CCP Physique 1 MP 2009

Thème de l'épreuve Oscillations d'une barre. Étude thermodynamique d'un dispositif cylindrique.
Principaux outils utilisés mécanique, thermodynamique, diffusion thermique
Mots clefs oscillateurs couplés, pistons

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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 av.--:o: .v " nm.--:D ... mao...oeüË È... ËmËm - ...ËOEÜËm Ë5ËÈ m--=o_z=uup>_ooe m::<--SOu ...u=°vzcu ' SESSION 2009 A MPPIOOS CONCOURS (0MMUNS POlYÏE(HNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. MÉCANIQUE Ce problème traite des mouvements d'oscillation de deux solides simples, mouvements pouvant être couplés. Il est à noter que les parties 1 et 2 sont indépendantes. Le référentiel du laboratoire étant considéré comme galiléen, on lui associe un repère orthonormé direct O'OEyz et on note ë;, ê; , EUR? les vecteurs unitaires correspondants aux trois axes. L'axe O'y étant vertical orienté positivement vers le haut, le vecteur accélération dû a la pesanteur s'écrit ÿ = --gêy avec g = 10 m.s_2 . Partie 1 -- Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre On considère une tige homogène, de masse m, de longueur 2L et de centre d'inertie G (les dimensions transversales de la tige sont négligeables devant L). Ultérieurement, le mouvement de ce solide va s'effectuer dans le plan vertical :cO'y (voir schéma n°1). Soit un point 0 appartenant à la tige tel que OG = EUR < L. On note GZ un axe passant par G, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur EUR ; de même, on note 02 un axe passant par O, perpendiculaire à la tige, orienté dans le sens du vecteur ë; . On donne le 2 . . . . . mL moment d'inertie du solide relat1vement à l'axe GZ, soet ] = T 1.1. Le moment d'inertie [O de la tige relativement à l'axe Oz peut se calculer a partir de la formule 10 = IG + mEUR2 (formule découlant du théorème de Huygens). On désire . 2 , . . obtenir ] = ----mIÎ , determ1ner la valeur du rapport ---- dans ce cas. Oec1 sera maintenu dans la suite du problème (partie 3). 1/10 1.2. Soumise à l'action de la pesanteur, la tige effectue des mouvements d'oscillation dans le plan æO'y, l'axe 02 étant maintenu horizontal et fixe, on repère sa position par l'angle 9 = 9(t). La liaison en 0 étant supposée parfaite, la réaction d'axe en 0 se limite a une force R agissant en O. Etablir les expressions de l'énergie cinétique EC et de l'énergie potentielle de pesanteur d9 E,, du solide en fonction de m, [' , (9, -------- et g. dt 1.3. Justifier le fait que l'énergie totale est constante au cours du mouvement ; en déduire l'équation différentielle pour la variable 9. 1.4. La tige étant lâchée sans vitesse initiale avec 9(0) = 90 = 0,1 rad ce qui correspond a des petits mouvements, simplifier puis résoudre l'équation obtenue à la question 1.3. ; en particulier, exprimer puis calculer la valeur de la pulsation du mouvement obtenu, pulsation notée a)1 . A.N. [: %Qm z 222 m y EUR 5 _. io e .A x 0' EUR. __+ EUR 8 C') CD Schéma n°1 Partie 2 -- Oscillateur harmonique Une plateforme--support, de masse M, de centre d'inertie O, est guidée de façon a ne pouvoir effectuer qu'un mouvement de translation suivant l'axe O'2: (voir schéma n°2). Elle comporte un évidement dont l'intérêt apparaîtra a la partie 3. La liaison guides--plateforme est supposée parfaite. Cette plateforme est solidaire de l'une des extrémités d'un ressort de raideur K, l'autre extrémité du ressort étant fixée au point O'. On repère la position de la plateforme par l'abscisse a: du point 0, soit 00 = OE(t).ê; . La longueur au repos du ressort étant 607 à. l'équilibre, cette abscisse vaut donc 5130 = 50 + d , 2d désignant la longueur de la 2/10 plateforme (voir schéma n°3). On écarte le point 0 de sa position d'équilibre d'une quantité X0 et on lâche la plateforme sans vitesse initiale. 2.1. On pose X = a: ----(ZO + d). Exprimer l'énergie potentielle emmagasinée par le ressort en fonction de K et X. dX 2.2. Exprimer l'énergie totale de la plateforme en fonction de K , M, X, ---- ; celle--ci étant constante au cours du mouvement, en déduire l'équation différentielle pour la variable X. 2.3. Déterminer l'expression de X en fonction du temps. Ressort ' Plateforme " O' -- , Guides Schéma n°2 Schéma n°3 3/10 Partie 3 -- Oscillations couplées La tige et la plateforme précédentes sont associées comme indiqué sur le schéma n°4. L'articulation en () étant supposée parfaite, on note R : TE; +Ncy, s'exerçant sur la tige. Les paramètres du problème sont comme précédemment X et 9, deux fonctions du tem 8. On notera ? et ? les deux vecteurs unitaires de la base 9 7 la réaction d'axe T' . . _. OG _. . _. . 7ï pola1re du plan vertical : c,, = --l-l--------, 69 se déduisant de e,. par une rotation de +--ï--2--rad. OG" . , , , . . _. . dQOG . _. _. , 3.1. Exprimer laccelerat10n de 0 suivant eæ, pu1s d 2 suivant 67. et 69 , en fonction t -------> de X(t), 9(t) et de leurs dérivées ; en déduire les composantes du vecteur FG ---+ accélération de G, dans le référentiel du laboratoire, suivant e,, et EUR;. 3.2. Par application du théorème de la résultante cinétique a la tige, écrire les expressions . d9 d26' d2X de Net Ten fonction de m, g, EUR, EUR, --, ---ä--, --------2--. dt dt dt 3.3. Déterminer l'expression du moment cinétique 55 de la barre, relativement au point G, dans le référentiel du laboratoire. , . d"oÎî . . . . d29 3.4. Ecrire dti et établir une relation liant la quantité ] G _d_tÎ et N, T, E, 6'. 3.5. D'aprèsles questions 3.2. et 3.4., écrire une équation différentielle faisant intervenir d29 d2X --'--2--, 9 EURt _--Î--° dt dt 3.6. Dans l'hypothèse des petits mouvements, montrer que l'équation obtenue à la . . d29 d' X EUR . question 3.5. peut s'écrire sous la forme : --C--i--2-- + a)12 9 : --a-----(ä£ä--L--)-- (équation I) où t. a est un coefficient dont on donnera l'expressmn. 3.7. Par application du théorème de la résultante cinétique a la plateforme, en projection . . . . . d2X d9 sur l'axe des :IJ, écrire une équation différentielle faisant intervenir dt2 , X, 9, --C--i--t-- et d29 dt2 ' 3.8. Montrer que, dans l'hypothèse des petits mouvements, l'égalité obtenue peut se d2 (X 2 X d29 . __ +co----=-- ------- éuat10nIl. Expliciter les expressions de la pulsation (0.2 et du coefficient ,Û . mettre sous la forme : 3.9. On donne : m = 4,5 kg ; M= 1,5 kg ; K== 24 N.m". Calculer les valeurs numériques de (022 et du produit a ,5 . 4/10 3.10. On recherche des solutions du système des équations l et Il sous la forme X 6' =Acoth et Î=Bcoth où Q est une pulsation & priori inconnue, A et B étant deux constantes réelles. Vérifier que les 2 valeurs de Q : x/Î rad.s_1 et Q : 2\/ä rad.su1 sont possibles (pour ce calcul, on pourra prendre (01 = \/3 rad.sm1 et % =2rad.s--l). 3. 11. Montrer que: 9 : ê90 cos [fit] + ---2--90 cos lî2Jâ.t] 5 5 X 9 _E_ = 5660 (cos l\/î°t:l -- cos [2Jä.t]) Constituent une solution du système des équations I et Il, vérifiant les conditions initiales ËÎ(0) = @, @@ = @... X(O) = @, ËË(0) = @. dt dt y x(t) : _ / \ O 0 _... er Schéma n°4 G 5... 5/10 THERMODYNAMIQUE Données générales : -- Constante de Stefan-Boltzmarm : O' = 5,67 10----8 W.1rf2. K_4 . -- Constante des gaz parfaits : R = 8,31J.moÎ1 .K"1. On étudie, dans ce problème, un dispositif expérimental constitué d'un cylindre horizontal, aux parois indéformables, de rayon intérieur 7int et de rayon extérieur Text' fermé de part et d'autre par deux pistons de masses et d'épaisseurs négligeables (cf. figure 1). Le cylindre est fixe dans le référentiel du laboratoire et les pistons sont mobiles. Sur le piston gauche noté "G est accroché un ressort de raideur kG relié a l'autre extrémité a un support fixe. De la même façon, sur le piston droit noté 72'D est accroché un ressort de raideur kD relié a l'autre extrémité a un support fixe. Un axe Oil: muni d'un vecteur unitaire eæ permet de re érer les ositions a: et a: res ectivement des istons 7ï et 72' . Le ressort auche p P C D p p G D % -----> . 7 ' ° _-- __ _ exerce sur le piston n'a une force que l on peut ecrire sous la forme FG --- kg (336. æG,0)eoe dans laquelle $C 0 représente l'abscisse a vide du piston 7rG (ressort au repos). De la même façon, le ressort droit exerce sur le piston 7Z'D une force que l'on peut écrire sous la forme ------+ -------+ FD =--kD (:IJD --OED,O)6æ dans laquelle :L'D)0 représente l'abscisse a vide du piston "D (ressort au repos). Pour toute la suite on pose L : £L'D 0 ---- $C 0 . Les raideurs des ressorts sont réglables par l'utilisateur au travers d'un système non décrit, sans pour autant modifier les abscisses a vide. Une résistance chauffante de volume et capacité thermique négligeable permet d'apporter de l'énergie thermique au fluide qui se trouve à. l'intérieur du cylindre. On suppose qu'à l'équilibre mécanique du système, la pression est uniforme dans le cylindre. On supposera en outre dans toute la suite que les frottements lors du déplacement des pistons sont totalement négligeables du point de vue énergétique. Données numériques du problème : -- L=O,4m, -- 7int =0,05m, - À=O,5W.m"'.K"', - Pt =3OW, _ 7=1747 - TW =300K, - n =0,02mol, g 4 --- pA =10 Pa, _ k1 =500N.m_1, - a=1,3, - cv =500J.K"'. Les parties 1 et 2 sont indépendantes. 6/10 1. Une première étude thermique Dans cette partie les p1stons 72'G et "D sont respect1vement aux absc1sses OEG,O et 513070 et les ressorts sont équivalents à des tiges rigides (les raideurs sont infinies). La résistance chauffante apporte une puissance thermique constante P au gaz qui se trouve a l' intérieur du cylindre. On admet que les pistons sont parfaitement calorifugés et que les échanges thermiques ne se produisent que sur la surface latérale du cylindre comprise entre les abscisses a: et a: On note T. et T respectivement les températures de la surface G,O D,O int ext intérieure et extérieure du cylindre. ' . "'--""'" -------------------------------------------- > :--:--:--:--: .\ \t'k ! |__-- ___-l ----I l ----l |__-. ----I ----l :-:--:--:--:3 m...... -:--:--:--: . - - - | : ::.--.: EUR : : ::.--:.: ----- | | 0 OEG OED d 51: Fig. 1 -- Dispositif expérimental 1.1 Conducti0n thermique à travers la paroi du cylindre de longueur L On note e- -- Text-- 7". l'épaisseur de la paroi du cylindre, et À la conductivité int thermique du matériau constituant le cylindre. On admet que les échanges thermiques s'effectuent à. travers la paroi selon une géométrie radiale cylindrique. La coordonnée 7" permet de repérer la distance entre un point quelconque et l'axe du cylindre et on notee eT le vecteur unitaire correspondant. Le problème de conduction thermique a travers la paroi du cylindre est donc unidimensionnel selon 7". On se place en régime stationnaire. 1. Rappeler l'expression générale du vecteur densité surfac1que de flux thermique ; donné par la loi de Fourier relative à. la conduction. Donner son unité et commenter les différents termes. 2. On considère une surface cylindrique (ST) de rayon 7' (compris entre 7int et Text) et de longueur L, orientée selon ë: . Que peut--on dire du flux thermique CDU") à. travers (ST) en régime stationnaire ? Comment se relie--t--il à. Pt ? 3. Donner l'expression de CD(7") en fonction des grandeurs 7', L, dT/ d?" et des constantes du problème. 4. En intégrant l'expression de dT / dr obtenue avec le flux thermique, exprimer la résistance thermique de conduction RCOH d en fonction des grandeurs 7int' Text , L et des constantes du problème. On utilisera cette expression dans toute la suite (et pas l'approximation de la question suivante). 5. Montrer que si 6 << 'Ênt (par un développement au premier ordre) l'expression de la résistance thermique de conduction se ramène à. celle d'une plaque plane de surface a préciser. 7/10 1.2 Échanges radiatifs entre le cylindre de longueur L et le milieu extérieur On suppose que la surface extérieure du cylindre peut être assimilée du point de vue radiatif a une surface noire : son comportement radiatif est identique a celui d'un corps noir isotherme a la température TX .On admet que les murs de la pièce qui englobent le cylindre peuvent être assimilés à un corps noir de température unique notée Tmur. On admet aussi que le cylindre 11 'échange de l'énergie sous forme de rayonnement qu'avec les murs de la pièce. 1. Donner l'expression du flux radiatif émis (De par le cylindre en fonction de L7" TEUR ' ext' xt 2. On note (Da le flux radiatif émis par le mur et absorbé par le cylindre. Exprimer le flux net d'énergie (®net = CDC -- (Da) échangé par rayonnement entre le cylindre et les murs de la pièce en fonction de L,7'ex ,mTEURXt,Tu ur et des constantes du problème. 3. On pose Text : Tmur + EUR. Dans le cas où 8 << Text, donner (par un développement au premier ordre autour de Tmur) une expression approchée du flux net radiatif de la question précédente. En déduire l'expression de la résistance thermique radiative R rad ' Pour la suite on supposera que l'hypothèse de linéarisation est toujours valable (sauf indication contraire) et on pourra utiliser l'expression de la résistance thermique radiative. et des constantes du problème. 1.3 Température de surface On a créé un vide suffisamment poussé dans la pièce qui englobe le cylindre pour que les échanges convectifs sur la surface extérieure du cylindre puisse être totalement négligés. 1. Classer par ordre croissant les températures Tin ,Text et Tmur. Justifier votre réponse. 2. On cherche à. analyser la dépendance des températures Tim: et TeXt en fonction de la géométrie du cylindre (Tin et Text ). (a) Donner l'expression de la température T. en fonction des grandeurs r , r , 1nt mt ea:t L,PÏ,,Tmur et des constantes du problème en utilisant la résistance thermique radiative et conductive. (b) Montrer que si ?"th est inférieur à un rayon 7: existe une valeur 7" . de 7° cr1t ext physiquement ce phénomène. (c) Apphcat10ns numer1ques : vérifier que l'on a bien ri nt < 7°int max. rcrit comme valeur de Text calculer RC ond et Brad .Oalbuler Tin et Text. (d) On cherche à. déterminer les conditions que doivent vérifier les paramètres contrôlables du problème P et Tmu pour satisfaire à l'hypothèse 8 << TEURXt i. Exprimer Tin en fonction de11 7: nt, Text, L,PÉ,Tmur et des constantes du problème sans utiliser l'hypothèse de linéarisation du flux net d'énergie échangé par rayonnement. ii. Quelle condition le rapport Pt / TÊmr doit-il satisfaire pour retrouver l'expression de la question 1.3.2.a ? iii. Expliquer physiquement cette condition. que l'on déterminera il 1,mnt ' indépendante de P qui minimise Tim. Justifier En prenant 8/10 1 .4 Régime variable On admet l'hypothèse précédente, et donc l'expression linéarisée du flux net radiatif. On va étudier dans cette question l'évolution du système lorsque l'on interrompt l'apport d'énergie par la résistance électrique. Pour cela, on suppose que la paroi du cylindre est suffisamment fine de sorte que les températures Tint et Text puissent être confondues (hypothèse plaque mince). On admet en outre que la température T3 (t) du gaz est uniforme a chaque instant et identique a celle du cylindre. La capacité thermique à. volume constant du système total Cv est supposée constante. A l'instant t = 0, on coupe l'apport en énergie (Pt = 0), la température du système vaut alors TO . 1. Relier le taux de variation dU / dt d'énergie interne du système au flux net CDnet échangé par rayonnement entre le cylindre et les murs. 2. Trouver en le justifiant une relation entre dU / dt et dTg (t) / dt. 3. Ecrire l'équation différentielle à. laquelle obéit T8 (25). 4. En déduire l'expression de 11 (t). Exprimer littéralement puis calculer numériquement la constante de temps du processus (on prendra 7" 2571 pour ext mt l'application numérique). 2. Etude d'un gaz parfait Dans cette partie du problème, le cylindre (Fig. 1, page 7) contient ng mole de gaz assimilable à un gaz parfait de rapport des capacités thermiques ]/. A l'extérieur du cylindre, on a créé un vide suffisamment poussé, de sorte qu'il n'y ait pas de forces de pression liées à l'atmosphère extérieure au cylindre. Les parois du cylindre et des pistons sont parfaitement calorifugées. 2.1 Ressorts identiques : kD : kG : k1 Les raideurs des deux ressorts sont réglées identiquement a une valeur noté 161. La résistance chauffante n'est pas alimentée électriquement. Le dispositif expérimental est dans l'état d'équilibre noté A. Le gaz a l'intérieur du piston est a la pression pA 0011111163. 1. Par un bilan de forces sur chacun des pistons, exprimer les positions d'équilibre OEG, A et OED7 A respectivement des pistons 7rG et 72'D, en fonction de p A et des constantes du problème. 2. En déduire l'expression du volume VA occupé par le gaz en fonction de p A et des constantes du problème. Calculer VA' 3. Exprimer littéralement puis calculer numériquement la température T A du gaz. 4. On alimente électriquement la résistance chauffante pendant une durée déterminée, qui apporte au gaz l'énergie Q1 sous forme de chaleur. Le gaz atteint alors un nouvel état d'équilibre noté B. Le volume final occupé par le gaz est mesuré et vaut VB = aVA, avec a > 1. (a) Exprimer les positions d'équilibre a:G7 B et "'D,Bî respectives des pistons 72'G et "D? en fonction de VA et des constantes du problème (on pourra en particulier exploiter les symétries du problème). Calculer VB . 9/10 (b) Exprimer la pression pB du gaz dans l'état B en fonction de pA et des constantes du problème. Calculer p B . (c) Calculer la température TB du gaz dans l'état B. (d) Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) par le gaz (WA--+8) au cours de la transformation en fonction de pA, p B et les constantes du problème. Calculer W A _» B' (e) Exprimer @1 en fonction de pA, pB, TA, TB et des constantes du problème. Calculer Q1° (f) Exprimer la variation d'entropie du gaz AS A B en fonction de pA, pB, TA, TB et des constantes du problème. Calculer AS A E' 2.2 Ressorts distincts : kD = la", et % = 21EUR, Le dispositif expérimental étant dans l'état d'équilibre B, on modifie instantanément la raideur du ressort gauche tel que kG : 2k1. Ceci a pour conséquence de modifier instantanément la force qu'exerce le ressort gauche sur le piston gauche. La raideur du ressort droit est inchangée (kD : lq). On suppose que le gaz atteint un nouvel état d'équilibre noté C (pas d'oscillaticns permanentes). On note 556,0 et £ED,C les nouvelles positions d'équilibre respectivement des pistons "G et fil). On admettra que 336,0 > OEG78 et OED,C > OED,B° L'objectif des questions qui suivent est de déterminer la pression pC de l'état d'équilibre C . 1. Montrer qu'à. l'équilibre, le volume occupé par le gaz VO et la pression du gaz sont reliés par une relation du type VC : ,Ô'pC + VD dans laquelle ,5 et VO sont des constantes que l'on déterminera. 2. Exprimer la variation d'énergie interne du gaz AUBC entre les états B et C en fonction des variables d'états correspondant à l'équilibre B, des constantes du problème et de pc . 3. Exprimer la quantité d'énergie échangée par transfert mécanique (travail) par le gaz (WB--m') au cours de la transformation en fonction des variables d'états correspondant a l'équilibre B , des constantes du problème et de po (pour cela, on exprimera séparément le travail dû au piston gauche et le travail dû au piston droit). 4. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pc est solution d'une équation de la forme apâ. +pr +c = 0 dans laquelle a, b et c sont des constantes. Donner les expressions de a, b et c en fonction des variables d'états correspondant à l'équilibre B et des constantes du problème. Fin de l'énoncé. 10/10

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 CCP Physique 1 MP 2009 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérôme Ropert (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Rémy Hervé (Professeur agrégé en école d'ingénieur) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants. · Le premier porte sur la mécanique du solide, avec deux premières parties relativement simples et courtes, dans lesquelles on étudie successivement les oscillations d'une tige autour d'un axe et les oscillations horizontales harmoniques d'un plateau. Dans la troisième et dernière partie, on s'intéresse aux oscillations couplées des deux systèmes, la tige étant attachée au plateau qui oscille dans le référentiel du laboratoire. Cette partie est techniquement plus délicate et, comme souvent en mécanique, il convient d'être rigoureux lorsque l'on manipule les différents vecteurs, notamment lors de projections ou changements de bases. Souvent donnée, la forme des résultats attendus permet de détecter d'éventuelles erreurs. · Le second problème, centré sur la thermodynamique, est scindé en deux parties indépendantes. La première porte sur le programme de deuxième année et aborde les phénomènes de transfert thermique par conduction, puis par rayonnement. La seconde porte exclusivement sur le programme de première année et demande une grande rigueur dans les calculs ; en effet, de nombreuses erreurs de signe sont possibles et il convient d'être particulièrement attentif, d'autant plus qu'à la différence de la partie mécanique, les formes des résultats attendus ne sont pas données. Dans cette partie le candidat progresse donc sans savoir si ses résultats sont valables, ce qui accroît la difficulté du problème. Relativement long, ce sujet constitue un excellent problème de révision des chapitres abordés. En effet, il contient un grand nombre de questions où il faut appliquer les résultats fondamentaux du cours tels que les théorèmes de la résultante cinétique, du moment cinétique et de l'énergie cinétique en mécanique, ainsi que les deux principes de la thermodynamique pour la seconde partie, dans des situations relativement classiques. Il est également profitable de s'entraîner aux calculs avec ce sujet. Indications Mécanique 1.3 La liaison étant parfaite, il n'y a pas de frottements. 3.7 Utiliser le principe des actions réciproques pour éliminer l'action mécanique - exercée par la tige sur la plateforme au profit de la réaction R de l'énoncé. 3.8 Effectuer un développement limité des fonctions sin et cos et ne conserver au final que les termes d'ordre 1 en supposant que les dérivées successives de sont des infinitésimaux du même ordre que . Thermodynamique 1.1.2 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système délimité par (Sr ). 1.1.4 La résistance thermique est le rapport de la différence de températures entre deux surfaces au flux thermique entre ces deux surfaces. 1.1.5 La résistance thermique d'une plaque plane de surface S et d'épaisseur e est e Rcond = S 1.2.1 Le flux surfacique du rayonnement d'équilibre thermique à la température T est donné par la loi de Stefan : (T) = T4 1.2.3 Faire apparaître un paramètre sans dimension, très petit devant 1, et effectuer un développement limité au premier ordre de Text ou factoriser 4 (Text4 - Tmur ) en remplaçant Text par Tmur dans les sommes. 1.3.2.a Utiliser la continuité du flux thermique sur la surface externe du cylindre. 1.3.2.b Rechercher le minimum de Tint en fonction de rext . En déduire une condition sur rint . 1.4.1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système global composé du cylindre et du gaz qu'il contient. 2.1.4.a Remarquer que par symétrie la variation du volume du gaz est le double de celle due au déplacement d'un seul des deux pistons. 2.1.4.d Relier le travail reçu par le gaz à la variation d'énergie potentielle élastique des ressorts. 2.1.4.e Appliquer, le premier principe de la thermodynamique au système global composé du cylindre et du gaz qu'il contient. 2.2.3 Procéder comme à la question 2.1.4.d et relier le travail reçu par le gaz à la variation d'énergie potentielle élastique des ressorts. 2.2.4 Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système global. Les conseils du jury « Globalement, l'épreuve de mécanique a été mieux traitée cette année que les précédentes, le sujet étant volontairement plus simple. Le sujet a été en général bien compris, la rédaction « pédagogique » de celui-ci et l'indépendance des parties ont favorisé le travail des candidats. Il n'en demeure pas moins que les copies fournissent parfois beaucoup de résultats appris par coeur ­ ce qui n'est pas totalement négatif ­ au détriment du raisonnement et, parfois, sans justification suffisante. » · « On retrouve cette année de nombreuses fautes d'homogénéité. Il s'agit d'une évolution défavorable et surprenante. » · « Subsistent également quelques erreurs d'écriture, notamment pour ce qui est des dérivées partielles par rapport au temps », ainsi que des erreurs techniques de calcul de produit vectoriel ou de projection. · « Il apparaît que pour certains candidats le passage de la mécanique du point à celle du solide n'est pas bien assuré. » « Le sujet de thermodynamique était divisé en deux parties distinctes permettant d'aborder deux aspects importants du programme. La première partie a permis d'évaluer les connaissances des étudiants sur les aspects transferts thermiques, la seconde partie était d'avantage centrée sur la détermination d'équilibres thermodynamiques dans différentes situations. De façon générale, il n'a pas été relevé, sur le sujet, de problème de compréhension du texte qui aurait pénalisé les étudiants. La graduation de la difficulté des questions a permis de sélectionner convenablement les copies. Néanmoins, peu de copies ont traité avec succès l'ensemble du sujet qui pourtant avait comme objectif d'évaluer les connaissances fondamentales (avec assez peu de digression effrayante). Comme chaque année on reconnaît les étudiants qui ne cherchent pas à s'approprier le sujet mais qui préfèrent « butiner » de question en question pour « grappiller » quelques points. On pourra noter aussi, dans les remarques générales, que beaucoup d'étudiants ont une connaissance très superficielle du cours, ce qui se traduit soit par une incapacité à la mise en oeuvre des résultats dans un cadre applicatif, soit par l'impossibilité de redémontrer les résultats principaux dans un contexte un peu différent. » Pour ce problème également, le jury a relevé « beaucoup de problèmes dans l'homogénéité des expressions. Ceci est probablement lié au fait qu'il n'y a pas une vérification systématique ou/et que certaines grandeurs (flux, résistance, conductivité, etc.) posent des problèmes sur la connaissance des unités. » Enfin, « Beaucoup trop d'étudiants semblent peu à l'aise avec les outils mathématiques utilisés en physique. À titre d'exemple, on peut mentionner les développements limités qui ont posé de sérieux problèmes. La linéarisation est pourtant une des techniques de base en physique et devrait être totalement maîtrisée à ce niveau d'étude. » Mécanique 1. Oscillations dans le champ de pesanteur terrestre 1.1 À partir du résultat donné, on sait que I0 = IG + m2 On souhaite imposer I0 = 3 m 2 2 1 m 2 L = m 2 3 2 r 2 = L 3 par conséquent soit 1.2 La tige effectuant un mouvement de rotation autour de l'axe (Oz), fixe, on a 2 2 1 d 3 d E c = I0 = m 2 2 dt 4 dt Le rapport du jury mentionne que « La notion d'énergie cinétique est parfois mal assimilée, les candidats parvenant à confondre l'énergie cinétique d'un point, à savoir le barycentre, et celle du solide. » Puisque l'axe (Oy) est orienté vers le haut, son énergie potentielle de pesanteur est, E p = m g yG + K où K est une constante additive que l'on peut déterminer, en choisissant, par exemple, l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur en y = 0. Dans ce cas, K = 0 et E p = m g yG D'après le schéma n 1 On obtient cos = - yG Ep = -m g cos 1.3 La liaison étant parfaite, les contacts mis en jeu au niveau de la liaison sont sans frottements ; la puissance de l'action de contact est alors nulle. Le poids est donc la seule force susceptible de travailler lors des oscillations de la tige. Or, il s'agit d'une force conservative qui dérive de l'énergie potentielle déterminée à la question précédente. Par conséquent, l'énergie mécanique se conserve et on peut écrire d(Ec + Ep ) =0 dt En remplaçant Ec et Ep par leur expression, on obtient 3 d2 d d m 2 2 + mg sin = 0 2 dt dt dt