CCINP Physique MP 2023

SESSION 2023

C MP5P
CONCOURS
C COMMUN

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est constitué de 3 parties totalement indépendantes :
la partie I fait appel au cours de mécanique du point et à la propagation des 
ondes
mécaniques,
. la partie Il fait appel au cours d'électromagnétisme,
. la partie Ill fait appel au cours de thermodynamique.

Un formulaire est placé en fin de sujet.

1/13
One Piece est une série de mangas Shônen créée par Eiichirô Oda.

L'histoire suit les aventures de Monkey D. Luffy, un garçon dont le
Corps a acquis les propriétés du caoutchouc après avoir mangé par
inadvertance un fruit du démon.

Avec son équipage de pirates, appelé l'équipage au Chapeau de
paille, Luffy explore Grand Line à la recherche du trésor ultime
connu sous le nom de One Piece afin de devenir le prochain roi des
pirates.

Ce sujet aborde diverses questions de physique très librement inspirées de 
cette oeuvre.

PARTIE T - Gomu no jet pistol : chaîne d'oscillateurs et onde mécanique

Luify peut étendre ses bras, notamment en emmagasinant l'énergie potentielle 
élastique et frapper
son adversaire. On se propose ici de modéliser un exemple d'extension élastique.

1.1 - Oscillateur harmonique

Soit une molécule diatomique dont les deux atomes ne peuvent se déplacer que 
sur la direction
(Ox) . En notant x la distance interatomique, l'énergie potentielle 
d'interaction s'écrit, selon la relation

de Morse :
-a(x-X,) e
(= [1e 9 |
avec V,,aet x, des constantes réelles positives.
Q1. Déterminer la distance interatomique d'équilibre, appelée longueur de 
liaison à l'équilibre x:

eg'
On s'intéresse aux petits mouvements autour de la position d'équilibre : x = 
Xéq + EUR ; AVEC el EUR Xég-
Q2. En développant l'énergie potentielle V(x) au second ordre en EUR, montrer 
que la force

d'interaction résultante est équivalente à celle d'un ressort de constante de 
raideur k dont on
donnera l'expression en fonction de VW, et de a.

2113
Q3. Si on appliquait cette force à une particule de masse m et de position 
e(t), quelle serait la
pulsation des oscillations «, de celle-ci'? Représenter la vibration au cours 
du temps

t -- s(t) pour des conditions initiales données : £(0)= 8 et £(0)=0.

Q4. Donner, sur le même graphique, l'allure des courbes représentatives de 
l'énergie potentielle
de Morse et de l'énergie potentielle harmonique approchée en fonction de la 
distance
interatomique.

1.2 - Chaîne unidimensionnelle infinie d'oscillateurs harmoniques

On considère une chaîne unidimensionnelle infinie d'oscillateurs harmoniques 
identiques, de
constante de raideur k et de longueur à vide /,. Les masses sont toutes égales 
et désignées par

des indices entiers successifs n EUR N. On note m cette masse des masselottes 
entre les ressorts,
Fn(t)}=xh(t)ux le vecteur position de la n°"° masse et u,, (t) son déplacement 
par rapport à sa

position d'équilibre. Le référentiel est supposé galiléen. On ne prend en 
compte que les interactions
harmoniques entre les masses.

Initialement, à { = 0, la chaîne est au repos. La distance entre deux atomes 
successifs à l'équilibre a
(figure 1) est égale à la longueur à vide, /, =a.

On prend comme origine sur l'axe la position repérée par nñn=0 à t=0.

(n-1)a na (n + 1)a

SSSR

repos
Un-1 Un Un+1

messes APS ABS SP ESS =

mouvement
Figure 1 - Chaîne d'oscillateurs identiques
Q5. Pour neN, écrire la position initiale de la n°"° masse (x, (0)) en fonction 
de n et de a. En

déduire son écart u, (t) par rapport à sa position d'équilibre en fonction de 
x, (t), n et de a.

Q6. Établir que l'équation du mouvement de la ni" masse, se met sous la forme:
Ü = où [Un 1 +Uh_1-- au | avec a, constante réelle à déterminer.

On s'intéresse à la propagation d'ondes mécaniques dans cette chaîne. On 
cherche à savoir s'il

existe un réel q strictement positif tel que, en notation complexe, on puisse 
écrire :
un (t)=U, exp(i(ot - qna)) avec j? =-1, ow et U, strictement positifs.

Q7. Cette onde est-elle harmonique ? Que représentent U, et © ?

Cette onde présente une périodicité spatiale s'il existe une p°"° masse (avec p 
> n) telle que :
uL(t)=un(t). On définit la longueur d'onde comme la plus petite distance 
séparant deux telles

masses au repos.

3/13
Q8.

Q9.

Q10.

Q11.

Q12.

Établir l'expression de la longueur d'onde À en fonction de a. Que représente 
finalement q ?

2
Montrer que la relation de dispersion, reliant © et q, est @ = 4o 2 sin 2)

Représenter graphiquement la fonction : |q + o(q)| en se restreignant à 
l'intervalle or!
a

Rappeler les définitions et les significations de la vitesse de groupe Va Et de 
la vitesse de
phase Vy: Comment lit-on ces vitesses sur le graphe de la question Q9 ?

La chaîne est-elle dispersive ? Quelle condition doit satisfaire « pour que q 
existe ? Préciser
la nature du filtre que constitue la chaîne d'oscillateurs vis-à-vis de ces 
ondes.

A . TT A , ,
Déterminer Va Et Vy pour q «--- et pour q =--. On précisera la nature de l'onde 
dans les
a a

deux cas.

Le fluide (ou haki en VO) est un pouvoir mystérieux du manga, qui permet à son 
possesseur d'utiliser
sa propre énergie spirituelle à des fins diverses, notamment pour renforcer sa 
peau et la rendre
aussi dure qu'un diamant.

1.3 - Solide cristallin

On considère ici un cristal parfait, c'est-à-dire un assemblage spatial 
triplement périodique d'un très
grand nombre d'atomes.

Hypothèses du modèle :

Q13.

Q14.

tous les défauts du cristal réel sont négligés ;
l'agitation thermique n'est qu'une vibration autour d'une position moyenne des 
atomes qui
sera prise comme position d'équilibre ;
les vibrations d'origine thermique sont décomposables en ondes planes ;
seules les interactions entre plus proches voisins dans une maille cristalline 
cubique simple
sont considérées : les trois dimensions de l'espace sont découplées et l'étude 
sera faite sur
l'une d'elles selon le modèle d'un cristal à une dimension ;
l'énergie potentielle de liaisons entre deux atomes de masse m, distants de x, 
sera
modélisée par le potentiel de Lennard-Jones :

A B +2

V(x)=-->----, (A B)EeR..
(9-5. (AB)eR:

À quelles interactions correspondent les deux termes du potentiel de 
Lennard-Jones ?

En notant a, la distance entre deux atomes à l'équilibre, montrer que V se met 
sous la forme :

12 6
V(x)=6, (9) -2[£) | où la profondeur du puits de potentiel @, est à exprimer en

fonction de B et de a.

4113
Q15. Sur le graphique ci-après, ont été représentées les courbes :

EE] ef-(]

Identifier ces courbes.

Courbe 1

Courbe 2

ourbe 3
1
O 0.5 2 2.5
1 -

Q16. Montrer que, tant que l'amplitude des oscillations reste négligeable 
devant à, la liaison entre
deux atomes est modélisable par un ressort de constante de raideur k que l'on 
exprimera en
fonction de ©, et de a. On pourra développer le potentiel au seconde ordre 
grâce à la formule

de Taylor.

Q17. Calculer k et w, pour a=2,0-107 1° m, @, =0,10 eV et m=1,0:10 ** kg.

Cette modélisation du solide cristallin permet de décrire la propagation 
d'ondes mécaniques
longitudinales dans les solides et on s'intéresse ici aux aspects énergétiques. 
On suppose que le
mouvement des masses correspond au passage d'une onde plane harmonique de 
pulsation & dont
la formule est indiquée entre les questions Q6 et Q7.

Q18. Exprimer la valeur moyenne temporelle de l'énergie cinétique (Ec) d'un 
atome indicé par n
en fonction de m, U, et w. En déduire l'énergie cinétique moyenne pour N atomes.

Q19. Justifier que l'énergie potentielle moyenne (Ep) du nime atome se met sous 
la forme :
Kk 2 2
(Ep) = lun -- Un lu, -- Un |

Q20. Grâce à la forme de l'onde et à la formule de dispersion obtenue 
précédemment, exprimer
 en fonction de m, U, et de «.

Q21. En déduire l'énergie interne du cristal en fonction de la température 7.

9/13
I. 4 - Du discret au continu

X X + dx
repos |
P u(x D |  u(x+ dx)
--> >
FX t) <------ > F{(x + ax,t)
mouvement

Figure 2 - Passage au continu

Q22. À partir de la relation de dispersion, exprimer la longueur d'onde À de 
l'onde qui se propage
en fonction de &, « et de a.

Calculer À pour des fréquences ultrasonores (f -- 500 kHz). Commenter.

Q23. La comparaison de la longueur d'onde au paramètre a permet d'écrire 
un(t)=u(xt)

ot] m (6x?
Calculer la célérité de l'onde dans le cristal pour des fréquences ultrasonores.

= ; : r : ; ou k 2 ou
(figure 2) et d'obtenir une équation de D'Alembert de la forme | == [= a! 7 |.

Grâce à ce corps élastique, malléable, Luffy peut étirer son bras loin derrière 
lui et le ramener
brutalement en avant, frappant son adversaire ; l'énergie élastique emmagasinée 
est alors relâchée
a l'impact...

PARTIE Il - Kami no Sabaki - Électrodynamique classique

Enel (Eneru en VO) est l'antagoniste principal de l'Arc Skypiea. Son fruit du 
démon, le goro goro no
mi, lui permet de produire de la foudre et du courant électrique en maîtrisant 
la formation de
particules chargées.

6/13
Il. 1 - Champs électromagnétiques dans un condensateur

Couche
mince de
gaz  __ly
Üair -- U,
et de
charge Q

|
Surface S circulaire
|

Air non chargé assimilé au vide

v

Sol de potentiel nul et de charge -- Q en surface

Figure 3 - Condensateur créé par Enel

Les échelles ne sont pas respectées par souci de représentation.

Le pouvoir d'Enel lui permet d'imposer un potentiel à un volume d'air 
extrêmement fin au-dessus de
lui. On s'intéresse ici au condensateur formé par cette surface d'air 
circulaire et le sol, localement
plan (figure 3).

Dans cette modélisation, on pourra considérer deux disques (plans) parallèles 
de surfaces S
distants de d avec d<« /S de potentiels électriques respectifs U,, =0 et U,,(U.;, potentiel électrique de la couche d'air chargé). On nédgligera les effets de bord. On appellera (Oz) l'axe vertical ascendant dont l'origine est prise au sol et u, son vecteur unitaire. On assimile l'air non chargé entre ces plaques au vide de permittivité £, = 8,851 02 Fm! On se place ici en régime statique, U.;, = U,, = constante positive et on note ©; = o, la densité surfacique des charges électriques de la surface d'air chargée. Q24. Justifier que le champ électrique est de direction Oz : E = Eu, . Exprimer ce champ électrique créé dans l'espace 0  dP-
magnétique le long d'un contour orienté s'écrit : YE dl = -- 7 , avec cet DE à 
préciser.
C

Il. 2 - Écrantage dans un plasma thermique

En fait, la création d'un tel potentiel électrique augmente drastiquement la 
température, ionisant au
passage l'atmosphère. L'air ne sera plus assimilé à du vide mais à un plasma, 
un milieu globalement
neutre électriquement, partiellement ou totalement ionisé, contenant en moyenne 
et par unité de

volume, n, électrons libres de masse m, et de charge q, =-e et n; =n, ions X*, 
de masse m;
et n, atomes X de masse m,.
L'atmosphère est à l'équilibre thermodynamique à une haute température T.

Intéressons-nous à l'environnement d'un ion X° particulier dont la position 
sera prise pour
l'origine ©. Notons respectivement n, et n_,les densités volumiques d'ions et 
d'électrons en un

point M situé à une distance r de l'origine. On se place dans le cadre de 
l'électrostatique.

Q32. Rappeler l'énergie potentielle d'une charge e placée en un point du plasma 
tel que le potentiel
électrique en ce point soit égal à U. On suppose que ce potentiel ne dépend que 
de

r'U=U(r).

U « or us
Q33. Justifier qu'à "très haute température ", n, =n, | 2) À quelle inégalité 
correspond la
B

notion de " haute température "" ?

Q34. En déduire n .

Q35. Représenter les fonctions [Ur n,(U)| et|Ur-n (U)|.

Q36. Comment s'écrit, dans ce milieu, l'équation de Poisson ? En déduire 
l'équation différentielle à
laquelle obéit U(r).

2
Q37. En posant Z(r)=rU(r), montrer que la fonction Z(r) vérifie l'équation : T2 
L 0 avec
dr À5

Àp Une constante à exprimer en fonction des données de l'énoncé.

Q38. Résoudre cette équation et montrer que le potentiel électrique s'écrit :
pour r #0, U(r)= 2 4,
ATEof
Interpréter ce que représente 1, . Commenter.

8/13
Q39.

Il. 3 -

En déduire la densité volumique de charge p(r) ainsi que la charge Q(r) 
contenue dans une

sphère de centre O et de rayon r.

f X r r
On donne | rexp| -----|dx=|1-exp| --- || -- +11}.
0 ÀD ÀD ÀD

Décharge du condensateur de plasma

On (re)considère deux disques (plans) parallèles de surface S distants de d 
avec d«VS de
charges surfaciques électriques respectives ©; = o, (pour la surface d'air 
chargée) et o4y = -©

(au sol). On négligera les effets de bord. On appellera (Oz) l'axe vertical 
ascendant dont l'origine

est prise au sol et u, son vecteur unitaire.

À l'instant initial (t -- 0), suite à l'élévation brutale de température, l'air 
contenu entre ces deux plans
devient un conducteur ohmique, caractérisé par sa conductivité électrique 7. 
Cet air, entre les

plaques, est supposé rester localement neutre. La relation entre le champ 
électrique ÆE et le
potentiel électrique est supposée être la même qu'en régime statique.

Q40.

Q41.

Q42.

Q43.

Q44.

Quelle est l'unité (ou la dimension) de 7 ?

Déterminer la densité volumique de courant j en fonction de o.;,(t) et des 
données de

l'énoncé.

Montrer que l'équation différentielle relative à la densité surfacique de 
charge d'air s'écrit :
dt T

l'énoncé.

--<0, avec 7 une constante de temps à exprimer en fonction des données de Représenter LÉ FR Caïr (t) | en faisant apparaître o, et r. Calculer le temps caractéristique de décharge 7 ainsi que la densité de courant arrivant au sol à l'instant initial pour y = 10.1020 USI et ©, -- 10-108 C-m*. Grâce au fulguro-fruit, Enel peut rendre l'air conducteur et faire propager un courant électrique d'intensité gigantesque, le rendant tout puissant face à tout élément conducteur. 9/13 PARTIE II - Hie Hie no Mi - Thermodynamique TT" sé msrat +" d < ---- £ M NES SE e be. <$ AA ti À 3 : 4 1, +> e 4

æ |
FN er

Kuzan, plus connu sous le nom d'Aokiji est l'un des Trois Amiraux de la Marine. 
Possesseur du Hie
Hie no Mi, ou Givro-Fruit en français, il peut créer, contrôler ou devenir de 
la glace en maïtrisant les
changements d'états.

4

LE 4

Les candidats trouveront les données numériques relatives à cette partie III 
dans le document : l'eau
liquide et/ou solide.

Document - L'eau liquide et/ou solide

Formule chimique : H,0 Masse molaire : M =18,0 g-mol

Conditions d'équilibre 0 Tembérature T: =-27315K

liquide-solide atmosphérique Pression F7 =1bar P [ |

Enthalpie massique de fusion (1 bar et 273,15 K) Lys = 333,3 KJ : kg
Glace Eau liquide

Masse volumique 990 kg: m 1 000 kg: m

Capacité calorifique massique _ 1 1 1 , 1

 q
Y
D

Figure 4 - " pont de glace créé par Aokiji "

Les échelles ne sont pas respectées par souci de représentation.

11/13
On modélise ici la croissance unidimensionnelle, en régime quasi stationnaire, 
de la couche de glace
horizontale qui se forme lentement à la surface de la mer immobile, assimilée à 
de l'eau pure.

On suppose que l'eau de mer est en permanence à la température de congélation 
7;, l'air au-
dessus de la mer est à pression constante P, =1bar et à température constante 
0, = 293 K. On
choisira un axe (Ox) horizontal, dont l'origine coïncide avec Aokiji, 
c'est-à-dire la machine
frigorifique de puissance 7" (puissance enlevée à la source froide qui est la 
glace) (figure 4).

La couche de glace est modélisée par un parallélépipède de section carrée, de 
surface droite S et
de longueur D ; le système infinitésimal étudié est donc un parallélépipède à 
base carré de côté

VS compris entre x et x+dx.

On néglige les échanges thermiques entre la masse m (partie de la mer 
"refroidie (ou gelée) ") et
le reste de la mer.

On néglige les échanges avec l'atmosphère.

Q51. On assimile le régime à un régime stationnaire. En appliquant le premier 
principe à un système
infinitésimal de glace, écrire l'équation différentielle à laquelle obéit le 
vecteur densité de

courant thermique ja = Jeux en notant © la puissance thermique créée par unité 
de volume.

Q52. Vérifier que, dans notre modélisation, le vecteur densité de courant 
thermique est à flux
conservatif.

Q53. Montrer que la vitesse de formation du front de glace v, est constante et 
l'exprimer en
fonction des données de l'énoncé.
Sachant que Aokiji est capable de créer un pont de longueur D = 50 km, pour une 
section

S =10 cm", en une durée ôt = 10 min, exprimer &"' en fonction des données et 
calculer v,.

On considère les échanges thermiques avec l'atmosphère, en régime stationnaire.
Le transfert thermique 6Q à l'interface glace/air, reçu par la glace pour une 
surface dS, pendant

une durée élémentaire dt, est donné par la relation de Newton 5Q=-h{T(x;t)-06, 
)dSat.

Q54. Déterminer l'unité du coefficient ñ.
Pour les transferts de conducto-convection entre l'air et la glace, on 
supposera que le
coefficient h de la loi de Newton vaut 42 US.

Q55. En appliquant le premier principe au système infinitésimal, en régime 
stationnaire, établir la
nouvelle équation liant le vecteur densité volumique de courant à la 
température 7{(x). En

déduire que la nouvelle vitesse du front de glace V" peut s'écrire comme la 
différence de deux
termes : v'=v, -v, avec v, Vitesse qui prend en compte le caractère non 
calorifugé de la

surface de contact glace-atmosphère. Exprimer v, en fonction des données de 
l'énoncé en

supposant que la situation est peu modifiée par rapport à celle où on ne tient 
pas compte de
la loi de Newton.

Q56. Calculer l'augmentation relative de la puissance nécessaire.

Grâce au givro-fruit, Aokiji peut développer une puissance incroyable 
(quasiment une demi-centrale
nucléaire 1), lui permettant notamment de se déplacer sur la mer en la 
congelant....

12/13
el ETES

Développement de Taylor

Soit / un intervalle de KR, x, e/,f:1--R une fonction et nEeN.

Si fest de classe " sur/, VheR,(x, +h)el,

af Ce (NC
ne re) X=X9 ep X=Xo
LS NT
Tr :
AE er nt L
k=0 on

Trigonométrie
COS p - cos q = -2 EE

cos(2a) Pre (6) Le (6) _

Analyse vectorielle
Û div (grad) = À

e Coordonnées sphériques :
RSC
Me AE

2
N 7. [ ui
n

Salt
| 0 SET

Théorème de Stokes - Ampère

re
+ pr

LS

ne

LL PP

Pour un champ de vecteur À de classe suffisante, le théorème de Stokes-Ampère 
s'écrit :
d RTE TIGER avec C une courbe fermée bordant la surface à travers laquelle on 
calcule
le)

Este CHU L'orientation du contour C donne l'orientation du vecteur dS.

a

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