CCP Physique 1 MP 2012

Thème de l'épreuve Étude d'une centrifugeuse. Roulement d'un disque solide sur un cylindre. Étude thermodynamique d'une centrale nucléaire.
Principaux outils utilisés mécanique du point et du solide, machines thermiques, diffusion thermique
Mots clefs roulement sans glissement, glissement, forces d'inertie, théorème du moment cinétique, cycle de Brayton, thermodynamique en système ouvert, efficacité, loi de Fourier, résistance thermique, combustible nucléaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2012 MPP1003 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP ____________________ PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures ____________________ N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont autorisées Le sujet comporte quatre parties indépendantes. Les parties 1 et 2 portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 8). Les parties 3 et 4 portent sur la thermodynamique (de la page 9 à la page 14). 1/14 Tournez la page S.V.P. MÉCANIQUE La première partie peut être vue comme l'étude du mouvement unidirectionnel d'un point matériel relativement à un repère tournant. La seconde partie concerne le mouvement plan sur plan d'un solide simple, ce mouvement s'effectuant par roulement sans glissement dans une première phase puis avec glissement dans une seconde phase. PARTIE 1 Une centrifugeuse est un appareil destiné à séparer la phase solide d'une suspension liquide-solide. Cette séparation a pour origine la différence des masses volumiques du liquide et des particules solides en suspension dans le fluide. La partie essentielle de cet appareil est constituée d'un rotor lequel est entraîné en rotation à vitesse élevée, autour de son axe de symétrie, supposé ici vertical. Ce rotor supporte une série de tubes à essais identiques dans lesquels se situe la suspension à traiter. Soit un repère lié au laboratoire et considéré comme galiléen. Soit ' un repère mobile (relativement à ) d'axes Ox, Oy , Oz , les vecteurs unitaires associés s'écrivant e x , e y , e z . Les axes verticaux des deux repères coïncident, ' est animé, relativement à , d'un mouvement de rotation uniforme autour de la verticale. Le vecteur vitesse rotation de ' relativement à est noté = .e z (voir schéma n° 1.a). Soit (A) une droite, fixe relativement à ', située dans le plan yOz . Cette droite est orientée par le vecteur unitaire er , l'angle situé entre les directions de er et e y est noté (voir schéma n° 1.b). On va considérer un point P se déplaçant sur la droite (A), la position de P étant repérée par r = r (t ) tel que OP = r.er . On notera g = - g .e z le vecteur accélération due à la pesanteur. z z ez ey ez y ey O y ex g O x er P (A) Schéma n° 1.a Schéma n° 1.b Schémas n° 1 2/14 Questions préliminaires 1.1. Déterminer les composantes suivant e x , e y , e z des vecteurs a r , a c , a e qui sont respectivement les vecteurs accélération relative de P par rapport à ', accélération de Coriolis de P relativement à et accélération d'entraînement de P relativement à . 1.2. Établir l'expression du produit scalaire e r .a p où a p désigne le vecteur accélération de P relativement à . Cette expression sera fournie en fonction de r, d 2r , et . dt 2 Modélisation du mouvement d'une particule On considère maintenant une particule solide de masse volumique s et de volume V, cette particule se situe au sein d'un fluide de masse volumique différente de s . Le fluide est luimême contenu dans un tube cylindrique fixé sur le rotor de la centrifugeuse. Le repère ' est supposé lié au rotor et le centre de masse de particule sera le point P, défini précédemment (voir schéma n° 2). z (A) y O er Tube P r0 · Fluide r1 · Schéma n° 2 3/14 Tournez la page S.V.P. Étant donné les dimensions du tube, on va considérer dans la suite que le mouvement de P ne s'effectue que selon l'axe longitudinal du tube, axe coïncidant avec la droite (A) définie précédemment. La particule est soumise aux trois forces qui sont respectivement : son poids propre, la poussée d'Archimède F A et une force F r opposée au mouvement que l'on peut interpréter comme étant due à la viscosité du fluide. La poussée d'Archimède s'écrit : F A = - V .grad ( p ) où p désigne la pression en un point de coordonnées x, y, z du fluide. On a : 1 p = p ( x, y , z ) = . . 2 .( x 2 + y 2 ) - .g .z + c ste . 2 Remarques : ce fluide est à l'équilibre relativement à ', équilibre supposé non perturbé par le mouvement de la particule, l'expression de p fait intervenir une constante qui ne nécessite pas d'être précisée dans ce problème. La force F r est exprimée sous la forme F r = - k .vr où vr désigne la vitesse de P relativement à ', k étant une constante physique supposée positive. 1.3 Donner les expressions des projections suivant er des trois forces indiquées précédemment. 1.4 D'après les résultats obtenus aux questions 1.2 et 1.3, établir l'équation différentielle générale dr et du mouvement de la particule, équation faisant intervenir s , , , , g , k/V, r , dt d 2r . dt 2 1.5 L'équation différentielle obtenue possède une solution notée re correspondant à une position d'équilibre de la particule. Établir l'expression de re en fonction de g, et . 1.6 Pour = 45 °, g = 10 m.s-2 et = 5 000 tour.min-1, calculer la valeur de re . 1.7 Dans un premier temps, on cherche une solution simplifiée du mouvement et pour cela on va négliger l'influence de la force F r . La masse volumique de la particule en suspension s étant supposée supérieure à la masse volumique du fluide, on pourra utilement poser = 1- ..cos . Donner la solution générale de l'équation différentielle du s mouvement, en supposant qu'à l'instant t = 0 s , la particule se situe en r = r0 sans vitesse relative. Cette solution sera écrite en fonction de r0 , re , et t . 1.8 Le temps mis par la particule pour passer de la position r = r0 (haut du tube) sans vitesse relative initiale à la position r1 (fond du tube) étant noté T, exprimer T en fonction de , r0 , r1 , re . Application numérique pour r0 = 10 cm et r1 = 20 cm Constater que re est négligeable devant r0 ou r1 . Donner la valeur de T correspondant aux 1 . valeurs numériques de la question 1.6 et pour = s 1,01 4/14 1.9 Dans certaines situations, la force F r peut jouer un rôle non négligeable ; on va rechercher maintenant une solution exacte de l'équation différentielle du mouvement. On pourra poser : = k 2 s .V et = 2 + 2 . Rechercher les expressions des deux racines de l'équation caractéristique en fonction de et . Quels sont les signes de ces deux racines ? 1.10 Dans des conditions initiales identiques à celles de la question 1.7, déterminer l'expression de r (t ) en fonction de r0 , re , , et t . 1.11 Établir l'expression du rapport r1 - re en fonction de , et T , où T est le temps mis pour r0 - re passer de r0 à r1 . r1 - re en fonction de T, donner r0 - re la valeur de T (ce graphe est tracé pour = 25 s-1 et les valeurs numériques précédemment données). 1.12 À partir du graphe n° 1 représentant les variations du rapport 3 2,5 2.5 (r1-re)/(r0-re) (r1 - re)/(r0 - re) 2 1,5 1.5 1 0,5 0.5 0 0 0,5 0.5 1 1,5 1.5 2 2,5 2.5 3 3,5 3.5 4 4,5 4.5 5 Ten s T en s Graphe n° 1 5/14 Tournez la page S.V.P. PARTIE 2 Soit un repère fixe lié au laboratoire d'axes Ox, Oy , Oz , les vecteurs unitaires associés étant notés e x , e y , e z ( e z vertical ascendant). On notera g = - g .ez le vecteur accélération due à la pesanteur. Un disque D homogène de masse m, de rayon r, de centre G, peut rouler dans le plan yOz , sur une ( ) surface cylindrique de rayon R, d'axe O, e x (voir schéma n° 3). Soient deux vecteurs unitaires tels que er = ( ) OG , e se déduisant de er par une rotation de + rad autour de l'axe O, e x . On 2 (R + r) appelle l'angle situé entre les vecteurs e z et er ; de même, on appelle l'angle situé entre e z et GA , A désignant un point du disque situé à la périphérie de celui-ci (dans ces conditions, le vecteur d vitesse de rotation instantanée du disque dans s'écrit . ex ). On rappelle que le moment dt 1 d'inertie du disque relativement à un axe G, e x s'écrit J = mr 2 . 2 Les interactions du disque avec l'air ambiant seront toujours négligées. Pour les questions allant de 2.1 à 2.9, on supposera que le disque roule sans glisser sur la surface cylindrique. ( ) Disque D A G er z ez O e Schéma n° 3 6/14 ey y d d et encore appelée relation de roulement sans glissement. dt dt 2.1 Établir la relation liant 2.2 Exprimer l'énergie cinétique du disque dans , en fonction de m, r, R et 2.3 Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du disque en fonction de m, g, r, R, et . 2.4 Donner l'expression de l'énergie totale (ou énergie mécanique) du disque. Après avoir justifié que cette quantité est constante au cours du mouvement, en déduire une relation donnant d dt 2 en fonction de , 0 , g, r, R, sachant que les conditions initiales du mouvement sont les suivantes : (0) = 0 > 0 , 2.5 2.6 d . dt d ( 0) = 0 . dt d 2 À partir des résultats qui précèdent, établir l'équation différentielle du mouvement liant , dt 2 , g, r, R. Le disque est soumis à son poids m . g ainsi qu'à la réaction de la surface cylindrique, réaction notée = N er + T e . D'après le théorème de la résultante dynamique, établir les expressions donnant et N en fonction de m, g, r, R, , d d 2 , . dt dt 2 2.7 D'après 2.4 et 2.5, établir les expressions de et N en fonction de m, g, 0 et . 2.8 Le coefficient de frottement disque/surface cylindrique a pour valeur µ = 0, 2 ; pour quelle valeur de observe-t-on la fin du mouvement de roulement sans glissement ? (le graphe n° 2 représente les variations du rapport T / N tracé pour 0 = 1°). 0.5 0,5 0,45 0.45 0,4 0.4 0,35 0.35 - T/N -T/N 0,3 0.3 0,25 0.25 0,2 0.2 0.15 0,15 0.1 0,1 0.05 0,05 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 en en degrés degrés Graphe n° 2 7/14 Tournez la page S.V.P. 2.9 Vérifier que, pour cette valeur, le disque ne s'est pas encore séparé de la surface cylindrique. 2.10 On donne r = 0,1 m et R = 0,9 m. Afin de simplifier les calculs, on pourra prendre g = 10 m.s -2 . Déterminer les valeurs numériques de , , et à l'instant précédant immédiatement la fin du roulement sans glissement. 2.11 Suite à cette phase de roulement sans glissement, on suppose que le disque va rouler et glisser sur le cylindre. Au cours de cette seconde phase, on admettra que T est négatif. Donner l'expression de T en fonction de µ et de N (supposé positif). 2.12 En utilisant le théorème du moment appliqué en G, donner une équation liant , µ , N , r et J . 2.13 En utilisant le théorème de la résultante dynamique appliqué au disque, donner deux équations liant , , µ , N , m, g , r , R et . Noter que l'une des équations obtenues est identique à celle établie à la question 2.6. 2.14 Par élimination entre ces deux dernières équations, établir l'équation différentielle pour la variable (cette équation va faire apparaître , , , µ , g , r , R ). 2.15 En supposant, lors de la transition du roulement sans glissement au roulement avec glissement, qu'il y a continuité de et , calculer la valeur de à l'instant suivant immédiatement le début de la phase de roulement avec glissement. 8/14 THERMODYNAMIQUE Les centrales nucléaires de la génération 6 prévues vers les années 2030 devront être sûres et présenter un rendement important. Une option étudiée parmi 6 grands choix est le réacteur à très haute température refroidi à l'hélium. Ce type de réacteur offrirait l'avantage d'améliorer l'efficacité de la conversion énergétique, compte tenu de la température élevée de la source chaude et de permettre en sus la production d'hydrogène. Dans ces installations de forte puissance, on utilise le cycle de Brayton (ou cycle de Joule) pour extraire le travail et, en fin de compte, produire de l'électricité. Ce problème comporte deux parties indépendantes. La première partie concerne le cycle moteur de Brayton ainsi qu'une amélioration possible pour augmenter l'efficacité. La deuxième partie est relative aux transferts thermiques dans le coeur de la centrale. Le gaz utilisé dans la centrale est l'hélium, dont les caractéristiques sont : CVm = 3R/2, Cpm = 5R/2 avec R = 8,314 J.K-1.mol-1 MHe = 4,00 × 10-3 kg.mol-1 Dans l'ensemble du problème, le gaz est supposé parfait. PARTIE 3. 3.1 Cycle de Brayton Figure n° 1 : Cycle de Brayton Un gaz parfait circule dans une installation. Il échange du travail avec l'extérieur dans le compresseur et la turbine. Le travail fourni par le passage du gaz dans la turbine sert d'une part à faire fonctionner le compresseur (turbine et compresseur montés sur le même axe) et d'autre part à fabriquer de l'électricité. Les transferts thermiques ont lieu dans des échangeurs. Le fluide, ici un gaz d'hélium, décrit le cycle de Brayton. Ce cycle est constitué de deux isobares et de deux isentropiques : - compression adiabatique réversible du point 1 avec une température T1 = 300 K et une pression p1 = 20 × 105 Pa vers le point 2 à la pression p2 = 80 × 105 Pa, - détente isobare du point 2 vers le point 3 à la température T3 = 1300 K, - détente adiabatique réversible de 3 vers 4 (de p3 = p2 à p4 = p1), - compression isobare de 4 vers 1. 9/14 Tournez la page S.V.P. 3.1.1 Pour une transformation isentropique, justifier que la relation entre T et p peut se mettre sous T la forme : = Constante. p C Exprimer en fonction de (avec = pm ). CVm 3.1.2 Déterminer les températures T2 et T4. Effectuer l'application numérique. 3.1.3 Tracer le cycle de Brayton sur un diagramme p = f (Vm). 3.1.4 Calculer les travaux W12 et W34 échangés avec l'extérieur (travaux utiles reçus) lors des transformations isentropiques 12 et 34. Rappel : pour les systèmes ouverts, on a : dH m = Wutile,m + Qm avec Wutile,m = Vm dp . Effectuer l'application numérique pour une mole d'hélium. 3.1.5 Exprimer les transferts thermiques reçus Q23 et Q41. Effectuer l'application numérique pour une mole d'hélium. 3.1.6 Montrer que l'efficacité se met sous la forme : e = 1- 1 ( rp ) avec rp = p2 . p1 3.1.7 Calculer numériquement cette efficacité et comparer à l'efficacité de Carnot obtenue en utilisant les deux températures extrêmes du cycle. 3.1.8 Exprimer le travail reçu au cours d'un cycle à partir des températures extrêmes T3 et T1, de R (ou Cp), de et du rapport des pressions rp. 3.1.9 Montrer que la valeur absolue du travail passe par une valeur maximale en fonction du rapport des pressions rpm pour : rpm T = 3 T1 1 2 . Calculer numériquement rpm et l'efficacité dans ce cas. 3.2 Cycle de Brayton avec régénérateur L'utilisation d'un régénérateur (ou récupérateur de chaleur) pendant les deux transformations isobares peut se révéler judicieux dans certaines conditions que nous allons déterminer. Si la température à la sortie de la turbine est plus élevée que la température du gaz comprimé à la sortie du compresseur, une partie de l'énergie du gaz sortant de la turbine peut être cédée (en recourant à un régénérateur) au gaz allant vers l'échangeur chaud et ainsi améliorer l'efficacité du cycle de Brayton. On suppose que les transferts thermiques associés au régénérateur sont internes. 10/14 Figure n° 2 : Cycle de Brayton avec régénérateur Dans le cycle, nous rajoutons deux lettres x et y afin d'isoler la partie échangée dans le régénérateur. Le cycle est donc composé comme indiqué sur la figure n° 2 : - compression adiabatique réversible du point 1 vers le point 2, - détente isobare du point 2 vers le point x dans le régénérateur puis du point x au point 3 en contact avec le thermostat chaud, - détente adiabatique réversible du point 3 vers le point 4, - compression isobare du point 4 vers le point y dans le régénérateur puis du point y au point 1 en contact avec le thermostat froid. En supposant un régénérateur parfait, on a : Tx = T4 et Ty = T2 . 3.2.1 Calculer algébriquement les transferts thermiques molaires Qx3 et Qy1 provenant des thermostats. L'application numérique n'est pas demandée. 3.2.2 En déduire l'efficacité et la mettre sous la forme : T e = 1 - 1 rp . T3 ( ) Effectuer l'application numérique avec p1 = 20 × 105 Pa et p2 = 80 × 105 Pa. 3.2.3 Pour quelle valeur de rpe l'efficacité avec régénérateur est égale à l'efficacité sans régénérateur ? Vérifier alors que T2 = T4 , ce qui veut dire que le régénérateur ne joue plus aucun rôle. 3.2.4 Calculer numériquement rpe dans ce cas et expliquer vers quelle valeur devrait tendre rp pour atteindre l'efficacité de Carnot. Pour y parvenir, on utilise un étagement de la compression et de la détente conduisant au cycle d'Ericsson. 11/14 Tournez la page S.V.P. PARTIE 4 : Coeur et dimensionnement de la centrale nucléaire 4.1 Les particules de combustible nucléaire Le combustible est constitué de petites sphères multicouches appelées particules TRISO (voir figure n° 3). Le coeur de matériau fissile est entouré de plusieurs couches successives ayant pour rôles d'assurer la protection du noyau et le confinement des produits de fission. Nous prendrons comme matériau pour le coeur et la couche de céramique non pas un oxyde d'uranium UO2 et un carbure de silicium SiC comme déjà utilisé dans des centrales nucléaires mais un carbure d'uranium UC et un carbure de zirconium ZrC pour leurs propriétés physiques plus intéressantes. PyC-dense ZrC PyC-dense C-poreux Coeur Matériau fissile UC Figure n° 3 : Vue et coupe d'une particule TRISO Dans cette partie, on considèrera que les propriétés physiques sont isotropes dans l'espace. Couche Position Carbure d'uranium (UC) Carbone poreux Carbone pyrolytique (PyC) dense Carbure de zirconium (ZrC) Carbone pyrolytique (PyC) dense r < r1 r1 < r < r2 r2 < r < r3 r3 < r < r4 r4 < r < r5 Rayon extérieur (m) r1 = 250 × 10-6 r2 = 345 × 10-6 r3 = 385 × 10-6 r4 = 420 × 10-6 r5 = 460 × 10-6 Conductivité thermique (W.m-1.K-1) 12 0,5 4 20 4 Tableau n° 1 : caractéristiques de couches composant la particule TRISO La puissance par unité de volume produite sous forme d'énergie thermique dans le matériau fissile UC sera notée Q. La conductivité thermique de la couche numérotée i sera notée i. 4.1.1 Donner la loi de Fourier en indiquant les unités des différentes grandeurs. 4.1.2 L'équation de la chaleur pour le coeur en tenant compte du terme de production s'écrit du = - div jQ + Q . dt Justifier cette équation. ( ) 12/14 4.1.3 En régime stationnaire, à quoi se réduit cette équation ? 4.1.4 Sachant que le laplacien en coordonnées sphériques d'un champ scalaire ( r , , ) vaut : 2 = = 1 2 1 1 2 r + sin + . ( ) r r 2 r r 2 sin ( ) r 2 sin 2 ( ) 2 Déterminer T(r) pour r r1. On notera T0 la température en r = 0 m. 4.1.5 Calculer numériquement la variation de température entre les abscisses r = 0 et r = r1. La puissance volumique Q vaut 5,0 × 109 W.m-3. Afin de calculer la température dans les différentes couches de la particule TRISO, nous allons utiliser le concept de résistance thermique. 4.1.6 Donner la définition de la résistance thermique Rth d'un matériau soumis à un écart de température T1 - T2 (T1 > T2) impliquant un flux thermique th (th > 0 selon l'axe décroissant des températures). 4.1.7 Calculer le flux thermique en coordonnées sphériques et le mettre sous la forme : th = B dT , 1 d r où la constante B est à exprimer en fonction des données du problème. On rappelle que le gradient d'un champ scalaire ( r , , ) s'écrit en coordonnées sphériques : = er 1 1 + e + e . r r r sin ( ) 4.1.8 Calculer la résistance thermique Rth,12 d'une coque comprise entre un rayon r1 et r2 (r1 < r2). 4.1.9 Calculer numériquement les résistances thermiques des 4 coques, Rth,12, Rth,23, Rth,34 et Rth,45. 4.1.10 En déduire les températures aux interfaces T1, T2, T3 et T4 si la température extérieure T5 vaut 1300 K. 4.2 Dimensionnement de la centrale La centrale nucléaire a une puissance thermique de Pth = 600 MW et une puissance électrique de Pe = 300 MW. 4.2.1 À partir de la puissance volumique Q = 5,0 × 109 W.m-3 du combustible nucléaire, déterminer le nombre de particules TRISO nécessaires au fonctionnement du réacteur. Quel volume en m3 cela représente-t-il (voir caractéristiques du coeur et de la particule TRISO dans le tableau n° 1, page 12) ? On considèrera un empilement cubique simple des particules TRISO (particules aux sommets du cube). 13/14 Tournez la page S.V.P. 4.2.2 Que vaut l'efficacité du cycle thermodynamique de la centrale en considérant l'absence de perte lors de la conversion du travail moteur en énergie électrique ? Pour estimer le débit d'hélium D, nécessaire au fonctionnement de l'installation, on suppose une installation idéale fonctionnant sur le cycle d'Ericsson (fin question 3.2.4), avec des échanges externes uniquement sur les étagements correspondants à des pseudo-transformations isothermes. 4.2.3 Déterminer le transfert thermique QC nécessaire pour faire passer une mole d'hélium dans un système ouvert de la pression p2 = 80 × 105 Pa à la pression p1 = 20 × 105 Pa sachant que la température constante du gaz est imposée par le contact avec le thermostat TC = 1300 K (voir fin de la question 3.1.4). 4.2.4 En déduire le débit d'hélium D, en kg.s-1, permettant le fonctionnement de l'installation. Fin de l'énoncé 14/14

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 CCP Physique 1 MP 2012 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Clélia de Mulatier (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Freulon (ENS Ulm) et Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE). Ce sujet, comme chaque année, est composé de deux problèmes : un de mécanique et un de thermodynamique. L'ensemble est divisé en quatre parties indépendantes. · La première partie s'intéresse au principe d'une centrifugeuse, appareil utilisé notamment en chimie organique, pour séparer une phase solide en suspension dans une phase liquide. L'étude reste superficielle et concerne finalement une application des relations de cinématique et de dynamique en référentiel non galiléen. · Dans la deuxième partie, on aborde un exercice de mécanique du solide en considérant le roulement sans glissement d'un disque sur un cylindre. L'objectif est de déterminer l'angle où le glissement s'amorce. · Dans le deuxième problème, on étudie quelques aspects des futurs réacteurs de centrales nucléaires. C'est la machine thermique, basée sur le cycle de Brayton, qui fait l'objet de la troisième partie de ce sujet. Ce dispositif assure la conversion en électricité de l'énergie thermique produite par la réaction nucléaire. · Enfin, on aborde succinctement, sous l'hypothèse stationnaire, la diffusion thermique au sein du combustible. La particularité du dispositif étudié tient en effet à l'agencement de ce dernier en petites billes sphériques. Ce choix doit prévenir toute fonte du coeur du réacteur. L'ensemble de ce problème reste très proche du cours. Les questions sont très directives, ce qui en fait un sujet de travail au cours de l'année. Soulignons que les première et troisième parties peuvent être abordées dès la première année. Indications Partie 1 1.3 Attention à bien utiliser la formule proposée pour la poussée d'Archimède. 1.7 Utiliser les fonctions hyperboliques pour résoudre. Partie 2 2.2 Utiliser le théorème de Koenig. 2.4 Quelle est la vitesse du point de contact ? Que peut-on en déduire quant au travail de la réaction du support ? 2.8 Utiliser les lois de Coulomb relatives au frottement solide. 2.12 C'est le théorème du moment cinétique barycentrique qu'il faut utiliser. 2.13 Exploiter les résultats de la question 2.6. Partie 3 3.1 Penser à la loi de Laplace ! 3.1.4 Il est plus aisé de travailler avec la formule dHm = Wutile,m + Qm . 3.1.6 Le travail fourni par le gaz au cours de la transformation 3 4 sert à faire fonctionner le compresseur, W12 et à produire de l'électricité, Wu . 3.2.2 L'énergie thermique Q2x n'est plus fournie par le milieu extérieur. Partie 4 4.1.4 La température ne diverge pas en 0. 4.1.7 Exprimer le flux thermique à travers une sphère de rayon r, puis utiliser la loi de Fourier. 4.1.8 Remarquer que pour tout r > r , - est à flux conservatif. 1 Q 4.1.10 Utiliser la question 4.1.4 pour exprimer (r1 ). Mécanique Partie I 1.1 Commençons par remarquer, sur le schéma 1.b de l'énoncé, que - er = cos - ey - sin - ez P étant astreint à se déplacer selon une droite, sa vitesse relative est - v r = r - er et son accélération relative est d2 r - ar = r - er = 2 (cos - ey - sin - ez ) dt L'accélération de Coriolis de P est donnée par la relation - - ac = 2 - vr = 2 dr - [ ez (cos - ey - sin - ez )] dt dr - ac = - 2 cos - ex dt Soit M un point fixe dans R , confondu avec P à l'instant t, alors - ae (P) = - aa (M). Or, M a un mouvement de rotation circulaire uniforme dans R, de centre H (projection de P sur (Oz)), de rayon HP = r cos et de vitesse angulaire . Ainsi, - - ae (P) = -2 HP = -r2 cos - ey 1.2 À partir des relations établies précédemment, on obtient 2 d r- dr - - - - - 2 e r · aP = er + 2 ez er - r cos ey · - er dt2 dt d2 r - er · - a - r2 cos2 P = dt2 - 1.3 Le poids de la particule est -mg - ez , avec m = s V et er · - ez = - sin , d'où -mg - ez · - er = s Vg sin En coordonnées cartésiennes, -- p p p - - - grad p = ex + ey + ez x y z On peut alors réécrire la poussée d'Archimède sous la forme - FA = -V( 2 x - e x + 2 y - ey - g - ez ) Ainsi, - - FA · er = -V(2 y cos - g sin ) - - FA · er = - V 2 r cos2 + g sin avec y = r cos - L'expression de FA peut paraître surprenante. Elle correspond cependant bien à la définition « force verticale opposée au poids du volume de fluide déplacé », mais dans le référentiel tournant. Il faut alors remplacer le poids du fluide déplacé par le poids apparent. - La force de viscosité du fluide est Fr = -k - v r = -k r - er , donc - dr Fr · - er = -k dt 1.4 La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la particule solide de masse s V dans R s'écrit - r - - A m- a P = -mg ez + F + F Soit, en projection selon - e r - r - - - - A s V - a P · er = (-mg ez + F + F ) · er En explicitant les différents termes, il vient k dr d2 r - r2 cos2 = g sin - r2 cos2 - g sin - 2 dt s s s V dt On obtient alors l'équation différentielle générale du mouvement de la particule d2 r k dr 2 2 + - 1 - cos r = 1 - g sin (1) dt2 s V dt s s 1.5 La position d'équilibre de la particule est atteinte pour r = 0 et r = 0, soit re = - g sin 2 cos2 Cette position d'équilibre négative n'est pas en contradiction avec la physique du problème. En effet, il s'agit d'une position d'équilibre instable que le système n'atteint jamais : la particule part d'une position r(t = 0) > 0, et on s'attend à ce que r augmente au cours du temps. 1.6 Application numérique : re = -52 µm - 1.7 En négligeant Fr , l'équation différentielle (1) devient d2 r 2 - r = 1- g sin dt2 s d2 r - 2 r = - 2 re dt2 d'après la question 1.5 On reconnaît une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients et à second membre constants. En l'absence de terme d'ordre 1, la solution générale s'écrit r(t) = A ch (t) + B sh (t) + re