CCP Physique 1 MP 2010

Thème de l'épreuve Wagonnet sur un plan incliné. Cycle moteur.
Principaux outils utilisés mécanique du solide, thermodynamique
Mots clefs transformation monobare, transformation adiabatique, roulement avec glissement

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2010 MPP1003 A coucou: communs r'onncamours EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB ." Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** MÉCANIQUE L "épreuve porte sur ] 'étude de deux mouvements plans particuliers, pour un système de solides en première partie, pour un solide unique en seconde partie. Ces mouvements pourront comprendre une phase de roulement sans glissement simple (première partie) ou une phase de roulement avec glissement, suivie d 'une phase de roulement sans glissement. Il est à noter que la première partie comporte ] 'étude d "un équilibre et qu 'elle est indépendante de la seconde partie. Première partie Un wagonnet destiné au transport de matière minérale comprend : une plateforme, une benne, deux essieux portant chacun deux roues. L'ensemble présente un plan de symétrie vertical (il s'agit du plan XOy qui sera défini ultérieurement et qui contient les points 00, O;, 02, GO et G, voir schéma n°1, page suivante). Pour le déchargement du contenu éventuel de la benne, celle-ci peut basculer autour d'un axe lié à la plateforme, toutefois ce mouvement ne sera pas considéré dans le cadre de ce problème. Dans ces conditions, l'ensemble berme-plateforme--essieux sera considéré comme un solide unique, indéformable, de masse M = 60 kg, de centre d'inertie Go dont la position est précisée par les longueurs a = 0,5 m et b = 0,8 m. Les quatre roues circulaires et identiques sont de masse m= 15 kg et de rayon r = 0,15 m ; elles ont pour centres d'inertie respectifs les points G] et G.; (pour les roues avant) et les points GZ et 63 (pour les roues arrière). Ces roues reposent sur deux rails parallèles, écartés de Z.e == 0,6 m. Le coefficient de frottement d'une roue quelconque sur le rail est noté { ; il ne sera pas fait de distinction entre coefficients de frottement statique ou SESSION 2010 MPP1003 A coucou: communs r'onncamours EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB ." Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre. *** MÉCANIQUE L "épreuve porte sur ] 'étude de deux mouvements plans particuliers, pour un système de solides en première partie, pour un solide unique en seconde partie. Ces mouvements pourront comprendre une phase de roulement sans glissement simple (première partie) ou une phase de roulement avec glissement, suivie d 'une phase de roulement sans glissement. Il est à noter que la première partie comporte ] 'étude d "un équilibre et qu 'elle est indépendante de la seconde partie. Première partie Un wagonnet destiné au transport de matière minérale comprend : une plateforme, une benne, deux essieux portant chacun deux roues. L'ensemble présente un plan de symétrie vertical (il s'agit du plan XOy qui sera défini ultérieurement et qui contient les points 00, O;, 02, GO et G, voir schéma n°1, page suivante). Pour le déchargement du contenu éventuel de la benne, celle-ci peut basculer autour d'un axe lié à la plateforme, toutefois ce mouvement ne sera pas considéré dans le cadre de ce problème. Dans ces conditions, l'ensemble berme-plateforme--essieux sera considéré comme un solide unique, indéformable, de masse M = 60 kg, de centre d'inertie Go dont la position est précisée par les longueurs a = 0,5 m et b = 0,8 m. Les quatre roues circulaires et identiques sont de masse m= 15 kg et de rayon r = 0,15 m ; elles ont pour centres d'inertie respectifs les points G] et G.; (pour les roues avant) et les points GZ et 63 (pour les roues arrière). Ces roues reposent sur deux rails parallèles, écartés de Z.e == 0,6 m. Le coefficient de frottement d'une roue quelconque sur le rail est noté { ; il ne sera pas fait de distinction entre coefficients de frottement statique ou dynamique. Les points de contact roues-rail sont appelés [1 et L; (pour les roues avant), 12 et 13 (pour les roues arrières). 01 est le milieu du segment 1114, O; est le milieu du segment 1213, 00 est le milieu ---0 --. ----b du segment 0102. Les actions des rails sur les roues se résument à quatre forces 9î, ,9î,,9î_, ,9î, dont les points d'application sont 11, 12, 13, [4. Pour simplifier le problème, on supposera que ces forces n'ont pas de composantes suivant la direction "é, et que, de plus, îÏî, : 'Ïî, et %, : 'Îî,. On posera ÊR, : Yîex + N1 "éy et 9î, : T,ex + N,ey, [ex , ey, e,] étant une base définie ci-après. Soit un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère cartésien orthonormé direct Oxyz, de vecteurs unitaires associés @ %? ë, , le plan xOy est vertical, il passe également X' »" par les points 00, O;, 02, l'axe OX étant parallèle aux rails. Par symétrie, le centre d'inertie C du wagonnet se situe dans le plan xOy, sa position est précisée par une abscisse X telle que OG : X.ëX + c."éy . Il est à remarquer que les points 00, G et Go sont alignés. Pour l'accélération due à la pesanteur, on pourra prendre g ="Ë1l : 10 ms"2 . benne axe de basculement de la benne plateforme I°OUC 3V&l]t ) O " 0 " 4" rail 82 ex 19 14 rar] gauche essieu essieu EUR 0 ëx arrière avant OEi rail droit Schéma n°1 1) Dans un premier temps, on va étudier l'équilibre du wagonnet en présence d'une pente. Un dispositif de freinage (non figuré) bloque les deux roues avant et laisse libre les roues arrière (dans ce cas, on a donc T 2 = 0). Les rails se situent dans un plan incliné d'un angle 05 : 5° par rapport à l'horizontale (voir schéma n° 2, page suivante). Schéma n°2 1.1. Déterminer l'expression de l'ordonnée (: du centre d'inertie G en fonction de m, M, b, et r. 1.2. En écrivant que la résultante dynamique du wagonnet est nulle, établir deux :relations liant N], Mz, T1, M, 111, g et a (pour simplifier l'écriture, on pourra poser M = M + 4.m, % désignant la masse totale du wagonnet). 1.3. Calculer la valeur numérique de T1. 1.4. Le moment dynamique du wagonnet relativement au point 0; étant nul, établir l'expression de N; en fonction de M,, g, a, cet &. 1.5. Des questions 1.2. et 1.4, déduire l'expression de N2. 2) Dans un second temps, le système de freinage étant débloqué, le wagonnet se situant toujours sur une pente inclinée de l'angle a par rapport à l'horizontale, on soumet celui-ci à une force C.., F = F ."èx située dans le plan de symétrie vertical du wagonnet XOy. Cette force est caractérisée par son intensité constante F, sa ligne d'action étant une parallèle aux rails passant par le point G. Les accélération et vitesse observées étant suffisamment faibles, la résistance à l'avancement du milieu ambiant sera négligée. Le mouvement des roues sur les rails est supposé s'effectuer sans glissement. La vitesse de rotation instantanée est donc identique pour chacune des roues et sera notée Q = (0.252. , . . . . dX 2.1. Etablir la relat1on de roulement sans glissement liant a), ---- etr. dt 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. . 1 7 . . . Sort ] = +-- mr'" _, le moment d'1nert1e de l'une quelconque des roues relat1vement a son axe 2 de rotation. Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de l'une quelconque des roues . dX en fonct10n de m et ---------- dt ' Déterminer l'expression de l'énergie cinétique de l'ensemble benne-plateforme--essieux en fonction de M et _CÏ_)_(_ , puis celle de l'énergie EC du wagonnet en fonction de m, M et Ë_Ï_ dt dt ' Montrer que l'énergie potentielle de pesanteur du wagonnet peut s'écrire sous la forme E,,== % . g.X.sina. Exprimer la puissance OE'fournie par la force F en fonction de F, --CË(-- dt ' Les liaisons étant supposées parfaites, déduire des résultats précédents l'expression de d'X dr' l'accélération en fonction de F, M, 1771, a, g. Donner l'expression du moment cinétique (en GI) de la première roue (avant droit) soit --' 0'1(G1) en fonction de Jet a) . Appliquer le théorème du moment dynamique pour la première roue. En déduire d 2 X dt' l'expression de T1 en fonction de 111, puis en fonction de m, M, g, F et 05. Montrer que T1 = T 2. Calculer la valeur numérique de ces grandeurs pour F = 564,5 N. 2.10. Par projection des forces agissant sur le wagonnet suivant la direction de Oy, trouver une première relation entre Nl et N2. 2.11. Les moments cinétiques aux points G2, G3, & pour les autres roues, soient 62 (6--2 ), ô"3 (G3 ), 611 (G4 ), possèdent des expressions identiques à celle de 5"! (G] ). En utilisant ce résultat, donner l'expression de 5"(G) , moment cinétique en C du wagonnet. Pour cela, on remarquera que les points G, G; 63 et G4 possèdent la même ---+ dX.... v1tesse sort VG} : VG2 : VG3 : VG4 =---Æ--.ex et, de plus, on remarquera que: ...+--...----+--------+------------+ GGl + 662 + GG3 + GG4 = --4(c-- r).ëy. ---+ 2.12. Donner le moment relativement au point G de la force F et du poids du wagonnet M {. @. 2.13. Par utilisation du théorème du moment dynamique et d'après les résultats des questions 2.14. Établir les expressions de N1 et N2 en fonction de %, m, C, r, a , g, 2.11 et 2.12, trouver une seconde relation entre N; et NZ. d'X dz' eta. Deuxième partie 3) Soit un référentiel terrestre supposé galiléen auquel on associe un repère cartésien orthonormé direct Oxyz, Oy étant vertical, les vecteurs unitaires correspondant aux 3 axes sont notés un...--n. --' 6386 X' )" Z" Soit un disque homogène pesant de masse m, de rayon r et d'épaisseur négligeable devant r. Le centre d'inertie du disque est noté G; le moment d'inertie du disque relativement à un axe perpendiculaire au plan de celui--ci passant par G est ] : â-- mr2 . Dans la suite du problème, on va considérer le mouvement de ce solide dans le plan XOy. Initialement, ce disque est animé d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant par G et ---o dirigé suivant 6 : on pose donc 9 : a)0"èz, Q désignant ainsi le vecteur vitesse de rotation instantanée du disque à l'instant t = 0 (COO > 0). Dans ces conditions, le disque est déposé sur le plan horizontal ZOX, il s'ensuit un mouvement de roulement avec glissement s'effectuant dans le plan XOy, dans le sens contraire à celui de l'axe OX. On note X = X(t) l'abscisse du point G à un . X & . . instant quelconque [on supposera X (0) : 0;%(0) == 0]. Le coefficrent de frottement du disque sur le plan est f. On notera îÎî :: Téx + Né}, l'action du plan sur le disque, action s'appliquant au point de contact [(voir schéma n°3). % 1 N,. H N ('J' r----.. H N.. EUR , r= 0 e . . EUR,}, 1 0 ex schéma n°3 3.1. Exprimer, en fonction. de r, 600, "é, la vitesse de glissement initiale du disque sur le plan ; en déduire le signe de T. 3.2. On note a) : (0(t) la vitesse de rotation du disque à un instant quelconque {> 0. Donner l'expression de 5'G, moment cinétique en C du disque (vu du référentiel terrestre). Par application du théorème du moment cinétique en G, établir une relation liant m, [, T dw et -------- . dt _--. 3.3. En projetant la résultante dynamique du disque sur les vecteurs e d 2 X dt' ' et ëy, donner les X expressions de N et T en fonction de 111, g, 3.4. Compte tenu du fait que le mouvement s'effectue avec glissement et compte tenu de la question 3.1, déduire l'expression de l'accélération du centre de masse G. . , . . dX dca . 3.5. Determmer les expressrons de --, X ,----,w en fonction du temps. dl dt 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. Déterminer l'expression de la vitesse de glissement à un instant t. Celle--ci s'annule à l'instant tl dont on déterminera l'expression. Préciser les valeurs de %(q) et w(q). Pour t> a, on suppose que le mouvement s'effectue sans glissement. Donner la relation de dX roulement sans glissement liant r,---à----,a). [ Déterminer l'expression de l'énergie cinétique à un instant t quelconque > r; en fonction de dX m, -------------. dt Expliquer pourquoi cette énergie demeure constante au cours de cette phase du mouvement. De l'instant t; à un instant t; > î1, le centre de masse se déplace d'une longueur EUR. Déterminer l'expression de t;_------- 11 en fonction de EUR , r, 600 . THERMODYNAMIQUE On étudie dans ce problème le cycle thermodynamique d'une machine motrice ditherme qui fonctionne au contact de deux thermostats (sources de chaleur dont la température reste constante) dont les températures sont respectivement notées T froid pour le thermostat le plus froid (noté SF) et 72.haud pour le thermostat le plus chaud (noté SC ). Le système que l'on considère au cours du cycle est une masse 17) de 1 kg d'air assimilable à un gaz parfait dont le rapport de capacité thermique est noté y. On note WC la quantité d'énergie échangée sous forme de travail avec le milieu extérieur par le système au cours d'un cycle. Qfi.ojd et QChaud sont respectivement les quantités d'énergie échangées sous forme de chaleur par le système avec S F et SC au cours d'un cycle. Données : - Rapport de capacités thermiques de l'air : 7: 1,4 --- Constante du gaz parfait : R = 8,32 ] K"lmol"1 =29g --- Température de la source froide : T [Im-d : 290K --- Masse molaire de l'air : M ail. --- Température de la source chaude : T h CâU -- Pression basse : Po == 105 Pa -- Pression haute : pl === 106 Pa 1. Questions préliminaires 1.1 Généralités sur les moteurs 1. Quels sont les signes de WC, Q froid et Qchaud dans la convention thermodynamique ? 2. Définir l'efficacité thermodynamique (notée n) du moteur. 3. A. partir de l'écriture du premier et deuxième principes de la thennodynamique sur le cycle, montrer que l'efficacité maximale du moteur est obtenue pour un fonctionnement réversible. Donner son expression. 1.2 Gaz parfait l. Rappeler la relation de Mayer pour un gaz parfait qui relie les capacités thermiques molaires à volume et pression constants et la constante R. 2. Expliciter pour un kilogramme d'air la variation d'énergie interne entre deux états d'équilibre quelconques en fonction de R, M air, 7 et AT (la variation de température entre les deux états). 3. En déduire pour un kilogramme d'air une expression de la variation d'enthalpie entre deux états d'équilibre quelconques en fonction des mêmes grandeurs. 2. Thermodynamique du moteur La masse d'air subit dans le moteur la succession de transformations suivante : --- Une transformation d'un état d'équilibre noté A à un état d'équilibre noté B, qui. fait passer la ression d'une valeur basse notée à une valeur haute notée . Les tem ératures et les 0 volumes dans l'état A et dans l'état B sont respectivement T A = Tfmjd, VA, T 3 = T froid et VB,. Cette transformation fera l'objet d'une étude spécifique et à ce stade rien n'est dit sur sa nature ni sa réalisation. On note simplement que le gaz dans l'état B est en équilibre thermique avec le thermostat 5 F et qu'il n'y a pas, au cours de cette transformation, d'échange d'énergie thermique avec le thermostat SC. On note WA _) B la quantité d'énergie échangée sous forme de travail par le système au cours de la transformation A ----> B. -- Un échauffement monobare au contact du thermostat SC de l'état d'équilibre B à l'état d'équilibre C. La température, le volume et la pression de l'état C sont respectivement TC : Tchaud> VC et 1067 3 pl ' --- Une détente adiabatique réversible qui fait passer le gaz de l'état d'équilibre C à l'état d'équilibre D. La température, le volume et la pression de l'état D sont respectivement TD, VD et PD=%-- --- De l'état d'équilibre D, un refroidissement monobare au contact du thermostat SF ramène le système à l'état initial d'équilibre A. 2.1 Étude du cycle 2.1.1 Les états d'équilibres ]. Exprimer littéralement puis calculer numériquement les volumes VA, VB et VC. 2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température T D et le volume VD. 3. Positionner qualitativement les points d'équilibre A, B, C et D dans un diagramme de Clapeyron (p, V). 4. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la variation d'entropie du système AS A B entre les états d'équilibre A et B. 2.1.2 Production d'entropie sur le cycle ]. L'échange d'énergie sous forme de chaleur avec SC ne s'effectue au cours du cycle que sur la transformation B -----> C. Exprimer littéralement puis calculer numériquement Qchaud. 2. L'échange d'énergie sous forme de chaleur avec SF s'effectue au cours du cycle sur la transformation D ----> A et sur la transformation A ---> B. Exprimer littéralement Q froid en fonction de Tfmid , de Tchaud , de WA _, B et des constantes du problème. 3. À partir de l'écriture du deuxième principe de la thermodynamique sur le cycle, déduire des questions précédentes une expression de l'entropie produite sur le cycle Sp en fonction de cycle Tfroid ? de Th (; aud , de WA _) B et des constantes du problème. 4. En déduire que la diminution de l'entropie produite sur ce cycle passe par la minimisation de WA-->B° 2.2 Étude de la transformation A ---> E Dans le dispositif réel, le fluide traverse deux éléments technologiques différents qui le font passer de l'état d'équilibre A à l'état d'équilibre B : --- Le premier élément est un système de compression qui permet d'amener le fluide jusqu'à la pression haute pl. - Le second élément est une simple canalisation qui permet le transport du fluide sur de longues distances (ceci est lié au fait que dans le système étudié les thermostats sont très éloignés). Au cours de ce transport, le fluide échange de l'énergie sous forme de chaleur avec 5 F (qui est ici l'atmosphère) et finit par atteindre l'équilibre avec cette source (état d'équilibre B). La transfom1ation que subit le fluide dans la canalisation est supposée monobare. L'objectif de cette partie du problème est d'étudier plusieurs types de système à compression de façon à comprendre comment on peut minimiser WA__,B. 2.2.1 Compression simple -- transformation (a) Dans cette parti,e on a un système de compression simple pour lequel l'air pris dans l'état d'équilibre A subit une compression adiabatique que l'on supposera réversible. Le fluide sort du compresseur dans l'état d'équilibre noté al pour lequel pa1 -- pl. En sortie de compresseur le fluide pénètre dans la canalisation. l. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température Ta1 et le volume Va] du système en sortie de compresseur. 2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'énergie échangée sous forme de travail par la masse de fluide au cours de la transformation A ---è al . 3. Exprimer littéralement puis calculer numériquement l'énergie échangée sous forme de travail par la masse de fluide dans la canalisation au cours de la transformation 051 ----> B. 4. On note W/(1-->B -- --WA--aal + Wa1_,B. Calculer sa valeur numérique. Représenter W _, B sur un diagramme de Clapeyron. 2.2.2 Compression double - transformation (b) On étudie dans cette partie un compresseur double étage: -- À partir de l'état d' équilibre A, le gaz est d'abord comprimé de façon adiabatique et réversible jusqu'à la pression p,- =flp0, dans lequel ,a est un nombre compris entre l et -£'--. L'état Po d'équilibre atteint par le gaz à ce moment là est noté fil , la température et le volume sont respectivement notés T5] et V5,- - À partir de l'état ,6] , le fluide est mis en contact avec 5 F au travers d'un échangeur dans lequel il subit une transformation monobare. Il sort de l'échangeur dans l'état d'équilibre ,62 tel que la pression et la température sont respectivement [152 : pi et T 52 = T fmid. -- À partir de l'état ,5'2 , le gaz est à nouveau comprimé de façon adiabatique et réversible jusqu'à la pression pl . L'état d'équilibre atteint par le gaz à ce moment là est noté & , la température et le volume sont respectivement notés Tfl3 et Vfl3. En sortie du compresseur double étage (état ,63) le fluide pénètre dans la canalisation. l. Positionner qualitativement les points d'équilibre A, ,61 , ,62 , ,B3 et .B dans un diagramme de Clapeyron (p,V). Donner sur le même diagramme, l'allure des transformations adiabatiques. . Donner l'expression de l'énergie échangée par la masse de gaz sous forme de chaleur au contact de 5 F au cours de la succession de transformations qui mène de l'état A à l'état B dans ce nouveau dispositif. On la notera Q%ÏLB. . Donner l'expression de la température T fil en fonction de Tfmid, # et y. Po . Donner l'expression de la température T 5} en fonction de T froid , ,u ,-- et }/ . P1 P0 . Déduire des questions précédentes une expression littérale, en fonction de T froid, ,il ,--------- , }/, P1 177, R et M . de l'énergie échangée par la masse de gaz sous forme de travail au cours de la 311"? succession de transformations qui mène de l'état A à l'état B dans ce nouveau... dispositif. On la ., b) notera WÏ1-->B' 6. Montrer qu'il existe une valeur de ,a qui minimise la valeur de WÂÎÏ>B. Exprimer ' ! ° , -- * litteralement pu1s calculer numerrquement cette valeur que l'on notera ,u . 7. Calculer numériquement WÂÎÏ, B dans le cas où ,u = ,u* . 2.2.3 Compression multiple ]. Expliquer qualitativement pourquoi en augmentant le nombre de compressions intermédiaires, on ne pourra jamais descendre en dessous d'une valeur limite WË_"Î, B pour WA->B- 2. Exprimer littéralement puis calculer numériquement WËÎÏ', B- Pour toute la suite on prendra __ lim WA-->B * WA-->B° 3. Calculer numériquement l'efficacité thermodynamique du moteur. 4. On rappelle que l'unité de puissance du cheval--vapeur est défini comme valant 736 W (=] cv). Calculer le débit massique de fluide nécessaire pour obtenir une puissance mécanique de 500 cv. ' 5. Sachant que la conduite en sortie de détente (point D) a un diamètre de 40 cm, calculer la vitesse du fluide à cet endroit (on supposera que la vitesse du fluide est uniforme sur une section de la conduite). Fin de l'énoncé.

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 CCP Physique 1 MP 2010 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et par Julie Zutter (Professeur en CPGE). Comme tous les ans, la première épreuve de physique des CCP est composée d'une partie de mécanique et d'une partie de thermodynamique, de longueur et de difficulté sensiblement égales. Les deux problèmes ont en commun de se prêter à un traitement linéaire : les questions font systématiquement appel aux réponses des questions les ayant précédées. Il n'était donc guère envisageable de tenter de « grappiller des points » le jour J. · La première partie est consacrée à la mécanique du solide ; ses deux sous-parties sont totalement indépendantes. Dans la première, il s'agit d'étudier la statique, puis la dynamique d'un wagonnet dont on adopte une description détaillée. Ceci fait appel à un grand nombre de théorèmes, mais ne comporte pas de difficulté majeure. Dans la deuxième sous-partie, on étudie la dynamique d'un disque roulant et glissant sur une surface plane, ce qui donne l'occasion de réviser les lois de Coulomb du frottement solide. · La deuxième partie est consacrée à la thermodynamique. Il s'agit d'étudier de manière précise chacune des transformations imposées à un gaz, supposé parfait, dans un cycle moteur constitué de deux transformations monobares et d'une transformation adiabatique. Une quatrième transformation est étudiée en détail et l'on montre qu'il est possible de la fractionner en une suite de transformations adiabatiques et monobares, afin d'améliorer le rendement du cycle. La rédaction du problème est claire et chacune des parties peut utilement servir aux révisions. En outre, la difficulté reste très mesurée : une bonne connaissance des (nombreux) théorèmes de base des cours de mécanique et de thermodynamique suffit presque à résoudre la totalité du sujet. En fait, le principal obstacle est la longueur de cette épreuve. Indications Mécanique I.1.4 Simplifier au maximum les expressions sous forme vectorielle en tenant - compte des symétries avant de projeter les vecteurs sur la base (- ex , ey ). I.2.1 Écrire la loi de composition des vitesses pour les points d'une même roue. I.2.2 Invoquer le théorème de Koenig. I.2.4 Utiliser la définition de la variation élémentaire de l'énergie potentielle comme l'opposée du travail infinitésimal fourni par le poids lors d'un déplacement de dX. I.2.6 Les liaisons parfaites ne travaillent pas. En tenir compte dans le bilan énergétique des questions précédentes. I.2.8 Quelle est la relation entre le moment dynamique et la dérivée temporelle du moment cinétique lorsque ceux-ci sont calculés par rapport au barycentre du système considéré ? I.2.14 Revenir au résultat de la question I.1.1 pour éliminer b des expressions de N1 et de N2 . I.3.1 Utiliser la loi de composition des vitesses pour les points du disque. I.3.4 Discuter le signe de N et T. I.3.10 Que peut-on dire de la puissance des forces de frottement lorsqu'il n'y a pas glissement ? Thermodynamique II.1.2.2 L'énoncé ne précise pas clairement que U est aussi fonction de la masse m = 1 kg d'air considérée. Faire appel à la première loi de Joule. II.1.2.3 Ici aussi m doit intervenir dans l'expression de H. II.2.1.2.2 Qfroid est la somme de deux termes correspondant aux transferts thermiques durant les transformations A B et D A. II.2.1.2.4 L'entropie produite est la somme de deux termes, dont l'un n'est fonction que des caractéristiques des thermostats, et l'autre fonction du travail récupérable lors de la transformation A B. I. Mécanique I.1.1 Par définition, le centre d'inertie G du système {wagonnet+4 roues} vérifie -- -- -- (M + 4m) OG = M OG0 + 4m OO0 où G0 est le centre d'inertie du système benne-plateforme-essieux et O0 le centre d'inertie de l'ensemble des 4 roues. On projette cette relation sur - ey et on isole c : c= M b + 4m r M + 4m I.1.2 Effectuons dans un premier temps un bilan des forces exercées sur le wagonnet. Ces forces sont : - - · Le poids total du wagonnet P = M - g . Dans la base (- e , e ), t t x y - g = -g (sin - ex + cos - ey ) · Les réactions du support incliné en I1 et I4 d'une part : - - R 1 = R 4 = T1 - ex + N1 - ey et en I2 et I3 d'autre part, - - R2 = R3 = N2 - ey Appliquons le théorème de la résultante cinétique (TRC) à l'équilibre au wagonnet immobile : - - - - - - 0 = Pt + R1 + R2 + R3 + R4 On projette cette relation sur les vecteurs - e et - e pour obtenir x et y 0 = -Mt g sin + 2 T1 sur - ex 0 = -Mt g cos + 2 N1 + 2 N2 sur - ey - I.1.3 D'après la question précédente, la projection sur ex du TRC conduit à T1 = Mt g sin = 52 N 2 I.1.4 Le théorème du moment dynamique au wagonnet en O2 donne - P--- - O2 = MO2 (Fj ) j - --- - où O2 désigne le moment dynamique du système par rapport à O2 et MO2 (Fj ) le - moment de la force Fj par rapport à O2 . Puisque le moment dynamique en O2 est nul, la somme des moments des forces appliquées sur le solide est nulle, donc -- - -- - -- - -- - -- - - O 2 G P t + O 2 I1 R 1 + O 2 I4 R 4 + O 2 I2 R 2 + O 2 I3 R 3 = 0 - où l'on a tenu compte du fait que le point d'application de la force Rj est le point Ij . - - - - L'énoncé précise que R1 = R4 et que R2 = R3 . On peut dès lors factoriser l'expression précédente - - - -- - -- -- -- -- O2 G Pt + (O2 I1 + O2 I4 ) R1 + (O2 I2 + O2 I3 ) R2 = 0 On simplifie cette dernière expression en remarquant que O2 est le milieu du segment [I2 I3 ], tandis que O1 est le milieu de [I1 I4 ] pour écrire -- - --- - - O 2 G Pt + 2 O 2 O 1 R1 = 0 Ces vecteurs sont tous contenus dans le plan xOy, ce qui implique que la résultante est colinéaire à - ez : - - - - (a e + c e ) (-M g)(sin - e + cos - e ) + 4a e (T - e +N - e )= 0 x qui donne y t x y x 1 x 1 y - [(-Mt g) (a cos - c sin ) + 4 a N1 ] - ez = 0 - On projette sur ez et on isole N1 pour obtenir Mt g c N1 = cos - sin 4 a Le théorème du moment dynamique est d'utilisation plus sûre que le théorème du moment cinétique car il reste valable même si le moment dynamique est calculé par rapport à un point mobile ; l'emploi du théorème de Koenig permettant alors de se ramener à un point où le moment dynamique est plus facile à calculer. I.1.5 L'expression de N1 obtenue à la question précédente est injectée dans la relation obtenue à la question I.1.2 et N2 est isolé pour obtenir Mt g c N2 = cos + sin 4 a On obtient un résultat bien connu des déménageurs : la charge se répartit équitablement sur l'avant et l'arrière si = 0, mais le fait que le centre d'inertie de l'objet transporté soit surélevé ­ ici de c ­ par rapport au support de l'objet dissymétrise la répartition de la charge lorsque l'objet est incliné. Cet effet est similaire à l'« effet levier ». I.2.1 Décrivons le mouvement des points de la roue 1. L'ensemble est en rotation autour de G1 à la vitesse angulaire - ez , ce qui implique que pour tout point M de la roue l'on a -- -- --- dOM dOG1 = +- ez G1 M dt dt La condition de roulement sans glissement implique qu'à tout instant la vitesse du point de la roue coïncidant avec I1 est nulle. Il en résulte que, lorsque M = I1 , -- -- -- dOG1 dOI1 - - = - ez G1 I1 car = 0 dt dt -- - - dOG1 dX - Puisque = ex et G1 I1 = -r - ey , il vient finalement dt dt dX = -r dt Il est conseillé de vérifier la pertinence de ce résultat : si > 0 le wagonnet descend la pente (dX/dt < 0).