CCP Physique MP 2015

Thème de l'épreuve Une autre voie vers la fusion thermonucléaire. Mesure de l'épaisseur et de l'indice d'une lame.
Principaux outils utilisés optique, électromagnétisme, électrocinétique
Mots clefs fusion, câble coaxial, induction, circuit RL, indice optique, lame de verre, spectre cannelé, viseur à frontale fixe, lunette afocale, miroir

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2015 MPPH008 _:â=_ CONCOURS COMMUNS - - POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE Durée : 4 heures N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont interdites Les applications numériques seront réalisées de manière approchée, avec un nombre de chiffres significatifs appropriés. PROBLEME I Données 1 _ Fm1 Permittivité diélectrique du vide : 80 =--9 . 367: 10 Perméabilité magnétique du vide : po =47z 10*7 H.m_1 Pour les calculs numériques, on donne les valeurs approchées : ln1,130,13 ln351,1 ln7,12 2,0 ln4033,7. Ce problème se divise en quatre parties : la première partie définit l'inductance dans une configuration coaxiale ; la deuxième partie est une étude de documents présentés en annexes sur les puissances pulsées ; la troisième partie s'intéresse au flux magnétique ; la quatrième partie concerne l'optimisation du dispositif de compression de flux. Les trois premières sont totalement indépendantes. La résolution de la quatrième partie nécessite les résultats de la première partie. Une autre voie vers la fusion thermonucléaire : les Z machines Première partie - Inductance dans une configuration coaxiale _» Dans un repère cartésien (O,êx,e ,êz), un câble coaxial, considéré comme infiniment long et Y placé dans un milieu de perméabilité magnétique ,UO, est formé de deux armatures cylindriques de 1/15 @ même axe z'z (figure 1). L'armature intérieure (l'âme) est un cylindre creux de rayon et ; l'armature extérieure (la gaine) est un cylindre creux de rayon b. Le courant continu d'intensité ] qui circule dans l'âme dans le sens de êZ revient avec la même intensité dans la gaine selon --ê z ; ce câble constitue ainsi un circuit fermé. A un point M de l'espace, on associera les coordonnées cylindriques ( p,$,z) et la base orthonormée directe cylindrique OEcyl = (5 p , ê@ , ëz) . I.1.a) I.1 .b) I.1.c) 1.2.a) 1.2.b) 1.2.0) 1.2.d) Exploiter les symétries et les invariances de la distribution de courant pour déterminer l'orientation du champ magnétostatique Ë(M) créé par ce câble ainsi que les variables dont il peut dépendre en un point M quelconque de l'espace. Donner la valeur de Ë(M) pour un point M intérieur à l'âme ( p< a) ou extérieur à la gaine (19 < p) . Justifier. Dans la base OEcyl , exprimer le champ magnétostatique Ë(M) créé par ce câble en tout point M situé àla distance ,0 (a< p>, Ecole Polytechnique, décembre 2003. Introduction (de la thèse) Les premières expériences en électromagnétisme ont montré qu'un courant électrique circulant dans un milieu conducteur était capable d'engendrer des forces importantes sur celui--ci. Le courant induit un champ magnétique qui se couple avec lui pour créer des forces dites de Lorentz. Une application bien connue de ce phénomène est le moteur électrique, dont plus personne ne s'étonne du fonctionnement. Si maintenant le milieu conducteur a une structure cylindrique, les forces de Lorentz sont dirigées vers l'axe du cylindre et tendent à l'écraser sur lui--même : on parle alors de striction magnétique. Si de plus le courant est une impulsion très intense (des millions de fois le courant circulant dans un moteur) et très courte (cent mille fois plus rapide que pour un moteur), il est alors capable de faire passer la matière conductrice du cylindre dans un état qui n'existe normalement qu'au coeur des étoiles, le plasma. Les forces de Lorentz implosent ce plasma sur lui--même et lui communiquent une importante énergie cinétique. Quand la matière arrive sur l'axe de révolution du cylindre, elle ne peut plus continuer sa course : l'énergie cinétique est violemment transformée en énergie interne et la matière n'a plus d'autres voies pour se débarrasser de cette grande quantité d'énergie que de la rayonner. Les plasmas de striction magnétique sont ainsi d'excellentes sources de rayonnement X, convertissant l'énergie électrique rayonnée avec de bons rendements (10 %). Le rayonnement X obtenu peut être conditionné dans une petite cavité pour lui conférer des propriétés d'équilibre (isotropie et spectre planckien) : cette transformation s'appelle la densification d'énergie radiative. Cette densification n'a été réalisée expérimentalement qu'avec des générateurs dont le temps de montée du courant est de cent milliardième de seconde. La détermination des dimensions de la cavité et du plasma à utiliser pour la chauffer demande la compréhension d'un certain nombre de phénomènes physiques et des techniques de calcul associées, présentés dans ce mémoire. D'où le titre de la thèse : conception de cavités radiatives chauffées par plasmas de striction magnétique en régime 100 ns. 6/15 Figure la) Figure l.b) (©Sandia National Labs) Figures 1 a) : phase d'implosion (les flèches représentent le mouvement du fluide en écoulement centripète) b) : phase de stagnation (les flèches représentent le rayonnement final). Plasma de striction magnétique et Z-pinch Il est important de bien différencier les phases d'implosion, avec mouvement vers le coeur, et de stagnation sur l'axe, avec formation d'une colonne de plasma. Dans la phase d'implosion, le plasma est essentiellement un fluide en écoulement centripète. Dans la phase de stagnation, le plasma est turbulent et la description fluide ne suffit plus. Ce travail de thèse a porté essentiellement sur la phase d'implosion et les moyens de contrôler son écoulement pour améliorer le rayonnement final. La dénomination "plasma de striction magnétique" ne désignera dans tout ce qui suit que la phase d'implosion ; c'est la traduction de l'anglais "liner", correspondant à une coquille mince se déplaçant sur une grande distance par rapport à son épaisseur. Le terme de pinch, expression anglaise consacrée, issue des études sur la fusion par confinement magnétique, devrait être exclusivement utilisé pour désigner le plasma dans la phase de stagnation, lorsqu'il est confiné sur l'axe par le champ magnétique. C'est cependant un abus de langage répandu dans la communauté scientifique de désigner par le terme de pinch le plasma à tous les stades de l'expérience. On parle également de Z--pinch pour signifier que le courant circule selon l'axe de la colonne de plasma, par opposition au (S'-pinch pour lequel il circule azimutalement (49 et z sont des dénominations habituelles de deux des coordonnées cylindriques). 7/15 Annexe 2 Extrait de la thèse de Mathias BAVAY << Compression de flux magnétique dans le régime sub-microseconde pour l'obtention de hautes pressions et de rayonnement X intense >>, Université Paris XI, Orsay, juillet 2002. Présentation et historique On appelle hautes puissances pulsées l'ensemble des technologies consistant à compresser temporellement et spatialement l'énergie électrique provenant d'une source lente (quelques fractions de secondes à quelques secondes) en des impulsions très denses et très brèves, donc de très forte puissance. Le but de ces technologies est de fournir une très forte puissance électrique à une charge1 sous forme impulsionnelle (afin que l'énergie associée à cette puissance reste suffisamment faible). Ainsi, si l'on dispose par exemple d'une énergie de 1 ] , on peut délivrer les puissances suivantes (dans le cas idéal pour lequel il n'y a pas de pertes lors de la compression temporelle) : . 1 W si l'énergie est délivrée en 1 s ; . 1 GW si l'énergie est délivrée en 1 ns ; . 1 PW si l'énergie est délivrée en 1 fs ; le record de la puissance rayonne'e sous forme X - c'est à dire dégagée par la charge - atteint avec l'aide des HPP est à ce jour de 300 TW. L'histoire de cette discipline remonte au premier générateur d'impulsions développé par ERWIN MARX en Allemagne en 1923. Par la suite, divers schémas sont explorés, tels que par exemple le stockage inductif dès les années 50, et l'utilisation des hautes puissances pulsées pour l'accélération plasma dans le but de générer de hautes températures, ceci étant perçu comme un moyen d'accéder aux conditions de la fusion thermonucléaire contrôlée (années 50 toujours). Il faut signaler les nombreux développements réalisés par ] . C. MARTIN à cette époque, à l'Atomic Weapons Research Establishment en Angleterre. Des travaux sur les générateurs magnéto-explosifs débutent dès le début des années 60. Ces générateurs sont ensuite largement utilisés pour des études de matériaux (génération de fortes pressions) et pour la génération de rayonnement, tout en voyant leur énergie augmenter. Afin de mieux adapter (électriquement parlant) la charge radiative au générateur, des essais de cages de fils en lieu et place du fil unique précédemment utilisé sont réalisés sur le générateur OWL Il en 1976. Au lieu d'un transfert d'énergie générateur/plasma voisin de 30 % précédemment observé, c'est un transfert voisin de 100 % qui est constaté. Des études au cours des années 80--90 montrent qu'il faut un espace entre fils suffisamment réduit pour atteindre un optimum, avant de déboucher en 1997 sur le concept de double cage de fils : les deux cages sont imbriquées l'une dans l'autre. Aujourd'hui, nous arrivons au bout des performances de la génération des machines actuelles (classe quelques M] d'énergie stockée). De nouveaux développements voient donc le jour afin de concevoir un-à--un les éléments de la génération suivante de générateurs (classe 100 M] d'énergie stockée). quelle que soit cette charge, a condition simplement que son impédance soit compatible avec le système de hautes puissances pulsées utilisé. 8/15 Annexe 3 Extrait de la thèse de Dominique HUET << Mise en oeuvre, modélisation et comparaison de trois systèmes d'amplification de puissance sous vide utilisant des plasmas de striction magnétique >>, Ecole Polytechnique, juillet 2004. Principes et application des hautes puissances pulsées Le principe de fonctionnement d'une machine de hautes puissances pulsées (HPP) est de stocker de l'énergie électrique en régime quasi statique dans des condensateurs ou des machines tournantes. Cette énergie est ensuite restituée dans un temps très bref à une charge, directement ou par le biais de systèmes intermédiaires dont la fonction est de compresser, dans le temps, le transfert de l'énergie afin d'augmenter la puissance : ce ou ces systèmes intermédiaires forment l'amplification de puissance. Le nombre de ces systèmes intermédiaires sera d'autant moins élevé que le générateur sera rapide. Ceci est important car l'énergie perdue est proportionnelle au nombre de systèmes intermédiaires. On parlera de machine à stockage capacitif lorsque l'énergie est transmise, majoritairement, sous forme de tension, et de machine à stockage inductif lorsque l'énergie est transmise, majoritairement, sous forme de courant (hybride lorsque les deux modes coexistent). Le choix d'un type de machine est très dépendant du type de charge et donc de l'application que l'on souhaite mettre en oeuvre. Pour fixer les idées, le tableau suivant récapitule les plages de variation des grandeurs physiques rencontrées dans cette discipline : Energie . . Densité de Durée , Puissance Tens1on Courant , . . stockee courant d 1mpuls1on 10à107J 106à1014w 103à107V 103à107A 106à1011A/m2 10'10à10'5s 9/15 PROBLEME Il Remarques préliminaires importantes Il est rappelé aux candidat(e)s que : - les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas pris en compte ; - tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e). Rappel des relations de conjugaison pour une lentille mince [, de centre O, de foyer objet F, de foyer image F 'et de distance focale image f ' donnant d'un objet AB une image A'B'. L A //_\ A' Représentation de A' image de A par L 1 1 1 . , -- = = --, (l) Relation de Descartes OA OA f Ï_--A'B'_ÎA'_F--O_O--A' Æ F--'O fi O_A (2) Relations de grandissement Figure 5 - Lamelles d'épaisseur 6. L'objectif est de déterminer les caractéristiques d'une lamelle d'épaisseur e et d'indice n par deux méthodes. Ce problème comporte cinq parties. La première partie aborde l'étude de la lame de verre. Les deuxième, troisième et quatrième parties cherchent à déterminer n et e par une méthode d'optique géométrique. La cinquième partie traite d'une méthode interférentielle. 10/15 Première partie - Lame de verre Une lame transparente est caractérisée par son épaisseur 6 et l'indice n du milieu qui la compose. On cherche à caractériser ce dioptre dans le cadre de l'optique géométrique. 11.1 Donner un ordre de grandeur de l'indice du verre. 11.2 Rappeler les relations de Snell-Descartes àla réfraction. 11.3 Effectuer un rapide tracé de rayon sur la figure Al (document réponse) afin de trouver graphiquement la position de A' image de A par la lame. 11.4 Effectuer, de même, un rapide tracé de rayon sur la figure A2 (document réponse) avec un point objet A virtuel. 11.5 Montrer, par des considérations géométriques, que la relation de conjugaison qui relie A et A' est donnée dans les conditions de Gauss par : Æ=e(1_l) Ïl On étudie un viseur a frontale fixe (figure 6) constitué par : Deuxième partie - Viseur - un objectif L2 de centre 02 , de distance focale f2' = 50 mm ; - un réticule gradué ROC ; - un oculaire modélisé par une lentille convergente L1 de centre 01 et de distance focale ff = 50 mm . . . . . . A'B' On règle la lunette afin d'av01r, pour l'objectif, un grand1ssement transversal 7019 = £--] = -- 2 . ob Æ £2 .Il. & .". R... |/ 02 /I 01 "Il" _ _ acufar're wr ÛbjECÜf Figure 6 - Schéma d'un viseur a frontale fixe. 11.6 Comment règle-t-on l'oculaire par rapport au réticule ? 11.7 Préciser la position F2A de l'objet visé par rapport à l'objectif en fonction de 7019 et f2' . On utilisera l'une des relations de grandissement (2). Faire l'application numérique. 11.8 Déterminer l'encombrement 0201 de la lunette en fonction de ff, 7019 et f2' . Effectuer l'application numérique. 11.9 Valider vos résultats par un tracé de rayons justifiés sur la figure B (document réponse). Compléter la figure avec la présence du réticule ROC et de la lentille L1 . 11.10 Citer une application de ce type de viseur. 11/15 Troisième partie - Description du dispositif expérimental On complète le dispositif de lunette à frontale fixe précédent par : - un miroir plan ÿVl0 centré sur M0 et orthogonal à l'axe optique ; - une lame semi-réfléchissante LS centrée sur LS et inclinée à 45 ° : 0st : 50 mm ; - un miroir plan ÿVli centré sur M,-- et incliné à 45 ° : M ,LS : 100 mm ; - une lentille L3 convergente de distance focale f3' : f3' = 150 mm ; - un objet constitué d'un réticule mobile R dont la position est mesurable. L'ensemble (L2 , L3 ) forme un système afocal (figure 7). Le Il L 5 L1 ? # .r" 't : "1-- R / @ DC 0 L : ; Mg .? 5 't 01 : '., : "*.. !" . _ _ acufarre 1r ÜbjEC'ÜÎ L 'Mi 311 & R 31--- M..' \ O3 @. "' Figure 7 - Schéma du dispositif expérimental. Analyse du système additionnel II.ll.a) Tracer symboliquement sur la figure C (document réponse) le trajet de la lumière issue de R et émergeant de l'oculaire. II.ll.b) L'association de la lentille L2 avec la lame semi réfléchissante LS, le miroir M, et la II.ll.c) lentille L3 forme un système afocal. Définir la notion de système afocal. Quelle doit être la distance M 1.03 en fonction de f3', f2' , ÎLS et @ afin de réaliser cette condition ? Faire l'application numérique. On note R' l'image de R par l'ensemble du système additionnel constitué par L3 , ÿVl, , LS et L2. L3 %, LS L2 R/"NNN/"NR ' Figure 8 - Image R' de R par le système optique. On sera attentif à l'algébrisation de l'axe optique et au sens effectif de propagation de la lumière. Etablir, en fonction de f2' et f3', la relation liant la position @ de l'objet R par rapport au foyer image de L3 à celle de son image R' donnée par F2R' . 12/15 II.ll.d) On place l'objet R tel que @: 150 mm, comme sur la figure 7. Où se trouve son image 02R' par le système optique (L3 , ÿVli , LS , L2) ? II.ll.e) Quel est son grandissement transversal ? On utilise une méthode d'autocollimation a l'aide du miroir plan ÿVl0 , placé devant l'objectif à la distance 02M0 = 02F2 = -- 50 mm. Attention : la lunette est réglée en frontale fixe comme dans la deuxième partie. On éclaire le réticule R par rapport a la question précédente. Il donne une nouvelle image R' par le système optique (L3 , ÿVli , LS , L2 ). R' sert alors d'objet au système (miroir MO , lunette de visée). . ° " 9 / ° \ On obtient une image R que l on des1re superposer a ROC . On observe a travers l'oculaire l'image nette de 2 réticules (ROC et R" ). 11.12.a) Déterminer la position particulière do du réticule R telle que do = @. Exprimer ce résultat en fonction de @, f2' et f3' . 11.12.b) On éloigne le miroir Mo de l'objectif d'une distance 6. Sa position M... est telle que 02M01 = 02F2 --e . Afin de préserver une image nette à travers l'oculaire, on doit déplacer d'une valeur 81 le réticule R. La nouvelle position du réticule R est 511 telle que dl = F3'R1 = do + 81 . Déterminer le déplacement 81 en fonction de @, f2' et f3' . 11.12.c) Quel est l'intérêt du système étudié ? 11.12.d) Que dire du rapport entre les échelles sur les deux réticules ? Quatrième partie - Application à la caractérisation d'une lame d'épaisseur e et d'indice n 11.13 Le miroir MO et le réticule R sont placés initialement de telle sorte que : 02M0 =02F2 =_50 mm, do :$. De par le retour inverse de la lumière, on obtient le schéma de la figure 9. L2 M0 L2 L WL L3 ;, A] ?. A2 A3 &. A4 ' & A5 à. Figure 9 - Schéma du système optique. On intercale la lame d'indice n d'épaisseur @ entre le miroir Mo et l'objectif L2 . 11.13.a) Analyser la composition du système optique à l'aide d'un schéma synoptique. 11.13.b) La position de la lame a-t-elle une influence ? 11.13.c) Montrer que le déplacement du réticule R vers une position d2, telle que 512 = F3'R" = do + 82 , permet de retrouver une image nette. 11.13.d) Exprimer 82 fonction de e, n, f2' et f3'. 11.13.e) On donne 6 = 0,1 mm et on mesure 82 = 0,6 mm. Quel est l'indice n de la lame ? 11.14 Proposer une méthode utilisant ce système afin de trouver une autre équation reliant n ete. 13/15 Cinquième partie - Approche interférentielle On désire retrouver ces résultats par une méthode interférentielle. Dans un système interférentiel a deux ondes, on provoque un déphasage entre les ondes parcourant les deux voies de l'interféromètre. Ce déphasage est fonction de la différence de marche 5 et de la longueur d'onde  . Lorsque  varie, on parle de cannelures et lorsque 5 varie on parle de franges. Un faisceau de lumière éclaire la lame précédente sous une incidence i quasi--constante et proche de 45 ° (figure 10). Ecra n .. } Lentille Seurce '1F Monechro mateur Lame Figure 10 - Schéma du sytème optique. Théorie II.15.a) Mettre en évidence sur les figures Dl (lame d'air) et D2 (lame de verre) du document réponse, la différence de marche géométrique entre les deux rayons issus d'un même rayon d'incidence i et qui interférent sur l'écran. 11.15 .b) Déterminer la différence de marche géométrique âge/O pour la lame d'air en fonction de n, e et l'angle d'incidence i. II.15.c) Dans le cas d'une lame de verre, on obtient en considérant les différentes réflexions, une différence de marche totale : 5=26\/n2--sinzi+%. (3) ,  Analyser ce resultat pour n = l et commenter le facteur 5 . II.15.d) Donner l'expression de l'éclairement (formule de Fresnel) pour des interférences a deux ondes cohérentes de même amplitude, en justifiant le cadre de son application. A quelles conditions les interférences sont--elles constructives ? 14/15 Expérience n° 1 On se place à longueur d'onde constante  : 532 nm et on observe dans le plan focal image de la lentille de distance focale image f ' =l m . 11.16.a) Quelle est l'allure de la figure d'interférence '? Justifier votre réponse. II.16.b) L'angle d'incidence étant proche de 45 °, on pose i = % + 05 avec a + O . En différenciant l'équation (3) pour  : cst , déterminer l'expression de la variation élémentaire d5 de la différence de marche, en fonction de e, n et de la variation élémentaire da de 05 . II.16.e) Rappeler la définition littérale de l'interfrange. Ze Ax II.16.d) Montrer que l'interfrange moyen Ax vérifie la relation __, 2 : Â' f n --O,5 II.16.e) En exploitant au mieux la figure E (document réponse) exprimer une première relation entre 6 et n. Expérience n° 2 On se place maintenant a incidence constante i0 : 45 ° et on fait varier  a l'aide du monochromateur. On relève alors un spectre cannelé. Les longueurs d'onde éteintes sont notées Â19. fil/1 p -- Â1 11.17 .b) En exploitant au mieux la figure F (document réponse), trouver une seconde relation entre n et @. 11.17 .a) Etablir la relation : 26\/n2 --O,5 = 11.18 Comment peut-on en déduire @ et n ? Aucun calcul n'est demandé. Fin de l'énoncé 15/15 Questions 11.3 et 11.4. e A n > 1 Figure Al Question 11.9 taille objet Figure B 2/4 n>1 Figure A2 " Question II.ll.a) .EË " .::. ; _5 £l ; '. ;" " H | ' {+"-. !. P-'FÜ O2 Ls '.. /l Ü1 ; ; ; . . . ncufarre 1r übjECÜf Ü""Ïi Question 11.15 .a) rayunincident - EUR Lame d'air en réflexion Figure D1 Figure C rayun incident - EUR Lame de verre en réflexion Figure D2 3/4 Question II.16.e) 4 ' Îllll|llllllllllïl|Illlllllll 1 6 x(cm) 2 3 4 5 FigureE Question 11.17 .b) tensiun || de capteur |||Irfl|llIl ""Il '- ||' || || | | | | | | | | | | | | | | | | . || | | | | | | | ' | | | | . | _Ul l I I I ' ldl : I 5. I l I I l I l I I i | I_-- 630 635 6:10 B£l5 650 FigureF 4/4

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 CCP Physique MP 2015 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Vincent Freulon (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Louis Salkin (Professeur en CPGE) et Cyril Jean (ENS Ulm). Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier porte sur l'électromagnétisme et l'électrocinétique ; il se propose d'étudier une technique envisagée pour réaliser des expériences de fusion nucléaire. Le second porte sur l'optique ; l'objectif est de présenter deux méthodes de détermination de l'indice optique et de l'épaisseur d'une lame de verre. · Le premier problème débute par l'établissement de l'expression de l'inductance linéique d'un câble coaxial. S'ensuit une analyse documentaire dont l'objectif est d'introduire la technique de fusion qui fait l'objet de la suite du problème. Celleci utilise un dispositif dont la géométrie est semblable à celle du câble coaxial. On cherche à comprendre en quoi l'induction magnétique conduit à un effet de compression de la matière, qui est nécessaire à la fusion. On conclut cette étude en s'interrogeant sur les valeurs des paramètres à choisir pour optimiser la compression et l'énergie libérée via cette technique de fusion. · C'est par des rappels sur les lois de Snell-Descartes que s'ouvre le second problème. On établit d'abord la relation de conjugaison d'une lame d'indice optique n, dans les conditions de Gauss. L'étude d'un viseur à frontale fixe est ensuite proposée. Sur ce viseur, on ajoute un dispositif, utilisé dans les goniomètres, pour effectuer le réglage de la lunette. On montre alors qu'en assemblant ces deux dispositifs, on est capable de mesurer avec une précision accrue le déplacement d'un objet réfléchissant placé devant la lunette. En positionnant une lame de verre devant la lunette, on accède ainsi à son indice optique. Enfin, la dernière partie propose d'effectuer cette mesure en combinant l'observation de franges d'interférence sur un écran et l'analyse d'un spectre cannelé. Le premier problème est assez facile, contrairement au second où l'assemblage des différents éléments optiques (lentilles, miroirs, lame) et la convention d'orientation des axes optiques compliquent grandement la résolution. Même lorsque l'énoncé ne le demande pas, il est indispensable de prendre le temps de tracer des schémas optiques propres pour faciliter les calculs. Indications Partie I I.1.a L'angle désigne l'azimut (noté d'ordinaire , en coordonnées cylindriques). I.3.a Montrer que la force de Laplace subie par le conducteur est radiale. I.5.d On néglige les pertes, donc il n'y a plus de dissipation. I.5.e Puisque i est constant, que dire de ? I.6.a Utiliser le circuit électrique équivalent au circuit en l'absence de résistance. I.9.c Le coût énergétique E s'écrit E = Ef - E0 = Ef -1 E0 E0 I.10.c Le transfert d'énergie est optimum lorsque E = Edisp . Partie II II.5 Établir la relation de conjugaison pour chaque dioptre plan en utilisant des relations de trigonométrie. II.8 Décomposer O2 O1 en O2 O1 = f2 + F2 A + f1 . II.11.b Contrairement à ce qui figure dans l'énoncé, Mi Ls = -100 mm. II.11.c Introduire , l'image de R par L3 . Relier F3 , F3 R, f3 , et F2 R , F2 , f2 . II.11.d Il apparaît que O3 R = f3 , donc l'image de R par L3 est à l'infini. II.11.e Utiliser le caractère afocal du système et appliquer le théorème de Thalès. II.12.a L'énoncé comporte une erreur. Il faut lire « R sert d'objet au système {miroir M0 +lentille L2 } ». Dans les conditions d'étude, F2 R = -F2 A. II.12.b Cette fois, F2 R = -F2 A - 2e. II.13.c On peut accoler le miroir M0 et la lame, puis tracer la marche d'un rayon lumineux. II.13.d En utilisant la question II.5, montrer que 1 F2 R = -F2 A - 2e 1 - n II.16.d L'énoncé comporte une erreur, la formule demandée est : - e x p = f n2 - 1/2 II.17.a Introduire un entier k et raisonner sur la (k -p)-ième longueur d'onde éteinte, notée p . Problème I Les notations de la base cylindrique, introduites par l'énoncé, sont celles utilisées outre-Atlantique. L'angle représente alors l'azimut (que l'on désigne usuellement par la lettre en Europe). Il ne faut pas se laisser dérouter par ce changement de notation. I.1.a Notons M un point quelconque de l'espace. Le plan contenant M et l'axe z z - est plan de symétrie pour la distribution de courant. Comme B est un vecteur axial, - B (M) est normal à ce plan donc - - B (M) est porté par e . La distribution de courant est invariante par translation selon l'axe z z donc la norme du champ magnétique est indépendante de z. Il y a également invariance par - rotation autour de cet axe donc la norme de B est également indépendante de la coordonnée . Il s'ensuit que - B (M) = B() - e Une erreur répandue consiste à écrire que l'invariance par rotation autour de - l'axe z z implique l'indépendance du vecteur B à la coordonnée . Cela est - faux : seule la norme de B ne dépend pas de . On peut s'en convaincre en - remarquant que lorsque varie, le vecteur B tourne. Comme sa direction change, le vecteur, lui, n'est pas invariant par rotation autour de z z. I.1.b Soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe z z. Considérons le cercle C de rayon HM, de centre H, contenu dans le plan perpendiculaire à z z et contenant H. Ce contour constitue un lacet fermé sur lequel on applique le théorème d'Ampère : I - - B · d = µ0 Ienlacé C où Ienlacé est le courant enlacé par C . On a < a, Ienlacé = 0 > b, Ienlacé = I - I = 0 I - - Dans les deux cas, B · d = 0 z H C C - - Le long de C , d est porté par e donc I B() d = 0 C Comme l'intégration sur ce contour s'effectue à = HM constant, I B() d = B() 2 = 0 C ce qui impose - - B (M) = 0 lorsque < a ou > b. z M I.1.c Ici Ienlacé = I, I - - B · d = B() 2 = µ0 I C - µ0 I - B (M) = e 2 Il s'ensuit que (pour a < < b) - I.2.a Notons le flux de B à travers la surface considérée. Par définition, ZZ Z zP Z b - - = B · dS = dz B()d zS PQRS a Injectons l'expression obtenue à la question précédente : Z µ0 I b d = 2 a Ainsi, = µ0 I b ln 2 a I.2.b L'inductance propre L est le coefficient de proportionnalité entre le flux propre - et l'intensité I qui génère le champ magnétique B propre. Formellement, = LI De la question précédente, on déduit que L= µ0 b ln 2 a I.2.c Évaluons l'expression précédente : L = 2 ln 3 × 10-7 = 2,2.10-7 H Cette valeur est bien celle de l'inductance d'un câble coaxial de longueur 1 m, utilisé en travaux pratiques. I.2.d Cette fois, L = 1,32 ln 40 × 10-8 = 4,9.10-8 H I.3.a D'après la question I.1.a, le champ ma - gnétique B (M) en point M du cylindre est se lon - e . Notons - = j- ez le vecteur densité de courant électrique dans le cylindre. L'élément de volume d du cylindre, situé en M, est alors - soumis à la force d F Laplace : - - d F Laplace = d - B (M) = -jd B(M) - e - B -j - ez j- ez - B - d FLapla e La force de Laplace est radiale et centripète. C'est elle qui est responsable de l'effet de compression décrit dans l'annexe 1. Les forces de Laplace conduisent à une compression du conducteur central. - B - B L'annexe 1 contient une inexactitude regrettable : l'auteur indique que c'est la force de Lorentz qui est responsable de la mise en mouvement de conducteurs