X Maths B MP 2021

ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMI SSION 2021

MARDI 13 AVRIL 2021
08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Dans tout le sujet, (9,2, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront 
définies les dif-
férentes variables aléatoires. On admet que toutes les variables aléatoires 
introduites peuvent
bien être construites sur cet espace. On note P(A) la probabilité d'un 
événement À EUR Q et
E(X) l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.7, P) à valeurs réelles.

On rappelle que si s EUR ]1,+o, la série 57% n° converge et on note Ç(s) sa 
limite.

On dit qu'une variable aléatoire X à valeurs dans N° suit la loi zeta de 
paramètre s > 1 si,
pour tout n EUR N*,

Sin EUR N* et pest un nombre premier, on note v,(n) la valuation de n en p. On 
note également
(Px)k>1 la suite croissante des nombres premiers.

Sin EUR N*, on pose, x4(2n) = 0 et x4(2n -- 1) = (--1)"-{. On pourra utiliser 
sans justification
que, pour m et n dans N*, on a yx4(mn) = xa(m)xa(n).

Le sujet comporte quatre parties, et les parties IT et IIT sont indépendantes 
de la partie I.

Partie I

Soit s > 1 un nombre réel et soit À une variable aléatoire à valeurs dans N° 
suivant la loi
zeta de paramètre s. Si n EUR N*, on note {n | X} l'évènement « n divise X » et 
{n { X}
l'évènement complémentaire.

la. Calculer P(n | X) pour n EUR N*.

1b. Soit (a;);en+ une suite d'entiers naturels. Montrer que les évènements

{PET X}, {n° | À}... {pe | X7,...

sont mutuellement indépendants.

2a. Soit r > 1 un entier. Montrer que

r

P(Quixt) -TTe 750)

i=1

2b. En déduire que

n

GS) 1= lim [IG -75°).
k=1

3a. Montrer que pour tout k EUR N*, la variable aléatoire v,, (X) + 1 suit la 
loi géométrique
de paramètre (1 -- p;°).

3b. Montrer que, pour r EUR N°, ki <--- < k, dans N* et (n1,...,n,) E N',on a P (pr, (X) = n1,..., Up (X) = Nr) = d_(-1) > P(upe, (À) 2 1 + EUR1, Up, (À) 2 2 + 62,2, pe (X) 2 Nr + Er).

£--=0 (£1,...,EURr)E{0,1}"
E1 + +Er--£
3c. En déduire que les variables aléatoires ,, (X),...,1,, (X),... sont 
mutuellement indé-
pendantes.

Si n EUR N*, on note, pour à EUR {0,1,2,3},
rifn) = Card{de N:d=il4l et din}.
On pose g(n) = r1(n) -- ra(n).

Aa. Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls et premiers entre 
eux, on a
g(mn) = g(m)g(n).

Ab. Montrer que, pour tout n EUR N, et tout nombre premier p, on à

1 si p = 2,
g(p)=4n+1 sip=11),
2(+(-1)7) sip=3{4].

5. Soit (fn)n>1 une suite de fonctions de N* dans R telle que, pour tout x EUR 
N*, la suite
(fn(t))n>1 converge vers un réel f(x) quand n tend vers +oo. On suppose qu'il 
existe une
fonction À : N* -- [0, +! telle que A(X) est d'espérance finie et telle que 
|f,(m)|] < h(m) pour tous m et n dans N*. Justifier que E(f(X)) est d'espérance finie et montrer que lim E(fn(X)) = E(F(X)): n--++00 +00 6a. On note r(n) le nombre de diviseurs d > 1 de n. Montrer que la serie S_r(nin

n=1l
converge et que sa somme vaut ((s)°.

+00
6b. En déduire que la série > g(n)n * converge.
n=1l

7a. Montrer que la suite de fonctions (x = [[:- pe k ) de N* dans N* converge 
sim-
nZ2

plement vers la fonction identité.

n

7b. Montrer que E(g(X)) = lim E (te).

n-- +00
k=1

8a. Montrer que si p est un nombre premier tel que p = 1{4|, on a

EGP) =

8b. Calculer E(g(p?%))) si p est un nombre premier vérifiant p = 3 [4].

8c. En déduire

9a. Montrer que, si p est un nombre premier,

l ... --S
Vp(X) -- D
E (ut ) L-- Xa(p)pS
9b. Montrer que
1 - l
PORN EE |
DE Gore

9c. En déduire que la série

est convergente et que sa somme vaut E(g(X)).

Partie II

10a. Soit n EUR N. Expliciter un polynôme P, EUR R|X\ tel que, pour tout 0 ER,
sin((2n + 1)0) = sin(0)P, (sin(8)).

Indication : on pourra développer (cos(0) + isin(9))27T+.

10b. Déterminer les racines de P,, et en déduire que, pour tout x EUR KR,

PA(x) = (2n+0 [| F _ rs) |

k=1 2n+1

10c. En déduire que, pour tout x EUR KR,

re) = On + ain) TT] (1 -
SINTTL) -- (2 S11] PT .
2n +12 sin?(5%7)

Soit x E R \Z. Soit m EUR N tel que m > |x|. On pose, pour n EUR N tel que n > 
m :

) Ds TX _ sin"( 7)
Umn(®) = (2n + sn D IT se)

moe À (-)

k=m+1

11a. Montrer que les suites, indexées par n, (unn(t))}n>m EURt (Umn(T))n>m Sont 
conver-
gentes dans R*.
On note vA(x) la limite de (vmn(tT))n>m-
11b. Montrer que, pour n EUR N tel que n > m,ona

n 2.2
1 > Umn(T) 2 II U-T)

et en déduire que lim vn(x) = 1.
m--+00

11c. En déduire que, pour tout x EUR KR,

n-- +00

sin(rx) = 7x lim (: -- 3)
=1

Partie III

On rappelle que la suite (OO k"1) -- Im(n)) converge. On note y sa limite.
Soit n EUR N*. Pour x EUR |0,+oo|, on pose

1 n etk
--_ 6h VT
lh(x) -- = EUR il Dia

12. Montrer que la suite de fonctions (T,),>1 converge simplement sur ]0, +] 
vers une
fonction l de 10, +! vers [0, +.

13. Montrer que, pour tout x EUR [0, +, on a l'(x +1) = xl(x).

14a. Montrer que la fonction L' est de classe #7? et que, pour tout x EUR 
]0,+ool,

+00 1

(n(T))"(x) = > +R?

k=--0
14b. Montrer que lim (In(T))""(x) = 0.
LT--Tro

Soit f : ]0,+oo[ -- ]0,+o0[ une fonction de classe EUR? telle que la fonction 
In(f) est convexe
et vérifie f(1) = 1 et f(x +1) = xf(x) pour tout x > 0.

15a. Montrer que la fonction

J0,+oo[ -- R
9: x > In (2)

r

(x

est l-périodique et convexe.
15b. En déduire que f = Tr.

16. Montrer que pour tous a EUR |0, + et x EUR |0, +oo :

[" tr 1 _ T(x)T(a)
o  (1+t)r+a ao

Indication : on pourra poser, pour x EUR ]0,+oo{, f(x) -- Re LT mr dt.
17. Montrer que pour tout x EUR [0,1!:

+00 Ft 1 T
dt = --
o l1+6# sin(Tx)

Partie IV
18a. Montrer que pour tout x EUR [0,1{:
sin(Tx) n+tr n+l-x

18c. En déduire que la fonction :

est développable en série entière et que, pour tout k EUR N\,

+
ae (--1 n r2k+1

TE,
2 (On + LD 22 PE)

où, pour tout # EUR N, Ex = vP#)(0).

19a. Montrer que, pour n EUR N*,

k=--0

et en déduire les valeurs de ÆEo, E2 et Eu.

19b. Calculer E(g(X)) lorsque X est une variable aléatoire suivant la loi zeta 
de paramètre
3 puis de paramètre 5.