CCP Physique 2 MP 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Ahmed Youssef (ENS Cachan) ; il a été relu par Marc
Legendre (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).
Le sujet comporte deux parties indépendantes et de difficultés inégales.
· La première partie commence par la présentation d'un modèle très classique
de l'atome dû à J.-J. Thomson, à qui l'on attribue également la découverte
de l'électron. On cherche à caractériser notamment la réponse de cet atome à
une excitation électrique externe. Ensuite, on étend ce modèle à l'étude de la
propagation du rayonnement dans un plasma après avoir étudié ses oscillations
libres. Cette partie est relativement facile, les idées et les calculs mis en
oeuvre
se rencontrent régulièrement aux concours et il est bon de savoir les faire.
· La deuxième partie est plus difficile. Elle porte sur un système optique qui
permet d'élargir temporellement une impulsion lumineuse ultra-brève. Après avoir
amené le candidat à retrouver quelques résultats sur la diffraction par un
réseau,
l'énoncé aborde l'étude spectrale d'un signal lumineux à l'aide de la
transformée
de Fourier, outil qui intervient très souvent en physique et dont il est
nécessaire
de comprendre la signification et les mécanismes de base.
Ce sujet constitue une bonne révision du cours sur la propagation d'ondes
électromagnétiques dans les plasmas. Il permet également une exploration
pointue du
domaine des transformées de Fourier, en passant par une révision rapide de la
diffraction dans une configuration probablement nouvelle pour le lecteur.
Indications
Partie A
A.1.2.3 Si l'électron est lâché dans le noyau, il y reste.
A.2.1.1 Utiliser l'hypothèse selon laquelle le milieu est neutre avant la
perturbation.
Partie B
B.1.1.b Utiliser le principe d'Huygens-Fresnel pour calculer l'amplitude
diffractée,
exactement comme pour un réseau en transmission.
B.2.2.c La combinaison des deux réseaux permet de séparer spatialement les
différentes fréquences du signal incident.
B.2.3.b Faire un développement limité par rapport à et .
B.2.3.d Utiliser la relation = 2/ .
B.3.3 L'onde ne peut se propager dans le milieu que si son vecteur d'onde est
réel.
B.3.3.a Remarquer que le terme d'ordre 2 n'est pas négligeable, il faut donc en
tenir
compte dans les calculs. Raisonner ensuite sur les composantes spectrales
avant de reconstruire le profil temporel en prenant la transformée de Fourier
inverse. D'autre part il est nécessaire d'utiliser la formule de l'énoncé avec
c1 complexe.
Partie A
A.1
Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène
A.1.1.1 La densité volumique de charge dans le noyau vaut
=
3 qe
= 3, 1.1011 C.m-3
4a0 3
-
A.1.1.2 On utilise le théorème de Gauss pour calculer Eat . La symétrie
sphérique
de la distribution impose
-
Eat = Eat (r) -
er
L'application du théorème de Gauss conduit à
ZZ
- -
Qi
Eat · d S = 4r2 Eat (r) =
0
où Qi est la charge intérieure à la sphère de Gauss ; d'où
-
Qi -
Eat (r) =
er
40 r2
Distinguons deux cas :
· si r 6 a0 alors
Qi =
4 3
q e r3
r =
3
a0 3
-
Eat (r) =
· si r > a0 alors
qe
-
r
40 a0 3
Qi = q e
-
Eat (r) =
qe -
er
40 r2
En dehors de l'atome, le champ électrique est analogue à celui créé par une
charge ponctuelle à l'origine des coordonnées.
-
A.1.2.1 On note -
r la position de l'électron. Si k
r k 6 a0 alors l'électron est à
l'intérieur de la sphère et ressent une force
-
-
F at-e = -q e Eat = -
qe2 -
r
40 a0 3
-
-
F at-e est de la forme F at-e = -k -
r ; c'est donc une force de rappel élastique.
Ceci explique la dénomination « modèle de l'électron élastiquement lié » donnée
généralement au modèle de Thomson.
A.1.2.2 Numériquement
-
k F at-e k = 4, 6.10-8 N
A.1.2.3 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le
référentiel lié au noyau, supposé galiléen, et on a l'équation du mouvement
d2 -
r
k -
+ -
r = 0
dt2
m
p
On reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre 0 = k/m
qui s'intègre immédiatement en
-
r (t) = x0 cos(0 t) -
ex
-
A.1.3.1 Après application d'un champ extérieur Ea , la somme des forces
appliquées
sur l'électron vaut
-
-
-
F
= F
+ F = q E (r)-
e -q E -
e
totale
at-e
a
e
at
x
e
a x
Le champ électrique atomique est maximal pour r = a0 . Par conséquent, on ne
peut
avoir un état lié que si
Ea 6 Eat (a0 ) =
qe
40 a0 2
Si cette condition est remplie, deux positions d'équilibre sont possibles :
l'une à l'intérieur du noyau, l'autre à l'extérieur. Or le potentiel étant
décroissant à grande
distance, la position d'équilibre externe est instable. Il ne reste que la
position interne que l'on trouve en égalisant la force de rappel élastique et
la force électrique
extérieure :
q e Ea -
-
r0 = -
ex
k
A.1.3.2 Numériquement
E a,max = 5, 8.1011 V.m-1
A.1.3.3 Le barycentre de la charge positive se trouve au centre du noyau
-
p = -q e -
r0
donc
-
-
p = 40 a0 3 Ea
résultat indépendant de l'origine des coordonnées.
A.1.3.4 La polarisabilité électronique est homogène à un volume, qu'on doit
comparer au seul volume typique du problème, à savoir le volume V de l'atome.
Pour l'atome de Thomson, V = 4/3a03 et on a
= 4a0 3 = 3 V = 1, 6.10-30 m3
A.1.4.1 L'équation du mouvement devient
d2 -
r
qe -
= -0 2 -
r - Ea
2
dt
m
