foyer objet F de cette lentille, une image rejetée à l'infini. Une seconde lentille convergente ( L0 ) de distance focale connue f 0' est disposée à la suite de ( L ) à une distance supérieure à f 0' . L'image finale ponctuelle A· se trouve sur un écran (E) situé au foyer image F0' de ( L0 ). 2ème étape : la lentille divergente ( L 2 ), de distance focale f 2' inconnue, est positionnée dans le plan focal objet de ( L0 ). Pour obtenir la nouvelle image nette A·, il faut éloigner (E), de ( L0 ), d'une distance D. 1.2.3.1. En appliquant la relation de conjugaison de Newton à la lentille ( L0 ), déterminer la relation donnant l'expression de la distance focale f 2' en fonction des distances f 0' et D. 1.2.3.2. Pour les distances f 0' = 12,5 cm et D = 6,5 cm, calculer f 2' . 2. LUNETTE ASTRONOMIQUE ACHROMATIQUE La vergence V d'une lentille mince est donnée par la relation algébrique suivante : § 1 1 · V (n 1) ¨ ¸ © R1 R2 ¹ où n est l'indice de réfraction du verre constituant la lentille et R1 et R2, les rayons de courbure algébriques ( Rx S x C x ) respectivement des faces avant et arrière de la lentille. 3/11 L'indice n varie avec la longueur d'onde suivant la loi empirique de Cauchy : B n A , A et B étant deux constantes positives. 2 O Pour un verre de type crown : A 1,515 et B 3,5 u103 nm 2 . On définit la constringence 1 nD 1 , où K nF nC = 486 nm), D (jaune : et le pouvoir dispersif K d'un verre par : Q nF , nD et nC sont les indices du verre pour les radiations F (bleu : D = 589 nm) et C (rouge : C = 656 nm). F On notera f F' , f D' et f C' les distances focales images et FF' , FD' et FC' les foyers images de la lentille pour les radiations F, D et C respectivement. 2.1. Constringence, pouvoir dispersif et distance focale d'une lentille d'un verre crown Une lentille mince (L), en verre crown, est biconvexe avec les rayons de courbure R1 et R2 tels que R1 90 cm et R2 150 cm. Le diamètre de (L) est : D = 8 cm. 2.1.1. Calculer, avec le nombre de chiffres significatifs correct, les indices nF , nD et nC . En déduire la constringence et le pouvoir dispersif K pour ce verre crown. 2.1.2. Déterminer la distance focale moyenne f D' de (L). 2.2. Aberrations chromatiques principales des lentilles minces Deux lentilles minces (L1) convergente (Figure 1) et (L2) divergente (Figure 2) sont éclairées, parallèlement à l'axe optique, par un faisceau de lumière blanche. 2.2.1. Reproduire les figures 1 et 2 et tracer le cheminement des rayons lumineux bleu et rouge de longueurs d'onde respectives ( F) et ( C) émergeant des lentilles (L1) et (L2), en indiquant pour chacune de ces deux lentilles la position relative des foyers FF' et FC' sur l'axe optique. 2.2.2. Aberrations chromatiques longitudinale et transversale 2.2.2.1. L'aberration chromatique longitudinale d'une lentille est définie par la distance algébrique AL FF'FC' qui sépare les foyers bleu FF' et rouge FC' . Exprimer AL pour la lentille convergente (L), en fonction de la constringence et de la distance focale moyenne f D' , en supposant que f F'f C' | f D' 2 . Commentaire. Calculer numériquement AL. 2.2.2.2. On définit l'aberration chromatique transversale AT d'une lentille comme le rayon de la plus petite tache lumineuse produite par les faisceaux bleu et rouge, interceptée par un écran disposé normalement à l'axe optique. Exprimer AT pour (L), en fonction de la constringence et de D, en supposant de plus que f D' est quasiment la moyenne arithmétique de f F' et fC' . Commentaire. Calculer la valeur de AT. 2.3. Objectif achromatique On réalise un objectif achromatique mince, en accolant la lentille (L) précédente biconvexe, de rayons de courbures R1 et R2 en verre crown avec une lentille (L·), plan-concave en verre de type flint, de sorte que les faces en contact aient le même rayon de courbure R2. 4/11 Les indices de réfraction des deux verres sont donnés par la loi de Cauchy : B1 avec A1 1,515 et B1 3,5 u 103 nm 2 - lentille (L), en verre crown : n1 A1 2 O - lentille (L·), en verre flint : n2 A2 B2 O2 où A2 et B2 sont à déterminer. 2.3.1. Exprimer les vergences V1, V2 respectivement des lentilles (L), (L·) en fonction des constantes A1 , A2 , B1 , B2 , des rayons R1 , R2 et de . En déduire la vergence V = V1 + V2 des deux lentilles accolées. wV . Que doit valoir cette expression pour supprimer wO l'aberration chromatique ? En déduire une relation entre B1, B2, R1 et R2 puis exprimer la vergence V en fonction de A1, A2, R1 et R2. 2.3.2. Déterminer l'expression de 2.3.3. Calculer les constantes A2 et B2 pour une vergence V de l'objectif égale à 0,5 m-1. 2.4. Oculaire achromatique Soient deux lentilles biconvexes (L1) et (L2), de focales images respectives f1' et f 2' , taillées dans le même verre flint d'indice n2, de même axe optique, dont les deux dioptres, pour chacune d'elles, ont en valeur absolue le même rayon, R'1 pour (L1) et R2' pour (L2). Les deux lentilles placées à une distance d· l'une de l'autre doivent permettre de réaliser un oculaire achromatique (Figure 3). 2.4.1. Déterminer, en fonction de R'1 , R2' , A2 , B2 , d' et O , les vergences V'1 de (L1), V2' de (L2) et V' de cet oculaire en appliquant la formule de Gullstrand : V' V'1 V2' d'V'V 1 2' . wV' et en déduire les facteurs numériques k1 et k2 de l'expression : wO k1 (n2 1) B2 ( f1' f 2' k 2 d' ) . 3 R'R 1 2' O 2.4.2. Calculer wV' wO 2.4.3. Quelles doivent être les relations, d'une part entre f1' et f 2' si R'1 = 3R2' et d'autre part entre d' et f 2' si on veut éliminer l'aberration chromatique ? 2.4.4. Calculer, dans les conditions de la question précédente, la valeur de d' pour avoir un oculaire de vergence V' 75 m-1. 2.4.5. On définit respectivement par ( F1 ; F'1 ) et ( F2 ; F2' ) les foyers principaux objet et image pour les lentilles (L1) et (L2). 2.4.5.1. Déterminer le foyer objet F (conjugué de F2 dans (L1)) et le foyer image F' (conjugué de F'1 dans (L2)) pour ce doublet en exprimant F1 F et F2' F' en fonction de d' . 2.4.5.2. En prenant comme référence la distance d' entre les deux lentilles, reproduire la Figure 3 en positionnant les six foyers objet et image pour ce doublet. 5/11 2.5. Lunette achromatique L'objectif achromatique {(L)+(L·)}, assimilé à une lentille mince unique, est associé à cet oculaire {(L1)+( L2)} pour réaliser une lunette astronomique (Figure 4). 2.5.1. Calculer le grossissement angulaire de cette lunette. (On assimilera l'oculaire à une lentille unique de vergence V' 75 m-1). 2.5.2. Reproduire la Figure 4 et tracer le chemin suivi par le rayon incident (sous l'angle .) à travers et à la sortie de l'oculaire. On précisera les foyers et rayons secondaires utiles à la construction. (L1) (L2) ( F), ( C) ( F), ( C) ( F), ( C) O1 O2 ( F),( C) Figure 1 Figure 2 (L1) (L2) d' x' O1' x O 2' Figure 3 (L) (L' ) (L1 ) x' O . (L2 ) O1' O 2' x oculaire objectif Figure 4 6/11 Partie B : ÉLECTROMAGNÉTISME Le problème d'électromagnétisme comprend deux parties indépendantes : une partie « magnétostatique » avec détermination du champ magnétique B et du potentiel vecteur A créés par des courants, suivie d'une partie « phénomènes d'induction » étudiée dans l'approximation du régime quasi stationnaire. Représentation des grandeurs scalaires : a, b, AB, CD et vectorielles : a, b, AB, CD En notation complexe ces grandeurs sont soulignées : a, b, AB, CD, a, b, AB, CD Notation du produit scalaire ( F ~ G ) et vectoriel ( F u G ) des deux vecteurs F et G. Les neuf figures de la partie « Electromagnétisme » sont en page 11. Relations d'analyse vectorielle : f (fonction scalaire); F, G et H (fonctions vectorielles) F u G u H G (F ~ H ) H (F ~ G ) div ( f G ) = f div G + ( grad f ) ~ G div( F u G ) G ~ rot F F ~ rot G rot ( f G ) = f rot G + ( grad f ) u G rot ( F u G ) F div G G div F (G ~ grad) F ( F ~ grad)G Coordonnées cylindriques: grad f ; div G ; rot G Fonction scalaire f ( U , T , z ) Fonction vectorielle G ( U , T , z ) GU ( U ,T , z )eU grad f div G rot G wf 1 wf wf eU e ez U wT wU wz 1 w ( U GU ) 1 w GT wGz U wU U wT wz § wGU § 1 w Gz wGT · ¨ ¸ eU ¨ wz ¹ © U wT © wz w Gz wU · ¸e ¹ GT ( U ,T , z )eT 1 § w ( U GT ) ¨ U © wU G z ( U , T , z )e z wGU · ¸ ez wT ¹ z ! ez e z e! O x y Coordonnées cylindriques : !, , z 7/11 1. DÉFINITIONS 1.1. Loi de Biot-Savart On considère une distribution filiforme de courant dans le vide représentée sur la Figure 1', où nous avons porté le vecteur unitaire u sur PM. 1.1.1. Exprimer le champ magnétique dB(M), créé en M par l'élément dl du courant d'intensité I pris autour de P. 1.1.2. En déduire le champ magnétique B(M) créé en M par le circuit filiforme (C). 1.1.3. Quels sont les domaines de validité pour appliquer la loi de Biot-Savart ? 1.2. Théorème d'Ampère 1.2.1. Énoncé et formulation du théorème d'Ampère sous sa forme intégrale. Application au cas des courants représentés sur la Figure 2'. 1.2.2. Donner le nom et la relation de la forme locale du théorème d'Ampère. 2. CHAMP MAGNÉTIQUE B ET POTENTIEL VECTEUR A Les coordonnées cylindriques (!, , z) seront utilisées dans ce paragraphe 2. 1 B u r , div A 2 2.1.1. Montrer que, dans le cas d'un champ magnétique uniforme B, en tout point M de 1 l'espace tel que OM = r , le champ de vecteur défini par A B u r est un potentiel 2 vecteur pour B. 2.1. Relations : A 2.1.2. Calculer rot B, puis rot r et en déduire la valeur de div A. 2.2. Courant rectiligne Un conducteur rectiligne cylindrique illimité, de rayon R, d'axe de révolution z'z, est parcouru par un courant volumique j uniforme et dirigé de z' vers z. Un point M de l'espace est repéré par ses coordonnées cylindriques (Figure 3'). 2.2.1. Examiner les éléments de symétrie et d'invariance de ce conducteur cylindrique qui ont une conséquence sur les modules et directions du champ magnétique B(M) et du potentiel vecteur A(M). 2.2.2. Déterminer, en appliquant le théorème d'Ampère, le champ magnétique B en tout point M intérieur et extérieur au conducteur. Nous poserons B = Bint pour ! < R et B = Bext pour ! > R. Tracer l'allure de la courbe de B(!), où B B . 2.2.3. En déduire le potentiel vecteur A en tout point M intérieur (Aint) et extérieur (Aext) au conducteur, à partir de la relation locale champ-potentiel sachant que A(R) = 0, condition posée arbitrairement. Tracer l'allure de la courbe de A(!). 2.2.4. Le potentiel A(M) pouvait-il se calculer à partir de la relation précédente A 1 Bur ? 2 Justifier votre réponse. 8/11 2.3. Courant circulaire 2.3.1. Une spire plane circulaire de centre O, d'axe z'Oz, de rayon a est parcourue par un courant stationnaire d'intensité I. En un point M0 de son axe, la spire est vue sous un angle de 2(OE ­ .) (Figure 4'). 2.3.1.1. D'après les éléments de symétrie et d'invariance de la spire de courant, définir les variables dont dépendent le champ magnétique B(M0) et le potentiel vecteur A(M0) ainsi que leurs directions. 2.3.1.2. Calculer, à l'aide de la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au point M0 et le mettre sous la forme : B (M 0 ) B (O) f (D ) où B(O) représente le champ magnétique au centre de la spire et f (.) une fonction trigonométrique de l'angle .. 2.3.1.3. Exprimer le potentiel vecteur dA(M0) pour tout point M0 de l'axe z'Oz, dû à un élément dl de la spire, parcouru par un courant d'intensité I. En déduire A(M0). Ce résultat est-il compatible avec l'étude menée en (2.3.1.1) pour A(M0) ? 2.3.2. Un solénoïde de longueur finie L, d'axe z'z est constitué de spires coaxiales jointives, de rayon R et parcourues dans le même sens par un courant stationnaire d'intensité I. L'origine des coordonnées cylindriques est prise au milieu du solénoïde, et l'on désigne par n le nombre de spires par unité de longueur (Figure 5'). 2.3.2.1. Exprimer le champ magnétique dB(M) créé par l'élément de solénoïde d'épaisseur dz. 2.3.2.2. En déduire le champ magnétique B(M) pour tout point M de l'axe du solénoïde, sachant que les spires des extrémités du solénoïde sont vues du point M sous les angles 2.1 et 2( OE ­ .2). 2.3.3. Un solénoïde dont la longueur L est très grande devant le rayon R des spires est qualifié de « solénoïde infini ». 2.3.3.1. Utiliser le résultat précédent pour exprimer le champ magnétique en tout point M de l'axe du « solénoïde infini ». 2.3.3.2. Soit T un point quelconque à l'intérieur du solénoïde et situé à la distance ! de l'axe (! < R) (Figure 6'). Par application du théorème d'Ampère au contour rectangulaire OTT'O'O de longueur OO' = l sur l'axe, évaluer le champ magnétique Bint pour tout point T intérieur. 2.3.3.3. Soit U un point quelconque à l'extérieur du solénoïde, à la distance ! de l'axe (! > R) (Figure 6'). Par un raisonnement analogue au précédent, appliqué au contour rectangulaire OUU'O'O, en déduire le champ magnétique Bext pour tout point U extérieur. 2.3.3.4. En écrivant la relation locale champ-potentiel et à l'aide de la formule de Stokes, calculer les potentiels vecteurs Aint pour tout point T intérieur (! < R) et Aext pour tout point U extérieur (! > R). 2.3.3.5. Les potentiels Aint et Aext pouvaient-ils se calculer à partir de la relation 1 B u r ? Justifier votre réponse. précédente A 2 2.3.3.6. Tracer les graphes de B(!) et A(!) des normes du champ magnétique et du potentiel vecteur respectivement. 3. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE 3.1. Loi de Lenz, loi de Faraday Une spire plane circulaire de centre O, de rayon a (a < R), est placée perpendiculairement au champ magnétique à l'intérieur du « solénoïde infini ». Les spires jointives de rayon R du solénoïde sont parcourues par le courant variable I(t) = I0 sin &t. (Figure 7'). 3.1.1. Déterminer la f.é.m induite dans la spire en utilisant : 3.1.1.1. la loi de Faraday. 9/11 3.1.1.2. la circulation du champ local induit Ei wA . wt 3.1.2. En déduire l'intensité i(t) du courant induit circulant dans la spire de résistance r. Préciser le sens du courant dans la spire. La spire, placée à l'intérieur du « solénoïde infini », tourne maintenant autour d'un axe fixe de son plan à une vitesse angulaire constante &. 3.1.3. Un courant stationnaire d'intensité I circule dans les spires jointives de rayon R du solénoïde et crée un champ magnétique Bint (Figure 8'). Calculer l'intensité i(t) du courant dans la spire, de résistance r, lors de sa rotation. 3.1.4. Déterminer le champ magnétique variable Bint(t) qui annule, à chaque instant, le courant dans la spire dans les cas suivants : 3.1.4.1. Bint(t) a la direction constante de l'axe z'Oz et un module variable. 3.1.4.2. Bint(t) a un module constant et une direction variable. On négligera l'inductance propre du circuit. 3.2. La roue de Barlow Le circuit représenté en Figure 9' comprend, dans un montage en série : une roue de Barlow, un résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K. Cette roue de Barlow, disque conducteur homogène de centre O, de rayon a, de moment d'inertie J par rapport à son axe de rotation, est soumise à un champ magnétique uniforme B parallèle à l'axe de la roue. Un point P de sa périphérie est en contact avec un bain de mercure pour assurer le passage du courant tout en minimisant les actions mécaniques de frottement que l'on négligera. On suppose la roue parfaitement conductrice. La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale &0. A l'instant de fermeture de K, t = 0, le condensateur porte la charge initiale q0 sur la plaque reliée au résistor. 3.2.1. Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P, nous représentons sur la Figure 9', celle qui passe par un point M en transportant un courant d'intensité di. 3.2.1.1. Exprimer la force de Laplace d2f sur un élément dl de cette ligne de courant. 3.2.1.2. Déterminer le moment +, en O, des forces électromagnétiques agissant sur la roue en fonction de a, i et B. Commenter le résultat obtenu. 3.2.1.3. Exprimer la f.é.m. induite en fonction de a, & et B. (On utilisera, judicieusement, la circulation de ( ve u B )). 3.2.2. Établir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du circuit. En déduire les lois d'évolution dans le temps de : 3.2.2.1. l'intensité i(t) que l'on mettra sous la forme : i (t ) i0 exp( t / W ) . Déterminer i0 et 2 en fonction de a, J, R, C, q0, B B et Z0 ~ B . 3.2.2.2. la charge q(t) du condensateur sachant que q(0) = q0. 3.2.2.3. la vitesse angulaire &(t) de la roue avec &(0) = &0. 3.2.3. Quand t devient très grand, q(t) et &(t) tendent respectivement vers q' et &'. Expliciter q' et &' en fonction de a, J, q0, C, B et &0. 3.2.4. On fixe la vitesse angulaire initiale à la valeur &0 de façon que Z0 ~ B 0 . 3.2.4.1. Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour toute valeur de q0 > 0. 3.2.4.2. A partir de quel instant tr, celle-ci deviendra-t-elle un récepteur ? 10/11 I2 I3 I1 I4 n I I5 xxx xxx xxx xxx dl · u P (C) · · M · ·· · (+) + Figure 1' Figure 2' z R P· j ! a M · . · M0 ' O ez z' z I Figure 4' z' Figure 3' U x U' P · R z' I .2 . · M · T x .1 z I x z' I · O e! dz z L x eO ez T' ! z l I O' Figure 6' Figure 5' z' O I ' & n z Figure 7' n z' I ... z O ' B O · M r di P Mercure I I Figure 8' i R K +q C Figure 9' Fin de l'énoncé 11/11 -q

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 MP 2008 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (ENS Ulm) ; il a été relu par Georges Rolland (Professeur agrégé) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants ; le premier porte sur l'optique géométrique, le second sur l'électromagnétisme. · Le problème A est composé de deux parties largement indépendantes. La première présente différentes méthodes utilisées en travaux pratiques de focométrie : on y aborde l'autocollimation, les méthodes de Descartes, Bessel, Silbermann et Badal. Dans chaque cas, il s'agit d'établir la formule permettant de calculer la distance focale de la lentille à partir de mesures expérimentales et d'évaluer l'incertitude sur cette mesure. Dans la seconde partie, on établit des conditions pour qu'un assemblage de deux lentilles puisse être achromatique. On commence par utiliser notamment la formule de Cauchy pour établir des propriétés des lentilles à différentes longueurs d'onde. On cherche ensuite des relations entre les coefficients de la formule de Cauchy pour concevoir un objectif et un oculaire achromatiques. · Le problème B est composé de trois parties indépendantes. Dans la première, on établit quelques résultats de cours sur la loi de Biot et Savart et le théorème d'Ampère. Dans la deuxième, on démontre, tout d'abord, une relation simple entre un potentiel vecteur et le champ magnétique dans un cas particulier ; puis, indépendamment du résultat précédent, on cherche à relier champ magnétique et potentiel vecteur dans deux situations différentes : un fil et un solénoïde infinis. Pour chaque situation, on examine la concordance des deux expressions du potentiel vecteur. La troisième partie porte sur l'induction. Après quelques rappels sur les lois de Faraday et de Lenz, on étudie le fonctionnement d'une roue de Barlow montée dans un circuit RC. Ce sujet, assez long, comporte beaucoup d'applications numériques peu aisées. De plus, selon le rapport du jury, « la formulation des résultats n'était pas toujours cohérente avec le nombre de chiffres significatifs attendu ». Peu classiques, les calculs de potentiel vecteur ont souvent été erronés. Dans la partie traitant de la roue de Barlow, qui contient une erreur d'énoncé, on se perd facilement dans les orientations. Néanmoins, ce sujet se prête bien à des révisions globales pour les écrits. La partie focométrie constitue également un excellent support de révision pour les TP. Par ailleurs, la partie sur l'induction peut tout aussi bien être utilisée en cours d'année durant la phase d'apprentissage. Indications Partie A 1.1.2.2 Utiliser la dérivée logarithmique, séparer dO1 A et dO1 A puis passer à la valeur absolue pour chaque terme. 1.1.3.1 Utiliser la formule de Descartes pour relier f1 à D et p. Faire apparaître un polynôme du second degré en p et chercher à quelle condition il admet deux racines réelles distinctes. 1.1.3.2 Calculer p1 - p2 . 1.1.3.3 Procéder comme en 1.1.2.2. 1.1.4.2 Procéder comme en 1.1.2.2. 1.1.4.3 Que donne la méthode de Bessel s'il n'existe qu'une seule position pour (L) ? 1.2.1.1 Remarquer que l'on est dans le cas de la méthode de Silbermann. 1.2.2.1 Exprimer O2 A et O2 A en fonction de D et x. 1.2.3.1 Exprimer O2 A et O2 A en fonction de D, f0 et f2 . Faire un dessin précis et y reporter toutes les valeurs. 2.2.2.1 Exprimer en fonction des focales. 2.2.2.2 Montrer que la tache de taille minimale est autour de FD et utiliser le théorème de Thalès pour calculer AT . 2.4.4 Exprimer V en fonction de V2 et d . 2.5.1 Introduire une image intermédiaire. Partie B 1.1.2 Donner l'expression générale sous forme intégrale. - - 2.1.1 Utiliser les coordonnées cartésiennes et calculer rot ( B - r ). - - 2.1.2 Utiliser les coordonnées cartésiennes pour calculer rot r puis s'aider du for - mulaire pour calculer div A . - - - 2.2.3 Écrire B = rot A dans la base des coordonnées cylindriques en s'aidant du formulaire. - 2.2.4 Décomposer - r sur la base des coordonnées cylindriques. Montrer que B - r contient une composante selon - e . - 2.3.1.3 Utiliser la formule donnant A en magnétostatique, analogue de celle donnant V pour une distribution linéique de charges en électrostatique. - - - 2.3.3.4 Écrire B = rot A et intégrer sur la section droite du solénoïde. Remplacer - - l'intégrale contenant rot A par une intégrale de contour. - 2.3.3.5 Que donne B - r à l'extérieur du solénoïde ? 3.1.2 Chercher le lien entre le signe de i et la variation de I. 3.1.4.1 Établir l'équation différentielle dont I est solution. - 3.1.4.2 Comment B doit-il tourner pour que la spire « voie » un flux constant ? 3.2.2.1 Dériver l'équation électrique, éliminer la dérivée de - à l'aide de l'équation mécanique. - - sont tels que - > 0. 3.2.4.1 L'énoncé comporte une erreur : B et - B · 0 3.2.4.2 Chercher l'instant où la puissance change de signe. 0 Partie A. Optique 1. Focométrie 1.1.1.1 Pour cette méthode, on a besoin de la lentille dont on souhaite déterminer la distance focale, d'un miroir, d'un objet (et éventuellement d'un écran que l'on place à côté de l'objet). On place l'objet et la lentille sur le banc (L) d'optique et on accole le miroir derrière A la lentille. On translate l'ensemble lentilleF miroir et on observe l'image (éventuellement x x à l'aide de l'écran) réfléchie vers l'objet par A ce système. Lorsque l'image est nette et de la même taille que l'objet, la distance objetlentille est égale à la distance focale. f D'après le rapport, moins de la moitié des candidats a traité cette question. Comme il s'agit de détailler un protocole expérimental, le jury précise que la rédaction doit être soignée : des phrases trop imprécises telles que « on bouge le miroir pour voir l'objet » ou bien « on suit l'image pour qu'elle soit claire » ne sont pas satisfaisantes. 1.1.1.2 De ce qui précède, on déduit f1 = 20,2 cm Exprimons l'incertitude ; comme f1 = O1 A f1 = O1 A = 0,5 cm 1.1.2.1 Utilisons la formule de Descartes pour les lentilles 1 1 1 - = f1 O1 A O1 A d'où f1 = O1 A O1 A = 20,0 cm O1 A - O1 A 1.1.2.2 Pour obtenir les incertitudes, calculons le logarithme de cette expression ln f1 = ln O1 A + ln O1 A - ln O1 A - O1 A que l'on différentie df1 dO1 A dO1 A dO1 A - dO1 A + - = f1 O1 A O1 A O1 A - O1 A O1 A dO1 A O1 A dO1 A - = O1 A O1 A - O1 A O1 A O1 A - O1 A f1 O1 A O1 A d'où = O1 A + O1 A f1 O1 A O1 A - O1 A O1 A O1 A - O1 A On obtient finalement f1 = 0,3 cm 1.1.3.1 Remarquons que O1 A = O1 A + AA = p + D et utilisons de nouveau la formule de Descartes 1 1 1 - = D+p p f1 p A O1 x x A D En multipliant les deux membres par (D + p) p, on obtient : -D = d'où (D + p) p f1 p2 + D p + D f1 = 0 qui est un polynôme du second degré en p de discriminant = D2 - 4 D f1 . Cette équation admet deux solutions réelles distinctes si et seulement si > 0, c'est-à-dire pour D > 4 f1 = Dmin et dans ce cas, les racines sont p D - D2 - 4 D f1 p1 = - 2 et p2 = - p D2 - 4 D f1 2 D+ (L) A F x F O A x (L) A x F F x O A d D