CCP Physique 2 MP 2001

Thème de l'épreuve Pièges électroniques 1D, 2D et 3D. Étude autour du faisceau gaussien.
Principaux outils utilisés mécanique du point, optique géométrique, diffraction, interférences

Corrigé

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SESSION 2001 MP008 A CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP PHYSIQUE 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire nO 99-186 du 16.11.99. Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras. On donne les constantes physiques suivantes : Charge élémentaire : e z 1,60X10_19C Masse de l'électron : me : 0,91X10_30kg Vitesse de la lumière dans le vide c z 3><108 rn.s_l A. PIÈGES ÉLECTRONIQUES 11), 20, 3D Les pièges électroniques 1D, 2D, 3D sont des dispositifs qui permettent, à l'aide de champs électriques et magnétiques, de confiner un électron (masse me et charge --e) dans une très petite région de l'espace, selon une, deux ou trois dimensions, respectivement. Les mouvements de l'électron seront rapportés à un référentiel R(Oxyz). I. Piège 1D On considère un champ électrostatique E dont le potentiel V associé a pour expression : 212_x2_y2 V(I') =VO 4d2 1. Montrer que ce potentiel, dit quadrupolaire, satisfait à l'équation de Laplace AV : 0, où A est l'opérateur laplacien. 2. Représenter, pour Vo (x, y, z,t) a donc pour expression : Z'"X (x, y, z, t) : --[VS + U... cos(Qt)] 2 2Ï0 Figure 2 3) Ecrire les trois équations différentielles du mouvement de l'électron selon les trois axes du référentiel % En déduire que les équations selon Ox et Oz peuvent se mettre sous la forme : ' d2ÿi d92 + [ki _ 2% C05(29)l61i = 0 avec 9 : __ q,-- étant la variable spatiale considérée (x ou z), k,-- et u,-- des quantités que l'on exprimera en fonction de VS ,Um et : 2 2 __ meQ '"0 OL 26 Quelle est la dimension physique de oc '? Tournez la page S.V.P. b) On montre que les équations précédentes admettent une solution stable, c'est--à--dire une solution pour laquelle l'électron est confiné au voisinage de 0 dans le plan Oxz, si : ----0,5 Lil-2 $ À,- S l--lu,--I. Représenter sur un graphe (u,-,M), la zone de stabilité. En déduire, sur un graphe donnant vs =Vs /0t en fonction de u... =U... /0t , la zone de stabilité du piège 2D de Paul. c) On désigne par I le point situé, à la limite de la zone de stabilité, pour lequel la valeur de la tension vs est maximale avec u positif. Trouver ses coordonnées u, et v,. On IH choisit le point de fonctionnement vs = v , / 2 et u... = u,. Quelle doit être la fréquence associée à Q pour que U ... = 5V , sachant que r0 : 2 mm ? En déduire la valeur de V8. 111. Piège 3D On soumet simultanément un électron aux forces exercées par un champ magnétique uniforme (11.1) et par un champ électrique quadrupolaire (1.4). On réalise ainsi un piège 3D, appelé piège de Penning. 1. Ecrire les trois équations différentielles du mouvement, dans la base de K en fonction de (oc et (:)Z . A quelle équation différentielle satisfait la variable complexe C, = x + iy ? 2. En déduire les deux solutions de cette dernière équation en fonction de wc et (1), . Montrer que le mouvement est la superposition de deux mouvements sinuso'r'daux, de fréquences fl et f2 que l'on calculera. B. FAISCEAU GAUSSIEN On se propose d'étudier l'onde lumineuse monochromatique, de pulsation to, issue d'un laser; l'une quelconque des composantes du champ électromagnétique (E, B) assoc1é s'écrit : ï(x, y,z, t) = w(x, » z)exp<-- ioer) w(x,y,z) étant l'amplitude complexe de la composante considérée et exp(--ioet) la fonction caractérisant la dépendance temporelle du champ, en notation complexe (i2 = -- ) Le faisceau lumineux est dit gaussien car l'amplitude complexe w(x, y,z) varie, dans un plan fixé par une valeur de z, selon une loi de Gauss, en fonction de la coordonnée transversale 1/2 p=(x2 +y2) : \£,(x y,Z)= A(p, z)exp(ikz) avec A(p,z)=C(z)exp{-- D J où k=_ü_)_=_2£ w2(z) C 7\. k et c étant respectivement la longueur d'onde (dans le vide) et la vitesse de la lumière dans le vide. La distance w(z) est appelée le rayon de la section droite du faisceau gaussien, au point de coordonnée z sur l'axe optique ; l'amplitude réelle sur l'axe C(z) ne dépend que de z. Nous étudierons d'abord la structure du faisceau gaussien émergeant d' un laser, au fur et à mesure de sa propagation, puis nous analyserons la façon dont le faisceau est transmis par une lentille mince convergente. 1. Répartition de l'intensité de l'onde lumineuse dans un plan de front Le plan de front, perpendiculaire à la direction moyenne de propagation, dans lequel le rayon de la section droite du faisceau gaussien est minimal, est pris comme origine des z. Cette valeur minimale WO du rayon de section est appelée le waist (taille en anglais) du faisceau gaussien. a) Quelle est la répartition de l'éclairement ou intensité de l'onde lumineuse [ = \11 \;f' dans le plan de front z ? Représenter avec soin le graphe correspondant I(p) de cette répartition. Calculer, en fonction de w, sa largeur totale à mi--hauteur Aol/2 . b) L'intensité précédente représente l'éclairement, c'est-à-dire le flux lumineux que reçoit, par unité de surface, un écran plan placé perpendiculairement à la direction moyenne de propagation. Calculer le flux lumineux total CD, reçu par l'écran, en fonction de w(z) et de C(z). c) Quelle est la fraction de la puissance lumineuse totale que reçoit un détecteur dont la surface coïncide avec le disque de rayon w ? En déduire l'éclairement du disque dans le cas où CD -- --lOmW et W: 1mm. 2. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien dans l'approximation de Fraunhofer Un faisceau gaussien cylindrique, issu d'un laser He-Ne, de longueur d'onde 7\. : 632,8 nm, a un waist wo qui vaut 0,5 mm. Du fait de la propagation, ce faisceau subit un phénomène de diffraction à partir du plan de front Oxy placé en z = 0. Tout se passe comme si le faisceau était diffracté à l'infini par une pupille, située dans le plan Oxy et centrée en 0, dont la transm1ttance t(x, y) a la forme d'une gaussienne : Tournez la page S.V.P. 2 2 f=exp(----X--%y--l WO a) Expliquer sommairement (moins de 10 lignes) pourquoi l'amplitude complexe de l'onde diffractée, dans le plan de front éloigné, d'abscisse z, est donnée par l'expression suivante (? se lit tchapeau) : Î(u,v) : jfæt(x, y)exp[-- i2n(ux + vy)] dx dy où u et v sont deux quantités que l'on reliera aux composantes oc et B sur Ox et Oy, du vecteur unitaire porté par OP, P étant le point de coordonnées X et Y dans le plan d'observation (figure 1). Calculer l'intégrale précédente, sachant que : J_: exp(-- 7tE,2 )exp(-- i2naâ) dE_, : exp(--- Tta2) x X Figure 1 b) Etablir l'expression de l'intensité I(u,v) de l'onde lumineuse. En déduire la largeur angulaire totale à mi--hauteur A91/2 de la distribution d'intensité, en fonction de k et WO. Calculer AG] /2 en minute d'arc. 3. Transfert ondulatoire d'un faisceau sphérique a) Rappeler l'expression complexe tu , en un point P, d'une onde monochromatique sphérique, dont la source est placée au point 0, origine des coordonnées. On désigne par 1/2 . _ _ , , \ , _ _ r = (x2 + y2 + z2) la d1stance du po1nt courant P cons1dere a l origine. b) Développer l'amplitude complexe u; (r) de cette onde dans le voisinage de l'axe optique --S Oz (x2 + y2 << zz.) Montrer que, si on néglige les termes d'ordres supérieurs à 2, Y_S(r) s'écrit, à une constante multiplicative près : F(Z) . P2 \U (p,z)= exp "[À--Z F (z) étant un terme de phase, fonction de z, que l'on déterminera. c) Un système optique (ES) transforme une onde sphérique divergente à l'entrée (E) en une onde sphérique divergente à la sortie (S) (figure 2). Montrer qu'une lentille mince convergente peut réaliser une telle transformation, pourvu que l'origine de l'onde incidente soit située sur l'axe optique et convenablement placée par rapport au centre optique de la lentille et à son foyer principal objet. Faire une construction géométrique soignée. Dans quel cas la lentille transforme--t--elle une onde sphérique divergente en une onde plane ? Figure 2 (1) De façon générale, la relation entre le rayon de courbure algébrique --Ëe d'une onde sphérique, à l'entrée du système optique, et le rayon de courbure algébrique R S de l'onde sphérique, à sa sortie, est la relation homographique suivante, appelée « règle abcd » : aÎéEUR +b @: _ CRe+d On se place dans le cas d'une lentille mince, de distance focale image f, transformant une onde sphérique incidente qui diverge en une onde sphérique émergente qui diverge aussi ; les rayons de courbure des ondes divergentes sont alors comptés positifs. Sachant que a = l , calculer les coefficients b, c et d. 4. Transfert ondulatoire d'un faisceau gaussien Une onde monochromatique gaussienne peut être considérée comme une onde sphérique dont le rayon de courbure est un nombre complexe q défini par : _q_ R C avec: 1/2 2 -- zâ rcwâ }, 7th z R=z l+----2-- ZR=---- 5=---- et w=w0 l+_2-- La règle (1de est la même que pour une onde sphérique mais le rayon de courbure algébrique R est remplacé par q . a) Tracer avec soin, le graphe w/ Wo en fonction de z / ZR- b) Montrer que q = z -- iK , K étant une quantité que l'on exprimera en fonction de ZR. Tournez la page S.V.P. c) On utilise une lentille mince convergente, de distance focale image f =lOcm, pour transformer la géométrie d'un faisceau laser dont le waist vaut WO : 0,5 mm et la longueur d'onde 7\. = 632,8 nm. Calculer la longueur de Rayleigh zRe correspondante. En appliquant la règle abcd, trouver la relation donnant la valeur zS de z pour le waist à la sortie en fonction de celle ze relative au waist à l'entrée. (1) Quelle est l'expression du rapport W0,s /w..., des waists ? A quelle distance de la surface de la lentille se trouve le waist émergent, lorsque le waist incident est placé à 0,1 m en avant de la face d'entrée de la lentille ? Comparer les waists à l'entrée et à la sortie. EUR) En déduire les valeurs de là et @. Situer sur l'axe optique de la lentille, par rapport au centre de cette dernière, les positions W,, et WS des waists incident et émergent, ainsi que les centres de courbure C e et C5 des faisceaux incident et émergent. Les couples (We,WS) et (CEUR,Cs) sont--ils conjugués au sens de l'optique géométrique '? Commenter. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 2 MP 2001 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Florent Tournus (ENS Lyon) ; il a été relu par Grégoire Deback (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (ENS Lyon). Ce sujet est composé de deux problèmes totalement indépendants. Le premier problème porte sur les pièges électroniques et fait appel au cours de mécanique du point, dans un champ électrique et/ou magnétique. Il est sans grande difficulté et reste relativement classique. Le second problème porte sur les faisceaux gaussiens et fait donc appel au cours d'optique. Il est plus délicat que le premier : il s'agit de bien savoir ce que l'on fait et de bien comprendre ce qui est demandé ; or, l'énoncé n'est pas toujours très limpide. · Dans le premier problème on commence par étudier un piège 1D, c'est-à-dire un électron soumis à un champ électrique quadrupolaire. On considère ensuite deux pièges 2D différents : l'un avec un simple champ magnétique uniforme et stationnaire, l'autre avec un sytème électrique quadrupolaire. Enfin, on étudie le piège 3D obtenu en combinant un piège 2D (champ magnétique) et le piège 1D. À chaque fois, il s'agit d'établir les équations différentielles du mouvement, d'éventuellement les résoudre et d'étudier les conditions de confinement de l'électron. · Dans le second problème, on commence par déterminer la répartition de l'intensité lumineuse dans un plan de front du faisceau gaussien. On étudie ensuite l'évolution de l'onde en se plaçant dans les conditions de diffraction de Fraunhofer. Enfin, après avoir étudié rapidement la façon dont une onde sphérique est transmise à travers une lentille, on s'intéresse au transfert d'un faisceau gaussien à travers une lentille mince. Pour cela, on s'appuie sur ce que l'on connaît à propos des ondes sphériques et on compare les resultats d'optique gaussienne avec ceux de l'optique géométrique. L'énoncé est plutôt avare en explications dans cette partie et il n'est pas toujours évident de comprendre la logique de l'enchaînement des questions. Indications Problème A A.I.3 Exprimer la différence de potentiel entre les électrodes en utilisant l'expression de V donnée dans l'énoncé. A.II.1.b Écrire les équations différentielles du mouvement dans le repère cartésien (Oxyz). Intégrer celle sur y et injecter le résultat dans celle portant sur x (ou le contraire). On peut également établir l'équation différentielle vérifiée par la variable complexe x + i y. A.II.1.c Montrer que le mouvement selon x et y est un cercle ; calculer son rayon. A.II.2.b La zone de stabilité est la région du plan (um , vs ) où les conditions sont remplies simultanément pour x et z . A.III.1 Ajouter l'équation portant sur x à celle portant sur y, après l'avoir multipliée par i. Problème B B.1.b Pour calculer le flux lumineux total, il faut sommer l'intensité lumineuse reçue par chaque couronne du plan de front comprise entre et + d. B.1.c Faire le même calcul qu'à la question précédente, mais en faisant varier de 0 à w(z). La fraction de la puissance lumineuse totale reçue ne dépend en fait pas de w(z). B.2.a Appliquer le principe de Huygens-Fresnel dans le plan de front à z = 0 : chaque élément de surface centré en M émet une onde sphérique. Exprimer ensuite l'onde en P comme la somme de ces ondes sphériques ; en développer la phase pour faire apparaître un produit scalaire, en considérant que OM/OP est très petit devant 1. - B.2.b Après avoir calculé I(u, v), relier l'angle que fait OP avec l'axe Oz à u et v, pour obtenir I() et calculer la largeur angulaire à mi-hauteur 1/2 . B.3.b Remplacer le terme 1/r par 1/z et développer le r dans l'exponentielle jusqu'à l'ordre 2 en /z. B.3.c Une onde divergente à la sortie de la lentille correspond à une image virtuelle de la source de l'onde incidente. B.3.d Appliquer la formule de conjugaison de Descartes. B.4.b Relier R à et remplacer R dans l'expression définissant q. B.4.d z s est relatif à la position du waist émergent. Lorsque le waist incident est situé à 0, 1 m en avant de la lentille, on a z e = f . B.4.e On est toujours dans le cas où z e = f . Relier We O et Ws O respectivement à z e et z s . Pour montrer que (Ce , Cs ) est un couple conjugué, revenir à la relation de Descartes appliquée à q e et q s , en prenant l'expression de définition de q. Identifier alors les parties imaginaires et réelles de l'égalité obtenue. A. Pièges électroniques 1D, 2D, 3D I. Piège 1D A.I.1 D'après l'expression du potentiel, on a V V0 =- 2x x 2d soit 2V V0 =- 2 2 x 2d 2V V0 =- 2 y 2 2d et de même Par ailleurs, on a V V0 2V V0 = - 2 z soit = 2 2 z d z d 2V 2V 2V On vérifie alors qu'on a bien + 2 + 2 = 0. Le potentiel V vérifie donc bien x2 y z l'équation de Laplace V = 0 A.I.2 Sur l'axe Oz on a x = y = 0, ce qui donne V(z) = V V0 2 z 2d2 d z V __0 2 Dans le plan Oxy, on a z = 0, d'où V0 x2 + y 2 2 4d Les équipotentielles sont donc les courbes telles que x2 + y 2 = Cte , c'est-à-dire les cercles de centre O. Pour V0 < 0, le potentiel augmente avec le rayon r du cercle. p Avec r = x2 + y 2 V(x, y) = - V0 V(- r ) = V(r, z) = 2 2z 2 - r2 4d Le potentiel est donc à symétrie cylindrique, il ne dépend pas de l'angle de rotation autour de l'axe Oz. Ainsi, il suffit de représenter les équipotentielles pour un plan quelconque passant par Oz. Les équipotentielles sont les courbes on a 2z 2 - r2 = Cte · Si C te > 0, alors, en posant C te = 2z0 , on a z = ± 2 r r2 + z0 2 . 2 · Si Cte < 0, alors, en posant Cte = -r0 2 , on a r = ± 2z 2 + r0 2 . r · Si Cte = 0, alors z = ± (r > 0). 2 D'après l'équation d'une équipotentielle, on obtient par différentiation dz r dr 2z = et = . Ainsi, sauf si z et r sont 4zdz - 2rdr = 0, ce qui donne dr 2z dz r dz nuls en même temps (cas où Cte = 0), en r = 0, on a = 0 et en z = 0, on dr dr = 0. a dz Par ailleurs, les droites z = ±r/ 2 sont des asymptotes des équipotentielles. On peut représenter les équipotentielles dans un plan contenant l'axe 0z. z V<0 V>0 r A.I.3 Calculons la différence de potentiel entre une électrode en coupelle et l'électrode annulaire. Comme le potentiel est constant sur chaque électrode, on prend V(z0 , 0) pour la coupelle et V(0, r0 ) pour l'électrode annulaire. On a alors V0 = V(z0 , 0) - V(0, r0 ) soit V0 = V0 2 V0 z0 + 2 r0 2 2d2 4d qui donne, en multipliant par 4d2 /V0 4d2 = 2z0 2 + r0 2 A.I.4.a L'électron, de masse me et de charge -e, est soumis à : -- - - - · la force électrique F = -e E avec E = - grad V ; - · son poids P que nous allons bien évidemment négliger pour toute la suite du problème.