CCP Physique 1 MP 2005

Thème de l'épreuve Mouvement d'une pièce sur un disque tournant, réfrigérateur ditherme
Principaux outils utilisés forces d'inertie, lois de Coulomb, conduction thermique, machine thermique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2005 MPPIOO5 A CONCOURS (OMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. *** Conformément à l'usage international, les vecteurs sont représentés en gras. MECANIQUE - Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en considération. - - Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême. - Elles seront évaluées numériquement chaque fois que demandé (A.N.). Pour les applications numériques, on prendra : - g=10ng"1 -- R=lm -- h=lm -- a=O,lm - m=0,0lkg -- us =0,53 - Hd =0,36 -- v=0,8 Soit un référentiel galiléen RO =(O,eXO ,ey0 ,ez), où eZ représente la verticale ascendante. Par rapport à ce référentiel, on considère un disque horizontal en acier, 23 , de rayon R et de centre O. Le disque peut tourner autour de l'axe vertical ez passant par son centre 0 et se situe à une hauteur h du sol horizontal. On considère le référentiel R=(O,ex,ey,ez) lié au disque. Le mouvement de rotation du disque par rapport à % est repéré par l'angle (p : (eX0 ,ex ) , orienté de \ ,° . eX0 vers ex (cf. figure 1). Les axes eXO et ex sont confondus al 1nstant de la m1se en mouvement du disque qui sera pris comme origine des temps. Le mouvement donné au disque (à t= O) est un mouvement de rotation uniformément accéléré, caractérisé par l'accélération angulaire EUR") = ou > O. Le seul champ de forces externe est le champ de pesanteur terrestre que l'on considérera comme uniforme, g = --g ez . Figure 1 Mouvement d'une pièce de monnaie sur le disque Le but du problème est l'étude du mouvement d'une pièce de monnaie placée sur le disque. Une pièce de monnaie en cuivre est posée sur le disque. Elle est assimilée à un point matériel M, de masse m. Elle est placée sur le disque avant sa mise en mouvement en A(a,0,0) avec 0 < a < R . Le contact entre M et 3 est caractérisé par un coefficient de frottement solide statique us > 0 et un coefficient de frottement solide dynamique ud (0 < ud < us ). On note : - R la force de contact exercée par le disque sur le point M. -- N = N ez sa composante normale au disque. -- T=Txex+Tye y sa composante dans le plan du disque. 1. Mouvement sur le disque 1.1 Mise en mouvement On s'intéresse dans cette partie au mouvement de M dans R , c'est-à--dire, au mouvement de la pièce par rapport au disque. Onnote: OM=xex+yey+zez 1.1.1 Phase précédant la mise en mouvement de la pièce a. P" r--+>çbo._o Exprimer (p(t), ("R/% et doeR/% / dt en fonction de on. Donner l'expression des forces d'inertie dans R . Les exprimer en fonction de m, a, on et t, en supposant M immobile dans R . Rappeler les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides. . Ecrire les équations d'équilibre de M dans sa position initiale A. Donner la condition pour que M soit à l'équilibre. Déterminer l'accélération maximale ocd du disque pour qu'au démarrage (à t= O+) le point M reste immobile. A.N. Calculer, en fonction de oc et du rapport B = oc d / on et dans le cas oc < ocd , le temps tl au bout duquel le point M se met en mouvement. Calculer, en fonction de oc et [3 , la vitesse angulaire de rotation col atteinte par le disque lorsque le point M se met en mouvement. Calculer de même, l'accélération maximale cc,. pour que le point M reste immobile pendant au moins une rotation du disque. A.N. : calculer oc,. et B,. = on d / ocr . 1.1.2 Conditions initiales du mouvement On suppose désormais, et pour toute la suite, oc < oc,. . a. b. P--.° Montrer qu'alors [32 peut être considéré comme grand devant l. En déduire une expression approchée de co, . A.N. En déduire une expression approchée de t, . A.N. : calculer t,. : tl (oc,.). Donner une borne supérieure des erreurs relatives correspondantes : At, /t1 et A0); /oel. A.N. Comparer alors "TX" et "Ty" à l'instant t[ . En déduire la direction approchée initiale du mouvement de M et des valeurs initiales approchées Tf et T,+ de T à tî et tÏ. A.N. 1.2 Mouvement Dès que le point M se met en mouvement, la vitesse de rotation du disque est maintenue constante à la valeur ou; qu'elle avait à ce moment là. 1.2.1 Equations différentielles du mouvement a. Etablir les équations différentielles exactes du mouvement de M vérifiées par x, y et 2. b. Calculer, en fonction de 8 = us -- u d et de g, l'accélération initiale approchée à t,+ . A.N. 1.2.2 Mouvement guidé A partir de maintenant et pour toute la suite du mouvement sur le disque, la pièce est contrainte à se déplacer suivant eX . a. Etablir l'équation horaire du mouvement de M. On exprimera x, y et z en fonction de a, OE1,tl etô=Hd/Ms- b. Déterminer alors, en fonction de ou; , r : R/a , 6 et a , l'instant ts où la pièce arrive au bord du disque. A.N. : calculer pour oc : on,. l'instant d'arrivée au bord tb et la durée du mouvement 1: : tb -- t,. . c. Donner l'expression de l'évolution temporelle de la force de contact R. A.N. : la calculer à tb. d. Donner une estimation de la limite supérieure du déplacement ys que la pièce aurait eu à l'instant ts si le mouvement n'avait pas été guidé. A.N. Conclusion ? 2. Sortie du disque 2.1 On s'intéresse ici aux conditions initiales du mouvement de M par rapport au sol (référentiel RO ). a. Dans les conditions du mouvement guidé, calculer la vitesse V8 de M par rapport à R dans la base de R. Commenter ce résultat. A.N. b. Calculer l'angle (ps qu'elle fait avec ex0 . A.N. : calculer sa valeur (p,. pour on : on,. (on précisera le nombre de tours complets effectués). c. Soit V0 la vitesse de M par rapport à % . Calculer sa norme VO. AN. d. Calculer l'angle 9 qu'elle fait avec l'axe eXO . A.N. : calculer sa valeur O,. pour OL : ar. 2.2 On désigne désormais par tO : O l'instant origine où la pièce quitte le disque. Son point de sortie M0 est choisi comme origine du référentiel du laboratoire : ' Q{O =(MO,eXO,eyo,ez). Le disque a été accéléré avec une accélération angulaire on de telle sorte que la vitesse de M à l'instant to soit parallèle à eXO et de même sens : V0 : V0eXO avec Vo > 0. On prendra pour les applications numériques V0 : lOm/s . a. Déterminer la vitesse V1_ en M1 à l'instant où le point M entre en contact avec le sol. On donnera sa norme et ses composantes dans % . A.N. b. Calculer la durée de la chute TC . A.N. c. Calculer alors la distance horizontale parcourue do . A.N. THERMODYNAMIQUE L'objectif de ce problème est l'étude du fonctionnement stationnaire d'une machine ditherme de réfrigération. Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue un modèle de fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les transformations suivantes : o A-->B : compression adiabatique dans le compresseur. . B->D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur. . D-->E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur. . E---->A : vaporisation isobare dans l'évaporateur. Les sources froide 2 F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude EC (milieu ambiant) sont assimilées à des thermostats de températures, respectives, T F et T C constantes. Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont négligeables. Données : m = 1 kg Tp=278 K ; TC=293 K Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D : h A = 390,2 kJ.kg"1 ; hB = 448,6 1f par transfert mécanique (travail). A--1--1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation. A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie AH,-_,f du système et Q-- _, f . A-2 On désigne par Q,.-- et QC les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-dessus. A-2-1 Exprimer Q,.-- et QC en fonction des données. A-2--2 Calculer Q,.-- et QC- A--3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d'un cycle. A-3--1 Exprimer Wen fonction des données. A-3-2 Calculer W. A--4 On désigne par S F et SC les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle. A-4--1 Exprimer S F et SC en fonction des données. A-4--2 Calculer S F et SC- A-4-3 Calculer l'entropie S p créée au cours du cycle. Conclusion. A-5 Calculer l'efficacité u de cette installation. A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est de 500 W, calculer le débit massique qm que l'on doit imposer au fluide fri gori gène. B -- Etude de la compression de la vapeur} La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression P1 = 2, 008 bar (état A) à la pression 192 =16,810bar (état B). Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport y des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié. B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible. B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression p. B-1-2 Sachant que T A : 263K, calculer la température T ' que l'on atteindrait en fin de compression. 8--2 En réalité la compression A---->B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n'est pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l'intérieur du compresseur ; de ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment. La transformation polytropique A---->B est la transformation réversible qui permettrait au fluide d'évoluer de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, une quantité d'énergie Qf équivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation irréversible A---->B. Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie (18 et de volume cl V. La quantité d'énergie ôQf reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation, s'écrit ôQf =adU . Dans cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié. B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et d V. B-2--2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A---->B les variables pression p et volume V vérifient la relation ka : constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur polytropique. B--2-3 Exprimer k en fonction de a et de y. C ---- Détermination des conditions de fonctionnement permettant d'obtenir l'efficacité maximale. C--1 Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l'efficacité maximale umax de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle. C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique ASC du fluide au cours de la transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de ----O,416kl.kg_l.K--1 , calculer les quantités d'énergie Q}: et Qt reçues, par transfert thermique, par 1 kg de fluide frigorigène, au cours d'un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude. C-3 Exprimer l'efficacité umax en fonction des températures T ,: et TC et calculer umax. D -- Etude de la diffusion thermique dans les parois des échangeurs Les conditions de fonctionnement, idéales et théoriques, définies ci--dessus ne prennent pas en compte l'épaisseur des parois des échangeurs thermiques situés au contact des sources froide et chaude. Dans cette quatrième partie du problème on se propose de tenir compte de la diffusion thermique a travers les parois des échangeurs. On supposera cette diffusion unidirectionnelle. On considère la diffusion thermique unidirectionnelle suivant l'axe Ox à travers une paroi plane, homogène et isotrope, d'épaisseur e, de surface 2 et de conductivité thermique k (figure 2). En régime stationnaire les faces d'abscisses x=O et x=e sont des surfaces isothermes aux températures T0 et T EUR avec Te < TO. D--l D-2 D-4 0 ex e x Figure 2 Rappeler l'expression du vecteur flux thermique surfacique J Q à travers la paroi considérée (loi phénoménologique de Fourier). Exprimer le flux thermique à travers cette paroi en fonction des températures T0 et T e et de la conductance thermique 0 : XE / e de la paroi. Exprimer la durée t nécessaire au transfert d'une quantité de chaleur Q à travers cette paroi. Qu'advient-il si TO --Te tend vers 0 ? On considère de nouveau la machine de réfrigération définie ci--dessus et on suppose que le fluide frigorigène décrit un cycle réversible au cours duquel les transferts thermiques avec les sources froide et chaude se produisent lors de transformations isothermes aux températures respectives T1 < T F et T2 > TC. On admet que dans les échangeurs thermiques qui assurent les échanges avec les sources de chaleur, la face en contact avec le fluide est à la température du fluide et celle en contact avec la source de chaleur est à la température de cette source. On désigne par 61 et 62 les conductances thermiques des parois des échangeurs situés, respectivement, au contact de la source froide et de la source chaude. D-4--1 On désigne, respectivement, par Q et Q2 les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, au contact des sources froide et chaude et par tl et t2 les durées de transfert de ces quantités d'énergie. Exprimer tl en fonction de Q1 , 51 , T,.-- et T1 et 12 en fonction de Q2 , (52, TC et T2. D--4-2 Exprimer l'efficacité u' du cycle décrit par le fluide en fonction de T1 et de T2. D--4-3 Sachant que Tl : 263K et T2 : 333K , calculer u'. D--4--4 Exprimer QI et Q2 en fonction de T1, T 2 et du travail Wreçu par le fluide au cours d'un cycle. D--4--5 Exprimer tl en fonction de W, T1, T2, T F et ol et t2 en fonction de W, T1, T2, TC et 62. E -- Conditions permettant d'obtenir une consommation minimale On cherche à déterminer les températures T1 ' et T 2 qui rendent minimale la puissance consommée par la machine au cours d'un cycle. On suppose que la durée des transformations adiabatiques est négligeable devant celle nécessaire aux transferts thermiques. E-l Exprimer la puissance moyenne P consommée par le fluide au cours d'un cycle en fonction (16 61, (52, T1, T2, TF EURt Tc. E-2 On poseZ=l/P,x=TZ/Tl et y=T2--Tl.Exprimer2en fonction dex et dey. E-3 Déterminer les conditions que doivent vérifier T1,T2,TF,TC,61 et 02 pour que la puissance consommée soit minimale. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 MP 2005 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jérémie Palacci (ENS Lyon) ; il a été relu par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Cette épreuve comporte deux problèmes indépendants, un premier de mécanique et un second de thermodynamique. · Le premier problème est l'étude du mouvement d'une pièce posée sur un disque tournant, uniformément accéléré. Il fait appel à des changements de repère ainsi qu'aux forces d'inertie (d'entraînement et de Coriolis) et de frottements solides (lois de Coulomb, coefficients de frottement statique et dynamique). Si certaines questions se révèlent relativement ardues, ce problème s'achève sur une très classique et très abordable chute dans le champ de pesanteur... Pensez donc bien à lire tout le sujet avant de vous jeter sur les premières questions ! · Le second problème, qui étudie un réfrigérateur ditherme, est constitué de plusieurs parties assez indépendantes : étude du cycle proprement dit, étude d'une évolution polytropique, optimisation et enfin prise en compte des échanges avec l'extérieur par l'intermédiaire de la diffusion thermique (ici unidirectionnelle). La difficulté majeure de ce sujet est qu'il fait avant tout appel à des notions de première année. Si vous les connaissez bien, le sujet est relativement abordable quoiqu'un peu long. La partie sur les fluides polytropiques est une modélisation intéressante d'une évolution irréversible et de la prise en compte des frottements. Indications Mécanique 1.1.1.b 1.1.1.e 1.1.1.f 1.1.1.i 1.1.2.a 1.1.2.e 1.1.2.f 1.2.1.a 1.2.1.b 1.2.2.a 1.2.2.b 1.2.2.c 1.2.2.d 2.1.a 2.1.b 2.1.d Attention, l'accélération angulaire n'est pas nulle et M est immobile dans R. Utiliser la loi de Coulomb pour le frottement sans glissement. M se met en mouvement quand T atteint sa valeur maximale. Quel temps met le disque pour faire un tour ? Utiliser la valeur numérique de r trouvée à la question 1.1.1.i. - Utiliser les coordonnées de T (t- ) de la question 1.1.d et la question 1.1.2.a. Utiliser la question 1.1.2.e et la deuxième loi de Coulomb. Redévelopper les forces d'inertie données à la question 1.1.b. Utiliser la question 1.1.2.f en x = a. Le mouvement guidé induit y et y nuls. La pièce tombe pour x = R. La deuxième équation du système trouvé à la question 1.2.2.a donne une relation entre Ty et x. S'en servir pour obtenir l'évolution temporelle. Question un peu difficile à résoudre. Pour une résolution « à la hache », on peut faire les approximations y = y = 0. Utiliser le résultat de la question 1.2.2.a. L'angle s est parcouru pendant le temps où M se déplace, mais également pendant le temps où il est immobile dans R. Faire un dessin et donner l'angle en fonction des composantes de la vitesse. Thermodynamique A.3 U = 0 sur un cycle. A.4 Utiliser le lien entre entropie transférée et chaleur transférée réversiblement. A.5 L'efficacité est définie comme étant soit le travail, soit la chaleur utile, divisé par le coût que cela a pour l'utilisateur. A.6 Raisonner en termes de dimensions pour bien voir la relation entre la puissance à extraire et le débit massique. B.1 Utiliser la loi de Laplace. B.2.1 Une transformation polytropique est réversible. Donner la chaleur et le travail réversibles. B.2.2 Utiliser la première loi de Joule pour un gaz parfait. Suivre la démarche utilisée pour démontrer la loi de Laplace. C.1 Penser au cycle de Carnot. C.2 La transformation est réversible : l'entropie créée est nulle lors d'un cycle. D.2 Intégrer le flux thermique sur la surface . D.4.1 Attention aux signes ! D.4.2 Utiliser l'expression de µ de la question A.5 et la réversibilité du cycle. D.4.4 Utiliser la question A.3.1 et le lien entre les transferts thermiques issu de la question précédente. E.3 Enfiler sa tenue de roi de la dérivation, relever les manches et y aller... Bonne chance... Ou bien réfléchir un petit peu, et regarder l'allure de la fonction à minimiser... Mécanique 1. Mouvement sur le disque 1.1.1.a On a = . En intégrant par rapport au temps, on obtient t2 + At + B 2 où A et B sont des constantes définies par les conditions initiales. Or (0) = 0 (les deux référentiels R et R0 coïncident) et (0) = 0 puisque l'origine des temps est l'instant de mise en mouvement du disque. On en déduit A = 0 et B = 0. Finalement, = (t) = t2 2 (t) représentant l'angle dont a tourné R par rapport à R0 à l'instant t, on obtient : R/R0 = = t et R/R0 = 1.1.1.b Les forces d'inertie sont la force d'entraînement et la force de Coriolis. La force d'entraînement est donnée par : ! -- d- R/R0 -- - - - - Fe = -m a O /R0 + R/R0 ( R/R0 O M) + O M dt Or on a ici O = O fixe dans R0 (on note ici et pour seulement quelques instants O l'origine de R et O l'origine de R0 ), d'où la nullité du premier terme. D'autre part, - R/R0 a été calculé dans la question 1.1.1.a. D'où - Fe = m 2 a - ex - m a - ey Pour la force de Coriolis on a : - - - - Fc = -2 m R/R0 V M/R = 0 car M est immobile dans R. Deux solutions sont possibles ici : soit on connaît les expressions des forces de Coriolis et d'entraînement, soit on ne les connaît pas et il faut les retrouver... Si c'est le cas, il faut d'abord utiliser la formule du changement de variable vraie pour tout vecteur : - - - dW dW = +- K /K W dt dt K K Il faut alors appliquer cela à l'expression de la position en utilisant le fait -- -- -- que O M = O O + OM et en dérivant cette relation deux fois. Le défaut de cette méthode est d'être un peu plus longue : il faut faire très attention aux indices. Elle permet cependant de pallier un éventuel « trou de mémoire »... - - - 1.1.1.c Soit V glis = V M solide - V M support la vitesse de glissement entre le solide et le support. Les lois de Coulomb sur le frottement entre deux solides sont de deux types : - - - - frottement sans glissement : dans ce cas V glis = 0 et k T k 6 µs k N k. Le solide se met à glisser lorsqu'on atteint l'égalité ; - - - - frottement avec glissement : dans ce cas V glis 6= 0 et k T k = µd k N k. De plus, - - T est colinéaire à V glis et de sens opposé (le frottement s'oppose toujours au déplacement). Le coefficient de frottement dynamique est plus faible que celui de frottement statique : µd 6 µs . Ceci a été montré expérimentalement par Euler mais est totalement intuitif : le plus difficile lorsqu'on veut déplacer un objet très lourd est de le mettre en mouvement... Un autre point marquant des lois de Coulomb est qu'elles ne prennent pas du tout en compte la surface de contact entre les deux objets frottants. Ainsi est-il aussi difficile de tirer trois blocs d'une tonne chacun, tous en contact avec le sol sur une surface de 1 m2 que trois blocs d'une tonne posés les uns sur les autres et dont un seul est en contact avec le sol sur une surface de 1 m2 . Ceci constitue une expérience réalisée par Léonard de Vinci qui a été reprise par Coulomb pour l'établissement de ses lois... Notons que ce résultat, a priori plutôt contre-intuitif, se comprend avec le fait que la surface de contact effective entre deux matériaux est beaucoup plus faible que la surface géométrique du fait du caractère rugueux à petite échelle (inférieure au micron) de la matière. On comprend mieux ainsi pourquoi la surface de contact n'est pas une variable pertinente pour quantifier le frottement entre deux solides. - T - f - f - f - F - T Expérience historique de Léonard de Vinci : tirer les trois blocs les uns après les autres demande la même force de traction T que tirer ces mêmes trois blocs les uns sur les autres. 1.1.1.d Le principe fondamental de la dynamique donne dans R : - - - - m- a = m- g + Fe + Fc + T + N Si M est à l'équilibre, son accélération et sa vitesse (donc la force de Coriolis) sont nulles dans R. On obtient alors, en projetant sur les axes le principe fondamental de la dynamique, les équations d'équilibre de M : 2 2 Tx = -m a t Ty = m a N = mg