ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMI SSION 2021
MARDI 13 AVRIL 2021
08h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 3
MATHEMATIQUES B (X)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
Dans tout le sujet, (9,2, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront
définies les dif-
férentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires
introduites peuvent
bien être construites sur cet espace. On note P(A) la probabilité d'un
événement À EUR Q et
E(X) l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.7, P) à valeurs réelles.
On rappelle que si s EUR ]1,+o, la série 57% n° converge et on note Ç(s) sa
limite.
On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N° suit la loi zeta de
paramètre s > 1 si,
pour tout n EUR N*,
Sin EUR N* et pest un nombre premier, on note v,(n) la valuation de n en p. On
note également
(Px)k>1 la suite croissante des nombres premiers.
Sin EUR N*, on pose, x4(2n) = 0 et x4(2n -- 1) = (--1)"-{. On pourra utiliser
sans justification
que, pour m et n dans N*, on a yx4(mn) = xa(m)xa(n).
Le sujet comporte quatre parties, et les parties IT et IIT sont indépendantes
de la partie I.
Partie I
Soit s > 1 un nombre réel et soit À une variable aléatoire à valeurs dans N°
suivant la loi
zeta de paramètre s. Si n EUR N*, on note {n | X} l'évènement « n divise X » et
{n { X}
l'évènement complémentaire.
la. Calculer P(n | X) pour n EUR N*.
1b. Soit (a;);en+ une suite d'entiers naturels. Montrer que les évènements
{PET X}, {n° | À}... {pe | X7,...
sont mutuellement indépendants.
2a. Soit r > 1 un entier. Montrer que
r
P(Quixt) -TTe 750)
i=1
2b. En déduire que
n
GS) 1= lim [IG -75°).
k=1
3a. Montrer que pour tout k EUR N*, la variable aléatoire v,, (X) + 1 suit la
loi géométrique
de paramètre (1 -- p;°).
3b. Montrer que, pour r EUR N°, ki <--- < k, dans N* et (n1,...,n,) E N',on a P (pr, (X) = n1,..., Up (X) = Nr) = d_(-1) > P(upe, (À) 2 1 + EUR1, Up, (À) 2 2 + 62,2, pe (X) 2 Nr + Er).
£--=0 (£1,...,EURr)E{0,1}"
E1 + +Er--£
3c. En déduire que les variables aléatoires ,, (X),...,1,, (X),... sont
mutuellement indé-
pendantes.
Si n EUR N*, on note, pour à EUR {0,1,2,3},
rifn) = Card{de N:d=il4l et din}.
On pose g(n) = r1(n) -- ra(n).
Aa. Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre
eux, on a
g(mn) = g(m)g(n).
Ab. Montrer que, pour tout n EUR N, et tout nombre premier p, on à
1 si p = 2,
g(p)=4n+1 sip=11),
2(+(-1)7) sip=3{4].
5. Soit (fn)n>1 une suite de fonctions de N* dans R telle que, pour tout x EUR
N*, la suite
(fn(t))n>1 converge vers un réel f(x) quand n tend vers +oo. On suppose qu'il
existe une
fonction À : N* -- [0, +! telle que A(X) est d'espérance finie et telle que
|f,(m)|] < h(m) pour tous m et n dans N*. Justifier que E(f(X)) est d'espérance finie et montrer que lim E(fn(X)) = E(F(X)): n--++00 +00 6a. On note r(n) le nombre de diviseurs d > 1 de n. Montrer que la serie S_r(nin
n=1l
converge et que sa somme vaut ((s)°.
+00
6b. En déduire que la série > g(n)n * converge.
n=1l
7a. Montrer que la suite de fonctions (x = [[:- pe k ) de N* dans N* converge
sim-
nZ2
plement vers la fonction identité.
n
7b. Montrer que E(g(X)) = lim E (te).
n-- +00
k=1
8a. Montrer que si p est un nombre premier tel que p = 1{4|, on a
EGP) =
8b. Calculer E(g(p?%))) si p est un nombre premier vérifiant p = 3 [4].
8c. En déduire
9a. Montrer que, si p est un nombre premier,
l ... --S
Vp(X) -- D
E (ut ) L-- Xa(p)pS
9b. Montrer que
1 - l
PORN EE |
DE Gore
9c. En déduire que la série
est convergente et que sa somme vaut E(g(X)).
Partie II
10a. Soit n EUR N. Expliciter un polynôme P, EUR R|X\ tel que, pour tout 0 ER,
sin((2n + 1)0) = sin(0)P, (sin(8)).
Indication : on pourra développer (cos(0) + isin(9))27T+.
10b. Déterminer les racines de P,, et en déduire que, pour tout x EUR KR,
PA(x) = (2n+0 [| F _ rs) |
k=1 2n+1
10c. En déduire que, pour tout x EUR KR,
re) = On + ain) TT] (1 -
SINTTL) -- (2 S11] PT .
2n +12 sin?(5%7)
Soit x E R \Z. Soit m EUR N tel que m > |x|. On pose, pour n EUR N tel que n >
m :
) Ds TX _ sin"( 7)
Umn(®) = (2n + sn D IT se)
moe À (-)
k=m+1
11a. Montrer que les suites, indexées par n, (unn(t))}n>m EURt (Umn(T))n>m Sont
conver-
gentes dans R*.
On note vA(x) la limite de (vmn(tT))n>m-
11b. Montrer que, pour n EUR N tel que n > m,ona
n 2.2
1 > Umn(T) 2 II U-T)
et en déduire que lim vn(x) = 1.
m--+00
11c. En déduire que, pour tout x EUR KR,
n-- +00
sin(rx) = 7x lim (: -- 3)
=1
Partie III
On rappelle que la suite (OO k"1) -- Im(n)) converge. On note y sa limite.
Soit n EUR N*. Pour x EUR |0,+oo|, on pose
1 n etk
--_ 6h VT
lh(x) -- = EUR il Dia
12. Montrer que la suite de fonctions (T,),>1 converge simplement sur ]0, +]
vers une
fonction l de 10, +! vers [0, +.
13. Montrer que, pour tout x EUR [0, +, on a l'(x +1) = xl(x).
14a. Montrer que la fonction L' est de classe #7? et que, pour tout x EUR
]0,+ool,
+00 1
(n(T))"(x) = > +R?
k=--0
14b. Montrer que lim (In(T))""(x) = 0.
LT--Tro
Soit f : ]0,+oo[ -- ]0,+o0[ une fonction de classe EUR? telle que la fonction
In(f) est convexe
et vérifie f(1) = 1 et f(x +1) = xf(x) pour tout x > 0.
15a. Montrer que la fonction
J0,+oo[ -- R
9: x > In (2)
r
(x
est l-périodique et convexe.
15b. En déduire que f = Tr.
16. Montrer que pour tous a EUR |0, + et x EUR |0, +oo :
[" tr 1 _ T(x)T(a)
o (1+t)r+a ao
Indication : on pourra poser, pour x EUR ]0,+oo{, f(x) -- Re LT mr dt.
17. Montrer que pour tout x EUR [0,1!:
+00 Ft 1 T
dt = --
o l1+6# sin(Tx)
Partie IV
18a. Montrer que pour tout x EUR [0,1{:
sin(Tx) n+tr n+l-x
18c. En déduire que la fonction :
est développable en série entière et que, pour tout k EUR N\,
+
ae (--1 n r2k+1
TE,
2 (On + LD 22 PE)
où, pour tout # EUR N, Ex = vP#)(0).
19a. Montrer que, pour n EUR N*,
k=--0
et en déduire les valeurs de ÆEo, E2 et Eu.
19b. Calculer E(g(X)) lorsque X est une variable aléatoire suivant la loi zeta
de paramètre
3 puis de paramètre 5.
X Maths B MP 2021 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (professeur en CPGE) ; il a été
relu
par Jean-Paul Bonnet (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet tourne autour d'une loi de probabilité construite sur la fonction zeta
de
Riemann.
· Dans la partie I, qui demande d'être au point sur les cours d'arithmétique de
MPSI et de probabilités de MP, on étudie une variable aléatoire X suivant la
loi zeta de paramètre s > 1, caractérisée par
k N
P(X = k) = (s)-1 k -s
où (s) =
+
X
1
ns
n=1
En utilisant deux fonctions arithmétiques multiplicatives particulières (notées
g
et 4 dans le sujet), on établit entre autres la formule du produit eulérien pour
la fonction : si (pk )kN est la suite des nombres premiers,
+
Y
1
1
=
1- s
(s)
pk
k=1
· La partie II traite d'une famille de polynômes voisine des polynômes de
Tchebychev afin d'établir la formule
+
Y
x2
sin(x) = x
1- 2
k
k=1
Cette partie n'utilise que le programme de MPSI.
· La partie suivante définit la fonction comme limite simple d'une suite de
fonctions, et en établit la caractérisation comme l'unique fonction log-convexe
telle que (1) = 1 et satisfaisant l'équation (x + 1) = x (x), afin d'en déduire
les formules suivantes :
Z +
tx-1
(x) (a)
=
dt
(x + a)
(1 + t)x+a
0
Z + x-1
t
=
dt
sin(x)
1+t
0
· La partie IV étudie une suite de rationnels, voisine de celle des nombres de
Bernoulli, intervenant dans le développement en série entière de 1/ cos x et qui
permettent d'obtenir des expressions exactes des sommes de séries
+
X
(-1)n
(2n + 1)2k+1
n=0
avec k N
Ce sujet est trop long pour être traité en totalité dans le temps imparti ; sa
difficulté est en adéquation avec la sélectivité du concours.
Il établit une panoplie de résultats très plaisants, tout en balayant une large
partie du programme : probabilités, arithmétique dans Z, théorème de convergence
dominée et corollaires, calcul algébrique dans C, polynômes, convexité des
fonctions
de la variable réelle, familles sommables.
Pour ces raisons, il constitue un bon sujet de révision avant les écrits.
Indications
1.a Revenir à la définition de la divisibilité afin d'écrire l'événement {n |
X} comme
réunion disjointe dénombrable d'événements de référence pour X.
1.b Commencer par rappeler pourquoi si n = pk1 1 · · · pk` ` (décomposition en
facteurs premiers) et x un entier, alors n divise x si et seulement si pour
tout j
compris entre 1 et `, pkj j divise x.
2.a Les événements {pj j - X} sont mutuellement indépendants.
2.b Quel est l'unique entier positif qui ne possède aucun diviseur premier ?
3.a Calculer pour commencer la probabilité des événements {pk (X) > }.
3.b Étudier et comprendre ce qui se passe pour les petites valeurs de r.
3.c Commencer par constater l'indépendance des événements {pkj (X) > nj }.
4.a Commencer par établir que l'application (h, k) 7 hk induit une bijection de
l'ensemble des couples (diviseur de m, diviseur de n) vers l'ensemble des
diviseurs de mn.
4.b Identifier les diviseurs de pn , et s'intéresser à leur congruence modulo 4.
5 Penser au théorème de la double limite.
6.a Faire un calcul de familles sommables.
7.b Utiliser les résultats des questions 4.a, 7.a et 5.
8.a Utiliser les résultats des questions 3.a et 4.b.
8.b Appliquer le théorème de transfert avec la variable aléatoire p (X) + 1 qui
suit
une loi géométrique.
10.a Utiliser la formule du binôme, et séparer la somme selon la parité des
indices
obtenus.
10.b Le polynôme Pn a le bon nombre de racines évidentes. En déduire une
factorisation de Pn comprenant le terme Pn (0) que l'on calculera en utilisant
l'énoncé
de la question 10.a.
11.a Que vaut le produit um,n (x) vm,n (x) ?
11.b Utiliser la concavité de la fonction sin sur l'intervalle [ 0 ; /2 ].
12 Étudier la série de terme général ln n (x) - ln n-1 (x) .
x n (x)
13 Déterminer, lorsque n tend vers l'infini, un équivalent à x fixé de
.
n (x + 1)
14.a Appliquer le théorème de dérivation d'une limite de fonctions à la suite
(n )nN .
14.b Faire un décalage d'indice judicieux (sans oublier que x n'est pas supposé
être
un entier), ou appliquer le théorème de la double limite.
15.a Pour la convexité de S, constater que S00 (x) = S00 (x + n) pour tout n N.
16 Utiliser les questions précédentes et une intégration par parties.
17 Appliquer le résultat de la question 16 avec a = 1 - x, et utiliser la suite
de
fonctions (n )nN .
18.a Couper l'intégrale en deux, et appliquer le théorème de convergence dominée
aux suites des sommes partielles des séries de fonctions.
18.b Appliquer le résultat de la question 18.a avec x + 1/2. Pour
l'interversion des
sommes, traiter à part les indices où k = 0.
19.a Remarquer que, pour tout x, v(x) cos x = 1, et utiliser l'unicité du
développement en série entière.
19.b Utiliser les résultats des questions 9.c, 18.c et 19.a.
Publié dans les Annales des Concours
Partie I
1.a
Dans toute la suite, on note P la probabilité.
Rappelons que si x est un entier, alors n divise x si et seulement si il existe
k Z
tel que x = k n. De plus, si x > 0 et n > 0, on a alors k N . Enfin, un tel k
est
unique (k = x/n). Il s'ensuit que l'événement {n | X} = { ; n | X()} s'écrit
comme réunion disjointe (dénombrable) d'événements :
S
{n | X} =
{X = kn}
k=1
Par -additivité, il vient alors, puisque X suit la loi zeta de paramètre s :
P(n | X) =
+
X
P(X = kn) =
k=1
k=1
+
1
1 X1
= s
s
(s)(kn)
n (s)
ks
k=1
P(n | X) = 1/ns
soit, en simplifiant,
1.b
+
X
Montrer que les événements Ai , i N , sont mutuellement indépendants,
c'est montrer que pour tout k N et tout k-uplet (i1 , i2 , . . . , ik ) (N )k
tel
que i1 < i2 < · · · < ik , P(Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Aik ) En notant J = {i1 ; i2 ; · · · ; ik }, montrer que les Ai sont mutuellement indépendants revient donc à montrer que pour toute partie finie J de N , on a T Q P Ai = P(Ai ) iJ iJ On adopte ici cette notation afin de limiter les indices imbriqués. Soit J une partie finie de N . Comme les pj sont des nombres premiers deux à deux résultat du distincts, les pj j sont en particulier deux à deux premiers entre eux. Q Un pj j divise x si, cours d'arithmétique stipule que, si x est un entier positif, alors jJ et seulement si, pour tout j J, pj j divise x. De fait, \ Y {pj j | X} = pj j X jJ Il en découle que jJ \ Q P {pj j | X} = P pj j X par ce qui précède jJ jJ = Y pj j -s (question 1.a) jJ = Y (pj j )-s \ jJ Y j P {pj | X} = P(pj j | X) jJ Ainsi, (question 1.a) jJ Les événements {pj j | X} sont mutuellement indépendants. Publié dans les Annales des Concours 2.a Comme les {pj j | X} sont mutuellement indépendants, la famille des complémentaires {pj j - X} est aussi une famille d'événements mutuellement indépendants. r r \ Y Par conséquent, P {pi - X} = P(pi - X) i=1 i=1 Or justement, {pi - X} étant l'événement complémentaire de {pi | X}, on a, en utilisant la question 1.a, P(pi - X) = 1 - P(pi | X) = 1 - pi -s . Finalement, P r \ r Y {pi - X} = (1 - pi -s ) i=1 i=1 2.b Tout entier strictement supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier. Autrement dit, 1 est le seul entier strictement positif n'ayant aucun diviseur premier. Par conséquent : \ {pk - X} = {X = 1} kN Par continuité décroissante, il vient n Y k=1 (1 - pk -s n \ {pk - X} ----- P(X = 1) = )=P n+ k=1 1 (s) n On a bien Y 1 = lim (1 - pk -s ) + (s) n k=1 Cette formule établie sur la fonction est appelée produit eulérien. 3.a Tout d'abord, p étant une application de N vers N, et X étant une variable aléatoire à valeurs dans N , p (X) est une variable aléatoire à valeurs dans N, donc La variable aléatoire p (X) + 1 est à valeurs dans N . Fixons N. Pour x N , et p nombre premier, constatons que, d'une part, on a p (x) + 1 > si et seulement si p-1 divise x. Il s'ensuit que
pk (X) + 1 > = pk -1 | X
D'autre part, on a également la décomposition en union disjointe suivante
pk (X) + 1 > = pk (X) + 1 = pk (X) + 1 > + 1
On a donc
P(pk (X) + 1 = ) = P(pk (X) + 1 > ) - P(pk (X) > )
= P(pk -1 | X) - P(pk | X)
= pk -(-1)s - pk -s
-1
P(pk (X) + 1 = ) = 1 - pk -s pk -s
Ainsi,
pk (X) + 1 suit une loi géométrique de paramètre 1 - pk -s .