CCP Physique 2 MP 2007

Thème de l'épreuve Systèmes optiques centrés. Électromagnétisme des condensateurs.
Principaux outils utilisés optique, électrocinétique, électrostatique, électromagnétisme
Mots clefs miroirs sphériques, lentilles, optique géométrique, condensateurs, filtre passe-bas, filtre passe-bande, câble coaxial, onde de courant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2007 ). EÜHEÜLIRE EÜH"IU"«IE FÜLTTEEHHIÛUEE-- EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. (Les données numériques sont choisies pour simplifier les calculs) >l<>l<>l< NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. >l<>l<>l< Partie A : OPTIQUE Ce problème d'optique comprend trois parties; un premier chapitre << Définitions >> introduit l'approximation de Gauss qui sera utilisée dans les deux chapitres suivants : << Etude de miroirs sphériques >> et << Etude de lentilles minces >>. Les dix figures du problème d'optique sont en page 6/12. Les éléments (objets, images, rayons lumineux) seront tracés en traits pleins ( -- ) s'ils sont réels et en tirets ( ----- ) s'ils sont virtuels. I. DEFINITIONS 1. Systèmes optiques. a. Qu'appelle-t-on système optique centré '? b. Qu'est-ce qu'un système optique catoptrique '? 2. Stigmatisme. a. Qu'appelle-t-on stigmatisme rigoureux pour un point A a travers un système optique '? b. Citez un système optique rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espace. 3. Aplanétisme. a. Soit (A, A') un couple de points conjugués, par un système optique centré (S). Le point A est situé sur l'axe optique. On considère un point B, voisin de A, tel que AB soit transverse, c'est-à-dire situé dans un plan de front. A quelle propriété doit satisfaire B', image de B a travers (S), pour conduire à un aplanétisme rigoureux du couple (A, A') '? b. Citez un système optique rigoureusement aplanétique pour tous les points de l'espace. 1/12 4. Approximation de Gauss. a. Enoncer les conditions qui permettent de réaliser l'approximation de Gauss. b. Quelle conséquence l'approximation de Gauss a-t-elle sur le stigmatisme '? Il. ETUDE DE MIROIRS SPHERIQUES Un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante sur l'une de ses faces. Le centre de la sphère est noté C et le point d'intersection S de la calotte avec l'axe optique est appelé sommet du miroir. Les miroirs sphériques étudiés seront utilisés dans l'approximation de Gauss. 1. Caractère convergent ou divergent d'un miroir sphérique. a. Un miroir convexe est-il un système optique convergent ou divergent '? b. Parmi les miroirs sphériques (m1) et (1112) représentés (Figure 1), lequel est divergent '? c. En plaçant notre oeil loin d'un miroir sphérique (1113), on constate que l'image de notre oeil est droite et réduite Le miroir (m3) est-il convergent ou divergent '? 2. Relations de conjugaison et de grandissement. On cherche à déterminer la position de l'image A' d'un point A situé sur l'axe optique. a. Relation de conjugaison de Descartes. On considère un rayon incident AI issu de A qui se réfléchit en I (Figure 2). a.]. Déterminer les relations liant les angles &, oc' et ,8 aux grandeurs algébriques S_A , Ü , Î et Ê , dans l'approximation de Gauss. a.2. Exprimer la relation entre les angles &, oc' et ,B. a.3. En déduire la relation de conjugaison au sommet du miroir : 1 1 k1 , , , . + = = = ou la est un facteur que l on determmera. SA' SA SC a.4. Donner les expressions des distances focales image f ' = Ê et objet f = S--F du miroir sphérique en fonction de Ê . b. Relation de conjugaison de Newton. On représente le miroir sphérique de centre C et de sommet S en dilatant l'échelle dans les directions transverses (Figure 3). b.]. Reproduire la Figure 3 en indiquant les foyers principaux objet F et image F' et construire l'image A'B' d'un objet AB transverse. b.2. En considérant les propriétés des triangles semblables, montrer que nous obtenons la relation de conjugaison de Newton : Ü.F'A'=f.f' c. Relation de conjugaison : origine au centre. c.]. En prenant le centre C comme origine, montrer que FA et F 'A' peuvent s'exprimer en fonction de @ , CA' et &. c.2. Déduire de la relation de Newton, la formule de conjugaison avec origine au centre : 1 1 k2 , , , . = + = = ou [@ est un facteur que l on determmera. CA CA' CS 2/12 d. Grandissement. Si AB a pour image A'B' , nous représenterons le grandissement transversal par le rapport ! ! algébrique : )) = @ . Exprimer ce grandissement )) : d.]. - en fonction de S71 et SA' . d.2. - en fonction defi , fi et F_S . d.3. - en fonction de @ et C--A'. 3. Correspondance objet-image pour des miroirs concave et convexe. a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse. Construire l'image A'B' à l'aide de deux rayons issus du point B pour les miroirs suivants : a.]. (M1), de centre C1 et de sommet 81 (Figure 4). a.2. (M2), de centre C2 et de sommet 82 (Figure 5). b. Position de l'image A'B' et grandissement transversal. On définira le rayon de courbure d'un miroir (MX) par : RX = SX CX b.]. Le miroir (M3) est concave, de rayon de courbure R3 tel que lR3l = 20 cm. L'objet AB est situé au milieu de F383 (F3 : Foyer objet ; 83 : Sommet). Calculer S3A' et en déduire le grandissement transversal de l'objet. b.2. Le miroir (M4) est convexe, de rayon de courbure R4 tel que lR4l = 40 cm. L'objet AB est situé après 84 tel que S 4A = 50 cm. Calculer C4A' et en déduire le grandissement transversal de l'objet. 4. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain Données numériques : Diamètre de la Lune : DL = 3 456 km Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km a. L'axe optique d'un miroir sphérique concave (Wi), de sommet S, de centre C et de rayon R = Ê est dirigé vers le centre de la Lune. a.]. Déterminer la position de l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (Wi). a.2. Calculer le diamètre apparente du disque lunaire. a.3. En déduire la dimension de l'image A'B' pour lRl = 60 cm. b. On réalise l'objectif d'un télescope de type Cassegrain en associant deux miroirs sphériques (Figure 6) : - un miroir sphérique concave (W! 1), appelé miroir primaire, de sommet 81, de centre C1, de foyer F1 et de rayon R1 = S1C1 . - un miroir sphérique convexe (W! 2), appelé miroir secondaire, de sommet S2, de centre C2, de foyer F2 et de rayon R2 = S,C2 . Le miroir (W! 1) comprend une petite ouverture centrée en 81 pour permettre le passage de la lumière après réflexion sur (W! 1) puis sur (W! 2). Le miroir (W! 2) est de petite dimension, afin de ne pas obstruer le passage de la lumière tombant sur le miroir primaire. b.]. Où doit se situer l'image A'B' de la Lune après réflexion sur (W! 1), afin que le miroir sphérique convexe (W! 2), caractérisé par 82, C2 et F2, en donne une image réelle A"B" ? 3/12 b.2. Déterminer la position du foyer image F', de l'association des miroirs (W! 1) et (W! 2), en exprimant S,F' en fonction de R1, R2 et d = 3,31 . b.3. Exprimer le grandissement transversal )) de l'objet A'B' à travers le miroir (W! 2) en fonction de R1, R2 et d = S,S1. b.4. Calculer S,F', )) et la dimension finale de l'image A"B" pour : lej = 60 cm; jR,' =40 cm et jdl = 18 cm. b.5. Quelle serait la distance focale image fL d'une unique lentille mince qui donnerait de la Lune la même image A"B" ? Commenter. III. ETUDE DE LENTILLES MINCES Les lentilles minces étudiées seront utilisées dans l'approximation de Gauss. 1. Caractère convergent ou divergent d'une lentille mince. a. Formes des lentilles sphériques minces. Parmi les lentilles (ll) à (lg) représentées sur la Figure 7, indiquer dans cet ordre : la lentille biconcave, la lentille ménisque convergent et la lentille plan concave. b. Observation d'un objet éloigné. On vise un objet placé à grande distance en plaçant l'oeil loin d'une lentille (17). Nous voyons une image inversée de l'objet. La lentille (17) est-elle convergente ou divergente ? Justifier votre réponse. c. Déplacement transversal. On place un objet réel de telle sorte que son image, vue à travers une lentille (lg), soit droite. En déplaçant (lg) transversalement à son axe optique, on constate que l'image de l'objet se déplace dans le même sens que la lentille. La lentille (lg) est-elle convergente ou divergente ? Justifier votre réponse. 2. Relations de conjugaison et de grandissement. a. Relation de conjugaison de Newton. Reproduire et compléter le tracé des rayons BI et BF] de la Figure 8 pour l'obtention de l'image A'B' de AB. (Foyer objet : F) ! ! Exprimer le grandissement transversal F = @ respectivement en fonction de @ et O--F puis de @ et O--F'. (Foyer image : F') En déduire la relation de conjugaison de Newton. b. Relation de conjugaison de Descartes. En prenant le centre 0 comme origine, montrer que la relation de conjugaison de Newton conduit, après transformation (relation de Chasles) de @ et F 'A' , à une relation entre les grandeurs algébriques OA , OA' et OF ' dite relation de conjugaison de Descartes. Exprimer le grandissement F en fonction défi et OA' . 3. Correspondance objet-image pour des lentilles minces convergente et divergente. a. Construction géométrique de l'image A'B' d'un objet AB transverse. Reproduire et construire l'image A'B' de AB à l'aide de deux rayons issus du point B pour les lentilles minces suivantes : 4/12 a.]. a.2. Lentille (L1), de centre optique 01 et de foyers objet F1 et image F1' (Figure 9). Lentille (L2), de centre optique 02 et de foyers objet F2 et image F,' (Figure 10). . Position de l'image A'B' et grandissement transversal. Donner la nature et la position de l'image A'B' d'un objet AB ainsi que le grandissement transversal F pour les lentilles (L3) et (L4) suivantes : b.]. b.2. La lentille (L3) est convergente, de distance focale image +30 cm. Le positionnement de AB est tel que O3A = 15 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de F3'A' . La lentille (L4) est divergente, de distance focale image --30 cm. Le positionnement de AB est tel que AF4' = 20 cm. La position de A' sera donnée par la valeur de O4A' . 4. Système réfracteur : la lunette de Galilée. Une lunette de Galilée comprend : un objectif assimilable à une lentille mince ($), de centre 01 et de vergence V1 = 5 dioptries, un oculaire assimilable à une lentille mince (%), de centre 02 et de vergence V2 = --20 dioptries. . Déterminer la nature et les valeurs des distances focales images f1' et f2' des lentilles. U" . La lunette est du type << afocal >> : b.]. b.2. b.3. Préciser la position relative des deux lentilles, la valeur de la distance d =0102 et l'intérêt d'une lunette afocale. Dessiner, dans les conditions de Gauss, la marche d'un rayon lumineux incident, issu d'un point objet à l'infini, faisant un angle 9 avec l'axe optique et émergeant sous l'angle 9'. En déduire le grossissement (ou grandissement angulaire) de cette lunette en fonction des angles 9 et 9', puis des distances focales f1' et f2'. Valeur du grossissement ? . Un astronome amateur utilise cette lunette, normalement adaptée à la vision d'objets terrestres, pour observer deux cratères lunaires : Copernic (diamètre : 96 km) et Clavius (diamètre : 240 km). Rappel : Distance Terre -- Lune : DTL = 384 000 km. c.]. c.2. L'astronome voit-il ces deux cratères lunaires : - à l'oeil nu ? (Acuité visuelle : 3><10'4 rad) - à l'aide de cette lunette ? Justifier vos réponses. La planète Vénus, de 12 150 km de diamètre, occultera Jupiter (de diamètre 145 800 km) le 22 novembre 2065. Notre astronome amateur (qui sera certainement confirmé), pourra-t-il observer à l'oeil nu ou à l'aide de sa lunette le disque jovien occulté par Vénus ? Dans cette configuration, la distance Terre-Vénus sera DTV = 45><106 km. 5/12 (rm) (1112) Figure 1 B \: T ! _ X' A C S : ,: Figure 3 B L T _ : x, A 82 : C2 ; (M2) Figure 5 (11) (12) (la) (14) (15) (16) Figure7 ? (Îl) x' F1 A 01 %; x> Figure9 Figure2 '-- B : + ! _ : > C1 81 : A x ,: Figure4 (M1) (M1) , \-- ("2äzflà S2 - = . > X C1 C2 ÿÊF' X > )_ Figure6 B AI A F \ J V Figure 8 (L2) Y B + - : - > X' F2' 02 A F2 X A Figure 10 6/12 Partie B : ELECTROMAGNETISME Le problème d'électromagnétisme comprend quatre parties indépendantes : des généralités sur les conducteurs, condensateurs et capacités et trois applications des condensateurs (système Terre- ionosphère et circuit RC) et conducteurs (câble coaxial). Les six figures du problème d'électromagnétisme sont en page 11/12. Des valeurs numériques des fonctions lgx et tana sont en page 12/12. Les grandeurs scalaires sont représentées par : a, b, AB, CD Les grandeurs vectorielles sont en caractères gras : a, b, AB, CD Notation des produits scalaire (AB - CD) et vectoriel (AB >< CD) de deux vecteurs. eo : désigne la permittivité du vide. lg x : désigne le logarithme décimal de x. I. CONDUCTEURS -- CONDENSATEURS -- CAPACITES 1. Conducteurs -- Propriétés. a. Quelle distinction fait-on entre un conducteur métallique et un isolant ? Parmi les types de matériaux suivants : plastique, métal, corps humain, verre, eau pure et eau du robinet, quels sont ceux que l'on classe parmi les conducteurs électriques ? b. Qu'appelle-t-on conducteur en équilibre électrostatique ? Définir à l'intérieur de ce conducteur les propriétés de : Ei (champ électrostatique), pi (densité volumique de charges) et Vi (potentiel électrostatique). Si l'on apporte des charges excédentaires à ce conducteur en équilibre électrostatique, où vont--elles se répartir ? c. On considère un conducteur métallique creux, de surface (S...), en équilibre électrostatique dans lequel une cavité, de surface (SC), ne contient pas de charges excédentaires (Figure 1). Définir à l'intérieur de la cavité les propriétés de: Ec (champ électrostatique), pC (densité volumique de charges), 00 (densité surfacique de charges sur (SG)) et V0 (potentiel électrostatique). Où vont se placer les charges excédentaires que l'on dépose sur ce conducteur métallique creux en équilibre électrostatique ? d. Théorème de Coulomb : énoncé et formulation. 2. Conducteurs -- Capacités. Soit V le potentiel d'un conducteur en équilibre, Q la charge portée par sa surface et a la densité surfacique de charge. a. Exprimer la capacité C du conducteur en fonction de Vet de Q. b. Calculer les capacités des conducteurs (en équilibre électrostatique) suivants : b.]. Conducteur plan : on considère un disque conducteur de centre 01, de rayon R1, portant une charge surfacique al, répartie uniformément sur une face. Calculer, en fonction de 01, R1 et 80, la charge Q et le potentiel V1 de ce conducteur et en déduire C1. b.2. Conducteur cylindrique : on considère un cylindre conducteur de rayon R2, de longueur ], portant une charge surfacique 02, répartie uniformément sur la surface latérale. 7/12 Calculer, en fonction de 02, R2, l et 80, la charge Q2 et le potentiel V2 de ce conducteur et en déduire C2. b.3. Conducteur sphérique : on considère une sphère conductrice de centre 03, de rayon R3, portant une charge surfacique 03, répartie uniformément sur la sphère. Calculer, en fonction de 03, R3 et 80, la charge Q3 et le potentiel V3 de ce conducteur et en déduire C3. 3. Condensateurs -- Propriétés. a. Qu'appelle-t-on condensateur électrique ? b. Parmi les condensateurs (plans, cylindriques et sphériques), citer trois types de condensateurs usuels. c. Enoncer le théorème de Gauss, puis exprimer sa formulation mathématique précise. 4. Condensateurs -- Capacités. Soit un conducteur creux (B) entourant totalement un conducteur (A) (Figure 2). Le conducteur interne (A), au potentiel VA, porte sur sa surface extérieure la charge QA. Le conducteur externe (B), au potentiel VB< VA, porte sur sa surface intérieure la charge QBi et sur sa surface extérieure la charge QBe. a. A l'équilibre électrostatique de ces deux conducteurs, quelle est la relation entre les charges QA et QBi ? Justifier votre réponse. b. En considérant ce système de deux conducteurs comme un condensateur, définir la charge Q de ce condensateur. En déduire la capacité C en fonction de Q et des potentiels VA et VB. c. Détermination des capacités des condensateurs suivants : c.]. Condensateur plan : donner, sans démonstration, l'expression de la capacité C1 d'un condensateur plan, supposé idéal, en fonction de e (écartement des deux armatures parallèles), S (aire des armatures) et 80. Application numérique : le condensateur plan est doté de plaques circulaires de rayon 6 cm qui se trouvent à 2,5 mm l'une de l'autre. Calculer sa capacité et la charge qui apparaîtra sur les plaques si on leur applique une différence de potentiel de 150 V. c.2. Condensateur cylindrique : soit un condensateur constitué de deux armatures cylindriques concentriques de rayons R1 et R2>R1 et de hauteur h. L'armature de rayon R1 et de hauteur li porte la charge Q1. - Déterminer, à l'aide du théorème de Gauss, le champ électrostatique entre les armatures E. - Exprimer la différence de potentiel AV = V (R1) -- V (R2) et en déduire la capacité C2 du condensateur cylindrique en fonction de R1, R2, li et 80. - Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1. c.3. Condensateur sphérique : un condensateur comprend deux armatures sphériques concentriques de rayons R1 et R2>R1. L'armature interne de rayon R1 possède une charge Q1. - Déterminer, en utilisant l'équation de Laplace, le potentiel électrostatique V(r) entre les armatures et en déduire le champ électrostatique E(r) en fonction de R1, R2, V(R1), V(R2) et r. Le laplacien d'une fonction scalaire en coordonnées sphériques a pour expression : 2 Af(r,9,ça) = %î(r2 ï)+%£(sinâï)+ , _12 a]: r ôr ôr r sm9 89 89 r sm 9 @@ - En déduire la capacité C3 du condensateur sphérique en fonction de R1, R2 et 80. - Examiner le cas où R2 = R1 + e avec 6 << R1. 8/12 Il. CONDENSATEUR SPHERIQUE : Système Terre-ionosphère On représente l'ensemble Terre-ionosphère comme un volumineux condensateur sphérique qui peut être modélisé par le schéma de la Figure 3. La Terre, de rayon R, se comporte comme un conducteur parfait de potentiel nul et porte une charge négative --Q (Q>0) uniformément répartie sur sa surface, tandis que l'ionosphère représentée par une surface équipotentielle sphérique de rayon R+zo, de potentiel V posséde une charge totale +Q. On suppose que l'atmosphère a la permittivité du vide. 1. Exprimer le champ électrostatique E(z) à l'altitude z (0R1. L'espace entre les deux conducteurs est vide. Le câble est traversé par un courant alternatif d'expression en notation complexe [(z,t) = [m(z) exp(jwt) dans le sens de Oz pour le conducteur interne et dans le sens opposé pour le conducteur externe (Figure 6). On suppose que les champs électrique l_î et magnétique E en tout point M dans l'espace R1 < p < R2 sont de la forme : E= Eo(,0,Z) eXp(jwt) et ë= Bo(,0, Z) eXp(jwf) et que le champ électrique l_î est radial : l_î = E() (p, 2) exp(jwt)ep Donnée : Au point M (p, 9, z) de coordonnées cylindriques, la fonction vectorielle G (M) = Gp ep + G9 69 + GZ eZ admet pour rotationnel : ÔG ÔG rotG= lÆ--ÔË e + p--Æ e9+l Ô(pG9)_ p eZ p 69 62 p 62 6,0 p 6,0 69 1. Par application de l'équation de Maxwell--Faraday sous forme locale au point M entre les deux conducteurs, montrer que le champ Q est orthoradial. (On négligera toute composante continue de ce champ). 2. En appliquant l'équation de Maxwell-Ampère sous forme intégrale (théorème d'Ampère généralisé) à un cercle d'axe Oz, de rayon p (cercle passant par M), déterminer en fonction de p et du courant [m(z) exp(jwt), le champ magnétique ë . . . 88 E 3. Etabhr une relat10n entre --9 et p 2 mais sous forme locale au point M, à la distance p de l'axe 02. En déduire l'expression du champ électrique l_î en fonction de p et du courant [m(z) exp(jwt). (On n'introduira pas de champ électrique constant). en appliquant de nouveau l'équation de Maxwell-Ampère 4. En déduire que la fonction [m(z) satisfait à une équation différentielle dont une solution est [m(z) = 10 exp(--jkz) et donner l'expression de k. Montrer que cette solution correspond à une << onde de courant >> qui se propage parallèlement à l'axe Oz, avec un sens et une vitesse de phase que l'on précisera. 5. Déterminer, à partir de l'expression de [m(z), les champs l_î et E en notation réelle (E,B), et préciser les caractéristiques de cette onde électromagnétique existant entre les conducteurs. 6. Définir, en notation réelle, le vecteur de Poynting S et sa valeur moyenne temporelle < S>. En déduire le flux de < S> à travers la couronne circulaire comprise entre les circonférences de rayons R1 et R2. 10/12 Figure 5 ! Figure 6 z l_fe' Figure 2 [= 0 R _> l_]e C _-- l_]s Figure 4 [= 0 --> A C _-- (_jS' 11/12 Valeurs numériques de lg x et de tan oc lg x : logarithme décimal de x x 1,5 2 2,5 3 lg x % 0,176 % 0,301 % 0,398 % 0,477 x 11 101 1001 10 001 lg x % 1,041 % 2,004 % 3,000 4 % 4,000 04 tan oc : tangente de l'angle oc & (rad) TC TC TC TC TC 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 tan oc ,... 128 % 64,3 % 43,1 % 32,5 % 26,1 & (rad) TC TC TC TC TC 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 tanoc : 13,3 :7,0 Z4,8 s3,7 S3,1 oc (rad) 3 1 L " L 10 30 100 300 1000 tan oc % 0,3 % 0,1 % 0,03 % 0,01 % 0,003 Fin de l'énoncé 12/12

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 CCP Physique 2 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) ; il a été relu par Arnaud Riegert (ENS Ulm) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE). Ce sujet comporte deux problèmes : un d'optique géométrique et un d'électromagnétisme. Ils sont bien équilibrés, en longueur comme en difficulté. · Le problème d'optique géométrique comporte trois parties largement indépendantes. La première passe en revue quelques questions de cours. La deuxième étudie les miroirs sphériques et leur utilisation dans le télescope de Cassegrain. Enfin, la troisième aborde les lentilles minces et la lunette de Galilée. Les questions de ce problème sont proches du cours et bien guidées. Il importe toutefois de bien lire l'énoncé pour ne pas faire d'erreurs de signe. · Le second problème comporte quatre parties, elles aussi largement indépendantes. Tout d'abord, on examine les propriétés et la capacité d'un conducteur, puis d'un condensateur. Les trois parties suivantes sont des applications à des condensateurs sphérique, plan et cylindrique, dans des domaines différents. Le condensateur sphérique est étudié d'un point de vue électrostatique, avec application au système Terre-ionosphère ; puis le condensateur plan est étudié en tant que composant électronique dans deux circuits, un passe-bas et un passe-bande ; enfin, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques dans un câble coaxial. Ce sujet comporte peu de difficultés majeures. Les parties étant en outre indépendantes les unes des autres, il est possible de sauter des questions sans conséquence. Attention : l'usage de la calculatrice n'était pas autorisé lors de l'épreuve. Il fallait bien connaître son cours et savoir le restituer proprement. Le sujet y fait souvent appel en demandant des définitions et il s'en écarte finalement peu. Ce sujet permet de vérifier que l'on a parfaitement assimilé les parties du cours abordées et les raisonnements classiques associés. Par ailleurs, le rapport du jury formule le regret que les applications numériques aient été peu et mal traitées, de même que les questions nécessitant de rédiger une réponse argumentée à l'aide de vocabulaire précis. Indications Partie A. Optique II.1.b Faire un schéma. II.2.a.1 Écrire les tangentes des angles , et et les égaler aux angles. II.2.a.2 La somme des angles d'un triangle vaut : appliquer cela à AIC et A IC. II.2.c.1 Introduire le point C dans FA et F A . II.2.d Utiliser les triangles semblables. II.3.b.1 Attention au signe de R3 . II.4.b.1 Pour que A B soit une image réelle, il faut que SA soit positive. II.4.b.5 Faire un schéma faisant apparaître . III.1.c Faire des schémas où l'axe optique est translaté, l'objet restant fixe. III.3.b.1 Utiliser la formule de conjugaison de Newton. III.4.b.3 Introduire l'image intermédiaire A1 B1 . Partie B. Électromagnétisme I.2.b.1 Calculer le potentiel au centre du disque. I.2.b.2 Calculer le potentiel au centre du cylindre. On pourra utiliser la primitive Z du = Argsh u 1 + u2 I.4.c.2 Appliquer le théorème de Gauss à un cylindre fermé. Pour obtenir le potentiel, -- - utiliser E = - grad V. Pour R2 = R1 +e avec e R1 , faire un développement limité en e/R1 et comparer l'expression de C2 avec celle de C1 . I.4.c.3 L'équation de Laplace dans le vide s'écrit ici V(r) = 0. II.1 Appliquer le théorème de Gauss à une sphère. II.2 Ne pas oublier que V(z = 0) = 0 V. II.3 Se souvenir que 1/4 0 = 9 . 109 m.F-1 et que Wel = C V2 /2. Attention au signe de E(z = 0). III.1.a En hautes fréquences, un condensateur est équivalent à un fil ; en basses fréquences il est équivalent à un interrupteur ouvert. III.1.c Examiner le comportement de H(j) pour c et pour c . En déduire le comportement de GdB et . Calculer les valeurs numériques de GdB et pour x = 10-2 , 10-1 , 1, 10 et 102 . III.2.b Appliquer le théorème de Millman deux fois. III.2.d Rechercher les valeurs de x pour lesquelles |H(x)| = Hmax / 2. IV.3 B est indépendant de . IV.4 Utiliser les relations obtenues aux trois questions précédentes pour éliminer les champs et ne garder que Im . A. Optique I. Définitions I.1.a Un système optique centré est un ensemble de dioptres ou de miroirs à symétrie de révolution et d'axes confondus. I.1.b Un système catoptrique est un système optique ne comportant que des miroirs. I.2.a Un système optique est dit rigoureusement stigmatique pour un point A donné si tout faisceau de rayons issus de ce point converge en un point A après passage dans le système optique. Plutôt que de parler de « stigmatisme rigoureux pour un point A », il faudrait parler de « stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un couple de points (A ; A ) ». I.2.b Le miroir plan est rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espace. Aucune démonstration n'étant demandée, il est inutile de chercher à en donner une. Cette remarque est aussi valable pour la question I.3.b. I.3.a Le système optique est dit aplanétique si le point B est situé dans le plan transverse contenant A . I.3.b Le miroir plan est rigoureusement aplanétique pour tous les points de l'espace. I.4.a Dans l'approximation de Gauss, on ne considère que des rayons voisins de l'axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci, appelés rayons paraxiaux. I.4.b Dans le cadre de l'approximation de Gauss, on réalise le stigmatisme approché pour tous les points de l'espace pour les systèmes optiques centrés. II. Étude de miroirs sphériques II.1.a Un miroir convexe est un système optique divergent car un faisceau incident parallèle émerge en divergeant. II.1.b Le miroir (m2 ) est un miroir divergent puisqu'un faisceau incident parallèle en émerge en divergeant. C1 x F (m1 ) x F x (m2 ) C1 x II.1.c Le miroir (m3 ) est un miroir divergent comme le montrent les deux schémas ci-dessous : avec le miroir convergent, l'image de l'oeil est renversée et réelle ; avec le miroir divergent elle est droite et virtuelle. oeil x q q C1 F image q oeil q x x miroir convergent F image C1 x miroir divergent Dans son rapport, le jury regrette que les rayons et images virtuels n'aient pratiquement jamais été tracés en pointillés. Lorsqu'il y a des miroirs, tous les traits situés derrière les miroirs doivent être en pointillés. D'une manière générale, on trace en pointillés les prolongements de rayons réels et les images formées par l'intersection de ces rayons virtuels. II.2.a.1 Dans le cadre de l'approximation de Gauss, on assimile les tangentes des angles à leurs valeurs en radians et on confond les points H et S. Dans le triangle AHI rectangle en H, on peut écrire tan = d'où HI HI HI = =- AH AS SA =- De même, on obtient = - HI SA HI SA et =- HI SC Ici et dans toute la suite, on travaille avec des angles orientés et il faut prendre garde aux signes. II.2.a.2 Dans le triangle AIC, la somme des angles vaut , ce qui permet, en d du rayon issu de A en I, d'écrire la relation introduisant i, angle d'incidence AIC + i + ( - ) = , ce qui donne i = - . IC étant également i d'après la deuxième loi de [ Dans le triangle A IC, l'angle A Descartes sur la réflexion, on obtient de même + i + ( - ) = , soit i = - . En identifiant ces deux expressions de i, on obtient la relation + = 2 II.2.a.3 En remplaçant, dans la relation précédente, les angles par leurs expressions déterminées à la question II.2.a.1, on obtient HI HI HI + =2 SA SA SC ce qui donne 1 1 2 + = SA SA SC qui est bien conforme à l'expression proposée, avec k1 = 2