CCP Physique 1 MP 2011

Thème de l'épreuve Étude de systèmes mécaniques. Le moteur de Stirling.
Principaux outils utilisés mécanique du solide, thermodynamique, machines thermiques, corps noir
Mots clefs frottements solides, transmission hydraulique, moteur de Stirling, moteur de Stirling solaire, transferts thermiques

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2011 MPP1003 A CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures N.B. .' Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. Les calculatrices sont autorisées MÉCANIQUE L 'épreuve porte sur l'étude de deux systèmes particuliers. Le premier système étudie le mouvement plan d'un ensemble composé d'un solide en translation et de deux autres solides en rotation autour d'axes fixes, il y aura glissement pour l 'un des contacts et nan--glissement pour l'autre. La seconde partie va s'intéresser au mouvement de deux solides en rotation autour d'un axe commun ; il est à noter que cette seconde partie est indépendante de la première. Première partie : Freinage d'un lingot métallique Un solide S se déplace sur un convoyeur à rouleaux ; on va s'intéresser à une phase de freinage de ce solide. S est homogène et caractérisé par ses dimensions : longueur 2£, hauteur 2h, largeur 19 (voir schémas n°1 et n°2), sa masse M son barycentre G. Soit un repère Oxyz orthonormé ; e e e désignent les vecteurs unitaires associés aux axes (Ox est horizontal, Oy vertical ascendant). Ce repère est lié au référentiel du laboratoire supposé galiléen. La position de 0 est choisie de telle façon qu'à t = O, le point G se situe sur la verticale de 0. Chacun des rouleaux du convoyeur est constitué d'un cylindre homogène, de rayon r, d'axe de symétrie horizontal, le moment d'inertie relativement à cet axe sera noté ]. Chaque rouleau est susceptible d'effectuer un mouvement de rotation autour de son axe horizontal. Les axes des rouleaux sont parallèles, tous situés dans le même plan horizontal et distants de 2d. On va considérer la situation pour laquelle le solide est en contact avec deux rouleaux particuliers, les rouleaux n°1 et n°2 de barycentres respectifs les points 01 et 02 (on suppose 2EUR > 2d ). Le rouleau n°1 peut tourner librement autour de son axe horizontal, la liaison étant supposée parfaite. Le rouleau n°2 est entraîné en rotation par un moteur extérieur non figuré, sa vitesse de rotation est 602 > 0 constante au cours du temps. A l'instant initial, l'extrémité droite du solide se situe à la verticale du point 02, la vitesse du solide est ' dX X =--0>0. 0 dt() Les points de contact du solide sur les rouleaux sont notés respectivement 11 et 12. Le rouleau n°2 va donc freiner le solide S et, à un instant t = T, S va s'immobiliser ; la suite du mouvement ne sera pas considérée ici. Le coefficient de frottement S/rouleau sera noté ,a, il ne sera pas fait de distinction entre les coefficients de frottement dynamique ou statique. g des1gne le vecteur acceleraüon due a la pesanteur, s01t g = --g ey . On note X = X (t) , ] abs01sse du point G à un instant quelconque, îR1 = Tlex + N1ey , SR, = T 2 ex + N 2 ey , les actions des rouleaux sur S appliquées en 11 et 12. Dans la suite du problème, on supposera toujours que le mouvement du solide S s'effectue sans glissement sur le rouleau n°1 . Pour les applications numériques, on donne [ = lm, d = 0,8 m, h = 0,2 m, r = 0,2 m, ,u = 0,1 M= 3500 kg, J= 20 kg.m2, g = 9,81 m.s'2, XO = 0,442 m.s'1 2.h À= Rouleau n°2 \ 2.d Schéma n°1 : vue dans le plan vertical Oxy à l'instant t = 0 [les flèches rondes indiquent le sens de rotation des rouleaux] ? / ÎV <î"/ Schéma n°2 : vue dans l'espace à un instant t quelconque Les questions 1.1 à 1.8 correspondent à une mise en équation du problème posé. 1.1 Le vecteur vitesse de rotation du premier cylindre est noté a;1 EUR. Exprimer la relation de non glissement en Il, relation liant r, 601 et X (relation 1). 1.2 Exprimer la vitesse de glissement de S sur le rouleau n°2 en fonction deX , r, 502. Dans ces conditions, quel est le signe de T 2 ? Ecrire la relation liant T 2 et N2 en supposant N2 > 0 (relation 2). 1.3 Exprimer le moment cinétique du premier rouleau relativement au point 01 puis l'énergie cinétique initiale de l'ensemble (solide S + rouleau n°1) en fonction de X 0 , M, J, r. Cette énergie sera notée Ec(0). Calculer la valeur de cette quantité. 1.4 Par utilisation du théorème de la résultante dynamique appliqué à S, obtenir deux relations liant N1, N2, T1, T 2, M, X (relations 3 et 4). 1.5 En considérant le rouleau n°1 seul et, en utilisant le théorème du moment dynamique, donner ala)1 dt une relation liant T1 et (relation 5). 1.6 On note 66. le moment cinétique en G de S. Quelle est la valeur de âG ? 1.7 En faisant appel au théorème du moment dynamique appliqué à S, établir une relation liant N 1, T1, N2, T2, £, h, detX(relation 6). 1.8 D'après les relations obtenues, établir l'équation différentielle pour la variable X Les questions 11.1 à 11.6 comprennent principalement une résolution du problème posé. 11.1. Pour simplifier l'écriture obtenue à la question 1.8, on pourra poser: M ' = M + 12 [l + 2d,uh h] (et prendre M' = 4000 kg pour les applications numériques). '" _ ." - - , , - - r ' , r ' d2X 2 Dans cette 51tuaüon, l equaüon dlfferenüelle pour X 5 cent sous la forme d 2 + 9 X = K t où 9 = ;; g % , K étant une constante dont vous préciserez l'expression en fonction 2d -- yh M ' de EUR, d et 92. Calculer la valeur numérique de la pulsationQ . 11.2. Donner la solution de l'équation différentielle en fonction de X 0 , Q , EUR , d et t. 11.3. À l'instant t= 1, la vitesse de S s'annule (pour la première fois). Établir l'expression de tan(r Q ) en fonction de Q , £, d, X 0. Vérifier que tan(r Q ) «51 et calculer l'amplitude maximale X m du déplacement du point G. Montrer que le solide S est toujours en appui sur le rouleau n°1, à l'instant t = T. 11.4. Établir les expressions de N1 et de N2 en fonction de X et des constantes. N] et N2 étant des fonctions respectivement décroissante et croissante de X, donner les conditions montrant qu'il n'y a pas basculement du solide S entre les instants t = 0 et t = 17. 11.5. Quelle est l'expression de la puissance P due aux forces s'exerçant sur l'ensemble (solide S + rouleau n°1) ? En déduire l'expression de W, travail reçu par l'ensemble (solide S + rouleau n°1) entre les instants 0 et 1:. D'après la question 1.3, donner la valeur de W. 11.6. Exprimer W ' le travail fourni par le moteur d'entraînement au rouleau n°2 entre les instants 0 et 1:, expression faisant intervenir a)2 et X 0 . Quel est le travail dissipé en chaleur entre les instants 0 et 17 ? Seconde partie : Entraînement hydraulique Dans cette deuxième partie, on va s'intéresser au fonctionnement d'un dispositif d'entraînement hydraulique ayant pour but de transmettre un couple. Soit Oxyz un repère orthonorrné direct lié au laboratoire et considéré comme galiléen. Les vecteurs unitaires associés aux axes sont ex ,ey ,ez , l'axe Oy est vertical ascendant. Le dispositif d'entraînement est constitué principalement de deux parties, notées l et 2 (voir schémas n°3 et n°4). 4-- un ! i i Partie 1 i y ! Fluide %» ! g,, ! 0 i Partie 2 : disque ----> ' x x / z Partie 2 carter : l /' i Partie 1 : axe Schéma n°3 : vue dans le plan horizontal sz Schéma n°4 : vue dans le plan vertical xOy La partie 1 possède une symétrie de révolution; son barycentre se situe en 0. Elle peut tourner autour de son axe horizontal coïncidant avec Oz. Cette partie 1 est soumise à un couple de moment Feî par un moteur d'entraînement extérieur et non figuré sur les schémas n°3 et 4 (F est strictement positif et constant au cours du temps). Le vecteur vitesse de rotation de 1 est donc noté _ _ 91 = a)1ez ; le moment d'inertie relativement à Oz est noté J1. La partie 2 possède également une symétrie de révolution autour de Oz, son barycentre coïncide avec le point 0. La partie 2 tourne autour de son axe horizontal avec une vitesse de rotation notée _» Q, = 502 ez , le moment d'inertie relativement à Oz est noté J2. Entre les solides 1 et 2 se situe un fluide visqueux qui va assurer l'entraînement de 2 par 1. En effet, le fluide exerce sur 2 un couple de moment Ü; = f1 (@ --w2)ê, un couple opposé s'exerçant sur 1. La partie 2 est destinée à faire fonctionner un appareil extérieur non figuré sur les schémas n°3 et 4 et subit de ce fait un couple Ü; = --f2 @2 EUR (il s'agit d'un couple résistant, « opposé >> à la vitesse de rotation, les coefficients f1 et f; étant supposés positifs). Le solide 1 est supporté par des paliers (non figurés), la liaison étant supposée parfaite. De même, tout frottement entre 1 et 2 sera négligé. _. III.]. Donner les expressions des moments cinétiques GT et 02 en 0 des parties 1 et 2. 111.2. Par application du théorème du moment dynamique, écrire deux relations liant col et 502 et leurs dérivées premières. III.3. Des deux égalités précédentes, déduire une équation différentielle du second ordre pour (01 puis pour (02. 111.4. Donner les expressions générales de col et 502 en fonction du temps, en supposant les conditions initiales suivantes : w1(0) = 602 (O) = 0 et a)1(0) = @2 (O) = 0 . III.5. Montrer que le régime transitoire va disparaître avec le temps. III.6. En supposant le régime permanent établi, donner l'expression des vitesses de rotation 501 et 602 en fonction de F , f1, f2. En déduire l'expression de la puissance mécanique P1 transmise par le moteur au solide 1 en fonction de f1, f2, F. III.7. De même, donner l'expression de la puissance P2 transmise par la partie 2 à l'appareil extérieur, en fonction de F et fg. III.8. Quel est le signe de P1-- P2 ? Comment expliquez-vous cette différence ? THERMODYNAMIQUE Le moteur de Stirling est constitué de deux chambres, une chaude, une froide, reliées par un régénérateur de volume constant pouvant être constitué de fils de cuivre tressés. Le gaz, en circuit fermé, reçoit un transfert thermique d'une source chaude et cède un transfert thermique à la source froide. Le rôle du régénérateur, base de l'invention de Stirling, est fondamental pour obtenir une bonne efficacité. Dans son brevet original de 1816, Stirling explique que le gaz chaud entre dans la partie chaude du régénérateur et est progressivement refroidi durant son parcours pour ressortir par l'autre extrémité à une température presque identique à la température de la source froide. Dans le parcours inverse, le gaz est progressivement réchauffé. Cette astuce technologique permet d'avoir une partie des échanges thermiques internes au moteur. Ce problème comporte 3 parties. La première partie permet de comprendre l'intérêt du régénérateur dans le calcul de l'efficacité. La seconde partie analyse le rôle du volume et des pertes thermiques dans un régénérateur réel. La dernière partie, indépendante des deux précédentes, aborde la concentration du flux solaire et le transfert thermique à la chambre chaude du moteur de Stirling. C0nstantes du problème : Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J .mol'l.K'1 Constante de Stephan : 0 = 5,67.10'8 W.m'2.K'4 Données sur le dihydrogène (Hz) Masse molaire : M Hz = 2, 00.10"3 kg.mol'1 C Rapport des capacités thermiques y = C--" = 1,40 V Données sur le cuivre Masse volumique : p = 8913 kg.m'3 Chaleur spécifique massique : c = 387 .Ï.kg'1.K'1 Conductivité thermique : À = 362 W.m'l.K'1 Données sur le sodium Masse molaire : MNa = 22,96.10'3 kg.mol'1 Masse volumique : p = 968 kg.m'3 Capacité thermique massique du liquide : c = 1230 J .kg'l.K'1 Température de vaporisation à pression atmosphérique : T v = 1156 K Enthalpie molaire de vaporisation à pression atmosphérique : AH...aP = 99,2 kJ.mol'1 Description du cycle de Stirling Le cycle associé à un moteur de Stirling est constitué de 2 isothermes et de 2 isochores. Il est décrit comme suit : 1-->2 : compression isotherme à Tf = 313 K 2-->3 : transformation isochore de la température Tf = 313 K à la température T c= 1173 K 3-->4 : détente isotherme à T c= 1173 K 4-->1 : transformation isochore de la température T c= 1173 K à la température 7} = 313 K Ce cycle est représenté figure 1 : Piston chaud Régénérateur Piston froid 1 | ' FROID ' _ÿ 2 Il I l ' l | 3 l ' CHAUD ' | L x %.--> Figure 1 : déplacement des pistons Caractéristiques du moteur de Stirling retenu Température de la source chaude : 1173 K Température de la source froide : 313 K Volume minimum du gaz libre (uniquement chambre chaude et/ou froide) : V... = 1,0 L Volume maximum du gaz libre (uniquement chambre chaude et/ou froide) : VM= 2,0 L Volume du régénérateur accessible au gaz quand il est pris en compte : Vr = 0,2 L Volume du régénérateur occupé par du cuivre : 0,6 L Masse de dihydr0gène, traitée comme un gaz parfait, contenue dans le moteur : 0,01 kg. 1 - Moteur de Stirling avec un régénérateur parfait Les questions 1.1 à 1.9 ne tiennent pas compte de la présence du régénérateur. Dans toutes les questions de cette partie 1, le volume du régénérateur est nul (Vr = 0), comme indiqué sur la figure 2. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. =l vvl Piston chaud Piston froid Figure 2 : volumes à considérer pour le régénérateur parfait À partir des caractéristiques du moteur de Stirling, déterminer numériquement le nombre de moles n de gaz et les pressions p1, p2, p3 et 194. Représenter le cycle moteur de Stirling sur un diagramme p(V). Exprimer algébriquement la variation d'énergie interne AUab et les transferts énergétiques, Wah et Qab, entre un état a et un état b pour une transformation isotherme. Exprimer algébriquement la variation d'énergie interne AUCd et les transferts énergétiques, Wed et ch, entre un état 0 et un état d pour une transformation isochore. Calculer numériquement les travaux Wl---2, Wz-3, W3-4, W4-1 Calculer numériquement les transferts thermiques Q..., Q2-3, Qg-4, Q4-1 1.8. 1.9. Que valent les transferts thermiques Qc et Qf provenant des thermostats chaud et froid si aucun dispositif supplémentaire n'intervient (pas de régénérateur) en fonction des transferts thermiques Q..., Q2-3, Q3-4 et Q4-1 ? Effectuer l'application numérique. Que vaut le travail W sur le cycle ? Effectuer l'application numérique. En déduire numériquement l'efficacité sans régénérateur (est). En présence d'un régénérateur parfait (volume négligeable, transfert parfait), les transferts thermiques Q2-3 et Q4-1 sont internes. 1.10. Vérifier que les transferts thermiques Q2-3 et Q4-1 se compensent. W... + VV3-->4 Q... L'efficacité est alors calculée à partir de e = -- 1.11. Justifier cette expression. 1.12. Calculer algébriquement et numériquement l'efficacité (EUR). 1.13. Comparer l'efficacité (e) à l'efficacité de Carnot (ec). Il - Régénérateur non idéal Le régénérateur peut être constitué d'un empilement de disques de fils de cuivre tressés. On suppose que la température dans le régénérateur varie linéairement avec l'abscisse selon la loi : T (x) = T C + î(TJ, -- T C ). On prendra pour origine des abscisses la frontière chambre L chaude/régénérateur. L représente la longueur du régénérateur. On ne tiendra nullement compte des aspects dynamiques. Il n'y a pas d'échange thermique entre les tranches élémentaires de fluide. Le volume accessible au gaz dans le régénérateur Vr est aussi appelé volume mort. 11.1. Influence du volume mort du régénérateur Dans le régénérateur, le gradient de température conduit à une distribution de densité moléculaire en fonction des abscisses. Il est donc intéressant de remplacer cette distribution liée au gradient de température par un système équivalent d'un point de vue mécanique : le régénérateur sera alors supposé occupé par nr moles de dihydrogène à la température effective T r, quelle que soit l'abscisse. Le volume mort du régénérateur vaut V, = 0,2 L. 11.1 a) Dans le régénérateur, en considérant que la pression est homogène, montrer que la température effective moyenne T , s'exprime selon : TC -- Tf ln & Tf Pour les questions c à f, toutes les molécules présentes dans le régénérateur seront supposées être à la température T ,. T,= 11.1 b) Calculer numériquement T ,. 11.1 c) À partir d'un bilan de matière, exprimer la pression p en fonction de n, R, des températures Tr, TC, ?} et des volumes V,, VC et V], volumes associés au régénérateur, au piston chaud et au piston froid (voir figure 3). On considérera la pression identique dans le régénérateur et les deux chambres. 11.2. 11.3. Régénérateur IVe Ver ' Piston chaud Piston froid Figure 3 : différents volumes pris en compte 11.1 (1) Exprimer littéralement le travail W... puis effectuer l'application numérique. 11.1 e) Exprimer littéralement le travail W3-4 puis effectuer l'application numérique. 11.1 1) Comparer la valeur numérique du travail sur le cycle avec un volume mort de régénérateur de Vr = 0,2 L (WW # o) à sa valeur obtenue sans volume mort (WW = 0)- Commenter. Pour les transferts thermiques, il est impératif de considérer le gradient de température dans le régénérateur. 11.1 g) En discrétisant l'ensemble du système en fines tranches, chaque tranche de gaz est toujours à la température du thermostat local aussi bien dans les chambres que dans le régénérateur. Y a-t-il création d'entropie au cours d'un cycle ? En déduire sans calcul l'efficacité. Perte thermique dans le régénérateur Soit x la fraction de chaleur non échangée dans le régénérateur par le gaz lors de la transformation isochore (x varie de 0 à 1). Cette fraction est supposée identique dans les 2 sens de passage. Dans cette partie, le volume mort est supposé nul (Vr= 0). 11.2 a) Donner une raison qui pourrait expliquer que le transfert thermique n'est pas idéal. 11.2 b) Exprimer l'efficacité sous la forme : Tf î T ? 1+C2(1-- T--f) C C2 étant une constante à exprimer en fonction de x, y, VM et Vm. 1_ EUR: 11.2 c) Calculer numériquement C2 et l'efficacité qui en résulte, en considérant un transfert non idéal correspondant à x = 0,1. 11.2 (1) Le volume de cuivre nécessaire à la construction du régénérateur vaut 0,6 L. Estimer la variation de température du cuivre induite par le passage du gaz du piston froid au piston chaud (2-->3) dans le cas non idéal x = 0,1. Conducfion thermique dans le régénérateur Considérons une barre calorifugée en cuivre de longueur L = 2RCu et de section A = J'ERcu2 entre 2 thermostats de température T c et 7}. On se place dans l'approximation d'un régime stationnaire. 11.3 a) Ecrire la loi de Fourier. 11.3 b) Calculer le flux de conduction thermique °. 11.3 (1) Dans une réalisation technologique d'un régénérateur, on utilise un empilement de disques de fils de cuivre en treillis. La conduction thermique est donc bonne dans le plan des disques et moyenne selon l'axe x. Commenter. 111 - Moteur de Stirling solaire Moteur de Stirling , , @à et generateur ?\J J J J J //EUR?Y // 'V Flux solaire concentré Figure 4 : concentrateur parabolique sur un moteur de Stirling Une parabole dont la bordure circulaire a pour diamètre d = 10 m (voir figure 4), recouverte d'une couche parfaitement réfléchissante, concentre les rayons solaires sur une ouverture dont le fond est un disque récepteur de diamètre D = 0,2 m, disque en contact avec des tubes permettant d'échanger de l'énergie. Cette surface est considérée comme un corps noir. Le coefficient surfacique de transfert conducto-convectif au niveau du récepteur est noté h. Le flux surfacique solaire parvenant normalement àla parabole vaut (Ps = 1000 W.m'2 . 111.1.Le moteur est retiré, seule la face réceptrice assimilée à un corps noir est gardée. Elle est parfaitement isolée therrniquement sauf du côté récepteur. 111.1 a) Si l'environnement rayonne à la température ambiante de T amb = 313 K, cette contribution est-elle importante par rapport au flux solaire concentré ? Justifier en termes de flux surfacique. 111.1 b) Effectuer un bilan énergétique au niveau de la surface réceptrice. 111.1 EUR) La température de la surface réceptrice lors du test se stabilise à 2473 K, en déduire la valeur numérique du coefficient h. 111.2. Le moteur est maintenant en fonctionnement avec une efficacité e = 41 %, la température de la face chaude vaut 1173 K. La face chaude est la surface réceptrice précédente. La conversion de la puissance mécanique en puissance électrique s'effectue avec un rendement n=95%. 111.2 a) Effectuer un bilan énergétique au niveau de la surface réceptrice. On supposera en approximation grossière que le coefficient conducto-convectif déterminé précédemment ne varie pas. La puissance thermique absorbée par la face chaude sera notée PC. 111.2 b) Quelle est la valeur numérique de Pc ? 111.2 EUR) Quelle est la puissance électrique disponible Pe ? Effectuer l'application numérique. 111.3. Le flux solaire est soit directement concentré sur les tubes chauffants du moteur de Stirling, soit concentré sur un caloduc. Le caloduc, comme indiqué sur la figure 5, est un récipient fermé contenant ici du sodium sous forme diphasique. Tube d'échange Vapeur de sodium Côté extérieur : corps noir Côté intérieur : surface capillaire énérateur Retour du condensat par gravitation Flux solaire concentré Sodium liquide Figure 5 : caloduc en contact avec le moteur de Stirling Dans la suite, la puissance absorbée par la face chaude sera prise égale à PC = 70 kW. Le caloduc a un volume de 30 L et contient 1,5 kg de sodium. 111.3 3) Estimer la masse de sodium se vaporisant chaque seconde. 111.3 b) Expliquer le fonctionnement du caloduc. 111.3 c) Expliquer le rôle du caloduc dans cette application. Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 CCP Physique 1 MP 2011 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE). Comme à l'accoutumée pour la première épreuve de physique du concours CCP filière MP, l'épreuve se compose de deux problèmes distincts, un de mécanique et un de thermodynamique. · Le premier problème porte sur l'analyse de deux systèmes mécaniques particuliers. Après l'étude du freinage d'un solide en translation sur deux rouleaux, dont l'un est entraîné par un moteur, on s'intéresse à un système de transmission d'un couple par viscosité. Ce problème sans difficulté conceptuelle particulière, mais assez calculatoire, permet de se tester en mécanique du solide, particulièrement sur les lois relatives aux frottements. · Le second problème aborde l'étude du moteur de Stirling. Le sujet, très progressif, traite tout d'abord du moteur de Stirling idéal, puis consacre une large part à une modélisation plus réaliste du régénérateur, pièce essentielle de l'invention de Stirling, pour montrer l'influence de différents paramètres techniques sur l'efficacité de la machine thermique. Enfin, une dernière partie est consacrée à l'étude du moteur de Stirling solaire. Ce problème, très intéressant du point de vue scientifique, présente l'avantage de visiter différents aspects du programme de thermodynamique de première et seconde année : les transformations d'un gaz parfait, les machines thermiques, la conduction thermique, ainsi que le rayonnement thermique. Indications Mécanique I.3 Pour le calcul de l'énergie cinétique, utiliser le théorème de Koenig et le résultat obtenu à la question I.1. I.6 Utiliser le théorème de Koenig relatif au moment cinétique. I.8 Procéder par élimination en utilisant les six équations numérotées. II.4 Utiliser les résultats obtenus à la question I.8 pour obtenir les actions N1 et N2 en fonction de X, puis exprimer X en fonction de X à l'aide de l'équation du mouvement trouvée à la question I.8. II.6 Appliquer le théorème de l'énergie cinétique au rouleau n 2. Pour trouver la chaleur dissipée, appliquer le premier principe de la thermodynamique au système constitué par S et les deux rouleaux. III.4 Reconnaître l'équation d'un oscillateur harmonique amorti soumis à une excitation constante. Thermodynamique I.5 Utiliser les formules du travail obtenues aux questions I.3 et I.4. I.6 Reprendre les résultats des questions I.3 et I.4 sur les transferts thermiques. I.12 Exprimer l'efficacité en prenant les expressions littérales des travaux et transferts thermiques obtenues aux questions I.5 et I.6. II.1.a Décomposer le régénérateur en tranches d'épaisseur dx et calculer la quantité de matière dans cette tranche, puis dans tout le régénérateur par intégration. Utiliser la loi du gaz parfait pour identifier Tr . II.1.e Profiter de l'analogie avec la question II.1.d. II.2.b La chaleur que le régénérateur n'a pas pu échanger avec le gaz doit être fournie par les sources. III.1.b Appliquer le premier principe entre deux instants t et t + dt. Mécanique 1. Freinage d'un lingot métallique - g 2h I1 2 y - N1 Solide S G - T1 · - N2 - T2 O1 2r I2 · O2 · - ez Rouleau n 1 · . x Rouleau n 2 - P I.1 Le mouvement de S s'effectue sans glissement sur le rouleau n 1. Notons IR 1 un point appartenant au rouleau n 1, situé au voisinage immédiat de I1 et IS1 un point appartenant à S, situé au voisinage immédiat de I1 . L'absence de glissement signifie S que les points IR 1 et I1 ont la même vitesse. S étant en translation dans le référentiel du laboratoire, il vient - v (IS1 ) = X - ex Le rouleau étant en rotation autour de l'axe (Oy), on a - - - v (IR ) = - O I = - e r- e = -r - e 1 1 1 1 1 z y 1 x La condition de non glissement est donc X = -r1 (1) I.2 En adoptant une notation analogue à celle utilisée précédemment, la vitesse de glissement - vg de S sur le rouleau n 2 s'écrit - v =- v (IS ) - - v (IR ) g 2 2 et - v (IS2 ) = X - ex - - v (IR 2 ) = -r 2 ex d'où - vg = (X + r2 ) - ex avec (translation) (rotation) La vitesse de glissement étant une vitesse relative entre deux points, elle ne dépend évidemment pas du référentiel. Durant la phase de freinage, X et 2 sont positifs ; la vitesse de glissement est donc di rigée suivant - ex . Or, la force de frottement (l'action de contact tangentielle) qu'exerce un support sur un solide est, en cas de glissement, opposée à la vitesse de glissement du solide par rapport au support. C'est pourquoi T2 < 0 De plus, en cas de glissement, la loi d'Amontons-Coulomb sur le frottement stipule que |T2 | = µ|N2 | où µ est le coefficient de frottement. Finalement, T2 = -µN2 (2) Le coefficient µ est appelé coefficient de frottement dynamique, à ne pas confondre avec le coefficient de frottement statique qui intervient dans la condition de non glissement. Ces deux coefficients étant assez proches, on confond souvent les deux concepts pour simplifier (sauf bien entendu si le problème traite d'un phénomène qui repose précisément sur cette différence). I.3 Par rapport au référentiel du laboratoire, le rouleau n 1 est en rotation autour d'un axe fixe. Cet axe étant un axe principal d'inertie, le moment cinétique relativement à un point de l'axe est alors le produit du vecteur rotation et du moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation : - - - - O1 (Rouleau n 1) 1 = J1 ez Pour ce qui est de l'énergie cinétique du système constitué par le rouleau n 1 et le solide S, il suffit d'ajouter l'énergie cinétique de chaque sous-système. Comme S est en translation rectiligne, 1 Ec (S) = MX2 2 Le rouleau n 1 étant en rotation autour d'un axe fixe, son énergie cinétique vaut 1 - = 1 J 2 Ec (Rouleau n 1) = - 1 · 1 1 2 2 Finalement, si l'on utilise la relation (1), l'énergie cinétique initiale Ec (0) de l'ensemble est donnée par 1 J Ec (0) = M + 2 X02 = 390 J 2 r Théorème de Koenig appliqué aux solides : L'énergie cinétique d'un solide S en mouvement quelconque dans un référentiel R s'écrit 1 2 1 - Ec (S/R) = M- vG + ·- 2 2 - où M est la masse totale, - v G la vitesse du centre d'inertie, le vecteur rota - tion et le moment cinétique barycentrique. Le premier terme représente l'énergie cinétique de translation et le second, celle de rotation. I.4 Le théorème de la résultante dynamique stipule que, pour un système de masse totale M dans un référentiel galiléen, on a - d- v G M = F ext dt - où F ext est la résultante des forces extérieures et - v la vitesse du centre d'inertie. G Appliquons ce théorème au solide S soumis à trois actions : - · le poids P = -mg - ey , - · l'action de contact en I1 , R1 , - · l'action de contact en I2 , R2 . - - - Alors P + R1 + R2 = MX - ex ( T1 + T2 = MX ce qui donne en projection N1 + N2 = Mg (3) (4)