CCP Physique 1 MP 2013

Thème de l'épreuve Étude mécanique d'une moto. Isolation thermique.
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique du solide
Mots clefs moto, isolation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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m@mm--OZ N--Zæ Ëww38 _,- OOZOOCIOE OOE=SCZOE V0r 2 ! relat1vement a un axe (02,62), J2 = lOkg.m . Lorsque la moto se deplace, les deux roues en contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues avant et arrière sont notés ]1 et I,. Les réactions du sol sur les roues sont respectivement 931 =Tlêx +Nlêy et _» ER, = T ,êx + N 2êy. Le coefficient de frottement des roues sur le sol est f = 0,8 ; il ne sera pas fait de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de frottement dynamique. A un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l'ensemble est 17 = v.ëx (on se limitera au cas v > 0). De même, on note @@ et w,êz, les vitesses de rotation instantanées des roues avant et arrière. On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, pour les questions allant de 1.1 à 1.14, on négligera l'action de l'air ambiant sur la moto et son conducteur (il peut s'agir, par exemple, d'une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n'est pas élevée). A y iË Roue arrière Roue avant \ G A @ h ey 0 , x_ -- 1 i 11 g ' ex ' 5 d, d, : Figure 1 : vue dans le plan vertical x0y 2/13 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les expressions de 501 et (:)2 en fonct10n de v, '"1» 73. On note 61 (01) et &, (O2 ), les moments cinétiques en 01 et 02 des roues avant et arrière (il s'agit de moments pour un observateur du repère Oxyz ). Donner les expressions de 61 (01) et 62 (O,) en fonction de J], @, J2, a)2. Montrer que le moment cinétique â(G) de l'ensemble moto + conducteur relativement au point G, moment pour un observateur du repère Oxyz, se limite à la somme des moments précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère barycentrique). En utilisant le théorème de la résultante dynamique, donner deux expressions @ et @ liant N1, N2» T1, T2, M, g, v (accélération instantanée). En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une expression @ liant N1, N2» T1, T2 et h, dl, d2, Jl, ïi, J2, 7/2, '>- En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une relation @ entre Tl, J1, '"1» v (il est à noter que l'articulation de cette roue sur le reste de la moto est supposée parfaite et que cette roue n'est soumise à aucun couple). A partir des relations obtenues, écrire N1, N2» T1, T2 en fonction de v. . \> , Pour une accéléraüon telle que -- = 0,1, montrer que les roues ne decollent pas du sol. De même, montrer qu'il n'y a pas glissement sur le sol, pour cette accélération. Le moteur exerce un couple sur la roue arrière noté Î.ëZ (P < 0 puisqu'il s'agit du couple moteur; il n'y a pas de couple exercé sur la roue arrière). Par application du moment cinétique à la roue arrière, expliciter la relation liant le couple et l'accélération. On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. Exprimer la puissance instantanée G? transmise par le moteur àla roue arrière motrice. Pour les questions 1.12 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du sol la roue avant de son véhicule et on notera 9 l'angle d'inclinaison de 0102 par rapport à l'horizontale (voir figures 2 et 3, page 4). 3/13 Roue avant # Roue arrière Figure 2 : moto inclinée de 9 par rapport à l'horizontale Figure 3 : détail du point de contact 1.12 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, exprimer le moment cinétique en G de l'ensemble (il s'agit du moment cinétique pour un observateur du repère Oxyz ). 1.13 Déterminer le moment en G des forces s'appliquant à l'ensemble moto + conducteur. 1.14 D'après les deux questions précédentes, donner une équation permettant le calcul de l'angle 19. Donner la valeur numérique de cet angle, pour 1 = O, 2 en utilisant le graphe de la figure 4. 150 ï Moment / G pour 1 = 0,2 / 100 ÿ--<_ g / exprimé en N.m 50 * 10 * 12 14 16 18 / 20 + 22 24 * / / , -- / 9 en degres -50 * /// -100 Figure 4 : moment / G des forces appliquées à l'ensemble moto + conducteur en fonction de 9 4/13 1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deux roues, le moteur exerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté Î.ëZ (P < 0). Comme on s'intéresse à une phase où la vitesse v peut être plus grande que celles des questions précédentes, il est maintenant nécessaire d'introduire une force supplémentaire de . \ . , . "' 2_, fremage, due a l'env1ronnement de l'ensemble. Cette force s'ecr1ra F = --kv ex et l'on supposera, pour simplifier, que sa ligne d'action horizontale passe par le point G. Etablir l'équation différentielle pour v (reprendre les équations @ à @ et tenir compte de la force Ë ), équation @. 1.16 Montrer qu'il existe, pour la vitesse v, une valeur limite "; dont on donnera l'expression en fonction du couple et des autres paramètres. , . , . . 2 2 , . 1.17 Montrer que l'equat10n @ peut s'ecr1re sous la forme v+a.v =a.v, . On prec1sera l'expression de la constante a en fonction de k,M , J1, J2, rl, @. 1.18 En supposant que la vitesse est nulle à l'instant t= O, établir la solution de l'équation "! précédente. Pour cela, on pourra introduire le changement de fonction suivant : u = . v -- v 1 PARTIE 2 -- Point matériel dans un fluide Il s'agit de l'étude du mouvement d'un point matériel se déplaçant dans un fluide. Soit 9% un premier référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct d'axes OX, OY, OZ. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés Ëx,Ëy ,ËZ . Ce repère lié à la Terre est considéré comme fixe. L'axe OZ est vertical ascendant, l'accélération due à la pesanteur sera notée â = --gEz- Soit 9% ' un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct d'axes Ox, Oy, 02. Les vecteurs unitaires associés à ces axes sont notés êx,êy,êZ. Ce second repère mobile effectue un mouvement de rotation uniforme relativement à ER. Les axes 02 et OZ coïncident et l'on posera (ËX,ëx) = w.t où a), la vitesse de rotation, est supposée constante (voir figures Sa et b, page 6). Un récipient lié à 9% ', figuré en pointillés, renferme un volume fluide supposé au repos relativement à ER ', la masse volumique du fluide étant notée p. Une particule pesante, de masse m et de masse volumique p, se déplace au sein du fluide sous l'action de son poids, d'une force F (et par la suite d'une force supplémentaire). On suppose que la __ __ --) force F s'écrit sous la forme F = --k.Op +£.m.g.ê, , avec k = £.m.w2, une constante positive et Ps PS 19 désignant la projection du point P sur le plan horizontal (cette force est la résultante des forces de pression s'exerçant sur la particule). Par la suite, seul le cas & >l sera considéré. On repère la Ps position de P par ses coordonnées X, Y, Z (relativement à ER ) ou x, y, z (relativement à ER '). 5/13 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 __,___________ - \- -,_, \-_ , _ ,, _,-- _. P y g . X __________________ /y ' _ 0 Y \ «| {EUR./' X w.t x Figure Sa : vue dans l'espace Figure 5b : vue dans le plan horizontal Etablir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un observateur de 9% , c'est- à-dire pour les variables X, Y et Z, fonctions du temps (équations I, II et III). Donner la solution générale des équations différentielles I et II et préciser la nature de la trajectoire du point 19, trajectoire vue de ER. Etude de quelques cas particuliers Dans le cas des conditions initiales suivantes : X(O) = XO, X(O) = 0, Y (0) = O, Y (O) = XO \/Ê , préciser la nature de la trajectoire du point 19 m (trajectoire dans ER) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette courbe. Indiquer la nature de cette même trajectoire vue de 9% ' ainsi que la vitesse angulaire de parcours. Pour les conditions initiales suivantes : X (0) = X 09 X(O) = U , Y (0) = O, Y (O) = 0 , établir les solutions de I et II ; préciser la nature de la trajectoire vue de ER. A partir de maintenant, on va tenir compte d'une force supplémentaire E,, trouvant son origine dans la viscosité du fluide. Cette force s'écrit FV = --,uÿ, où ,a désigne une constante positive, 17, étant la vitesse de P par rapport à 9% '. On va maintenant déterminer les équations différentielles du mouvement pour un observateur de 9% ', c'est-à-dire pour les variables x, y et 2, fonctions du temps. Exprimer, suivant ë ê ê les vecteurs ZI}, Zic, âe , respectivement x? y? z) accélération relative, de Coriolis et d'entraînement du point P. 6/13 2.4 2.5 2.6 En utilisant les résultats de la question 2.3, établir les équations différentielles du mouvement pour x et y (équations IV et V). Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en supposant l'accélération de Coriolis négligeable devant l'accélération d'entrainement. Etablir les expressions de x et y en fonction du temps. Pour simplifier l'écriture, on pourra poser k ' \ ° ! r ! ° ! ° \ Q = ,/-- -- 502 et 2£ = xl , cette dern1ere quant1te etant supposee 1nfer1eure a Q. m m Pour l --> +oo , quelle est la position dep ? 7/13 THERMODYNAMIQUE Bilan thermique d'une maison climatisée Ce problème se compose de deux parties. La première partie, indépendante de la seconde, porte sur une étude du double vitrage. Dans cette première partie, beaucoup de questions ne dépendent pas des précédentes. Nous analysons l'intérêt d'utiliser 2 vitres ainsi que les solutions technologiques actuellement employées pour réduire les pertes thermiques. La seconde partie aborde le fonctionnement du climatiseur d'un point de vue très général puis le bilan thermique d'une maison climatisée en présence d'air sec. Données du problème : Constante de Stefan : a = 5,67 >< 10_8 W.m_2.K_4. Constante des gaz parfaits : R = 8,315 J.mol_l.K_l. PARTIE 3 -- Comparaison des fenêtres à double vitrage On suppose qu'un corps noir au fond d'une cavité est éclairé par le soleil. L'ensemble du problème sera unidimensionnel. Le corps noir ne rayonne que d'un côté. Une fenêtre est interposée entre le soleil et le corps noir comme représenté sur la figure 6. SOIGH Fenêtre lsolant thermique ., Corps sans rôle noir 7 * Figure 6 : corps noir recouvert d'une vitre éclairé par un rayonnement solaire Dans cette partie, le corps noir sera supposé parfait, absorbant l'intégralité du rayonnement incident et réémettant tout le rayonnement absorbé. Toutes les vitres sont en verre que l'on suppose parfaitement transparent au rayonnement solaire et se comportant comme un corps noir dans l'infrarouge lointain. Dans cette partie du problème, on supposera que le flux surfacique solaire incident ç0S , normal au corps noir, est égal à 1000 W.m_2 . 3.1 Questions préliminaires 3.1.1 Donner la loi du déplacement de Wien reliant la température du corps noir TCN et la longueur d'onde Âm du maximum d'émission du corps noir en um. 8/13 3.1.2 3.1.3 Indiquer dans quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300K et à 5800K (température du soleil). Le verre est globalement transparent pour le rayonnement solaire (le soleil émet dans le visible) et se comporte comme un corps noir dans l'infrarouge lointain (issu des corps à température ambiante). Sachant que 95 % du rayonnement d'un corps noir est concentré entre 0,5 Â... et 8 À..., déterminer la longueur d'onde approximative à laquelle le verre change de comportement. Les constructeurs en fonction du type de verre donnent 3 - 4 um. 3.2 Comparaison du simple et du double vitrage 3.2.1 3.2.2 La fenêtre est composée d'une simple vitre (température 111 ). A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température du corps noir TCNa en régime stationnaire. Effectuer l'application numérique pour T CNC, (gas = 1000 W.m_2 ). La fenêtre est maintenant composée d'un double vitrage. La vitre extérieure est à la température TV1 et la vitre face au corps noir à la température TV2. A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température du corps noir T CN,, en regime stat10nna1re. Effectuer l'application numérique pour T CN,, (gps = 1000 W.m_2 ). On cherche maintenant une durée caractéristique de la décroissance de la température pour les différentes fenêtres. On ne tient toujours pas compte de l'air. On suppose que le corps noir est à la température de T = 333K à t = Os , qu'il rayonne et se refroidit. Il ne reçoit plus de rayonnement solaire. Sachant que le corps noir a une capacité thermique C = 104 HC1 , une surface A de lm2 et que la capacité thermique des vitres est négligeable : 3.2.3 3.2.4 Déterminer la durée Ta pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300K pour le simple vitrage. Effectuer l'application numérique et donner cette durée en minutes et secondes. Déterminer la durée Tb pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300K pour le double vitrage. Exprimer Tb en fonction de Ta. L'application numérique n'est pas demandée. 3.3 Amélioration par métallisation externe 3.3.1 Sur la face la plus externe du double vitrage à la température TV1 , est déposée une fine couche métallique ou un revêtement à faible émission thermique. On suppose que cette couche transmet intégralement le flux solaire et réduit de moitié l'émission de cette face. En ! ! ° - , - . 1 4 consequence, on devra ecr1re que le flux surfac1que émis par la v1tre vaut ça = îO'T pour la face métallisée et ça = 0'T4 pour la face non métallisée. A partir d'un bilan radiatif et sans tenir compte de la présence d'air, déterminer la température T CNC du corps noir. La 9/13 température de la vitre face au corps noir est notée Tv2. Effectuer l'application numérique pour T CNC (gps = 1000 W.m_2 ). 3.3.2 Déterminer la durée caractéristique TC de la décroissance de la température pour passer de T2 = 333K à T1 = 300K pour cette fenêtre. Comme précédemment, on suppose que le corps noir ne reçoit plus de rayonnement solaire, qu'il a une capacité thermique C = 104 J .K_1 , une surface A de lm2 et que la capacité thermique des vitres est négligeable. Exprimer TC en fonction de Ta. L'application numérique n'est pas demandée. 3.4 Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage On prend en compte, dans un premier temps, les échanges de type diffusif dus à un gaz uniquement entre les deux vitres. Dans le cadre d'un modèle microscopique, on considère que les molécules se déplacent à la vitesse quadratique moyenne identique v* suivant trois directions et pour chaque direction suivant deux sens (isotropie de la distribution des vitesses). 3.4.1 Trouver, dans le cadre de ce modèle simplifié du gaz parfait en équilibre thermodynamique interne, la relation entre la pression [9 et la vitesse v*. 3.4.2 A partir de l'équation d'état du gaz parfait, retrouver l'expression suivante de la vitesse v* en fonction de la température T : .. /3RT V = _ M où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz considéré. On suppose maintenant, qu'à une échelle d'espace plus grande, les molécules subissent des chocs caractérisés par une section efficace, a, que l'on suppose constante en fonction de la pression et de la température. La conductivité thermique peut s'écrire : _ 1 c V.,. 3\/î a où 6 est la capacité thermique constante d'une molécule et v* la vitesse quadratique moyenne obtenue à la question précédente. 3.4.3 Est-ce que la conductivité thermique /1 varie avec la pression ? Et avec la température ? Tvl Tv2 Température Température extérieure intérieure 303 K 293 K L Figure 7 : vitres composant le double vitrage 10/ 13 Dans les doubles vitrages, le constructeur vante le remplacement de la lame d'air emprisonnée entre les deux vitres par de l'argon. A pression atmosphérique et à 273 K, la conductivité thermique de l'argon vaut 0, 0177 W.m_l.K_1 alors que pour l'air, elle s'élève à 0, 0240 W.m_l.K_l. La résistance thermique est définie par : où AT = 71,1 --Tv2 est la différence de températures entre les deux thermostats entre lesquelles s'échange un flux énergétique CD (en W). La température intérieure est de 293 K et la température extérieure de 303 K comme indiqué sur la figure 7. 3.4.4 Exprimer R:}; en fonction de la surface A de chaque vitre, de la distance entre les deux thermostats L et de la conductivité thermique xl. 3.4.5 Donner l'analogie entre les grandeurs thermiques (RÎh,AT,CD) et les grandeurs électriques dans un tableau en spécifiant, pour chaque grandeur, l'unité. 3.4.6 Les vitres séparées par l'air sont distantes de d = lcm. Quelle distance L permet d'avoir la même résistance thermique avec de l'argon ? La différence vous parait-elle importante ? On suppose une faible différence de température (linéarisation du problème) et l'on prend en considération (1) la conductivité thermique et (2) le rayonnement entre les deux vitres. 3.4.7 Ecrire le flux énergétique entre la vitre l et la vitre 2 en fonction des données du problème (surface A, distance L entre les vitres, températures des vitres Tv1 et Tv2 , conductivité xl et constante de Stephan 0 ). Linéariser cette expression sachant que : 4 rfi --T.îä =[T.. +(T.. --T..)] --T.fä z(n1--22)x4nä . 3.4.8 Que vaut la résistance thermique pour la lame d'air (L vaut alors d = lcm) sans le rayonnement (R lhs) et avec le rayonnement (RW) ? Effectuer l'application numérique. On prendra une surface A = lm2. Est-ce que la contribution du rayonnement est importante ? Remarque : il est courant que la métallisation ou une couche à faible émission thermique soit située sur une des faces internes. 3.4.9 Entre une lame d'air et une lame d'argon, la différence est un peu plus grande que celle que l'on a calculée. De plus, si l'espacement entre les vitres est supérieur à 1,2 cm, la résistance thermique ne varie plus. Quel phénomène de transport thermique permet d'expliquer ces observations ? 11/13 3.4.10 Le coefficient de transfert thermique U d'une fenêtre, exprimé en W.m_2.K_l, est défini comme l'inverse du produit de la résistance thermique de l'objet et de sa surface A. Il vaut pour les différents types de fenêtres : Système Fenêtre U (W.m_2.K_l) I Simple vitrage 5,8 Il Double vitrage ordinaire 2,8 III Double vitrage avec métallisation 1,9 IV Double vitrage avec métallisation et argon 1,1 V Triple vitrage avec métallisation et argon 0,8 Pour référence, les murs ont typiquement un coefficient de transfert thermique de 0,5W.m_2.K_1. Analyser l'importance du nombre de vitres à partir du tableau ci-dessus et des questions précédentes. Justifier que l'on installe majoritairement des fenêtres en double vitrage. PARTIE 4 -- Bilan thermique d'une maison climatisée en été On considère une maison et sa climatisation. La température extérieure est de Tc = 303K. La température intérieure est de T F = 293K. L'ensemble mur--fenétre reçoit un flux net (radiatif-- convectif-diffusif) de +1000W. La maison est équipée d'une climatisation idéale. Sur chaque cycle, le fluide circulant dans l'installation reçoit un transfert thermique Qc à la source chaude, un transfert thermique QF àla source froide et un travail W. Dans toute cette partie, on admettra que la conversion électromécanique du compresseur (moteur servant lors de la compression) a un rendement unité. 4.1 Maison sans circulation d'air 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 A partir du premier principe, exprimer le travail W en fonction du transfert thermique avec la source chaude Qc et froide QF . A partir du second principe en supposant une machine de Carnot, donner l'expression de QF en fonction de QC,TC et TF. Déterminer le coefficient de performance (COP) du climatiseur idéal modélisé comme une machine de Carnot fonctionnant en récepteur. Effectuer l'application numérique. Quelle puissance électrique est nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 293 K avec cette machine de Carnot ? Rappel : le moteur est idéal, sans perte, convertissant l'intégralité de la puissance électrique reçue en puissance mécanique. 12/13 4.1.5 La machine réelle utilisée pour la climatisation de la maison a un COP de 3. En déduire la puissance électrique nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 293 K. 4.2 Prise en compte de la circulation d'air sec Dans une maison de 100 m2 , le débit volumique d'air entrant mesuré à l'extérieur vaut 100 m3 .h_1. L'air chaud entrant est directement en contact avec la climatisation. La température à l'intérieur de la maison est homogène. L'air entrant est à la même pression que l'air sortant. On prendra : p = 1,00 >< 105 Pa, Mair = 0,0289kg.moÎ1 et c = 1005 J.kg"'.K"'. p,air , . . , . . . dx _ L au sera traite comme un gaz parfait. Dans la suite, on adoptera la notation : -- = x. 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 dt Ecrire le bilan des débits massiques (on notera n'a V,ai,,e le débit massique d'air entrant et n'aV al.,, S le débit massique d'air sortant). Déterminer la valeur numérique du débit massique 1 entrant en g.s_ . La température de référence sera la température extérieure Tai, = 303 K. Ecrire le premier principe et en déduire l'expression du transfert thermique reçu par l'air entrant 5Qaim en fonction des paramètres du problème dont font partie le débit massique mV,air,e et la différence de température Tc --TF. Dans le cas d'un système ouvert, on rappelle que la variation d'enthalpie dH = C pdT est reliée au transfert thermique 5Q et au travail utile 5Wu = Vdp par: dH=5W,+5Q. En déduire la puissance thermique QF reçue par le fluide de la climatisation nécessaire pour refroidir cet air. Effectuer l'application numérique. Quelle puissance électrique est maintenant nécessaire pour maintenir la température interne de la maison ensoleillée à 293K avec la climatisation réelle (COP = 3) ? En présence d'air humide saturé (air + vapeur d'eau dont la pression partielle est égale à la pression de vapeur saturante), la puissance thermique QF trouvée à la question 4.2.3 passe à 1290 W. A quel phénomène physique est associée cette augmentation sachant que la pression de vapeur saturante de l'eau vaut 4246 Pa à 303K et 2339 Pa à 293K ? Fin de l'énoncé. 13/13

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 CCP Physique 1 MP 2013 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Victor Bertrand (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Ce sujet se compose de deux grandes parties, l'une consacrée à la mécanique, l'autre à une étude thermodynamique. La partie mécanique s'articule en deux temps. On commence par l'étude du mouvement d'une moto, en prenant en compte les différents éléments solides qui composent le système {conducteur+motocyclette}. Cette partie est longue et répétitive. Les calculs ne sont pas exagérément compliqués, mais il faut être concentré pour ne pas s'y perdre. En particulier, il faut bien se souvenir du fait que le théorème du moment cinétique peut s'appliquer en n'importe quel point fixe du référentiel barycentrique même si celui-ci n'est pas galiléen. Il est dommage qu'après tous ces calculs, aucune question intéressante ne soit posée sur les interprétations physiques, notamment comment on peut conserver l'équilibre sur une « roue avant » en moto ou à quelle condition (d'accélération ou de freinage) la moto se cabre (en arrière ou en avant). À noter que pour les applications numériques, le sujet fournit des roues de 50 cm de rayon, ce qui fait un mètre de diamètre. Sauf à parler de la moto de Batman dans The Dark Knight Rises, il est à parier que le concepteur ait confondu rayon et diamètre dans ses recherches de valeurs numériques... La seconde étude concerne une particule qui évolue dans un fluide en rotation. Il s'agit de mécanique des fluides qui ne dit pas son nom (et pour cause : ce n'est pas au programme de MP !) et dont on a du mal à cerner l'intérêt pratique, si ce n'est faire écrire quelques équations du mouvement non usuelles. Les calculs ne sont pas compliqués en soi, mais justement, toute cette partie se cantonne à cela : du pur calcul sans interprétation physique sous-jacente. La partie thermodynamique se consacre à l'étude de l'isolation d'une maison. En premier lieu, on étudie les flux radiatifs et diffusifs au niveau des fenêtres. Là encore, il fallait avoir bien compris le cours sur la radiation du corps noir car il s'agit de refaire la même chose 3 fois de suite en compliquant légèrement à chaque passage sans intérêt physique particulier (du moins pas exploité par le sujet) ; on finit par quelques considérations sur les résistances thermiques. En second lieu, on s'intéresse au fonctionnement d'un climatiseur en vue de maintenir l'habitation fraîche en été. Cette partie est de loin la plus facile (car très proche du cours) et aura profité à ceux qui lisent l'énoncé en entier avant de se lancer dans le sujet. Elle contient néanmoins sur la fin une formulation du premier principe en écoulement stationnaire (à la limite du programme de MP) quelque peu discutable que l'on aura intérêt à oublier pour se cantonner à une démonstration plus classique du type détente de Joule-Thomson. On l'aura compris, ce problème est long, très long et sans grand intérêt une fois que l'on a cerné les deux-trois compétences qu'il faut appliquer à répétition dans chaque partie. Il est plutôt bon de s'y entraîner dans l'optique d'une « analyse d'énoncé », c'est-à-dire déterminer à la simple lecture les parties qu'il faut traiter en priorité (car faciles ou proches du cours) ainsi que celles sur lesquelles il faut éviter de passer trop de temps (du fait d'une erreur de calcul qui, par cascade, pourrait invalider les pages de calculs suivantes). Indications Partie 1 1.1 Bien définir les référentiels considérés (sol, bâti de la moto, roues). Utiliser la composition des vitesses afin d'exprimer la vitesse de glissement des roues par rapport au sol. 1.2 Exprimer le moment cinétique d'une roue par rapport à son centre dans le référentiel du système {moto+conducteur}. Utiliser le théorème de Koenig pour l'exprimer dans le référentiel fixe (Oxyz). Supposer que O1 (resp. O2 ) est le barycentre de la roue avant (resp. arrière). 1.3 Raisonner comme au 1.2, mais sur le système complet. Remarquer que seules les roues sont animées d'une vitesse dans le référentiel du système {moto +conducteur}. 1.5 Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique. 1.8 Les roues ne décollent pas tant qu'il y a contact, donc tant que les réactions du sol sont strictement positives. 1.9 La condition de non-glissement s'exprime à partir des composantes de la réaction : f |Ni | > |Ti | pour i {1, 2}, avec f coefficient de frottement. 1.10 On suppose que O2 est le barycentre de la roue arrière. est à prendre en compte dans la somme des moments appliqués en O2 . 1.11 La puissance fournie par un moteur exerçant un couple sur un axe tournant à la vitesse angulaire s'écrit P = . 1.12 Appliquer le même raisonnement qu'en 1.3. - 1.13 Le nouveau point de contact, donc d'application de R 2 est C2 . Prendre garde -- à la projection du vecteur GC2 dans (- ex , - ey ). 1.14 Appliquer le théorème du moment cinétique au point G. On ne demande pas l'expression littérale de . 1.15 Justifier que seule l'équation est modifiée. Utiliser le résultat du théorème du moment cinétique appliqué dans la question 1.10 pour trouver T2 . 1.18 Utiliser le changement de variable proposé pour trouver une équation différentielle sur u. Penser à vérifier sur le résultat que v(t) --- v . t Partie 2 2.1 Appliquer le principe fondamental de la dynamique au point P. - 2.2.1 Introduire = (- ex , Op). La vitesse angulaire de parcours dans le référentiel mobile est alors . 2.3 Le point coïncident à P, immobile dans R , décrit un mouvement circulaire uniforme à la vitesse autour de l'axe (Oz) dans R. 2.4 Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour un référentiel non galiléen. Il n'est pas demandé de calculer z(t). Partie 3 3.2.1 Détailler les différents flux émis et absorbés. Le flux solaire n'est absorbé que par le corps noir, car la vitre lui est transparente. 3.2.3 Procéder à un bilan énergétique sur le corps noir. S'il reçoit un flux pendant dt, il gagne une énergie dt. Si sa température évolue de dT, son énergie évolue de CdT. Le bilan radiatif sur la vitre est inchangé. 3.4.1 Dénombrer les particules impactant une paroi pendant un intervalle de temps dt en utilisant l'isotropie de la distribution des vitesses. Calculer leur variation de quantité de mouvement pour en déduire la force de pression exercée par la paroi. 3.4.4 Supposer que varie peu avec la température sur l'évolution considérée. Partir d'un modèle unidimensionnel, en régime permanent, pour démontrer l'expression de la résistance thermique. 3.4.7 Le flux total est la somme algébrique des flux diffusifs et des flux radiatifs émis par les vitres. Partie 4 4.1.1 L'énergie interne est une fonction d'état : sa variation est nulle sur un cycle. 4.1.2 Une machine de Carnot est une machine dont tous les processus sont réversibles. L'entropie créée est donc nulle. énergie utile à l'usager . 4.1.3 Le C.O.P. est défini par : = énergie dépensée par l'usager 4.1.4 Utiliser la première loi de Joule pour associer température constante et énergie du gaz constante. Le gaz reçoit l'énergie provenant du flux total sur les murs, et en donne au fluide du climatiseur en tant que source froide par transfert thermique. 4.2.1 La masse d'air de la maison doit être constante. La pression ne change pas pour l'air entrant, et celui-ci est toujours pris à la même température Tair . 4.2.2 L'énoncé n'est pas clair. Il vaut mieux considérer le système composé du fluide dans le climatiseur à l'instant t auquel on ajoute un élément d'air entrant, et étudier comment varie l'enthalpie de ce système entre t et t + dt. Qair,e est le transfert de chaleur infinitésimal reçu par l'air pendant cet intervalle de temps, il dépend donc aussi de dt. 4.2.5 La pression partielle de la vapeur d'eau pvap,eau est le produit de la pression totale p et du titre en vapeur d'eau xvap,eau . À la pression de vapeur saturante, il y a équilibre entre eau liquide et vapeur d'eau. 1. Une moto et son conducteur 1.1 Pour simplifier l'écriture, notons R0 le référentiel fixe (O, - ex , - ey , - ez ), RG le - - - - - - référentiel de la moto (G, ex , ey , ez ), R1 le référentiel de la roue avant (O1 , e r1 , e 1 , e z ) - - - et R2 le référentiel de la roue arrière (O2 , er2 , e2 , ez ), où les vecteurs introduits sont définis sur le schéma ci-dessous. - ey y - ez G - ex e- 2 e- 1 - e r1 - e r2 - ey O1 O2 - ez x - ex I1 I2 Écrivons maintenant les relations de non-glissement des roues avant et arrière. Exprimons la vitesse de glissement en utilisant la composition des vitesses : - v =- v (I R ) = - v (I R ) + - v (I R ) g 1 1 1 R0 1 RG 1 G R0 · Le premier terme représente la vitesse du point I1 dans le référentiel de la roue R1 par rapport au bâti de la moto (référentiel RG ). I1 est en rotation uniforme à la vitesse instantanée de rotation 1 autour de O1 , avec O1 I1 = r1 . Donc - v (I1 R1 )RG = r1 1 - e 1 - Au point I1 , - e 1 = ex , soit - v (I1 R1 )RG = r1 1 - ex · Le deuxième terme représente la vitesse du point coïncident à I1 dans RG par rapport à R0 . RG étant en translation par rapport à R0 à la vitesse instan tanée v - ex , - v (I1 RG )R0 = v - ex - - vg = 0 En l'absence de glissement, d'où r1 1 + v = 0 Pour la roue arrière, on obtient de même r2 2 + v = 0 On en déduit 1 = - v r1 et 2 = - v r2