CCP Physique 2 MP 2003

Thème de l'épreuve Circuit électrique dans un champ électromagnétique mobile. Interféromètre de Michelson.
Principaux outils utilisés changement de référentiel, induction, spectrométrie de Fourier
Mots clefs moteur, spectroscopie par transformée de Fourier, force de Laplace

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2003 | MPP209 CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras. -- PARTIE A -- Ce problème analyse du point de vue de l'électromagnétisme fondamental le fonctionnement d'un moteur linéaire. Dans certains types de moteurs linéaires un" système statique (inducteur) crée, dans le référentiel de repos, le champ glissant auquel est soumis la partie mobile. C'est le cas que nous examinons ci--dessous. Le système considéré est décrit sur la figure 1 dont on respectera les conventions. Il se déplace sur des rails horizontaux, l'axe Oz est vertical ascendant et on néglige tout frottement. R y 0C=vct Figure 1 Dans le référentiel galiléen R un cadre conducteur MNPQ, composé de N spires identiques en série, se déplace avec la vitesse constante vc : veux dans un champ électromagnétique glissant créé par des sources non représentées : B(x,t) : Bm cos (00 (t -- x/v0 ))uz E(x,t) : !?va cos (00 (t -- x/v0 ))uy où vo est une vitesse donnée. On admettra que, dans les conditions de fonctionnement usuel, la valeur de Bm est constante et que le cadre se comporte comme une résistance pure r. On suppose vc et vo << c de sorte que s'appliquent les formules de changement de référentiel galiléen pour les champs. On posera gc : 1 --- VC,/VO , MN : QP : a et QM : PN : b. A l'instant t = O le centre du cadre passe à l'origine du système de coordonnées. Pour les applications numériques, on prendra: a=b : 0,3m, B... : 0,6T, N = 100, (0 : 200n rad.s"', r = 0,259 et vo = 60m.s"'. 1. Champ électromagnétique et changements de référentiels. On rappelle les formules de transformation pour les champs E et B entre deux référentiels galiléens R et R' en translation parallèlement à Ox. E'(x',t') : E(x,t)+ v A B(x, t) B'(x', t') : B(x,t). On a noté v : vux la vitesse relative de R' par rapport à R , x', t' et x, t les coordonnées d'un A I I ' , meme evenement respect1vement dans R et R . On a : x' = x -- vt, t' = t. 1. Etant donné les expressions ci-dessus de B et E dans R préciser quelle est la période spatiale (ou longueur d'onde) ). des champs. 2. Exprimer B'(x',t) et E'(x',t) dans R' en fonction de Bm,oe,vo,x' , t et g =1-- v/v0 . 3. Quelles sont la pulsation m' et la longueur d'onde X des champs dans R'? 4. Quelle est la vitesse de glissement des champs dans R' en fonction de g et VO '? 5. Donner les expressions des champs B0(x0,t) et E0(x0,t) dans le référentiel RO pour lequel v : vo et commenter ces résultats. 6. Donner les expressions des champs Bc(xc,t) et Ec(xc,t) dans le référentiel RC dans lequel le cadre est immobile. 2. Force électromotrice induite. 1. On se place dans le référentiel Q{O . Le cadre est alors mobile dans un champ stationnaire. La force électromotrice induite dans un élément de circuit de longueur dl se déplaçant avec la vitesse ch dans le champ BO est alors (ch ABO).dI : 61180. (a) Quelles sont, dans % , les abscisses de M et de P en fonction du temps ? (b) Calculer la force électromotrice instantanée 80(t) induite dans le cadre en introduisant gc : l ---- vc/v0 dans son express1on. (0) AN. : v = 58,2m.s"1 . Calculer g et la valeur maximum de 8 t . c c 0 2. On se place dans le référentiel & dans lequel le cadre est immobile. (a) Rappeler la loi de Faraday permettant dans ce cas de calculer la force électromotrice instantanée ec(t). (b) Quelles sont, dans & , les abscisses de M et de P ? (c) Calculer en fonction du temps, le flux (Dc(t) du champ magnétique à travers le circuit fermé MNPQ. (d) Calculer la force électromotrice instantanée sc(t) induite dans le cadre. (e) La valeur de la force électromotrice dépend-t-elle du référentiel dans lequel on la calcule ? 3. Courant et puissance dissipée dans le cadre. 1. Quelle est la valeur instantanée de l'intensité ic(t) du courant qui parcourt le cadre ? 2. Calculer la valeur moyenne PJ sur une période du courant de la puissance p(t) : sc(t)ic(t). Que devient l'énergie correspondante ? 3. AN. : pour vc : 58,2 m.s_1 , calculer la valeur maximum de ic(t) et PJ. 4. Force de Laplace. 1. On rappelle que la force de Laplace est invariante par changement de référentiel galiléen. Quelle est la valeur de la résultante fL(t) des forces de Laplace s'exerçant sur le cadre ? Quelle est sa valeur moyenne FL ? 2. Calculer, dans R , la puissance instantanée pL(t) de f L , sa valeur moyenne PL et tracer la courbe représentant les variations de PL en fonction de gc pour -- 0,1 $ gc .<. 1,1. 3. AN. : Calculer les valeurs de "FL" et de PL pour vc : 58,2 m.s'l. 5. Bilan électromécanique. ]. Comparer, dans R... PLO et PJ. 2. En régime permanent dans R (cad. à vitesse constante) le bilan de l'énergie totale cédée par le cadre s'écrit gm +PL +R, : 0 en appelant Rem la puissance électromagnétique transférée par le cadre mobile au champ glissant. Exprimer PL et gm en fonction de R, et gc- 3. Préciser les signes des puissances Rem et PL en fonction des valeurs de gc (gc SO, 05 gc .<.l, 1s gc) et caractériser pour chacun de ces intervalles le mode de fonctionnement (moteur, générateur ou frein électromagnétique). 4. Donner les valeurs numériques des puissances Hem , PL et PJ pour vc = 61,8 ms". 6. Commande à vitesse variable Le système créant le champ est un système d'électroaimants dont le pas polaire b (distance entre deux pôles successifs) est une constante fixée à la construction. La période spatiale du champ est alors égale à deux fois cette distance. 1. Calculer vo en fonction de b et de 0). 2. On suppose constante la force F, exercée par le système entraîné. Montrer qu'alors gcv0 est constant. 3. En déduire qu'il est possible de régler la vitesse vc à partir de la fréquence d'alimentation. 4. AN. : La force résistante est "F,." : 4666N. Quelle est la fréquence avec laquelle on doit alimenter le système pour que le moteur démarre ? -- PARTIE B -- Introduction Ce problème, concernant l'interféromètre de Michelson est constitué de trois parties : la première partie concerne l'étude des anneaux à l'infini ramenés dans le plan focal d'une lentille. On étudie ensuite dans la seconde partie, comment cet interféromètre peut être utilisé comme spectromètre par transformée de Fourier dont on rappelle la définition au début de la partie II. La troisième partie porte sur le pouvoir séparateur de l'appareil. Description de l'interféromètre On considère l'interféromètre de Michelson ci--dessous où les deux miroirs plans M1 de centre 01 et M 2 , de centre 02 sont perpendiculaires l'un à l'autre. Face semi--réfléchissante [M 1 gm... ----- «@ætæ...ww...w // / / I / / / / / / ! LC ' Sl L1 Ls Source étendue S C2 la Fz Plan d'observation 7: Z L'interféromètre comporte une lame LS , de centre [, semi-réfléchissante, non absorbante, appelée séparatrice, dont le facteur de réflexion énergétique R vaut R = 0,5. Cette lame est inclinée à 45° par rapport aux normales à M1 et M2. LC désigne une lame compensatrice de même épaisseur que LS , parallèle à L5 et on fera les deux hypothèses suivantes : 1°. on considère que cet ensemble est équivalent à une lame séparatrice infiniment mince, ii. on néglige le déphasage, induit par le traitement réfléchissant de LS, entre l'onde 1 se réfléchissant sur M1 et l'onde 2 se réfléchissant sur M 2. L'interféromètre est placé dans l'air assimilé au vide. I -- Etude des anneaux d'égale inclinaison On considère que M1 est fixe et que M2 peut être translaté suivant l'axe x, parallèlement à l'axe 2. La source étendue S, monochromatique, de longueur d'onde X dans le vide, est placée au foyer objet principal Fi d'une lentille L1 (voir figure), de distance focale image fl =100mm. Cette source est assimilable à un cercle centré en P} de rayon ao dans un plan parallèle à yz. Le plan d'observation n, parallèle au plan xy, se situe dans le plan focal d'une lentille la de foyer principal image F}_, de distance focale image f2=lm. On note e=[01--102 où [01 représente la distance de I à 01 et 102 , la distance de I à 02 . 1. On considère un point SI , situé à la distance a] de F] et repéré par l'angle i considéré petit (voir figure). (a) Quelle est la direction du faisceau issu de S1 , après avoir traversé la lentille L1 ? (b) Représenter la marche des 2 rayons, issus du rayon SIC] , jusque dans le plan 1t . Remarque : on notera « rayonl », le rayon se refléchissant sur M1 et « rayon2 », le rayon se réfléchissant sur M 2. (0) Montrer que tout se passe comme si le rayon 2 à la sortie de la séparatrice avait été réfléchi par un miroir virtuel M & dont on indiquera la position sur un schéma. 2. Montrer alors que les rayons 1 et 2 interférent en un point M du plan focal de la. Donner la distance F2M . Que peut--on dire des autres rayons qui constituent le faisceau issu du point S1 ? Montrer que la figure d'interférences est constituée d'anneaux de centre F2 . 3. Montrer que la différence de chemin Optique A des rayons 1 et 2 est donnée par la relation : A = 2 ecos(i ). 4. (a) Donner l'expression de l'ordre d'interférence p au point M. En déduire l'ordre d'interférence Po en F2 , défini par: P0 : k1 +8 où k1 est l'ordre d'interférence relatif au premier anneau brillant. Comment varie l'ordre d'interférence lorsque i augmente ? (b) L'angle i étant faible, déterminer le rayon du n-ième anneau brillant appelé r,, en fonction de po , n et e. (0) AN. : e : l,lmm. Déterminer po puis l'ordre d'interférence et le rayon du premier et du cinquième anneau brillants pour k : 546nm (raie de mercure). Quel doit être le rayon ao de la source si l'on veut pouvoir observer les cinq premiers anneaux ? 5. (a) On diminue la valeur de e. Montrer que les anneaux semblent «rentrer». Calculer la valeur de e pour laquelle le premier anneau disparaît. En déduire le rayon r1' du premier nouvel anneau et le comparer au rayon de l'anneau qui a disparu. (b) Décrire le phénomène observé pour e = 0 . Il -- Spectroscopie par transformée de Fourier On rappelle la notion de transformée de F0urier : La transformée de Fourier de f (v) est définie par la fonction Î(t) : TF(f(V))=Î(T)= Çf(v)cos(zm)dv f (v) peut être définie par la transformée de Fourier inverse de f(x) et s'exprime par la relation : f (v) : TF "1( f (r)): r Î(r)cos(2m)dr . On dit alors que v et 1 sont des variables conjuguées. 1. (a) Calculer les amplitudes A1 et A2 des ondes associées aux rayons 1 et 2 en fonction du coefficient de réflexion R de la séparatrice et de A0 , amplitude de l'onde incidente sur la séparatrice. (b) Donner l'expression de l'éclairement E(M ) au point M du plan 7: en fonction de e, i et de l'éclairement EO(M ) lorsque le miroir M2 est occulté. 2. La puissance totale P émise par une source étendue polychromatique se répartit suivant les différentes radiations de fréquence v , et on définit la densité Spectrale de puissance P(v) par la relation: dR,(v)= P(v)dv où dR,(v) s'exprime en Watt (W) et représente la puissance rayonnée par toute la source dans l'intervalle de fréquence [v,v+dv]. P(v) caractérise la répartition spectrale ou le spectre de la source, que l'on cherche à déterminer par la suite. Lorsqu'une voie de l'interféromètre est occultée (pas d'interférences), l'éclairement dE,,(M ) (en W.m_2) reçu au point M du plan Tt, dans la bande de fréquences [v,v+dv], s'écrit: dEv(M ) : K.dR,(v) : E(v).dv où K est une constante de proportionnalité, indépendante de v, dépendant de la géométrie et de la transmission de l'interféromètre. (a) Donner la relation entre, K, P(v) et E(v). En déduire que E(v) caractérise également le spectre de la source. (b) Lorsque les deux voies de l'interféromètre fonctionnent et en faisant l'hypothèse que chaque bande spectrale [v,v+ dv] donne son propre système de franges d'interférences, montrer que l'éclairement E(M ) s'écrit : E(M ) : 25E(v)(1 + cos(2nw))dv avec t = A / c où c est la vitesse de la lumière dans le vide. (0) En posant El : JÎE(v)dv, montrer que E(M ) peut se mettre sous la forme: E(M ): 2E1+2Ê(r) où Ê(T) est appelé l'interférogramme de la source. Donner l'expression de Ê(t) et préciser son unité. Que représentent E1 et Ê(T) ? Exprimer alors E(v) en fonction de Ê(r) à l'aide d'une intégrale de Fourier. 3. Un dispositif informatique permet de commander le déplacement du miroir M 2 et donc de faire varier A et "C. En Fz , foyer principal de [Q est disposé un détecteur, supposé ponctuel dans un premier temps qui permet de mesurer l'éclairement en ce point E(F}_) , pour chaque . A . . . valeur de A au pomt Fz (que l'on notera A0) et donc de 10 = --0. On obt1ent am51 une c suite de valeurs expérimentales échantillonnées de la variable 10 et de E(Fz). L'intégrale E(v) est alors calculée numériquement sur ordinateur. Comment obtenir les valeurs échantillonnées de Ê(TO) à partir des valeurs échantillonnées de E(P}_) et de El '? Montrer que l'on a réalisé un spectromètre. III -- Pouvoir de résolution 1. Question préliminaire (a) On considère une fonction dite « rectangle » centrée en v = 0 , intervenant par la suite, définie pour -- 00 < v < oo par : v . a v f (v) : rect -- =1 51 [v] 5 -- et rect-- : 0 pour les autres valeurs de v. a 2 a Représenter la fonction rectangle en fonction de v et calculer la transformée de Fourier Î(t) de la fonction f(v). Représenter Î(t). Pour quelles valeurs de r , Î(t) s'annule-t-elle la première fois ? (b) Calculer la transformée de Fourier Â(t) pour la fonction « rectangle » centrée en V : V0 : v--v . a v--v fl(v) : rect 0 =1 51 |v --v0| _<_ 5 et rect 0 = 0 pour les autres valeurs de v. a Pour quelle valeur de T, l'enveloppe de la fonction Â(t) s'amule-t--elle la première fois '? 2. Influence du déplacement fini de M 2. (a) Pour une source monochromatique de fréquence vo , le spectre théorique est défini par E...(v) : EO. Représenter le spectre Eth(v) en fonction de v. (b) En fait, pour connaître exactement le spectre, il faut disposer de l'interférogramme Ê(ro) complet, pour lequel 10 devrait varier de (--oo) à (+ oo). Or, le déplacement du miroir M2 est limité et A0 varie alors de ---Am à A.... Quel spectre calculé Eca(v) obtient-on dans le cas d'une source monochromati ue de fré uence v , sachant ue 0 Ê(r0)= EO.cos(2nvoro) ? Représenter la fonction Eca(v) pour v> 0. Préciser l'écart Av0 qui sépare le maximum principal de cette fonction de sa première valeur nulle. (c) En déduire l'allure de Eca(v) lorsque la source comporte deux fréquences vl et v2 Vo Ava plus petit écart qui peut être décelé (deux fréquences sont considérées séparées sur le spectre si l'écart en fréquence entre les maxima des figures relatives à chaque fréquence est plus grand que l'écart en fréquence entre le maximum relatif à une fréquence et la première valeur nulle relative à cette même fréquence). voisines de vo. Calculer alors le pouvoir séparateur défini par : Ra : où Ava est le A.N.: pour la raie du mercure caractérisée par la longueur d'onde dans le vide À=546nm, calculer Am et la valeur de e correspondante si l'on veut pouvoir distinguer la largeur de la raie : Al : 5.10_2nm . 3. Un autre facteur intervenant dans le pouvoir séparateur, est la taille du détecteur. En effet, celui--ci n'est pas ponctuel, mais circulaire dans un plan parallèle à xy, centré en F2 de rayon bo, vu sous l'angle 2i0 depuis le centre de la lentille L2. Il est de plus sensible à la puissance reçue sur toute sa surface, notée Pre et l'expression de l'éclairement du II.2.b est A remplacée par : Pre(To) : 2"K .P(v)[l +cos 27t --):} dv dS' où dS' est l'élément de surface du détecteur situé à la distance r du foyer FZ vu sous l'angle i depuis le centre C2 de la et où l'intégration s'étend sur toutes les fréquences et sur la surface du détecteur. P(v) caractérise toujours le spectre de la source. (a) Exprimer l'aire élémentaire dS' de l'élément de surface compris entre les circonférences de rayons (r) et (r + dr) en fonction de i et f2 (i étant un angle petit). (b) En déduire que Pre s'écrit lorsque les deux voies de l'interférom'etre fonctionnent: P,...e(ro) : EK'P(v)Æ(v)dv avec Il(v) : ":O (1 + cos(2movcos (i)))idi . Donner l'expression de K', puis montrer que l'intégrale Il (l'angle i étant faible, on -2 écrira cos(i ) z 1 --- L2-- avant d'intégrer) s'écrit : .2 . 10 _2 Sl"{TÉVT0 "2--] _2 10 1() Il(v) oe -- l + ----------î----cos(2nvro{ -- --J] 2 lb 4 TEVTO """" 2 (o) En négligeant iâ devant ], montrer que P,e(ro) est de la forme .2 B.e(ro) : Pre0 + K'%-F(To) où B--e0 ne dépend pas de to et F (ro) représente la TF d'une fonction donnant le spectre calculé de la source Fca(v) que l'on précisera. ((I) Dans le cas où la source est monochromatique de fréquence vo : P(v)= H, et Pre peut s'écrire : -2 . 10 _2 SI TCV010 '-- r 10 2 Be(To) : KPO ? 1 + --------T--COS (27ÏV010) l 7'CVOT0 --9-- 2 Donner l'expression de Ê(to ). En considérant la transformée de Fourier inverse de Ê(ro) et par analogie avec la transformée de Fourier inverse de f1(T) (question préliminaire), montrer que le spectre calculé Fca(v) est une fonction « rectangle » dont on précisera le centre et la largeur. (e) En déduire le plus petit écart AV,, décelable et le pouvoir de résolution Rb qui en résulte. 4. On peut montrer que le plus petit écart en fréquence décelable est : Av : ÿAvä + AvË et que le meilleur compromis est atteint pour Ava : AV,, . (a) Calculer alors io et le rayon du détecteur permettant de distinguer le profil de la raie À : 546nm et de largeur AÀ : 5.10"2nm . (b) Calculer le pouvoir de résolution R. Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 2 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Karol Kozlowski (ENS Lyon) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. · Le premier est une application des lois de l'électromagnétisme au fonctionnement d'un moteur linéaire. Il fait appel à des connaissances du cours d'induction ainsi qu'aux propriétés des champs lors d'un changement de référentiel. · Le second traite de l'optique ondulatoire de Fourier. Il commence par une étude des propriétés de l'interféromètre de Michelson puis aborde la fabrication d'un spectromètre par transformée de Fourier. Enfin, la troisième partie est consacrée à l'étude de différents problèmes de résolution rencontrés lors de l'observation de franges d'interférences. Les premières questions de chaque partie restent relativement proches du cours. La fin du sujet fait appel à la transformée de Fourier, ce qui peut permettre de se familiariser avec cet outil mathématique très puissant. Cette épreuve permet une bonne révision du cours d'induction et d'optique ondulatoire. Indications Partie A 1.2 Effectuer un changement de coordonnées. 1.4 Mettre les champs sous la forme proposée dans le préambule. - 2.1.b Se rappeler que le cadre est constitué de N spires en série. Évaluer B à l'abscisse où l'on a mené l'intégration. 3.2 Penser à l'effet Joule. 4.2 v0 est fixée une fois l'expérience lancée ; en revanche, v c dépend de g c . 5.3 Le fonctionnement moteur fournit de l'énergie mécanique au cadre, alors qu'en régime de freinage électromagnétique, le cadre perd de l'énergie mécanique. En fonctionnement générateur, le cadre produit du courant. Partie B I.5.a est positif et c'est une fonction croissante de l'écart e entre les deux miroirs. II.1.b Ne pas oublier que E0 (M) est l'éclairement dû à un seul bras du Michelson. II.2.b Comme les sources sont incohérentes, on peut additionner les éclairements. II.2.c E() est nul dans le domaine des fréquences négatives. II.3 Un spectromètre est un appareil qui permet de mesurer la densité spectrale d'une source lumineuse. Formules utiles de trigonométrie a+b a-b cos (a) - cos (b) = -2 sin sin 2 2 sin (a) + sin (b) = 2 sin a+b 2 cos a-b 2 (1) (2) Partie A 1. Champ électromagnétique et changements de référentiels - - 1.1 Les champs E et B étant proportionnels en norme, une unique longueur d'onde leur est associée. Elle est définie comme la plus petite période spatiale du signal : à un instant t fixé, les signaux en x et x + ont la même phase. En prenant par exemple le couple (x, t) = (0, 0), B(, 0) = B(0, 0) implique cos d'où =1 v0 = 2 v0 On peut retrouver cela en exprimant B sous la forme d'une onde plane B(x, t) = Bm cos(t - kx) d'où l'on tire en identifiant k = 2/ = /v0 . 1.2 La formule de changement de référentiel donne, puisque x = x + vt, - - B (x , t) = B (x + vt, t) - - - E (x , t) = E (x + vt, t) + - v B (x + vt, t) soit - x + v t - B (x , t) = B cos t - u m z v0 - x + v t x + v t - - v cos t - u E (x , t) = Bm v0 cos t - y v0 v0 ce qui conduit à - x - u B (x , t) = Bm cos g t - z v0 x - - u E (x , t) = Bm g v0 cos g t - y v0 - 1.3 On exprime B sous la forme d'une onde plane : - B (x , t) = Bm cos( t - k x ) - u z On en déduit = g et k = k d'où = g et = - 1.4 Si l'on exprime B sous la forme proposée par l'énoncé, - x - B (x , t) = Bm cos t - u z v alors v est la vitesse de glissement des champs dans R , d'où v = g v0 - - 1.5 On substitue v0 à v et x0 à x dans les expressions des champs B et E établies à la question 1.2. Dans le cas considéré, on a g = 0, de sorte que - - E0 (x0 , t) = 0 - x0 - B0 (x0 , t) = Bm cos u z v0 Les champs sont statiques dans le référentiel R0 qui se déplace par rapport à R à la vitesse de glissement des champs dans R : R0 « suit » les champs. Ceci illustre - - l'équivalence entre les champs E et B puisque l'on peut annuler l'un des deux par un changement de référentiel. Les champs électrique et magnétique sont en fait des éléments indissociables qui constituent le champ électromagnétique. 1.6 On substitue cette fois v c à v et xc à x pour aboutir à - xc - Bm cos g c t - u Bc (xc , t) = z v0 vc avec g c = 1 - v0 xc - - u Ec (xc , t) = g c v0 Bm cos g c t - y v0 2. Force électromotrice induite 2.1.a L'énoncé impose les conditions initiales xP = -b/2 et xM = b/2. Si l'on prend en compte la loi de composition des vitesses, alors la vitesse - v c 0 du cadre dans R0 s'écrit - vc 0 = - vc + - vR/R0 - où v est la vitesse relative de R par rapport à R et - v est la vitesse du cadre 0 R/R0 dans R0 . On établit alors que d'où c xP (t) = (v c - v0 ) t - b 2 et xM (t) = (v c - v0 ) t + xP (t) = -v0 g c t - b 2 et xM (t) = -v0 g c t + b 2 b 2