CCP Physique 1 MP 2007

SESSION 2007

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP

A

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

EDHEÜLIRE EÜH"IU"«I'E PÛLVTEEHHIÛUE5--

***

Les calculatrices sont autorisées.

NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la

rédaction

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il a été amené à prendre.

***

THERMODYNAMIQUE

Ce problème a pour objectif l'étude du système liquide--vapeur de l'eau et son 
utilisation dans

le circuit secondaire des centrales nucléaires.

ETUDE DU SYSTEME LIQUIDE-VAPEUR

L'équilibre entre l'eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes 
températures, par les

données suivantes :

Liquide saturant Vapeur saturante
0 °C ps bar
VL m'.kg" hL k]. kg" VG m'. kg" hG k]. kg"

35 0,056 1,00.10'3 146,34 25,24 2560,67
50 0,123 1,01.10'3 208,96 12,04 2587,42
100 1,013 1,04.10'3 418,42 1,673 2671,44
185 11,238 1,13.10'3 784,17 0,174 2778,03
285 69,200 1,35.10'3 1261,11 0,028 2768,83

0 : température en degré Celsius

pS : pression de vapeur saturante
vL : volume massique du liquide saturant

1/9

hL : enthalpie massique du liquide saturant
vG : volume massique de la vapeur saturante
hG : enthalpie massique de la vapeur saturante

A. Diagramme de Clapevron (p,v) du système liquide-vapeur de l'eau
On désigne par p la pression du système liquide-vapeur et par V son volume 
massique.

A-I. Représenter l'allure du diagramme de Clapeyron (p,v) de l'eau.
On prendra soin de préciser la position du point critique C, les domaines 
liquide (L),
liquide + vapeur (L+V), et vapeur (V).

A-II. Représenter, sur le diagramme précédent :
A-II.1 L'allure de l'isotherme critique Tc et préciser ses caractéristiques.
A-II.2 L'allure d'une isotherme TB : compression adiabatique réversible, dans la pompe d'alimentation, de 
la
pression p1= 0,056 bar à la pression p2 = 69,200 bar, du liquide saturant 
sortant du
condenseur à la pression p1 (état A).

Cette compression entraîne une élévation A T de la température du liquide.

. B-->D : échauffement isohare du liquide dans le générateur de vapeur qui 
amène le
liquide de l'état B à l'état de liquide saturant sous la pression p2 (état D).

. D-->E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression 
p2.

. E-->F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p2 à pl.

. F-->A: liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression pl, de la 
vapeur
présente dans l'état F.

Représenær le cycle décrit par l'eau dans le diagramme de Clapeyron (p,v).

La différentielle de l'entropie massique du liquide s'écrit, en fonction des 
variables T et p :
ds = cL dT/T - ocdep.

On note A T = T -- T1 l'élévation de la température du liquide dans la pompe 
d'alimentation.
Sachant que AT << T1 , calculer AT.

On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son 
volume massique
VL vaut 10"3 m3 . kg'l.

Dans la suite du problème on négligera A T.

Calculer le titre Xp et l'enthalpié massique hmF du système liquide-vapeur 
sortant de la
turbine (état F).

Calculer les quantités d'énergie Q et Q2 reçues par 1 kg d'eau, par transfert 
thermique,
respectivement, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur.

Calculer le travail W reçu, par 1 kg de fluide, au cours du cycle.

Calculer l'efficacité p (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette
efficacité à celle pc d'un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures 
extrêmes T1
et T2.

C-VII. Calculer la variation d'enthalpié A hAB du liquide au cours de la 
compression AB.

On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son 
volume massique
VL vaut 10"3 m3 . kg'l.

C-VIII. Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on 
peut négliger la

variation d'enthalpie AhAB. Montrer, alors, que le travail W peut s'exprimer en 
fonction
des enthalpiés massiques du fluide à l'entrée et à la sortie de la turbine.

3/9

Alternateur

Condenseur

Générateur
de vapeur

Pompe d'alimentation

Figure 1

D. Cvcle de Rankine avec soutirage

On se propose de modifier l'installation par l'adjonction d'une deuxième 
turbine et la pratique du
soutirage qui a pour but de réchauffer le liquide avant qu'il soit réinjecté 
dans le générateur de
vapeur.

La pratique du soutirage consiste à prélever, à la sortie de la première 
turbine, sous la pression
p' = 11,238 bar, une masse m' de vapeur saturante. Cette vapeur est envoyée 
dans un réchauffeur
où elle est mise en contact, par l'intermédiaire d'un échangeur, avec la masse 
m -- m' de liquide
saturant, issue du condenseur, qui a été, préalablement, comprimée de pl à p' 
par la pompe
d'alimentation (figure 2).

Au cours de cette opération la masse m' de vapeur saturante se liquéf1e sous la 
pression constante
p' . L'énergie ainsi libérée est entièrement utilisée pour réchauffer la masse 
m -- m' de liquide de la
température T1, atteinte à la sortie du condenseur, à la température T' .

A la sortie du réchauffeur le fluide se trouve à l'état liquide dans les 
conditions T' , p' . Une pompe
de reprise comprime ce liquide, de manière adiabatique, de p' a p2 puis le 
refoule dans le
générateur de vapeur où il subit un échauffement isobare de T' à T2 avant de se 
vaporiser de
nouveau.

D-I. Représenter le cycle de Rankine avec soutirage dans le diagramme de 
Clapeyron (p,v).

D-II. A partir d'un bilan enthalpique traduisant les transferts thermiques 
entre la vapeur saturante
et le liquide dans le réchauffeur, calculer m' .

D-III. Calcul des titres et des enthalpies du système liquide-vapeur àla fin 
des deux détentes.

4/9

D-III-l Calculer le titre Xi et l'enthalpie massique hi du système 
liquide-vapeur à la fin de

la première détente et avant soutirage.
D-III-2 Calculer le titre X2 et l'enthalpie H2 du système liquide-vapeur à la 
fin de la
deuxième détente.

D-IV. On adopte l'approximation suggérée à la question C-VIII. de l'exercice 
précédent.
Calculer le travail total WS reçu, par 1 kg de fluide au cours d'un cycle avec 
soutirage.

D-V. Calculer l'efficacité pS (ou rendement) du cycle avec soutirage. Conclure.

Turbine 1 Turbine 2

(III, p29 T2) \

Alternateur

Générateur
de vapeur

(In-m,) pl) Tl)

Condenseur
(m) p2: T ,)
Sout1rage

(m', p,, T')

(map', T') ' "," 7 -------------------------- )

(In-m,) pl) Tl)
Pompe de % Pompe
repr1se , . .
Réchauffeur d al1mentat10n
Figure 2

5/9

MECANIQUE

Présentation générale

L'objet de ce problème est d'étudier divers aspects dynamiques du mouvement de 
la benne d'un
téléphérique. Celui-ci est constitué d'un câble porteur sur lequel peut se 
déplacer un chariot (Ch)
qui comporte deux roues identiques de centres C1 et C2 et qui roulent sur le 
câble.

Dans tout le problème le câble sera supposé être parfaitement horizontal (of. 
figure 1):

C1 C2

(Ch) 0 C 0 câble porteur 1 g

1

figure 1

Un bras (T) est articulé sur le chariot en C au milieu des centres C1 et C2 des 
roues.
La benne (B) est liée au point A situé à l'extrémité inférieure du bras.

0 ; f\°f\
,\/\\/ ,x

figure 2

Notations et valeurs numériques

Le chariot est de masse totale mC =200kg ; les centres des roues sont séparés 
par la distance
d = l m.

Les roues ont une masse mr = 40 kg , un rayon r = 20 cm et un moment d'inertie 
par rapport à leur
axe de rotation ] = mr r2 / 2. L'ensemble est homogène, le centre de masse de 
l'ensemble est donc

situé en C.
Le coefficient de frottement entre les roues et le câble est f = 0,1.

Le bras (T) est de masse mT = 300 kg et de longueur L = 3m.
La benne (B) est homogène de masse mB = 2000kg .
La masse de l'ensemble est donc M = mT + mC + mB .

On désigne par a la distance entre C et G, G étant le centre de masse de 
l'ensemble (T) et (B).
a = 4,5 m.
A désigne l'axe de rotation de l'ensemble (T) et (B) passant par C et ]A son 
moment d'inertie par

rapport à A.
Dans tout le problème le champ de pesanteur % est supposé uniforme, de norme g 
= 9,8 m.s_2 .

6/9

Paramétrages

L'étude est réalisée dans le référentiel terrestre R supposé galiléen auquel 
est associé un repère

-->-->-->

orthonormé (O 6 e e ) avec 62 dirigé vers le bas, e,C colinéaire au câble, O 
situé à l'extrémité

)x)yfiz

gauche du câble.

_»

La réaction du câble sur la roue n°i est désignée par R, =îî +N avec ]} =î}e et 
N . =N @
(i =l ou 2) .
001 désigne la vitesse angulaire de la roue n°i.

On désigne par x l'abscisse de C et par @ l'angle entre 6? et @ . On pourra 
introduire une base

_»

locale (67,6?) enA avec eÎ=% et (eÎ,eÊ)=rc/2.

Toutes les liaisons sont supposées parfaites.

I. Préliminaire

1. Rappeler le théorème du moment cinétique appliqué à un solide S en un point 
O fixe dans un
référentiel galiléen R.

2. On se place dans un référentiel R', d'origine A, en translation par rapport 
à R.

a) Donner l'expression de la force d'inertie subie par un point matériel M de 
masse m en
fonction de l'accélération &? (A) / R de A dans R.

b) Donner l'expression du théorème du moment cinétique pour un solide S de 
masse m en O'
fixe dans R' ; justifier l'existence d'un terme correspondant au moment en O' 
de la

résultante des forces d'inertie --mZz(A) R s'appliquant au centre de masse G du 
solide.

/

c) Si R' est le référentiel barycentrique, quel résultat retrouve-t-on ?

II. Oscillations de la benne

1. On effectue un essai d'oscillation de la benne, le chariot étant maintenu 
immobile dans R.
a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par 9 .

b) Dans le cas des petites oscillations, on mesure une période Ti = 4,65. En 
déduire la valeur
de JA.

c) Sachant que le bras (T) a un moment d'inertie par rapport à A , JTA = mTL2 / 
3 , déduire la

valeur de JBA , moment d'inertie de (B) par rapport à A.

2. Le chariot est mis en mouvement par un câble tracteur qui exerce une force 
de traction
appliquée en C, T = T o.ex . Les roues roulent sans glisser sur le câble.

7/9

a) Appliquer le théorème du moment cinétique à la roue 1 dans son référentiel 
barycentrique
2

et en déduire une relation entre % et T1. Quelle relation similaire obtient-on 
avec la
[

roue 2 ? En déduire la relation entre T1 et T2.

b) Montrer que l'accélération du centre de masse G' de l'ensemble (Ch), (T), 
(B) dans le
_. _. _. 2 _.
référentiel R, se met sous la forme a(G')=Al.er +A2.e9 +%ex où A et A2 sont des
{

expressions que l'on explicitera.

c) Appliquer le théorème de la résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et 
(B) dans R et
projeter sur l'axe Ox pour obtenir une équation (l) faisant intervenir To.

(1) Montrer que dans le cas des petites oscillations, les termes quadratiques 
en 9 et % étant

négligés, l'équation (1) devient
61 226

K1 dt2

2
+ (mT + m B )a% = T 0 (2) où K1 est un coefficient que l'on explicitera.
[

e) On se place dans le référentiel R ', d'origine C en translation par rapport 
à R.
Appliquer le théorème du moment cinétique à l'ensemble (T) et (B) pour obtenir, 
dans le
cas des petites oscillations, une équation (3).

2 2
Montrer que (3) se met sous la forme Æ+K g9+fi =0 où K2 est un coefficient
dt2 2 dt2

que l'on explicitera.

i) Déduire des équations (2) et (3) une équation différentielle linéaire en 
9(t). Quelle est la

pulsation des petites oscillations ?
Calculer la valeur numérique de la période Conclure dans le cas où la benne est 
destinée
au transport des passagers.

g) On souhaite donner à la benne une accélération yo = 0,8 ms_2 . Pour cela, à 
l'instant t = 0 ,

on fait passer la tension d'une valeur nulle à la valeur To = K1yo . 
Initialement la benne est
au repos ; déterminer 9(t) pour t positif.

Calculer en degré l'amplitude des oscillations.

. Condition de non glissement.

Dans ce paragraphe on considère que 9 = 0 . La force de traction est maintenue.

a) Déterminer le moment cinétique de l'ensemble du chariot par rapport à l'axe 
A .

b) En déduire une relation liant les composantes des réactions du câble sur les 
roues,
l'accélération angulaire des roues et les caractéristiques du chariot.

c) Déterminer une autre relation ne portant que sur les composantes normales 
des réactions.

\ . , , . _2 , . .
(1) Dans le cas ou le chariot a une acceleration yo=0,8m.s , determiner s'il y a
glissement ou non.

8/9

III. Oscillations du câble porteur

Dans cette question on considère que le chariot est immobile dans un 
référentiel lié au câble.

La prise en compte de l'élasticité du câble porteur revient à considérer que C 
peut se mouvoir
verticalement selon O'z, le point O' étant fixe. Le câble se comporte alors 
comme un ressort de
raideur k, d'extrémité fixe O' et de longueur à vide lo.

1. Lorsque l'on introduit une masse de une tonne dans la benne, celle-ci 
descend de 0,5m.
Quelle est la raideur du ressort équivalent ?

2. On se place dans une situation où la benne, toujours liée au bras (T), peut 
osciller dans un
mouvement pendulaire.

zV

Figure 3

Le chariot est confondu avec le point C, de masse mC ; on pose O'C = 2.62 .

a) Déterminer l'accélération de G' , centre de masse de l'ensemble (Ch), (B), 
(T) dans R, en

utilisant les vecteurs (e,,ee,ez).

b) Déterminer une équation différentielle liant z(t) et 9(t) par application du 
théorème de la
résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et (B).

c) Déterminer la position d'équilibre de C de côte ze, lorsque la benne 
n'oscille pas. En
déduire l'équation différentielle vérifiée par Z = 2 --Z6 et 9(t).

(1) Que devient cette équation dans le cas des petites oscillations ? Mettre 
cette équation sous
la forme d'une équation différentielle en Z(t) avec un second membre dépendant 
de 9(t)

et de ses dérivées.

e) En déduire Z(t) en régime forcé lorsque O=roos(oet) avec oo=27c/4,6rad.s_1 et
Go=0,lrad.

Fin de l'énoncé

9/9

CCP Physique 1 MP 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Dubuis (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Sébastien
Dusuel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants portant 
respectivement sur la thermodynamique et la mécanique du solide.
Le premier problème porte sur le système binaire liquide-vapeur de l'eau et sur
son utilisation dans le circuit secondaire d'une centrale nucléaire. Une bonne 
compréhension des changements d'état est nécessaire pour aborder le problème : 
certaines
relations de base servent en effet de manière récurrente dans les questions. 
Les parties C et D, portant sur des cycles de Rankine où interviennent des 
changements
d'état, sont plus originales. Elles nécessitent, en plus des connaissances de 
base sur
les machines thermiques, une capacité à y incorporer des phénomènes de 
vaporisation/liquéfaction. Enfin, la partie D, peu dirigée, fait appel à une 
certaine initiative
de la part du candidat. Des questions plus détaillées auraient certainement 
permis
une meilleure compréhension du système de soutirage ainsi que de son rôle dans
l'amélioration de l'efficacité du cycle.
Le second problème porte sur l'étude d'un téléphérique. Après quelques questions
de cours sur les changements de référentiel et une étude classique du pendule 
pesant, on s'intéresse au mouvement d'un téléphérique tiré à force constante 
puis aux
oscillations de son câble. Les outils mis en oeuvre sont ceux que l'on 
rencontre habituellement en mécanique du solide tels que le théorème de la 
résultante cinétique
ou le théorème du moment cinétique. Les questions sont assez directives et 
laissent
peu de marge de manoeuvre quant aux méthodes à utiliser (toujours primordiales
dans un problème de mécanique). La principale difficulté réside dans le fait 
que les
réponses ne sont que partiellement données par l'énoncé. Le candidat avance donc
dans le sujet sans validation de ses résultats intermédiaires.
Cette épreuve est sensiblement plus difficile que ce que l'on pourrait attendre 
d'un
sujet des CCP en MP. Toutefois, une bonne connaissance du cours permet de 
traiter
rapidement une bonne partie de l'énoncé, ce qui laisse le temps de réfléchir 
aux questions plus difficiles. Le problème de thermodynamique intéressera les 
élèves désirant
approfondir les machines thermiques et se familiariser avec le cycle de Rankine 
qui
est un « classique » de la thermodynamique. Le problème de mécanique constitue,
quant à lui, une excellente révision des concepts de base de la mécanique du 
solide et
de leur application à des systèmes que l'on retrouve fréquemment dans les 
planches
d'oral, comme le pendule pesant suspendu à un ressort.

Indications
Thermodynamique
A.III Appliquer la conservation de la masse puis celle du volume (ou de 
l'enthalpie).
B.II Comme la transformation est adiabatique réversible, on peut identifier les
entropies du système avant et après la transformation en se servant de la
formule donnée par l'énoncé.

Z T1 +T
T
T
dT
= ln 1 +

.
C.II Comme T  T1 on peut écrire
T
T1
T1
T1
C.III Utiliser la formule sur l'entropie du système diphasé fournie dans la 
partie B.
C.IV Pour une transformation isobare, le premier principe s'écrit H = Q.
C.V Appliquer le premier principe à l'ensemble du cycle pour obtenir W.
D.II Traduire l'égalité entre la chaleur libérée par la liquéfaction d'une 
masse m
de vapeur saturante et celle nécessaire pour faire passer une masse m - m
de liquide de T1 à T .
D.III.1 Les détentes étant adiabatiques réversibles, identifier les entropies 
du système
en amont et en aval de la turbine à l'aide la formule de la partie B.
D.III.2 Commencer par calculer le titre x1 après soutirage, puis procéder comme 
à
la question D.III.1.
D.IV Compte tenu de la question C.VIII, le travail reçu Ws est la somme des
travaux reçus dans les deux turbines. Penser ensuite à exprimer le premier
principe avec H.
D.V Attention, la température à l'entrée du générateur de vapeur est T .

Mécanique
II.2.a Le théorème du moment cinétique barycentrique donne une première équation
reliant la vitesse angulaire à la réaction du sol. Utiliser ensuite la condition
de non-glissement pour relier x et .
-- - --
II.2.b Décomposer le vecteur position selon OG = OC + CG puis le dériver deux

fois par rapport au temps, en prenant garde à la dérivation des vecteurs -
er

-
et e en coordonnées cylindriques.

II.2.c Attention à ne pas oublier la réaction du câble sur le chariot ! Penser 
également
à utiliser la définition du barycentre pour montrer M × CG = (mT + mB ) a
afin de simplifier l'expression obtenue.
 -
-

II.3.d Utiliser les lois de Coulomb en calculant | T |/| N | pour vérifier la 
condition
de non-glissement.
II.2.g Commencer par introduire explicitement  pour simplifier l'écriture de 
l'équation différentielle.
III.2.d Considérer que les dérivées successives de  sont du même ordre que  et
tronquer le second membre à l'ordre 2.
III.2.e En régime forcé, il suffit de chercher une solution sinusoïdale 
particulière qui
a la même pulsation que le forçage.

Thermodynamique
A.

Diagramme de Clapeyron (p,v) du système liquide-vapeur de l'eau

A.I Le diagramme de Clapeyron de
l'eau est représenté ci-contre. La partie de la courbe à gauche de C est 
appelée courbe d'ébullition et la partie à
droite, courbe de rosée. Les domaines
liquide (L) et vapeur (V) sont respectivement placés à gauche de la courbe
d'ébullition et à droite de la courbe de
rosée.
A.II.1 L'isotherme critique T = TC
est représentée sur le diagramme cidessus. Elle présente un point d'inflexion à 
tangente horizontale au point
critique C.

p
C

T = TC
(L+V)
(L) courbe
d'ébullition

T < TC
courbe (V)
de rosée
v

Le rapport du jury souligne que peu d'étudiants connaissent les 
caractéristiques de l'isotherme critique.

A.II.2 Pour T < TC , la courbe présente un palier appelé palier de liquéfaction 
qui correspond à l'équilibre liquide-vapeur. Lorsque l'isotherme rencontre la
courbe d'ébullition, la première bulle de vapeur en équilibre avec le liquide 
se forme.
La proportion de vapeur dans le système croît lorsque le volume molaire 
augmente,
jusqu'à ce qu'il ne reste plus de liquide dans le mélange. La présence de ce 
palier peut
être justifiée à l'aide de considérations sur la variance du système. Soient  
le nombre
de phases du système, N le nombre de constituants physico-chimiques, R le nombre
de relations dues à des équilibres physico-chimiques indépendants et K le 
nombre de
relations particulières. La variance vaut alors
v = N+2--R-K
· Lorsqu'il n'y a qu'une seule phase (liquide ou vapeur),  = 1, N = 1, R = 0 et
K = 0. La variance vaut alors 2. À T donnée, une variable intensive peut être
fixée indépendamment : la pression varie lorsque le volume massique change.
· S'il y a deux phases (équilibre liquide-vapeur),  = 2, N = 2, R = 1 et K = 0.
La variance vaut alors 1. À T donnée, la pression reste constante durant la
condensation. C'est la pression de vapeur saturante.
Sans utiliser la formule précédente (formule de Gibbs), on peut aussi revenir
à la définition de la variance
v =X-Y
où X est le nombre de variables intensives du système et Y le nombre de 
relations indépendantes entre ces variables. Lorsqu'une seule phase est 
présente,
il y a trois variables intensives (T, P et le volume molaire) et une équation

d'état reliant ces trois grandeurs. À T fixée, P varie donc avec le volume 
molaire. En revanche, lorsque l'on est en présence d'un équilibre 
liquide-vapeur,
il y a toujours trois variables intensives (T, P et le volume molaire) mais il
existe une relation supplémentaire entre ces variables provenant de l'équilibre
liquide-vapeur. À T fixée, P ne peut donc plus varier.
A.III Considérons le cas du volume massique et désignons par mL et mV les masses
respectives de liquide et de vapeur dans le système. La conservation de la masse
totale m du système s'écrit
mL + mG = m
Par ailleurs, le volume total du système est la somme des volumes de liquide et 
de
vapeur, ce qui donne
mL v L + mG v G = m v m
Finalement, en éliminant mL entre les deux relations précédentes il vient
vm - vL
mG = m
vG - vL
soit

x=

vm - vL
vG - vL

Le raisonnement précédent s'applique avec n'importe quelle grandeur extensive
autre que le volume, par exemple l'enthalpie. On obtient alors
x=

hm - hL
hG - hL

A.IV Par définition, la chaleur latente massique de vaporisation est la 
variation
d'enthalpie du système liquide-vapeur au cours de la vaporisation, à la 
température T,
d'une unité de masse d'un corps pur sous forme liquide, c'est-à-dire
v (T) = hG (T) - hL (T)

B.

Détente adiabatique réversible d'un système liquide-vapeur

B.I Le volume massique du système liquide-vapeur est donné par v m = V/m.
Par ailleurs, l'énoncé fournit les valeurs de v L et v G à la température  = 
100 C
pour laquelle l'équilibre liquide-vapeur a lieu sous une atmosphère. On peut 
alors
calculer x avec la formule sur les volumes molaires établie à la question 
A.III, d'où
x=

vm - vL
= 0,60
vG - vL

Le volume V et la masse m donnés par l'énoncé ne permettant de calculer x
qu'avec deux chiffres significatifs, nous utiliserons cette même précision par 
la
suite, bien que certaines données soient fournies avec six chiffres 
significatifs.