SESSION 2007
EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP
A
PHYSIQUE 1
Durée : 4 heures
EDHEÜLIRE EÜH"IU"«I'E PÛLVTEEHHIÛUE5--
***
Les calculatrices sont autorisées.
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la
rédaction
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu'il a été amené à prendre.
***
THERMODYNAMIQUE
Ce problème a pour objectif l'étude du système liquide--vapeur de l'eau et son
utilisation dans
le circuit secondaire des centrales nucléaires.
ETUDE DU SYSTEME LIQUIDE-VAPEUR
L'équilibre entre l'eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes
températures, par les
données suivantes :
Liquide saturant Vapeur saturante
0 °C ps bar
VL m'.kg" hL k]. kg" VG m'. kg" hG k]. kg"
35 0,056 1,00.10'3 146,34 25,24 2560,67
50 0,123 1,01.10'3 208,96 12,04 2587,42
100 1,013 1,04.10'3 418,42 1,673 2671,44
185 11,238 1,13.10'3 784,17 0,174 2778,03
285 69,200 1,35.10'3 1261,11 0,028 2768,83
0 : température en degré Celsius
pS : pression de vapeur saturante
vL : volume massique du liquide saturant
1/9
hL : enthalpie massique du liquide saturant
vG : volume massique de la vapeur saturante
hG : enthalpie massique de la vapeur saturante
A. Diagramme de Clapevron (p,v) du système liquide-vapeur de l'eau
On désigne par p la pression du système liquide-vapeur et par V son volume
massique.
A-I. Représenter l'allure du diagramme de Clapeyron (p,v) de l'eau.
On prendra soin de préciser la position du point critique C, les domaines
liquide (L),
liquide + vapeur (L+V), et vapeur (V).
A-II. Représenter, sur le diagramme précédent :
A-II.1 L'allure de l'isotherme critique Tc et préciser ses caractéristiques.
A-II.2 L'allure d'une isotherme TB : compression adiabatique réversible, dans la pompe d'alimentation, de
la
pression p1= 0,056 bar à la pression p2 = 69,200 bar, du liquide saturant
sortant du
condenseur à la pression p1 (état A).
Cette compression entraîne une élévation A T de la température du liquide.
. B-->D : échauffement isohare du liquide dans le générateur de vapeur qui
amène le
liquide de l'état B à l'état de liquide saturant sous la pression p2 (état D).
. D-->E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression
p2.
. E-->F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p2 à pl.
. F-->A: liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression pl, de la
vapeur
présente dans l'état F.
Représenær le cycle décrit par l'eau dans le diagramme de Clapeyron (p,v).
La différentielle de l'entropie massique du liquide s'écrit, en fonction des
variables T et p :
ds = cL dT/T - ocdep.
On note A T = T -- T1 l'élévation de la température du liquide dans la pompe
d'alimentation.
Sachant que AT << T1 , calculer AT. On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son volume massique VL vaut 10"3 m3 . kg'l. Dans la suite du problème on négligera A T. Calculer le titre Xp et l'enthalpié massique hmF du système liquide-vapeur sortant de la turbine (état F). Calculer les quantités d'énergie Q et Q2 reçues par 1 kg d'eau, par transfert thermique, respectivement, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur. Calculer le travail W reçu, par 1 kg de fluide, au cours du cycle. Calculer l'efficacité p (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette efficacité à celle pc d'un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures extrêmes T1 et T2. C-VII. Calculer la variation d'enthalpié A hAB du liquide au cours de la compression AB. On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son volume massique VL vaut 10"3 m3 . kg'l. C-VIII. Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on peut négliger la variation d'enthalpie AhAB. Montrer, alors, que le travail W peut s'exprimer en fonction des enthalpiés massiques du fluide à l'entrée et à la sortie de la turbine. 3/9 Alternateur Condenseur Générateur de vapeur Pompe d'alimentation Figure 1 D. Cvcle de Rankine avec soutirage On se propose de modifier l'installation par l'adjonction d'une deuxième turbine et la pratique du soutirage qui a pour but de réchauffer le liquide avant qu'il soit réinjecté dans le générateur de vapeur. La pratique du soutirage consiste à prélever, à la sortie de la première turbine, sous la pression p' = 11,238 bar, une masse m' de vapeur saturante. Cette vapeur est envoyée dans un réchauffeur où elle est mise en contact, par l'intermédiaire d'un échangeur, avec la masse m -- m' de liquide saturant, issue du condenseur, qui a été, préalablement, comprimée de pl à p' par la pompe d'alimentation (figure 2). Au cours de cette opération la masse m' de vapeur saturante se liquéf1e sous la pression constante p' . L'énergie ainsi libérée est entièrement utilisée pour réchauffer la masse m -- m' de liquide de la température T1, atteinte à la sortie du condenseur, à la température T' . A la sortie du réchauffeur le fluide se trouve à l'état liquide dans les conditions T' , p' . Une pompe de reprise comprime ce liquide, de manière adiabatique, de p' a p2 puis le refoule dans le générateur de vapeur où il subit un échauffement isobare de T' à T2 avant de se vaporiser de nouveau. D-I. Représenter le cycle de Rankine avec soutirage dans le diagramme de Clapeyron (p,v). D-II. A partir d'un bilan enthalpique traduisant les transferts thermiques entre la vapeur saturante et le liquide dans le réchauffeur, calculer m' . D-III. Calcul des titres et des enthalpies du système liquide-vapeur àla fin des deux détentes. 4/9 D-III-l Calculer le titre Xi et l'enthalpie massique hi du système liquide-vapeur à la fin de la première détente et avant soutirage. D-III-2 Calculer le titre X2 et l'enthalpie H2 du système liquide-vapeur à la fin de la deuxième détente. D-IV. On adopte l'approximation suggérée à la question C-VIII. de l'exercice précédent. Calculer le travail total WS reçu, par 1 kg de fluide au cours d'un cycle avec soutirage. D-V. Calculer l'efficacité pS (ou rendement) du cycle avec soutirage. Conclure. Turbine 1 Turbine 2 (III, p29 T2) \ Alternateur Générateur de vapeur (In-m,) pl) Tl) Condenseur (m) p2: T ,) Sout1rage (m', p,, T') (map', T') ' "," 7 -------------------------- ) (In-m,) pl) Tl) Pompe de % Pompe repr1se , . . Réchauffeur d al1mentat10n Figure 2 5/9 MECANIQUE Présentation générale L'objet de ce problème est d'étudier divers aspects dynamiques du mouvement de la benne d'un téléphérique. Celui-ci est constitué d'un câble porteur sur lequel peut se déplacer un chariot (Ch) qui comporte deux roues identiques de centres C1 et C2 et qui roulent sur le câble. Dans tout le problème le câble sera supposé être parfaitement horizontal (of. figure 1): C1 C2 (Ch) 0 C 0 câble porteur 1 g 1 figure 1 Un bras (T) est articulé sur le chariot en C au milieu des centres C1 et C2 des roues. La benne (B) est liée au point A situé à l'extrémité inférieure du bras. 0 ; f\°f\ ,\/\\/ ,x figure 2 Notations et valeurs numériques Le chariot est de masse totale mC =200kg ; les centres des roues sont séparés par la distance d = l m. Les roues ont une masse mr = 40 kg , un rayon r = 20 cm et un moment d'inertie par rapport à leur axe de rotation ] = mr r2 / 2. L'ensemble est homogène, le centre de masse de l'ensemble est donc situé en C. Le coefficient de frottement entre les roues et le câble est f = 0,1. Le bras (T) est de masse mT = 300 kg et de longueur L = 3m. La benne (B) est homogène de masse mB = 2000kg . La masse de l'ensemble est donc M = mT + mC + mB . On désigne par a la distance entre C et G, G étant le centre de masse de l'ensemble (T) et (B). a = 4,5 m. A désigne l'axe de rotation de l'ensemble (T) et (B) passant par C et ]A son moment d'inertie par rapport à A. Dans tout le problème le champ de pesanteur % est supposé uniforme, de norme g = 9,8 m.s_2 . 6/9 Paramétrages L'étude est réalisée dans le référentiel terrestre R supposé galiléen auquel est associé un repère -->-->-->
orthonormé (O 6 e e ) avec 62 dirigé vers le bas, e,C colinéaire au câble, O
situé à l'extrémité
)x)yfiz
gauche du câble.
_»
La réaction du câble sur la roue n°i est désignée par R, =îî +N avec ]} =î}e et
N . =N @
(i =l ou 2) .
001 désigne la vitesse angulaire de la roue n°i.
On désigne par x l'abscisse de C et par @ l'angle entre 6? et @ . On pourra
introduire une base
_»
locale (67,6?) enA avec eÎ=% et (eÎ,eÊ)=rc/2.
Toutes les liaisons sont supposées parfaites.
I. Préliminaire
1. Rappeler le théorème du moment cinétique appliqué à un solide S en un point
O fixe dans un
référentiel galiléen R.
2. On se place dans un référentiel R', d'origine A, en translation par rapport
à R.
a) Donner l'expression de la force d'inertie subie par un point matériel M de
masse m en
fonction de l'accélération &? (A) / R de A dans R.
b) Donner l'expression du théorème du moment cinétique pour un solide S de
masse m en O'
fixe dans R' ; justifier l'existence d'un terme correspondant au moment en O'
de la
résultante des forces d'inertie --mZz(A) R s'appliquant au centre de masse G du
solide.
/
c) Si R' est le référentiel barycentrique, quel résultat retrouve-t-on ?
II. Oscillations de la benne
1. On effectue un essai d'oscillation de la benne, le chariot étant maintenu
immobile dans R.
a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par 9 .
b) Dans le cas des petites oscillations, on mesure une période Ti = 4,65. En
déduire la valeur
de JA.
c) Sachant que le bras (T) a un moment d'inertie par rapport à A , JTA = mTL2 /
3 , déduire la
valeur de JBA , moment d'inertie de (B) par rapport à A.
2. Le chariot est mis en mouvement par un câble tracteur qui exerce une force
de traction
appliquée en C, T = T o.ex . Les roues roulent sans glisser sur le câble.
7/9
a) Appliquer le théorème du moment cinétique à la roue 1 dans son référentiel
barycentrique
2
et en déduire une relation entre % et T1. Quelle relation similaire obtient-on
avec la
[
roue 2 ? En déduire la relation entre T1 et T2.
b) Montrer que l'accélération du centre de masse G' de l'ensemble (Ch), (T),
(B) dans le
_. _. _. 2 _.
référentiel R, se met sous la forme a(G')=Al.er +A2.e9 +%ex où A et A2 sont des
{
expressions que l'on explicitera.
c) Appliquer le théorème de la résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et
(B) dans R et
projeter sur l'axe Ox pour obtenir une équation (l) faisant intervenir To.
(1) Montrer que dans le cas des petites oscillations, les termes quadratiques
en 9 et % étant
négligés, l'équation (1) devient
61 226
K1 dt2
2
+ (mT + m B )a% = T 0 (2) où K1 est un coefficient que l'on explicitera.
[
e) On se place dans le référentiel R ', d'origine C en translation par rapport
à R.
Appliquer le théorème du moment cinétique à l'ensemble (T) et (B) pour obtenir,
dans le
cas des petites oscillations, une équation (3).
2 2
Montrer que (3) se met sous la forme Æ+K g9+fi =0 où K2 est un coefficient
dt2 2 dt2
que l'on explicitera.
i) Déduire des équations (2) et (3) une équation différentielle linéaire en
9(t). Quelle est la
pulsation des petites oscillations ?
Calculer la valeur numérique de la période Conclure dans le cas où la benne est
destinée
au transport des passagers.
g) On souhaite donner à la benne une accélération yo = 0,8 ms_2 . Pour cela, à
l'instant t = 0 ,
on fait passer la tension d'une valeur nulle à la valeur To = K1yo .
Initialement la benne est
au repos ; déterminer 9(t) pour t positif.
Calculer en degré l'amplitude des oscillations.
. Condition de non glissement.
Dans ce paragraphe on considère que 9 = 0 . La force de traction est maintenue.
a) Déterminer le moment cinétique de l'ensemble du chariot par rapport à l'axe
A .
b) En déduire une relation liant les composantes des réactions du câble sur les
roues,
l'accélération angulaire des roues et les caractéristiques du chariot.
c) Déterminer une autre relation ne portant que sur les composantes normales
des réactions.
\ . , , . _2 , . .
(1) Dans le cas ou le chariot a une acceleration yo=0,8m.s , determiner s'il y a
glissement ou non.
8/9
III. Oscillations du câble porteur
Dans cette question on considère que le chariot est immobile dans un
référentiel lié au câble.
La prise en compte de l'élasticité du câble porteur revient à considérer que C
peut se mouvoir
verticalement selon O'z, le point O' étant fixe. Le câble se comporte alors
comme un ressort de
raideur k, d'extrémité fixe O' et de longueur à vide lo.
1. Lorsque l'on introduit une masse de une tonne dans la benne, celle-ci
descend de 0,5m.
Quelle est la raideur du ressort équivalent ?
2. On se place dans une situation où la benne, toujours liée au bras (T), peut
osciller dans un
mouvement pendulaire.
zV
Figure 3
Le chariot est confondu avec le point C, de masse mC ; on pose O'C = 2.62 .
a) Déterminer l'accélération de G' , centre de masse de l'ensemble (Ch), (B),
(T) dans R, en
utilisant les vecteurs (e,,ee,ez).
b) Déterminer une équation différentielle liant z(t) et 9(t) par application du
théorème de la
résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et (B).
c) Déterminer la position d'équilibre de C de côte ze, lorsque la benne
n'oscille pas. En
déduire l'équation différentielle vérifiée par Z = 2 --Z6 et 9(t).
(1) Que devient cette équation dans le cas des petites oscillations ? Mettre
cette équation sous
la forme d'une équation différentielle en Z(t) avec un second membre dépendant
de 9(t)
et de ses dérivées.
e) En déduire Z(t) en régime forcé lorsque O=roos(oet) avec oo=27c/4,6rad.s_1 et
Go=0,lrad.
Fin de l'énoncé
9/9
