CCP Physique 2 MP 2000

Thème de l'épreuve Étude des champs électromagnetiques dans un conducteur et effet Hall; interféromètre de Michelson et cohérence temporelle
Principaux outils utilisés électromagnétisme, mécanique du point, optique ondulatoire

Corrigé

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SESSION 2000 ' MP009 A CONCOURS (0MMUNS P0lYTECHNIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP PHYSIQUE 2 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies dans la circulaire n°99--018 du 01.02.99. Conformément à l'usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras. On donne les constantes physiques suivantes : Charge élémentaire e = 1,6 >< 10"19 C Masse de l'électron me : 0,91 >< 10"30 kg Vitesse de la lumière dans le vide 0 = 2,997 792 458 >< 108 m.s"' = 3 >< 108 ms" Perméabilité du vide 00 = 411 >< 10"7s1 Permittivité du vide 80 = 1/ (uoc2) Constante de Planck h = 6,626 >< 10"34 J.s A. CONDUCTIVITÉ DANS UN SEMI-CONDUCTEUR On se propose d'étudier les effets d'un champ magnétique uniforme et stationnaire sur les propriétés électroinagnétiques d'un matériau semi--conducteur. La première partie (effet de magnétorésistance, effet Hall) est développée dans le cadre des régimes stationnaires. Dans la deuxième partie, on examine, en régime variable, les conditions de propagation d'une onde électromagnétique (onde hélicon). Le milieu matériel, électriquement neutre, est décrit comme un ensemble d'électrons (charge --e) évoluant au sein d'un réseau constitué de charges positives fixes. Les interactions de ces électrons « de conduction » avec le milieu sont entièrement prises en compte en leur affectant une masse effective m (différente de celle mEUR d'un électron dans le vide) et en introduisant une force de « frottement » d'expression --0tv , où OL est un coefficient positif, caractéristique du milieu ; la vitesse v_ décrit la dérive moyenne de l'ensemble des électrons par rapport au réseau sous l'action d'un champ électromagnétique (E,B) . Tournez la page S.V.P. J . 0992 PREMIERE PARTIE On considère un échantillon parallélépipédique dont le volume est délimité par les plans x=0, x=L, y=0,y=Ë, z=--a/2 et z=a/2 (Figure 1). Figure 1 L 1. a) Dans ce matériau, on applique un champ électrique E stationnaire. Ecrire l'équation du mouvement d'un électron animé d'une vitesse v. A un instant pris comme origine, ce champ est brusquement annulé. Déduire l'évolution ultérieure de la vitesse de l'électron et donner une signification physique au coefficient t & m/oc . b) En régime stationnaire, montrer qu'en présence d'un champ électrique E, le courant volumique J vérifie bien la loi d'Ohm. En déduire la conductivité électronique 7 en fonction de e, 't, m et de la densité volumique n des électrons de conduction. c) Dans un matériau semi-gonducteur, tel que l'arséniure de gallium GaAs dopé au silicium, la conduction est assurée p'àr des électrons dont la masse effective m est 0,06 m& . Sachant qu'à très basse température la valeur de la conductivité vaut 7 = 100 S.m_1 n = 1024 m--3 . , calculer 't pour d) Un courant de densité volumique stationnaire circule parallèlement à l'axe Osz = J ex. L'épaisseur a étant faible devant les dimensions latérales L et Q, l'échantillon est assimilé à une nappe de courant uniforme d'extension latérale infinie et d'épaisseur a. A l'aide des symétries d'une telle distribution, préciser l'orientation du champ magnétique b qu'elle crée en tout point de l'espace. Justifier le fait que ce champ est nul dans le plan 2 = O. A partir de la forme locale du théorème d'Ampère, calculer b. Trouver sa valeur maximale pour a = lOum et J = 106A.m"2. 2. a) L'échantillon est désormais plongé dans un champ magnétique extérieur B, uniforme et stationnaire, dirigé selon Oz, B = Beg. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse v d'un électron du matériau soumis à la force de frottement et à ce champ magnétique. Montrer que, lorsque 't tend vers l'infini, le vecteur v est un vecteur tournant dont on précisera le vecteur rotation. Calculer la norme (DC de ce dernier, appelée pulsation cyclotron, pour B = 1 T et m = 0,06 me. b) On prend en compte les effets d'un champ électrique E, parallèle au plan Oxy, et du champ B appliqué précédent. On néglige le champ magnétique créé par le milieu. Les effets d'amortissement sont toujours décrits par la force de frottement --0tv. Etablir, en régime stationnaire, les relations liant les composantes ]X et ]y du courant volumique aux composantes EX et E), du champ électrique. Montrer qu'elles peuvent s'écrire sous la forme matricielle suivante : {Ex)_ p.... pxy (A) Ey p)'--\' p .vy JY pxx : pyy dans laquelle : B et pxy =--pyx=Æ l' Y c) L'échantillon a la forme d'un ruban allongé selon Oy:a << L <> --0tv . Pourquor ] effet du champ magnétique B' de l'onde est--il négligeable ? Expliciter les équations différentielles vérifiées par les composantes ]X et ]y du courant volumique, en introduisant les constantes 1:, y et (DC définies dans la première partie. b) En régime établi, ces composantes évoluent de manière sinusoïdale, avec la pulsation (1). On introduit la notation complexe habituelle : . .2 ]X : Re{lx} avec lx =10x exp(--zoet) et z = --1 Dans l'expression de JX, le représente l'amplitude complexe. Une notation similaire est introduite pour Jy, EX et Ey. On introduit les quantités complexes : l+=-J--0x+i10y et ] =J-Ox--i--J--Oy E =50X+ig_oy et E =_E_OX--i_Eoy __+ __ Montrer que les équations, établies en La, s'écrivent simplement : A J = E avec =-------------- "i YÎ--Î Yi 1--i(oeioec)t A étant un coefficient que l'on exprimera en fonction de y . 2. 3) Ecrire, en notation complexe, les équations de Maxwell vérifiées par les amplitudes complexes du champ électromagnétique (E,B') d'une onde plane monochromatique se propageant, suivant Oz, dans le milieu. On désigne par k la norme du vecteur d'onde associé. En déduire l'équation vérifiée par E+ et E _ en tenant compte de l'expression de _J_+ et ] b) On considère une onde de basse fréquence (to << toc), se propageant dans un milieu de conductivité élevée (oec't >> 1). Montrer que la condition de propagation se met sous la forme : ' k ïK2 (02 C2 l+m - où K est un coefficient que l'on exprimera en fonction de 0), n, B et des constantes physiques. c) En déduire qu'au--dessous d'une certaine pulsation critique (00, seul un type d'onde peut se propager dans le milieu. Quelle est alors la polarisation d'une telle onde, appelée onde hélicon '? B. SPECTROMÉTRIE INTERFÉRENTIELLE DE MICHELSON Nous proposons de reprendre l'étude spectrale de sources lumineuses, telle qu'elle a été initialement menée par Michelson en 1891, en spectrométrie interférentielle. On éclaire la lame semi--transparente Ls, supposée très mince, d'un interféromètre de Michelson avec une source ponctuelle S. Celle--ci envoie un pinceau lumineux dans le voisinage du centre 1 de L5 ; l'un des miroirs M 1 est fixe, alors que le second M2 est mobile selon une direction Ox normale à son plan. Le centre 12 de M 2 , S et I sont alignés. Un détecteur est placé en un point P, de telle sorte que sa faible surface de détection soit normale à la direction 111 , laquelle est définie par I et le centre Il de M 1 . Il enregistre l'intensité de l'onde résultant de l'interférence des faisceaux réfléchis par M1 et M2. Il n'y a pas de déphasage supplémentaire égal à Tt que l'on introduit parfois en raison des réflexions sur la lame semi- transparente. 1. On se place dans le cas où la source émet une onde monochromatique, dont la fréquence vo correspond à la longueur d'onde ?... = 550 nm. On désigne par x le déplacement du miroir M 2, compté à partir de la distance minimale de 112 égale à II 1. 3) Faire un schéma soigné du dispositif. b) Calculer v0. Quelle est la couleur de cette radiation ? Tournez la page S.V.P. c) Montrer que l'intensité de l'onde détectée a pour expression : [(I : ?[1 + cos(2nvot)] où 1: est une durée que l'on exprimera en fonction de x et de la vitesse 0 de la lumière dans le vide. La source est une lampe à vapeur de cadmium qui émet un groupe d'ondes monochromatiques, centré autour d'une fréquence moyenne v0 correspondant à la longueur d'onde )\.0 : 643,8 nm. On désigne par I V(v) l'intensité spectrale de la source, c'est-à--dire la contribution relative de chaque fréquence à l'intensité de l'onde émise par la source. En 1892, Michelson a déterminé la largeur totale à mi--hauteur AVI/2 de cette radiation en adoptant un modèle rectangulaire pour Iv(v) centré sur la fréquence vo : _ AV1/2 AV1/2 2 2 a) Calculer V0. Quelle est la couleur de cette radiation ? ÏV(V) = A pour V0 5 v S vo + et Iv(v) : 0 autrement. b) Montrer que l'intensité détectée peut se mettre sous la forme : [(r) : $[1 + y, (17) cos(2nvot)] y,(r) étant une fonction que l'on déterminera. c) En déduire le facteurä-de visibilité des franges d'interférence, c'est-à--dire la quantité V = (I M -- 1... )/(1M + I...), IM étant l'intensité maximale et [... l'intensité minimale. Tracer l'allure des graphes ly,(t)i et I('t). d) En augmentant x à partir d'une valeur nulle, on obtient une première annulation de V pour x =15,9cm. Quelle valeur Av./2 Michelson a-t--il obtenu '? Calculer L, =cAvÜ'2 appelée longueur de cohérence temporelle. En déduire, en picomètre, l'écart en longueur d'onde A7...2 correspondant. La source précédente est remplacée par une lampe à vapeur de mercure qui émet deux radiations, de fréquences respectives vl=v0--Avl,2/2 et v2 =v0+Avl,2/2, et dont les contributions en intensité dans le plan d'observation sont égales à 1... =qu2. La longueur d'onde correspondant à vo est À0 : 578 nm. a) Calculer VO. Quelle est la couleur de cette radiation ? b) Montrer que l'intensité détectée est donnée par la même expression que précédemment, mais y,(t) est une fonction différente que l'on déterminera. c) En déduire le facteur de visibilité ainsi que les graphes ly,('c)l et [(T). d) Entre les deux premières valeurs de 1' qui annulent V, on compte 277 pics d'intensité. En déduire AVI/2,L, et AÀ1,2. e) Une analyse attentive du graphe V('c), obtenu expérimentalement, montre que V décroît lorsque 1 augmente. Proposer une interprétation physique en la justifiant. . On considère une source qui émet aussi deux radiations, de fréquences respectives vl : vo --Av1,2/2 et v2 : vo + AVI/2 /2, mais de contributions différentes : IN et Iv,2. : u [... , H étant un facteur positif. a) Montrer que l'intensité détectée peut se mettre sous la forme : l... : --I--(20--)[1 + Re{yf (T)CXP(52WV0T)}] X; : C1 CXP('" iTCAV1/2Î)'i' C2 eXp(iTCAVl/ZÎ) vo étant la fréquence moyenne (V1 +v2 )/2, AV1/2 la différence des fréquences v2 --v1 et (C1 , C2) deux facteurs à déterminer en fonction de tt . b) Calculer la partie réelle, la partie imaginaire, le module et l'argument oc, de L' c) Quelle relation existe--t--il entre le facteur de visibilité V des franges d'interférence et X: ? Donner l'expression de Ven fonction de u et de cos(nAvl/ZT). (1) Trouver, en fonction de u , les valeurs minimale V... et maximale VM de Vlorsque "C varie. Donner l'allure du graphe V('C). e) Que deviennent V et oc, dans les cas extrêmes où u = 0 et u = 1 ? Commenter. L'analyse fine de la raie H()( de la série de Balmer de l'atome d'hydrogène révèle que cette radiation est constituée d'un doublet non symétrique, car le facteur de visibilité V varie avec "C comme le montre le graphe précédent, mais V... n'est pas nul. La longueur d'onde, associée à la moyenne des fréquences, est ?... =656,3nm. Michelson a constaté que la première valeur minimale du facteur de visibilité était atteinte pour x = 8,5 mm et valait 0,15 . 3) Calculer la fréquence vo de la radiation de longueur d'onde 7t0. Quelle est la couleur de cette radiation ? b) Trouver AVI/2 et A7...2 en précisant leurs unités. c) En déduire u et et,. Fin de l'énoncé.

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 CCP Physique 2 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Franck Stauffer (ENS Lyon) ; il a été relu par Péter Horvai (ENS Ulm) et Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon). L'épreuve comporte deux problèmes indépendants. Le premier problème traite du champ électromagnétique à l'intérieur d'un conducteur. Il se décompose en deux parties. La première traite des champs statiques et met notamment en évidence l'effet de magnétorésistance et l'effet Hall. La seconde partie, quant à elle, s'intéresse à la condition de propagation des ondes dans le conducteur. Ce problème, de difficulté raisonnable, est intéressant. Le second problème traite de l'interférométrie de Michelson. Il ne présente pas de grandes difficultés, mais dégage des résultats essentiels sur la notion de cohérence temporelle d'une source et de son influence sur les phénomènes d'interférence. Comme souvent, il est nécessaire de faire preuve de rigueur et de sens physique ; quelques connaissances expérimentales peuvent être utiles. Indications Problème A Première partie 1.d Bien appliquer le théorème d'Ampère sous sa forme locale et globale. 2.a Adapter le résultat de la question 1.a. 2.b Utiliser l'hypothèse du régime stationnaire pour trouver la relation liant les composantes du champ électrique à la densité de courant. 2.c Partir du système matriciel. 2.d Utiliser la même méthode qu'à la question 2.c. Deuxième partie 1.a Utiliser les résultats de la première partie. 2.a Partir des équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en notation complexe. 2.b Utiliser la question 1.b. Problème B 2.b. Découper la raie en portions élémentaires et sommer les intensités. 3.b. Sommer les diverses contributions à l'intensité. 3.e. Discuter de la validité du modèle à la lumière de la question 2.b. Problème A. Conductivité dans un semi-conducteur Première partie 1.a Commençons par faire le bilan des forces qui s'exercent sur l'électron. L'électron est soumis à : ­ la force de « frottement » -- v ; - ­ la force électrostatique -e E . Bien entendu, il faut négliger la force de pesanteur s'exerçant sur l'électron. Compte tenu de la masse extrêmement faible de l'électron, le poids est complètement négligeable devant les autres forces, comme un simple calcul suffit à le montrer. Nous aurions aussi dû prendre en compte l'interaction entre l'électron et le milieu qui l'entoure ; cependant l'énoncé nous indique de les inclure en donnant à l'électron une masse effective différente de sa masse dans le vide. Il suffit alors d'appliquer le principe fondamental de la dynamique pour obtenir l'équation du mouvement de l'électron. Il faut cependant se souvenir qu'on travaille avec la masse effective de l'électron. m - d- v = -- v - eE dt Si on annule alors brusquement le champ électrique, l'équation d'évolution de la vitesse s'obtient en annulant E dans l'équation précédente. d- v Donc m = -- v dt - Si l'on note V0 la vitesse de l'électron à l'instant où l'on coupe le champ, la solution de cette équation différentielle est - t - v = V0 e- m Le coefficient représente donc le temps caractéristique de la décroissance exponentielle de la vitesse de l'électron. avec = - 1.b Rappelons tout d'abord l'expression locale de la loi d'Ohm. Si on note J le - vecteur densité de courant volumique, alors la loi d'Ohm locale nous dit que J est proportionnel au champ électrique, c'est-à-dire - - J =E où est la conductivité électronique. Elle s'exprime en Siemens par mètre. En régime stationnaire, toutes les grandeurs sont indépendantes du temps. L'équation du mouvement établie à la question précédente nous donne alors - 0 = -- v - eE soit e- - v =- E or - J = -ne- v donc finalement - ne2 - E J = On en déduit que la loi d'Ohm est bien vérifiée. Par ailleurs cette équation nous permet d'exprimer la conductivité électronique ne2 = or = Finalement = m ne2 m 1.c L'expression de nous permet d'exprimer le temps caractéristique comme étant : m = 2 ne Application numérique : avec les valeurs de l'énoncé, on trouve = 0,06 × 0, 91.10-30 × 100 1024 × (1,6.10-19) 2 = 2,13.10-16 s Ce temps est inférieur à la femtoseconde. On constate donc que lorsque l'échantillon n'est plus soumis à aucun champ, les charges cessent immédiatement leur mouvement. Le fait que soit proportionnel à s'explique facilement : plus la conductivité augmente, plus les électrons de conduction sont mobiles à l'intérieur du réseau cristallin et, de ce fait, lorsque l'on coupe le champ électrique, ils mettent plus de temps à cesser leur mouvement. 1.d Supposons que le système puisse être assimilé à une nappe de courant infinie d'épaisseur a. L'objectif étant de déterminer le champ magnétique produit par une telle distribution de courant, il est naturel de préciser les symétries de la distribution afin de pouvoir déterminer la direction du champ magnétique. Supposer que l'extension latérale est infinie revient en fait à négliger les « effets de bords » et à considérer que le système est invariant par translation. En effet, comme dans beaucoup de domaines de la physique, la présence de bords rend plus difficile le calcul du champ.