CCP Physique MP 2017

Thème de l'épreuve La physique au pays des patients – imagerie par résonance magnétique nucléaire (IRM)
Principaux outils utilisés électromagnétisme
Mots clefs dipôle magnétique, champ magnétique, solénoïde, supraconducteur, RMN

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2017

MPPH008

!

!
!

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
!

PHYSIQUE
Vendredi 5 mai : 8 h - 12 h!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
/'9)$4.!$+/-!+/$+%(2'.+.&+#.:!$+2(-!/-':!.+/$+%(02(/'&'()+.)+.;24'3-$)&+4./+!$'/()/+#./+')'&'$&':./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

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"
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Les
calculatrices
sont autorisées
!
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Le
sujet
est
composé
de
trois
parties.
!
Bien que lensemble obéisse à une logique interne, la partie II est indépendante 
de la partie I et la
!
partie III est indépendante de la partie II.
!
!!
!!
!!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1/14
!

!

LA PHYSIQUE AU PAYS DES PATIENTS
Imagerie par Résonance Magnétique nucléaire ou IRM
LIRM, qui sutilise dans des conditions quasi-naturelles et même in vivo, est 
une technique non
destructive de visualisation en coupes des tissus organiques mous, en les 
laissant intacts. Elle utilise un
champ magnétique intense permanent
!" combiné avec un faible champ perturbateur oscillant.
Linteraction de ces champs avec le moment magnétique dune particule élémentaire 
(électron ou
proton) engendre un comportement dynamique qui fournit des renseignements sur 
lenvironnement
atomique de ces particules.
Dans ce sujet, nous étudierons quelques aspects de cette technique sans 
caractère exhaustif. Les
questions ne font appel quà des éléments du programme MPSI/MP de physique. Les 
candidats peuvent
à tout moment utiliser un résultat donné par lénoncé pour répondre aux 
questions suivantes.
Données
k = 1,4.1023 J.K1

Constante de Boltzmann :

Facteur de Boltzmann associé à un système
dénergie E, en équilibre à la température T :
exp( E/kT)
Nombre dAvogadro :

NA = 6,0.1023 mol1

Vitesse de la lumière dans le vide :

c = 3,0.108 m.s1

Perméabilité du vide :

µ0 = 4 !.107 H.m1

Constante de Planck « réduite » :

% = h/(2!) = 1,05.1034 J.s

Masse de lélectron :

me = 9,1.1031 kg

Charge de lélectron :

 e = 1,6. 1019 C

Rayon de lorbite 1s du modèle de Bohr :

rB = 5,3.1011 m

Moment magnétique du proton :

µp = 1,4.1026 J.T1

Conductivité du cuivre :

" = 6,0.107 S.m1

Développement limité de
exponentielle autour de x = 0 :

la

fonction

)

exp(x)& ' ( *+ (

),
-+

( ./0 - 1

Précession : la précession est le nom donné au changement graduel dorientation 
dun vecteur qui décrit
un cône dont laxe est la direction de précession. Ce cône est parcouru à 
vitesse constante dans un sens
donné.

2/14
!

Partie I  Comportement dune population de dipôles dans un champ magnétique
I.1- Dipôles magnétiques
Q1. Définir le vecteur moment magnétique $
%# associé à une boucle circulaire de courant de rayon R et
daxe de révolution Oz, parcourue par une intensité I, dans le cadre de 
lapproximation dipolaire
(figure 1). On note %%%#
&' le vecteur unitaire de laxe Oz. Le sens de rotation directe autour de laxe
Oz est le sens dorientation de lintensité algébrique.
Q2. Expliquer pourquoi une sphère chargée, en rotation autour dun axe passant 
par son centre, est
elle-aussi caractérisée par un moment magnétique dont on précisera la direction 
et le sens (on ne
demande pas le calcul du moment mais seulement la justification de son 
existence).

z

O
I

Figure 1  Boucle de courant
Dans le cas du proton (noyau dhydrogène) qui tourne sur lui-même (rotation 
propre de vecteur de
%# autour dun axe Oz), on peut lui associer un moment magnétique $
%# et de
rotation %(
%%%%#) colinéaire à %(
norme µp.
Q3. Justifier par analyse dimensionnelle lunité écrite dans le tableau de 
données.
Soit un dipôle magnétique de moment %$#**placé en O dans un champ magnétique 
extérieur uniforme
%%%%#" **et du couple
permanent %!#" + !" %%%#*.
%# 0 !
&' On rappelle les expressions de lénergie potentielle ,)-. + /$
%%%%#" .
(moment de force) dinteraction %%%%%%%%%#
1234 + $
%# 5 !
Q4. En déduire quelles sont les 2 positions déquilibre dun moment dipolaire 
magnétique, dans un
champ magnétique extérieur uniforme %!#" , en précisant les valeurs associées 
de lénergie
potentielle.
Q5. Évaluer la différence dénergie en eV entre les deux configurations 
déquilibre dun noyau
dhydrogène soumis à un champ magnétique permanent de 1 tesla (ordre de grandeur 
typique en
RMN).
Q6. Comparer cette valeur à celle de lénergie thermique à 37 °C.
Q7. Lordre de grandeur de lénergie de liaison covalente de OH dans leau est de 
5 eV et celui dune
énergie dionisation est de 13,6 eV. Justifier lutilisation de la RMN en 
imagerie médicale, en
considérant que la méthode fait passer le proton dun état déquilibre à lautre.
Nous considérons quune population de dipôles, placés dans un champ magnétique 
extérieur %%%%#
!" de
1 tesla, en équilibre thermique à la température T, obéit à la statistique de 
Boltzmann.
Q8. Rappeler, à un facteur multiplicatif près, lexpression de la probabilité 
doccuper un état dénergie
E par un dipôle.
3/14
!

Q9. Évaluer le rapport des populations

!"
!#

$ en équilibre thermique à la température T, %&' étant la

densité volumique de dipôles de plus grande énergie et %( étant la densité 
volumique de dipôles
de plus petite énergie (on admettra que lon peut effectuer un développement 
limité à lordre 1).
Q10. À quelle orientation correspond la population la plus nombreuse à 
léquilibre thermique ?
! (! '
On note )'= !# " ''la différence relative de population entre les deux niveaux.
" &!#

Q11. Exprimer, à léquilibre thermique, la différence relative )'=

!# (!"
!" &!#

* )+ '(toujours à lordre 1) en

fonction de µ, k, T et ,+ .
Q12. Donner sa valeur numérique pour des protons placés dans un champ de 1 
tesla, à une température
de 37 °C et commenter.
I.2- Rapports gyromagnétiques
Une boucle de courant est créée par un électron dans son mouvement orbital 
autour du noyau. On
considère lorbite circulaire, de rayon rB et de centre O, contenue dans le plan 
xOy. Le vecteur vitesse
de lélectron sécrit .-/ * -0/ avec /0 le vecteur unitaire tangent au cercle 
orienté dans le sens direct autour
de O.
..../2 * 12 .../'associé
34
à cette boucle de courant en fonction du rayon
Q13. Exprimer le moment magnétique 1
de
constantes
fondamentales.
rB, de la vitesse v, du vecteur 5..../'et
'
6
Q14. Exprimer le moment cinétique de lélectron, par rapport au point O, 7
..../
34 en fonction des
8 * 72 .../
mêmes paramètres.
1
Q15. Exprimer le rapport gyromagnétique correspondant 92 ' * :5 en fonction des 
constantes
5

fondamentales et calculer la valeur numérique du rapport gyromagnétique de 
lélectron.

Le corps humain est essentiellement constitué deau : lhydrogène représente 10 % 
de la masse
corporelle, cest-à-dire 86 % de la composition chimique de notre organisme. On 
étudiera donc, par la
34
suite, le comportement de ces protons soumis à un champ magnétique extérieur 
.,/+ * ,+ .../'.
On peut, comme dans lexemple de lélectron, associer au proton un rapport 
gyromagnétique égal au
rapport de son moment magnétique et de son moment cinétique. Pour lhydrogène H 
isolé, le rapport
gyromagnétique, qui vaut !p = 2,67.108 rad.s1.T1, est associé à un moment 
cinétique quantifié qui ne
peut prendre que les valeurs ;<=>?
Q16. Les valeurs ci-dessus sont-elles 
c"#$"%&'()*)+,)-,+'.%)/.)&"&'#0)&,1#2034.')5p ?
Q17. Exprimer en fonction de B0 et !p la fréquence du photon qui permet le 
passage du niveau de plus
basse énergie au niveau de plus haute énergie pour lhydrogène.
Q18. Quelles sont la fréquence et la longueur donde 6 correspondantes pour un 
champ permanent de
1 tesla ?
I.3- Précession dun dipôle
On écarte un /378+')/9.#),#1+'):)7,%)%,77"%0)*)+,)7"(303"#)/924.3+3;%' stable 
dans un champ magnétique
.,/+ * ,+ .../?
34
Q19. Écrire léquation différentielle caractéristique de lévolution du vecteur 
moment dipolaire sous la
./
@1

forme @0 * ...../
A+ B 1
./ en précisant ce que vaut A
...../+ ?
Q20. Montrer que sa norme se conserve et que la projection du moment sur laxe 
du champ magnétique
se conserve aussi.
Q21. Décrire le mouvement de la projection du vecteur dans un plan orthogonal 
au champ magnétique,
...../C
en précisant ce que représente CA
+ * A+ .
Q22. Décrire le mouvement complet du dipôle en vous appuyant sur un dessin. 
Préciser le sens du
mouvement de précession.
4/14
!

Lorsque les protons étudiés se trouvent dans une molécule (ou un cristal), les 
liaisons chimiques entre
atomes modifient la fréquence de résonance précédente par modification du 
rapport gyromagnétique.
Mais ces effets sont très petits (ils sont généralement mesurés en parties par 
million ou ppm). Il faut
donc des instruments très sensibles pour distinguer entre protons libres et 
protons engagés dans une
liaison chimique.
I.4- Précession de laimantation
À létat naturel, les vecteurs moments dipolaires des noyaux dhydrogène sont 
répartis dans toutes les
directions et il ny a pas deffet magnétique global pour un échantillon. Par 
contre, en présence dun
champ magnétique extérieur, lhydrogène aura des propriétés magnétiques 
caractérisées par un vecteur
../ * ' EG .../
moment magnétique global volumique appelé aimantation .D
1F , la somme étant réalisée sur tous
../, obtenu
les noyaux dhydrogène composant lunité de volume. En IRM, cest ce vecteur 
aimantation .D
en présence dun champ magnétique extérieur, qui permet dobtenir des images des 
tissus du corps
humain.
On considère létat déquilibre thermique dun échantillon contenant des 
hydrogènes en présence dun
..../+ * ,+ .../'?
34 On suppose, pour simplifier, que le système des dipôles
seul champ fort permanent'',
magnétiques associés aux protons peut être décrit comme un système à 2 états ne 
pouvant occuper que
les positions parallèles (vecteur moment dipolaire et champ magnétique de même 
sens) ou antiparallèles
(vecteur moment dipolaire et champ magnétique de sens contraire), décrites à la 
question Q4 (page 3).
Q23. Comment est orienté le vecteur aimantation de norme M0'?
Q24. Exprimer la valeur de M0 en fonction du nombre N de noyaux dhydrogène par 
unité de volume,
de ) et de µp.
En mécanique quantique, le moment cinétique du noyau dhydrogène est quantifié 
en projection sur
H

laxe Oz par :4 * ; >I S =';'QRSM3
M
................../
des coordonnées, crée un champ égal à ',KL$
M$ NO * P
'en un point P de
WILX
coordonnées sphériques (r, =, >).
Q28. Justifier lintroduction dun champ perturbateur qui change la direction de 
laimantation.
Pour la RMN, on dévie laimantation de sa direction déquilibre afin de lui 
donner une composante
transversale. Le champ B0, très intense par rapport au champ créé par 
laimantation, ne permet pas
létude sur Oz.
Il est particulièrement compliqué de décrire la RMN à une échelle microscopique 
individuelle. Une
description macroscopique et semi-classique suffit pour en comprendre les 
concepts. On va donc étudier
../ qui caractérise lensemble des moments dipolaires
lévolution dans le temps du vecteur aimantation .D
des protons présents dans léchantillon.
Si on provoque un changement de lorientation des moments magnétiques, 
laimantation va tendre à
retourner à sa valeur à léquilibre thermique avec un temps de relaxation ou 
temps caractéristique.
5/14
!

Les notions introduites dans les deux documents suivants peuvent être utilisées 
par les candidats dans
toute la suite du sujet
Document 1
a) Temps de relaxation longitudinale T1
Quand on applique un champ magnétique B0 sur la direction Oz, laimantation 
natteint pas sa valeur
déquilibre instantanément, elle augmente alors de la valeur initiale Mz = 0 à 
la valeur déquilibre
Mz = M0 en un certain temps. On observe que Mz croît exponentiellement avec le 
temps vers M0 avec
un temps caractéristique T1, appelé temps de relaxation longitudinale, comme 
lindique la figure 2 :
Droite tangente à lorigine

Mz

Asymptote horizontale

M0

T1

temps t
Figure 2  Relaxation longitudinale

On va donc supposer que, dans toute situation hors déquilibre, laimantation 
longitudinale Mz tend
vers léquilibre à une vitesse proportionnelle à lécart par rapport à la valeur 
déquilibre M0 :
!"#
!$

%&

"# '"(
)*

.

b) Temps de relaxation transversale T2
Supposons quà t = 0, léchantillon présente une aimantation transversale, +, 
dans le plan xOy
orthogonal à Oz (on verra plus tard comment créer cette situation).
Alors +, doit tendre vers 0, avec un temps caractéristique T2, car à léquilibre 
thermique, les
composantes transversales de laimantation sont nulles.
La situation est représentée sur la figure 3 ci-dessous :

+,
Droite
tangente
à lorigine

T2

temps t

Figure 3  Relaxation transversale
T2 est appelé temps de relaxation transversale et est toujours inférieur à T1.
6/14
!

À t = 0, laimantation transversale se met à précesser autour de laxe Oz à la 
pulsation !0 ! "pB0 dans
le sens rétrograde. Mais les inhomogénéités du champ magnétique dune part et 
les interactions
moléculaires dautre part, font que chaque noyau ressent un champ magnétique 
différent ("p"
différent), ce qui entraîne une différence dans leur fréquence de précession. 
Si ces spins sont
initialement en phase, leurs différences de phase deviennent aléatoires au 
cours du temps et les valeurs
de Mx et My sannulent. Le temps nécessaire au déphasage est de lordre de 3 T2.
Remarque : les interactions moléculaires, responsables de valeurs de "p 
légèrement différentes dun
noyau à lautre, entraînent lélargissement de la 
#$%&'()$*+,#-.%,/0'1&/.#2&'+3#'!0, dans lexpérience
RMN dabsorption réalisée en continu. Cet élargissement (figure 4) sera de 
lordre de 1/T2.
Absorption A

AMax

1/T2
AMax/2

435+$.%,/'!

!0
Figure 4  Absorption de résonance des protons dans leau : élargissement de la 
raie autour
(&'5$'-35+$.%,/'!0.
c) Équations de Bloch
Ces équations différentielles couplées sont appelées les équations de Bloch. 
Elles permettent de
décrire le comportement de laimantation dans lespace et en fonction du temps en 
présence dun
#$ % "& '
champ magnétique permanent !"
( Elles sécrivent :
)*+
*
% -.*
),
23
)*4
*4
% -.*
),
23
)*(
*& 1 ! *(
% -.*
"& 0 ( 5
),
26
d) Résonance Magnétique Nucléaire Pulsée
Lexpérience de RMN dabsorption en continu permet de mesurer des fréquences de 
résonance et, à
partir de là, de déduire des valeurs de rapport gyromagnétique "p!du proton en 
utilisant lexpression
!0 ! "p "& . La valeur de "p"dépend de lenvironnement du proton, mais leffet de 
lenvironnement
sur la fréquence de résonance est très petit et il faut des appareils très 
sensibles. Beaucoup
dinformations intéressantes et complémentaires sur lenvironnement sont 
déductibles des temps T1
et T2. De plus, leffet de lenvironnement est beaucoup plus grand sur T2 que sur 
la fréquence de
résonance : on sattend à plus de sensibilité sur la mesure de T2 que sur la 
mesure de !0. On a donc
intérêt à mesurer ces temps de relaxation. Mais la détermination des temps T1 
et T2 à laide de
lexpérience de RMN dabsorption en continu nest pas très précise : T2 est obtenu 
à partir de
lélargissement de la raie dabsorption et T1 nest obtenu quavec une mesure 
indirecte, source
dimprécisions.
7/14
!

Pour mesurer T1 et T2, on préfèrera donc la méthode qui consiste à mettre le 
système de moments
dipolaires hors déquilibre et à déterminer les temps de relaxations 
longitudinale et transversale : cest
la RMN pulsée.
Pour créer un système de moments dipolaires hors déquilibre, on utilise des 
champs magnétiques
perturbateurs pulsés oscillants dans le domaine des radiofréquences.
Source : partie dun énoncé de TP sur un appareil de RMN dans un tutorat 
expérimental.

Document 2

Le temps de relaxation T1 dépend de lintensité du champ magnétique principal 
B0. Le temps T2 en
est indépendant. Ils dépendent de la nature des tissus comme lindique le 
tableau de valeurs cidessous.
Champ magnétique B0
Tissus
Liquide céphalorachidien
Graisse
Substance blanche
Substance grise

1 Tesla
T1 en ms
2 500
180
500
350

1,5 Tesla
T1 en ms
3 000
200
750
500

T2 en ms
200
90
90
75

Les tissus cancéreux ont une décroissance T2 plus lente que celle des tissus 
sains.
Source : Guide des technologies de limagerie médicale et de la radiothérapie, 
JP Dillenseger,
E Moerschel, Masson, 2009.

&&&&&&&&&&&'
Q29. Interpréter les équations de Bloch en précisant à quel couple 
supplémentaire !
" #$%(est soumis le
vecteur aimantation pour traduire le phénomène de relaxation.
Q30. Quel est le domaine des radiofréquences ?
Est-ce conforme au résultat de la question Q18 (page 4) ?

Partie II  Les champ magnétiques
&&&&'* « tournant »
II.1- Création dun champ )
On fait lhypothèse dêtre dans le cadre de lARQS : on calcule le champ 
magnétique créé par des
courants variables i(t), comme en magnétostatique. En particulier, on peut 
utiliser le théorème
dAmpère.
Q31. Énoncer les équations de Maxwell dans le vide. Que deviennent-elles en 
régime quasistationnaire ?
Q32. Énoncer le théorème dAmpère.
Q33. Après avoir précisé les symétries du champ magnétique créé par un 
solénoïde unique infini
daxe !"#$%&# '()*&+)*# )#,-&.+,# -/.#%)&*0#1+#2()3%+%.# parcourues par une 
intensité I, établir que
celui-ci sépare lespace en deux zones de champ uniforme.

8/14
!

Q34. On admet que le champ extérieur est nul : établir lexpression du champ 
intérieur créé par le
,(20)(41+#%)&$%+#+)#5()'*&()#1+#60, n, I et le vecteur unitaire 
,,,,&'1+#!"#27(.&+)*/*&()#1%#'(%./)*#
*+
étant celle qui correspond au sens direct autour de ,,,,&
*- .
On considère un ensemble de deux solénoïdes infinis identiques daxes Ox et Oy 
perpendiculaires
concourants en O comme lindique la figure 5. Les spires sont considérées comme 
circulaires car
réalisées sur un cylindre de rayon R comportant n spires jointives par unité de 
longueur. Les spires du
solénoïde daxe Oy sont parcourues par une intensité Iy = I0 '(,89* + :) et 
celles du solénoïde daxe Ox
par une intensité Ix = I0cos89*;<#Lorientation des courants correspond au sens 
direct autour des axes
respectifs.
Oy
Iy

Ix

Ox

O

Figure 5  Configuration des solénoïdes
Les solénoïdes sont infiniment longs, seules quelques spires ont été
représentées.
Q35. Établir que le champ magnétique dans la zone commune aux deux circuits, 
pour un déphasage
: = =>?"#+,*#%)#'@/A-#B tournant » ,,,,&
./ 0 ./ *1
,,,& cest-à-dire un champ de norme constante ./ porté
par une direction de vecteur unitaire *
,& qui tourne à vitesse uniforme dans le plan xOy. On
précisera sa norme'./ et sa vitesse de rotation 2.
Il est en réalité difficile de produire des champs tournants autour des 
patients. On utilise donc un champ
oscillant créé par une bobine unique daxe Ox : ,,,,,&
.3/ 0 4./ 567#28%9,,,&.
:
Q36. Montrer que ce champ est équivalent à la superposition de 2 champs de même 
amplitude (à
préciser) qui tournent en sens opposé à la même vitesse.
,,,,&; ''
II.2- Création dun champ permanent intense .
On utilise un solénoïde « épais » (épaisseur 9 0 < = > > R2) de même axe Oz. Il est 
réalisé par un empilement
jointif de spires de section carrée, de côté a = 1,0 mm, enroulées sur un 
cylindre de longueur L = 4,0 m,
depuis un rayon R1 C#?D#'A#E%,$%7F#%)#./G()#H2 = 25 cm. Les spires sont des 
fils de cuivre parcourus
par un courant continu I0 uniformément réparti, orienté dans le sens direct 
autour de Oz. La situation est
schématisée sur la figure 6 (page 10). Les sections carrées sont dans les plans 
(?,,,&1
?A cest-à-dire en
@ ,,,&%
positionnement radial.

9/14
!

I0 uniformément réparti sur un carré de côté a.

2 R2

2 R1

z

Figure 6  Solénoïde épais
Q37. Calculer le vecteur densité volumique de courant !" pour # $ % & % #' ())
.
Q38. Établir que lexpression du champ sur laxe vaut * + ,- 0/1 2# $ 3 #' 4(
Q39. Quelle est lintensité nécessaire pour engendrer un champ de 1 Tesla ?
Pour obtenir un champ intense, sans problème déchauffement, on utilise des 
matériaux
supraconducteurs qui perdent totalement leur résistivité en dessous dune 
température critique TC, qui
dépend du champ magnétique. Ces matériaux ont des propriétés magnétiques 
intéressantes : en régime
permanent, ils « expulsent » le champ magnétique. Dans le cadre médical, on 
utilise des
supraconducteurs durs, pour lesquels TC < 133 K pour B > 0,2 T.
88888888"" + 39*)
888"avec 9 % :(
La loi constitutive de certains supraconducteurs est 567!
Q40. Quelle est lunité de cette constante)9 ?
Q41. En supposant quon peut appliquer les équations de Maxwell du vide dans le 
matériau
supraconducteur de perméabilité µ0 et d!" #!$%&''&(&')" *0, exprimer léquation 
différentielle à
8888888888" en régime permanent (on rappelle que
laquelle obéit le champ magnétique *2;4
88888"
8888"4 + )=5>?
8888888888" 2?@AB<
8"C4 3 2D<
8")).
888888" 2567
888888"2<4
567
Q42. Faire apparaître dans léquation différentielle obtenue une grandeur 
homogène à une longueur
+,')!"-."
On considère quun supraconducteur de ce type occupe un demi-espace x < 0 et que 
les sources du
8888"- + *- 888".
EF La
champ sont telles que règne dans lespace extérieur un champ permanent uniforme)*
modélisation des distributions est volumique et nintroduit donc pas de 
discontinuités spatiales du
champ magnétique.
Q43. En utilisant les invariances du problème, montrer que le champ dans le 
supraconducteur sécrit
sous la forme 8888888888"
*2;4 + *G 2H4E888"G I *J 2H4E888"I)*
8888"
J
F 2H4E
F(
Q44. Expliciter le champ permanent régnant dans le supraconducteur.
Q45. En déduire la densité de courant volumique.
Q46. L,$/$!"/!"0$1+/!2$"/2"#1$1%3'$!"-"!4' de 5.108 m. Commenter.
Q47. Tracer, sans faire de calculs, lallure de Bz(r) dans une symétrie 
cylindrique où le supraconducteur
,552#!"6!"(,62%!"/72+"586&+/$!"5$!29"/7)#1&44!2$":;;"-<"/!"6,+02!2$"="'$34"0$1+/!"/!(1+'"4,+"
8888"- + *- E888"F dans lespace
rayon R, lui-%>%!"'$34"42#)$&!2$"?":;;"-."@+"42
intérieur au cylindre creux.
10/14
!

Partie III  La RMN pulsée
8888"L
III.1- Étude dans le référentiel tournant lié à K
On combine les deux montages précédents qui créent, dans la zone où est placé 
léchantillon, un champ
8888"- )=)*' 2OPQ)RSE888"G 3 QTU)RSE888"4
résultant : 88888888"
*MGN ) = 8888"
*' +)*
888"F .
J I *- E
On pose R' + !V *' et R- + !V *- .
Q48. Écrire léquation différentielle de lévolution du vecteur aimantation dans 
le référentiel R 0 du
laboratoire en négligeant les phénomènes de relaxation.
8888"' )est un champ statique.
On appelle R1 le référentiel « tournant » dans lequel le champ *
8888"' /*' et 88888"
La base orthonormée liée au référentiel tournant est caractérisée par 88888"
EG' + *
EF' + E888".
F
On rappelle la formule de dérivation dun vecteur 888"
W))avec changement de référentiel :
88"
YW
Z
YS #

X

88"
YW

:

+ X YS Z

#[

888"
I )R
8888888888888"
\] ^\/ _ W(

8888888888888"
Q49. Caractériser complétement le vecteur rotation R
\] ^\/ du référentiel tournant R1 par rapport au
référentiel R0.
888") dans le référentiel
Q50. Écrire léquation différentielle de lévolution du vecteur aimantation ;
tournant R1 en négligeant toujours les phénomènes de relaxation.
Q51. Montrer que, dans ce référentiel R1, on peut écrire léquation du mouvement 
sous la forme
8888"
Y;
YS

888" _ )*
8888888"
8888888"
+ )!` 2;
Maa ) où le champ magnétique « efficace » *Maa est un champ statique dont on
888"(
donnera lexpression en fonction de !` b Rb R' b R- b E88888")ES)E
F
G'
8888888"
Q52. Faire un dessin de représentation du vecteur *
avec
ses
composantes dans R1.
Maa
Q53. Décrire le mouvement de laimantation dans ce référentiel tournant.
Considérons une aimantation qui, à linstant 0, correspond à léquilibre 
thermique en présence du champ
intense 8888"
*- .
8888"' .
Q54. Décrire ce quil se passe dans le référentiel R1 si on applique un faible 
champ tournant *
Q55. Comparer la direction de laimantation dans le cas cR + dR 3 R- d e dR' d 
et dans le cas où, au
contraire, la pulsation est voisine de R- donc cR + dR 3 R- d f dR' d.
Q56. Pourquoi parle-t-on de résonance quand R)+ R- ?
On travaille à la résonance R + R- .
Q57. Quelle est la direction du champ efficace à la résonance ?
Q58. Préciser, toujours dans R1, avec quelle vitesse angulaire laimantation 
précesse autour de ce
champ.
Q59. Pourquoi ne tient-on pas compte du second champ tournant introduit à la 
question Q36 (page 9) ?
Q60. En réalité, pour le champ intense permanent, on narrive pas à obtenir un 
champ homogène mais
un champ qui dépend un peu de la position sur laxe : 8*" + *- g2h4E888"(
F Pourquoi dans ces conditionslà, faut-il que le signal radiofréquence ne soit 
pas rigoureusement monochromatique ?
Dans la suite, on néglige le caractère non uniforme du champ permanent 8888"
*- et on se place toujours à la
résonance R + R- .
À partir dune situation initiale, dans laquelle le système est en équilibre 
stable sous leffet du champ
permanent 8888"
*- , on applique le champ 88888"
*i' à un instant choisi comme origine t = 0. On se propose ensuite
de supprimer le champ 88888"
*i' )à linstant t = C.
11/14
!

Q61. À quels instants tp1 doit-on le supprimer pour obtenir une situation hors 
déquilibre avec une
aimantation orthogonale au champ ? Quelle !"#$ %&$ '()*!$ +1 la plus courte 
possible, pendant
laquelle on applique %%%%%%&
!"# $ pour obtenir ce résultat ?
Q62. À quels instants tq2 doit-on le faire pour obtenir une situation hors 
déquilibre avec une
aimantation retournée ,$-(!%%!$!"#$%&$'()*!$+2 la plus courte possible, pendant 
laquelle on applique
%%%%%%&
!"# $ pour obtenir le retournement ?
Il sagit alors de RMN pulsée. Dans le premier cas, comme à la question Q61, on 
parle dimpulsion à
90° et dans le deuxième cas, comme à la question Q62, on parle dimpulsion à 
180°.
On nobserve pas laimantation pendant la durée du « pulse », cest-à-dire entre 
lintroduction du champ
(tournant à la fréquence de résonance) %%%%%&
!"# et sa coupure. On observe, après le pulse, lévolution de
laimantation dans le plan xOy, cest-à-dire orthogonale au champ permanent %%%%&
!' .
Q63. Autour de quelle direction et avec quelle vitesse précesse laimantation 
après le pulse dans le
référentiel R1 ?
Q64. Comment évoluerait laimantation pour t > +i, si on ne tenait pas compte 
des phénomènes de
relaxation ?
Q65. En vous appuyant sur le document 1 (pages 6, 7 et 8), expliquer pourquoi, 
à partir de lévolution
après un pulse à 90°, on peut à priori remonter au temps T2.
Malheureusement, les inhomogénéités du champ magnétique et les interactions 
moléculaires perturbent
le déclin exponentiel de laimantation et ce nest pas le vrai temps de 
relaxation T2 mais un temps de
relaxation perturbé T2* auquel on remonterait à partir dun seul pulse à 90°.
Le signal, lié à laimantation transversale My, reçu par le système de détection 
est un signal sinusoïdal
amorti dont lenveloppe supérieure a un temps de relaxation T2*. On doit donc 
améliorer la façon de
procéder pour remonter au temps T2.
III.2- Écho de spin
On utilise des séquences à deux pulses successifs. Un pulse à 90° est suivi, 
après un temps
()> 3T2* >> +1, dun pulse à 180°, comme la figure 7 ci-dessous le représente :
séquence
Pulse à 180°
de durée 2+1
démarrant à
t=;

Pulse à 90°
de durée +1
démarrant
àt=0

temps
0

;
Figure 7  Écho de spin

Q66. Décrire les composantes de laimantation à linstant t = +1. Ce système 
est-il à léquilibre
thermique ?
Q67. 
./'01(!)$1(&%0#!3!/#$4533!/#$*25%(!/#$%6&03&/#/$#)&/"2!)"&%!$!#$%5/70#('0/&%!$'!$#$8$+1,
9("1(6:$#$8$;<$
Q68. Comment évolue My d!$#$8$+1, 9("1(6:$#$8$; ?
Q69. Comment évolue laimantation pour t > ; + =+1 ?
12/14
!

III.3- Bobines de détection
Nous supposerons quelles sont dans une configuration solénoïde infini de rayon 
R, daxe Oy cest-àdire perpendiculaire à la fois à laxe Ox du solénoïde de 
création du champ )))))%
!"# et à la direction Oz de
))))%& , comme indiqué sur la figure 8 ci-dessous.
!
La précession de laimantation autour de Oz crée une tension, qui dépend du 
temps, aux bornes du
circuit de ces bobines de détection.
Direction de ))))%
!&
z

y
Direction de )))))%
!# "

O

Axe des bobines
de détection

x
Figure 8  Positionnement des bobines de détection
Q70. Expliquer pourquoi il y a naissance dune force électromotrice induite dans 
ces bobines.
La détection du signal se fait par un détecteur à bas bruit, haut gain réel, 
qui est conçu pour amplifier la
force électromotrice radiofréquence induite aux bornes de la bobine de 
réception par la précession de
laimantation.
Q71. Parmi les propositions suivantes concernant le signal reçu entre #$8$+1 
!#$#$8$;> indiquer sur votre
copie, quelles sont celles qui sont exactes.
Numéro de proposition

PROPOSITION

1

le signal reçu est proportionnel à Mz(t)

2

le signal reçu est proportionnel à My(t)

3

le signal reçu est proportionnel à

4

le signal reçu est proportionnel à

*+,-./
*0
*+1-./
*0

5

le signal reçu est proportionnel au rayon R

6

le signal reçu est proportionnel au carré du rayon R2

7

le signal reçu est proportionnel au champ B0

8

%!$"07/&%$)!?($!"#$@)5@5)#05//!%$:$45"AB0 (t  +1))

9

le signal reçu est proportionnel à exp((t  +1)/T2*) "0/$AB0 (t  +1))

13/14
!

Lenveloppe Y(t) du signal reçu est la forme dessinée en trait pleins sur la 
figure 9 ci-dessous.

Y(t)
Droite tangente à la
courbe expérimentale Y(t)
E = Exponentielle passant par les deux maximas

Droite tangente à la courbe E

T*2

!"""""""""""""""""""""""""""""#2

temps

Figure 9  Enveloppe du signal reçu

Q72. Interpréter la forme de la courbe en traits pleins. Indiquer pourquoi on 
peut, à partir déchos de
spin, détecter léventuelle nature cancéreuse dun tissu.

FIN

14/14
!

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Amélie Gay (ENS Lyon) ; il a été relu par Tom Morel
(professeur en CPGE) et Louis Salkin (professeur en CPGE).
Ce problème porte sur le fonctionnement de la résonance magnétique nucléaire
(RMN). Les trois parties peuvent être traitées de façon relativement 
indépendante.
· La première partie s'intéresse au comportement d'une population de dipôles
dans un champ magnétique permanent. On étudie d'abord le mouvement de
précession d'un dipôle unique avant de généraliser ce résultat à un ensemble de
dipôles au moyen du vecteur aimantation. Cette partie fait appel à des notions
de cours sur les champs magnétiques et sur la thermodynamique statistique.
· La deuxième partie porte en premier lieu sur la création de champs magnétiques
tournants au moyen de solénoïdes. Cette étude nécessite d'être à l'aise avec la
magnétostatique. Dans un second temps, on étudie la création d'un champ
magnétique permanent intense grâce à un milieu supraconducteur. On résout
cette partie par analogie avec ce qui a été fait dans le cours sur la 
propagation
d'une onde électromagnétique dans un milieu conducteur.
· La dernière partie propose une approche de la RMN pulsée avec l'étude de
l'aimantation dans un référentiel tournant. Les méthodes de changement de
référentiel vues dans le cours de mécanique en référentiel non galiléen sont 
utiles
pour aborder cette partie qui laisse plus de place aux raisonnements physiques.
Ce sujet présente une difficulté croissante : il commence par des questions 
proches
du cours pour laisser progressivement place aux raisonnements physiques. Il 
donne
l'occasion de réviser quasiment tout le programme d'électromagnétisme.

Indications
Partie I
2 Une charge en mouvement crée un courant.
-

4 Définir un angle  entre -
µ et B .
0

13 Revenir à la définition de l'intensité dans un circuit.
17 Utiliser la formule de Planck-Einstein.

20 Dériver k-
µ k2 par rapport au temps. Projeter l'équation différentielle sur (Oz).
-
 
21 Montrer que l'angle entre B et-
µ se conserve.
0

23 Utiliser la question 10.
26 Effectuer une analyse dimensionnelle.
28 Regarder dans quelle direction l'aimantation rayonne de manière optimale.
Partie II
33 Utiliser le théorème d'Ampère sur un contour situé à l'intérieur et sur un 
contour
situé à l'extérieur du solénoïde.
-

36 Décomposer B1 sous la forme
-

-

B1 = B1 (cos t -
ex - sin t -
ey ) + B1 (cos t 
ex + sin t -
ey )
37 La densité volumique de courant est supposée uniforme sur une section de 
spire.
41 Le raisonnement est analogue à celui permettant d'établir l'équation 
différentielle
régissant le champ électrique dans un milieu conducteur.
44 Le champ magnétique ne diverge pas lorsque x  - ; de plus, comme il n'y a
pas de courant surfacique, il est continu en x = 0.
Partie III
-

49 Appliquer la formule de dérivation à B1 .
--
53 Beff est fixe dans le référentiel R1 .
-

-
56 Comparer la vitesse angulaire de B1 à la vitesse de précession de M.
61 Utiliser la question 55.
65 L'aimantation ne possède qu'une composante transverse après un pulse à 90 .
67 Observer l'influence de la relaxation.
-
71 Donner la composante de l'aimantation qui crée un champ suivant 
ey et utiliser
la question 70.

I. Comportement d'une population de
dipôles dans un champ magnétique
1 Le moment magnétique d'une spire de courant plane délimitant une surface S et

parcourue par un courant I est défini par -
µ = IS-
n , où -
n désigne le vecteur unitaire
normal au plan de la spire et dont le sens est donné par celui choisi pour le 
parcours
de l'intensité (règle du tire-bouchon). Avec les données du problème,
-

µ =  R2 I -
ez
2 Le mouvement d'une charge en rotation
autour d'un axe crée une boucle circulaire
de courant. Une sphère chargée en rotation
autour d'un axe passant par son centre peut
alors être considérée comme un empilement
de spires de courant. D'après la question 1,
la sphère est donc caractérisée par un moment magnétique qui est la somme des 
moments magnétiques associés à chaque spire.
Il est dirigé suivant l'axe de rotation de
la sphère. Son sens dépend de la charge
et du sens de rotation de la sphère.

z
-

µ
I
0

y

x

3 Cherchons l'équivalence en unités internationales de l'unité J.T-1 . Comme 
l'énergie cinétique s'écrit E = m v 2 /2,
J = kg.m2 .s-2
Z
 -
-

-

De plus la force de Laplace F = I d   B permet d'écrire
C

T = kg.A-1 .s-2
Ainsi

J.T-1 = A.m2

L'unité est donc cohérente avec celle de la question 1.
4 Les positions d'équilibre satisfont à l'équation
--

-
grad Epot = 0
-

Notons  l'angle entre le champ magnétique extérieur B0 et le moment magnétique -
µ,
-

Epot = --
µ · B0 = -µ B0 cos 
dEpot
= µ B0 sin 
d
On obtient alors les positions d'équilibre pour
et

=0

et

=

Le moment magnétique est en équilibre lorsqu'il est aligné avec le champ 
magnétique extérieur de manière parallèle ou antiparallèle. Les valeurs 
d'énergie potentielle
correspondantes sont

Epot,min = -µ B0

et

Epot,max = µ B0

La position  = 0 possède la plus petite énergie potentielle, c'est un équilibre
stable. L'autre position d'équilibre est instable.
5 D'après la question 4, la différence d'énergie entre les deux positions 
d'équilibre
s'écrit
Epot = 2 µp B0 = 2,8 · 10-26 J = 1,7 · 10-7 eV
1 eV correspond à l'énergie électrostatique (Eél = qV) gagnée lorsqu'une
unité de charge électrique e est déplacée entre deux points dont le potentiel
électrostatique diffère d'un volt.
6 Numériquement,
Par conséquent,

Eth = kT = 2,7 · 10-2 eV
Eth  Epot

L'énergie thermique suffit à faire passer le moment magnétique d'un noyau
d'hydrogène d'un état d'équilibre à un autre.
7 Comme Ecovalente  Epot et Eionisation  Epot , l'énergie apportée au système
par l'intermédiaire du champ magnétique extérieur ne risque pas d'endommager les
liaisons chimiques ni d'ioniser les molécules. La méthode apparaît alors sans 
risque
pour le corps humain.
8 Dans le cadre de la statistique de Boltzmann, la probabilité d'occuper un état
d'énergie E s'écrit

E
1
p(E) = exp -
Z
kT
avec Z un facteur de normalisation.
9 Écrivons les lois régissant les deux populations N+ et N- . Elles sont 
directement
proportionnelles à la loi de probabilité définie à la question 8 :

Epot,max
µp B 0
N+  exp -
= exp -
kT
kT

Epot,min
µp B 0
N-  exp -
= exp
kT
kT

N+
2µp B0
Finalement
= exp -
N-
kT
D'après la question 6, µp B0  kT. On peut alors effectuer un développement 
limité
de l'exponentielle à l'ordre 1 en µp B0 /kT :
N+
2 µp B 0
1-
N-
kT
10 D'après la question précédente, à l'équilibre thermique
N+ < N-
Cette relation est cohérente car N- est la population dans l'état de plus basse 
énergie.