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| Thème de l'épreuve | Électron élastiquement lié, plasma et étirement temporel d'une impulsion lumineuse |
| Principaux outils utilisés | électrostatique, ondes électromagnétiques, diffraction de Fraunhofer, transformée de Fourier, réseau |
SESSION 2005 MPP2009 A CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras. -- PARTIE A -- 1. Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène On donne: 1/4TC80 z9 10981, m=9,1 10"31kg, qe=1,6 10--19C. 1.1 Dans un modèle classique de l'atome d'hydrogène, dû à H. Thomson (1895), le noyau positif de charge totale % est modélisé par une sphère uniformément chargée de rayon ao = 5010--12m = 50pm. 1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression littérale et valeur numérique) ? 2. Expliciter en tout point de l'espace le champ Eat électrostatique créé par cette distribution de charge. 1.2 Un électron de masse m et de charge "%> supposé ponctuel, est placé au centre de cette distribution. 1. Montrer que, si l'on écarte l'électron de cette position d'une quantité |r|Sao, il est soumis à une force de rappel Fa,_e que l'on explicitera. 2. Quelle est l'intensité de cette force pour |r| : 25 pm '? 3. Quel sera le mouvement ultérieur de l'électron s'il est lâché, sans vitesse initiale, à partir d'un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par ro =(x...0,0), OSxO O. Ci On convient de définir la « largeur » d'une courbe comme la demi--largeur à 1/e du maximum de cette courbe. Z \ A -------------------------- , 10 " 0 """""""""""""""""""" L:}, 3 Réseau 1 ; 'I 000 Réseau 2 Figure 2 2.1. a. Donner la signification de 17. b. Calculer la transformée de Fourier Ë(oe) de l'impulsion. C. En déduire sa « largeur >>. 2.2. a. Dans quelle direction, mesurée par rapport au rayon incident sur le réseau 1, est diffracté le rayon lumineux associé à 000 après le deuxième réseau '? b. Dessiner le trajet d'un rayon correspondant à une composante spectrale 0) quelconque 2.3. a. proche de (00 . Conclure sur les directions des rayons diffractés par le deuxième réseau. Pour une composante spectrale ou, trouver la relation x(9) donnant le point d'impact du rayon lumineux sur le plan d'observation (P) perpendiculaire au trajet du rayon associé à 000 . Onprendra l'origine x = O pour 00 = 000. . A partir de la relation 9(oe), trouver la relation entre A9=9(oe)--90 et Aoe=oe--oe0 sachant que G) est proche de 90. . En déduire la relation au(x) caractérisant l'étalement spatial du spectre de l'impulsion le long du plan (P). On rappelle que 0) et 9 sont proches de 000 et 60 respectivement, et qu'un développement limité peut donc être effectué. En ne tenant compte que de la dispersion spatiale déterminée précédemment, déterminer le profil spatial de l'intensité lumineuse au niveau de ce plan (P). Application numérique : Calculer 90 en degré puis la « largeur » de la courbe de l'intensité diffractée dans le plan (P) pour 1? : lOOfs (lfs : 10--15s ), z : 2m, et a = 2,07 um . 3. Etirement temporel d'impulsions lumineuses La différence de phase totale Ad) accumulée jusqu'au plan (P) entre deux rayons associés à 0) et 000 s'exprime à partir d'un développement limité à l'ordre 2 comme Ad) : (b'0 Aoe+ ii)--Q (Aoe)2 où 2 3.1. En comparant à l'unité le terme de second ordre, pour quelles durées 1: la correction d'ordre deux est-elle nécessaire '? On prendra Aoe == 2/ 't . 3.2 Le coefficient qi{, peut être calculé en utilisant le fait que le déphasage quadratique au niveau du plan (P) est le même que le déphasage dans le plan (PO) (figure 2) et est dû uniquement à la diffraction par le réseau 1. a. b. Calculer la phase accumulée par un rayon associé à 0) à partir du point d'impact A et diffracté dans le plan (PO) en fonction de la distance AB et A9 : 9(oe) -- 90 . En déduire le coefficient (bô en fonction de a, z, 000 et l'angle de diffraction 90- Application numérique. 3.3 a. En tenant compte du déphasage Ad) , reconstituer le profil temporel du champ électrique de l'impulsion lumineuse au niveau du plan (P). b. En déduire le module du champ. c. Quelle est la signification du coefficient 'Î)'O ? (1. Donner la largeur temporelle r de l'impulsion au plan (P). P 6. Application : On envoie une impulsion lumineuse dans ce dispositif telle que 't = 100 1%. Calculer la durée de l'impulsion 'L'p . , Fin de l'énoncé
CCP Physique 2 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Ahmed Youssef (ENS Cachan) ; il a été relu par Marc Legendre (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Le sujet comporte deux parties indépendantes et de difficultés inégales. · La première partie commence par la présentation d'un modèle très classique de l'atome dû à J.-J. Thomson, à qui l'on attribue également la découverte de l'électron. On cherche à caractériser notamment la réponse de cet atome à une excitation électrique externe. Ensuite, on étend ce modèle à l'étude de la propagation du rayonnement dans un plasma après avoir étudié ses oscillations libres. Cette partie est relativement facile, les idées et les calculs mis en oeuvre se rencontrent régulièrement aux concours et il est bon de savoir les faire. · La deuxième partie est plus difficile. Elle porte sur un système optique qui permet d'élargir temporellement une impulsion lumineuse ultra-brève. Après avoir amené le candidat à retrouver quelques résultats sur la diffraction par un réseau, l'énoncé aborde l'étude spectrale d'un signal lumineux à l'aide de la transformée de Fourier, outil qui intervient très souvent en physique et dont il est nécessaire de comprendre la signification et les mécanismes de base. Ce sujet constitue une bonne révision du cours sur la propagation d'ondes électromagnétiques dans les plasmas. Il permet également une exploration pointue du domaine des transformées de Fourier, en passant par une révision rapide de la diffraction dans une configuration probablement nouvelle pour le lecteur. Indications Partie A A.1.2.3 Si l'électron est lâché dans le noyau, il y reste. A.2.1.1 Utiliser l'hypothèse selon laquelle le milieu est neutre avant la perturbation. Partie B B.1.1.b Utiliser le principe d'Huygens-Fresnel pour calculer l'amplitude diffractée, exactement comme pour un réseau en transmission. B.2.2.c La combinaison des deux réseaux permet de séparer spatialement les différentes fréquences du signal incident. B.2.3.b Faire un développement limité par rapport à et . B.2.3.d Utiliser la relation = 2/ . B.3.3 L'onde ne peut se propager dans le milieu que si son vecteur d'onde est réel. B.3.3.a Remarquer que le terme d'ordre 2 n'est pas négligeable, il faut donc en tenir compte dans les calculs. Raisonner ensuite sur les composantes spectrales avant de reconstruire le profil temporel en prenant la transformée de Fourier inverse. D'autre part il est nécessaire d'utiliser la formule de l'énoncé avec c1 complexe. Partie A A.1 Modèle de Thomson de l'atome d'hydrogène A.1.1.1 La densité volumique de charge dans le noyau vaut = 3 qe = 3, 1.1011 C.m-3 4a0 3 - A.1.1.2 On utilise le théorème de Gauss pour calculer Eat . La symétrie sphérique de la distribution impose - Eat = Eat (r) - er L'application du théorème de Gauss conduit à ZZ - - Qi Eat · d S = 4r2 Eat (r) = 0 où Qi est la charge intérieure à la sphère de Gauss ; d'où - Qi - Eat (r) = er 40 r2 Distinguons deux cas : · si r 6 a0 alors Qi = 4 3 q e r3 r = 3 a0 3 - Eat (r) = · si r > a0 alors qe - r 40 a0 3 Qi = q e - Eat (r) = qe - er 40 r2 En dehors de l'atome, le champ électrique est analogue à celui créé par une charge ponctuelle à l'origine des coordonnées. - A.1.2.1 On note - r la position de l'électron. Si k r k 6 a0 alors l'électron est à l'intérieur de la sphère et ressent une force - - F at-e = -q e Eat = - qe2 - r 40 a0 3 - - F at-e est de la forme F at-e = -k - r ; c'est donc une force de rappel élastique. Ceci explique la dénomination « modèle de l'électron élastiquement lié » donnée généralement au modèle de Thomson. A.1.2.2 Numériquement - k F at-e k = 4, 6.10-8 N A.1.2.3 Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l'électron dans le référentiel lié au noyau, supposé galiléen, et on a l'équation du mouvement d2 - r k - + - r = 0 dt2 m p On reconnaît l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre 0 = k/m qui s'intègre immédiatement en - r (t) = x0 cos(0 t) - ex - A.1.3.1 Après application d'un champ extérieur Ea , la somme des forces appliquées sur l'électron vaut - - - F = F + F = q E (r)- e -q E - e totale at-e a e at x e a x Le champ électrique atomique est maximal pour r = a0 . Par conséquent, on ne peut avoir un état lié que si Ea 6 Eat (a0 ) = qe 40 a0 2 Si cette condition est remplie, deux positions d'équilibre sont possibles : l'une à l'intérieur du noyau, l'autre à l'extérieur. Or le potentiel étant décroissant à grande distance, la position d'équilibre externe est instable. Il ne reste que la position interne que l'on trouve en égalisant la force de rappel élastique et la force électrique extérieure : q e Ea - - r0 = - ex k A.1.3.2 Numériquement E a,max = 5, 8.1011 V.m-1 A.1.3.3 Le barycentre de la charge positive se trouve au centre du noyau - p = -q e - r0 donc - - p = 40 a0 3 Ea résultat indépendant de l'origine des coordonnées. A.1.3.4 La polarisabilité électronique est homogène à un volume, qu'on doit comparer au seul volume typique du problème, à savoir le volume V de l'atome. Pour l'atome de Thomson, V = 4/3a03 et on a = 4a0 3 = 3 V = 1, 6.10-30 m3 A.1.4.1 L'équation du mouvement devient d2 - r qe - = -0 2 - r - Ea 2 dt m
