CCP Physique 2 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude électrocinétique et magnétostatique d'une bobine à champ pulsé et de son alimentation. Déphasage d'une onde au passage d'un foyer et applications.
Principaux outils utilisés électricité, champ magnétique, optique géométrique, diffraction
Mots clefs interférences, franges de Meslin, coronographe, exoplanète

Corrigé

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SESSION 2002 A MPP209 concours communs vouncumou:s EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. Une feuille de papier millimètré devra être distribuée avec le sujet. Conformément à l 'usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** A. ÉTUDE D'UNE BOBINE À CHAMP PULSÉ ET DE SON ALIMENTATION Ce problème étudie certaines caractéristiques de l'alimentation et de la réalisation d'une bobine utilisée pour créer un champ magnétique pulsé de très forte intensité permettant d'explorer les propriétés de la matière dans ces conditions. Le principe retenu au Service National des Champs Magnétiques Pulsés de Toulouse est de décharger un banc de condensateurs dans une bobine de fort coefficient d'inductance pendant une durée relativement longue (première partie). La description de la bobine et du champ qu'elle crée font l'objet de la deuxième partie. Ces deux parties peuvent être traitées indépendamment. Partie I -- Alimentation pour bobine à champ pulsé Le circuit électrique de la figure 1 comporte trois branches en parallèle. La première est constituée d'un condensateur de capacité C : 25mF . La seconde comprend seulement une diode idéale D ne laissant passer le courant que de B vers A. La troisième contient une bobine de coefficient d'inductance propre L : 64mH et de résistance R en série avec un interrupteur K. On prend en compte la variation de résistance de la bobine due à l'échauffement brutal des conducteurs pendant la décharge, en adoptant une valeur moyenne de la résistance R=1£2. On pose (00 = l/«/ LC et oc : R/2Loeo S 1. Initialement K est ouvert et le condensateur chargé sous la tension (VA -- VB ) : V0 : 15500V , D est donc bloquée et le courant dans la bobine est nul. A l'instant t=O, on ferme K. On distinguera deux régimes suivant que D est bloquée ou conductrice. Tournez la page S.V.P. 1. Calculer l'intensité IL(t) du courant dans la bobine et la tension VC (1) aux homes du condensateur en fonction du temps avant le déblocage de la diode. 2. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée Il au bout de laquelle l'intensité du courant IL atteint sa valeur maximum [... . Calculer numériquement [Lm . 3. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée 152 au bout de laquelle la tension VC s'annule. Calculer numériquement IL(TZ). 4. Calculer IL (1) après le déblocage de D. 5. Donner l'expression littérale et la valeur numérique de la durée "53 au bout de laquelle l'intensité est revenue à 10% de sa valeur au moment du déblocage de D. 6. Tracer sommairement les courbes représentant l'intensité IL (t) et la tension VC (t). 7. Quelle est l'énergie électrostatique ee stockée initialement dans le condensateur ? 8. Que peut-on dire de l'énergie initialement stockée dans le condensateur lorsque l'intensité est redevenue nulle ? Partie II -- Bobine pour champ magnétique intense pulsé Une bobine épaisse est réalisée en bobinant un fil d'un conducteur isolé de section rectangulaire sur un cylindre à raison de n = 250 spires par mètre, en longueur, et m = 400 couches par mètre, \ en épaisseur. On néglige l'épaisseur de l'isolant et on suppose le bobinage a spires circulaires planes parfaitement jointives. Une fois terminé, le bobinage a un rayon intérieur de R1 =lcm et extérieur de R2 = 8,5 cm (Figure 2). On suppose pour l'instant la bobine de longueur 1 >> R2 (approximation du solénoïde épais infini). 1. Donner l'expression de la densité volumique de courant J en fonction de n, m et de l'intensité [ du courant parcourant les spires. 2. En raisonnant sur les symétries, donner la direction du champ magnétique au point M de coordonnées cylindriques p, 6, z . 3. Calculer le champ magnétique créé en tout point de l'espace par cette distribution de courants. 4. Exprimer la force de Laplace d'F s'exerçant sur un élément de volume du bobinage entourant le point M. 5. On suppose que l'intégralité de ces forces volumiques est transmise à la surface extérieure par la structure métallique. Quelle est la force qui s'exerce sur l'unité de surface du 10. cylindre de rayon R2 ? En déduire la pression p correspondante, appelée pression magnétique. On rappelle que l'énergie magnétique volumique est donnée par la relation classique uB(M ): (1/2 ...) )B2(M ). En déduire l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée par unité de longueur du bobinage. Montrer que le calcul précédent permet de déduire l'inductance propre linéique À d'un soléno'1'de épais infini de rayons interne R1 et externe R2. On prend maintenant en compte la longueur finie l de la bobine étudiée et on précise que des efforts longitudinaux apparaissent également qui tendent à la déformer dans le sens de son axe Oz. Evaluer, en négligeant les effets de bord, l'inductance propre L de cette bobine en fonction du nombre total N de spires par couche, du nombre total M de couches du bobinage, de la longueur 1 de la bobine et des autres paramètres pertinents. On peut montrer, à partir d'un bilan énergétique convenable, que la force magnétique résultante qui s'exerce sur la face extrémale de la bobine située en z = 1/2 est donnée par la relation F : (1/2)12(dI/dl)ez, l'autre face étant soumise, par raison de symétrie, à une force égale et opposée. Evaluer, en supposant les efforts uniformément répartis sur ces faces, la pression magnétique p' qui s'exerce sur elles. On donne ...) : 47th"7S.I. La bobine de la première partie est assimilée à une tranche de l=18,5 cm du soléno'1'de décrit ci-dessus en négligeant les effets de bord. Calculer son coefficient d'inductance propre L. L'intensité maximum au cours d'une décharge du condensateur étant de 64OOA, calculer la valeur maximum atteinte par le champ magnétique au centre de la bobine et par les pressions p et p' s'exerçant respectivement sur sa surface cylindrique extérieure et sur ses faces extrémales. Sachant que la limite 2 d'élasticité du cuivre est de 103 N.mm" , qu'en concluez-vous ? A K IL A ? C A D =-- L B Figure 1 Tournez la page S.V.P. B. DÉPHASAGE D'UNE ONDE AU PASSAGE PAR UN FOYER Donnée numérique d'une constante universelle : c = 2,99 792 458>< 108 ms"1 est la vitesse de la lumière dans le vide (valeur exacte). On se propose d'étudier le changement de phase, égal à TE, qui accompagne le passage d'une onde par un foyer, résultat qui fut découvert par le physicien français L. Gouy en 1890. Dans une première partie, on établit ce résultat à partir du principe d'Huygens-Fresnel. On analyse ensuite le dispositif interférentiel de Meslin qui permet de mettre en évidence expérimentalement ce changement de phase. Enfin, on donne l'exemple d'utilisation de ce résultat dans le cas du coronographe interférentiel achromatique, instrument destiné à détecter des planètes autour d'étoiles lointaines (exoplanètes). Dans tout le problème, les ondes considérées sont des ondes lumineuses monochromatiques qui se propagent dans l'air, assimilé au vide, ou dans le verre des lentilles utilisées. On exprime, en notation complexe, la variable lumineuse par la grandeur scalaire suivante : '_P_(r,t) = w(r)eXp(-- im!) où w(r)est l'amplitude complexe de l'onde au point défini par le vecteur r a partir d'une origine arbitraire O, (1) la pulsation et i2 = ----1 . Partie I --- Passage d'une onde sphérique par son centre On rappelle la relation intégrale suivante issue du principe d'Huygens-Fresnel, entre l'amplitude complexe ÏO (M ) en un point M et l'amplitude complexe £|1_(P) en un autre point P : P)=XL)M 'VO( M)e__xp(ikr)dS dans laquelle x est un coefficient, k = 2n/À, À étant la longueur d'onde dans le vide, r : MP, dS un élément de surface entourant le point M et @ le domaine d'intégration ; dans cette expression, on suppose que le vecteur r =MP est peu incliné par rapport à la normale en tout point de QD (Figure 1). 1. Justifier sommairement (environ 5 lignes) l'expression précédente reliant g(P) et E (M ). A l'aide de considérations d'homogénéité, trouver la dimension physique de x. Quelle est la signification physique du facteur 1/ i ? 2. On considère une onde sphérique dont le centre de courbure C est situé sur l'axe Oz, à la distance R de l'origine 0 (Figure 1). Le point générique M est situé sur la sphère de rayon R ; ses coordonnées sont x, y, z dans le repère Oxyz. Le point P, où l'on étudie l'amplitude complexe de l'onde, est placé sur l'axe Oz. Figure 1 a) On désigne par EUR la coordonnée de P sur l'axe Oz et on suppose que EUR < R. Le point M est voisin de l'axe Oz, avec x et y, d'une part, petits devant R et C et, d'autre part, pouvant être grands devant z. Montrer que r = MP s'écrit, de façon approchée : r= Ç+a(x2+y2)(l--l) ç1e oc étant un facteur numérique que l'on déterminera. b) En déduire que y(P) s'obtient en effectuant l'intégrale suivante : 2 2 %ap(i2n-Ï-] Hexp{t'fix ggy ]dx dy où 82 est une quantité dont on donnera la dimension physique et que l'on exprimera en fonction de À, Q et R. \ c) Sachant que les bornes d'intégration peuvent être prises égales a --oo et oo, calculer l'intégrale précédente en utilisant le résultat suivant : t2 f exp i7t--2-- dt=l+i En déduire, a une constante multiplicative près sans intérêt, l'expression suivante de l'amplitude complexe tp_(P) : 2 É exp i2n-ç- !) %. dans laquelle [) est une longueur que l'on exprimera en fonction de x et C. 3. Que devient l'expression précédente pour EUR; > R ? Conclure sur le changement de phase à la traversée du centre C. Tournez la page S.V.P. Partie II -- F ranges de Meslin 1. Rappeler sommairement (environ 10 lignes) en quoi consiste l'interférence de deux ondes sphériques, de même amplitude, isochrones et cohérentes, issues de deux sources S1 et 52, en tout point P de l'espace. On tiendra compte d'un déphasage éventuel (po de l'onde issue de 52 par rapport à celle provenant de 51- On désigne par rl et r2 respectivement les distances SIP et 52P. Donner l'expression de l'éclairement en P, dans le cas où 'i = r2. Quelle est l'allure des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à la droite définie par 5182 ? 2. Deux demi--lentilles L1 et L). ont été obtenues à l'aide d'une lentille mince convergente L, de diamètre D = 5cm et de distance focale image f = 25 cm, que l'on a coupée en deux, selon une direction perpendiculaire à son axe optique Oz. Les deux demi-lentilles sont alors écartées le long de l'axe optique Oz, d'une distance d = 0102 = 2 mm (Figure 2). On éclaire l'ensemble par un faisceau de lumière parallèle, dirigé suivant l'axe optique, issu d'une lampe à vapeur de mercure, de longueur d'onde dans le vide À = 543,5 nm. 3) Calculer, en unité SI, les valeurs de k, de (D et de la fréquence v. Quelle est la couleur de la radiation utilisée ? b) Faire une figure soignée représentant la partie commune des faisceaux sphériques issus de F] et de F2 ; on prendra sur l'axe optique un facteur d'échelle égal à 25. Exprimer, en fonction de d et À, la différence de phase (po entre les ondes arrivant respectivement en F2 et en F1 ? c) Donner l'expression de la phase (pl de l'onde sphérique, issue du foyer F] de la demi-- lentille L1, en un point P, situé dans la partie commune des faisceaux coniques issus de F] et F2. On introduira rl = FIP et on prendra comme origine des phases celle de l'onde sphérique provenant de Ll et convergeant en F]. (1) Même question pour la phase tp2, au point P précédent, de l'onde sphérique qui converge au foyer F2 de la demi-lentille lq. Comment traduit-on le fait que le point P est atteint par l'onde sphérique, provenant de LZ, avant le foyer F2 ? On introduira r2 = F2P et on prendra la même origine des phases que précédemment. 3. a) Montrer que l'intensité, au point P, de l'onde résultant de la superposition des deux ondes sphériques, issues de FI et F2, fait apparaître la différence de phase suivante : 0'(fi+rz)+B oc et 6 étant deux quantités que l'on calculera en précisant leurs unités respectives. Quelle est la géométrie des franges d'interférence dans un plan perpendiculaire à 17le '? b) Calculer la largeur maximale du champ d'interférence dans un plan de front orthogonal à l'axe optique du système. c) On analyse le phénomène d'interférence dans le plan médian du segment F1F2. Déterminer les caractéristiques géométriques des franges noires ainsi que leur nombre dans le plan où le champ d'interférence est maximal. (1) Pour agrandir la figure d'interférence, on utilise un objectif de microscope, de distance focale image f ' = 2cm, qui en forme une image sur un écran situé à une distance de son foyer image égale à 1,2 m. Quel est le grandissement transversal '? Partie III -- Coronographes 1. Coronographe solaire de Bernard Lyot En 1932, le physicien français B. Lyot proposa un moyen d'observer la couronne solaire, en dehors des éclipses, à l'aide d'un télescope réfracteur, en occultant l'image du disque solaire. 3) On considère un télescope réflecteur constitué d'un miroir primaire concave M p et d'un deuxième miroir convexe M 2. Ces deux miroirs sont assimilés à des miroirs sphériques dont les rayons valent, en valeur absolue, respectivement Rp =19,972m et R2 =4,465m. La distance qui sépare les sommets des deux miroirs est e=8,184m (figure 3). Où se trouve le foyer F p du premier miroir (foyer primaire du télescope) ? En déduire la position de l'image FS qu'en donne le deuxième miroir (foyer secondaire du télescope). Tournez la page S.V.P. b) Sachant que le diamètre apparent du Soleil est de 32 minutes d'arc, trouver le diamètre du diaphragme circulaire qui permet de laisser passer l'image de la couronne solaire, dans le plan focal du télescope, en occultant celle du disque solaire. c) Dans l'observation d'une étoile éloignée, le miroir primaire est diaphragmé par une ouverture en forme de fente, de largeur D = 0,2m. Sachant que la longueur d'onde du rayonnement émis par une étoile est À = 550 nm, trouver la largeur totale du maximum principal de la figure de diffraction donnée par cette fente, dans le plan focal de M p . En déduire le diamètre minimal du diaphragme qui, au foyer secondaire du télescope, permet d'occulter la tache centrale et les deux premiers maxima secondaires de part et d'autre de celle-ci. 2. Coronographe interférentiel achromatique Le coronographe interférentiel achromatique, proposé en 1996 par deux astronomes français ]. Gay et Y. Rabbia, permet de réaliser l'occultation de l'image donnée par une étoile brillante. On produit, à l'aide d'un dispositif interférentiel de type Michelson, l'interférence destructive entre une réplique de l'onde caractérisant l'étoile brillante dans le plan image et une seconde onde subissant un changement de phase à la traversée d'un point de focalisation. a) Expliquer qualitativement le fonctionnement du dispositif interférentiel représenté sur la figure 4. On précisera le rôle des trois lentilles minces convergentes, sachant que les rayons issus de FS tombent normalement sur la lentille L3 , et on décrira l'aspect du plan focal de L3. Figure 4 b) Pourquoi cet instrument est--il achromatique, c'est--à--dire insensible à une variation de la longueur d'onde ? Les auteurs pensent utiliser ce coronographe pour déceler la présence d'exoplanètes, c'est-à--dire de planètes orbitant autour de l'étoile brillante observée. Commenter. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Benoît Lobry (professeur en CPGE) ; il a été relu par Stéphane Ravier (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm). Le sujet s'inspire de deux développements récents de la recherche scientifique. · Dans le premier problème, on s'intéresse à un dispositif permettant d'obtenir des champs magnétiques très intenses pendant une courte période. La première partie repose sur l'établissement et la résolution d'équations différentielles électrocinétiques. L'étude magnétostatique de la bobine et des contraintes mécaniques qu'elle subit fait l'objet de la seconde partie. Si l'on excepte quelques considérations énergétiques, le problème ne fait appel qu'au programme de première année. Il est bien construit, relativement simple et les quelques développements calculatoires imposés doivent pouvoir être surmontés par tout élève de la filière MP. C'est un bon problème de révision de l'électrocinétique et de la magnétostatique. · Le second problème commence par mettre en évidence le déphasage égal à subi par une onde à la traversée d'un point de focalisation, s'intéresse ensuite à la mise en évidence expérimentale de ce résultat par le dispositif des demi-lentilles de Meslin et nous conduit enfin à un exemple d'utilisation de ce déphasage, dans le cas du coronographe interférentiel achromatique destiné à détecter des planètes autour d'étoiles lointaines. La première partie est plutôt mathématique et ne présente pas de réelle difficulté. L'étudiant qui désire aller à l'essentiel peut l'éviter et n'en retenir que la conclusion. L'étude des franges de Meslin dans la seconde partie est normalement hors programme. L'énoncé, clair et progressif, reste cependant abordable. La troisième partie utilise des résultats d'optique géométrique et de diffraction mais l'application du cours, là encore, n'est pas immédiate. Ce problème est dans l'ensemble plus difficile que le premier. Il faut y voir l'occasion de tester la solidité de ses acquis en optique géométrique et ondulatoire. Indications Premier problème I.1 Déterminer l'équation différentielle vérifiée par VC (t) puis la résoudre en considérant les racines de son polynôme caractéristique. Donner l'expression générale de VC (t) puis celle de IL (t) et utiliser leur valeur initiale. - II.1 Utiliser la relation entre J et l'intensité s'écoulant à travers une surface. - II.3 Montrer que B (M) ne dépend que de la variable . Calculer B(0) sur l'axe au point O à l'aide de l'expression intégrale du champ magnétique et du changement de variable z = sh . En déduire B() en dehors de l'axe par le théorème d'Ampère et en distinguant trois cas. II.5 Calculer la résultante des forces de Laplace sur un secteur de solénoïde d'ouverture d, de hauteur dz et de surface externe R2 d dz. II.6 Ne pas oublier de prendre en compte la contribution à l'énergie magnétique de l'espace à l'intérieur de la bobine. II.7 Utiliser l'expression de l'énergie magnétique m = 1 2 LI 2 Second problème I.2.a Donner la relation entre x, y, z et R. En déduire que 2 R z x2 +y 2 . Éliminer z 2 , puis z dans l'expression de r. II.1 Exprimer les amplitudes complexes des deux ondes sphériques issues de S1 et S2 puis calculer l'éclairement I(P) de l'onde résultante. Montrer que les points P d'éclairement égal sont situés sur une surface dont l'équation est S1 P - S2 P = Cte . II.2.b Évaluer 0 sur les rayons confondus avec l'axe (Oz) et qui parviennent en F1 et F2 en passant par les centres O1 et O2 des demi-lentilles. II.2.c Passer par le chemin optique [F1 P]. Ne pas oublier la conclusion de la question I.3. II.2.d Passer par le chemin optique [PF2 ]. II.3.a S'inspirer de la question II.1 et montrer que les franges sont des anneaux. II.3.c Utiliser la condition sur le déphasage pour exprimer r = r1 = r2 puis relier r au rayon R de l'anneau. II.3.d Utiliser le rayon non dévié passant par le centre de l'objectif. III.1.b Déterminer le diamètre de la tache image dans le plan focal de Mp puis en déduire celui de la tache image autour de Fs . III.1.c Passer par la formule opérationnelle de Fraunhofer. Réutiliser le calcul de la question III.1.b. III.2.b Tracer le cheminement suivi dans l'interféromètre par un rayon parvenant avec une légère inclinaison par rapport à l'axe du télescope. A. Étude d'une bobine à champ pulsé et de son alimentation I. Alimentation pour bobine à champ pulsé I.1 La diode D est idéale. Tant qu'elle reste bloquée, elle est équivalente à un interrupteur ouvert et I = 0. Notons QC la charge du condensateur. IL = -IC IC IL I QC C VC R D VL L dQC dt dVC IL = -C dt L'inductance de la bobine est équivalente à une force électromotrice e e =- e = -L dIL dt Avec VC = VL , il vient donc dIL dt En éliminant IL , nous trouvons que l'équation différentielle vérifiée par VC est V C = R IL + L d2 VC R dVC 1 + + VC = 0 2 dt L dt LC dVC d2 VC + 2 0 + 0 2 V C = 0 dt2 dt soit avec 0 = 1/ LC et = R/2L0 . Son équation caractéristique est p2 + 2 0 p + 0 2 = 0 de discriminant réduit = 0 2 2 - 1 Or < 1 donc < 0 et les racines complexes de l'équation caractéristiques sont = 0 - + i 1 - 2 µ = - - i 1 - 2 0 La solution générale complexe de l'équation différentielle est donc VC (t) = A exp ( t) + B exp (µ t) avec A et B, constantes complexes. Comme VC est une fonction réelle, on ne conserve que la partie réelle de la solution générale et VC (t) = exp (- 0 t) A cos 1 - 2 0 t + B sin 1 - 2 0 t avec A et B, constantes réelles qu'il n'y a nul besoin de relier à A et B. À l'aide de la relation précédemment déterminée entre IL (t) et VC (t), il vient IL (t) = C 0 exp (- 0 t) A - B 1 - 2 cos 1 - 2 0 t + B + A 1 - 2 sin 1 - 2 0 t Enfin, on utilise les conditions initiales pour déterminer A et B. ) ( A = V0 VC (0) = V0 soit IL (0) = 0 A - B 1 - 2 = 0 A = V0 d'où V0 B = 1 - 2 Finalement, VC (t) = V0 exp (- 0 t) cos 1 - 2 0 t + sin 1 - 2 0 t 1 - 2 et soit IL (t) = C 0 V0 exp (- 0 t) 2 + 1 - 2 2 1- sin 1 - 2 0 t C 0 V0 IL (t) = exp (- 0 t) sin 1 - 2 0 t 2 1- Rappelons que la continuité de la tension VC aux bornes de C et du courant IL traversant L en t = 0 proviennent de la nécessaire continuité des énergies électrostatique e et magnétique m avec 1 1 e = C VC 2 et m = L IL 2 2 2 I.2 Il suffit de trouver le premier extremum 1 de la fonction f : t 7- exp (- 0 t) sin 1 - 2 0 t La condition f (1 ) = 0 conduit à sin 1 - 2 0 1 = 1 - 2 cos 1 - 2 0 1 soit 1 1 = Arctan 1 - 2 0 et 1 - 2 = 52, 8 ms ILm = 6, 41.103 A I.3 La condition VC (2 ) = 0 conduit à 1 - 2 ! 1 - 2 - Arctan = 79, 5 ms tan 1 - 2 0 2 = - soit et 1 2 = 1 - 2 0 IL (2 ) = 5, 20.103 A