CCP Physique MP 2017

Thème de l'épreuve La physique au pays des patients – imagerie par résonance magnétique nucléaire (IRM)
Principaux outils utilisés électromagnétisme
Mots clefs dipôle magnétique, champ magnétique, solénoïde, supraconducteur, RMN

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2017 MPPH008 ! ! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! PHYSIQUE Vendredi 5 mai : 8 h - 12 h! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la !"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+ /'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+ a été amené à prendre.! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" " ! ! ! ! ! ! Les calculatrices sont autorisées ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Le sujet est composé de trois parties. ! Bien que lensemble obéisse à une logique interne, la partie II est indépendante de la partie I et la ! partie III est indépendante de la partie II. ! !! !! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/14 ! ! LA PHYSIQUE AU PAYS DES PATIENTS Imagerie par Résonance Magnétique nucléaire ou IRM LIRM, qui sutilise dans des conditions quasi-naturelles et même in vivo, est une technique non destructive de visualisation en coupes des tissus organiques mous, en les laissant intacts. Elle utilise un champ magnétique intense permanent !" combiné avec un faible champ perturbateur oscillant. Linteraction de ces champs avec le moment magnétique dune particule élémentaire (électron ou proton) engendre un comportement dynamique qui fournit des renseignements sur lenvironnement atomique de ces particules. Dans ce sujet, nous étudierons quelques aspects de cette technique sans caractère exhaustif. Les questions ne font appel quà des éléments du programme MPSI/MP de physique. Les candidats peuvent à tout moment utiliser un résultat donné par lénoncé pour répondre aux questions suivantes. Données k = 1,4.1023 J.K1 Constante de Boltzmann : Facteur de Boltzmann associé à un système dénergie E, en équilibre à la température T : exp( E/kT) Nombre dAvogadro : NA = 6,0.1023 mol1 Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,0.108 m.s1 Perméabilité du vide : µ0 = 4 !.107 H.m1 Constante de Planck « réduite » : % = h/(2!) = 1,05.1034 J.s Masse de lélectron : me = 9,1.1031 kg Charge de lélectron : e = 1,6. 1019 C Rayon de lorbite 1s du modèle de Bohr : rB = 5,3.1011 m Moment magnétique du proton : µp = 1,4.1026 J.T1 Conductivité du cuivre : " = 6,0.107 S.m1 Développement limité de exponentielle autour de x = 0 : la fonction ) exp(x)& ' ( *+ ( ), -+ ( ./0 - 1 Précession : la précession est le nom donné au changement graduel dorientation dun vecteur qui décrit un cône dont laxe est la direction de précession. Ce cône est parcouru à vitesse constante dans un sens donné. 2/14 ! Partie I Comportement dune population de dipôles dans un champ magnétique I.1- Dipôles magnétiques Q1. Définir le vecteur moment magnétique $ %# associé à une boucle circulaire de courant de rayon R et daxe de révolution Oz, parcourue par une intensité I, dans le cadre de lapproximation dipolaire (figure 1). On note %%%# &' le vecteur unitaire de laxe Oz. Le sens de rotation directe autour de laxe Oz est le sens dorientation de lintensité algébrique. Q2. Expliquer pourquoi une sphère chargée, en rotation autour dun axe passant par son centre, est elle-aussi caractérisée par un moment magnétique dont on précisera la direction et le sens (on ne demande pas le calcul du moment mais seulement la justification de son existence). z O I Figure 1 Boucle de courant Dans le cas du proton (noyau dhydrogène) qui tourne sur lui-même (rotation propre de vecteur de %# autour dun axe Oz), on peut lui associer un moment magnétique $ %# et de rotation %( %%%%#) colinéaire à %( norme µp. Q3. Justifier par analyse dimensionnelle lunité écrite dans le tableau de données. Soit un dipôle magnétique de moment %$#**placé en O dans un champ magnétique extérieur uniforme %%%%#" **et du couple permanent %!#" + !" %%%#*. %# 0 ! &' On rappelle les expressions de lénergie potentielle ,)-. + /$ %%%%#" . (moment de force) dinteraction %%%%%%%%%# 1234 + $ %# 5 ! Q4. En déduire quelles sont les 2 positions déquilibre dun moment dipolaire magnétique, dans un champ magnétique extérieur uniforme %!#" , en précisant les valeurs associées de lénergie potentielle. Q5. Évaluer la différence dénergie en eV entre les deux configurations déquilibre dun noyau dhydrogène soumis à un champ magnétique permanent de 1 tesla (ordre de grandeur typique en RMN). Q6. Comparer cette valeur à celle de lénergie thermique à 37 °C. Q7. Lordre de grandeur de lénergie de liaison covalente de OH dans leau est de 5 eV et celui dune énergie dionisation est de 13,6 eV. Justifier lutilisation de la RMN en imagerie médicale, en considérant que la méthode fait passer le proton dun état déquilibre à lautre. Nous considérons quune population de dipôles, placés dans un champ magnétique extérieur %%%%# !" de 1 tesla, en équilibre thermique à la température T, obéit à la statistique de Boltzmann. Q8. Rappeler, à un facteur multiplicatif près, lexpression de la probabilité doccuper un état dénergie E par un dipôle. 3/14 ! Q9. Évaluer le rapport des populations !" !# $ en équilibre thermique à la température T, %&' étant la densité volumique de dipôles de plus grande énergie et %( étant la densité volumique de dipôles de plus petite énergie (on admettra que lon peut effectuer un développement limité à lordre 1). Q10. À quelle orientation correspond la population la plus nombreuse à léquilibre thermique ? ! (! ' On note )'= !# " ''la différence relative de population entre les deux niveaux. " &!# Q11. Exprimer, à léquilibre thermique, la différence relative )'= !# (!" !" &!# * )+ '(toujours à lordre 1) en fonction de µ, k, T et ,+ . Q12. Donner sa valeur numérique pour des protons placés dans un champ de 1 tesla, à une température de 37 °C et commenter. I.2- Rapports gyromagnétiques Une boucle de courant est créée par un électron dans son mouvement orbital autour du noyau. On considère lorbite circulaire, de rayon rB et de centre O, contenue dans le plan xOy. Le vecteur vitesse de lélectron sécrit .-/ * -0/ avec /0 le vecteur unitaire tangent au cercle orienté dans le sens direct autour de O. ..../2 * 12 .../'associé 34 à cette boucle de courant en fonction du rayon Q13. Exprimer le moment magnétique 1 de constantes fondamentales. rB, de la vitesse v, du vecteur 5..../'et ' 6 Q14. Exprimer le moment cinétique de lélectron, par rapport au point O, 7 ..../ 34 en fonction des 8 * 72 .../ mêmes paramètres. 1 Q15. Exprimer le rapport gyromagnétique correspondant 92 ' * :5 en fonction des constantes 5 fondamentales et calculer la valeur numérique du rapport gyromagnétique de lélectron. Le corps humain est essentiellement constitué deau : lhydrogène représente 10 % de la masse corporelle, cest-à-dire 86 % de la composition chimique de notre organisme. On étudiera donc, par la 34 suite, le comportement de ces protons soumis à un champ magnétique extérieur .,/+ * ,+ .../'. On peut, comme dans lexemple de lélectron, associer au proton un rapport gyromagnétique égal au rapport de son moment magnétique et de son moment cinétique. Pour lhydrogène H isolé, le rapport gyromagnétique, qui vaut !p = 2,67.108 rad.s1.T1, est associé à un moment cinétique quantifié qui ne peut prendre que les valeurs ;<=>? Q16. Les valeurs ci-dessus sont-elles c"#$"%&'()*)+,)-,+'.%)/.)&"&'#0)&,1#2034.')5p ? Q17. Exprimer en fonction de B0 et !p la fréquence du photon qui permet le passage du niveau de plus basse énergie au niveau de plus haute énergie pour lhydrogène. Q18. Quelles sont la fréquence et la longueur donde 6 correspondantes pour un champ permanent de 1 tesla ? I.3- Précession dun dipôle On écarte un /378+')/9.#),#1+'):)7,%)%,77"%0)*)+,)7"(303"#)/924.3+3;%' stable dans un champ magnétique .,/+ * ,+ .../? 34 Q19. Écrire léquation différentielle caractéristique de lévolution du vecteur moment dipolaire sous la ./ @1 forme @0 * ...../ A+ B 1 ./ en précisant ce que vaut A ...../+ ? Q20. Montrer que sa norme se conserve et que la projection du moment sur laxe du champ magnétique se conserve aussi. Q21. Décrire le mouvement de la projection du vecteur dans un plan orthogonal au champ magnétique, ...../C en précisant ce que représente CA + * A+ . Q22. Décrire le mouvement complet du dipôle en vous appuyant sur un dessin. Préciser le sens du mouvement de précession. 4/14 ! Lorsque les protons étudiés se trouvent dans une molécule (ou un cristal), les liaisons chimiques entre atomes modifient la fréquence de résonance précédente par modification du rapport gyromagnétique. Mais ces effets sont très petits (ils sont généralement mesurés en parties par million ou ppm). Il faut donc des instruments très sensibles pour distinguer entre protons libres et protons engagés dans une liaison chimique. I.4- Précession de laimantation À létat naturel, les vecteurs moments dipolaires des noyaux dhydrogène sont répartis dans toutes les directions et il ny a pas deffet magnétique global pour un échantillon. Par contre, en présence dun champ magnétique extérieur, lhydrogène aura des propriétés magnétiques caractérisées par un vecteur ../ * ' EG .../ moment magnétique global volumique appelé aimantation .D 1F , la somme étant réalisée sur tous ../, obtenu les noyaux dhydrogène composant lunité de volume. En IRM, cest ce vecteur aimantation .D en présence dun champ magnétique extérieur, qui permet dobtenir des images des tissus du corps humain. On considère létat déquilibre thermique dun échantillon contenant des hydrogènes en présence dun ..../+ * ,+ .../'? 34 On suppose, pour simplifier, que le système des dipôles seul champ fort permanent'', magnétiques associés aux protons peut être décrit comme un système à 2 états ne pouvant occuper que les positions parallèles (vecteur moment dipolaire et champ magnétique de même sens) ou antiparallèles (vecteur moment dipolaire et champ magnétique de sens contraire), décrites à la question Q4 (page 3). Q23. Comment est orienté le vecteur aimantation de norme M0'? Q24. Exprimer la valeur de M0 en fonction du nombre N de noyaux dhydrogène par unité de volume, de ) et de µp. En mécanique quantique, le moment cinétique du noyau dhydrogène est quantifié en projection sur H laxe Oz par :4 * ; >I S =';'QRSM3 M ................../ des coordonnées, crée un champ égal à ',KL$ M$ NO * P 'en un point P de WILX coordonnées sphériques (r, =, >). Q28. Justifier lintroduction dun champ perturbateur qui change la direction de laimantation. Pour la RMN, on dévie laimantation de sa direction déquilibre afin de lui donner une composante transversale. Le champ B0, très intense par rapport au champ créé par laimantation, ne permet pas létude sur Oz. Il est particulièrement compliqué de décrire la RMN à une échelle microscopique individuelle. Une description macroscopique et semi-classique suffit pour en comprendre les concepts. On va donc étudier ../ qui caractérise lensemble des moments dipolaires lévolution dans le temps du vecteur aimantation .D des protons présents dans léchantillon. Si on provoque un changement de lorientation des moments magnétiques, laimantation va tendre à retourner à sa valeur à léquilibre thermique avec un temps de relaxation ou temps caractéristique. 5/14 ! Les notions introduites dans les deux documents suivants peuvent être utilisées par les candidats dans toute la suite du sujet Document 1 a) Temps de relaxation longitudinale T1 Quand on applique un champ magnétique B0 sur la direction Oz, laimantation natteint pas sa valeur déquilibre instantanément, elle augmente alors de la valeur initiale Mz = 0 à la valeur déquilibre Mz = M0 en un certain temps. On observe que Mz croît exponentiellement avec le temps vers M0 avec un temps caractéristique T1, appelé temps de relaxation longitudinale, comme lindique la figure 2 : Droite tangente à lorigine Mz Asymptote horizontale M0 T1 temps t Figure 2 Relaxation longitudinale On va donc supposer que, dans toute situation hors déquilibre, laimantation longitudinale Mz tend vers léquilibre à une vitesse proportionnelle à lécart par rapport à la valeur déquilibre M0 : !"# !$ %& "# '"( )* . b) Temps de relaxation transversale T2 Supposons quà t = 0, léchantillon présente une aimantation transversale, +, dans le plan xOy orthogonal à Oz (on verra plus tard comment créer cette situation). Alors +, doit tendre vers 0, avec un temps caractéristique T2, car à léquilibre thermique, les composantes transversales de laimantation sont nulles. La situation est représentée sur la figure 3 ci-dessous : +, Droite tangente à lorigine T2 temps t Figure 3 Relaxation transversale T2 est appelé temps de relaxation transversale et est toujours inférieur à T1. 6/14 ! À t = 0, laimantation transversale se met à précesser autour de laxe Oz à la pulsation !0 ! "pB0 dans le sens rétrograde. Mais les inhomogénéités du champ magnétique dune part et les interactions moléculaires dautre part, font que chaque noyau ressent un champ magnétique différent ("p" différent), ce qui entraîne une différence dans leur fréquence de précession. Si ces spins sont initialement en phase, leurs différences de phase deviennent aléatoires au cours du temps et les valeurs de Mx et My sannulent. Le temps nécessaire au déphasage est de lordre de 3 T2. Remarque : les interactions moléculaires, responsables de valeurs de "p légèrement différentes dun noyau à lautre, entraînent lélargissement de la #$%&'()$*+,#-.%,/0'1&/.#2&'+3#'!0, dans lexpérience RMN dabsorption réalisée en continu. Cet élargissement (figure 4) sera de lordre de 1/T2. Absorption A AMax 1/T2 AMax/2 435+$.%,/'! !0 Figure 4 Absorption de résonance des protons dans leau : élargissement de la raie autour (&'5$'-35+$.%,/'!0. c) Équations de Bloch Ces équations différentielles couplées sont appelées les équations de Bloch. Elles permettent de décrire le comportement de laimantation dans lespace et en fonction du temps en présence dun #$ % "& ' champ magnétique permanent !" ( Elles sécrivent : )*+ * % -.* ), 23 )*4 *4 % -.* ), 23 )*( *& 1 ! *( % -.* "& 0 ( 5 ), 26 d) Résonance Magnétique Nucléaire Pulsée Lexpérience de RMN dabsorption en continu permet de mesurer des fréquences de résonance et, à partir de là, de déduire des valeurs de rapport gyromagnétique "p!du proton en utilisant lexpression !0 ! "p "& . La valeur de "p"dépend de lenvironnement du proton, mais leffet de lenvironnement sur la fréquence de résonance est très petit et il faut des appareils très sensibles. Beaucoup dinformations intéressantes et complémentaires sur lenvironnement sont déductibles des temps T1 et T2. De plus, leffet de lenvironnement est beaucoup plus grand sur T2 que sur la fréquence de résonance : on sattend à plus de sensibilité sur la mesure de T2 que sur la mesure de !0. On a donc intérêt à mesurer ces temps de relaxation. Mais la détermination des temps T1 et T2 à laide de lexpérience de RMN dabsorption en continu nest pas très précise : T2 est obtenu à partir de lélargissement de la raie dabsorption et T1 nest obtenu quavec une mesure indirecte, source dimprécisions. 7/14 ! Pour mesurer T1 et T2, on préfèrera donc la méthode qui consiste à mettre le système de moments dipolaires hors déquilibre et à déterminer les temps de relaxations longitudinale et transversale : cest la RMN pulsée. Pour créer un système de moments dipolaires hors déquilibre, on utilise des champs magnétiques perturbateurs pulsés oscillants dans le domaine des radiofréquences. Source : partie dun énoncé de TP sur un appareil de RMN dans un tutorat expérimental. Document 2 Le temps de relaxation T1 dépend de lintensité du champ magnétique principal B0. Le temps T2 en est indépendant. Ils dépendent de la nature des tissus comme lindique le tableau de valeurs cidessous. Champ magnétique B0 Tissus Liquide céphalorachidien Graisse Substance blanche Substance grise 1 Tesla T1 en ms 2 500 180 500 350 1,5 Tesla T1 en ms 3 000 200 750 500 T2 en ms 200 90 90 75 Les tissus cancéreux ont une décroissance T2 plus lente que celle des tissus sains. Source : Guide des technologies de limagerie médicale et de la radiothérapie, JP Dillenseger, E Moerschel, Masson, 2009. &&&&&&&&&&&' Q29. Interpréter les équations de Bloch en précisant à quel couple supplémentaire ! " #$%(est soumis le vecteur aimantation pour traduire le phénomène de relaxation. Q30. Quel est le domaine des radiofréquences ? Est-ce conforme au résultat de la question Q18 (page 4) ? Partie II Les champ magnétiques &&&&'* « tournant » II.1- Création dun champ ) On fait lhypothèse dêtre dans le cadre de lARQS : on calcule le champ magnétique créé par des courants variables i(t), comme en magnétostatique. En particulier, on peut utiliser le théorème dAmpère. Q31. Énoncer les équations de Maxwell dans le vide. Que deviennent-elles en régime quasistationnaire ? Q32. Énoncer le théorème dAmpère. Q33. Après avoir précisé les symétries du champ magnétique créé par un solénoïde unique infini daxe !"#$%&# '()*&+)*# )#,-&.+,# -/.#%)&*0#1+#2()3%+%.# parcourues par une intensité I, établir que celui-ci sépare lespace en deux zones de champ uniforme. 8/14 ! Q34. On admet que le champ extérieur est nul : établir lexpression du champ intérieur créé par le ,(20)(41+#%)&$%+#+)#5()'*&()#1+#60, n, I et le vecteur unitaire ,,,,&'1+#!"#27(.&+)*/*&()#1%#'(%./)*# *+ étant celle qui correspond au sens direct autour de ,,,,& *- . On considère un ensemble de deux solénoïdes infinis identiques daxes Ox et Oy perpendiculaires concourants en O comme lindique la figure 5. Les spires sont considérées comme circulaires car réalisées sur un cylindre de rayon R comportant n spires jointives par unité de longueur. Les spires du solénoïde daxe Oy sont parcourues par une intensité Iy = I0 '(,89* + :) et celles du solénoïde daxe Ox par une intensité Ix = I0cos89*;<#Lorientation des courants correspond au sens direct autour des axes respectifs. Oy Iy Ix Ox O Figure 5 Configuration des solénoïdes Les solénoïdes sont infiniment longs, seules quelques spires ont été représentées. Q35. Établir que le champ magnétique dans la zone commune aux deux circuits, pour un déphasage : = =>?"#+,*#%)#'@/A-#B tournant » ,,,,& ./ 0 ./ *1 ,,,& cest-à-dire un champ de norme constante ./ porté par une direction de vecteur unitaire * ,& qui tourne à vitesse uniforme dans le plan xOy. On précisera sa norme'./ et sa vitesse de rotation 2. Il est en réalité difficile de produire des champs tournants autour des patients. On utilise donc un champ oscillant créé par une bobine unique daxe Ox : ,,,,,& .3/ 0 4./ 567#28%9,,,&. : Q36. Montrer que ce champ est équivalent à la superposition de 2 champs de même amplitude (à préciser) qui tournent en sens opposé à la même vitesse. ,,,,&; '' II.2- Création dun champ permanent intense . On utilise un solénoïde « épais » (épaisseur 9 0 < = > > R2) de même axe Oz. Il est réalisé par un empilement jointif de spires de section carrée, de côté a = 1,0 mm, enroulées sur un cylindre de longueur L = 4,0 m, depuis un rayon R1 C#?D#'A#E%,$%7F#%)#./G()#H2 = 25 cm. Les spires sont des fils de cuivre parcourus par un courant continu I0 uniformément réparti, orienté dans le sens direct autour de Oz. La situation est schématisée sur la figure 6 (page 10). Les sections carrées sont dans les plans (?,,,&1 ?A cest-à-dire en @ ,,,&% positionnement radial. 9/14 ! I0 uniformément réparti sur un carré de côté a. 2 R2 2 R1 z Figure 6 Solénoïde épais Q37. Calculer le vecteur densité volumique de courant !" pour # $ % & % #' ()) . Q38. Établir que lexpression du champ sur laxe vaut * + ,- 0/1 2# $ 3 #' 4( Q39. Quelle est lintensité nécessaire pour engendrer un champ de 1 Tesla ? Pour obtenir un champ intense, sans problème déchauffement, on utilise des matériaux supraconducteurs qui perdent totalement leur résistivité en dessous dune température critique TC, qui dépend du champ magnétique. Ces matériaux ont des propriétés magnétiques intéressantes : en régime permanent, ils « expulsent » le champ magnétique. Dans le cadre médical, on utilise des supraconducteurs durs, pour lesquels TC < 133 K pour B > 0,2 T. 88888888"" + 39*) 888"avec 9 % :( La loi constitutive de certains supraconducteurs est 567! Q40. Quelle est lunité de cette constante)9 ? Q41. En supposant quon peut appliquer les équations de Maxwell du vide dans le matériau supraconducteur de perméabilité µ0 et d!" #!$%&''&(&')" *0, exprimer léquation différentielle à 8888888888" en régime permanent (on rappelle que laquelle obéit le champ magnétique *2;4 88888" 8888"4 + )=5>? 8888888888" 2?@AB< 8"C4 3 2D< 8")). 888888" 2567 888888"2<4 567 Q42. Faire apparaître dans léquation différentielle obtenue une grandeur homogène à une longueur +,')!"-." On considère quun supraconducteur de ce type occupe un demi-espace x < 0 et que les sources du 8888"- + *- 888". EF La champ sont telles que règne dans lespace extérieur un champ permanent uniforme)* modélisation des distributions est volumique et nintroduit donc pas de discontinuités spatiales du champ magnétique. Q43. En utilisant les invariances du problème, montrer que le champ dans le supraconducteur sécrit sous la forme 8888888888" *2;4 + *G 2H4E888"G I *J 2H4E888"I)* 8888" J F 2H4E F( Q44. Expliciter le champ permanent régnant dans le supraconducteur. Q45. En déduire la densité de courant volumique. Q46. L,$/$!"/!"0$1+/!2$"/2"#1$1%3'$!"-"!4' de 5.108 m. Commenter. Q47. Tracer, sans faire de calculs, lallure de Bz(r) dans une symétrie cylindrique où le supraconducteur ,552#!"6!"(,62%!"/72+"586&+/$!"5$!29"/7)#1&44!2$":;;"-<"/!"6,+02!2$"="'$34"0$1+/!"/!(1+'"4,+" 8888"- + *- E888"F dans lespace rayon R, lui-%>%!"'$34"42#)$&!2$"?":;;"-."@+"42 intérieur au cylindre creux. 10/14 ! Partie III La RMN pulsée 8888"L III.1- Étude dans le référentiel tournant lié à K On combine les deux montages précédents qui créent, dans la zone où est placé léchantillon, un champ 8888"- )=)*' 2OPQ)RSE888"G 3 QTU)RSE888"4 résultant : 88888888" *MGN ) = 8888" *' +)* 888"F . J I *- E On pose R' + !V *' et R- + !V *- . Q48. Écrire léquation différentielle de lévolution du vecteur aimantation dans le référentiel R 0 du laboratoire en négligeant les phénomènes de relaxation. 8888"' )est un champ statique. On appelle R1 le référentiel « tournant » dans lequel le champ * 8888"' /*' et 88888" La base orthonormée liée au référentiel tournant est caractérisée par 88888" EG' + * EF' + E888". F On rappelle la formule de dérivation dun vecteur 888" W))avec changement de référentiel : 88" YW Z YS # X 88" YW : + X YS Z #[ 888" I )R 8888888888888" \] ^\/ _ W( 8888888888888" Q49. Caractériser complétement le vecteur rotation R \] ^\/ du référentiel tournant R1 par rapport au référentiel R0. 888") dans le référentiel Q50. Écrire léquation différentielle de lévolution du vecteur aimantation ; tournant R1 en négligeant toujours les phénomènes de relaxation. Q51. Montrer que, dans ce référentiel R1, on peut écrire léquation du mouvement sous la forme 8888" Y; YS 888" _ )* 8888888" 8888888" + )!` 2; Maa ) où le champ magnétique « efficace » *Maa est un champ statique dont on 888"( donnera lexpression en fonction de !` b Rb R' b R- b E88888")ES)E F G' 8888888" Q52. Faire un dessin de représentation du vecteur * avec ses composantes dans R1. Maa Q53. Décrire le mouvement de laimantation dans ce référentiel tournant. Considérons une aimantation qui, à linstant 0, correspond à léquilibre thermique en présence du champ intense 8888" *- . 8888"' . Q54. Décrire ce quil se passe dans le référentiel R1 si on applique un faible champ tournant * Q55. Comparer la direction de laimantation dans le cas cR + dR 3 R- d e dR' d et dans le cas où, au contraire, la pulsation est voisine de R- donc cR + dR 3 R- d f dR' d. Q56. Pourquoi parle-t-on de résonance quand R)+ R- ? On travaille à la résonance R + R- . Q57. Quelle est la direction du champ efficace à la résonance ? Q58. Préciser, toujours dans R1, avec quelle vitesse angulaire laimantation précesse autour de ce champ. Q59. Pourquoi ne tient-on pas compte du second champ tournant introduit à la question Q36 (page 9) ? Q60. En réalité, pour le champ intense permanent, on narrive pas à obtenir un champ homogène mais un champ qui dépend un peu de la position sur laxe : 8*" + *- g2h4E888"( F Pourquoi dans ces conditionslà, faut-il que le signal radiofréquence ne soit pas rigoureusement monochromatique ? Dans la suite, on néglige le caractère non uniforme du champ permanent 8888" *- et on se place toujours à la résonance R + R- . À partir dune situation initiale, dans laquelle le système est en équilibre stable sous leffet du champ permanent 8888" *- , on applique le champ 88888" *i' à un instant choisi comme origine t = 0. On se propose ensuite de supprimer le champ 88888" *i' )à linstant t = C. 11/14 ! Q61. À quels instants tp1 doit-on le supprimer pour obtenir une situation hors déquilibre avec une aimantation orthogonale au champ ? Quelle !"#$ %&$ '()*!$ +1 la plus courte possible, pendant laquelle on applique %%%%%%& !"# $ pour obtenir ce résultat ? Q62. À quels instants tq2 doit-on le faire pour obtenir une situation hors déquilibre avec une aimantation retournée ,$-(!%%!$!"#$%&$'()*!$+2 la plus courte possible, pendant laquelle on applique %%%%%%& !"# $ pour obtenir le retournement ? Il sagit alors de RMN pulsée. Dans le premier cas, comme à la question Q61, on parle dimpulsion à 90° et dans le deuxième cas, comme à la question Q62, on parle dimpulsion à 180°. On nobserve pas laimantation pendant la durée du « pulse », cest-à-dire entre lintroduction du champ (tournant à la fréquence de résonance) %%%%%& !"# et sa coupure. On observe, après le pulse, lévolution de laimantation dans le plan xOy, cest-à-dire orthogonale au champ permanent %%%%& !' . Q63. Autour de quelle direction et avec quelle vitesse précesse laimantation après le pulse dans le référentiel R1 ? Q64. Comment évoluerait laimantation pour t > +i, si on ne tenait pas compte des phénomènes de relaxation ? Q65. En vous appuyant sur le document 1 (pages 6, 7 et 8), expliquer pourquoi, à partir de lévolution après un pulse à 90°, on peut à priori remonter au temps T2. Malheureusement, les inhomogénéités du champ magnétique et les interactions moléculaires perturbent le déclin exponentiel de laimantation et ce nest pas le vrai temps de relaxation T2 mais un temps de relaxation perturbé T2* auquel on remonterait à partir dun seul pulse à 90°. Le signal, lié à laimantation transversale My, reçu par le système de détection est un signal sinusoïdal amorti dont lenveloppe supérieure a un temps de relaxation T2*. On doit donc améliorer la façon de procéder pour remonter au temps T2. III.2- Écho de spin On utilise des séquences à deux pulses successifs. Un pulse à 90° est suivi, après un temps ()> 3T2* >> +1, dun pulse à 180°, comme la figure 7 ci-dessous le représente : séquence Pulse à 180° de durée 2+1 démarrant à t=; Pulse à 90° de durée +1 démarrant àt=0 temps 0 ; Figure 7 Écho de spin Q66. Décrire les composantes de laimantation à linstant t = +1. Ce système est-il à léquilibre thermique ? Q67. ./'01(!)$1(&%0#!3!/#$4533!/#$*25%(!/#$%6&03&/#/$#)&/"2!)"&%!$!#$%5/70#('0/&%!$'!$#$8$+1, 9("1(6:$#$8$;<$ Q68. Comment évolue My d!$#$8$+1, 9("1(6:$#$8$; ? Q69. Comment évolue laimantation pour t > ; + =+1 ? 12/14 ! III.3- Bobines de détection Nous supposerons quelles sont dans une configuration solénoïde infini de rayon R, daxe Oy cest-àdire perpendiculaire à la fois à laxe Ox du solénoïde de création du champ )))))% !"# et à la direction Oz de ))))%& , comme indiqué sur la figure 8 ci-dessous. ! La précession de laimantation autour de Oz crée une tension, qui dépend du temps, aux bornes du circuit de ces bobines de détection. Direction de ))))% !& z y Direction de )))))% !# " O Axe des bobines de détection x Figure 8 Positionnement des bobines de détection Q70. Expliquer pourquoi il y a naissance dune force électromotrice induite dans ces bobines. La détection du signal se fait par un détecteur à bas bruit, haut gain réel, qui est conçu pour amplifier la force électromotrice radiofréquence induite aux bornes de la bobine de réception par la précession de laimantation. Q71. Parmi les propositions suivantes concernant le signal reçu entre #$8$+1 !#$#$8$;> indiquer sur votre copie, quelles sont celles qui sont exactes. Numéro de proposition PROPOSITION 1 le signal reçu est proportionnel à Mz(t) 2 le signal reçu est proportionnel à My(t) 3 le signal reçu est proportionnel à 4 le signal reçu est proportionnel à *+,-./ *0 *+1-./ *0 5 le signal reçu est proportionnel au rayon R 6 le signal reçu est proportionnel au carré du rayon R2 7 le signal reçu est proportionnel au champ B0 8 %!$"07/&%$)!?($!"#$@)5@5)#05//!%$:$45"AB0 (t +1)) 9 le signal reçu est proportionnel à exp((t +1)/T2*) "0/$AB0 (t +1)) 13/14 ! Lenveloppe Y(t) du signal reçu est la forme dessinée en trait pleins sur la figure 9 ci-dessous. Y(t) Droite tangente à la courbe expérimentale Y(t) E = Exponentielle passant par les deux maximas Droite tangente à la courbe E T*2 !"""""""""""""""""""""""""""""#2 temps Figure 9 Enveloppe du signal reçu Q72. Interpréter la forme de la courbe en traits pleins. Indiquer pourquoi on peut, à partir déchos de spin, détecter léventuelle nature cancéreuse dun tissu. FIN 14/14 !

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 CCP Physique MP 2017 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel (professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE). Ce problème porte sur le fonctionnement de la résonance magnétique nucléaire (RMN). Les trois parties peuvent être traitées de façon relativement indépendante. · La première partie s'intéresse au comportement d'une population de dipôles dans un champ magnétique permanent. On étudie d'abord le mouvement de précession d'un dipôle unique avant de généraliser ce résultat à un ensemble de dipôles au moyen du vecteur aimantation. Cette partie fait appel à des notions de cours sur les champs magnétiques et sur la thermodynamique statistique. · La deuxième partie porte en premier lieu sur la création de champs magnétiques tournants au moyen de solénoïdes. Cette étude nécessite d'être à l'aise avec la magnétostatique. Dans un second temps, on étudie la création d'un champ magnétique permanent intense grâce à un milieu supraconducteur. On résout cette partie par analogie avec ce qui a été fait dans le cours sur la propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu conducteur. · La dernière partie propose une approche de la RMN pulsée avec l'étude de l'aimantation dans un référentiel tournant. Les méthodes de changement de référentiel vues dans le cours de mécanique en référentiel non galiléen sont utiles pour aborder cette partie qui laisse plus de place aux raisonnements physiques. Ce sujet présente une difficulté croissante : il commence par des questions proches du cours pour laisser progressivement place aux raisonnements physiques. Il donne l'occasion de réviser quasiment tout le programme d'électromagnétisme. Indications Partie I 2 Une charge en mouvement crée un courant. - 4 Définir un angle entre - µ et B . 0 13 Revenir à la définition de l'intensité dans un circuit. 17 Utiliser la formule de Planck-Einstein. 20 Dériver k- µ k2 par rapport au temps. Projeter l'équation différentielle sur (Oz). - 21 Montrer que l'angle entre B et- µ se conserve. 0 23 Utiliser la question 10. 26 Effectuer une analyse dimensionnelle. 28 Regarder dans quelle direction l'aimantation rayonne de manière optimale. Partie II 33 Utiliser le théorème d'Ampère sur un contour situé à l'intérieur et sur un contour situé à l'extérieur du solénoïde. - 36 Décomposer B1 sous la forme - - B1 = B1 (cos t - ex - sin t - ey ) + B1 (cos t ex + sin t - ey ) 37 La densité volumique de courant est supposée uniforme sur une section de spire. 41 Le raisonnement est analogue à celui permettant d'établir l'équation différentielle régissant le champ électrique dans un milieu conducteur. 44 Le champ magnétique ne diverge pas lorsque x - ; de plus, comme il n'y a pas de courant surfacique, il est continu en x = 0. Partie III - 49 Appliquer la formule de dérivation à B1 . -- 53 Beff est fixe dans le référentiel R1 . - - 56 Comparer la vitesse angulaire de B1 à la vitesse de précession de M. 61 Utiliser la question 55. 65 L'aimantation ne possède qu'une composante transverse après un pulse à 90 . 67 Observer l'influence de la relaxation. - 71 Donner la composante de l'aimantation qui crée un champ suivant ey et utiliser la question 70. I. Comportement d'une population de dipôles dans un champ magnétique 1 Le moment magnétique d'une spire de courant plane délimitant une surface S et parcourue par un courant I est défini par - µ = IS- n , où - n désigne le vecteur unitaire normal au plan de la spire et dont le sens est donné par celui choisi pour le parcours de l'intensité (règle du tire-bouchon). Avec les données du problème, - µ = R2 I - ez 2 Le mouvement d'une charge en rotation autour d'un axe crée une boucle circulaire de courant. Une sphère chargée en rotation autour d'un axe passant par son centre peut alors être considérée comme un empilement de spires de courant. D'après la question 1, la sphère est donc caractérisée par un moment magnétique qui est la somme des moments magnétiques associés à chaque spire. Il est dirigé suivant l'axe de rotation de la sphère. Son sens dépend de la charge et du sens de rotation de la sphère. z - µ I 0 y x 3 Cherchons l'équivalence en unités internationales de l'unité J.T-1 . Comme l'énergie cinétique s'écrit E = m v 2 /2, J = kg.m2 .s-2 Z - - - De plus la force de Laplace F = I d B permet d'écrire C T = kg.A-1 .s-2 Ainsi J.T-1 = A.m2 L'unité est donc cohérente avec celle de la question 1. 4 Les positions d'équilibre satisfont à l'équation -- - grad Epot = 0 - Notons l'angle entre le champ magnétique extérieur B0 et le moment magnétique - µ, - Epot = -- µ · B0 = -µ B0 cos dEpot = µ B0 sin d On obtient alors les positions d'équilibre pour et =0 et = Le moment magnétique est en équilibre lorsqu'il est aligné avec le champ magnétique extérieur de manière parallèle ou antiparallèle. Les valeurs d'énergie potentielle correspondantes sont Epot,min = -µ B0 et Epot,max = µ B0 La position = 0 possède la plus petite énergie potentielle, c'est un équilibre stable. L'autre position d'équilibre est instable. 5 D'après la question 4, la différence d'énergie entre les deux positions d'équilibre s'écrit Epot = 2 µp B0 = 2,8 · 10-26 J = 1,7 · 10-7 eV 1 eV correspond à l'énergie électrostatique (Eél = qV) gagnée lorsqu'une unité de charge électrique e est déplacée entre deux points dont le potentiel électrostatique diffère d'un volt. 6 Numériquement, Par conséquent, Eth = kT = 2,7 · 10-2 eV Eth Epot L'énergie thermique suffit à faire passer le moment magnétique d'un noyau d'hydrogène d'un état d'équilibre à un autre. 7 Comme Ecovalente Epot et Eionisation Epot , l'énergie apportée au système par l'intermédiaire du champ magnétique extérieur ne risque pas d'endommager les liaisons chimiques ni d'ioniser les molécules. La méthode apparaît alors sans risque pour le corps humain. 8 Dans le cadre de la statistique de Boltzmann, la probabilité d'occuper un état d'énergie E s'écrit E 1 p(E) = exp - Z kT avec Z un facteur de normalisation. 9 Écrivons les lois régissant les deux populations N+ et N- . Elles sont directement proportionnelles à la loi de probabilité définie à la question 8 : Epot,max µp B 0 N+ exp - = exp - kT kT Epot,min µp B 0 N- exp - = exp kT kT N+ 2µp B0 Finalement = exp - N- kT D'après la question 6, µp B0 kT. On peut alors effectuer un développement limité de l'exponentielle à l'ordre 1 en µp B0 /kT : N+ 2 µp B 0 1- N- kT 10 D'après la question précédente, à l'équilibre thermique N+ < N- Cette relation est cohérente car N- est la population dans l'état de plus basse énergie.