CCP Physique 1 MP 2000

Thème de l'épreuve Différences entre la masse grave et la masse inerte; étude théorique de quelques moteurs
Principaux outils utilisés mécanique du point, mécanique du solide, électrostatique, thermodynamique

Corrigé

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SESSION 2000 MPOOB A CONCOURS (0MHIINS POLY!!(IINIOUES ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE MP PHYSIQUE 1 DURÉE : 4 heures Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées sous réserve des conditions définies dans la circulaire n°99--018 du 01.02.99. Conformément à l'usage typographique international, les vecteurs sont représentés en gras. On donne les constantes physiques suivantes : Charge élémentaire : e = 1,602 >< 10719C Constante de gravitation : G = 6,6726 >< 10"1 1SI Masse de l'électron : me : m: = 0,91 1 >< 10_30 kg Masse du noyau d'hélium : ma : mâ : 6,65 >< 10_27 kg Masse d'un noyau d'or : mAu : mL : 3,27 x 10"25 kg Charge d'un noyau d'or : Z,... = 796 Charge d'un noyau d'hélium : ZHe : 2e Masse du Soleil: M s = M; = 1,99 >< 103°kg Rayon du Soleil : R5 = 0,696 >< 109 m Masse de la Terre: MT : M; = 6 >< 1024 kg Rayon de la Terre : RT : 6,4 X 106 m Masse de Lune: ML : M}: = 73,5 X 1021 kg Rayon de la Lune : RL : 1,76 >< 106 m Distance Terre-Soleil : TS = 149 >< 109 m Distance Terre--Lune : TL = 0,384 >< 109 m 2 Intensité du champ de pesanteur terrestre : g : 9,81m.s" . ==9><109 SI Constante de l'interaction électrostatique : 4T£8 0 Constante universelle des gaz parfaits : R = 8,314 J .K"1 mol"1 Nombre d'Avogadro : N A = 6,02 >< 1023 mol"1 . Tournez la page S.V.P. ]. 0988 A. Caractère singulier de la gravitation On se propose de souligner, à l'aide de différents exemples, le caractère singulier de la force de gravitation, singularité à l'origine de la théorie de la relativité générale établie par Einstein en 1915. On rappelle que la masse grave d'un corps, ou masse de gravitation, exprime la capacité qu'a un corps d'être attiré par un autre corps. La masse inerte désigne, elle, la capacité qu'a ce même corps de s'opposer à sa mise en mouvement à partir du repos, sous l'action d'une force. C'est donc la masse inerte qui apparaît dans l'écriture de la loi fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton). Entre deux points matériels, A1 et A2, de masses graves respectives mÎ et m;, Newton a admis que l'attraction gravitationnelle pouvait être exprimée par l'expression suivante de la force F2_,1 qu'exerce A2 sur A1 : K * , [' F2_,l=r--2er avec K=--Gmlm2 er=: et r=A2Al=rl--r2 les vecteurs rl et r2 situant les positions de A' et A2 par rapport à un référentiel galiléen »? = Oxyz . 1. a) Comparer la force électrostatique et la force de gravitation qui s'exercent-entre des particules oc (noyaux d'hélium) et des noyaux d'or (expérience de Rutherford). Conclure. b) Etablir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction entre deux particules, de charges électriques q] et q2 et de masses graves m," et m2', associée aux forces électrostatiques et aux forces de gravitation. On adoptera comme origine des énergies potentielles la valeur pour r infini. 2. a) En s'appuyant sur l'analogie entre la force de Coulomb d'interaction électrostatique et la force de gravitation, énoncer, sans les établir, les deux propriétés auxquelles satisfait le champ de gravitation @ : i ) la première, en relation avec la circulation de g ii) la seconde, en relation avec le flux de g. b) Montrer que le champ de gravitation, créé en un point M, par une sphère, de centre O, de rayon R, dont la distribution de masse grave est à symétrie sphérique, est radial et peut se OM . . mettre sous la forme : Ç(M ) : ÿ,.e, où e,. = ---- et r : "OM" Exprimer, en fonction de r, )" ÿ, ainsi que (l). Tracer les graphes correspondants (j,.(r) et (Mr). c) On rappelle l'expression de l'énergie potentielle électrostatique d'une distribution de charge électrique en fonction du champ électrostatique E : 80E2 esp 2 a,, = d v l'intégration portant sur tout l'espace. En s'appuyant sur l'analogie précédente, trouver l'énergie potentielle de gravitation d'une distribution sphérique uniforme, de masse grave totale M * et de rayon R. 3. On considère une cabine spatiale, de centre de masse C, en translation par rapport au référentiel géocentrique /EUR8 : Txoy0zo, d'origine le centre T de la Terre et lui-même en translation par rapport au référentiel de Copernic ËC ; /EURg peut être considéré comme galiléen avec une excellente approximation (Figure 1). . , . , . . * On s'1nteresse au mouvement d'un pornt materiel A, de masse inerte m et de masse grave m , par rapport au référentiel du centre de masse /EUR " de la cabine, associé à /Ûg. On ne tient pas compte de l'influence des astres autres que la Terre. Zo Cabine spatiale g YO a) Rappeler la définition de /EUR*. b) En désignant par Fac la somme des forces occasionnelles, c'est--à--dire la somme des forces non gravitationnelles, qu'exerce l'environnement sur A, écrire la loi fondamentale de la dynamique pour A dans son mouvement par rapport à Ë*. c) Appliquer le théorème du centre de masse à la cabine spatiale, de masse grave M: et de masse inerte MC, dans son mouvement par rapport à /EUR8 . Montrer que l'on a : M: FOC B + Mc Ç( ) m * * m a = -- A -- A m g< ) B étant un point de la cabine que l'on précisera. d) Rappeler la première loi de Newton ou principe d'inertie. Une telle loi est expérimentalement constatée dans /EUR*en faisant FOC : 0. En déduire, en admettant que le champ de gravitation est uniforme dans la cabine, que la masse grave peut être identifiée à la masse inerte. Commenter. 4. Dans cette question, on admet l'identité des masses grave et inerte. En outre, le référentiel géocentrique /EUR8 est en translation quasi circulaire par rapport au référentiel de Copernic supposé galiléen. a) Calculer, dans ËC, les forces de gravitation qu'exercent le Soleil et la Terre sur la Lune. Le résultat obtenu semble paradoxal. Pourquoi ? Comment lève--t--on ce paradoxe ? Tournez la page S.V.P. b) Appliquer le théorème du centre de masse à la Lune par rapport à Ëg. Montrer que, par rapport à /EUR , l'influence du Soleil apparaît par un terme différentiel dont l'influence est mineure. Commenter. On montre que le référentiel du laboratoire /9 peut être considéré comme un bon référentiel galiléen, pourvu que l'on substitue au champ de gravitation @ le champ de pesanteur terrestre g et que les vitesses acquises soient suffisamment faibles (inférieures à 500m.s--1). On laisse tomber (sans vitesse initiale), d'une hauteur h : 2m, deux corps différents, par exemple, une bille B1 métallique, de masse ml =0,7 kg, et une bille plus légère, BZ, de masse m2 =0,058 kg (Figure 2). On admet qu'il existe une force supplémentaire de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse : Ff : --ocv, oc étant un coefficient positif. O gl l % Figure 2 a) A quelle équation différentielle la vitesse v, selon la verticale descendante Ox, satisfait-elle ? b) En déduire v(t) en introduisant "C : m/oc. Représenter le graphe correspondant. Donner une expression approchée de v(t) pour t<< 't . Commenter. c) Trouver l'équation horaire x(t). Donner une expression approchée de x(t) pour t<< t. Commenter. d) Calculer 17 dans le cas des deux billes, sachant que a=13xlO--ÔSI. Que peut--on dire de l'influence de la force de frottement ? Dans cette question, on reprend l'analyse précédente, mais la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse : Ff : --Bv2 v/v , [3 étant un coefficient positif. a) Etablir l'équation différentielle à laquelle satisfait la vitesse d'une bille selon l'axe vertical 1/2 descendant. Quelle est la dimension physique de (mg/B) ? b) Montrer que v(t) a pour expression : [ v(t) : v, tanh(g--] V1 v, étant une quantité que l'on déterminera. Tracer le graphe correspondant. Quelle est la signification physique de v, '? Donner une expression approchée de v(t) pour ! << v,/ g. Commenter. c) En déduire l'équation horaire x(t), sachant que : Jtanh u du : lncosh u Donner une expression approchée de x(t) jusqu'au terme en t4 inclus. Commenter. (1) On reprend l'étude de la chute des deux billes. Dans les deux cas, on admet la même valeur B=12><10_4 SI. Calculer v, dans les deux cas. Montrer que le mouvement de B] est une chute libre dans le vide, avec une excellente précision relative que l'on calculera. e) Quelle est la distance parcourue par la bille 82 pendant la durée de chute de B] ? En déduire l'écart entre les deux billes en fin de chute. Commenter. B. Cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling Après une étude graphique des machines dithermes, à l'aide du diagramme de Raveau, et une vérification expérimentale de l'expression de l'entropie d'un gaz parfait, on compare les efficacités des cycles moteurs de Carnot, Beau de Rochas et Stirling. Ce dernier cycle présente des caractéristiques intéressantes, notamment un faible niveau de pollution, une durée de vie élevée et une excellente efficacité. 1. Machine ditherme Une masse m de gaz, constituée principalement d'air, subit un cycle moteur entre deux sources thermiques, l'une la source froide à la température Tf =290K, l'autre la source chaude à la température 7} : 1450K. a) Exprimer les bilans d'énergie et d'entropie au cours d'un cycle réel. On introduira les quantités algébriques suivantes, relatives à un cycle : W, Q f , Q, S " ; W est le travail reçu (algébriquement) par le fluide (si W > 0, il est effectivement reçu par le fluide, si W < 0, il est effectivement fourni par le fluide). De même Qf est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide ; Q est la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude. Dans l'écriture de S " , qui désigne l'entropie produite, p est un indice et non un exposant. b) Représenter, sur un même graphe, donnant Qc en fonction de Qf , appelé diagramme de Raveau, les deux équations précédentes, W et S'" étant des quantités déterminées. En déduire la position du point de fonctionnement sur le diagramme, compte tenu des signes de Wet S " , ainsi que le sens des échanges thermiques (signes de QC et Q.. ). Tournez la page S.V.P. c) Etablir l'expression de l'efficacité n du moteur, appelée aussi rendement, en fonction de ÎL,TnyC et SP. (1) Que devient cette efficacité lorsque la machine ditherme fonctionne selon un cycle de Carnot ? Calculer sa valeur nc . Ce résultat, sensiblement inférieur à l, doit--il être attribué à une imperfection de la machine (frottements divers) ou provient--il d'une limitation fondamentale ? Dans ce dernier cas, préciser la nature de cette limitation. e) On définit le degré d'irréversibilité du cycle à l'aide du rapport r=n/nc. Sachant que r = 0,94 et que le moteur fournit un travail de 15 k] par cycle, trouver Qc,Qf et S p . Porter avec soin ces résultats sur un graphe, donnant Qc en fonction de Qf , dans lequel 1 cm représente 5 U . 2. Entropie d'un gaz parfait a) Le rapport 7 des capacités thermiques isobare et isochore d'un gaz parfait est 1,67 pour un gaz monoatomique, tel que l'argon, et 1,4 pour un gaz diatomique, tel que l'air. Justifier ces valeurs à l'aide de considérations simples issues de la théorie cinétique des gaz ? b) Etablir l'expression de la variation élémentaire de l'entropie d'un gaz parfait monoatomique en fonction de sa température T et de sa pression p. Montrer que l'entropie du gaz peut s'écrire : S=a(--lnp+BlnT+Cte) oc étant un coefficient que l'on exprimera, en fonction du nombre n de moles et de la constante R des gaz parfaits, et B un facteur que l'on déterminera. La constante Cte qui apparaît dans la formule précédente a pu être déterminée expérimentalement à l'aide du graphe C,,(T) donnant la capacité thermique molaire de l'argon gazeux, sous l bar, en fonction de la température. Comment accède--t-on à l'entropie à partir de C ,,(T) ? c) Dans le cas d'un gaz parfait diatomique, B = 7/2. En déduire la relation entre la pression et la température d'un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution isentropique. 3. Cycle de Beau de Rochas et Otto Dans un moteur à explosion, le fluide, de masse m : 2,9g, assimilé à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M =29g, suit une évolution cyclique réversible ABCD, constituée de deux portions isentropiques, AB et CD, séparées par deux portions isochores, BC et DA. Le cycle n'est plus ditherme : il y a mise en contact du fluide avec une succession de sources chaudes et froides. Les températures et les pressions aux points A et C sont, respectivement : TA=29OK pA=lbar TC=1450K pC=40bar En outre, le taux de compression Otv : VA /VC est égal à 8. a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes AB et CD '? Calculer les pressions, en bar, 173 et pD, en B et D respectivement, ainsi que les volumes en litre en ces points. b) Représenter avec soin le cycle ABCD dans le diagramme de Clapeyron (p,V). Justifier le sens de description du cycle. c) Calculer, en k] , le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle. Vérifier l'existence d'une relation simple entre toutes les grandeurs calculées. (1) Quelle est l'efficacité 1130 de ce cycle moteur, c'est-à-dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion BC du diagramme ? Comparer 1130 à l'efficacité nc d'un cycle moteur ditherme fonctionnant entre les températures TA et TC. Commenter. 4. Cycle de Stirling Dans un cycle de Stirling, une même masse d'air (m=2,9g) suit une évolution cyclique réversible A'B'C'D' , constituée de deux portions isothermes A'B' et C'D' séparées par deux portions isochores B'C' et D'A'. Les températures et les pressions aux points A' et C ' sont les mêmes qu'aux points A et C respectivement. Le taux de compression 0tv =VA /VC est aussi le même que précédemment. a) Quelle équation relie la pression et le volume le long des courbes A'B' et C'D' ? En déduire les pressions pH» et pD/ , en B' et D',respectivement. b) Représenter avec soin le cycle A'B'C'D' dans le diagramme de Clapeyron. Comparer ce diagramme au précédent. c) Calculer le travail et la chaleur reçus (algébriquement) par le gaz sur chaque portion du cycle. d) Les échanges thermiques au cours des évolutions isochores se font à l'aide d'un régénérateur interne à la machine. Les seuls échanges thermiques avec l'extérieur ont lieu pendant les phases isothermes. Quelle est l'efficacité Ïls de ce cycle moteur, c'est--à--dire le rapport du travail fourni au milieu extérieur sur la chaleur reçue de la part des sources chaudes représentées sur la portion C'D' du diagramme '? Comparer 115 à 1180 et "C-- Fin de l'énoncé.

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 CCP Physique 1 MP 2000 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean-Yves Tinevez (ENS Lyon) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon) et Yannick Alméras (ENS Ulm). Ce sujet se compose de deux problèmes. On étudie, dans le premier, différents aspects de la masse, grave ou inerte. Le but du problème est de montrer que l'on peut identifier ces deux quantités et propose ensuite l'étude théorique d'une expérience permettant de le vérifier. Le second porte sur la thermodynamique, et propose de comparer avec le modèle des gaz parfaits trois types de moteur. Aucun des deux problèmes n'est particulièrement calculatoire ou difficile. Néanmoins, le premier fait appel à une certaine assurance face à l'énoncé des questions, qui est parfois flou. Comme il porte sur la mécanique des solides, il demande également une bonne connaissance des théorèmes de base dans ce domaine. Le second problème reste proche du cours dans son commencement ; il faudra donc bien connaître celui-ci afin de répondre rapidement aux questions préliminaires. Il continue avec l'étude de moteurs, et l'approche est sensiblement la même d'une question à l'autre. Enfin, tout au long du sujet, le candidat est invité à faire des commentaires sur les résultats qu'il trouve. On pourra donc voir dans ce sujet un bon moyen de s'assurer de ses connaisssances ainsi que d'exercer son esprit critique. Indications Problème A 1.a Faire le rapport des deux forces. 2.a On peut se souvenir des équations de Maxwell dans le cas de l'électrostatique dans un milieu sans charges. 2.b L'énoncé omet de donner la distribution de masse à l'intérieur de la sphère et de préciser la signification de . On pourra prendre par exemple µ la masse volumique comme étant uniforme, et supposer que est le potentiel de gravitation. Pour le calcul du champ, il est judicieux d'utiliser l'analogue du théorème de Gauss en utilisant les propriétés de la symétrie sphérique. 3.d La première loi de Newton porte sur le mouvement dans un référentiel galiléen d'un corps isolé. 4.a On pourra évaluer la norme de ces forces et les comparer. 4.b Le référentiel géocentrique n'est pas galiléen à cause du Soleil. La présence du Soleil est donc cachée dans les forces d'inertie qui existent dans le référentiel géocentrique. 5.a Bien prendre garde à l'orientation de l'axe Oz. 6.b La dérivée de Argth (x) est 1/(1 - x2 ). 6.e Pour simplifier, on peut supposer que la bille B1 atteint le sol après un temps donné par un modèle idéal sans frottements. Problème B 1.a Se rappeler que la variation d'une fonction d'état est nulle sur un cycle. 1.d Un cycle de Carnot est réversible. 2.a Utiliser le théorème de l'équipartition de l'énergie. 2.b Partir de l'expression de l'enthalpie pour une transformation élémentaire réversible. Pour les gaz parfaits, on connaît une expression simple de cette enthalpie en fonction de Cp qu'on utilisera judicieusement. On aura besoin également de la relation de Mayer pour les gaz parfaits lorsqu'on voudra exprimer Cp . A. Caractère singulier de la gravitation 1.a On compare ici deux forces, dont la décroissance est pour chacune d'elle en 1/r2 . Pour deux particules G m 2 ­ force de gravitation : fG = r2 4 e2 ­ force électrostatique : fE = 4 0 r2 G f 4 0 G m 2 = 3, 2 .10-36 dont le rapport vaut fE 4 e2 De même pour les noyaux d'or, il vient fG 4 0 G mAu 2 Au = 4, 9 .10-36 792 e2 fE Au Devant la faible valeur de ces rapports, on peut conclure que la force de gravitation n'aura aucun rôle sur le comportement des particules. Celle-ci n'aura une influence importante que pour les systèmes macroscopiques. 1.b La force qui s'exerce entre ces deux particules s'écrit (dans le cas où l'on considère que la particule 2 agit sur la particule 1) - A F = 2 - er r q1 q2 où - er est le vecteur unitaire dirigé de 2 vers 1 et A = -Gm1 m2 + . 40 -- - Ep - Or, F = - grad Ep = - er r G m1 m2 q1 q2 + + Cte r 4 0 r avec la convention de prendre Ep = 0 lorsque r +, la constante additive est nulle. soit Ep = - Ep = - G m1 m2 q1 q2 + r 4 0 r - 2.a Une masse m située en O crée autour d'elle un champ de gravité G analogue au champ électrostatique et qui s'exprime - G m G =- 2 - er r Au vu de cette question, on peut établir un tableau d'analogies : - - E G 1 4 0 q -G m - Par analogie avec les propriétés du champ électrostatique E (créé par une charge q en O) d'expression - q - er E = 4 0 r2 il vient : - - - - i) La circulation de G le long de tout contour fermé est nulle (vient de rot E = 0 en électrostatique). - ii) Le flux sortant de G à travers toute surface fermée est égal à la masse contenue - à l'intérieur de cette surface, multipliée par -4G (vient de div E = /0 ). La seconde propriété, analogue au théorème de Gauss impose de préciser que l'on utilise le flux sortant, c'est-à-dire que l'on oriente les normales à une surface vers l'extérieur de celle-ci. On adoptera cette convention dans toute la suite du corrigé. 2.b De l'analogie avec le champ électrostatique, on déduit que le champ de gravi - tation a les mêmes propriétés que le champ E vis-à-vis des opérations de symétrie, et appartient donc à tout plan de symétrie. Or tout plan passant par le centre la distribution de masse est plan de symétrie. Il suffit alors de prendre deux plans non coplanaires passant par O et par M pour se convaincre que le champ gravitationnel - - est radial. D'autre part, la symétrie de révolution impose G = G (r). - Finalement G = Gr (r) - er Pour le calcul de Gr , on utilise la seconde propriété de la question précédente. Prenons une sphère centrée en O de rayon r et calculons le flux sortant du champ de gravitation à travers cette surface fermée. À cause des symétries énoncées plus haut, ce flux s'écrit simplement ZZ - - G .dS = 4 r2 Gr (r) Pour le calcul de la masse à l'intérieur de cette sphère, deux cas se présentent. Soit r > R et donc toute la masse de la distribution est contenue dans la sphère. Notons-la M . Alors 4 r2 Gr = -4 G M pour r > R G M Gr = - 2 r Ce résultat est analogue à celui obtenu en considérant que toute la masse est concentrée au centre. Dans le cas où r < R, les données de l'énoncé ne permettent pas de conclure. On doit connaître en effet la distribution de masse en fonction de r pour obtenir un résultat, ce qui n'est pas le cas ici. On peut néanmoins donner une formule générale en fonction de µ(r) la masse volumique de la distribution. La masse contenue dans la sphère de rayon r < R est donnée par Z r Mint (r) = 4 r1 2 µ(r1 ) dr1 0