CCINP Physique MP 2025

SESSION 2025

MP5P

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP
____________________

PHYSIQUE
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.
RAPPEL DES CONSIGNES
·

·
·

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction 
de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

______________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.
Le sujet est composé de trois parties, toutes indépendantes.

1/19

La planète Terre
Ce sujet évoque quelques considérations relatives à l'état de
notre planète (figure 1) et au réchauffement qu'elle est en train
de subir. De nombreux dispositifs sont dédiés à la compréhension et à la 
surveillance du changement climatique. Certains sont
envoyés en orbite autour de la Terre pour procéder à des mesures depuis 
l'espace. Les satellites altimétriques permettent de
surveiller la montée du niveau des océans causée par la fonte
des glaces et la dilatation des eaux réchauffées. La première
partie étudie le mouvement de ces satellites. La deuxième partie traite du 
dispositif de mesure en lui-même. Enfin, on s'intéresse dans la troisième 
partie à la propulsion d'un vaisseau qui,
dans le cas où le changement climatique rendrait un jour la Terre
invivable, pourrait servir à transporter une partie de l'humanité
vers d'autres planètes habitables.

Figure 1 - Image de la Terre
prise par l'équipage de la mission
Apollo 17 en 1972. Crédit : NASA

À une grandeur physique évoluant sinusoïdalement avec le temps f (t) = A cos(t 
+ ), on associera
la grandeur complexe f (t) = Aei(t+) , dont la partie réelle s'identifie à la 
grandeur physique f (t) et
où i est l'unité imaginaire, nombre complexe dont le carré vaut -1.
Par commodité de représentation, les figures de l'énoncé ne respectent pas les 
échelles.
Certaines données sont regroupées ci-dessous. Lorsqu'une application numérique 
est demandée, le
candidat pourra se contenter d'exprimer le résultat avec un seul chiffre 
significatif.
Données
­ intensité de la pesanteur à la surface de la Terre : g = 9,8 m · s-2 
­ charge élémentaire : e = 1,6 · 10-19 C 

­ masse de l'électron : me = 9,1 · 10-31 kg 

­ permittivité diélectrique du vide : 0 = 8,9 · 10-12 F · m-1 

­ célérité des ondes électromagnétiques dans le vide : c = 3,0 · 108 m · s-1 .
Formulaire
­ Double produit vectoriel :
-

u  (-
v -
w ) = (-
u ·-
w )-
v - (-
u ·-
v )-
w
­ Sinus cardinal :
sinc(x)
sinc(x) =

sin(x)
x

1

0

2/19

x

Partie I - Étude du mouvement d'un satellite
Les systèmes d'observation des océans par
satellite ont été imaginés et développés au
début des années 70. Depuis, plus d'une quinzaine de satellites d'observation 
embarquant
des altimètres radars ont été lancés dans le
but d'observer le comportement des océans
(figure 2).
Issues d'une coopération du CNES et de la
NASA, la série des satellites Topex-Poséidon,
initiée en 1992, puis celle des satellites Jason,
ont permis de mesurer l'élévation moyenne
des mers avec précision : (3, 6 ± 0,1) mm/an
durant ces trente dernières années.

Figure 2 - Satellites altimétriques lancés
depuis 1992. Vue d'artiste. Crédit : CNES

On se propose dans cette partie d'étudier le mouvement d'un tel satellite, en 
orbite autour du centre O
de la Terre, modélisée par un corps de répartition de masse à symétrie 
sphérique, de rayon RT et de
masse MT .

I.1 - Force centrale conservative
On commence par étudier le mouvement d'un mobile quelconque, de masse m et 
assimilé à un point
matériel M , dans le référentiel géocentrique (RT ) considéré comme galiléen. 
Le mobile n'est soumis
qu'à la seule action de la Terre.
Q1. Rappeler la définition du référentiel géocentrique et celle d'un 
référentiel galiléen.
-

Q2. Après avoir justifié la direction du champ de gravitation terrestre G (M ) 
et les invariances de
sa norme, établir l'expression de celui-ci en un point M extérieur à la Terre 
en fonction de la
constante de gravitation universelle G, de la masse MT , de la distance r = OM 
et du vecteur
--
-

unitaire -
u = OM /r. En déduire l'expression Fg de la force de gravitation exercée par la 
Terre
sur le mobile de masse m.
-
Q3. Montrer que le moment cinétique LO du mobile par rapport au point O est une 
constante du
mouvement. En déduire que la trajectoire du mobile est plane.
Dans la suite, on associera au référentiel
-
 -

e
(RT ) le repère orthonormé (O, -
x , ey , ez ) de
-
façon à ce que le moment cinétique LO soit
-

aligné avec -
ez . On posera LO = L0 -
ez et on
se placera en coordonnées polaires (r, ),
de centre O, pour décrire le mouvement du
mobile (figure 3).
Q4. Montrer que la force gravitationnelle
s'exerçant sur le mobile dérive d'une
énergie potentielle Ep . Établir l'expression de celle-ci en la prenant, par 
convention, nulle à l'infini.

y
-

e
-

ez

Terre

-

er

M
-

ey
O

-
e
x

x

Figure 3 - Description du mouvement du mobile
dans le système de coordonnées polaires
3/19

Q5. Montrer que l'énergie mécanique Em est une constante du mouvement et 
qu'elle peut se mettre
sous la forme :
1
Em = mr2 + Ep,eff (r)
(1)
2
où Ep,eff (r) est un terme, appelé énergie potentielle effective, que l'on 
exprimera en fonction de
G, m, MT , L0 et de r.
Q6. Expliquer pourquoi l'énergie mécanique du mobile est nécessairement 
supérieure ou égale à
son énergie potentielle effective.

Q7. Représenter graphiquement, pour une valeur donnée de L0 , l'énergie 
potentielle effective Ep,eff
du mobile en fonction de r. Faire apparaître sur le graphique l'énergie 
mécanique d'une trajectoire
associée à un état lié. On rappelle que, pour une force centrale en 1/r2 , la 
trajectoire d'un état
lié est elliptique.
Q8. Pour un mouvement elliptique quelconque, indiquer à quelles positions 
particulières l'énergie
mécanique est égale à l'énergie potentielle effective. Caractériser le 
mouvement du mobile dans
le cas où l'énergie mécanique est égale au minimum de l'énergie potentielle 
effective.
La plupart des mesures effectuées par les satellites altimétriques se font à 
partir de l'orbite altimétrique de référence, que l'on considérera ici comme 
une orbite circulaire de rayon R. Dans la suite, le
mobile étudié correspond à un satellite altimétrique de masse m, assimilable à 
un point matériel.
Q9. Exprimer l'énergie mécanique Em,alt du satellite situé sur l'orbite 
altimétrique de référence, en
fonction de G, MT , m et de R.
Q10. Établir la troisième loi de Kepler dans le cas particulier d'une orbite 
circulaire, en utilisant les
paramètres liés à l'orbite altimétrique.
On admettra que la troisième loi de Kepler est valable plus généralement pour 
un mouvement elliptique. Son expression peut se déduire de l'équation obtenue 
pour le mouvement circulaire, en
remplaçant le rayon R de l'orbite circulaire par le demi-grand axe a de la 
trajectoire elliptique.

I.2 - Jason-2 : un exemple pour la fin de vie des satellites
En fin de vie, pour que ne soit pas laissé un objet non contrôlé sur l'orbite 
altimétrique de référence,
le satellite Jason-2 a été dirigé vers une orbite dite « cimetière », 
d'altitude légèrement moins haute
que celle de l'orbite altimétrique de référence, avant d'être définitivement 
abandonné. On se propose
dans cette sous-partie d'étudier le cas d'une manoeuvre de ce type dans le cas 
très simplifié, illustré
figure 4, d'un transfert entre deux orbites circulaires coplanaires sous la 
seule action de l'attraction
terrestre. L'orbite de transfert, appelée orbite de Hohmann, correspond à une 
ellipse dont l'un des
foyers est le centre O de la Terre, dont l'apogée A est situé sur l'orbite 
altimétrique de référence
(rayon R) et dont le périgée P est sur l'orbite cimetière (rayon Rc ).
Pour modifier l'orbite du satellite, il faut l'accélérer ou le freiner en 
commandant le fonctionnement et
la direction de ses moteurs. On considérera que la poussée générée par ceux-ci 
s'exerce pendant
une durée tellement courte que les changements d'orbites se font instantanément.

4/19

orbite altimétrique
de référence

P

orbite
« cimetière »

Terre

A

O

orbite de
transfert de
Hohmann
Figure 4 - Tracé des différentes orbites du satellite

Q11. En utilisant l'équation (1), montrer que l'énergie mécanique Em,tr du 
satellite sur l'orbite de transfert peut se mettre sous la forme :
GMT m
.
Em,tr = -
R + Rc

Q12. Exprimer la variation d'énergie mécanique Em = Em,tr - Em,alt nécessaire 
pour passer de
l'orbite initiale à l'orbite de transfert. Commenter le signe de Em .

Q13. En justifiant la réponse, indiquer s'il faut accélérer ou freiner le 
satellite pour le transférer en P
de l'orbite de transfert à l'orbite cimetière.

Partie II - Mesure du niveau des océans

Les altimètres radars dédiés à l'observation de la Terre utilisent des 
techniques radars dites actives
dont le principe est illustré figure 5 : le dispositif envoie lui-même une onde 
éléctromagnétique pour
sonder son environnement et traite ensuite son écho pour analyser la surface 
ciblée.

La mesure de la distance d entre le satellite et la surface ciblée permet de 
déterminer la hauteur du
niveau des océans par rapport à une surface de référence (figure 5b). Cette 
surface correspond à une
bonne approximation de la forme de la surface de la Terre. Ainsi, la hauteur du 
niveau de l'océan, ici
notée hocéan , s'obtient en calculant la différence entre l'altitude h du 
satellite et la distance d séparant
le satellite de la surface de l'océan :
hocéan = h - d.
(2)

L'altitude h du satellite, définie par rapport à la surface de référence, est 
connue grâce à un récepteur
GPS avec une précision meilleure que le centimètre.

5/19

Orbite

d : distance
séparant le satellite
de la surface ciblée

h : altitude
du satellite

Surface ciblée

Océan

hocéan : hauteur
de l'océan
Surface de référence

(b) Le radar mesure la distance d le séparant de
la surface ciblée

(a) Principe. Vue d'artiste. Crédit : CNES

Figure 5 - Illustration du principe d'une mesure radar active

II.1 - Radar à impulsions
Le type de radar utilisé pour mesurer la distance entre le satellite et l'océan 
est un radar à impulsions.
Son principe de fonctionnement repose sur l'envoi d'une impulsion et la 
détection de l'écho produit
en retour par la surface ciblée. La mesure de la durée entre l'émission d'une 
impulsion et la réception
de son écho permet de connaître la distance d séparant le satellite de la 
surface ciblée. On considère
dans cette sous-partie que les ondes électromagnétiques se propagent à la 
vitesse c dont la valeur
est rappelée en début d'énoncé.

II.1.1 - Onde sinusoïdale tronquée
Considérons tout d'abord le cas simple d'une impulsion de durée  constituée 
d'un signal sinusoïdal
tronqué de fréquence f0 et d'amplitude réelle A0 (figure 6) :
ß
A0 pour -  /2  t   /2
e(t) = A(t) cos (2f0 t)
avec
A(t) =
(3)
0
sinon.
e(t)
A0
t
-A0

t = - /2

t=0

t =  /2

Figure 6 - Signal sinusoïdal tronqué émis par le radar sous la forme
d'une impulsion de durée  . L'échelle temporelle du signal sinusoïdal
n'est pas respectée : on a en réalité 1/f0  
Comme représenté figure 7, le signal est amplifié avant son émission. L'écho 
qui revient vers le radar
est une copie très atténuée du signal émis et retardée de la durée tR de 
l'aller-retour. Le signal reçu
est ensuite amplifié afin de pouvoir être traité. On note  le coefficient réel 
traduisant les différentes
amplifications et atténuations des signaux. Dans la modélisation proposée, on 
ne tient pas compte
6/19

du bruit. Par ailleurs, on néglige la déformation des signaux due au phénomène 
de dispersion. Ainsi,
on suppose que le signal reçu s'écrit :
u(t) = e(t - tR ).

Afin de pouvoir discriminer les différents échos provenant d'un même signal 
émis, on utilise un filtre
adapté, qui calcule l'intercorrélation du signal reçu avec une réplique du 
signal émis (figure 7). On
notera s(t) la sortie de ce filtre correspondant au signal u(t). Sa grandeur 
complexe associée s(t) se
calcule grâce à l'expression :

s(t) =

-

e ( - t)u()d

où les grandeurs e et u représentent les grandeurs complexes associées 
respectivement aux signaux
e et u et où e désigne la fonction complexe conjuguée de e.
Générateur
du signal
d'émission

e(t)

e(t)
Mesure
de la
distance d

Amplificateur
Amplificateur

s(t)

Filtre
adapté

u(t)
Antenne

Onde
reçue

Onde
émise

Figure 7 - Schéma simplifié de l'architecture de l'altimètre
Q14. Montrer que, pour le signal u(t), la grandeur complexe s(t) associée à la 
sortie du filtre adapté
peut se mettre sous la forme :
 +
2if0 (t-tR )
A( - t)A( - tR )d.
s(t) = e
-

Q15. Représenter A( - t) et A( - tR ) en fonction de  dans le cas tR -   t  tR 
. En déduire dans
ce cas l'expression de s(t) en fonction de , A0 , f0 , tR ,  et de t.
En considérant les trois autres cas t < tR -  , tR  t  tR +  et t > tR +  , on 
montre que la grandeur
complexe s(t) peut s'écrire :

pour -   t  0
 t+
-t +  pour 0  t  
s(t) = A20 e2if0 (t-tR )  (t - tR )
avec
(t) =

0
sinon.

On considère maintenant un deuxième écho, arrivant après une durée tR > tR , 
associé à la même
impulsion émise mais dû à la présence d'une surface réfléchissante située à une 
distance d > d.
Les deux échos pourront être distingués l'un de l'autre si les maxima des 
enveloppes qui leur correspondent dans le signal en sortie du filtre adapté 
sont séparés d'un temps au moins égal à la durée 
d'une impulsion.
7/19

Q16. Représenter, sans souci d'échelle, les signaux réels s(t) et s (t) 
associés aux signaux des deux
échos reçus, en faisant apparaître les instants où chaque enveloppe atteint son 
maximum.
Q17. Pour les satellites Jason, la durée d'une impulsion est   1,10 · 10-4 s. 
Déterminer numériquement le plus petit écart de distances dmin que permettrait 
de distinguer une impulsion telle que
celle décrite par l'équation (3). Commenter.
Pour gagner en précision, une première idée pourrait être de réduire 
significativement la durée  de
l'impulsion. Cependant, le bruit du signal, négligé dans la modélisation 
proposée, serait en pratique
trop grand devant le signal utile.

II.1.2 - Compression d'impulsion
On va décrire ici une méthode permettant d'envoyer une impulsion suffisamment 
longue afin de réceptionner un signal dont le rapport signal sur bruit est 
suffisant, tout en permettant de détecter de
faibles variations de distances. Cette méthode, appelée compression 
d'impulsion, utilise un signal
modulé en fréquence.

D'une manière générale, on peut écrire un signal modulé en fréquence sous la 
forme e(t) = A cos((t))
et définir sa fréquence instantanée fe (t) par la relation :
fe (t) =

1 d(t)
.
2 dt

Dans le cas du radar à impulsion étudié, la modulation en fréquence se fait 
suivant une rampe, représentée figure 8. Le signal émis peut alors s'écrire, en 
notant  la durée de l'impulsion et A0 l'amplitude
réelle du signal et en introduisant une constante K :
Å Å
ãã
ß
K 2
A0 pour -  /2  t   /2
e(t) = A(t) cos 2 f0 t + t
avec
A(t) =
(4)
0
sinon.
2
fe (t)

e(t)
A0
t
-A0
- /2

t=0

- /2

 /2

t
 /2

Figure 8 - Signal e(t) émis par le radar. À gauche : évolution du signal en 
fonction
du temps (échelle temporelle non respectée). À droite : tracé de la fréquence 
instantanée au cours du temps
Q18. Montrer que le signal décrit par l'équation (4) correspond bien à une 
fréquence variant linéairement avec le temps entre les instants - /2 et  /2, en 
explicitant la fréquence centrale fc et la
largeur B de la bande de fréquences.
On montre que, dans le cas de ce signal, l'intercorrélation associée au signal 
reçu peut s'écrire approximativement :
s(t) = A20  e2ifc (t-tR ) sinc (K (t - tR ))

est la fonction sinus cardinal.
où sinc(x) = sin(x)
x

8/19

On considère que deux échos peuvent être distingués l'un de l'autre si le 
maximum du deuxième écho
est séparé du maximum du premier écho d'une durée au moins égale au temps mis 
par le premier
écho pour atteindre sa première annulation.
Q19. Exprimer le plus petit écart dmin de distances discernables pour un tel 
signal en fonction de c
et de B. Faire l'application numérique pour le cas des satellites Jason, 
sachant que la bande de
fréquences utilisée dans ceux-ci est de largeur 320 MHz. Commenter.

II.2 - Traversée de l'ionosphère
La mesure de la distance entre le satellite et la surface des océans doit être 
corrigée des variations
d'indice de l'ionosphère, qui joue un rôle crucial dans la transmission des 
ondes électromagnétiques.
L'ionosphère est la partie de l'atmosphère terrestre située entre environ 80 km 
et 1 000 km d'altitude.
Elle se caractérise par la présence d'un plasma fait de cations et d'électrons 
libres résultant de l'interaction entre le rayonnement solaire et les molécules 
de l'atmosphère. Pour simplifier, nous considérons que ce plasma est constitué 
d'électrons de masse me , de charge -e et de densité particulaire n
d'une part et de cations de masse mc , de charge +e et de densité particulaire 
n d'autre part. Jusqu'à
la question Q29 incluse, on suppose n uniforme et constante.
On s'intéresse ici à la propagation d'une onde envoyée vers la surface d'un 
océan depuis un satellite
-
 -

situé à l'altitude h  1 366 km. On définit un repère orthonormé (O, -
e
x , ey , ez ) dont l'origine coïncide
avec le centre du satellite et dont l'axe Oz est vertical descendant. Dans 
l'ionosphère, on cherche
l'onde électromagnétique, produite à la fois par l'émetteur du radar et par les 
particules chargées
du plasma, sous la forme d'une pseudo onde plane progressive harmonique, 
décrite en un point
M (x, y, z) à l'instant t par le champ électrique complexe :
-

E (M, t) = E0 ei(t-k(z-z0 )) -
e
x
avec  la pulsation de l'onde, E0 l'amplitude réelle de l'onde à l'entrée dans 
l'ionosphère en z = z0
et k le nombre d'onde, éventuellement complexe. Dans le plasma, les particules 
chargées ne sont
soumises qu'à la force de Lorentz associée à l'onde électromagnétique. On 
considérera par ailleurs
que la vitesse des particules ne comporte pas de partie thermique fluctuante. 
Enfin, on admettra que
l'ordre de grandeur du rapport des amplitudes du champ magnétique et du champ 
électrique dans le
plasma est similaire à celui dans le vide.
Q20. Identifier la direction de propagation éventuelle et la polarisation de 
l'onde.
Q21. Déterminer la condition pour laquelle la composante magnétique de la force 
de Lorentz exercée
par l'onde sur les charges peut être négligée devant la composante électrique. 
On supposera
cette condition respectée dans la suite du sujet.
Q22. En utilisant le principe fondamental de la dynamique appliqué à un 
électron puis à un cation,

vc dont sont respectivement animés les élecexprimer en notation complexe les 
vitesses -
ve et -
-

trons et les cations en régime sinusoïdal forcé, en fonction de e, , E (M, t) 
et de la masse me
ou mc de la particule considérée.
Q23. En utilisant le fait que la masse des cations est bien plus grande que 
celle des électrons, montrer
à partir de la question précédente que la conductivité complexe () du plasma 
peut s'écrire de
façon approchée :
p2
() = -i0

où la grandeur p , appelée pulsation plasma, est à exprimer en fonction de n, 
e, 0 et de me .
9/19

Q24. Le plasma est localement neutre avant le passage de l'onde. Expliquer 
quelle caractéristique
de l'onde électromagnétique permet d'écrire que la densité volumique de charge  
reste nulle
même en présence de l'onde.

Q25. Écrire les équations de Maxwell dans le plasma sous forme complexe. 
Montrer que la relation
de dispersion peut s'écrire :
 2 - p2
k2 =
.
(5)
c2
On suppose la pulsation  telle que  < p . Q26. Donner l'expression de k en fonction de , p et de c, en justifiant soigneusement le choix de la - - solution de l'équation 5. Établir les expressions des champs réels E (M, t) et B (M, t), en faisant apparaître une distance caractéristique  dont on donnera l'expression en fonction de , p et de c. Indiquer le nom donné à ce type d'onde. Q27. Déterminer la moyenne du vecteur de Poynting de cette onde. Commenter. On suppose désormais la pulsation  telle que  > p .

-

-

Q28. Établir les expressions des champs réels E (M, t) et B (M, t) en fonction 
notamment de k
dont on donnera l'expression, en justifiant soigneusement le choix de la 
solution de l'équation 5.
Préciser quelle est la nature de l'onde.

Q29. En déduire que le plasma se comporte comme un filtre pour la propagation 
des ondes électromagnétiques, en précisant sa nature et l'expression littérale 
de sa pulsation de coupure.

Q31. Exprimer la vitesse de phase v
et la vitesse de groupe vg en fonction de , p et de c. Représenter
v /c et vg /c en fonction de .

103

altitude (km)

Q30. Le profil de la densité particulaire, qui dépend de l'alternance des jours 
et des nuits,
est représenté figure 9. En déduire le domaine de fréquences
que l'on doit choisir pour que
l'onde puisse atteindre la surface
de l'océan. Commenter le choix
de la bande de fréquences utilisée par les satellites Jason, sachant que 
celle-ci est caractérisée par une fréquence centrale
f0 = 20  13,6 GHz et par une
largeur B = 320 MHz.

nuit

jour

102

108

109

1010

1011

1012

n (m-3 )

Figure 9 - Densité particulaire n de l'ionosphère en
fonction de l'altitude. Crédit : J. V. Evans and T. Hagfors, Radar Astronomy, 
1968. McGraw-Hill Education

Q32. Indiquer si l'ionosphère est dispersive pour les ondes électromagnétiques. 
Justifier.

Du fait de la présence de l'ionosphère, il est nécessaire d'apporter une 
correction au calcul de la
distance entre le satellite et la surface de l'océan. Les satellites 
altimétriques utilisent une deuxième
impulsion, de fréquence centrale f1 = 21  5,3 GHz, en parallèle de la première 
impulsion de fréquence centrale f0 = 20  13,6 GHz. Pour la suite de l'énoncé, 
on considère l'ionosphère comme
une couche d'épaisseur  = 500 km et de densité d'électrons uniforme n = 5 · 
1011 m-3 . La partie de
l'atmosphère qui n'est pas l'ionosphère est assimilée au vide.
10/19

Q33. Les deux impulsions, associées aux fréquences centrales f0 et f1 , sont 
émises par le satellite
à l'instant t = 0 et leurs échos sont détectés respectivement aux instants t0 
et t1 . Déterminer une
expression approchée du décalage temporel t = t1 - t0 en fonction de , c, p , 0 
et de 1 . On
pourra utiliser le développement limité en 0 : (1 + x) = 1 + x à l'ordre 1 en x.
Q34. En déduire que la distance d entre le satellite et la surface de l'océan 
peut s'écrire approximativement :
ct0
-
d
2
où  est un terme correctif, appelé correction ionosphérique, que l'on exprimera 
en fonction de c,
t, 0 et de 1 .
Q35. Déterminer, en fonction de , n, e, 0 , me et de 0 , l'erreur que l'on 
commettrait sur la mesure,
faite à partir de l'impulsion de fréquence centrale f0 , si l'on considérait la 
vitesse de groupe égale
à c. Faire l'application numérique et commenter la valeur obtenue.

Partie III - Voile solaire
Le changement climatique que la Terre est en train de subir risque de conduire 
à un déréglement
irréversible de l'équilibre de vie actuel. Dans certaines oeuvres de 
science-fiction, l'ampleur du réchauffement est telle que la seule solution 
pour assurer la survie de l'humanité est l'exode spatial. Un
vaisseau équipé d'une voile solaire figure parmi les solutions futuristes 
imaginées.
Une voile solaire est un dispositif de propulsion spatiale qui
utilise la pression du rayonnement solaire pour générer une
force de poussée. Le procédé permettrait à un engin déjà
placé en orbite de quitter l'attraction terrestre. Plusieurs prototypes de 
petite taille, destinés à mettre au point les systèmes de déploiement et de 
contrôle d'orientation particulièrement délicats, ont été placés en orbite, 
comme par exemple
le NanoSail-D2, lancé par la NASA en 2019 et dont une vue
Figure 10 - Voile solaire NanoSaild'artiste est représentée figure 10.
D2. Vue d'artiste. Crédit : NASA
On considère une voile solaire de surface carrée S = a2 modélisée par un 
conducteur parfait. Le
rayonnement solaire est assimilé à une onde plane progressive harmonique (OPPH) 
de pulsation ,

e
de polarisation rectiligne suivant -
ez et se propageant selon -
x depuis les x < 0. L'onde incidente, en un point M (x, y, z) et à l'instant t, s'écrit en notation complexe : - Ei (M, t) = E0 ei(t-kx) - ez - - où k =  k = c est la pulsation spatiale de l'onde, norme du vecteur d'onde k et où E0 représente l'amplitude réelle de l'onde. - - On admet que les champs électrique E et magnétique B associés à une onde électromagnétique sont nuls dans un conducteur parfait. III.1 - Pression de radiation On suppose tout d'abord que la normale à la surface S est colinéaire à la direction de propagation de l'OPPH. Le référentiel d'étude est lié à la voile. Dans ce référentiel, la voile solaire se confond avec le plan x = 0, comme représenté figure 11. 11/19 voile solaire y - Ei x x z x=0 Figure 11 - Représentation de l'onde incidente arrivant en incidence normale sur la voile solaire On donne les relations de passage à l'interface entre deux milieux 1 et 2 , de normale - n 12 orientée de 1 vers 2 : - - - - - B2 - B1 = µ0 js  - n E2 - E1 = - n12 12 0 - - - - où E1 , B1 , E2 et B2 désignent les champs électriques et magnétiques au voisinage immédiat de l'in- terface dans les milieux 1 et 2 et où  et js sont les densités surfaciques de charge et de courant à l'interface, respectivement. Q36. La voile donne naissance à une onde réfléchie de même pulsation  que celle de l'onde incidente. On cherche cette onde réfléchie sous la forme d'une OPPH se propageant en sens inverse de l'onde incidente et de polarisation transverse a priori quelconque : - E (M, t) = E  ei(t+kx) - e + E  ei(t+kx) - e . r 0y 0z y z En utilisant la relation de passage relative au champ électrique, simplifier l'expression du champ électrique complexe de l'onde réfléchie. Q37. Après avoir déterminé le champ magnétique complexe total régnant au voisinage extérieur de la surface de la voile (en x = 0- ), établir l'expression de la densité surfacique de courant réelle - js (t) qui apparaît sur celle-ci. dy On s'intéresse, dans la suite, à la force électromagnétique exercée par l'onde sur la voile. On admet que cette force est égale, dans ce cas d'étude particulier, à la force de Laplace exercée sur les courants surfaciques par la moitié du champ magnétique total régnant au voisinage extérieur de la surface de la voile (en x = 0- ). i a z On définit le scalaire js par la relation : y - js = js - ez . x On considère un élément de la voile rectiligne, représenté en grisé sur la figure 12, de longueur a, de largeur dy et parcouru par un courant d'intensité i = js dy orienté vers les z > 0.
12/19

a

Figure 12 - Représentation d'un élément de la voile rectiligne, parcouru par
un courant d'intensité i

--
Q38. Exprimer la force électromagnétique FL due au champ électromagnétique sur 
cette portion
-

rectiligne en fonction de a, dy, js (t) et du champ magnétique incident à la 
surface de la voile
-

-

Bi (x = 0, t). En déduire la force électromagnétique totale FL exercée sur 
l'ensemble de la voile
-

-

en fonction de a, js (t) et de Bi (x = 0, t).
¨-

Q39. En déduire la force électromagnétique surfacique moyennée temporellement f 
et montrer
qu'elle peut s'écrire de la façon suivante :
¨-

f = Pm -
e
x
où Pm est une grandeur, appelée pression de radiation, que l'on exprimera en 
fonction de l'intensité I de l'onde incidente (puissance surfacique transportée 
à travers une section droite, moyennée temporellement) et de la célérité c de 
la lumière dans le vide.
Q40. Évaluer l'ordre de grandeur de la surface S nécessaire pour donner à un 
vaisseau de masse
m = 2 000 kg une accélération environ égale au millième de l'intensité de la 
pesanteur g régnant
à la surface de la Terre, sachant que l'intensité du rayonnement solaire à 
proximité de la Terre
est d'environ 1 000 W · m-2 . Commenter.
y
Dans le cas plus général d'une inclinaison quelconque de la voile (figure 13), 
on peut montrer
que la force électromagnétique
surfacique moyen¨-

née temporellement f peut se mettre sous la
forme :
¨-

f = Pm cos2 () -
n
(6)

y
voile
solaire

x

z

+

-

n

-
Ei

x

x

où  est l'angle caractérisant l'inclinaison par rap
port à l'axe Ox du vecteur unitaire -
n normal à la
voile.
Figure 13 - Représentation de la réflexion d'une
onde arrivant avec un angle d'incidence quelconque sur la voile

III.2 - Libération du vaisseau
III.2.1 - Position du problème
On va chercher dans cette sous-partie à étudier une manoeuvre permettant à un 
vaisseau, assimilable
à un point matériel M et parcourant initialement une orbite circulaire autour 
de la Terre, d'atteindre
grâce à une voile solaire la vitesse de libération et "d'échapper ainsi à 
l'attraction terrestre". Pour
simplifier l'étude, on considérera l'orbite initiale dans le plan de 
l'écliptique, qui est le plan de l'orbite
du centre de la Terre autour du Soleil et que l'ensemble de la trajectoire 
restera contenue dans ce plan.
On décrira le mouvement dans le système de coordonnées polaires, dans le plan 
de l'écliptique,
caractérisé par les paramètres r = OM et , l'angle entre l'axe Ox, aligné avec 
la direction du rayon
nement solaire et la direction radiale portée par -
er (figure 14). Comme l'étude du mouvement du
vaisseau ne va durer que quelques jours, on peut négliger le mouvement de la 
Terre autour du Soleil
et considérer le référentiel géocentrique d'étude comme galiléen.

13/19

y

rayonnement solaire

-

e

+

-

n

-

t
M

-

er

r

x

O
Terre

ombre de la Terre

Figure 14 - L'orientation de la voile est repérée par l'angle  que fait le 
vecteur
-

unitaire -
n normal à la voile avec la direction radiale. Le vecteur t est le vecteur
-

unitaire tangent à la voile tel que (-
n , t ,-
ez ) forme un trièdre direct droit

-

Grâce à la présence de sa voile, le vaisseau va subir la force Fp de pression 
de radiation exercée
par le rayonnement solaire dont la valeur surfacique a été décrite à la 
sous-partie III.1. En raison du
passage du vaisseau dans l'ombre de la Terre, on introduit une fonction L(r, ) 
qui rend compte de la
présence ou non du rayonnement solaire sur la voile :
ß
¨-

-

0 si M est dans l'ombre de la Terre
-

2
Fp = L(r, ) f S = L(r, )Pm S cos () n avec L(r, ) =
1 sinon

et où l'angle  sera à tout instant compris entre -/2 et /2.

Q41. Donner les expressions en coordonnées polaires du vecteur position -
r , du vecteur vitesse -
v
-

et du vecteur accélération a du point matériel M qui modélise le vaisseau.

Q42. En considérant la Terre comme un corps de répartition de masse à symétrie 
sphérique, déterminer les composantes radiale Fr et orthoradiale F de la 
résultante des forces extérieures
s'appliquant sur le vaisseau en fonction de la constante de gravitation 
universelle G, de la masse
MT de la Terre, de la masse m du vaisseau, de la fonction L(r, ) et des 
grandeurs r, , Pm , S
et .

On note dans la suite vr et v les composantes radiale et orthoradiale du 
vecteur vitesse :

-

er + v -
e .
v = vr -

Q43. Montrer que les dérivées temporelles vr et v peuvent s'écrire :
vr =

v2
Fr
+ 
m
r

et

v =

vr v
F
-
.
m
r

III.2.2 - Énergie et manoeuvre optimale

On cherche à optimiser la manoeuvre du vaisseau en ajustant l'orientation de la 
voile pour que la force
de pression de radiation permette à chaque instant d'augmenter le plus possible 
l'énergie mécanique
du vaisseau.
14/19

Q44. Donner l'expression de l'énergie mécanique Em du vaisseau en fonction de 
G, MT , m, r, vr et
de v .
Q45. Montrer que la dérivée temporelle de l'énergie mécanique peut se mettre 
sous la forme :
dEm
= Km L(r, ) cos2 () (vr cos( - ) + v sin( - ))
dt
où Km est une constante que l'on exprimera en fonction de Pm et de S.

III.3 - Simulation numérique du mouvement du vaisseau
Seul le langage Python est autorisé dans cette sous-partie de simulation 
numérique. On suppose que
le module numpy a été importé grâce à l'instruction :

import numpy as np

Le candidat pourra à tout moment supposer qu'une fonction ou une instruction 
définie dans une
question précédente est disponible, même s'il n'a pas traité la question 
correspondante. Une documentation relative au module numpy est fournie en 
annexe à la fin du sujet.
Dans l'énoncé, une même grandeur peut être écrite suivant le contexte dans deux 
polices de caractères différentes : une police en italique pour représenter une 
grandeur physique ou mathématique
(par exemple : dt) et une police de type machine pour définir son équivalent 
dans le code informatique
(par exemple : dt).
Pour la résolution numérique, on définit de manière globale en début de 
programme les variables
répertoriées dans le tableau 1. Elles pourront être utilisées directement dans 
la suite.
instruction

grandeur correspondante

G = 6.67e-11 # en N.m2/kg2

G : constante de la gravitation universelle

MT = 5.98e24 # en kg

MT : masse de la Terre

RT = 6.37e6 # en m

RT : rayon de la Terre supposée sphérique

m = 2.0e3 # en kg

m : masse du vaisseau

g = 9.8 # en N/kg

g : intensité de la pesanteur à la surface de la Terre

Km = g/1000*m

Km : constante apparaissant dans la question Q45

Tableau 1 - Variables définies de manière globale en début de programme

15/19

III.3.1 - Résolution numérique

On propose la fonction suivante, incomplète :
1
2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

def simulation (r, theta , vr , vtheta , tmax , dt) :
""" Calcule itérativement , par la mé thode d'Euler explicite , la position
et la vitesse du vaisseau ainsi que l' orientation de la voile réglée
de manière optimale au cours du temps .
Entrées :
- r ( float ) : distance initiale entre le vaisseau et le centre de la
Terre (en m) ;
- theta (float ) : angle polaire initial (en radians ) ;
- vr ( float ) : vitesse radiale initale (en m/s) ;
- vtheta ( float ) : vitesse orthoradiale initiale (en m/s) ;
- tmax ( float ) : durée de la simulation (en s) ;
- dt ( float ) : pas temporel de la simulation (en s).
Sortie :
- R ([ float ]) : liste de la distance entre le centre de la Terre et
le vaisseau aux diffé rentes instants (en m) ;
- Theta ([ float ]) : liste de l' angle polaire aux diffé rents instants
(en radians ) ;
- Vr ([ float ]) : liste de la vitesse radiale aux diffé rents instants
(en m/s) ;
- Vtheta ([ float ]) : liste de la vitesse orthoradiale aux diffé rents
instants (en m/s) ;
- Phi ([ float ]) : liste de l' angle phi optimal aux diffé rents
instants (en radians ).
"""
instruction 1
R, Theta , Vr , Vtheta , Phi = [], [], [], [], []
for t in T :
phi = recherche_phi_optimal (vr , vth , theta )
vr_pt , vth_pt = derivees_comp_vitesse (r, theta , vr , vth , phi)
instruction 2
R. append (r)
Theta . append ( theta )
Vr. append (vr)
Vth. append (vth)
Phi. append (phi)
return T, R, Theta , Vr , Vth , Phi

Q46. À la ligne 17, proposer une instruction à la place de instruction 1 
permettant de définir le
tableau numpy T contenant n valeurs de t, séparées par le pas de temps constant 
dt et comprises
entre 0 (inclus) et tmax (exclu).
Q47. Pour une vitesse et une position du vaisseau données, il existe un unique 
angle  compris
entre - 2 et 2 permettant de maximiser le taux de variation temporelle de 
l'énergie mécanique,
comme décrit dans la sous-partie III.2.2. Écrire la fonction 
recherche_phi_optimal(vr, vth,
theta) permettant, pour une vitesse radiale vr , une vitesse orthoradiale v et 
un angle polaire ,
de déterminer cet angle  optimal à 2 · 10-3 rad près. On pourra se contenter 
d'un algorithme naïf
de recherche d'un maximum, fonctionnant avec une complexité temporelle linéaire.

Q48. Écrire une fonction derivees_comp_vitesse(r, theta, vr, vth, phi), 
permettant, à partir
des paramètres r, , vr , v et , de calculer les dérivées temporelles vr et v 
des composantes
radiale et orthoradiale de la vitesse, suivant les résultats obtenus aux 
questions Q42 et Q43. Il
est demandé de tenir compte des passages du vaisseau dans l'ombre de la Terre.

16/19

Q49. À la ligne 22, remplacer instruction 2 par une instruction (ou un bloc 
d'instructions) permettant d'écraser les valeurs r(t), (t), vr (t) et v (t) des 
variables r, th, vr et vth, par les valeurs de
ces mêmes paramètres à l'instant t + dt : r(t + dt), (t + dt), vr (t + dt) et v 
(t + dt), en appliquant
une itération de la méthode d'Euler explicite.

III.3.2 - Exploitation de la simulation
On souhaite lancer la simulation avec les paramètres suivants :
­ durée totale de la simulation : tmax = 7 jours 

­ pas temporel : dt = 1 s 

­ orbite initiale circulaire de rayon r0 = 30 000 km 
­ angle polaire initial 0 = - 2 .

tmax = 24*3600*7 # en s
dt = 1 # en s
vr = 0 # en m/s
r = 30000 e3 # en m
vth = np.sqrt(G*MT/r)
theta = -np.pi /2
T, R, Theta , Vr , Vth , Phi = simulation (r, theta , vr , vth , tmax , dt)

On procède à la simulation grâce aux instructions suivantes :

On exploite ensuite les listes R, Theta et Phi pour représenter la trajectoire, 
telle qu'elle apparaît sur
la figure 15. On constate que, compte tenu du rayon de l'orbite initiale, la 
zone d'ombre n'influence
quasiment pas le mouvement du vaisseau.
rayonnement solaire
y

x

Terre
z

Figure 15 - Résultat de la simulation. Chaque position du vaisseau est séparée
de la précédente par une durée d'une heure. Le vaisseau est représenté par un
trait qui précise l'orientation du plan de la voile
Q50. Expliquer physiquement la raison pour laquelle il faut que le plan de la 
voile soit approximativement parallèle au plan xOz de la figure 15 lorsque le 
vaisseau est aux environs des points
repérés par les coordonnées x  0 et y > 0.
17/19

Pour suivre l'état du vaisseau dans le champ de gravitation terrestre, il peut 
être intéressant de tracer,

en fonction du temps, le rapport de la norme -
v  de la vitesse sur la vitesse de libération vlib du
satellite. On rappelle que la vitesse de libération vlib (r) associée à un 
astre considéré comme seul
attracteur est la vitesse minimale permettant à un corps, situé à la distance r 
du centre de cet astre,
de s'en éloigner définitivement. Le résultat est représenté figure 16.
-

v 
vlib

1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4

20

40

60

80

100

Figure 16 - Évolution du rapport

120
-

v 
vlib

140

160

180

t(h)

en fonction du temps

Q51. Déduire de l'application d'un théorème énergétique l'expression de la 
vitesse de libération vlib (r)
d'un corps soumis à l'attraction terrestre.

Q52. Donner, pour une masse m évoluant sans voile solaire autour de la Terre 
suivant une trajec-

toire elliptique d'énergie E = cte, l'expression du rapport  v  en fonction de 
E , m, G, M et
m

vlib

m

T

de r. Expliquer les oscillations de la courbe de la figure 16. Expliquer 
pourquoi l'amplitude des
premières oscillations augmente au cours du temps.

18/19

Annexe - Aide relative à l'utilisation du module numpy
­ np.array(u) crée un tableau numpy (N-dimensional array) contenant les 
éléments de la liste u.
La taille et le type des éléments de ce tableau sont déduits du contenu de u :

>>> u = [1, 2, 3]
>>> np.array (u)
array ([1, 2, 3])

>>> np. arange (0.5 , 1.6 , 0.1)
array ([0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 , 0.9 , 1. , 1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4 , 1.5])

>>> np. linspace (0.5 , 1.5 , 11)
array ([0.5 , 0.6 , 0.7 , 0.8 , 0.9 , 1. , 1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4 , 1.5])

­ np.arange(a,b,p) crée un tableau numpy de flottants contenant les valeurs 
comprises entre a
(inclus) et b (exclu), régulièrement espacées du pas p :

­ np.linspace(a,b,n) crée un tableau numpy de flottants contenant n valeurs 
régulièrement
espacées et comprises entre a (inclus) et b (inclus) :

­ np.sqrt(x) calcule la racine carrée du nombre x 

­ np.cos(x) et np.sin(x) renvoient le cosinus et le sinus de l'angle x exprimé 
en radians 
­ np.arccos(x) et np.arcsin(x) renvoient l'arc cosinus et l'arc sinus du réel x 
compris entre -1
et 1 
­ Les opérations élémentaires (*, +, /, -, %, etc) et les fonctions de calcul 
du module numpy, telles
que cos ou sqrt par exemple, peuvent s'appliquer sur des tableaux numpy. Le 
résultat renvoyé
est un tableau de même dimension que le tableau utilisé :

>>> 100+2* np.array ([18 ,6 ,40])
array ([136 , 112 , 180])
>>> np.cos(np. array ([0 , np.pi/2,np.pi ]))
array ([ 1.000000 e+00 , 6.123234e -17 , -1.000000e +00])

>>> np.array ([1 ,2 ,3])+np. array ([10 ,20 ,30])
array ([11 , 22, 33])

­ Il est possible de manipuler membre à membre plusieurs tableaux numpy de même 
dimension :

FIN

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