CCP Physique 1 MP 2003

Thème de l'épreuve Isolation thermique par double vitrage. Effet de marée et distance Terre-Lune.
Principaux outils utilisés conduction, transferts thermiques, problème à deux corps, terme de marée
Mots clefs loi de Fourier, conduction thermique, rayonnement thermique, corps noir, marée, référentiel non galiléen

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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 SESSION 2003 | MPP106 CONCOURS COMMUNS POlYTECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. THERMODYNAMIQUE La première partie de ce problème rappelle certaines notions de la théorie des transferts thermiques par conduction, convection et rayonnement. Dans la deuxième partie, un local situé dans une maison doit être rénové et l'on dispose en hiver d'un chauffage de puissance maximale 1%. On veut évaluer les températures du local et de la paroi séparant ce local de l'extérieur selon que la paroi est constituée : a) d'une fenêtre entourée d'un mur de béton, b) d'une baie vitrée en simple vitrage, c) d'une baie vitrée en double vitrage. Hypothèses : Les échanges thermiques entre le local et les autres pièces de la maison sont négligés. Pour la paroi séparant le local de l'extérieur, on prendra en compte les transferts thermiques par conduction, convection et rayonnement. I -- Etude préliminaire 1. Conduction thermique On considère un corps homogène (figure 1) de section droite S, de longueur L, de masse volumique p, de conductivité thermique À, de capacité thermique massique c, avec X, p , c constants. La température du matériau ne dépend que de x et de t et sera notée T (x,t). Les parois parallèles à l'axe x sont isolées thermiquement et on note Î(x,t) = J(x,t)èî le vecteur densité de courant thermique. ...--. x=O x x+dx x=L e x : vecteur unitaire Figure 1 a) Que représente J(x,t) ? Quelle est son unité ? Enoncer alors la loi de Fourier. b) Effectuer un bilan énergétique pour un volume élémentaire de matériau compris entre les abscisses x et x+dx entre les instants t et t+dt en supposant qu'il n'existe pas d'apport énergétique autre que par conduction et qu'il n'y a pas production d'énergie interne. Donner alors l'équation aux dérivées partielles vérifiée par T (x,t) . On se glace désormais (your la suite des questions! en régime stationnaire. c) Donner les lois de variation T (x) et J(x) en supposant que les extrémités du matériau sont maintenues à températures constantes, T (O) = 7}, et T (L) = T L . 2. Résistance thermique due à la conduction B,, représentant le flux thermique à travers la section droite S du matériau, on définit Rth , résistance thermique de conduction du matériau de longueur L et de surface S par la relation 76 _ TL = Rth --3h- a) Exprimer Rth en fonction de L, S et À. En faisant l'analogie avec l'électrocinétique, justifier le terme de résistance thermique et préciser l'unité de R,,,. Quelle doit être la condition sur R,,, pour que le flux transmis soit faible ? b) On associe deux corps A, et A 2 (figure 2) de résistances thermiques Rthl et Rch de même section S, l'un de conductivité thermique X] est compris entre x = 0 et x = L 1 , le second de conductivité thermique À2 est compris entre x : L1 et x = L 1+ L2. On note 76, 1], T2 les températures pour x = 0 , x = L 1 , x = L 1+ L 2. Etablir l'expression de résistance themique R:}: de l'ensemble en fonction de Rth, et Rch . 6) Même question lorsque les deux corps A], de section SI et de longueur L1 et A2 de section S2 et de longueur L2 sont associés en «parallèle » (figure 3). On note Ib, la température sur les faces d'entrée pour x = 0 et ?} la température sur les faces de sorties pourx=Ll pourAl, et x=Lz pourA2. 3. Transfert convectif On considère une surface S à la température T, en contact avec de l'air à la température 7}, et échangeant par convection avec celui-ci une puissance thermique Pc (sortant algébriquement de la surface S) s'écrivant : Pc = hc .S (T -- T a) où hc est le coefficient de convection. On remarquera que l'énergie thermique correspondante s'écoule du milieu où la température est la plus élevée vers le milieu où la température est la plus faible. Montrer que cet échange convectif est décrit par une résistance thermique de convection RC dont on donnera l'expression. 4. Transfert par rayonnement La puissance PR rayonnée par l'unité de surface d'un corps noir et répartie sur toutes les 3 fréquences v est donnée par PR : EP(v)dv avec P(v)=--------ZËÆ---- où c'lexplf'Xl--ll kT h =6,62.10'34 J.s (constante de Planck) et k =1,38.10"23 J.K"1 (constante de Boltzmann). c = 3.108 m.s'1 (vitesse de la lumière dans le vide). a) Montrer que PR est donnée par la loi de Stephan : PR : o.T4 . Exprimer o en fonction de k, 00 3 4 hetc. Ondonne: ! --£--dÂ--=n-- . 0 exp(x)--l 15 b) On rappelle que la loi de Wien liant la longueur d'onde km du maximum d'émission thermique du corps noir, à sa température T s'écrit: Àm.T : 2898 um.K. On admet que l'ensemble des couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à la température Te : 263K. Calculer les valeurs respectives des longueurs d'onde Àma et kms du rayonnement thermique de l'atmosphère terrestre et du rayonnement thermique solaire (température de la surface du soleil TS de l'ordre de 57OOK ). A quels domaines du spectre électromagnétique, ces longueurs d'onde appartiennent--elles ? c) On considère une surface S délimitant un corps à la température T en contact avec un environnement à la température T,. Le corps et l'environnement se conduisant comme des corps noirs, donner l'expression de la puissance P échangée par rayonnement à travers S entre le corps et l'environnement (sortant algébriquement du corps vers l'environnement). d) On suppose que T est très proche de T, et on pose T = T, + AT avec AT << T,. Montrer que P peut se mettre sous la forme approchée : P = G.(T -- T,) et donner l'expression de G en fonction de T,, 6 et S. Quelle est la résistance thermique de rayonnement RR correspondante ? Montrer qu'on peut confondre T, et T dans l'expression de RR lorsque la forme approchée de P est du premier ordre en (T -- 72). e) Donner l'expression de la résistance thermique R si l'on considère à la fois un transfert par convection et par rayonnement entre un corps à la température T délimité par une surface S et un environnement à la température T,. II -- Transfert à travers le mur séparant le local de l'extérieur. On considère dans cette partie que les lois d'association des résistances thermiques vues précédemment sont vérifiées, que la puissance transmise associée soit rayonnée, de nature conductive ou convective. 1. On souhaite évaluer les pertes en puissance entre un local à la température 7}... et le milieu extérieur à la température T,xt. On suppose que la paroi (figure 4) séparant le local à la température 7}... de l'air extérieur à la température Text , est constituée d'une vitre (conductivité À, surface S, épaisseur 9) et d'un mur de béton (conductivité kb , surface Sb, épaisseur e,, ), orthogonaux à l'axe x. La paroi, le milieu extérieur et le milieu intérieur au local se conduisent comme des corps noirs. Les transferts thermiques se font en régime stationnaire et le rayonnement solaire direct n'est pas pris en compte. On considèrera pour la surface de la paroi en contact avec l'extérieur, un transfert thermique par convection avec l'air extérieur, à la température 1}, = ... , et par rayonnement avec l'ensemble des couches de l'atmosphère, à la température ]; = ... ; on exprimera la contribution du rayonnement àla résistance thermique en fonction de 72m Pour la surface en contact avec l'intérieur, on considère un transfert convectif et un transfert radiatif avec l'intérieur du local ; on exprimera la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de Y}... . . On note 11,-- et he les coefficients de convection pour la surface interne et externe de la paroi. Ondonne: k=l,2Wm_lK--l, S=2m2, e=3mm, Àb=0,9Wm_lK_l, Sb=3m2, eb=0,3m, h,. = 15 Wm"'K"1 , he = 35Wm"'K"' , 7;... = 73K, Tint = 293K, (: = 5,67.10'8 Wm'2K"4. ------béton A | | ------ béton Figure 4 a) Exprimer la résistance thermique totale RH de la partie vitrée en fonction de Km la résistance thermique due à la conduction, Rext et Rim les résistances thermiques dues à la convection et au rayonnement respectivement sur la surface en contact avec l'extérieur et l'intérieur. En déduire la puissance thermique BI sortant du local à travers la partie vitrée. b) A l'aide des résultats obtenus aux questions I.4.e) et 1.2.a), calculer numériquement R,] et Pn- c) Exprimer et calculer numériquement la résistance thermique totale Rt2 de la partie en béton de la paroi ainsi que la puissance thermique 32 à travers celui--ci. Comparer les valeurs numériques de 31 et 32- Conclusion ? (1) Que vaut la puissance totale E' si la paroi est constituée simplement d'une baie vitrée de surface S " = 5 m2 ? 2. Pour des raisons de luminosité, on opte pour une paroi (figure 5) entièrement constituée d'une vitre de surface S =5m2 et d'épaisseur e = 3mm. Les échanges thermiques sont de même nature que dans la question 1, sauf pour l'échange par rayonnement entre la surface extérieure de la paroi et le milieu extérieur. En effet, un modèle plus réaliste envisage que l'ensemble des couches de l'atmosphère rayonne comme un corps noir à une température Te : Tèl--e, inférieure à T C températures des surfaces en x = 0 (surface S] ) et x = e (surface S2 ). xt . Un chauffage fournit au local la puissance calorifique & = 1500W et on note îî et T2 les Po Surface S] à la température T1 x=0 Local à la Surface SZ a la____ température T,... température T 2 T..., =263K "" Vitre Figure 5 On désire calculer T, T2, 7}... en fonction de 1%, Il..., TZ,--el et des grandeurs relatives à la conduction, à la convection et au rayonnement. a) Que vaut, en régime stationnaire, le flux thermique à travers S1 et S2 ? En exprimant la contribution du rayonnement à la résistance thermique en fonction de T , exprimer l'écart T nt -- 7l ' 1 b) Exprimer l'écart ]] --T2. c) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant vers l'extérieur à travers Sz- En supposant que T2 puisse s'écrire sous la forme T2 = Text+AT2 avec AT2 << Text , montrer que l'écart de température T2--Text peut se mettre sous la forme: T2--T __ PO_f(Text' Tete!) -- et donner l'expression de f T , T . . ext he S + 46 S Te3xt ( ext czel ) d) A.N. : Tciel : 263K. Calculer alors T2, ]] et 7{.... Evaluer les importances respectives de la conduction, de la convection et du rayonnement. e) Par grand vent, le coefficient de convection externe peut atteindre la valeur he : 60Wm_2K_l . Que valent alors, T2, ]] et T,... ? Conclusion. 3. Afin de réaliser des économies d'énergie, la paroi est finalement réalisée en double vitrage composé de deux vitres d'épaisseur e : 3mm , de surface S : Sm2 , séparées par une épaisseur e' : 5mm d'air de conductivité thermique N : 0,0ZSWm"'K"'. Les différentes températures envisagées sont indiquées sur la figure 6. e=3mm e=3 mm Tciel : 263K Surface intérieure (Tla) Po Text: 273K x Surface extérieure Extérieur ( T2 b) Local (Ti...) e '=5mm Figure 6 a) Montrer que l'on peut confondre îîa et ]{ b en s'appuyant sur les résultats de la question H.2.d)e), ainsi que T2a et T2], . On note alors ]}a : 7ib : îî et T2a = T2b--= T2. b) Les échanges thermiques sont de même nature que précédemment, mais l'on considère maintenant que chacune des vitres est assimilable à un corps noir rayonnant dans 2 demi-- espaces (à la température 7{ pour la première vitre et à la température T2 pour la seconde). Pour l'air emprisonné entre les vitres, on néglige le phénomène de convection et de rayonnement pour ne considérer qu'un transfert purement conductif. Montrer que la relation entre 7{m et 71 est identique au cas du simple vitrage et exprimer l'écart Tnt _]î . 1 0) Ecrire l'équation vérifiée par le flux thermique s'écoulant de la vitre 1 vers la vitre 2. En déduire ]} en fonction de T2 et 1%. Quelle est la modification par rapport au cas du simple vitrage ? d) Montrer que la relation entre 7}_ et I}... est identique au cas du simple vitrage et exprimer l'écart T2 -- Te xt' e) Calculer T2, 71 et Tim. Montrer alors qu'une valeur de l% divisée par 2 donnerait une valeur plus raisonnable de I}... (voisine de celle obtenue en Il.2d). MECANIQUE Conséquence de l'effet de marée sur la distance Terre--Lune Ce problème est formé de trois parties. La première partie étudie l'effet de marée exercé par la Lune sur la Terre. La seconde partie étudie l'orbite de la Lune autour de la Terre dans le cadre du système à deux corps. La dernière partie met en évidence, à partir de la conservation du moment cinétique total du système Terre Lune, le ralentissement de la rotation de la Terre sur elle-même provoqué par l'effet de marée et l'augmentation de la distance Terre Lune qui en résulte. Notations et données numériques : Constante gravitationnelle g = 6,67.10"1 1Nm2kg_2 Masse du Soleil : mS =1,99.1030 kg Distance Terre Soleil : DS =1,50.10"m Masse de la Lune : mL : 7,34 . 1022 kg Distance moyenne Terre Lune : DL : 3,84.108m Rayon dela Lune: RL =1,75.106m Masse de la Terre : mT : 5,98 . 1024 kg Rayon dela Terre: RT : 6,37.106m Définition des différents référentiels et repères associés utilisés dans le problème : On rappelle que le référentiel de Copernic, noté Rdont l'origine est le centre de masse O du système solaire et les trois axes x, y, z pointent vers trois étoiles lointaines de la sphère céleste, réalise une excellente approximation d'un référentiel galiléen. Le repère associé est (0, ex,ey,ez) . On note T, le centre de masse de la Terre et R]-- le référentiel barycentrique de la Terre (ou référentiel géocentrique) de repère associé (T, ex,ey,ez) avec ez : vecteur unitaire de l'axe des pôles. On note L, le centre de masse de la Lune et RL le référentiel barycentfique de la Lune (ou référentiel sélénocentfique) de repère associé (L, ex,ey,ez ). Le Soleil, la Lune et la Terre sont supposés être sphériques à répartition de masse à symétrie sphérique. I -- Etude de l'effet de marée 1. Quel est le mouvement du référentiel géocentrique RT dans le référentiel de Copernic si l'on suppose mL << mT ? Dans ces conditions, RT est-il galiléen ? 2. On considère une particule de masse m assimilée à un point matériel se trouvant au point P, au voisinage de la Terre à l'instant t. On appelleî' , la résultante des forces autres que les forces de gravitation et d'inertie s'exerçant sur la particule. On note GE(P), GL(P), G;(P), les champs gravitationnels créés respectivement en P par le Soleil, la Lune, et la Terre. Les seuls astres contribuant au champ gravitationnel en P étant la Lune, la Terre et le Soleil, montrer que l'on peut écrire le principe fondamental de la dynamique pour la particule dans le référentiel RT sous la forme : mä(P)/RT =î+mîî;(P)+mäg(P)+mäg(P)--mE(T)Æ où 5(P)OET et Z:(T)OE désignent les accélérations des points P et T, respectivement dans RT et R . 3. On suppose P= Ô. M étant un point de la Terre, on montre qu' en faisant un développement de GS(M ) et de GL(M ) au voisinage de T, on peut écrire: GS(M )-- GS(T)+ [(TM. grad )GS]T et GL(M ) GL(T )+[(TM grad)GL]T où (TM. grad) est un opérateur appliqué à GS ou GL, dont le résultat est calculé en T. a) En considérant la Terre comme un système de points discrets A,-- , de masse m,, tels que 2 mi : mT , exprimer Ïz(T ) en appliquant le théorème du centre d'inertie à la Terre. i /R b) Montrer alors que l'on peut écrire : mâ(P)/RT =mGË(P)+mGL(P)+mG£(P) où GL(P) : GL(P)-- GL(T ) représente le champ de marée dû à la Lune en P et GE(P) : OE(P) -- GÊ(T ) représente le champ de marée dû au Soleil en P. 4. On suppose l'astre considéré (Soleil ou Lune), de centre A (A = S ou A =L) de masse mA situé àla distance D A de T telle que T = D A E; , dans le plan équatorial. ' On considère les points R et P2 de la surface terrestre de coordonnées (RT,O,O) et (--RT,O,O) ' ' I ' I ' R dans le repere assoc1e au referent1el RT. En considérant que --b--Ï-- <<1 évaluer le champ de A marée G;(P) et GÂ(PZ). Quelle est la direction de ces deux vecteurs ? Faire un schéma. 2 R Evaluer numériquement le terme £%LË dans le cas où l' astre A est le Soleil, puis la Lune. A Quel est l'astre qui a l'effet le plus important ? Il -- Trajectoire de la Lune On néglige les effets dus au Soleil; le système Terre--Lune est donc considéré isolé et on s'intéresse aux mouvements relatifs de la Terre et de la Lune. On considère le référentiel barycentrique R* du système Terre--Lune et on appelle C le centre de masse de l'ensemble. 52 et E); désignent le vecteur vitesse angulaire de rotation propre respectivement de la Lune dans RL et de la Terre dans Q{T. 2 J L : ;mLRÊ désigne le moment d'inertie de la Lune par rapport à son axe de rotation dans RL . 2 , . . . . . ] T = --5-mTR% de51gne le moment d'1nert1e de la Terre par rapport a son axe de rotat10n dans RT. On désigne par L* (T, L) le moment cinétique du système Terre--Lune dans le référentiel QÜ. On désigne res ectivement par L* T , L* L les moments cinéti ues au oint C dans le P C C q P référentiel R* de la Terre, de la Lune. T.; (T ) / RT et ÎZ (L) / 411. sont respectivement, les vecteurs moments cinétiques de rotation propre de la Terre au point T dans le référentiel RT et de la Lune au point L dans le référentiel Q{L . 1. a) Montrer que L* (T,L) se conserve. b) La répartition de masse de la Lune et la Terre étant à symétrie sphérique, montrer que LT (T ) / RT et LL (L) / RL se conservent. En déduire que QT et QL sont constants. 2. a) En considérant la Terre comme un système de points discret, montrer que Î(Ê(T)=ËÎAmT ___--.. VT/R... +LT (T) ou VT/R* represente le vecteur v1tesse de T dans le /RT ' I ' * referent1el Q{ . _. b) Donner la relation analogue pour L} (L). __ c) En déduire que L* (T ,L) peut se mettre sous la forme : L* (T, L) : L2rb +Î7Î (T ) / RT +Σ (L) / RL où L2rb désigne le moment cinétique orbital dans R* du système Terre--Lune. Exprimer L:,rb en fonction de (ÎT, mT, VTOE* et de CL, mL, VL/R* . meL 3. On appelle M la particule fictive, telle que C--Â;Ï : ÎÎ de masse réduite u = de vecteur mT+mL v1tesse VMOE* . a) Calculer les vecteurs CIÎ et C? en fonction de mT, mL et ÎÎ. En déduire les vecteurs . . , , . * . v1tesses VT/R* et VUR* des pomts T etL dans le referent1el R , en fonct10n de VM /R. . b) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique dans R* pour L et T, et montrer que cela revient à considérer la particule fictive soumise à la force exercée par la Terre sur la Lune. 4. a) Exprimer LÏ,rb en fonction de VM /Q* et u. Montrer alors que le mouvement de la particule fictive est plan. b) En considérant que mT >> mL , à quels points peut--on assimiler les points C et M ? Avec quel référentiel peut--on confondre R* '? 5. On suppose la condition précédente remplie. On se place dans le plan de la trajectoire de L et on __ introduit le repère des coordonnées polaires (T , e,,e9) tel que ÎÏ : ré: . 1 "(9)' où l'on donnera les a) Etablir par la méthode de votre choix l'équation différentielle suivie par u(6) = P Montrer que l'équation de la trajectoire s'écrit : r =----------+ 1+ecos(9) significations de p et 6. b) Le périgée est caractérisé par rp : 363 000km et l'apogée par ra : 405 000km. Calculer p et e. c) Montrer que la trajectoire de la Lune autour de la Terre peut être assimilée à un cercle dont on donnera le rayon DL. Calculer la vitesse angulaire orbitale mL de la Lune autour de la Terre, puis la vitesse vL de la Lune sur son orbite par rapport au référentiel RT. 6. a) Evaluer numenquement le moment c1net1que orb1tal L0rb , am31 que les moments c1net1ques de rotation propre E (T ) / R , Ïî (L) / R et les comparer entre eux. T L Données : QL : 2,66 10"6 rad s"1 QT = 7,29 10"5 rad s"1 _ b) En supposant les vecteurs QT et (13L colinéaires et dirigés suivant ez , montrer alors que l'on peut écrire: Î(T,L)z(mL./ÇDLmT +JTQT)EUR. III ---- Eloignement de la Lune En généralisant à un point quelconque de la Terre, le calcul fait dans la partie l, on peut montrer que l'effet de marée se traduit par l'existence de deux bourrelets diamétralement opposés, alignés avec la ligne des centres de l'astre A et de la Terre. En fait, les bourrelets de marée sont entraînés par la rotation de la Terre, plus rapide que le mouvement de la Lune sur son orbite et se trouvent donc décalés par rapport à la direction Terre-- Lune d'un angle ou (voir figure 7). La Lune exerce alors une action dont le moment sur les bourrelets tend à freiner la rotation de la Terre. Le système Terre--Lune étant toujours considéré 1sole dans l'espace, son moment cmet1que total L (T ,L) se conserve. La d1mmut10n du moment cinétique de rotation propre de la Terre est alors compensée par une augmentation du moment cinétique orbital de la Lune et donc par une augmentation progressive de la distance Terre--Lune. Cette troisième partie veut quantifier cet effet. 1. La surface de la Terre étant essentiellement recouverte par les océans, on modélise le phénomène des marées par deux bourrelets d'eau symétriques de hauteur h formant un ellipsoïde tangent à la sphère terrestre (voir figure 7). Calculer la masse m,, de l'ensemble des deux bourrelets. Données : Volume d'un ellipsoïde de demi grand axe a et de demi petit axe b : V = %nab2 Masse volumique de l'eau : p = 1000 kg m"3 h = 0,50m 2. On admettra que le moment en T des forces exercées par la Lune sur l'ensemble (Terre sphérique + bourrelets) 9Vl peut s'écrire en première approximation 914 = W11 + M2 où 9141 et _, _ ___--> _ fil; sont les moments en T des forces FI = %.CAH) et F2 : %°CL(PZ) résultant de l'action de la Lune sur les pomts R et Pz de masse --ä'-- 51tues sur la dr01te de deformatmn max1male _. formant l'angle ou avec l'axe e,. . Exprimer % en fonction de m,, et des vecteurs Oî(fi), ÎÏZ(Tä_) et T_H . . . R --' , . 3. On admettra qu'en fa1sant l'hypothese que -- << 1 , 9Vl peut s'ecnre : 9Vl =------3---- ez DL DL où A=--â--Ç mb.mL.(R+h)2.On obtientpour oc=3°, M"=9Vl=4,5.101681. . . . dû a) JT gardant la même valeur définie dans la part1e Il, expnmer alors _ÆT_ et calculer sa valeur numérique. b) On appelle T la période de rotation propre terrestre. Exprimer fil en fonction de QT et dt dQT dt Comparer avec la valeur observée qui est de 1,65 .lO"5 secondes par an. et calculer sa valeur numérique en secondes par an avec QT =7,29.10"5 rad s']. c) En considérant l'expression du moment cinétique total L* (T ,L) du II-6-b, donner d (DL) dt valeur observée qui est de 3,4 cm par an. l'expression de et calculer sa valeur numérique en cm par an. Comparer avec la âl @ N'" 1 --------------------.> Figure 7 Fin de l'énoncé.

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 CCP Physique 1 MP 2003 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak et Cécile Ursini (Professeurs agrégés) ; il a été relu par Rémy Hervé (ENS Lyon) et Jean-David Picon (École Polytechnique). Ce sujet est composé de deux parties indépendantes. La première porte sur la thermodynamique, plus précisément sur les transferts thermiques, et la seconde sur la mécanique. La partie de thermodynamique propose l'étude de l'isolation d'une pièce grâce à une vitre entourée d'un mur de béton, puis par une baie vitrée seule, et enfin au moyen d'un double vitrage. Elle fait appel à des points de cours concernant les transferts thermiques par conduction, présents dans les premières questions (loi de Fourier et densité de courant thermique). La suite nécessite plus de calcul et une certaine habileté à « jongler » avec des puissances thermiques dissipées. Il s'agit aussi d'être très vigilant et de prendre le temps de bien comprendre l'énoncé, qui est parfois un peu obscur. Toutefois, les résultats à retrouver sont parfois donnés, ce qui peut permettre de ne pas rester bloqué. Dans ce genre de problème, il ne faut surtout pas négliger les applications numériques. D'une part, elles peuvent rapporter des points et d'autre part, elles permettent de détecter des erreurs. En outre, c'est le but de ce sujet de pouvoir quantifier l'isolation thermique : les résultats se rapportent à la vie pratique et il est intéressant de les discuter. La partie mécanique étudie le système Terre-Lune et plus particulièrement les effets de marée. Dans un premier temps, on explicite les termes de marée dus à la Lune et au Soleil, avant de considérer la Lune seule. Ensuite, on étudie le moment cinétique du système Terre-Lune et on résout le problème à deux corps dans le référentiel barycentrique. On observe enfin le ralentissement de la Lune dans sa rotation autour de la Terre, et donc son éloignement, du fait de la conservation du moment cinétique de l'ensemble. Les problèmes posés dans les deux premières sous-parties sont relativement classiques : termes de marée, problème à deux corps avec masse fictive, équation conique d'un satellite, etc. Il faut toutefois être vigilant et ne pas avoir peur des calculs longs, car il y a souvent beaucoup de termes, de sommes, de produits vectoriels et d'occasions de se tromper. Cependant, l'énoncé guide suffisamment les questions pour que l'on ne perde pas le fil. Le troisième mouvement de cette partie mécanique est peu calculatoire mais nécessite une fois de plus de ne pas négliger les applications numériques. L'aboutissement de ce sujet, quantifiant l'allongement de la distance Terre-Lune sous l'effet des forces de marée, est original et intéressant. Indications Thermodynamique - I.1.a J est la quantité d'énergie thermique qui passe à travers une surface de contrôle par unité de temps et de surface. I.2.a On peut faire l'analogie entre la résistance thermique et la résistance électrique en partant soit de la définition, soit de l'expression trouvée. h I.4.a Poser u = . kT I.4.c Considérer la différence entre le rayonnement sortant du corps et le rayonnement sortant de l'environnement. I.4.d Que vaut le développement limité en 0 de (1 + x)4 ? S II.1.d Ne pas refaire tous les calculs, se servir de . S II.2.a Que devient la puissance P0 ? II.2.c Se souvenir qu'on peut faire apparaître T2 , Text ou Tciel indifféremment dans l'expression de la résistance de rayonnement. Mécanique I.1 Les référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre. I.3.a Faire apparaître la définition vectorielle de T comme centre de masse des points Ai . II.1.a Utiliser le théorème du moment cinétique barycentrique. II.1.b Utiliser la symétrie sphérique de la Terre pour regrouper les termes de la somme, qui s'annulent deux à deux. II.2.a Comme à la question I.3.a, faire apparaître la définition vectorielle de T. II.5.a Commencer par écrire la relation fondamentale de la dynamique et la projeter d sur - er et - e , puis montrer que r2 est constant grâce à la conservation du dt - moment cinétique L orb . Utiliser cette expression pour éliminer dans l'une des expressions issues du principe fondamental de la dynamique. Enfin, procéder au changement de variable proposé par l'énoncé et intégrer. II.5.c Revenir au principe fondamental de la dynamique en considérant r = DL constant. Thermodynamique I. Étude préliminaire - I.1.a J (x, t) est le vecteur densité de courant thermique. Ici, ce vecteur est orienté suivant - ex et sa mesure algébrique sur - ex est appelée J(x, t). C'est une densité de courant thermique, donc c'est une grandeur qui rend compte de la quantité d'énergie thermique (chaleur) qui passe dans une direction, par unité de temps et de surface. L'unité d'une telle grandeur doit donc être celle d'une énergie par unité de temps et par unité de surface, soit le J.s-1 .m-2 , que l'on peut aussi écrire W.m-2 . Avec les notations de l'énoncé, on peut écrire la loi de Fourier ainsi : - -- J (x, t) = - grad T(x, t) I.1.b Effectuer un bilan énergétique sur un volume de matériau signifie : · calculer la variation d'énergie interne dU de cette portion de matériau pendant un laps de temps dt ; · faire le bilan des entrées et sorties d'énergie thermique Q sur le volume pendant le même temps ; · égaler ces deux grandeurs grâce au premier principe de la thermodynamique (dU = Q). La variation d'énergie interne du volume choisi peut être reliée à la variation de température dT grâce à la capacité thermique massique c de la manière suivante : dU = dm c dT, où dm = Sdx est la masse du volume élémentaire choisi. - J (x) - J (x + dx) S x dU x=0 x x + dx x=L D'après la question précédente, il entre du côté gauche une énergie thermique J(x, t) S dt et il sort de l'autre côté J(x + dx, t) S dt. La variation d'énergie thermique de la tranche est donc Q = J(x, t) S dt - J(x + dx, t) S dt. On considère ici la chaleur gagnée par le système, donc ce qui entre moins ce qui sort. Notons qu'il n'y a aucune énergie thermique qui peut entrer ou sortir par les surfaces latérales, puisque l'énoncé assure qu'elles sont isolées thermiquement. On utilise le premier principe de la thermodynamique pour relier les deux expressions obtenues : dU = Q conduit à S dx c dT = J(x, t) S dt - J(x + dx, t) S dt J S dx c dT = - (x, t)dx S dt x T J c =- (x, t) t x On utilise la loi de Fourier, énoncée à la question précédente, pour faire apparaître la température dans le deuxième membre de l'équation différentielle. On obtient c T 2T = t x2 I.1.c Se placer en régime stationnaire revient ici à annuler la dépendance temporelle de toutes les grandeurs. En particulier, les dérivées partielles par rapport au temps sont nulles. L'équation ci-dessus devient donc 2T =0 x2 Ceci s'intègre facilement en une équation affine du type T(x) = ax + b, où a et b sont des coefficients que l'on calcule à l'aide des conditions aux limites. ( T(0) = T0 T(L) = TL Cela donne un système de deux équations à deux inconnues a et b, que l'on résout. TL - T0 a= L b = T 0 La loi de variation de la température est donc T(x) = TL - T0 x + T0 L Pour trouver J(x), on applique la loi de Fourier J(x) = - J(x) = - T et l'on obtient x TL - T0 L Ce vecteur densité de courant est donc uniforme : il ne dépend pas de x. Ceci est parfaitement normal ; c'est le contraire qui aurait été inquiétant : en régime stationnaire, il y a une certaine quantité de chaleur, toujours la même, qui va d'une extrémité à l'autre du matériau. On n'en perd pas sur les côtés puisque les parois latérales sont isolées, et il n'y a accumulation nulle part, sinon le régime ne serait pas stationnaire. Le seul moyen est que l'énergie thermique qui traverse une section en un instant donné se retrouve intégralement un peu plus loin et un peu plus tard, ce qui signifie que le courant est constant. Cela n'est vrai que parce que le matériau est invariant par translation (s'il y avait des variations de section, par exemple, cela ne serait plus vrai). On remarque d'autre part que ce courant est d'autant plus grand que la différence de température entre les extrémités est grande et que la distance à parcourir est petite, et qu'il va du chaud vers le froid. Tout ceci est conforme à la loi de Fourier. I.2.a Pth est le flux thermique à travers la section S, c'est donc l'intégrale du vecteur densité de courant sur la surface considérée, autrement dit la puissance totale qui passe à travers cette surface. Le courant J étant constant sur la section de surface S, on obtient S Pth = S J = - (TL - T0 ) L Par identification avec la forme proposée T0 - TL = Rth Pth , il vient Rth = L S