CCP Physique MP 2018

Thème de l'épreuve Questionnements et découvertes autour de l'atome le plus simple de l'univers
Principaux outils utilisés mécanique classique, mécanique quantique, optique ondulatoire, magnétisme
Mots clefs hydrogène, électron, Michelson, moment magnétique, spectre, raie à 21 cm

Corrigé

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2018

!
!

!

MPPH008

!
ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"

PHYSIQUE
Vendredi 4 mai : 8 h - 12 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
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a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
!
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L'énoncé de cette épreuve comporte 16 pages, dont 3 pages d'annexe.
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1/16

!

Questionnements et découvertes autour de l'atome le plus
simple de l'univers
Dans ce sujet, on propose d'étudier quelques étapes clés de l'étude des niveaux 
d'énergie de l'atome
d'hydrogène.
Le problème est constitué de 7 parties, quasiment indépendantes, même s'il y a 
un fil conducteur
entre elles. Il est conseillé au candidat de faire une première lecture rapide 
du sujet afin d'en retirer
une vue d'ensemble. Les paragraphes rédigés en italique donnent des 
explications permettant de
situer chaque partie dans son contexte scientifique historique, avec leurs 
hypothèses d'étude.
Les constantes fondamentales intervenant dans le problème sont rappelées 
ci-dessous avec leurs
valeurs numériques données avec 5 chiffres significatifs :
charge élémentaire : e = 1,6022.10!19 C
charge de l'électron : !"e
charge du proton : # e
masse de l'électron : me = 9,1094.10!31 kg
masse du proton : mp = 1,6726.10!27 kg
rayon de Bohr : aB = 5,2919.10!11 m
vitesse de la lumière dans le vide : c = 2,9979.108 m.s!1
perméabilité magnétique du vide : $0 = 4%.10!7 H.m!1
1
 permittivité diélectrique du vide :"&0 =
= 8,8542.10!12 F.m!1
$0 c 2
 constante de Planck : h = 6,6261.10!34 J.s
h
 constante de Planck réduite : ! '
= 1,0546.10!34 J.s
2%

2

m - e2 *
( = 2,1799.10!18 J
 constante énergétique de Rydberg : Ry ' e2 ++
2! , 4%& 0 ()

 l'électron-volt, unité d'énergie : 1 eV = 1,6022.10!19 J
On

donne
lexpression
du
Laplacien
en
coordonnées
cylindriques
2
2
1 / - /f * 1 / f / f
0f (r , . , z ) '
#
et lexpression de deux intégrales et leur valeur :
+r (#
r /r , /r ) r 2 /. 2 / z 2

:

2

 pour tout réel r0 > 0 : 1 r exp(!r / r0 ) dr ' r02
0

%

4

10 sin . d. ' 3 .
3

Même si elles ne sont pas systématiquement rappelées dans l'énoncé, le candidat 
utilisera à son
initiative dans cette liste toute constante qu'il jugera nécessaire pour 
répondre aux questions posées.
Les applications numériques demandées seront réalisées avec 4 chiffres 
significatifs pour les
questions Q1 à Q17, puis avec 3 chiffres significatifs à partir de la question 
Q18.
2/16

Partie I  Modèle historique de Bohr de l'atome d'hydrogène (1913)
Dans le modèle planétaire de Bohr de l'atome d'hydrogène, l'électron (vu comme 
ponctuel en M)
tourne autour de son proton (lui aussi ponctuel et supposé immobile en O) en 
décrivant une orbite
!
circulaire de rayon r = OM (figure 1). On note u z le vecteur unitaire normal 
au plan de l'orbite.
! !
L'électron est repéré par ses coordonnées polaires (r,') comme indiqué sur la 
figure 1 et (ur , u' ) est
la base locale correspondante.
On néglige l'interaction gravitationnelle entre l'électron et le proton.

r
O

'"

M

Figure 1  Trajectoire circulaire de l'électron autour du proton supposé immobile

Q1. Rappeler l'expression de la force électrique exercée par le proton sur 
l'électron.
Q2. Par l'application du théorème de la quantité de mouvement, déduire la norme 
v de la vitesse
de l'électron en fonction entre autres du rayon r de l'orbite.
Q3. Rappeler l'expression de l'énergie potentielle électrostatique Ep de 
l'électron. Montrer que
l'énergie cinétique Ec de l'électron vérifie : Ec ( ! E p / 2 .
Q4. Exprimer la norme L du moment cinétique en O de lélectron en fonction de r, 
me, e, et &0.
En 1913, Bohr a postulé que L est un multiple entier de " en posant L ( n ", où 
n est un entier
naturel strictement positif et où " est la constante de Planck réduite. Pour de 
tels états du modèle
de Bohr, dits stationnaires, l'électron, en mouvement circulaire uniforme, bien 
qu'accéléré, ne
rayonne pas d'énergie.
Q5. De l'égalité L ( n " , déduire que la relation de quantification du rayon 
rn de l'orbite
caractérisée par l'entier n s'écrit sous la forme rn ( aB n 2 , avec a B le 
rayon de Bohr, qu'on
exprimera en fonction de me, e, &0 et " .
Ry
Q6. En déduire que lénergie mécanique En de lélectron vaut En ( ! 2 , avec Ry 
la constante
n
énergétique de Rydberg.
Q7. Quelle est la signification du rayon de Bohr ?
Donner la valeur de a B en picomètres et celle de Ry en électron-volts.
3/16

Q8. Donner la vitesse vn de l'électron sur l'orbite caractérisée par l'entier 
n. On l'exprimera en
fonction de n, Ry et me.
Donner la valeur numérique de v1 . Le mouvement de l'électron vous semble-t-il 
relativiste ?
Justifier.

Partie II  Une résolution simplifiée de l'atome de Bohr par l'équation de
Schrödinger (1926)
On rappelle l'équation de Schrödinger pour une particule non relativiste de 
masse m décrite par la
!
!
fonction d'onde ! (r , t ) dans un champ d'énergie potentielle E p (r )
!
!
!
!
"2
&! ( r , t )
i"
%$
#! (r , t ) " E p (r )! (r , t )
&t
2m
!
où r désigne le vecteur position d'un point M quelconque de l'espace (M est 
repéré par ses
coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques, d'origine O) et # est 
l'opérateur Laplacien.
Q9. On s'intéresse aux états stationnaires d'énergie E de l'électron de l'atome 
d'hydrogène : on note
!
!
! (r , t ) % ' (r ) e$i E t / " .
Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps concernant la partie 
spatiale de la
!
fonction d'onde ' (r ) (On n'explicitera à ce stade ni la fonction énergie 
potentielle ni le
Laplacien).
Afin de simplifier la résolution de l'équation obtenue en Q9, nous nous 
limiterons à considérer que
l'électron n'est spatialement détectable qu'en un lieu de points formé de 
cercles dans le plan
d'équation z = 0, concentriques au point O où se trouve le proton (supposé 
ponctuel) et avec des
rayons de valeurs quantifiées. Les points M où est évaluée la fonction d'onde 
sont ainsi repérés par
leurs coordonnées polaires (r = R,(), d'axe Oz, avec r contraint à prendre des 
valeurs R discrètes
!
(que l'on cherche à déterminer). ' (r ) est alors une fonction continue de la 
variable ( : on la notera
' (( ) .
Q10. Expliciter la fonction énergie potentielle électrostatique de l'électron 
évoquée à la question Q3
et pour laquelle on impose r = R.
Q11. Sachant que Ep = 2E (résultat déduit de Q3), montrer que ' (( ) vérifie 
l'équation différentielle
suivante :
" 2 d 2' (( )
% E ' (( ).
2me R 2 d( 2
m R e2
Résoudre cette équation pour les états liés de l'électron en posant ) 2 % e 2 .
4*+ 0 "
Q12. En remarquant que ' (( " 2* ) % ' (( ) , déterminer une relation de 
quantification des valeurs
de R, puis des énergies E. Commenter ces résultats.

4/16

Partie III  Spectre de raies de l'hydrogène
Cette partie nest pas indépendante des précédentes.
On rappelle que l'émission de lumière par un atome est due aux transitions 
entre deux états
stationnaires (stationnaires au sens de Bohr (partie I), ou, au choix, au sens 
de la mécanique
quantique (partie II)).
Q13. Quelle est l'énergie du photon émis lors de la transition entre un état 
atomique d'énergie Esup
vers un état d'énergie plus faible Einf ?
Montrer dans le cas de l'atome d'hydrogène que la longueur d'onde ,nn- de la 
raie d'émission
correspondant à la transition de l'état d'énergie En vers l'état d'énergie En' 
(avec n' < n) vérifie
. 1
1
1 /
la relation de Ritz
% RH 0 2 $ 2 1 . On explicitera la constante RH en fonction de Ry, h
n 3
,n n2 net c.
Q14. Calculer les valeurs numériques des longueurs donde des quatre premières 
raies d'émission
de la série de Balmer prédites par la formule de Ritz, c'est-à-dire les raies 
correspondant aux
transitions des états n = 3, 4, 5, 6 vers létat n' = 2 (représentées et nommées 
dans la partie
gauche de la figure 2 de la partie IV, page 6).
Le tableau 1 ci-dessous indique les valeurs expérimentales établies en 1885.
Recopiez ce tableau sur votre copie en le complétant par les valeurs numériques
précédemment calculées.
Les intervalles d'incertitudes expérimentales englobent-ils les valeurs de Ritz 
?
Nom de la raie

H45

H6

H7

H8

656,3 nm 9 0,3 nm

486,1 nm 9 0,2 nm

434,0 nm 9 0,2 nm

410,2 nm 9 0,2 nm

,Ritz
,exp
(valeurs de 1885)

Tableau 1  Longueurs d'onde des premières raies de la série de Balmer

Partie IV  Corrections relativistes de Sommerfeld (1916) : introduction de la
constante de structure fine
Le modèle de Bohr fut un premier succès dans la prévision du spectre démission 
de l'hydrogène.
Mais les progrès de la spectroscopie ont rapidement conduit à observer que 
certaines raies vues
initialement comme monochromatiques présentaient en fait une structure fine 
sous la forme de
multiplets de raies voisines. C'est le cas, par exemple, de la raie H4 qui fut 
observée comme un
doublet par Michelson et Morley dès 1887, mais qui, plus tard, se révèlera être 
formée de raies plus
nombreuses. Sur la partie droite de la figure 2 (page 6) se trouve la carte 
actuelle simplifiée des
niveaux d'énergie et des multiplets de raies qui composent la raie H4 (noter le 
changement
d'échelle: facteur de zoom : 104 par rapport au spectre de la série de Balmer à 
gauche).
La première explication théorique de ces multiplets a été fournie par 
Sommerfeld en 1916 grâce à
e2
, nommée
un traitement relativiste amélioré du modèle de Bohr utilisant la constante 4 %
4* +0 " c
constante de structure fine.
5/16

Énergie
n=6
n=5
n=4

Structure fine simplifiée de la raie H!$

n=3

104

n=2

104

(n pour Q13 et Q14)

H-

H. H/

Énergie

H!

Figure 2  Premières raies de la série de Balmer (à gauche) et structure fine 
(simplifiée) de la raie
H!$(à droite)
Q15. En explicitant Ry dans l'expression de vn obtenue en Q8, donner ! en 
fonction de v1 et de c. En
déduire la dimension de !.
Q16. Donner la valeur numérique de ! , puis celle de son inverse 1 / ! (que 
l'on utilise bien plus
volontiers).
Au terme de son calcul, Sommerfeld aboutit à l'expression des niveaux d'énergie 
En ,l suivants,
indicés par deux entiers (n, l) avec n " 1 et l = 0, 1, 2,..., n #$1 :

En, l , #

Ry *
3 ''
2 1 * n
1
+
#
!
(
(
% % où ! est la constante de structure fine introduite ci-dessus.
n 2 ()
n 2 ) l + 1 4 & %&

Trois années auparavant, Bohr avait trouvé (question Q6) l'expression suivante 
à un seul indice
R
entier : En , # 2y .
n

6/16

Q17. Commenter la formule de Sommerfeld en liaison avec la formule de Bohr et 
la faible valeur
de !0
Combien de sous-niveaux d'énergie ce calcul prévoit-il pour les niveaux n = 2 
et n = 3 de la
formule de Bohr ?
Q18. Ces sous-niveaux constituent la structure fine de la raie H!$. En 
reproduisant sur votre copie la
partie droite de la figure 2 (page 6), identifier chacun de ces niveaux 
d'énergie par leurs
indices (n, l) respectifs.
En déduire, en fonction de Ry et ! , l'expression de l'écart 1E f , E2,1 # E2,0 
entre les deux
sous-niveaux n = 2.
Calculer la valeur numérique de 1E f en électron-volts.
Q19. On rappelle que le nombre d'onde 2 d'une radiation est l'inverse de sa 
longueur d'onde.
Exprimer en fonction de h, c, et 1Ef , l'écart 12 , 2 a # 2 b des nombres 
d'onde 2 a et 2 b des
radiations émises lors des deux transitions (a) et (b) suivantes :
(a) : obtenue par désexcitation depuis le niveau (n = 3, l = 1) vers le niveau 
(n = 2, l = 0)
(b) : obtenue par désexcitation depuis le niveau (n = 3, l = 1) vers le niveau 
(n = 2, l = 1).
Calculer 12 en cm#1, unité habituelle des spectroscopistes.
Immédiatement après l'annonce du résultat négatif de leur expérience consacrée 
à confirmer
l'existence de l'éther luminifère, Michelson et Morley mentionnèrent dans une 
publication
l'observation de la raie H! comme un doublet de nombre d'onde moyen 2 m = 15 
237,40 cm#1 et
d'écart spectral 12 exp = 0,360 cm#1 (valeurs expérimentales de 1887).
Q20. De quelle couleur est ce doublet ? Calculer son écart relatif en nombre 
d'onde 12 exp / 2 m .
Comparer cet écart relatif à celui du doublet jaune du sodium (34 = 589,0 nm et
35 = 589,6 nm).

Partie V  Résolution interférométrique d'un doublet spectral
Les moyens spectroscopiques conventionnels (spectroscope à prisme ou à réseau) 
peuvent se
révéler insuffisants quand il s'agit de résoudre un doublet à très faible écart 
spectral. On peut alors
avoir recours à des méthodes interférométriques. Il est question dans cette 
partie de l'utilisation de
l'interféromètre de Michelson.
Le schéma 1 de principe d'un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air 
est donné page 8. On
note Ox et Oy deux axes perpendiculaires définissant les directions des deux 
bras de
l'interféromètre. S est une source lumineuse ponctuelle située sur Ox. M1 et M2 
sont deux miroirs
plans parfaitement réfléchissants, disposés perpendiculairement à Ox en H1 et 
respectivement à Oy
en H2. Le trait incliné à 45°, noté Ls, schématise un groupe de deux lames 
semi-réfléchissantes à
faces parallèles. Ce groupe est supposé n'introduire aucune différence de 
marche sur les trajets
lumineux. Lp désigne une lentille mince convergente placée à la sortie de 
l'interféromètre de
manière à ce que son axe optique soit confondu avec l'axe Oy. Un écran E est 
placé dans le plan
focal image de Lp. On note C le foyer image de Lp.
Q21. Nommer les lames qui composent Ls. Qu'est-ce qui les distingue ? Expliquer 
la nécessité
pratique d'utiliser deux lames.

7/16

Q22. Un rayon lumineux, noté (r), émis par S, a été représenté. Reproduire le 
schéma ci-dessous sur
la copie avec SO = OH1 = 2 OH2 et le compléter en faisant un tracé soigné des 
deux rayons
(r1) et (r2) qui émergent de l'interféromètre après division de (r). On 
laissera apparent tout
élément de construction (traits, prolongements de rayons, points remarquables, 
etc.) justifiant
d'un tracé raisonné sans utilisation d'aucun rapporteur d'angle. Tout élément 
explicatif (noms,
positions des points, constructions réalisées...) sera également mentionné.
Q23. Sur ce même schéma positionner le miroir fictif M1 justifiant de la 
dénomination « lame
dair » en faisant apparaître le point Q1 intersection de M1 avec les deux 
prolongements
fictifs ad hoc de (r1) et de (r2).
Enfin, terminer le tracé des rayons (r1) et (r2) après la lentille Lp jusqu'à 
l'écran E (on demande
comme ci-dessus un tracé raisonné).
y

M2

H2
Ls
H1

S
(r)

x

O
M1

Lp

E

C

Schéma 1  Interféromètre de Michelson

8/16

Q24. Indiquer quelle est la forme des franges d'interférences observées sur 
l'écran (aucune
justification n'est demandée). Comment nomme-t-on ces franges ?
Q25. En appelant e l'épaisseur de la lame d'air et en prenant l'indice optique 
de l'air égal à 1,
exprimer la différence de marche ! au centre C de l'écran.
Q26. On étudie le cas où la source de lumière utilisée présente un doublet 
spectral de nombres
d'ondes "1 et "2. Donner l'expression des ordres d'interférence p1 et p2 en C 
pour chaque
radiation du doublet en fonction de !, "1 et "2.
Q27. Pour quelles valeurs de la différence p1 # p2 y-a-t-il brouillage en C ?
En pratique la totalité de la figure d'interférences est affectée et on perd la 
visibilité des
franges partout sur l'écran. En déduire, en fonction de l'écart spectral 
$"%&%"'%#%"(, la
variation D! de la différence de marche entre deux situations consécutives de 
brouillage.
Comment nomme-t-on ces situations ?
Application numérique : dans le cas du doublet H)%(écart spectral $" exp = 
0,360 cm#1), calculer la
variation De de l'épaisseur de la lame d'air pour passer d'une situation de 
brouillage à la situation de
brouillage directement consécutive.
130 cm
Source de
lumière

Miroirs

Miroirs

Verre semi-argenté

Epaisse table en pierre

110 cm

Verre simple
Lunette

Miroir ajustable
Miroirs

Figure 3  Schéma des trajets lumineux dans l'interféromètre de Michelson et 
Morley de 1887
(source : http://ondes-relativite.info/DominiqueCabala/chap4_histo.htm)

9/16

Q28. À l'entrée de leur interféromètre historique de 1887, Michelson et Morley 
ont utilisé un
dispositif à prismes muni d'une fente pour sélectionner la raie H! présente 
dans le spectre
solaire. Ils ont observé des brouillages périodiques lors de la translation du 
miroir mobile de
leur interféromètre. Partant du contact optique (bras de longueurs 
rigoureusement égales à L0),
ils ont compté un total de 6 brouillages de part et d'autre du contact optique 
(3 de chaque côté)
pour un déplacement du miroir égal à 1/160e de la longueur L0.
Calculer la valeur de L0 pour l'interféromètre de Michelson de 1887.
Q29. L'interféromètre, construit dans un sous-sol du campus de l'Université de 
Cleveland aux EtatsUnis, était monté sur une table en granite rectangulaire 
posée sur un cylindre de bois flottant
dans du mercure.
La table faisait environ 130 cm " 110 cm de cotés. La longueur L0 des bras de 
l'interféromètre
était synthétisée grâce à deux groupes de miroirs permettant plusieurs 
allers-retours du
faisceau sur chaque voie, comme représenté sur la figure 3 (page 9).
À partir de la figure 3 (page 9), donner, en expliquant votre calcul, une 
estimation grossière
de la longueur d'un bras de l'interféromètre. L'ordre de grandeur obtenu est-il 
en accord avec
la valeur L0 trouvée à la question Q28 ?

Partie VI  Calcul d'une structure fine par l'interaction spin-orbite
Une interprétation globale satisfaisante de l'ensemble des spectres observés, 
ainsi que des
dédoublements de raies obtenus lors de l'application d'un champ magnétique 
extérieur (effet
Zeeman), n'a pu voir le jour qu'avec les travaux de Pauli, puis de Goudsmit et 
Uhlenbeck en 1925
conduisant à introduire le spin. Dans ce cadre nouveau, on explique la 
structure fine des raies
spectrales par une levée de dégénérescence des niveaux d'énergie produite par 
l'interaction entre le
moment magnétique de spin de l'électron et le champ magnétique créé par le 
proton en mouvement
autour de l'électron dans le changement de référentiel.
Q30. Dans cette question, on reprend le modèle de Bohr de la partie I, figure 1 
page 3 : dans le
référentiel du laboratoire, le proton est immobile en O et l'électron décrit 
une orbite circulaire
!
de rayon r centrée sur le proton, à la vitesse v. Exprimer en fonction de r, 
me, v et u z le
moment cinétique orbital en O de l'électron, noté L .
!

Q31. En se plaçant dans le référentiel de lélectron, c'est le proton qui est en 
mouvement circulaire
!
autour de l'électron. Donner les expressions du champ magnétique B ressenti par 
l'électron
!
!
dû au mouvement du proton en fonction de #0, e, v, r et u z , puis de #0, e, 
me, r et L .

!
On rappelle à cet effet l'expression du champ magnétique b créé par une spire 
circulaire de
! # I !
!
courant d'intensité I, d'axe Oz et de rayon r, en son centre : b $ 0 u z , le 
sens de u z étant
2r
relié à celui de I par la "règle du tire-bouchon".

!
Q32. On note # s le moment magnétique de spin de l'électron.
!
!
e
!
On rappelle que # s $ g e % e S où S est le moment cinétique de spin, % e $ &
le rapport
2me
gyromagnétique de l'électron et ge = 2,0023 le facteur de Landé de l'électron.
10/16

!

On rappelle également que l'énergie potentielle d'un dipôle magnétique # 
interagissant avec
!
! !
un champ magnétique extérieur B est : E $ & # .B .
!
!
On note Eso l'énergie d'interaction de # s avec le champ B (indice "so" pour 
"spin-orbite").
Montrer que cette énergie dinteraction s'écrit :
3 ! !
a
L. S
)
,
ESO $ g e! 2 Ry * B ' 2 .
+ r ( "
3
aB ! 2 R y
2 #0
$
On utilisera pour cela l'identité % e
, dans laquelle ! est la constante de structure
2"2
fine introduite à la fin du paragraphe en italique de la partie IV (page 5), Ry 
est la constante

énergétique de Rydberg et aB est le rayon de Bohr.

!
1
La projection sur u z du moment cinétique de spin de l'électron est quantifiée 
: S z $ . " , celle du
2
moment cinétique orbital l'est aussi : Lz $ ml " où ml est un entier relatif 
tel que & l / ml / l avec
l $ 0, 1, 2..., n & 1.

Q33. Citer, en la décrivant succinctement (particules utilisées, principe de la 
manipulation,
résultats) l'expérience historique qui a prouvé la quantification du moment 
cinétique et
magnétique.

!

!

!

En faisant intervenir le moment cinétique total J $ L 0 S , chaque état 
atomique est caractérisé par
un triplet de nombres (n, l, j) avec n le nombre quantique principal (n 1 1), l 
le nombre quantique
de moment cinétique orbital ( l $ 0, 1, 2..., n & 1 ) et j un troisième nombre 
(associé à la quantification
!
1
1
1
de J ), tel que j $ si l $ 0 et j $ l & ou l 0 si l 1 1 .
2
2
2
Dans ce modèle à trois nombres quantiques (n, l, j) la formule classique de ESO 
(obtenue en Q32)
doit être remplacée par la forme suivante
!!
3
)
,
!
!
a
.S
L
,
)
E SO ,n , l , j $ g e! 2 R y * 222 3 n , l (r ) 2 * B ' d 3 r ' 2
' "
*
+ r (
(
+
2
!! ,
!
3)"
avec L.S $ * j ( j 0 1) & l (l 0 1) & '
, l'intégrale triple portant sur tout l'espace, 3 n ,l (r ) désignant
4( 2
+
!
la valeur de la fonction d'onde de l'électron au point de l'espace repéré par 
le vecteur position r
!
dans un système de coordonnées sphériques avec pour origine le proton et d 3r 
étant la notation
couramment utilisée pour désigner un élément de volume.
Avec les notations 4 r , 6 , 7 5 habituelles (utilisées par exemple dans le 
document 1, en annexe,
!
page 14) : d 3r $ r 2 sin 6 dr d6 d7 .
3

3

!
,a )
Q34. Commenter le remplacement de la quantité * B ' par l'intégrale 222 3 n , l 
(r )
+ r (
Calculer cette intégrale pour n = 2 et l = 1.
, r )
1
1 r
!
sin 6 exp * &
On donne pour cela : 3 2,1 (r ) $
'.
3/2
(4aB )
- aB
+ 2aB (

11/16

2

, a ) 3!
* B' d r.
+ r (

Q35. On s'intéresse à la structure fine du niveau n = 2 de l'atome d'hydrogène.
Faire un décompte des différents états (2, l, j) possibles et exprimer en 
fonction de ge, ! et Ry
leurs énergies d'interaction spin-orbite correspondantes.
On note E somin, n " 2 (respectivement E somax
, n " 2 ) la plus petite (respectivement la plus grande) des
valeurs prises par Eso dans le cas où n = 2.
min
Donner l'expression de la différence $Eso , n " 2 " Esomax
, n " 2 # E so , n " 2 en fonction de ge, ! et Ry.

L'introduction du spin par Uhlenbeck et Goudsmith en 1925 a permis d'expliquer 
la levée de
dégénérescence des niveaux d'énergie (structure fine et effet Zeeman), mais il 
subsistait une
difficulté pour l'écart des niveaux de la structure fine : la valeur calculée 
en considérant un
facteur de Landé ge ! 2 pour l'électron conduisait au double de la valeur 
attendue. On
retrouvait le bon résultat si on posait ge = 1, mais c'était alors l'effet 
Zeeman qui était
incorrectement traité.
En 1927, Llewellyn Thomas parvint à montrer que la valeur ge ! 2 n'est à 
remettre en
question pour aucun des deux effets, mais qu'il faut corriger l'expression de 
l'interaction spinorbite dans le référentiel du laboratoire par un facteur 1/2 
à cause d'un effet relativiste. Ce
résultat (appelé précession de Thomas) a définitivement démêlé le lien étroit 
entre spin et
relativité.
Donner l'expression corrigée de $Eso , n " 2 après l'analyse de Thomas.
La comparer à $Ef trouvée en Q18 à partir de la formule de Sommerfeld.

Partie VII  Encore plus fin (!) : la structure hyperfine du niveau fondamental
de l'atome d'hydrogène
Après plusieurs années passées à étudier la structure de la Voie lactée par des 
moyens optiques,
l'astronome néerlandais Jan Oort réalisa l'importance d'une fenêtre 
d'observation dans le domaine
des ondes radio afin de contourner le problème de l'absorption de la lumière 
visible par les nuages
de poussière galactiques. L'hydrogène étant l'élément le plus abondant dans 
l'univers, Oort
demanda à son élève H.-C. Van de Hulst d'étudier la possibilité d'une raie 
spectrale dans le
domaine radio en rapport avec l'hydrogène. Celui-ci aboutit en 1944 à la 
prévision d'une raie due à
la structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène. Cette 
raie, appelée raie de
l'hydrogène à 21 cm, a été observée pour la première fois en 1951 par Ewen et 
Purcell. Cette
nouvelle fenêtre d'observation astronomique a permis de découvrir la forme 
spirale des bras de
notre galaxie.
À l'aide notamment des documents 1, 2, 3 et 4 fournis en annexe (pages 14 à 
16), répondre aux
questions suivantes.
Q36. Justifier le choix et la valeur de la fréquence suggérée par Morrison et 
Cocconi (document 4).
Calculer, en électron-volts, l'écart en énergie $Ehf exp (indice "exp" pour 
expérimental) entre
les deux niveaux hyperfins de l'atome d'hydrogène impliqués dans la raie à 21 
cm (en fait
21,1 cm pour être plus précis)%

12/16

Q37. Rappeler l'unité de moment magnétique dans le Système International. On 
appelle magnéton
de Bohr (&B), respectivement magnéton nucléaire (&N), la norme du moment 
magnétique de
spin de l'électron, respectivement du proton. Donner les valeurs numériques de 
&B et de &N.
Q38. Établir une formule (classique) d'estimation de l'écart énergétique entre 
les deux niveaux
hyperfins de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène (on prendra le rayon de 
Bohr aB
comme la distance séparant le proton de l'électron). On attend une expression 
$Ehf,classique
faisant intervenir &0, &B, &N, et aB .
Q39. La résolution de l'équation de Schrödinger donne en fait $Ehf = (16/3) ' 
$Ehf,classique.
Application numérique : calculer $Ehf.
La valeur trouvée est-elle cohérente avec la valeur expérimentale $Ehf exp de 
la question Q36 ?
Q40. Il est indiqué dans le document 4 (page 16) que la longueur d'onde 21 cm 
peut servir d'unité
de mesure. Pouvez-vous citer un exemple de transition hyperfine intervenant 
dans la
définition d'une unité SI ?

FIN

13/16

ANNEXE - Documents utiles pour la partie VII
Document 1  Expression du champ magnétique créé en un point M de coordonnées 
sphériques
!
!
(!"#"$) par un moment magnétique ! " ! u z :
z

!
! ( 2 ! cos* ! ! sin * ! %
B ( r ,* , , ) " 0 &
ur )
u* #
r3
4+ ' r 3
$

M

*0 r

y

O

,0

x

Document 2  Rappels de mécanique quantique et tableau de valeurs pour 
l'électron et le proton

!

!

Le moment magnétique de spin ! et le moment cinétique de spin S d'une particule 
sont liés par la
!
!
formule ! " g - S où - est le rapport gyromagnétique de la particule et g son 
facteur de Landé.
Particule
Moment cinétique de spin Sz
(en projection sur un axe Oz
quelconque)
Rapport gyromagnétique
Facteur de Landé

Électron

Proton

1
. "
2

1
. "
2

-e " /

e
2me

g e = 2,0023

14/16

-p "

e
2m p

g p = 5,5857

Document 3  Extrait de texte sur la structure hyperfine, consultable à 
l'adresse suivante :
http://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-raie-21-cm-cle-astrophysique-cosmologie

L'atome d'hydrogène possède des niveaux d'énergie hyperfins résultant de 
l'interaction entre le
moment magnétique de spin de son électron (appelé magnéton de Bohr) et le 
moment magnétique
de spin de son proton (appelé magnéton nucléaire). Selon que ces deux spins 
sont parallèles ou
antiparallèles, le niveau d'énergie de l'atome n'est pas le même et une 
transition avec émission d'un
photon d'une longueur d'onde de 21 cm est possible.

Une transition quantique dans l'atome d'hydrogène
+

+

Copyright © 2005 Pearson Prentice Hall, Inc.

15/16

Document 4  La raie à 21 cm !" un moyen de communication avec une éventuelle 
intelligence
extraterrestre ?
En 1959 Morrison et Cocconi suggérèrent que la meilleure fréquence pour 
chercher des signaux
provenant de sources extraterrestres intelligentes serait 1420 MHz. Dans le 
cadre du programme
américain SETI (acronyme pour "search for extra-terrestrial intelligence") mis 
en place dans les
années 1960, les premiers signaux émis depuis la Terre pour établir un contact 
avec une éventuelle
intelligence extraterrestre ont été envoyés en 1974 par le grand radiotélescope 
situé à Arecibo
(Puerto Rico). Plusieurs sondes spatiales (Pioneer 10, Voyager 1 et Voyager 2) 
ont également été
lancées dans le but d'explorer des régions externes au système solaire. Sur la 
sonde Pioneer 10,
lancée le 2 mars 1972, une plaque en aluminium anodisé a été fixée, comportant 
une gravure
pouvant servir de message.

Bien qu'aucune communication avec Pioneer 10 ne soit plus possible depuis 
janvier 2003, la sonde
poursuit actuellement son voyage au-delà du système solaire...
16/16

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 18 1055 ­ D'après documents fournis

La plaque montre un homme et une femme à l'échelle de la sonde et la position 
du Soleil (position
of Sun) par rapport à 14 pulsars et au centre de la Galaxie. En haut à gauche, 
une représentation
de la transition hyperfine de l'atome d'hydrogène donne une longueur d'onde de 
21 cm, qui peut
servir d'unité de mesure. Ainsi, la hauteur de la femme à droite est donnée en 
numérotation binaire
comme étant 8 fois la longueur d'onde de la raie de l'hydrogène (binary 
equivalent of decimal 8).
Les pulsars sont identifiables par leur fréquence de rotation en binaire, 
exprimée comme un
multiple entier de celle de la raie dhydrogène. En bas, le Système solaire et 
la planète d'origine de
la sonde sont représentés avec les distances relatives des planètes (planets of 
Solar System and
binary relative distances), également en numérotation binaire. © Nasa

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Louis Salkin (professeur en CPGE) ; il a été relu par
Henri Lastakowski (professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (professeur en CPGE).

Ce problème est consacré à l'atome d'hydrogène, premier élément de la 
classification périodique, et aux développements historiques qui ont permis de 
modéliser
progressivement ses niveaux d'énergie. Il est composé de sept parties quasiment 
indépendantes.
· La première partie présente le modèle planétaire de Bohr de l'atome 
d'hydrogène et permet d'en retrouver les principaux résultats.
· Dans la deuxième partie, on propose une approche quantique simplifiée du
mouvement de l'électron. L'équation de Schrödinger conduit alors aux mêmes
relations de quantification que celles trouvées dans le cadre du modèle de Bohr.
· La troisième partie, très courte, permet de faire le lien entre les niveaux 
d'énergie de l'atome d'hydrogène et son spectre de raies.
· Dans la quatrième partie, la prise en compte des effets relativistes, que l'on
doit à Sommerfeld, prolonge le modèle de Bohr en faisant intervenir un second
nombre quantique, qui explique l'apparition de multiplets de raies.
· Dans la continuité de la partie précédente, la cinquième partie est dédiée à 
une
méthode de résolution d'un doublet à l'aide d'un interféromètre de Michelson.
La mesure des positions successives du miroir mobile conduisant à un brouillage
des interférences permet d'en déduire l'écart spectral du doublet. On 
s'intéresse
ensuite à l'expérience réalisée par Michelson et Morley en 1887.
· Dans la sixième partie, on étudie les effets de l'interaction entre le moment
magnétique de spin de l'électron, propriété intrinsèquement quantique, et le
champ magnétique du proton. Cette interaction spin-orbite conduit à 
l'introduction d'un nouveau nombre quantique et à la levée de dégénérescence des
niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène.
· Enfin, la septième partie propose une approche documentaire autour de la 
structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène, et son 
application à des fins de communication avec une éventuelle intelligence 
extraterrestre.
Ce problème, très intéressant sur le plan historique, est de difficulté 
croissante.
Partant du classique modèle de Bohr, il s'achève sur une analyse documentaire, 
en
adéquation avec l'esprit du programme, comportant des questions volontairement
moins guidées. Ce sujet permet de réviser la mécanique (classique et quantique) 
et
l'optique ondulatoire.

Indications
Partie I
8 Comparer numériquement v1 et c, et conclure sur le caractère éventuellement
relativiste de l'électron.
Partie II
-

12 La fonction ( r ) ne dépendant que de la variable , son laplacien s'écrit
 =

1 d2 
R2 d2

Partie IV
18 Montrer qu'à n fixé, l'énergie croît avec le nombre quantique .
Partie V
22 Pour faciliter le tracé de rayons, placer le point S , image de S par Ls , 
puis les
points S2 et S1 , images respectives de S par rapport aux miroirs réel M2 et
fictif M1 (M1 est l'image de M1 par Ls ).
27 On observe un phénomène de brouillage lorsque les interférences constructives
d'une longueur d'onde du doublet sont confondues avec les interférences 
destructives de l'autre.
29 Compter, sur chaque bras de l'interféromètre, le nombre de demi-diagonales 
de la
table parcourues par le rayon lumineux entre le verre semi-argenté et le miroir.
Partie VI
31 Exprimer l'intensité du courant résultant du mouvement circulaire du proton
autour de l'électron, puis utiliser la formule du champ magnétique créé par une
spire circulaire en son centre.
33 L'énoncé fait allusion à l'expérience de Stern et Gerlach.
Partie VII

37 Se souvenir que le moment magnétique d'une spire s'écrit IS-
n , avec I l'intensité
qui la parcourt et S sa surface.
38 Déterminer le champ magnétique du proton à l'aide du document 1, puis 
calculer
l'énergie potentielle de l'électron dans le champ magnétique du proton par la
formule donnée à la question 32. Distinguer les configurations où les moments
magnétiques du proton et de l'électron sont parallèles et antiparallèles. 
Calculer
finalement la différence d'énergie entre ces deux états.
40 Comment est définie la seconde aujourd'hui ?

Questionnements et découvertes autour de
l'atome le plus simple de l'univers
1 Le proton, de charge +e, exerce sur l'électron de charge -e la force de 
Coulomb
-

F =-

e2
-

u
r
4 0 r2

2 Le mouvement de l'électron étant circulaire, sa vitesse s'écrit
-

v = r -
u

2
-

 + r -
 = -v -
 + dv -

a = -r2 -
u
u
u
u
r

r

r
dt
En se plaçant dans le référentiel du proton supposé galiléen, appliquons à 
l'électron
:
la 2e loi de Newton projetée selon -
u
r

et son accélération

-me

e2
v2
=-
r
4 0 r2

e
v= 
4 0 me r

d'où

La norme de la vitesse de l'électron étant indépendante du temps, son mouvement 
est uniforme. Cette propriété pouvait d'ailleurs être déduite de la
:
projection de la 2e loi de Newton selon -
u

me

dv
=0
dt

soit

v = Cte

-
3 L'énergie potentielle de l'électron associée à la force F s'écrit, à une 
constante
additive près,
Ep = -

e2
4 0 r

Pour retrouver cette expression, repartons de la relation
-
 
-
dEp = - F · d  =

e2
dr
4 0 r2

dEp
e2
=
dr
4 0 r2

soit

L'intégration selon r conduit au résultat.
L'énergie cinétique de l'électron est donnée par
Ec =
=
soit

1
me v 2
2
1
e2
me
2
4 0 me r

Ec = -

(d'après la question 2)

Ep
2

4 Par définition, le moment cinétique de l'électron par rapport au point O est

-

--

L = OM  (me -
v)

--
 et -

Les vecteurs OM = r -
u
v = v-
e étant à tout instant orthogonaux, la norme du
r
moment cinétique s'écrit L = me r v. Avec la question 2,
r
me r
L=e
4 0
5 Injectons ce résultat dans la relation de quantification de Bohr :
r
me rn
e
= n~
4 0
Il vient

avec

rn = aB n2

aB =

4 0 ~2
me e 2

6 Écrivons l'énergie mécanique de l'électron :
E = Ec + Ep
Ep
+ Ep
2
2
e
E=-
8 0 r
=-

ainsi

(en utilisant la question 3)

Rappelons que si l'énergie cinétique est nécessairement positive (ou nulle),
l'énergie mécanique est algébrique. Le fait qu'elle soit ici négative est la 
signature de l'état lié de l'électron dans le champ de force créé par le noyau.
Injectons la relation de quantification du rayon obtenue à la question 
précédente :
 2 2
e2
me
e
Ry
avec
Ry =
=
En = - 2
2
n
8 0 aB
2~
40
Cette expression est conforme à l'expression de Ry donnée dans le formulaire.
7 L'énoncé précisant que n est un entier strictement positif, le rayon de 
l'orbite de
l'électron dans son état fondamental vérifie r1 = aB .
Le rayon de Bohr correspond au rayon de l'orbite électronique
dans l'état de plus basse énergie.
D'après le formulaire,

aB = 52,92 pm

Avec 1 eV = 1,602 2 · 10-19 J,

Ry = 13,61 eV

8 Exprimons l'énergie mécanique en fonction de l'énergie cinétique uniquement :
En = Ec + Ep = -Ec

L'application de la règle de quantification de Bohr conduit à
-
ainsi

Ry
1
= - me vn 2
2
n
2
r
1 2 Ry
vn =
n
me

(par la question 3)