X Maths B MP-MPI 2025

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MARDI 15 AVRIL 2025
08h00 - 12h00
FILIERES MP-MPI

-

Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B (X)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Si I est un intervalle de R d'intérieur non vide et si f est une fonction n 
fois dérivable de I
dans R, on note f (n) sa dérivée n-ième, avec la convention f (0) = f . On dit 
qu'une fonction
f de I dans R est de classe C  si elle est n fois dérivable pour tout entier n  
1.

On note R[X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Si n  0 
est un
entier, on note Rn [X] le sous-R-espace vectoriel de R[X] constitué des 
polynômes de degré
inférieur ou égal à n. Par convention, on note R-1 [X] le sous-espace vectoriel 
de R[X] réduit
au polynôme nul. On dit qu'un polynôme P  R[X] est unitaire s'il est non nul et 
si son
coefficient dominant est égal à 1.

Si V est un R-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire, 
pour tout
sous-R-espace vectoriel W de V on note W  l'orthogonal de W dans V .

Si m et n sont deux entiers naturels non nuls, on note Mm,n (R) l'ensemble des 
matrices
à m lignes et n colonnes et à coefficients réels. Si m = n, on note Mn (R) = 
Mm,n (R). Si
M  Mm,n (R), on note M T  Mn,m (R) la matrice transposée de M . Si (ai,j )1im 
est
1jn

une famille de nombres réels indexée par les couples (i, j) d'entiers tels que 
1  i  m et
1  j  n, on note (ai,j )  Mm,n (R) la matrice dont le coefficient à la ligne i 
et la colonne j
est ai,j .

Le problème comporte quatre parties. Les trois premières parties sont 
indépendantes entre
elles. On pourra utiliser des résultats des trois premières parties dans la 
quatrième et dernière
partie.
Première partie

Soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Soit h une fonction C  de [a, b] dans R. On fixe un entier N  1. On dit que h s'annule à l'ordre N dans [a, b] s'il existe P des nombres a  c1 < c2 < · · · < cm  b et des entiers strictement positifs k1 , . . . , km tels que m i=1 ki = N et, pour tout entier 1  i  m et tout entier 0  k < ki , on a h(k) (ci ) = 0. 1a. Soit N  1 un entier. Montrer que si h s'annule à l'ordre N + 1 dans [a, b], alors h0 s'annule à l'ordre N dans [a, b]. 1b. Pour tout entier N  1, montrer que si h s'annule à l'ordre N + 1 dans [a, b], il existe c  [a, b] tel que h(N ) (c) = 0. On fixe, pour le reste de cette partie, f une fonction de classe C  de [a, b] dans R. Soit P  R[X] un polynôme non nul, scindé dans R et dont toutes les racines sont dans ]a, b[. On note a < t1 < · · · < tm < b les racines de P et, pour tout entier 1  i  m, on note ki le plus petit entier tel que P (ki ) (ti ) 6= 0. 2a. Montrer que si Q  R[X] est un polynôme tel que deg(Q) < deg(P ) et, pour tout entier 1  i  m et tout entier 0  k < ki , Q(k) (ti ) = 0, alors Q = 0. 2b. Montrer qu'il existe un unique polynôme H(f, P )  R[X] tel que deg(H(f, P )) < deg(P ) et tel que, pour tout entier 1  i  m et tout entier 0  k < ki , H(f, P )(k) (ti ) = f (k) (ti ). Pour t  [a, b] r {t1 , . . . , tm }. On pose Q(f, P )(t) = f (t) - H(f, P )(t) . (t - t1 )k1 · · · (t - tm )km 1 3a. On pose g = f -H(f, P ). Montrer que, pour tout entier 1  i  m et tout réel x  [a, b], on a Z 1 v ki -1 (ki ) ki f (x) - H(f, P )(x) = (x - ti ) g (ti v + x(1 - v)) dv. 0 (ki - 1)! 3b. Montrer que la fonction Q(f, P ) se prolonge de façon unique en une fonction de classe C  de [a, b] dans R. 4a. Soit s0  [a, b] et soit un entier n  1. Montrer que Q(f, (X - s0 )n )(s0 ) = f (n) (s0 ) . n! 4b. Soient P1 , P2  R[X] deux polynômes unitaires et scindés dans ]a, b[. Montrer que H(f, P1 P2 ) = H(f, P1 ) + P1 H(Q(f, P1 ), P2 ) et Q(f, P1 P2 ) = Q(Q(f, P1 ), P2 ). On fixe t  [a, b] r {t1 , . . . , tm }. Pour tout s  [a, b], on pose m Y Qt (s) = f (s) - H(f, P )(s) - Q(f, P )(t) (s - ti )ki . i=1 5a. Montrer que la fonction Qt s'annule à l'ordre deg(P )+1 dans l'intervalle [min(t, t1 ), max(t, tm )]. 5b. En déduire que si P est unitaire, il existe   [min(t, t1 ), max(t, tm )] tel que f (t) - H(f, P )(t) = f (deg(P )) () P (t). deg(P )! On dit qu'une fonction h de [a, b] dans R est absolument monotone sur un intervalle [a, b] si elle est de classe C  sur [a, b] et si, pour tout entier n  0, la fonction h(n) est à valeurs positives sur [a, b]. En particulier h est à valeurs positives. 6. On suppose que f est absolument monotone sur [a, b]. Montrer que, pour tout polynôme P  R[X] scindé dans ]a, b[, la fonction Q(f, P ) est absolument monotone sur [a, b]. Deuxième partie Soit I = [-1, 1]. On fixe un entier n  2 pour toute cette partie. Soit f : I ]0, +[ une fonction continue. On rappelle que l'on définit un produit scalaire sur Rn [X] en posant, pour tous P, Q  R[X], Z 1 hP, Qi = P (x)Q(x)f (x) dx. -1 Soit D  Rn [X] un polynôme ayant n racines réelles distinctes r1 > · · · > rn 
dans I. On
suppose de plus que D  Rn-1 [X] .

2

7a. Montrer qu'il existe des nombres réels 1 , . . . , n tels que, pour tout P  
Rn-1 [X],
Z 1
P (x)f (x) dx =
-1

n
X

i P (ri ).

i=1

7b. Montrer que si P  R2n-1 [X], on a
Z 1
P (x)f (x) dx =
-1

n
X

i P (ri ).

(1)

i=1

Indication : on pourra considérer la division euclidienne de P par D.
Y

7c. En évaluant l'égalité (1) sur le polynôme

(X - rj )2 , montrer que i > 0 pour tout

1jn
j6=i

1  i  n.
Pour 1  j  n - 1 et t  R, on pose fj (t) =

j
Y

(ri - t) ainsi que f0 (t) = 1. Si 0  j  n - 1

i=1

et P, Q  Rn [X], on pose
hP, Qij = hP, Qfj i.

7d. Montrer que, pour tout 0  j  n - 1, h·, ·ij définit un produit scalaire sur 
Rn-j-1 [X].
Dans les questions 8. à 12. ci-dessous, on fixe un entier naturel 0  j  n - 1.

8a. Montrer qu'il existe une unique famille q0 , . . . , qn-j-1 de polynômes 
unitaires de R[X]
telle que deg(qi ) = i pour 0  i  n - j - 1 et telle que pour tous 0  i 6= i0  
n - j - 1,
hqi , qi0 ij = 0.
8b. On pose qn-j =

n
Y

(X - ri ). Montrer que qn-j est l'unique polynôme unitaire de

i=j+1

degré n - j vérifiant, pour tout 0  i  n - j - 1,
hqi , qn-j ij = 0.
9a. Soit 2  i  n - j. Montrer qu'il existe des nombres réels ai et bi tels que
qi - Xqi-1 = ai qi-1 + bi qi-2 .
9b. Montrer que
bi hqi-2 , qi-2 ij = -hXqi-1 , qi-2 ij .
9c. Montrer que bi < 0. 10a. Pour i  {0, 1}, montrer que le polynôme qi a exactement i racines dans R (noter que l'on ne demande pas que les racines appartiennent à l'intervalle I). 3 10b. Montrer que, pour tout 1  i  n - j, le polynôme qi a exactement i racines réelles distinctes, que ces racines sont simples et que si x1 < x2 sont deux racines consécutives de qi , il existe une unique racine de qi-1 dans l'intervalle ]x1 , x2 [. 10c. En déduire que, pour tout 0  i  n - j - 1, on a qi (rj+1 ) > 0.
Pour 0  i  n - j - 1, il existe donc un unique nombre réel i tel que
qi+1 (rj+1 ) + i qi (rj+1 ) = 0.
On fixe 0  i  n - j - 1 et on pose
pi =

qi+1 + i qi
.
X - rj+1

On note c0 , . . . , ci  R les coordonnées de pi dans la base (q0 , . . . , qi 
) de Ri [X].

11a. Montrer que, pour 0  `  i,

q` - q` (rj+1 )
qi+1 + i qi ,
= 0.
X - rj+1
j
11b. Montrer que, pour tout entier 0  `  i, il existe un réel ` > 0 tel que c` 
= ` c0 et
en déduire que c` > 0.

12. Montrer que, si 0  j  n-2, pour tout 0  i  n-j -1, le polynôme pi est 
orthogonal
à Ri-1 [X] pour le produit scalaire h·, ·ij+1 .
13. Soit B = (a0 , . . . , an ) l'unique base orthogonale de (Rn [X], h·, ·i) 
telle que ai est un
polynôme unitaire de degré i pour tout 0  i  n. Montrer que, pour tout 0  j  n 
- 1, les
n
Y
coefficients du polynôme
(X - r` ) dans la base B sont des nombres réels strictement
`=j+1

positifs.
Indication : on pourra noter (qj,0 , . . . , qj,n-j ) la base de (Rn-j [X], h·, 
·ij ) obtenue dans les
questions 8a et 8b et raisonner par récurrence descendante sur j.
Troisième partie
Soit  un nombre réel strictement positif. Pour tous réels x et r tels que |x| < 1 et |r| < 1, on pose F (x, r) = (1 - 2rx + r2 )- . 14. Montrer que la fonction F est de classe C  sur ]-1, 1[2 . 15. Montrer que pour x  ]-1, 1[, la fonction r 7 F (x, r) est développable en série entière au voisinage de 0. () Pour x  ]-1, 1[, on note an (x) le n-ième coefficient du développement de la fonction r 7 F (x, r) de sorte que, pour r dans un voisinage de 0, X n F (x, r) = a() n (x)r . n0 4 () () 16a. Pour x  ]-1, 1[, montrer que a1 (x) = 2xa0 (x) et que, pour tout entier n 1, () () (n + 1)an+1 (x) = 2(n + )xa() n (x) - (n + 2 - 1)an-1 (x). Indication : on pourra commencer par calculer (1 - 2xr + r2 ) F r (x, r). () 16b. En déduire que, pour tout n  0, la fonction an est un polynôme de degré n dont on déterminera le coefficient dominant ainsi que la parité. On suppose désormais que  > 12 . Pour P, Q  R[X], on pose
Z 1
1
hP, Qi =
P (x)Q(x)(1 - x2 )- 2 dx.
-1

17a. Montrer que, pour tout entier n  0 et tout x  ]-1, 1[,
a()
n (x) =

1  n F
(x, 0).
n! rn
()

(+1)

17b. En déduire que, pour tout entier n  1, on a (an )0 = 2an-1 .
17c. Montrer que

2 + 21 dt
-1 (1 - t )

R1

R1
1
= (2 + 1) -1 t2 (1 - t2 )- 2 dt et en déduire que

()

ha2 , 1i = 0.
()

17d. Montrer par récurrence sur n  1 que han , 1i = 0 pour tout entier n  1 et
()
hXan , 1i = 0 pour tout entier n  2.
Indication : on pourra commencer par démontrer l'égalité
Z 1
1
2
(+1)
()
hXan , 1i =
a
(t)(1 - t2 )+ 2 dt.
2 + 1 -1 n-1
()

()

17e. En déduire que, pour tout n  0, la famille (a0 , . . . , an ) est une base 
orthogonale
de Rn [X] muni du produit scalaire h·, ·i.
Quatrième partie

Pour tout entier n  1, on note x · y  R le produit scalaire canonique de deux 
vecteurs x et
y de Rn . On note Sn-1 la sphère unité de Rn , c'est-à-dire
Sn-1 = {x  Rn | x · x = 1}.

Pour un entier n  1, on note Sn+ l'ensemble des matrices symétriques M  Mn (R) 
telles
que, pour tout X  Rn ,
X T M X  0.

Soit N  2 un entier et soit f une fonction de R dans R. On dit que f est de 
type positif
en dimension N si, pour tout entier k  1 et tout k-uplet (x1 , . . . , xk )  
(SN -1 )k , on a
(f (xi · xj ))  Sk+ .
Si A = (ai,j ) et B = (bi,j ) sont deux matrices de Mn (R), on note A B la 
matrice (ai,j bi,j )
de Mn (R).
5

18a. Montrer que si U  Rn , alors U U T  Sn+ .

18b. Montrer que si A, B, C  Mn (R), on a A

(B + C) = (A

B) + (A

C).

18c. Montrer que si M  Sn+ , il existe des nombres réels positifs di  0 et des 
vecteurs
Ui  Rn , 1  i  n tels que
n
X
M=
di Ui UiT .
i=1

Indication : on pourra commencer par écrire M = P T DP où P  Mn (R) est une 
matrice
inversible et D  Mn (R) une matrice diagonale à coefficients positifs.

18d. En déduire que si A, B  Sn+ , alors A

B  Sn+ .

18e. Pour tout entier N  2, montrer que le produit de deux fonctions de type 
positif en
dimension N est de type positif en dimension N .

On rappelle que, pour tout entier n  0, il existe un unique polynôme Tn de 
degré n tel que,
pour tout   R, Tn (cos ) = cos(n).

19. Montrer que les polynômes Tn sont des fonctions de type positif en 
dimension 2.
Indication : on pourra utiliser la forme exponentielle du cosinus.

On admettra, dans la suite du problème, que pour tout entier n  0 et tout 
entier N  4, le
( N -1)

polynôme an 2

est de type positif en dimension N .

Pour un entier N  2, on dit qu'un polynôme P  R[X] est N -conductif si, pour 
toute
fonction absolument monotone f de [-1, 1] dans R, le polynôme H(f, P ) est une 
fonction de
type positif en dimension N .

20. Soient P1 et P2 deux polynômes N -conductifs. Montrer que si P1 est de type 
positif en
dimension N , alors P1 P2 est N -conductif.
( N -1)

On fixe un entier N  4 et un entier n  2. On admet que le polynôme an 2
possède n
racines réelles simples r1 > r2 > · · · > rn dans ]-1, 1[. Soit f : [-1, 1]  R 
une fonction
absolument monotone.

21. Montrer que le polynôme H

!
n
Y
f, (X - ri ) est une fonction de type positif en dii=1

mension N .

6