CCP Physique 1 MP 2014

Thème de l'épreuve Satellites, système articulé de quatre solides, onde thermique, pompe à chaleur géothermique
Principaux outils utilisés forces centrales, mécanique du solide, diffusion thermique, thermodynamique
Mots clefs satellite, théorème du moment cinétique, onde thermique, machine thermique, pompe à chaleur, géothermie, épaisseur de peau, orbite de transfert

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 MPP1003 .:==_ CONCOURS COMMUNS -=- POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre exercices indépendants. Les exercices 1 et II portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 8). Les exercices III et IV portent sur la thermodynamique (de la page 9 à la page 13). 1/13 MECANIQUE La partie Mécanique du sujet comporte deux exercices indépendants. EXERCICE 1 : SATELLITES On s'intéresse au mouvement d'un point matériel P, de masse m, placé dans le champ newtonien engendré par une masse M >> m. Cette dernière masse se situe à l'origine d'un repère Oxyz ; elle sera considérée comme immobile dans le référentiel galiléen associé au repère Oxyz. L'attraction de la masse M sur le pomt P s'ecr1t -- OÎ" où G est la constante de la gravitation, telle que r3 G = 6,67.10_11N.m2.kg_2, r = ||fi|| . I.] 1.2 1.3 Montrer que le mouvement de P est plan. On suppose alors que le mouvement de P se situe dans le plan xOy et on repère la position de P par ses coordonnées polaires r =HOPH et 6' = angle situé entre Ox et OE'. On note ---- OP -- . . -- , . --* . 7z e,, = -- et 69 deux vecteurs umta1res, 69 se dedu1sant de e,, par une rotat10n de +îrad r dans le plan xOy (voir figure 1.1). Montrer que la quantité C = r2 % est une constante du t mouvement. V Figure 1.1 : repères On rappelle les formules de Binet pour la vitesse et l'accélération radiale de P : ---- ---- -- ---- ---- d vp=--C--du er+CueÛ er.ap=--C2u2 --Ï+u oùu=L d9 d6' 7" 2/13 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 P {1 + 5.6. cos (H -- 90 )] où p > 0, EUR > O et 90 sont trois constantes (EUR =il). Exprimer p en fonction de C,M et G. Montrer que l'équation polaire de la trajectoire s'écrit sous la forme r = Pour 6 <1, on parle de trajectoires liées ; il s'agit d'ellipses dont on exprimera le demi--grand axe a en fonction de p et de e (e est l'excentricité de l'ellipse). Donner l'expression de l'énergie potentielle E ,, du point P moyennant l'hypothèse que celle-ci s'annule à l'infini. EC désignant l'énergie cinétique du point P, on appelle E =Ec +Ep l'énergie totale (ou mécanique) de P. Donner l'expression de E en fonction de m, M, G et a. Donner l'expression de T, la durée d'une révolution en fonction de a, M et G. Les résultats obtenus vont être appliqués au système solaire pour lequel on précise les masses du Soleil, de la Terre et de Mars, respectivement M S = 2,0.1030kg , mT = 6,0.1024 kg, mM = 6,42.1023kg. Les trajectoires de la Terre et de Mars sont supposées : - circulaires, - de centre le Soleil et de rayons respectifs VT = 1,00 UA, rM = 1,52 UA (i UA=1,50.10"m) - situées dans le même plan. Calculer les vitesses orbitales VT et VM de la Terre et de Mars. Une sonde de masse m = 103 kg est en orbite autour de la Terre à une distance du centre de celle--ci, négligeable devant rT . A l'instant t = 0, on ajuste la vitesse de la sonde de telle façon que la sonde va devenir un satellite du Soleil. Dans cette question et dans la suivante, on négligera donc l'attraction de la Terre et de Mars sur la sonde (voir figure 1.2, page 4). A t= O, 1; est perpendiculaire à l'axe Soleil--Terre ; on veut que l'ellipse décrite par la suite vienne tangenter la trajectoire de Mars au point A. Quelle est la valeur du grand axe de l'ellipse décrite '? Connaissant l'énergie potentielle à t = 0 ainsi que l'énergie totale sur la trajectoire elliptique, déterminer la valeur de Hi}? ". 3/13 OÊ...8 @@ QËoe...OEA O%...8 8Ë...Ëoe fin:--d ....N ... cë. 008...3 % 5 mon...--@ 253 5 Ha...ä 9 Ë...Ë --.Ë Om...o&OE ...m a:ä...oe >fi as Që.2 @@ 5 mo...--@@ % 5 1--93  ...Hou o: Ë...ëoä momo E:... @Omäos mam ©5598 8555 E&Ëm m5 5 mm:--d --.m. ÛOEOEBËOE fi9EUR3$...o: @@ % ob 35305 @@ <>Ï wä 9 %... @:OE omËEOE ...oe  »--""Ca C'bl y ; a eporteur X /'x &; CDC 11 a 0 Figure II.] : dispositif d'ensemble représenté avec C3C4 vertical 6/13 Les roues reposent sur un câble porteur incliné d'un angle 05 par rapport à l'horizontale. Les solides S1S2 S3 S 4 présentent tous le même plan moyen de symétrie; les schémas donnés seront tous situés dans ce plan vertical. S3 est soumis à l'action d'une force F, due à un câble tracteur, de ligne d'action parallèle au câble porteur, d'intensité F, de point d'application H (voir figure II.], page 6). On note h = C3H la distance séparant le point H de la ligne C1 C2. On appelle C le centre de masse de l'ensemble S1 US2 US3 US4. Les points de contact des roues sur le câble sont notés respectivement 11 et 12. Ce sont également les points d'application des réactions du câble sur les roues, réactions supposées pouvant s'écrire comme suit : ÈÎ1 = Tle: + Nle_y et 972 = T2EURÎc + N2 6: . On note g l'accélération due àla pesanteur ; pour les applications, on pourra prendre g = 10 m.s_2. On donne : a=30°, m=20 kg, m'=60 kg, M=200 kg, EUR=C1C3=C3CZ=O,SO m, r=0,2 m, h=0,3 m, j=0,5 kg.m2, J=250 kg.m2, C3C4 =1,5 m. Dans la suite de l'exercice, les roues vont rouler sans glisser sur le câble porteur et on notera VC1 = VC2 = VC3 = v.ex la vitesse instantanée des points C1 , C2 ou C3. II.] Déterminer la position de C en calculant CC3 = d ; on pourra utiliser la notation mT pour désigner la masse totale de l'ensemble S1 US2 US3 US4. 11.2 Les vitesses de rotation instantanée des roues s'écrivant co= æeZ . Etablir pour chacune la relation de non glissement donnant a) en fonction de v et de r. [1.3 Par application du théorème du moment cinétique appliqué à 51 (ou S2 ), trouver les expressions de T1 et T 2 en fonction de j, v et r. [1.4 Pour les questions 11.4 à 11.8, on suppose une vitesse v positive et constante. On suppose également que 54 est au repos relativement à S3, les points C4, C, C3 se situant sur la même verticale. Dans ces conditions, donner la valeur de T1 ou T 2. En utilisant le théorème de la résultante cinétique, établir les expressions de F, Nl +N2 en fonction de mT, g et a. [15 Considérant l'ensemble 51 US2 US3, établir une seconde relation liant Nl et N2. II.6 D'après les résultats obtenus, exprimer N1, N2 en fonction de h, K, &, mT et g. II.7 Quelle est la condition portant sur la nécessaire pour assurer le contact des roues sur le câble '? (application numérique demandée). 11.8 Si 54 effectue de petites oscillations autour de la verticale, exprimer puis calculer la pulsation de celles--ci. [1.9 On considère maintenant un mouvement uniformément retardé (soit \} = constante < 0). Dans cette situation, S4 occupe une position repérée par l'angle ,5', angle compris entre la 7/13 verticale et C3 C4 (voir figure 11.2). S4 est soumis à son poids propre et à une réaction d'axe appliquée en C3, ayant pour origine l'articulation S 4_S3 et notée 9? = T e: + N e: . Déterminer T et N en fonction de M , g, a et \>. ÛQ1 Câble p orteur Figure [1.2 : mouvement uniformément retardé 11.10 Déterminer l'expression de tan(fl --a) en fonction de a et 1. g . . . , . fi Faire l'application numer1que pour -- = -- 0,1. 11,11 Exprimer F en fonction de mT, g, a, \>, j et r. . . . , . v Fa1re l'app11cat10n numer1que pour -- = -- 0,1. 11.12 Déterminer les expressions de NI et N2- 8/13 THERMODYNAMIQUE - GEOTHERMIE La raréfaction des ressources d'énergie majoritairement utilisées de nos jours (énergies fossiles) pose la question de la recherche de nouvelles sources d'énergie, parmi lesquelles figure la géothermie. La géothermie est la science qui étudie les transferts thermiques au sein du globe terrestre et, par extension, désigne les procédés mis en oeuvre pour les exploiter. Ce sujet illustre l'apport de la géothermie sur le fonctionnement d'une pompe à chaleur domestique. Dans un premier exercice, nous étudierons le champ de température dans la couche superficielle du sol terrestre. Le deuxième exercice aborde l'étude d'une pompe à chaleur géothermique. Les deux exercices sont très largement indépendants. EXERCICE III : ONDE THERMIQUE L'objet de cette partie est d'étudier l'amortissement dans le sol des variations quotidiennes et annuelles de température, en vue de l'enfouissement d'une canalisation d'une installation géothermique. On se place en repère cartésien. La surface du sol, supposée plane et d'extension infinie, coïncide avec le plan (Oxy) (voir figure III.1). La température au niveau de cette surface, notée T (O,t) , varie sinusoïdalement en fonction du temps t avec la pulsation 50 autour d'une moyenne TO : T (O,t)=îb +acos(w t), où a est une constante. Soit un point M dans le sol repéré par ses coordonnées (x, y,z), avec 2 Z 0. On cherche à déterminer le champ de température en M, noté T(M,t). Surface du sol (2 = O) OA / T(O,t)=îî, +acos(wt)x \'J > Sol Figure III.] : repérage adopté pour l'étude de l'onde thermique III.] Justifier que T (M ,t) ne dépend ni de x ni de y. On notera dans la suite : T (M ,t) =T (z,t). III.2 Donner l'expression de la loi de Fourier relative à la conduction thermique, en rappelant les grandeurs intervenant dans cette loi. On notera xi la conductivité thermique du sol, supposée constante. Citer une loi physique analogue à la loi de Fourier. 9/13 On travaille avec l'écart de température par rapport à T0 en posant: Û(z,t) =T(z,t)--TO. Tout autre phénomène que la conduction thermique est négligé On donne, dans le cadre de notre modèle, , _ ÔH(2,t) 829(z,t) _ , _ _ l'equat10n de la chaleur : poê-- = ÂÔ--2 , ou p et c des1gnent respectivement la masse Z Z volumique et la capacité thermique massique du sol. Ces deux paramètres sont supposés constants. On cherche la solution de l'équation de la chaleur en régime sinusoïdal permanent. A cet effet, on introduit la variable complexe : Q(z,t)= f(z)ejwt , avec J'2 =--l et f (2) une fonction de z. L'inconnue H(z,t) est alors donnée par : Û(z,t) = Re(Q(z,t)), où Re désigne la partie réelle III.3 Déterminer l'équation différentielle vérifiée par f (2). On fera intervenir la diffusivité thermique du sol donnée par : D = & . pc III.4 Exprimer la solution générale de cette équation, en faisant intervenir deux constantes d'intégration notées A et B. Par un argument physique à préciser, montrer que l'une de ces constantes est nulle. __ ][ t--) 1115 Montrer que Q(z,t) se met sous la forme: Q(z,t)=a @ 5><10_6 m2.s_1. Calculer numériquement L... dans les deux cas suivants : 0 Cas n° 1 : variation quotidienne de température ; 0 Cas n° 2 : variation annuelle de température. A quelle profondeur préconiseriez-vous d'enfouir la canalisation de l'installation géothermique '? III.9 Calculer littéralement puis numériquement le décalage temporel At entre T (2 =L...,t) et T (OJ) dans les deux cas de la question 111.8. 111.10 Le modèle développé vous paraît-il pertinent '? Quels phénomènes non pris en compte dans le modéle peuvent intervenir '? Répondre succinctement. 10/13 EXERCICE IV : POMPE A CHALEUR GEOTHERMIQUE Cette partie traite du fonctionnement d'une pompe à chaleur (PAC) géothermique. Après quelques rappels et généralités, nous aborderons l'étude détaillée d'une PAC géothermique. Le fluide caloporteur utilisé dans la PAC est le 1,1,1,2-tétrafluoroéthane, de nom commercial R--134a. Il sera désigné plus simplement "fluide" dans la suite. Lorsqu'il est à l'état gazeux, le fluide est supposé suivre la loi des gaz parfaits On donne la valeur numérique de la constante des gaz parfaits: R=8,31 J.mol_1.K_l. Lorsqu'il est à l'état liquide, le fluide est supposé être indilatable et incompressible. On note : M = 102, 0 g.mol_1 la masse molaire du fluide ; CV la capacité thermique massique à volume constant du fluide à l'état gazeux ; CP la capacité thermique massique à pression constante du fluide à l'état gazeux ; cP . , . . . . . 7/ = -- = 1,18 le rapport des capacités thermiques mass1ques a press1on et a volume constant ; CV lV (T) l'enthalpie massique de vaporisation du fluide à la température T ; hV (T) l'enthalpie massique de la vapeur saturante à la température T ; hL (T) l'enthalpie massique du liquide saturant à la température T ; La température du point critique du fluide vaut : T = 373 K. crit Les données numériques utiles sont rassemblées dans le tableau ci-dessous : T (K) p....(bar) hV(T)(kJ.kg_l) hL(T)(kJ.kg_l) 323 13, 2 421, 9 270, 5 288 4,88 405,6 220,1 Tableau 1 - Données thermodynamiques relatives au fluide étudié. P... est la pression de vapeur saturante du fluide à la température donnée. Rappels et généralités IV.] IV.2 Dessiner l'allure du diagramme de Clapeyron d'un fluide. On rappelle que le diagramme de Clapeyron porte en abscisse le volume massique v et en ordonnée la pression p pour les différents états de la matière d'un corps. On se restreindra ici aux états liquide et gaz. Placer les domaines : liquide, gaz, mélange liquide -- gaz. Définir et placer sur ce diagramme : la courbe de rosée, la courbe d'ébullition, le point critique Dessiner l'allure de trois isothermes de températures T a, Ten--t, 1}, avec : T a  (2) : à partir d'un état de vapeur saturante (l) à la température T f = 288 K et la pression p f, le fluide subit une compression adiabatique supposée réversible qui l'amène à un état (2) , vapeur sèche à la pression pc et à la température T 2. Etape (2) --> (3) : le fluide est mis en contact avec un premier thermostat à la température TC = 323 K, ce qui a pour effet de le refroidir de façon isobare à l'état de vapeur saturante à la température T C puis de le liquéfier entiérement. On note (3) l'état final de cette transformation, où le fluide est à l'état de liquide saturant. Etape (3) --> (4) : le fluide passe dans un robinet à laminage, ce qui lui fait subir une détente de Joule-Kelvin. A l'état final, noté (4), le fluide diphasé est à la pression p f et possède un titre massique en vapeur noté x. Etape (4) --> (1) : le fluide dans l'état (4) est mis en contact avec le second thermostat à la tem érature T , ce ui a our effet de le ramener à l'état 1 . P f q P Pour une PAC traditionnelle, dite air-air, le rôle du thermostat à la température T f est joué par l'air extérieur à la maison. Dans une PAC géothermique, ce même thermostat est constitué par un fluide frigorigène, en général de l'eau glycolée, c'est-à-dire un mélange d'eau et d'éthane-l,2-diol. L'eau glycolée est en contact thermique via un échangeur thermique avec l'eau d'une nappe souterraine : on parle de PAC sur aquifère. 12/13 IV.4 Allure du cycle. IV.5 IV.6 IV.7 a. Dessiner le cycle thermodynamique décrit par le fluide de la PAC dans le diagramme de Clapeyron. On fera figurer les isothermes T C et T f, ainsi que les points représentatifs des états (l), (2), (3) et (4). . Préciser lors de quelle(s) étape(s) le transfert thermique qc est réalisé Même question pour qf. . Préciser, lors de l'étape (2) --> (3), ce qui concrètement joue le rôle du thermostat. Intérêt d'une PAC sur aquifère. a. b. Par quoi est représenté le travail w sur le diagramme de Clapeyron '? Montrer qu'en augmentant T f, T C étant fixée par ailleurs, on augmente l'efficacité de la PAC. On demande de raisonner de façon qualitative sur l'efficacité de la PAC, donc sur les échanges d'énergie et non sur l'efficacité de Carnot de la PAC. Justifier l'avantage d'une PAC sur aquifère par rapport à une PAC air-air. Détermination de qc. a. Déterminer la température au point (2), T2, en fonction de Tf, y, p f et pc. Calculer numériquement T 2. . Déterminer qc en fonction de R, 7/, M, de la différence de température TC --T2 et de [V (TC ). Calculer numériquement qc. . Comparer numériquement les deux termes intervenant dans l'expression de qc. Commenter. Détermination du titre en vapeur à l'état (4). a. b. Lors de l'étape (3) -->(4), le fluide subit une détente de Joule-Kelvin. Citer la fonction d'état conservée lors d'une telle détente (aucune démonstration n'est demandée). A l'aide des données du tableau 1 (page 11), déterminer littéralement puis numériquement le titre en vapeur à l'état (4), noté x. IV.8 Déterminer qf en fonction de x et IV (T f ). Calculer numériquement qf. IV.9 Exprimer littéralement puis calculer numériquement w. IV.10 Efficacité de la PAC. a. b. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'efficacité @ de la PAC. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'efficacité de Carnot, eC. A-t--on e=eC '? Expliquer lors de quelle(s) étape(s) il y a irréversibilité, ainsi que l'origine physique précise de celle--ci. Fin de l'énoncé. 13/13

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 CCP Physique 1 MP 2014 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Nicolas Bruot (ENS Cachan) ; il a été relu par Tom Morel (Professeur en CPGE) et Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université). Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants couvrant différents aspects du programme. · L'exercice I étudie la mise en orbite d'un satellite autour de Mars. Il fait appel à la mécanique du point matériel dans un champ gravitationnel. · L'exercice II propose l'étude du mouvement d'un chariot le long d'un câble incliné. Il donne l'occasion de manipuler les théorèmes de la résultante cinétique et du moment cinétique pour des solides dans différents référentiels. · L'exercice III aborde les variations de la température du sol dues aux variations quotidiennes et saisonnières de la température de l'atmosphère. L'équation de la diffusion y est résolue en plusieurs étapes. · L'exercice IV a pour objet l'étude du cycle thermodynamique d'une pompe à chaleur. Il débute avec de nombreuses questions de cours sur le gaz parfait et le diagramme de Clapeyron, pour lesquelles aucune démonstration n'est demandée mais dont la méconnaissance empêcherait de terminer le problème. Ce sujet long et varié comporte un nombre très important de questions de cours, ce qui le rend très adapté pour tester si vous avez compris et assimilé ce dernier. Dans les problèmes III et IV, les interprétations des résultats obtenus sont d'un niveau assez avancé. Les exercices I, III et IV sont entièrement compatibles avec le programme de prépa en vigueur depuis la rentrée 2014. Indications Exercice I I.3 On pourra projeter le principe fondamental de la dynamique sur - er et utiliser la deuxième formule de Binet. I.4 Prendre = +1. En quoi ce choix influence-t-il la solution traitée ? I.6 Calculer l'énergie mécanique en = 0 . I.9 Exprimer l'énergie mécanique à t = 0 puis se servir du résultat de la question I.6. I.10 La durée du trajet entre P et A est égale à la moitié de la période de révolution T. I.12 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au module P1 . Exercice II II.1 Pour simplifier le calcul, considérer le système S1 S2 S3 dans le calcul du centre de masse de S1 S2 S3 S4 . II.2 Utiliser la relation -- - v (I1 roue) = - v (C1 ) + - C 1 I1 et la condition de roulement sans glissement. II.5 Appliquer le théorème du moment cinétique sur le système S1 S2 S3 . II.7 La condition se résume à N1 > 0. II.10 Exprimer le rapport N/T sous la forme de la tangente d'un angle. II.12 S'inspirer des questions II.4 à II.6. Exercice III 2 III.4 On rappelle que (1 + j)/ 2 = j. III.9 Remarquer que le champ de température a une composante correspondant à une onde propagative. Exercice IV IV.3.b e est majoré pour un cycle réversible. IV.6.a La loi de Laplace relie certaines grandeurs thermodynamiques pour une transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait. IV.6.b Considérer séparément la partie de la transformation correspondant à un refroidissement du gaz et la partie correspondant à un changement d'état. IV.7.b Remplacer (en le justifiant) l'étape conduisant au transfert thermique q c par la succession de deux transformations plus simples. IV.9 Relier w à q c et q f . I. Satellites - I.1 Notons LO le moment cinétique du point P, par rapport à O, dans le référentiel galiléen. D'après le théorème du moment cinétique, - - - - dLO m M G - = OP F avec F =- OP dt r3 - - Comme OP et F sont dans la même direction, le produit vectoriel est nul et - - LO = Cte D'après la définition du moment cinétique, - - LO = m OP - vP - où v P est la vitesse du point P. Cette vitesse est donc perpendiculaire à tout instant - au vecteur constant LO . Il en résulte que le point P reste dans le plan perpendiculaire - à LO et passant par O, et donc que le mouvement est plan. - I.2 Réécrivons LO en utilisant les coordonnées polaires : - d - LO = mr - er r er dt dr - d - - = mr er er + r e dt dt - d - LO = mr2 ez dt - D'après la question précédente, LO est un vecteur constant, donc C = r2 d est une constante du mouvement. dt I.3 Le principe fondamental de la dynamique appliqué au point P dans le référentiel galiléen centré en O s'écrit m- a P = - m M G- er r2 - Projetons cette égalité sur er et utilisons la deuxième formule de Binet pour l'accélération : 2 mMG d u -m C2 u2 + u =- 2 d r2 d2 u MG +u= 2 2 d C C'est une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants dont les solutions sont de la forme u() = u0 + u1 , avec u0 = MG/C2 une solution particulière et u1 la solution générale de l'équation homogène associée, qui s'écrit soit, puisque u = 1/r, u1 () = A cos( - ) où A et sont deux constantes. Comme u = 1/r, 1 MG AC2 = u0 () + u1 () = 2 1 + cos( - ) r() C MG d'où r() = puis r() = C2 /(MG) 1+ [AC2 /(MG)] cos( p 1 + e cos( - 0 ) - ) avec p= C2 MG et avec 0 = et e = AC2 /(MG) deux constantes dépendant des conditions initiales. D'autres méthodes permettent d'obtenir la trajectoire du corps. Ainsi, les méthodes du vecteur excentricité et du vecteur de Runge-Lenz apparaissant parfois aux concours, il est utile de les connaître. I.4 La trajectoire est une ellipse dont l'un des foyers est le point O. Prenons par exemple le cas = +1 (dans l'autre cas, il suffit d'intervertir rmin et rmax ). Le schéma ci-dessous représente la trajectoire dans le cas 0 = 0. P - ey rmax rmin O - ex 2a Le demi-grand axe vérifie donc d'où 2a = rmin + rmax = r (0 ) + r (0 + ) p p = + 1+e 1-e p (1 - e) + p (1 + e) 2a = 1 - e2 p a= 1 - e2 Bien que les ellipses ne soient plus au programme, les méthodes de calcul de la question I.3 et des énergies potentielle, cinétique et mécanique développées dans les deux questions suivantes le sont. Il faut savoir établir l'équation du mouvement d'une planète, et savoir effectuer les calculs des énergies pour une trajectoire d'équation donnée, qui sera normalement désormais donnée dans l'énoncé. - I.5 La force de gravitation F est conservative et dérive d'une énergie potentielle -- - Ep telle que F = - grad Ep . On a donc, en projetant cette relation sur - er ,