CCP Physique MP 2016

Thème de l'épreuve Physique des ondes et particules associées
Principaux outils utilisés interférences à N ondes, physique quantique
Mots clefs choc, dispersion de Brillouin, puits de potentiel infini, phonon, spectromètre, intervalle spectral libre, interférences à N ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2016 MPPH008 !! ! !! !! ! EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! ! PHYSIQUE ! ! Vendredi 6 mai : 8 h - 12 h! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! ! N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de ! la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le ! signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives ! qu'il a été amené à prendre.! !! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" ! " ! ! ! !! !! !! ! Les calculatrices sont autorisées ! !! ! !! ! Les trois parties du sujet peuvent être traitées de manière indépendante les unes des autres, même ! sil y a entre elles un fil conducteur. A lintérieur de chaque partie, de nombreuses questions sont ! aussi indépendantes les unes des autres. Le candidat peut utiliser une formule donnée dans lénoncé, ! sans lavoir démontrée, pour résoudre la suite du problème. ! ! ! Des réponses claires, précises, exposées avec rigueur, des formulations homogènes et des ! !""#$%!&$'()* (+,-.$/+0)* )+$1$0)* 23+(0* +($&-* 0&* %',"'.&!(&* #0* 4'(* (',4.0* 20* %5$66.0)* )$7($6$%!&$6)* ! sont attendues. !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/8 ! Physique des ondes et particules associées ! Dans ce problème, nous étudierons quelques propriétés dondes en utilisant des fonctions dondes mais aussi quelques propriétés des corpuscules associés comme les photons, les phonons et les électrons. Nous étudierons en particulier deux types de cavité : un interféromètre et un puits quantique. Données ou formules nécessaires : - constante de Planck h = 6,6.10-34 J.s (on note!!!la quantité h/2"#= 1,05.10-34 J.s)# constante de Boltzmann kB = 1,4.10-23 J.K-1 nombre dAvogadro NA = 6,0.1023 mol-1 vitesse de la lumière dans le vide c = 3,0.108 m.s-1 charge élémentaire e = 1,6.10-19 C masse de lélectron me = 9,1.10-31 kg gammes de longueurs d'onde $ du spectre électromagnétique des différents rayonnements : # %! ! < 10 pm X UV 10 pm < $#< 100 nm# visible 100 nm < $#< 380 nm! ! / IR 780 nm < $#< 1 mm# radio 1 mm < $! / - intégration par parties &. '( )* + ,'( *-/. 0 &. *( )' - formules trigonométriques 6 6 9 3789 5 123 5 ! I.!Dualité onde-corpuscule Ondes électromagnétiques @A dune onde! I.1. Rappeler quels sont les liens entre la pulsation! !" #$" %#" &#'$#()" *+,-*#" ? électromagnétique et les caractéristiques de la particule associée, le photon. I.2. Quels sont les ordres de grandeur de lénergie, exprimée en eV, dun photon visible et dun photon X qui est diffracté par les réseaux cristallins ? I.3. Pour un photon qui se propage dans un milieu dindice n, justifier pourquoi sa quantité de CD mouvement (impulsion) vaut en norme!B + E .!! F ! Ondes de matière I.4. Donner le vecteur donde et la pulsation de londe associée à une particule non relativiste HI dénergie E et de quantité de mouvement!BA + G HJ !=@@@A.! I I.5. I.5.a. Etablir la longueur donde associée à un électron, initialement immobile, non relativiste, accéléré avec une différence de potentiel U. I.5.b. Déterminer la valeur de U, pour laquelle on obtiendrait la même longueur donde que celle dun photon X de $#= 0,1 nm.!! 2/8 I.6. Un électron, qui assure la conduction métallique, doit-il être considéré comme quantique ? On considère que le réseau cristallin est caractérisé par un paramètre de maille a de lordre de 10-10m et que les électrons libres ont une vitesse due à lagitation thermique. On se placera à 300 K. I.7. Pouvez-vous citer les noms de 3 physiciens qui se sont illustrés par leur contribution en physique quantique ? Placer leurs travaux par ordre chronologique. Diffusion Brillouin I.8. Une onde sonore monochromatique se décrit, comme toute onde, au moyen *+(-#".(%/0$1,-"!" @A .!On lui associe une particule appelée phonon. et dun vecteur donde ? @@@A du phonon associé à une onde acoustique de I.8.a. Donner la quantité de mouvement K# M @A + L* 2)34(#-'#" 56" qui se propage dans leau avec une célérité! L @A + N * @A,! * @A! étant le vecteur unitaire de la direction de propagation orienté dans le sens de la propagation. I.8.b. Donner lénergie ep de ce phonon. I.8.c. Evaluer numériquement!q =#O KA O!et ep (en eV), pour une fréquence sonore de 1,0 kHz et une vitesse de propagation V = 1,5 km.s-1. I.8.d. Comparer les caractéristiques de ce phonon avec celles dun photon du domaine visible. I.9. La diffusion Brillouin correspond à un choc entre une particule photon incident et une particule phonon avec annihilation du phonon et diffusion dun photon émergent. On suppose que le système est un système isolé. La situation des vecteurs quantités de mouvement avant et après le choc est représentée par les vecteurs de la figure 1 (a). Justifier pourquoi la quantité de mouvement se conserve dans un système isolé. Quelle autre grandeur est conservative ? Phonon incident Phonon émis !! !! Photon incident Photon incident Photon diffusé Photon diffusé (b) (a) Figure 1 - Vecteurs quantités de mouvement annihilation (a) ou création (b) !"#$%&'($($ à partir d'un photon incident I.10. On considère un phonon associé 7"%+,-*#"/,-,)#6"#-8#-*)3# *0-/"%+#0("%14(1*#6 qui se propage avec une célérité V = 1 525 m.s-1, à 50 °C9" :+1-*1'#" ,.$14(#" *#" %+#0(" &0($" ;6<<9" =-#" /,()'#" *#" %(>1?)#"%0/#)6"*#"%,-8(#()"*+,-*#!PQCR# + STUV#WG#et de fréquence!XQCR ,!arrive sur une cuve remplie deau liquide juste saturante. La collision photon-phonon engendre un photon de longueur donde! PYZ !(fréquence!XYZ ). 3/8 On observe le faisceau lumineux transmis dans la direction qui fait un angle !"avec la direction du faisceau incident. Dans ce choc, le phonon de quantité de mouvement initiale"!""disparait. On peut établir, à partir des lois de conservation précédemment citées et en tenant compte des ordres de grandeur, que la quantité de mouvement du phonon vaut : . %& +,- //0 !#$ $ '()* I.10.a. En déduire le décalage en fréquence du photon"12 3 4 2 3 56 7 2()* "en fonction de"8inc#" n, V"et"!." I.10.b. Evaluer numériquement le décalage Brillouin dans la direction" !" = 90°, pour leau saturante à 50 °C, sous les deux formes suivantes : i) absolu en fréquence/12 3 ";" ii) relatif en longueur donde /1'3 9'()* ." I.10.c. La résolution dun spectromètre à réseau vous semble-t-elle suffisante pour déceler ce décalage ? II. Interférométrie à fort pouvoir de résolution" On utilise un système optique constitué de deux miroirs plans parallèles, semi-réfléchissants de pouvoir de réflexion très élevé, distants de d, séparés par de lair dindice égal à 1. On éclaire ce système par un faisceau de lumière parallèle comportant éventuellement plusieurs raies monochromatiques. Etude en incidence normale La situation est représentée sur la figure 2. Les rayons réfléchis et réfractés ont été décalés par souci de lisibilité. Rayon incident miroir ""!"""""" %" Rayons réfléchis miroir Rayons émergents etc. Figure 2 - Interféromètre en incidence normale II.1. Etablir la différence de marche" $L, en incidence normale, entre deux rayons émergents successifs. II.2. Dans les interférences à N ondes (comme dans un réseau par exemple), quelle est la condition à respecter pour obtenir des interférences constructives ? 4/8 II.3. Que vaut lordre dinterférence pour une composante de longueur donde" 8/ du faisceau incident ? II.4. On fait varier la distance d (sur des distances de lordre du µm, alors que d est de lordre du cm). II.4.a. Pour quelles valeurs de d = dp, obtient-on des interférences constructives pour une longueur donde 8/ donnée ? En supposant que lintensité est très faible pour des valeurs différentes des dp, tracer lallure de lintensité reçue en fonction de d, pour une onde incidente monochromatique de longueur donde"8. II.4.b. Que vaut &" la plus petite variation de d entre deux maxima dintensité pour une longueur donde donnée ? " " Application à la diffusion Brillouin Le faisceau qui arrive sur linterféromètre est celui qui sort de la cuve à eau pour !"= 90°. Il a trois + ! ! + ! composantes dans son spectre" ! ," 8inc" et" ! / telles que/ ! '" 8inc" '" ! . La longueur donde/ ! correspond à la création dun phonon au lieu de lannihilation (figure 1 b, page 3). II.5. Préciser quel est le spectre en fréquence correspondant (on citera les fréquences en ordre croissant). II.6. On règle au préalable la distance d à une valeur d0 qui correspond au pic dintensité dordre p pour"8(nc. Quel est le lien entre p et d0 ?" II.7. On déplace le miroir mobile autour de d0. II.7.a. Quelles sont les valeurs de d = d0 ± &" qui correspondent pour cette même longueur donde aux ordres p + 1 et p 1 ? II.7.b. Quelles sont les valeurs de d = d0 ± )"qui correspondent aux pics dordre p des 2 autres composantes du spectre ? = ? II.7.c. Montrer que la quantité : 4 ;12 3 < > /, appelée intervalle spectral libre, vaut : 4 $@ ." A Peut-on travailler si !2 3 B C//? Comment doit-on choisir d0 ? La valeur de 1,25 cm convientelle ?"" II.7.d. Tracer lallure de lintensité en fonction de d dans le domaine centré autour de d0 et de largeur 2 "#$ %&$ '())*'+,-$ ./0&1+&'012$ 3+'$ )04'$ 5,0..*(0&$ .267,+8+&1$ '()2,0+(,+$ -(9$ -(1,+'# Ecrire sur chaque pic représenté, à quel ordre et à quelle fréquence il correspond. II.8. %&$(10.0'+$(&$0&1+,:2,*871,+$3*&1$./0&tervalle spectral libre vaut Z = 15 GHz. On réalise une première expérience de diffusion Brillouin avec de leau liquide à 50 °C dans les conditions de saturation et une seconde expérience avec de leau liquide dans un état « métastable » à 50 °C. Les résultats de la première expérience sont donnés dans le tableau 1 (page 6) : la valeur est celle du facteur de transmission G (rapport de lintensité à une intensité de référence) pour les pics successifs dans lintervalle spectral libre. En dehors de ces pics très étroits, la valeur de G est assimilée à 0. Pour chaque pic est indiqué le décalage spectral en fréquence. 5/8 G = (I/Iref) Décalage en fréquence en GHz Ordre Fréquence ! 0,89 0,0 ? ? 0,99 5,4 ? ? 0,99 9,6 ? ? 0,89 15,0 ? ? 0,99 21,4 ? ? 0,99 25 ,6 ? ? 0 ,89 30,0 ? ? Tableau 1 - Résultats de la première expérience ! II.8.a. Pour chaque pic de lexpérience 1, indiquer, en complétant le tableau, lordre et la fréquence en util!"#$%&'("&$)%#%!)$"&*(&'+,$)$-,&.inc/&.+ (%&.-. II.8.b. Sachant que le nouveau décalage Brillouin! !.+! vaut 4,8 GHz dans lexpérience 2, déterminer la vitesse du son dans leau métastable. !"#$"%&'()'&*+",#-%".'()',/%.-)&0*&"12-&)' Dans cette sous-partie, nous allons essayer de comprendre pourquoi linterféromètre a un excellent pouvoir de résolution comme spectromètre. II.9. On suppose que le dispositif précédemment décrit est éclairé par une onde plane de longueur donde!!", sous u$(&!$-!*($-(&0&1#!2'(3&4#&"!%5#%!)$&("%&6(76,"($%,(&figure 3.!! ! On a noté quelques amplitudes pour quil ny ait pas dambiguïté sur la notation a ! 0 a0 b d rb Ra Etc. a Figure 3 - Interféromètre en incidence oblique ! 6/8 II.9.a. Etablir la différence de marche entre deux rayons transmis successifs. $%&'()*+,& II.9.b. On appelle " # $ ,-*,.&-/& le coefficient de réflexion de lamplitude de londe lumineuse quand elle se réfléchit sur les miroirs à lintérieur de la cavité. On note R = r2 qui a une valeur quantité proche de 1 mais évidemment inférieure. Comment sécrit lamplitude du énième rayon transmis si on nomme a lamplitude de londe émergente sur le premier rayon transmis quand elle sort du miroir inférieur ? On lexprimera avec a, R et 8 # 09123 45678#! ! II.9.c. Poser la formule qui permettrait de calculer lamplitude totale de londe dans la direction!", en tenant compte des interférences de!!! ! !ondes transmises. On rappelle que la somme des termes dune progression géométrique se calcule avec la formule :!! ! =AB ; 9;<= C1>? @ :C#! ;<3 : # >? @ : GH MO IB On en déduit que le facteur de transmission vaut G!:0/&d) =DE? F >BIHCJD 7KLM N P 45678RS !.!! Q II.9.d. Quelle sera la forme des figures dinterférences observées dans le plan focal dune lentille convergente placée parallèlement aux miroirs ? ! II.9.e. A quelles valeurs de!8!correspondent les pics dintensité ? II.9.f. Pour la suite du problème, on observe dans la direction! #! = 0. Que devient la fonctionDT>UV 4C dans le cas où R est très grand, cest-à-dire R = 1 !" avec " très petit devant 1 ? P II.10. On suppose que d = d0 = pD MQ !avec p entier. On veut donner une évaluation de la largeur des 7!-"3& ;)<<(& '+!$%($"!%,& $+("%& =#<#!"& $5''(/& )$& >#& 76($*6(& "#& '#6?(56& @& UV 4C >D?1X . II.10.a. Quand avez-vous déjà utilisé ce genre de point de vue dans un autre domaine de la physique ? II.10.b. Quelle est la valeur de p si on a écarté le miroir de droite à partir de la distance d0 = 1,2615 cm entre les deux miroirs ? II.10.c. Calculer W4!en fonction de!".!! ! II.10.d. On considère quon peut distinguer 2 pics correspondant à 2 longueurs donde voisines B!et B!$!!B, si le déplacement de d, qui fait passer dun pic à lautre au même ordre p, est supérieur à!!B"#. En déduire quel est le plus petit écart de longueur donde détectable!!BD en fonction de!", p et!B".!! ! II.10.e. Justifier lhypothèse de la question II.4.a (page 5). II.11. On travaille avec des parois métallisées de telle façon que R = 0,95. Déterminer!!d,!!B/DB"Det la valeur minimale Gmin du facteur de transmission.D Conclure quant à lobservation du décalage Brillouin de leau saturante à 50 °C dans lexpérience décrite précédemment. II.12. Retrouver rapidement lexpression des modes propres dune onde stationnaire dans la cavité. Quel résultat précèdent retrouve-t-on ? 7/8 III. Particule encagée dans un puits de potentiel infini Nous allons étudier dans cette partie une particule, autre que le photon dans une cavité, dans le cadre de la mécanique quantique. Cette particule de masse m se déplace sur laxe des x dans un potentiel !"#$%tel que !"#$ & '%pour a > x > ! a et!!"#$ ( )!pour x > a et x < ! a avec a > 0. On note !"x#!une fonction donde stationnaire de la particule et E son énergie associée. On pose!* & +,-./01 !. !"#$%&'()*+,$-."$ III.1. Rappeler léquation de Schrödinger. III.2. Justifier que pour les domaines x < ! a et x > a, la seule solution possible est! !"x#! $! %. Commenter. III.3. A partir de la recherche des solutions de léquation de Schrödinger, déterminer les valeurs des niveaux dénergie E dans le domaine ! a < x < a. Commenter. III.4. Exprimer les fonctions donde. Commenter. III.5. Représenter la fonction donde pour les deux premiers niveaux. III.6. En appliquant linégalité dHeisenberg, justifier que lénergie ne peut pas être nulle. III.7. Comparer à la situation classique dune particule dans une cuvette de potentiel. /%-%01+-"21"3&$2()$(4*+tat fondamental dans le puits infini III.8. Que vaut la valeur moyenne!2#3%de la position de la particule dans létat fondamental ? III.10. Quel est lordre de grandeur de lécart-type en impulsion ? Est-ce en accord avec lordre de grandeur de lénergie du niveau fondamental ? ! Fin de l'énoncé! ! ! ! ! ! 8/8 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E ­ 16 1216 ­ D'après documents fournis III.9. Le calcul de la valeur moyenne de la distance au centre du puits!+2# 1 3!conduit à : +2# 1 3%$%4/567! En déduire lécart-type de position. !

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) et Julien Dumont (Professeur en CPGE). Ce sujet, composé de trois parties quasiment indépendantes, traite des ondes et de leur détection. · La première partie est consacrée à la dualité onde-corpuscule. Après un rappel de plusieurs formules proches du cours, le sujet étudie la diffusion Brillouin, c'est-à-dire le choc entre un photon et un phonon. Cette partie repose sur le cours de mécanique quantique de première année. · L'interféromètre de Fabry-Pérot est étudié dans la deuxième partie. On s'intéresse tout d'abord aux conditions d'interférence pour une onde en incidence normale. Puis on calcule la différence de marche pour une onde avec une incidence faible. Finalement, on trouve les conditions pour détecter deux ondes de longueurs d'onde très proches. L'énoncé s'appuie sur des notions d'interférences à N ondes. · Enfin, la troisième partie concerne le confinement d'une particule quantique dans un puits de potentiel infini. On utilise des raisonnements de mécanique quantique de seconde année. Notons que cette partie est mal calibrée car le calcul des fonctions d'onde est beaucoup plus difficile que ce qui est fait en cours en seconde année. De plus, la première question est hors programme et bloquante, puisqu'on a besoin de l'équation pour répondre à peu près à toute la suite. De longueur raisonnable, ce sujet alterne des questions très proches du cours et d'autres plus difficiles. Certaines questions sont très mal posées, aucun résultat intermédiaire n'est fourni et beaucoup de questions sont redondantes. De quoi déstabiliser bien des candidats ! Indications I.5.a Utiliser le théorème de l'énergie cinétique Ec = eU. 1 3 I.6 L'énergie cinétique pour un électron libre s'écrit m v 2 = kB T. 2 2 I.10.c Utiliser par exemple l'ordre de grandeur entre les deux raies jaunes du sodium qui ne sont pas séparées par un spectromètre en TP. II.9.a On pourra s'inspirer de la démonstration de la différence de marche pour l'interféromètre de Michelson configuré en lame d'air. II.9.b L'amplitude du deuxième rayon émergent s'écrit a2 = r2 a e i . II.10.c Le facteur de transmission est minimal lorsque sin2 (d/0 ) = 2 /4. On procède ensuite à un développement limité car 1. III.1 Cette question est hors programme. L'équation de Schrödinger est E (x) = - ~2 d2 + U(x) (x) 2m dx2 III.3 Écrire les solutions sous la forme (x) = A e ikx + B e -ikx . III.4 Utiliser la condition de normalisation de la fonction d'onde Z a |n (x)|2 dx = 1 -a III.8 Par définition, la valeur moyenne s'écrit hxi = Z a -a x |n (x)|2 dx. Physique des ondes et particules associées I. Dualité onde-corpuscule I.1 D'après les formules respectives de De Broglie et Planck-Einstein : - - p =~ k et E = ~ avec - p la quantité de mouvement et E l'énergie du photon. I.2 La formule de Planck-Einstein peut s'écrire E = hc/. Considérons une onde dans le visible de longueur d'onde = 600 nm. Il vient Evisible = 3,3 · 10-19 J = 2,1 eV Dans le domaine des rayons X, prenons = 10-10 m. L'énergie vaut EX = 2 · 10-15 J = 104 eV I.3 La longueur d'onde n d'un photon dans un milieu d'indice n s'écrit n = k- p k = ~k D'après la formule de De Broglie, Avec k = 0 n 2 n = h n p= nh 0 I.4 Pour une onde de matière, on a de même - - p k = ~ et = E ~ I.5.a L'énergie cinétique est donnée par Ec = p2 /2me et l'énergie potentielle d'un électron soumis à un potentiel électrique V vaut Ep = -eV. Ainsi, la conservation de l'énergie mécanique impose entre les états initial (noté i) et final (f) Ec,f + Ep,f = Ec,i + Ep,i c'est-à-dire Or U = Vf - Vi , donc Avec p = h , p2 + (-e) Vf = 0 + (-e) Vi 2me p = 2me e U h = 2me e U I.5.b D'après la question précédente, avec = 10-10 m, U= h2 = 150 V 2me e 2 I.6 Comparons la longueur d'onde de De Broglie dB au paramètre de maille a. La vitesse quadratique moyenne des électrons à T = 300 K, avec Ec = 3kB T/2, s'écrit r 3kB T v= me h h h Comme p = me v = , dB = = dB me v 3me kB T 6,6 · 10-34 = p 3 × 9,1 · 10-31 × 1,4 · 10-23 × 300 = 6,2 nm On remarque que dB a, c'est-à-dire que l'étalement du paquet d'onde de l'électron, caractérisé par dB , est très grand devant le paramètre de maille. L'électron doit être traité quantiquement à T = 300 K. I.7 Par ordre chronologique, on peut citer par exemple : · Bohr et son modèle de l'atome qui a permis d'expliquer les spectres de raies des vapeurs atomiques (1910) ; · Schrödinger et son équation d'évolution d'un système quantique (1920) ; · Heisenberg et sa relation d'incertitude (1930). I.8.a Appliquons la formule de De Broglie, - - q =~k - Un phonon se propage à la célérité V = /k - u . Avec = 2, on arrive à h - - q = u V I.8.b La formule de Planck-Einstein est toujours valable. Par conséquent, ep = h I.8.c L'application numérique conduit à : q = 4,4 · 10-34 kg.m.s-1 et ep = 4,1 · 10-12 eV I.8.d Pour un photon dans le visible avec = 600 nm, h = 1,1 · 10-27 kg.m.s-1 Avec le résultat de la question I.2, la quantité de mouvement et l'énergie du phonon sont très faibles devant celles d'un photon dans le visible. I.9 Un système isolé n'est soumis à aucune force extérieure. Par conséquent, le principe fondamental de la dynamique appliqué au barycentre du système isolé s'écrit X-- - d- p- tot - - te = Fext = 0 soit p- tot = C dt p= La quantité de mouvement d'un système isolé se conserve. De même, l'énergie du système se conserve pour ce type de système. Le moment cinétique d'un système isolé est aussi conservé.