CCP Physique 1 MP 2002

Thème de l'épreuve Étude d'un climatiseur pour avion pressurisé. Étude d'un horizon artificiel.
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique dans un repère non galiléen
Mots clefs loi de Fourier, principes de la thermodynamique, machines thermiques, force d'inertie, gyroscope, loi de Laplace, référentiel non galiléen

Corrigé

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SESSION 2002 A MPP105 CONCOURS (OMMUNS POlYÏECHNIOUES EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP PHYSIQUE 1 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. *** NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa \ copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené a prendre. *** A. Thermodynamique : étude d'un climatiseur pour avion pressurisé Les avions de ligne actuels subissent des conditions variées. Dans ce problème, on considérera deux situations : -- Altitude de croisière (de l'ordre de 10000 m): l'air est très froid (température extérieure Te = 215 K) et la pression très faible (pression extérieure pe : 25><103 Pa ). -- Au sol : la pression est normale ( pe =105 Pa ), mais il peut être nécessaire de refroidir la cabine en été ou dans les pays chauds. On prendra Te : 308 K . D'autre part, pour assurer le confort des passagers, il faut renouveler l'air dans l'avion. Le débit volumique à fournir est dp : 280 litres par minute et par passager, à une pression pc : 105 Pa (pour simplifier, on considère que cette valeur ne varie pas avec l'altitude de l'avion) et une température TC : 293 K. C'est le but de l'appareil étudié dans ce problème, qui sera nommé conditionneur d'air dans la suite, que de prélever l'air à l'extérieur et de faire circuler le débit prescrit en maintenant l'air de la cabine à la température TC et à la pression pc. Dans une première partie, on analyse les pertes thermiques et on effectue un bilan énergétique de l'air de la cabine. Dans une deuxième partie, on cherche le travail minimal à fournir pour maintenir TC et pc avec le débit d'air prescrit. Enfin, la troisième partie est une étude d'un dispositif effectivement utilisé. Dans tout le problème, on n'envisagera que le régime stationnaire. Tournez la page S.V.P. A.I. Bilan énergétique de la cabine \ On assimile la cabine a un cylindre de diamètre intérieur D = 5 m, de longueur L=3O m et d'épaisseur E = 0,1 m, plongé dans une atmosphère extérieure à température uniforme Te. Pour les échanges énergétiques avec l'extérieur, on ne considère que la conduction thermique à travers les parois du cylindre (en négligeant la conduction par les coins) et on supposera les contacts thermiques entre l'air extérieur et la paroi extérieure d'une part et l'air intérieur et la paroi intérieure d'autre part comme parfaits (pas de différence de température entre la paroi et l'air ambiant). La conductivité thermique est  : 0,151 . Figure 1 : Schéma de la cabine De plus, chaque passager dégage une puissance thermique P,) = 75 W. Le nombre de passagers est N p = 150. A.I.l) Écrire explicitement l'unité de À. A.I.2) On s'intéresse d'abord aux parois de la base du cylindre. En supposant que la température en un point de la paroi n'est fonction que de la variable z selon l'axe du cylindre, exprimer la différence de température Te --Tc en fonction de la puissance thermique ((D...)b traversant la base du cylindre (comptée positivement de l'extérieur vers l'intérieur) et de À, D et E. A.I.3) Pour le transfert à travers la paroi cylindrique, on suppose que la température ne dépend que de la distance [) à l'axe du cylindre. Calculer de nouveau Te --TC en fonction maintenant de la puissance thermique (< g ? B.II. Approximation gyroscopique On considère un solide de révolution de moment d'inertie I par rapport à son axe de révolution. On note 11 le vecteur unitaire porté par cet axe. Le montage est tel que l'orientation de u est libre mais que le centre de masse A du solide est lié à l'avion. Ce type de montage est appelé gyroscope. On introduit le référentiel du centre de masse du solide RCM (Axyz ). Un moteur impose au solide une vitesse angulaire de rotation Q=Qu par rapport à RCM (Q = 12000 tours/min maintenue constante). Le moment cinétique en A du solide par rapport à RCM est noté L . On peut considérer avec une très bonne approximation que L = Lu , même si la direction de u est variable au cours du temps (approximation gyroscopique). B.II.1) Quelle est l'unité de I '? B.II.2) Équation d'évolution de u : on suppose que des forces extérieures exercent sur le gyroscope un moment en A noté M. 3) Écrire L en fonction de 52. b) En appliquant le théorème du moment cinétique dans RCM, donner l'équation d'évolution de L . En déduire que : du M ÎJÎ Î RCM B.III. Système érecteur Du fait de sa stabilité, le gyroscope gardera assez longtemps une direction fixe dans l'espace. Toutefois, cette direction n'est pas la verticale. Il faudrait donc ramener u sur ez. Malheureusement, il n'y a aucun système mécanique lié à l'avion qui puisse faire la différence entre la verticale apparente (ez ) et la verticale vraie (eZ ). La seule chose possible est de a construire un dispositif tendant à ramener 11 sur ez . En effet, en moyenne, eZ est confondu avec a a ez. Si le dispositif ramenant 11 sur ez est suffisamment lent, u restera toujours proche de el. a Un tel dispositif s'appelle « système érecteur ». B.III.1) Détermination du moment à appliquer Figure 6 : u doit être ramené vers la verticale apparente. a) En vous aidant de la figure 6, déterminer la direction du moment M appliqué au gyroscope pour que u soit ramené vers ez . a L . . b) Vérifier que M = -- [ez -- (u - eza )u] est dans la bonne direction. Quelle est l'unité de la T a constante T ? B.III.2) Évolution de u : le système érecteur applique en permanence au gyroscope le moment M ci--dessus, avec une constante 7: = 360 81 . a) On note [3 l'angle (ela ,u). On suppose eza fixe dans RCM (avion en ligne droite). Écrire l'équation différentielle pour [3 . b) Vérifier que la solution est donnée par tan(,B / 2) : tan(flO/2)exp(-- t/T). B.IV. Comportement de l'horizon artificiel en virage L'avion, muni de son horizon artificiel à système érecteur, effectue maintenant un virage à droite dans le plan horizontal avec une inclinaison 9 = 30 ° et une vitesse constante (comme au BJ). La vitesse est telle que l'avion effectue un tour complet en 2 mn. On se place dans le repère Ra lié à Tournez la page S.V.P. 10 l'avion. La vitesse de rotation de ce repère par rapport à R est notée Qa. On suppose qu'au début du v1rage, u : ez . B.IV.1) Montrer que 323 : Qaez, où Qa est une constante positive. Calculer numériquement le produit QaT qui servira dans la suite du problème. B.IV.2) Montrer que Qa est aussi le vecteur rotation de Ra par rapport à RCM. B.IV.3) Écrire l'équation d'évolution de u par rapport à Ra. B.IV.4) On cherche une solution stationnaire de l'équation précédente, c'est-à--dire telle que 11 soit fixe dans Ra. Pour cela, on repère le vecteur u par les angles sphériques a et ,B , où [3 est le même que précédemment et O! est l'angle entre eX et la projection de 11 sur le plan (eXa ,eya ). Figure 7 : définition des angles 06 et fl. a) Projeter l'équation donnant la solution stationnaire sur ey et ez . a a b) Exprimer sind et cosa en fonction de 6 , ,B et QaT . c) En déduire une équation pour sin ,8 ne faisant intervenir que sin 9 et {lat . (1) Montrer que, avec la valeur calculée précédemment de QaT , sin fi est très proche de sin6. e) Montrer que u--ez est dirigé suivant eX avec une très bonne approximation et en a déduire l'angle entre u et ez. Application numérique. Un pilote est sensible à une déviation de l'ordre du degré sur l'horizon artificiel. Conclusion. Fin de l'énoncé

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 CCP Physique 1 MP 2002 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Christophe Lepage (doctorant) ; il a été relu par Jean-David Picon (École Polytechnique) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). Le sujet est composé de deux problèmes indépendants ayant pour point commun l'aéronautique. Le premier problème consiste en l'étude d'un climatiseur pour avion pressurisé. Il couvre l'essentiel du programme de thermodynamique. · La première partie concerne la conduction thermique et les pertes thermiques à travers les parois. · Le premier et le second principe de la thermodynamique appliqués aux machines thermiques sont approfondis dans la deuxième partie. · La troisième partie permet l'application des lois démontrées précédemment à chaque partie du climatiseur, afin d'effectuer un bilan sur l'ensemble du système. Le second problème étudie le fonctionnement d'un gyroscope. Il est, de loin, plus calculatoire que le précédent. Il ne nécessite pas de connaissances préalables sur l'appareil, mais des notions de mécanique dans un référentiel non galiléen. · L'application du principe fondamental de la mécanique dans ce type de référentiel est étudiée dans la première partie. · La deuxième partie introduit l'approximation gyroscopique. · La troisième éclaire sur un dispositif de correction du gyroscope concernant l'affichage de la verticale. · Enfin, son comportement au cours d'un virage est étudié dans la quatrième partie. Ce problème permet de comprendre comment un gyroscope détermine la position d'un avion par rapport à l'horizontale, et ceci quel que soit le mouvement. Ce sujet recèle plusieurs questions ambiguës quant au résultat attendu, à la manière de les traiter ou bien à la définition des grandeurs. Indications Partie A A.I.2 Dans la loi de Fourier, exprimer la densité de flux thermique en fonction de la puissance et de la surface. A.I.3 Poser l'équation différentielle issue de la loi de Fourier avant de la résoudre car la variation de la température n'est plus linéaire à travers la paroi. A.I.5 Réaliser un bilan des puissances échangées avec la cabine. A.II.2 Utiliser la loi des gaz parfaits. A.II.3.c Appliquer le premier principe de la thermodynamique avec les expressions du travail trouvées dans les questions précédentes. A.II.4.c Établir la relation demandée à partir des résultats des questions A.II.4.b et A.II.3.c. A.II.5.a Utiliser la relation dH = TdS + VdP comme point de départ. A.II.5.b Calculer S et Séchangée. A.III.1 Q2 et Pt correspondent à des phénomènes opposés. A.III.2.b Utiliser la loi de Laplace en énonçant les conditions d'application. A.III.3.a Réaliser un encadrement de T2 . A.III.5.b Ne pas oublier la relation obtenue à la question A.III.2.c avec pc = pe . Partie B B.I.1 Inclure les forces de repère. B.I.4.b Appliquer le PDF au pilote en incluant la force qui le maintient immobile. - B.III.1.a Dessiner d u =- u (t + dt) - - u (t). B.III.2.a Projeter l'équation différentielle de la question B.II.2.b sur - e za . B.IV.1 Pour le signe, utiliser la règle de la main droite. B.IV.3 Utiliser les formules de dérivation dans les repères tournants. B.IV.4.e Déterminer les composantes de - u -- e dans R . z a A. Thermodynamique : étude d'un climatiseur pour avion pressurisé A.I Bilan énergétique de la cabine A.I.1 est la conductivité thermique et se mesure, dans le Système International en watts par mètre par Kelvin (W.m-1 .K-1 ). On peut retrouver l'unité de la conductivité thermique grâce à la loi de Fourier. - -- = - grad T - · : densité de courant thermique W.m-2 -- · grad T : gradient de température K.m-1 A.I.2 Le problème est étudié en régime stationnaire. Les variables sont donc indépendantes du temps. La loi de Fourier est par conséquent applicable et l'on obtient avec la convention de signe de l'énoncé - -- = - grad T La variable T ne dépend que de z, d'où dT dz Il y a conservation du flux à travers la base. Le gradient de température est donc uniforme, et la température affine au travers de la base. = dT Te - Tc = dz E Si (th ) b est la puissance thermique à travers une des deux bases, on a = On en déduit donc (th )b Sbase (th )b Te - Tc = E D2 4 Te - Tc = 4E (th )b D2 Démontrons que le flux à travers la base est constant. Pendant un intervalle de temps t, l'énergie entrant sous forme de chaleur dans la base de surface S à l'abscisse z est égale à (z) St, tandis que que l'énergie sortant sous forme de chaleur de la même base à l'abscisse z + z dans le même intervalle de temps a pour valeur (z + z) St. L'évolution se faisant sans apport d'énergie sous forme de travail, l'énergie interne U du système de volume Sz varie donc, dans l'intervalle de temps t, de la quantité U (t + t) - U (t) = ( (z) - (z + z)) St Ceci correspond à une variation de l'énergie volumique qui s'écrit UV (z + z) - (z) =- t z Lorsqu'on fait tendre z et t vers 0, on obtient la relation entre les dérivées partielles traduisant localement la loi de conservation de l'énergie, que l'on appelle équation de continuité : UV =- t z En régime stationnaire, on vérifie ainsi que le flux thermique à travers la base ne dépend pas de z. A.I.3 De même, la puissance est la même à travers n'importe quelle section cylindrique de rayon . La température, quant à elle, ne dépend que de , d'où dT (th )c = Slatérale d (th )c dT = 2L d (th )c d Séparons les variables dT = 2L Intégrons cette équation entre la paroi extérieure et la paroi intérieure : soit Te - Tc = d'où Te - Tc = (th )c e ln 2L c (th )c D + 2E ln 2L D A.I.4 La puissance thermique totale traversant la paroi de la cabine est égale à la somme de la puissance thermique transmise à travers les différentes surfaces. Par conséquent, (th )t = 2 (th )b + (th )c D2 2L = (Te - Tc ) + (Te - Tc ) D + 2E 2E ln D (th )t = a (Te - Tc ) avec D2 a = 2E + ln 2L = 520 W.K-1 D + 2E D a est aussi appelé conductance thermique par analogie à la conductance en électricité. Si l'on fait correspondre l'intensité électrique à la puissance thermique totale, ainsi que la différence de potentiel à celle de la température, on retrouve alors la loi d'Ohm I = GU avec G la conductance électrique.