X Maths B MP 2020

Thème de l'épreuve Comportement asymptotique en probabilités et en intégration
Principaux outils utilisés Probabilités discrètes, Intégration à paramètre, équivalents, développements limités
Mots clefs équivalents, inégalités, développements limités, variables aléatoires finies, intégrales généralisées, variables de Rademacher, variables aléatoires mutuellement indépendantes, inégalités de déviation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2020

MARDI 21 AVRIL 2020 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B
(X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Les trois parties sont indépendantes.

Notations

Dans tout le sujet, (Q,.7, P) désigne un espace probabilisé sur lequel seront 
définies les
différentes variables aléatoires. On notera P[A] la probabilité d'un événement 
À EUR Q et EÏX]
l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.7, P) à valeurs réelles.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :

Si Y1,...,Y, sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement 
indépendantes et

intégrables, alors
EM :.-Yh] = EM]... EfY,|.

On note log la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose log 0 = 
--0co.

Première partie

Soit n > 1 un entier naturel, et soient (X1,..., X,) des variables aléatoires 
réelles discrètes
mutuellement indépendantes telles que, pour tout k EUR {1,...,n},

PIX% = 1] = P[Xz = -1] = =.
On définit
1 mm
Sn = --
5x
k=1
ainsi que, pour tout À EUR R.

(À) = log Ge + je) |

1. Soit Z une variable aléatoire réelle discrète telle que exp(AZ) est 
d'espérance finie pour
tout À > 0. Montrer que pour tout À>0ettEeR.

PIZ > | < exp(--M)Elexp(AZ)|. 2. Montrer que P[S, > 0] >

NI

3. Montrer que pour toutt{tER.ona

1
-- log P n À < inf HE ' 7 108 PlSn 2 #1 < inf (W(A) -- At) Pour chaque À > 0, on pose

EL EX; exp(AX:)]
mA) = Elexp{\X:)] *

ainsi que

Dh) = exp (AnSn -- n#(À)).
4. Montrer que la fonction m est strictement croissante sur R., et que pour 
tout t EUR [0,1{,
il existe un unique À > 0 tel que m{(A) = t.

5a. Pour n 2 2 et À > Ü, montrer que

EX -- m(A))(X2 -- m(N)D, (À) = 0:
5b. En déduire que, pour n > 1 et À > O,

Ej(S, -- MN) DA(N] < Pour tous n Zz1, À >0ete > 0, on note 1,(À,EUR) la variable aléatoire définie 
par

1 sil -mi\l EfL,(À,E)exp(An(S, -- m(À) -- EEUR)|,

7. Montrer que

ELA ED (N > 1-- -

8a. En déduire, pour chaque À > 0 et EUR > 0, l'existence d'une suite 
(uh(EUR))n>1 qui tend
vers 0 quand n tend vers l'infini et telle que

1
-- log PIS, > m(À) -- EUR] > (A) -- Am(A) -- À +u,(E).
n

8b. Conclure que pour tout t EUR [0,1/,

lim Log PIS, > #] = inf (W(À) -- M).

n--+0o n X>0

8c. La formule précédente est-elle encore valide pour t = 1 ?

Deuxième partie

On admet l'identité

| | exp (2?) de = VF.

Soient a < b deux réels et f : [a,b] -- R une fonction infiniment dérivable. Appelons (H) l'hypothèse suivante : il existe un unique point +9 EUR [a, b] où f atteint son maximum, on a a < x0 < b, et f""(xo) É 0. 9. Montrer que sous l'hypothèse (H), on a f"(x0) < 0. 10. Sous l'hypothèse (H), montrer que pour tout à > 0 tel que Ô < min(xo -- a, b -- +0), on a l'équivalent, quand { -- +co, b To+Ô | ef) Ar « | etf(x) qx. a To --ÙÔ 11. Sous l'hypothèse (H), montrer l'équivalent, quand t -- +oo, b 27T eti@) qe à etf@o) [27 l t|f"(xo)| 12a. Montrer que pour tout entier nEN,ona +oo n! -- | e't'dt. 0 12b. En utilisant les résultats précédents, retrouver la formule de Stirling donnant un équivalent asymptotique de n!. Troisième partie 13. Montrer que a--+oo lim | |sin(x*)| dx = +00. 0 14. Montrer que pour tout a EUR KR, a ) +00 ar t3 sin(x") dx -- --1)" fe snedr = LOT 15. Montrer que les limites a a lim sin(x")dæ et lim cos(x°) dx a--+ +00 0 a--++00 0 existent et sont finies. On admet les identités : a a [9 lim sin(x*) de -- lim cos(x?) dr -- NT. A-- +00 0 a--+Oo0 0 À 16. Montrer qu'il existe des nombres réels c,c' EUR R tels que, pour a -- +, on a ® V2 / 1 | sin(x°) dx -- ---- JL = cos (4?) + = sin(a?) + © (a) On admettra qu'il existe des nombres réels d, d' EUR R tels que, pour a -- +co, on a a / ) 27 dd. ,, d ) 1 cos(x") dt = ---- + --sin(a -- COS(a OT -- }. [cote ar = VE + Pain(a?) + É cos(a?) + 0 (4 À partir de maintenant et jusqu'à la fin de l'énoncé, f désigne une fonction infiniment dérivable de [0,1] dans R. On suppose qu'il existe un unique point x9 EUR [0,1[ où f' s'annule. On suppose également que f"(x0) > 0. On se donne également une fonction g : 
[0,1] -- R
infiniment dérivable.
17. Montrer qu'on a, pour t -- +oo,

1

f g(x) sin(tf(x)) dx = g(xo) | sin(tf(x)) dx + O G)

0 TO

Pour tout x EUR [10,1], on définit

hx) = V1f(x) -- f(xo)|.

18a. Montrer que la fonction h définit une bijection de [x0, 1] sur [0,A(1)|.

18b. Montrer que l'application À est dérivable en x9 à droite, et que h'(x0) -- 
Po),

On admet que la bijection

T

hi to, 1 ? 0, A(1)]
nm

admet une application réciproque ht : [0,h(1)] -- [xo, 1] qui est infiniment 
dérivable.

19. Montrer que, pour t -- +0,

[ sin(éf(x)) dx = sin (Lf(xo) + 1) HG) +0 () |

0

20. On suppose que x9 EUR ]0,1]. Montrer que, pour t --+ +,

[ g(x)sin(£f(x)) dr = g(ao) sin (£f(0) + T) es +0 () |

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Florian Metzger (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur
à l'université).

Le thème de cette épreuve d'analyse est le comportement asymptotique. On 
considère d'abord la probabilité d'un événement défini par des variables 
aléatoires dont
le nombre tend vers l'infini. On cherche ensuite des équivalents simples 
d'intégrales
dépendant d'un paramètre tendant vers +.
· Dans la partie I, on étudie le comportement de P[Sn > t] quand n  + où Sn
est la moyenne de n variables aléatoires (X1 , X2 , . . . , Xn ) indépendantes 
et de
même loi dite de Rademacher. Cette partie est la plus abordable si on maîtrise
le cours de probabilités de première année. Seule la question 8b contient une
difficulté de rédaction pour la limite.
· Dans la partie II, on établit un équivalent, lorsque t  +, de l'intégrale
Z b
e t f (x) dx
a

où f est une fonction définie sur [ a ; b ] suffisamment régulière. Ce résultat 
est
appelé méthode du col de Laplace. Le sujet nous propose, en guise d'application,
de redémontrer la fameuse formule de Stirling.
· Dans la troisième partie, proche de la précédente, la fonction exponentielle
est remplacée par des fonctions sinusoïdales. On y établit un développement
asymptotique, quand a  +, de
Z a
sin(t2 ) dt
0

mais aussi un équivalent, quand t  +, de
Z 1
g(x) sin(t f (x)) dx
0

avec f et g des fonctions satisfaisant encore une fois certaines propriétés de
régularité.
Ce sujet démontre des résultats classiques, comme la semi-convergence de 
l'intégrale, dite de Fresnel,
Z +
sin(x2 ) dx
0

ainsi que l'écriture de n ! sous forme d'une intégrale. Néanmoins, dans les 
parties II
et III, des questions difficiles requièrent d'avoir plusieurs bonnes idées et 
initiatives
avant d'aboutir.
Les outils de probabilités utilisés sont majoritairement issus du cours de 
première
année. Le chapitre Intégration sur un intervalle joue un rôle important pour 
bien
justifier les calculs. Pour les deux dernières parties, il faut également 
maîtriser les
développements limités, la rédaction des limites avec les quantificateurs et le 
calcul
d'intégrales.

Indications
Première partie
1 Utiliser l'inégalité de Markov.
2 Remarquer que f (Xi ) suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 pour une
certaine fonction affine f . Montrer que si B est une loi binomiale de 
paramètres (n, 1/2), alors P[B > n/2] > 1/2.
3 Appliquer le résultat de la question 1 à exp( n Sn ). Justifier que les 
variables
aléatoires (exp( X1 ), . . . , exp( Xn )) sont mutuellement indépendantes.
5a Calculer l'espérance comme un produit d'espérances grâce au résultat fourni 
par
l'énoncé. Montrer ensuite que E[(X1 - m()) exp(X1 )] = 0.
5b Développer (Sn - m())2 comme une double somme sur (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 . 
Traiter
à part les cas i = j et i 6= j.
6 Montrer que In (, ) exp(n(Sn - m() - )) 6 In (, ) et utiliser la croissance
de l'espérance.
7 Idem que la question 6 avec (1 - In (, ))2 6 (Sn - m())2 .
8a Minorer P[Sn > m() - ] avec E[In (, )Dn ()] et utiliser les questions 
précédentes.
8b Fixer  > 0 tel que  + t  [ 0 ; 1 [, utiliser la question 4 pour trouver un  
tel
que m() =  + t. Utiliser les résultats des questions 3 et 8a, pour avoir un
encadrement de log P[Sn > t]. Comme un () ---- 0, il existe un rang à partir
n

duquel |un ()| 6 . Majorer alors  de façon indépendante de , pour  6 0
avec un 0 bien choisi.
Deuxième partie
9 Utiliser un développement limité de f à l'ordre 2.
10 Découper, en trois morceaux, l'intégrale
Z b
e t f (x) dx
a

Z

x0 +

et démontrer que deux d'entre eux sont négligeables devant

e t f (x) dx.

x0 -

11 Appliquer l'inégalité de Taylor à l'ordre 2 à f . Majorer le reste en 
fonction
de (x-x0 )2 . Obtenir un encadrement de e t f (x) . Faire un changement de 
variable
2
pour se ramener à une intégrale de X 7 e -X .
12b Mettre l'intégrande trouvé à la question 12a sous la forme x 7 e n f (x) où 
f est
une certaine fonction, quitte à faire un changement de variable.
Troisième partie
13 Trouver une partie de R+ , la plus grande possible, sur laquelle x 7 sin(x2 
) est
plus grande que 1/2, puis comparer les intégrales.
15 Intégrer par parties en intégrant x 7 2x sin(x2 ). On pourra aussi passer par
l'exponentielle complexe.
16 Intégrer par parties successivement jusqu'à obtenir une intégrale en O(a-5 ).
17 Intégrer par parties en intégrant x 7 t sin(t f (x)).
19 Procéder au changement de variable u = h(x)/h(1). Appliquer le résultat de la
question 17. Procéder alors à un nouveau changement de variable pour utiliser
le résultat de la question 16.

Publié dans les Annales des Concours

Première partie
1 Soient  > 0 et t  R. Comme  > 0, la fonction t 7 e t est strictement
croissante sur R. Ainsi, les évènements (Z > t) et (exp(Z) > exp(t)) sont égaux.
De plus, exp(Z) est une variable aléatoire positive admettant une espérance 
finie.
L'inégalité de Markov s'applique alors à exp(Z) :
P[Z > t] = P[exp(Z) > exp(t)] 6
En conclusion,

t  R

 > 0

P[Z > t] 6

1
E[exp(Z)]
exp(t)

1
E[exp(Z)]
exp(t)

2 Montrons d'abord un résultat sur les variables aléatoires images de variables 
aléatoires mutuellement indépendantes qui n'est pas au programme de MP mais qui 
sera
utile plusieurs fois dans ce sujet. Soient (U1 , U2 , . . . , Un ) des 
variables mutuellement
indépendantes et, pour tout i  [[ 1 ; n ]], fi une fonction réelle définie sur 
Ui ().
Pour tout i  [[ 1 ; n ]], posons Vi = fi (Ui ). Les variables (V1 , V2 , . . . 
, Vn ) sont alors
mutuellement indépendantes. En effet, soit (x1 , x2 , . . . , xn )  Rn ,
 n

 n

T
T
P
(Vi = xi ) = P
(fi (Ui ) = xi )
i=1

i=1

=P

n
T

(Ui  fi

-1

({xi }))

i=1

par indépendance mutuelle :

=

n
Q

P[Ui  fi -1 ({xi })]

i=1
n
Q

=
P[f (Ui ) = xi ]
i=1

n
n
T
Q
P
(Vi = xi ) =
P[Vi = xi ]

i=1

i=1

Soit i  [[ 1 ; n ]]. Posons Yi = Xi /2 + 1/2. Observons que
(Yi = 1) = (Xi = 1)

et

(Yi = 0) = (Xi = -1)

Dès lors, Yi suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. De plus, pour tout 
entier i  [[ 1 ; n ]], Yi est une variable aléatoire image de Xi . D'après le 
résultat démontré en début de question, comme (X1 , X2 , . . . , Xn ) sont des 
variables aléatoires
mutuellement indépendantes, (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) le sont aussi. Il en 
découle que
B=

n
P

Yi

i=1

suit une loi binomiale de paramètres (n, 1/2). Connaissant la loi de B, on peut 
affirmer
X n 1
P[B > n/2] =
k 2n
n/26k6n

X
X  n  1
n 1
tandis que
P[B 6 n/2] =
=
(k = n - p)
p 2n
n - k 2n
06p6n/2
n/26k6n

X n 1
n
n
=
car
=
k 2n
n-k
k
n/26k6n

P[B 6 n/2] = P[B > n/2]

Il s'ensuit que
1 = P[(B 6 n/2)  (B > n/2)] 6 P[B 6 n/2] + P[B > n/2] = 2P[B > n/2]
Dès lors, P[B > n/2] > 1/2. Comme B = nSn /2 + n/2, on a les égalités 
d'évènements
(B > n/2) = (nSn /2 + n/2 > n/2) = (nSn > 0) = (Sn > 0)
Deux évènements égaux ayant même probabilité, on en conclut que
P[Sn > 0] >

1
2

3 Soient t  R et  > 0. En tant que variable aléatoire réelle prenant un nombre
fini de valeurs, exp( n Sn ) est d'espérance finie. D'après la question 1, et 
en utilisant
que l'exponentielle est un morphisme de (R, +) vers (R+ , ×) et n > 0,

 n
Q
exp( Xi )
P[Sn > t] = P[n Sn > t n] 6 e - t n E[exp( n Sn )] = e - t n E
i=1

Comme X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes, 
d'après
le résultat démontré au début de la question 2, les variables aléatoires
(exp( X1 ), exp( X2 ), . . . , exp( Xn ))
sont mutuellement indépendantes. De plus, ces variables aléatoires prenant un 
nombre
fini de valeurs, elles admettent une espérance. En utilisant le résultat fourni 
par
l'énoncé, il vient
 n

n
Q
Q
P[Sn > t] 6 e - t n E
exp( Xi ) = e - t n
E[exp( Xi )]
i=1

i=1

Soit i  [[ 1 ; n ]]. À l'aide de la formule de transfert appliquée à exp( Xi ) 
= f (Xi )
avec f : x 7 e  x ,
E[exp(Xi )] = f (1)P[Xi = 1] + f (-1)P[Xi = -1]
exp() + exp(-)
2
E[exp(Xi )] = ch ()
=

(1)

En reportant ce résultat dans la majoration précédente de P[Sn > t], on trouve
P[Sn > t] 6 exp(- t n) ch ()n
Notons que ch () > 1 > 0. En outre, le logarithme est une fonction strictement
croissante de R+ vers R  {-}, il vient
log(P[Sn > t]) 6 log(exp(- t n) ch ()n ) = - t n + n log(ch ())
On rappelle que log(0) = - par convention du sujet. Par conséquent, on n'a
pas besoin de séparer les cas P[Sn > t] = 0 et P[Sn > t] > 0.
En divisant par n > 1, on obtient
1
log(P[Sn > t]) 6 () - t
n
Et ce pour tout  > 0. De plus, pour  = 0, puisque P[Sn > t] 6 1,
1
log(P[Sn > t]) 6 0 = (0) - 0t
n