CCP Physique 1 MP 2007

Thème de l'épreuve Étude du système liquide-vapeur de l'eau. Mouvement de la benne d'un téléphérique.
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique du solide
Mots clefs diagramme de Clapeyron, machine thermique, cycle de Rankine, oscillations libres, oscillations forcées

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2007 EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE MP A PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures EDHEÜLIRE EÜH"IU"«I'E PÛLVTEEHHIÛUE5-- *** Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** THERMODYNAMIQUE Ce problème a pour objectif l'étude du système liquide--vapeur de l'eau et son utilisation dans le circuit secondaire des centrales nucléaires. ETUDE DU SYSTEME LIQUIDE-VAPEUR L'équilibre entre l'eau liquide et sa vapeur est caractérisé, à différentes températures, par les données suivantes : Liquide saturant Vapeur saturante 0 °C ps bar VL m'.kg" hL k]. kg" VG m'. kg" hG k]. kg" 35 0,056 1,00.10'3 146,34 25,24 2560,67 50 0,123 1,01.10'3 208,96 12,04 2587,42 100 1,013 1,04.10'3 418,42 1,673 2671,44 185 11,238 1,13.10'3 784,17 0,174 2778,03 285 69,200 1,35.10'3 1261,11 0,028 2768,83 0 : température en degré Celsius pS : pression de vapeur saturante vL : volume massique du liquide saturant 1/9 hL : enthalpie massique du liquide saturant vG : volume massique de la vapeur saturante hG : enthalpie massique de la vapeur saturante A. Diagramme de Clapevron (p,v) du système liquide-vapeur de l'eau On désigne par p la pression du système liquide-vapeur et par V son volume massique. A-I. Représenter l'allure du diagramme de Clapeyron (p,v) de l'eau. On prendra soin de préciser la position du point critique C, les domaines liquide (L), liquide + vapeur (L+V), et vapeur (V). A-II. Représenter, sur le diagramme précédent : A-II.1 L'allure de l'isotherme critique Tc et préciser ses caractéristiques. A-II.2 L'allure d'une isotherme TB : compression adiabatique réversible, dans la pompe d'alimentation, de la pression p1= 0,056 bar à la pression p2 = 69,200 bar, du liquide saturant sortant du condenseur à la pression p1 (état A). Cette compression entraîne une élévation A T de la température du liquide. . B-->D : échauffement isohare du liquide dans le générateur de vapeur qui amène le liquide de l'état B à l'état de liquide saturant sous la pression p2 (état D). . D-->E : vaporisation totale, dans le générateur de vapeur, sous la pression p2. . E-->F : détente adiabatique réversible, dans la turbine, de p2 à pl. . F-->A: liquéfaction totale, dans le condenseur, sous la pression pl, de la vapeur présente dans l'état F. Représenær le cycle décrit par l'eau dans le diagramme de Clapeyron (p,v). La différentielle de l'entropie massique du liquide s'écrit, en fonction des variables T et p : ds = cL dT/T - ocdep. On note A T = T -- T1 l'élévation de la température du liquide dans la pompe d'alimentation. Sachant que AT << T1 , calculer AT. On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son volume massique VL vaut 10"3 m3 . kg'l. Dans la suite du problème on négligera A T. Calculer le titre Xp et l'enthalpié massique hmF du système liquide-vapeur sortant de la turbine (état F). Calculer les quantités d'énergie Q et Q2 reçues par 1 kg d'eau, par transfert thermique, respectivement, dans le condenseur et dans le générateur de vapeur. Calculer le travail W reçu, par 1 kg de fluide, au cours du cycle. Calculer l'efficacité p (ou rendement thermodynamique) du cycle. Comparer cette efficacité à celle pc d'un cycle de Carnot décrit entre les mêmes températures extrêmes T1 et T2. C-VII. Calculer la variation d'enthalpié A hAB du liquide au cours de la compression AB. On supposera, pour ce calcul, que le liquide est incompressible et que son volume massique VL vaut 10"3 m3 . kg'l. C-VIII. Dans le calcul du bilan enthalpique du fluide au cours du cycle, on peut négliger la variation d'enthalpie AhAB. Montrer, alors, que le travail W peut s'exprimer en fonction des enthalpiés massiques du fluide à l'entrée et à la sortie de la turbine. 3/9 Alternateur Condenseur Générateur de vapeur Pompe d'alimentation Figure 1 D. Cvcle de Rankine avec soutirage On se propose de modifier l'installation par l'adjonction d'une deuxième turbine et la pratique du soutirage qui a pour but de réchauffer le liquide avant qu'il soit réinjecté dans le générateur de vapeur. La pratique du soutirage consiste à prélever, à la sortie de la première turbine, sous la pression p' = 11,238 bar, une masse m' de vapeur saturante. Cette vapeur est envoyée dans un réchauffeur où elle est mise en contact, par l'intermédiaire d'un échangeur, avec la masse m -- m' de liquide saturant, issue du condenseur, qui a été, préalablement, comprimée de pl à p' par la pompe d'alimentation (figure 2). Au cours de cette opération la masse m' de vapeur saturante se liquéf1e sous la pression constante p' . L'énergie ainsi libérée est entièrement utilisée pour réchauffer la masse m -- m' de liquide de la température T1, atteinte à la sortie du condenseur, à la température T' . A la sortie du réchauffeur le fluide se trouve à l'état liquide dans les conditions T' , p' . Une pompe de reprise comprime ce liquide, de manière adiabatique, de p' a p2 puis le refoule dans le générateur de vapeur où il subit un échauffement isobare de T' à T2 avant de se vaporiser de nouveau. D-I. Représenter le cycle de Rankine avec soutirage dans le diagramme de Clapeyron (p,v). D-II. A partir d'un bilan enthalpique traduisant les transferts thermiques entre la vapeur saturante et le liquide dans le réchauffeur, calculer m' . D-III. Calcul des titres et des enthalpies du système liquide-vapeur àla fin des deux détentes. 4/9 D-III-l Calculer le titre Xi et l'enthalpie massique hi du système liquide-vapeur à la fin de la première détente et avant soutirage. D-III-2 Calculer le titre X2 et l'enthalpie H2 du système liquide-vapeur à la fin de la deuxième détente. D-IV. On adopte l'approximation suggérée à la question C-VIII. de l'exercice précédent. Calculer le travail total WS reçu, par 1 kg de fluide au cours d'un cycle avec soutirage. D-V. Calculer l'efficacité pS (ou rendement) du cycle avec soutirage. Conclure. Turbine 1 Turbine 2 (III, p29 T2) \ Alternateur Générateur de vapeur (In-m,) pl) Tl) Condenseur (m) p2: T ,) Sout1rage (m', p,, T') (map', T') ' "," 7 -------------------------- ) (In-m,) pl) Tl) Pompe de % Pompe repr1se , . . Réchauffeur d al1mentat10n Figure 2 5/9 MECANIQUE Présentation générale L'objet de ce problème est d'étudier divers aspects dynamiques du mouvement de la benne d'un téléphérique. Celui-ci est constitué d'un câble porteur sur lequel peut se déplacer un chariot (Ch) qui comporte deux roues identiques de centres C1 et C2 et qui roulent sur le câble. Dans tout le problème le câble sera supposé être parfaitement horizontal (of. figure 1): C1 C2 (Ch) 0 C 0 câble porteur 1 g 1 figure 1 Un bras (T) est articulé sur le chariot en C au milieu des centres C1 et C2 des roues. La benne (B) est liée au point A situé à l'extrémité inférieure du bras. 0 ; f\°f\ ,\/\\/ ,x figure 2 Notations et valeurs numériques Le chariot est de masse totale mC =200kg ; les centres des roues sont séparés par la distance d = l m. Les roues ont une masse mr = 40 kg , un rayon r = 20 cm et un moment d'inertie par rapport à leur axe de rotation ] = mr r2 / 2. L'ensemble est homogène, le centre de masse de l'ensemble est donc situé en C. Le coefficient de frottement entre les roues et le câble est f = 0,1. Le bras (T) est de masse mT = 300 kg et de longueur L = 3m. La benne (B) est homogène de masse mB = 2000kg . La masse de l'ensemble est donc M = mT + mC + mB . On désigne par a la distance entre C et G, G étant le centre de masse de l'ensemble (T) et (B). a = 4,5 m. A désigne l'axe de rotation de l'ensemble (T) et (B) passant par C et ]A son moment d'inertie par rapport à A. Dans tout le problème le champ de pesanteur % est supposé uniforme, de norme g = 9,8 m.s_2 . 6/9 Paramétrages L'étude est réalisée dans le référentiel terrestre R supposé galiléen auquel est associé un repère -->-->--> orthonormé (O 6 e e ) avec 62 dirigé vers le bas, e,C colinéaire au câble, O situé à l'extrémité )x)yfiz gauche du câble. _» La réaction du câble sur la roue n°i est désignée par R, =îî +N avec ]} =î}e et N . =N @ (i =l ou 2) . 001 désigne la vitesse angulaire de la roue n°i. On désigne par x l'abscisse de C et par @ l'angle entre 6? et @ . On pourra introduire une base _» locale (67,6?) enA avec eÎ=% et (eÎ,eÊ)=rc/2. Toutes les liaisons sont supposées parfaites. I. Préliminaire 1. Rappeler le théorème du moment cinétique appliqué à un solide S en un point O fixe dans un référentiel galiléen R. 2. On se place dans un référentiel R', d'origine A, en translation par rapport à R. a) Donner l'expression de la force d'inertie subie par un point matériel M de masse m en fonction de l'accélération &? (A) / R de A dans R. b) Donner l'expression du théorème du moment cinétique pour un solide S de masse m en O' fixe dans R' ; justifier l'existence d'un terme correspondant au moment en O' de la résultante des forces d'inertie --mZz(A) R s'appliquant au centre de masse G du solide. / c) Si R' est le référentiel barycentrique, quel résultat retrouve-t-on ? II. Oscillations de la benne 1. On effectue un essai d'oscillation de la benne, le chariot étant maintenu immobile dans R. a) Etablir l'équation différentielle vérifiée par 9 . b) Dans le cas des petites oscillations, on mesure une période Ti = 4,65. En déduire la valeur de JA. c) Sachant que le bras (T) a un moment d'inertie par rapport à A , JTA = mTL2 / 3 , déduire la valeur de JBA , moment d'inertie de (B) par rapport à A. 2. Le chariot est mis en mouvement par un câble tracteur qui exerce une force de traction appliquée en C, T = T o.ex . Les roues roulent sans glisser sur le câble. 7/9 a) Appliquer le théorème du moment cinétique à la roue 1 dans son référentiel barycentrique 2 et en déduire une relation entre % et T1. Quelle relation similaire obtient-on avec la [ roue 2 ? En déduire la relation entre T1 et T2. b) Montrer que l'accélération du centre de masse G' de l'ensemble (Ch), (T), (B) dans le _. _. _. 2 _. référentiel R, se met sous la forme a(G')=Al.er +A2.e9 +%ex où A et A2 sont des { expressions que l'on explicitera. c) Appliquer le théorème de la résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et (B) dans R et projeter sur l'axe Ox pour obtenir une équation (l) faisant intervenir To. (1) Montrer que dans le cas des petites oscillations, les termes quadratiques en 9 et % étant négligés, l'équation (1) devient 61 226 K1 dt2 2 + (mT + m B )a% = T 0 (2) où K1 est un coefficient que l'on explicitera. [ e) On se place dans le référentiel R ', d'origine C en translation par rapport à R. Appliquer le théorème du moment cinétique à l'ensemble (T) et (B) pour obtenir, dans le cas des petites oscillations, une équation (3). 2 2 Montrer que (3) se met sous la forme Æ+K g9+fi =0 où K2 est un coefficient dt2 2 dt2 que l'on explicitera. i) Déduire des équations (2) et (3) une équation différentielle linéaire en 9(t). Quelle est la pulsation des petites oscillations ? Calculer la valeur numérique de la période Conclure dans le cas où la benne est destinée au transport des passagers. g) On souhaite donner à la benne une accélération yo = 0,8 ms_2 . Pour cela, à l'instant t = 0 , on fait passer la tension d'une valeur nulle à la valeur To = K1yo . Initialement la benne est au repos ; déterminer 9(t) pour t positif. Calculer en degré l'amplitude des oscillations. . Condition de non glissement. Dans ce paragraphe on considère que 9 = 0 . La force de traction est maintenue. a) Déterminer le moment cinétique de l'ensemble du chariot par rapport à l'axe A . b) En déduire une relation liant les composantes des réactions du câble sur les roues, l'accélération angulaire des roues et les caractéristiques du chariot. c) Déterminer une autre relation ne portant que sur les composantes normales des réactions. \ . , , . _2 , . . (1) Dans le cas ou le chariot a une acceleration yo=0,8m.s , determiner s'il y a glissement ou non. 8/9 III. Oscillations du câble porteur Dans cette question on considère que le chariot est immobile dans un référentiel lié au câble. La prise en compte de l'élasticité du câble porteur revient à considérer que C peut se mouvoir verticalement selon O'z, le point O' étant fixe. Le câble se comporte alors comme un ressort de raideur k, d'extrémité fixe O' et de longueur à vide lo. 1. Lorsque l'on introduit une masse de une tonne dans la benne, celle-ci descend de 0,5m. Quelle est la raideur du ressort équivalent ? 2. On se place dans une situation où la benne, toujours liée au bras (T), peut osciller dans un mouvement pendulaire. zV Figure 3 Le chariot est confondu avec le point C, de masse mC ; on pose O'C = 2.62 . a) Déterminer l'accélération de G' , centre de masse de l'ensemble (Ch), (B), (T) dans R, en utilisant les vecteurs (e,,ee,ez). b) Déterminer une équation différentielle liant z(t) et 9(t) par application du théorème de la résultante cinétique à l'ensemble (Ch), (T) et (B). c) Déterminer la position d'équilibre de C de côte ze, lorsque la benne n'oscille pas. En déduire l'équation différentielle vérifiée par Z = 2 --Z6 et 9(t). (1) Que devient cette équation dans le cas des petites oscillations ? Mettre cette équation sous la forme d'une équation différentielle en Z(t) avec un second membre dépendant de 9(t) et de ses dérivées. e) En déduire Z(t) en régime forcé lorsque O=roos(oet) avec oo=27c/4,6rad.s_1 et Go=0,lrad. Fin de l'énoncé 9/9

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 CCP Physique 1 MP 2007 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Julien Dubuis (ENS Cachan) ; il a été relu par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE). Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants portant respectivement sur la thermodynamique et la mécanique du solide. Le premier problème porte sur le système binaire liquide-vapeur de l'eau et sur son utilisation dans le circuit secondaire d'une centrale nucléaire. Une bonne compréhension des changements d'état est nécessaire pour aborder le problème : certaines relations de base servent en effet de manière récurrente dans les questions. Les parties C et D, portant sur des cycles de Rankine où interviennent des changements d'état, sont plus originales. Elles nécessitent, en plus des connaissances de base sur les machines thermiques, une capacité à y incorporer des phénomènes de vaporisation/liquéfaction. Enfin, la partie D, peu dirigée, fait appel à une certaine initiative de la part du candidat. Des questions plus détaillées auraient certainement permis une meilleure compréhension du système de soutirage ainsi que de son rôle dans l'amélioration de l'efficacité du cycle. Le second problème porte sur l'étude d'un téléphérique. Après quelques questions de cours sur les changements de référentiel et une étude classique du pendule pesant, on s'intéresse au mouvement d'un téléphérique tiré à force constante puis aux oscillations de son câble. Les outils mis en oeuvre sont ceux que l'on rencontre habituellement en mécanique du solide tels que le théorème de la résultante cinétique ou le théorème du moment cinétique. Les questions sont assez directives et laissent peu de marge de manoeuvre quant aux méthodes à utiliser (toujours primordiales dans un problème de mécanique). La principale difficulté réside dans le fait que les réponses ne sont que partiellement données par l'énoncé. Le candidat avance donc dans le sujet sans validation de ses résultats intermédiaires. Cette épreuve est sensiblement plus difficile que ce que l'on pourrait attendre d'un sujet des CCP en MP. Toutefois, une bonne connaissance du cours permet de traiter rapidement une bonne partie de l'énoncé, ce qui laisse le temps de réfléchir aux questions plus difficiles. Le problème de thermodynamique intéressera les élèves désirant approfondir les machines thermiques et se familiariser avec le cycle de Rankine qui est un « classique » de la thermodynamique. Le problème de mécanique constitue, quant à lui, une excellente révision des concepts de base de la mécanique du solide et de leur application à des systèmes que l'on retrouve fréquemment dans les planches d'oral, comme le pendule pesant suspendu à un ressort. Indications Thermodynamique A.III Appliquer la conservation de la masse puis celle du volume (ou de l'enthalpie). B.II Comme la transformation est adiabatique réversible, on peut identifier les entropies du système avant et après la transformation en se servant de la formule donnée par l'énoncé. Z T1 +T T T dT = ln 1 + . C.II Comme T T1 on peut écrire T T1 T1 T1 C.III Utiliser la formule sur l'entropie du système diphasé fournie dans la partie B. C.IV Pour une transformation isobare, le premier principe s'écrit H = Q. C.V Appliquer le premier principe à l'ensemble du cycle pour obtenir W. D.II Traduire l'égalité entre la chaleur libérée par la liquéfaction d'une masse m de vapeur saturante et celle nécessaire pour faire passer une masse m - m de liquide de T1 à T . D.III.1 Les détentes étant adiabatiques réversibles, identifier les entropies du système en amont et en aval de la turbine à l'aide la formule de la partie B. D.III.2 Commencer par calculer le titre x1 après soutirage, puis procéder comme à la question D.III.1. D.IV Compte tenu de la question C.VIII, le travail reçu Ws est la somme des travaux reçus dans les deux turbines. Penser ensuite à exprimer le premier principe avec H. D.V Attention, la température à l'entrée du générateur de vapeur est T . Mécanique II.2.a Le théorème du moment cinétique barycentrique donne une première équation reliant la vitesse angulaire à la réaction du sol. Utiliser ensuite la condition de non-glissement pour relier x et . -- - -- II.2.b Décomposer le vecteur position selon OG = OC + CG puis le dériver deux fois par rapport au temps, en prenant garde à la dérivation des vecteurs - er - et e en coordonnées cylindriques. II.2.c Attention à ne pas oublier la réaction du câble sur le chariot ! Penser également à utiliser la définition du barycentre pour montrer M × CG = (mT + mB ) a afin de simplifier l'expression obtenue. - - II.3.d Utiliser les lois de Coulomb en calculant | T |/| N | pour vérifier la condition de non-glissement. II.2.g Commencer par introduire explicitement pour simplifier l'écriture de l'équation différentielle. III.2.d Considérer que les dérivées successives de sont du même ordre que et tronquer le second membre à l'ordre 2. III.2.e En régime forcé, il suffit de chercher une solution sinusoïdale particulière qui a la même pulsation que le forçage. Thermodynamique A. Diagramme de Clapeyron (p,v) du système liquide-vapeur de l'eau A.I Le diagramme de Clapeyron de l'eau est représenté ci-contre. La partie de la courbe à gauche de C est appelée courbe d'ébullition et la partie à droite, courbe de rosée. Les domaines liquide (L) et vapeur (V) sont respectivement placés à gauche de la courbe d'ébullition et à droite de la courbe de rosée. A.II.1 L'isotherme critique T = TC est représentée sur le diagramme cidessus. Elle présente un point d'inflexion à tangente horizontale au point critique C. p C T = TC (L+V) (L) courbe d'ébullition T < TC courbe (V) de rosée v Le rapport du jury souligne que peu d'étudiants connaissent les caractéristiques de l'isotherme critique. A.II.2 Pour T < TC , la courbe présente un palier appelé palier de liquéfaction qui correspond à l'équilibre liquide-vapeur. Lorsque l'isotherme rencontre la courbe d'ébullition, la première bulle de vapeur en équilibre avec le liquide se forme. La proportion de vapeur dans le système croît lorsque le volume molaire augmente, jusqu'à ce qu'il ne reste plus de liquide dans le mélange. La présence de ce palier peut être justifiée à l'aide de considérations sur la variance du système. Soient le nombre de phases du système, N le nombre de constituants physico-chimiques, R le nombre de relations dues à des équilibres physico-chimiques indépendants et K le nombre de relations particulières. La variance vaut alors v = N+2--R-K · Lorsqu'il n'y a qu'une seule phase (liquide ou vapeur), = 1, N = 1, R = 0 et K = 0. La variance vaut alors 2. À T donnée, une variable intensive peut être fixée indépendamment : la pression varie lorsque le volume massique change. · S'il y a deux phases (équilibre liquide-vapeur), = 2, N = 2, R = 1 et K = 0. La variance vaut alors 1. À T donnée, la pression reste constante durant la condensation. C'est la pression de vapeur saturante. Sans utiliser la formule précédente (formule de Gibbs), on peut aussi revenir à la définition de la variance v =X-Y où X est le nombre de variables intensives du système et Y le nombre de relations indépendantes entre ces variables. Lorsqu'une seule phase est présente, il y a trois variables intensives (T, P et le volume molaire) et une équation d'état reliant ces trois grandeurs. À T fixée, P varie donc avec le volume molaire. En revanche, lorsque l'on est en présence d'un équilibre liquide-vapeur, il y a toujours trois variables intensives (T, P et le volume molaire) mais il existe une relation supplémentaire entre ces variables provenant de l'équilibre liquide-vapeur. À T fixée, P ne peut donc plus varier. A.III Considérons le cas du volume massique et désignons par mL et mV les masses respectives de liquide et de vapeur dans le système. La conservation de la masse totale m du système s'écrit mL + mG = m Par ailleurs, le volume total du système est la somme des volumes de liquide et de vapeur, ce qui donne mL v L + mG v G = m v m Finalement, en éliminant mL entre les deux relations précédentes il vient vm - vL mG = m vG - vL soit x= vm - vL vG - vL Le raisonnement précédent s'applique avec n'importe quelle grandeur extensive autre que le volume, par exemple l'enthalpie. On obtient alors x= hm - hL hG - hL A.IV Par définition, la chaleur latente massique de vaporisation est la variation d'enthalpie du système liquide-vapeur au cours de la vaporisation, à la température T, d'une unité de masse d'un corps pur sous forme liquide, c'est-à-dire v (T) = hG (T) - hL (T) B. Détente adiabatique réversible d'un système liquide-vapeur B.I Le volume massique du système liquide-vapeur est donné par v m = V/m. Par ailleurs, l'énoncé fournit les valeurs de v L et v G à la température = 100 C pour laquelle l'équilibre liquide-vapeur a lieu sous une atmosphère. On peut alors calculer x avec la formule sur les volumes molaires établie à la question A.III, d'où x= vm - vL = 0,60 vG - vL Le volume V et la masse m donnés par l'énoncé ne permettant de calculer x qu'avec deux chiffres significatifs, nous utiliserons cette même précision par la suite, bien que certaines données soient fournies avec six chiffres significatifs.