Thème de l'épreuve | Autour de la loi zêta |
Principaux outils utilisés | probabilités, arithmétique, intégration, polynômes, convexité, familles sommables |
Mots clefs | produit Eulérien, fonction Gamma, fonctions arithmétiques multiplicatives, fonction zêta, loi zêta |
ECOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMI SSION 2021 MARDI 13 AVRIL 2021 08h00 - 12h00 FILIERE MP - Epreuve n° 3 MATHEMATIQUES B (X) Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve Dans tout le sujet, (9,2, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les dif- férentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On note P(A) la probabilité d'un événement À EUR Q et E(X) l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.7, P) à valeurs réelles. On rappelle que si s EUR ]1,+o, la série 57% n° converge et on note Ç(s) sa limite. On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N° suit la loi zeta de paramètre s > 1 si, pour tout n EUR N*, Sin EUR N* et pest un nombre premier, on note v,(n) la valuation de n en p. On note également (Px)k>1 la suite croissante des nombres premiers. Sin EUR N*, on pose, x4(2n) = 0 et x4(2n -- 1) = (--1)"-{. On pourra utiliser sans justification que, pour m et n dans N*, on a yx4(mn) = xa(m)xa(n). Le sujet comporte quatre parties, et les parties IT et IIT sont indépendantes de la partie I. Partie I Soit s > 1 un nombre réel et soit À une variable aléatoire à valeurs dans N° suivant la loi zeta de paramètre s. Si n EUR N*, on note {n | X} l'évènement « n divise X » et {n { X} l'évènement complémentaire. la. Calculer P(n | X) pour n EUR N*. 1b. Soit (a;);en+ une suite d'entiers naturels. Montrer que les évènements {PET X}, {n° | À}... {pe | X7,... sont mutuellement indépendants. 2a. Soit r > 1 un entier. Montrer que r P(Quixt) -TTe 750) i=1 2b. En déduire que n GS) 1= lim [IG -75°). k=1 3a. Montrer que pour tout k EUR N*, la variable aléatoire v,, (X) + 1 suit la loi géométrique de paramètre (1 -- p;°). 3b. Montrer que, pour r EUR N°, ki <--- < k, dans N* et (n1,...,n,) E N',on a P (pr, (X) = n1,..., Up (X) = Nr) = d_(-1) > P(upe, (À) 2 1 + EUR1, Up, (À) 2 2 + 62,2, pe (X) 2 Nr + Er). £--=0 (£1,...,EURr)E{0,1}" E1 + +Er--£ 3c. En déduire que les variables aléatoires ,, (X),...,1,, (X),... sont mutuellement indé- pendantes. Si n EUR N*, on note, pour à EUR {0,1,2,3}, rifn) = Card{de N:d=il4l et din}. On pose g(n) = r1(n) -- ra(n). Aa. Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux, on a g(mn) = g(m)g(n). Ab. Montrer que, pour tout n EUR N, et tout nombre premier p, on à 1 si p = 2, g(p)=4n+1 sip=11), 2(+(-1)7) sip=3{4]. 5. Soit (fn)n>1 une suite de fonctions de N* dans R telle que, pour tout x EUR N*, la suite (fn(t))n>1 converge vers un réel f(x) quand n tend vers +oo. On suppose qu'il existe une fonction À : N* -- [0, +! telle que A(X) est d'espérance finie et telle que |f,(m)|] < h(m) pour tous m et n dans N*. Justifier que E(f(X)) est d'espérance finie et montrer que lim E(fn(X)) = E(F(X)): n--++00 +00 6a. On note r(n) le nombre de diviseurs d > 1 de n. Montrer que la serie S_r(nin n=1l converge et que sa somme vaut ((s)°. +00 6b. En déduire que la série > g(n)n * converge. n=1l 7a. Montrer que la suite de fonctions (x = [[:- pe k ) de N* dans N* converge sim- nZ2 plement vers la fonction identité. n 7b. Montrer que E(g(X)) = lim E (te). n-- +00 k=1 8a. Montrer que si p est un nombre premier tel que p = 1{4|, on a EGP) = 8b. Calculer E(g(p?%))) si p est un nombre premier vérifiant p = 3 [4]. 8c. En déduire 9a. Montrer que, si p est un nombre premier, l ... --S Vp(X) -- D E (ut ) L-- Xa(p)pS 9b. Montrer que 1 - l PORN EE | DE Gore 9c. En déduire que la série est convergente et que sa somme vaut E(g(X)). Partie II 10a. Soit n EUR N. Expliciter un polynôme P, EUR R|X\ tel que, pour tout 0 ER, sin((2n + 1)0) = sin(0)P, (sin(8)). Indication : on pourra développer (cos(0) + isin(9))27T+. 10b. Déterminer les racines de P,, et en déduire que, pour tout x EUR KR, PA(x) = (2n+0 [| F _ rs) | k=1 2n+1 10c. En déduire que, pour tout x EUR KR, re) = On + ain) TT] (1 - SINTTL) -- (2 S11] PT . 2n +12 sin?(5%7) Soit x E R \Z. Soit m EUR N tel que m > |x|. On pose, pour n EUR N tel que n > m : ) Ds TX _ sin"( 7) Umn(®) = (2n + sn D IT se) moe À (-) k=m+1 11a. Montrer que les suites, indexées par n, (unn(t))}n>m EURt (Umn(T))n>m Sont conver- gentes dans R*. On note vA(x) la limite de (vmn(tT))n>m- 11b. Montrer que, pour n EUR N tel que n > m,ona n 2.2 1 > Umn(T) 2 II U-T) et en déduire que lim vn(x) = 1. m--+00 11c. En déduire que, pour tout x EUR KR, n-- +00 sin(rx) = 7x lim (: -- 3) =1 Partie III On rappelle que la suite (OO k"1) -- Im(n)) converge. On note y sa limite. Soit n EUR N*. Pour x EUR |0,+oo|, on pose 1 n etk --_ 6h VT lh(x) -- = EUR il Dia 12. Montrer que la suite de fonctions (T,),>1 converge simplement sur ]0, +] vers une fonction l de 10, +! vers [0, +. 13. Montrer que, pour tout x EUR [0, +, on a l'(x +1) = xl(x). 14a. Montrer que la fonction L' est de classe #7? et que, pour tout x EUR ]0,+ool, +00 1 (n(T))"(x) = > +R? k=--0 14b. Montrer que lim (In(T))""(x) = 0. LT--Tro Soit f : ]0,+oo[ -- ]0,+o0[ une fonction de classe EUR? telle que la fonction In(f) est convexe et vérifie f(1) = 1 et f(x +1) = xf(x) pour tout x > 0. 15a. Montrer que la fonction J0,+oo[ -- R 9: x > In (2) r (x est l-périodique et convexe. 15b. En déduire que f = Tr. 16. Montrer que pour tous a EUR |0, + et x EUR |0, +oo : [" tr 1 _ T(x)T(a) o (1+t)r+a ao Indication : on pourra poser, pour x EUR ]0,+oo{, f(x) -- Re LT mr dt. 17. Montrer que pour tout x EUR [0,1!: +00 Ft 1 T dt = -- o l1+6# sin(Tx) Partie IV 18a. Montrer que pour tout x EUR [0,1{: sin(Tx) n+tr n+l-x 18c. En déduire que la fonction : est développable en série entière et que, pour tout k EUR N\, + ae (--1 n r2k+1 TE, 2 (On + LD 22 PE) où, pour tout # EUR N, Ex = vP#)(0). 19a. Montrer que, pour n EUR N*, k=--0 et en déduire les valeurs de ÆEo, E2 et Eu. 19b. Calculer E(g(X)) lorsque X est une variable aléatoire suivant la loi zeta de paramètre 3 puis de paramètre 5.
X Maths B MP 2021 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Jean Starynkévitch (professeur en CPGE) ; il a été relu par Jean-Paul Bonnet (professeur en CPGE) et Benoit Chevalier (ENS Ulm). Ce sujet tourne autour d'une loi de probabilité construite sur la fonction zeta de Riemann. · Dans la partie I, qui demande d'être au point sur les cours d'arithmétique de MPSI et de probabilités de MP, on étudie une variable aléatoire X suivant la loi zeta de paramètre s > 1, caractérisée par k N P(X = k) = (s)-1 k -s où (s) = + X 1 ns n=1 En utilisant deux fonctions arithmétiques multiplicatives particulières (notées g et 4 dans le sujet), on établit entre autres la formule du produit eulérien pour la fonction : si (pk )kN est la suite des nombres premiers, + Y 1 1 = 1- s (s) pk k=1 · La partie II traite d'une famille de polynômes voisine des polynômes de Tchebychev afin d'établir la formule + Y x2 sin(x) = x 1- 2 k k=1 Cette partie n'utilise que le programme de MPSI. · La partie suivante définit la fonction comme limite simple d'une suite de fonctions, et en établit la caractérisation comme l'unique fonction log-convexe telle que (1) = 1 et satisfaisant l'équation (x + 1) = x (x), afin d'en déduire les formules suivantes : Z + tx-1 (x) (a) = dt (x + a) (1 + t)x+a 0 Z + x-1 t = dt sin(x) 1+t 0 · La partie IV étudie une suite de rationnels, voisine de celle des nombres de Bernoulli, intervenant dans le développement en série entière de 1/ cos x et qui permettent d'obtenir des expressions exactes des sommes de séries + X (-1)n (2n + 1)2k+1 n=0 avec k N Ce sujet est trop long pour être traité en totalité dans le temps imparti ; sa difficulté est en adéquation avec la sélectivité du concours. Il établit une panoplie de résultats très plaisants, tout en balayant une large partie du programme : probabilités, arithmétique dans Z, théorème de convergence dominée et corollaires, calcul algébrique dans C, polynômes, convexité des fonctions de la variable réelle, familles sommables. Pour ces raisons, il constitue un bon sujet de révision avant les écrits. Indications 1.a Revenir à la définition de la divisibilité afin d'écrire l'événement {n | X} comme réunion disjointe dénombrable d'événements de référence pour X. 1.b Commencer par rappeler pourquoi si n = pk1 1 · · · pk` ` (décomposition en facteurs premiers) et x un entier, alors n divise x si et seulement si pour tout j compris entre 1 et `, pkj j divise x. 2.a Les événements {pj j - X} sont mutuellement indépendants. 2.b Quel est l'unique entier positif qui ne possède aucun diviseur premier ? 3.a Calculer pour commencer la probabilité des événements {pk (X) > }. 3.b Étudier et comprendre ce qui se passe pour les petites valeurs de r. 3.c Commencer par constater l'indépendance des événements {pkj (X) > nj }. 4.a Commencer par établir que l'application (h, k) 7 hk induit une bijection de l'ensemble des couples (diviseur de m, diviseur de n) vers l'ensemble des diviseurs de mn. 4.b Identifier les diviseurs de pn , et s'intéresser à leur congruence modulo 4. 5 Penser au théorème de la double limite. 6.a Faire un calcul de familles sommables. 7.b Utiliser les résultats des questions 4.a, 7.a et 5. 8.a Utiliser les résultats des questions 3.a et 4.b. 8.b Appliquer le théorème de transfert avec la variable aléatoire p (X) + 1 qui suit une loi géométrique. 10.a Utiliser la formule du binôme, et séparer la somme selon la parité des indices obtenus. 10.b Le polynôme Pn a le bon nombre de racines évidentes. En déduire une factorisation de Pn comprenant le terme Pn (0) que l'on calculera en utilisant l'énoncé de la question 10.a. 11.a Que vaut le produit um,n (x) vm,n (x) ? 11.b Utiliser la concavité de la fonction sin sur l'intervalle [ 0 ; /2 ]. 12 Étudier la série de terme général ln n (x) - ln n-1 (x) . x n (x) 13 Déterminer, lorsque n tend vers l'infini, un équivalent à x fixé de . n (x + 1) 14.a Appliquer le théorème de dérivation d'une limite de fonctions à la suite (n )nN . 14.b Faire un décalage d'indice judicieux (sans oublier que x n'est pas supposé être un entier), ou appliquer le théorème de la double limite. 15.a Pour la convexité de S, constater que S00 (x) = S00 (x + n) pour tout n N. 16 Utiliser les questions précédentes et une intégration par parties. 17 Appliquer le résultat de la question 16 avec a = 1 - x, et utiliser la suite de fonctions (n )nN . 18.a Couper l'intégrale en deux, et appliquer le théorème de convergence dominée aux suites des sommes partielles des séries de fonctions. 18.b Appliquer le résultat de la question 18.a avec x + 1/2. Pour l'interversion des sommes, traiter à part les indices où k = 0. 19.a Remarquer que, pour tout x, v(x) cos x = 1, et utiliser l'unicité du développement en série entière. 19.b Utiliser les résultats des questions 9.c, 18.c et 19.a. Publié dans les Annales des Concours Partie I 1.a Dans toute la suite, on note P la probabilité. Rappelons que si x est un entier, alors n divise x si et seulement si il existe k Z tel que x = k n. De plus, si x > 0 et n > 0, on a alors k N . Enfin, un tel k est unique (k = x/n). Il s'ensuit que l'événement {n | X} = { ; n | X()} s'écrit comme réunion disjointe (dénombrable) d'événements : S {n | X} = {X = kn} k=1 Par -additivité, il vient alors, puisque X suit la loi zeta de paramètre s : P(n | X) = + X P(X = kn) = k=1 k=1 + 1 1 X1 = s s (s)(kn) n (s) ks k=1 P(n | X) = 1/ns soit, en simplifiant, 1.b + X Montrer que les événements Ai , i N , sont mutuellement indépendants, c'est montrer que pour tout k N et tout k-uplet (i1 , i2 , . . . , ik ) (N )k tel que i1 < i2 < · · · < ik , P(Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 )P(Ai2 ) · · · P(Aik ) En notant J = {i1 ; i2 ; · · · ; ik }, montrer que les Ai sont mutuellement indépendants revient donc à montrer que pour toute partie finie J de N , on a T Q P Ai = P(Ai ) iJ iJ On adopte ici cette notation afin de limiter les indices imbriqués. Soit J une partie finie de N . Comme les pj sont des nombres premiers deux à deux résultat du distincts, les pj j sont en particulier deux à deux premiers entre eux. Q Un pj j divise x si, cours d'arithmétique stipule que, si x est un entier positif, alors jJ et seulement si, pour tout j J, pj j divise x. De fait, \ Y {pj j | X} = pj j X jJ Il en découle que jJ \ Q P {pj j | X} = P pj j X par ce qui précède jJ jJ = Y pj j -s (question 1.a) jJ = Y (pj j )-s \ jJ Y j P {pj | X} = P(pj j | X) jJ Ainsi, (question 1.a) jJ Les événements {pj j | X} sont mutuellement indépendants. Publié dans les Annales des Concours 2.a Comme les {pj j | X} sont mutuellement indépendants, la famille des complémentaires {pj j - X} est aussi une famille d'événements mutuellement indépendants. r r \ Y Par conséquent, P {pi - X} = P(pi - X) i=1 i=1 Or justement, {pi - X} étant l'événement complémentaire de {pi | X}, on a, en utilisant la question 1.a, P(pi - X) = 1 - P(pi | X) = 1 - pi -s . Finalement, P r \ r Y {pi - X} = (1 - pi -s ) i=1 i=1 2.b Tout entier strictement supérieur à 1 possède au moins un diviseur premier. Autrement dit, 1 est le seul entier strictement positif n'ayant aucun diviseur premier. Par conséquent : \ {pk - X} = {X = 1} kN Par continuité décroissante, il vient n Y k=1 (1 - pk -s n \ {pk - X} ----- P(X = 1) = )=P n+ k=1 1 (s) n On a bien Y 1 = lim (1 - pk -s ) + (s) n k=1 Cette formule établie sur la fonction est appelée produit eulérien. 3.a Tout d'abord, p étant une application de N vers N, et X étant une variable aléatoire à valeurs dans N , p (X) est une variable aléatoire à valeurs dans N, donc La variable aléatoire p (X) + 1 est à valeurs dans N . Fixons N. Pour x N , et p nombre premier, constatons que, d'une part, on a p (x) + 1 > si et seulement si p-1 divise x. Il s'ensuit que pk (X) + 1 > = pk -1 | X D'autre part, on a également la décomposition en union disjointe suivante pk (X) + 1 > = pk (X) + 1 = pk (X) + 1 > + 1 On a donc P(pk (X) + 1 = ) = P(pk (X) + 1 > ) - P(pk (X) > ) = P(pk -1 | X) - P(pk | X) = pk -(-1)s - pk -s -1 P(pk (X) + 1 = ) = 1 - pk -s pk -s Ainsi, pk (X) + 1 suit une loi géométrique de paramètre 1 - pk -s .