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X Maths B MP 2020 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) ; il a été relu
par
Florian Metzger (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur
à l'université).
Le thème de cette épreuve d'analyse est le comportement asymptotique. On
considère d'abord la probabilité d'un événement défini par des variables
aléatoires dont
le nombre tend vers l'infini. On cherche ensuite des équivalents simples
d'intégrales
dépendant d'un paramètre tendant vers +.
· Dans la partie I, on étudie le comportement de P[Sn > t] quand n + où Sn
est la moyenne de n variables aléatoires (X1 , X2 , . . . , Xn ) indépendantes
et de
même loi dite de Rademacher. Cette partie est la plus abordable si on maîtrise
le cours de probabilités de première année. Seule la question 8b contient une
difficulté de rédaction pour la limite.
· Dans la partie II, on établit un équivalent, lorsque t +, de l'intégrale
Z b
e t f (x) dx
a
où f est une fonction définie sur [ a ; b ] suffisamment régulière. Ce résultat
est
appelé méthode du col de Laplace. Le sujet nous propose, en guise d'application,
de redémontrer la fameuse formule de Stirling.
· Dans la troisième partie, proche de la précédente, la fonction exponentielle
est remplacée par des fonctions sinusoïdales. On y établit un développement
asymptotique, quand a +, de
Z a
sin(t2 ) dt
0
mais aussi un équivalent, quand t +, de
Z 1
g(x) sin(t f (x)) dx
0
avec f et g des fonctions satisfaisant encore une fois certaines propriétés de
régularité.
Ce sujet démontre des résultats classiques, comme la semi-convergence de
l'intégrale, dite de Fresnel,
Z +
sin(x2 ) dx
0
ainsi que l'écriture de n ! sous forme d'une intégrale. Néanmoins, dans les
parties II
et III, des questions difficiles requièrent d'avoir plusieurs bonnes idées et
initiatives
avant d'aboutir.
Les outils de probabilités utilisés sont majoritairement issus du cours de
première
année. Le chapitre Intégration sur un intervalle joue un rôle important pour
bien
justifier les calculs. Pour les deux dernières parties, il faut également
maîtriser les
développements limités, la rédaction des limites avec les quantificateurs et le
calcul
d'intégrales.
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Indications
Première partie
1 Utiliser l'inégalité de Markov.
2 Remarquer que f (Xi ) suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 pour une
certaine fonction affine f . Montrer que si B est une loi binomiale de
paramètres (n, 1/2), alors P[B > n/2] > 1/2.
3 Appliquer le résultat de la question 1 à exp( n Sn ). Justifier que les
variables
aléatoires (exp( X1 ), . . . , exp( Xn )) sont mutuellement indépendantes.
5a Calculer l'espérance comme un produit d'espérances grâce au résultat fourni
par
l'énoncé. Montrer ensuite que E[(X1 - m()) exp(X1 )] = 0.
5b Développer (Sn - m())2 comme une double somme sur (i, j) [[ 1 ; n ]]2 .
Traiter
à part les cas i = j et i 6= j.
6 Montrer que In (, ) exp(n(Sn - m() - )) 6 In (, ) et utiliser la croissance
de l'espérance.
7 Idem que la question 6 avec (1 - In (, ))2 6 (Sn - m())2 .
8a Minorer P[Sn > m() - ] avec E[In (, )Dn ()] et utiliser les questions
précédentes.
8b Fixer > 0 tel que + t [ 0 ; 1 [, utiliser la question 4 pour trouver un
tel
que m() = + t. Utiliser les résultats des questions 3 et 8a, pour avoir un
encadrement de log P[Sn > t]. Comme un () ---- 0, il existe un rang à partir
n
duquel |un ()| 6 . Majorer alors de façon indépendante de , pour 6 0
avec un 0 bien choisi.
Deuxième partie
9 Utiliser un développement limité de f à l'ordre 2.
10 Découper, en trois morceaux, l'intégrale
Z b
e t f (x) dx
a
Z
x0 +
et démontrer que deux d'entre eux sont négligeables devant
e t f (x) dx.
x0 -
11 Appliquer l'inégalité de Taylor à l'ordre 2 à f . Majorer le reste en
fonction
de (x-x0 )2 . Obtenir un encadrement de e t f (x) . Faire un changement de
variable
2
pour se ramener à une intégrale de X 7 e -X .
12b Mettre l'intégrande trouvé à la question 12a sous la forme x 7 e n f (x) où
f est
une certaine fonction, quitte à faire un changement de variable.
Troisième partie
13 Trouver une partie de R+ , la plus grande possible, sur laquelle x 7 sin(x2
) est
plus grande que 1/2, puis comparer les intégrales.
15 Intégrer par parties en intégrant x 7 2x sin(x2 ). On pourra aussi passer par
l'exponentielle complexe.
16 Intégrer par parties successivement jusqu'à obtenir une intégrale en O(a-5 ).
17 Intégrer par parties en intégrant x 7 t sin(t f (x)).
19 Procéder au changement de variable u = h(x)/h(1). Appliquer le résultat de la
question 17. Procéder alors à un nouveau changement de variable pour utiliser
le résultat de la question 16.
Publié dans les Annales des Concours
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Première partie
1 Soient > 0 et t R. Comme > 0, la fonction t 7 e t est strictement
croissante sur R. Ainsi, les évènements (Z > t) et (exp(Z) > exp(t)) sont égaux.
De plus, exp(Z) est une variable aléatoire positive admettant une espérance
finie.
L'inégalité de Markov s'applique alors à exp(Z) :
P[Z > t] = P[exp(Z) > exp(t)] 6
En conclusion,
t R
> 0
P[Z > t] 6
1
E[exp(Z)]
exp(t)
1
E[exp(Z)]
exp(t)
2 Montrons d'abord un résultat sur les variables aléatoires images de variables
aléatoires mutuellement indépendantes qui n'est pas au programme de MP mais qui
sera
utile plusieurs fois dans ce sujet. Soient (U1 , U2 , . . . , Un ) des
variables mutuellement
indépendantes et, pour tout i [[ 1 ; n ]], fi une fonction réelle définie sur
Ui ().
Pour tout i [[ 1 ; n ]], posons Vi = fi (Ui ). Les variables (V1 , V2 , . . .
, Vn ) sont alors
mutuellement indépendantes. En effet, soit (x1 , x2 , . . . , xn ) Rn ,
n
n
T
T
P
(Vi = xi ) = P
(fi (Ui ) = xi )
i=1
i=1
=P
n
T
(Ui fi
-1
({xi }))
i=1
par indépendance mutuelle :
=
n
Q
P[Ui fi -1 ({xi })]
i=1
n
Q
=
P[f (Ui ) = xi ]
i=1
n
n
T
Q
P
(Vi = xi ) =
P[Vi = xi ]
i=1
i=1
Soit i [[ 1 ; n ]]. Posons Yi = Xi /2 + 1/2. Observons que
(Yi = 1) = (Xi = 1)
et
(Yi = 0) = (Xi = -1)
Dès lors, Yi suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2. De plus, pour tout
entier i [[ 1 ; n ]], Yi est une variable aléatoire image de Xi . D'après le
résultat démontré en début de question, comme (X1 , X2 , . . . , Xn ) sont des
variables aléatoires
mutuellement indépendantes, (Y1 , Y2 , . . . , Yn ) le sont aussi. Il en
découle que
B=
n
P
Yi
i=1
suit une loi binomiale de paramètres (n, 1/2). Connaissant la loi de B, on peut
affirmer
X n 1
P[B > n/2] =
k 2n
n/26k6n
X
X n 1
n 1
tandis que
P[B 6 n/2] =
=
(k = n - p)
p 2n
n - k 2n
06p6n/2
n/26k6n
X n 1
n
n
=
car
=
k 2n
n-k
k
n/26k6n
P[B 6 n/2] = P[B > n/2]
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Il s'ensuit que
1 = P[(B 6 n/2) (B > n/2)] 6 P[B 6 n/2] + P[B > n/2] = 2P[B > n/2]
Dès lors, P[B > n/2] > 1/2. Comme B = nSn /2 + n/2, on a les égalités
d'évènements
(B > n/2) = (nSn /2 + n/2 > n/2) = (nSn > 0) = (Sn > 0)
Deux évènements égaux ayant même probabilité, on en conclut que
P[Sn > 0] >
1
2
3 Soient t R et > 0. En tant que variable aléatoire réelle prenant un nombre
fini de valeurs, exp( n Sn ) est d'espérance finie. D'après la question 1, et
en utilisant
que l'exponentielle est un morphisme de (R, +) vers (R+ , ×) et n > 0,
n
Q
exp( Xi )
P[Sn > t] = P[n Sn > t n] 6 e - t n E[exp( n Sn )] = e - t n E
i=1
Comme X1 , . . . , Xn sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes,
d'après
le résultat démontré au début de la question 2, les variables aléatoires
(exp( X1 ), exp( X2 ), . . . , exp( Xn ))
sont mutuellement indépendantes. De plus, ces variables aléatoires prenant un
nombre
fini de valeurs, elles admettent une espérance. En utilisant le résultat fourni
par
l'énoncé, il vient
n
n
Q
Q
P[Sn > t] 6 e - t n E
exp( Xi ) = e - t n
E[exp( Xi )]
i=1
i=1
Soit i [[ 1 ; n ]]. À l'aide de la formule de transfert appliquée à exp( Xi )
= f (Xi )
avec f : x 7 e x ,
E[exp(Xi )] = f (1)P[Xi = 1] + f (-1)P[Xi = -1]
exp() + exp(-)
2
E[exp(Xi )] = ch ()
=
(1)
En reportant ce résultat dans la majoration précédente de P[Sn > t], on trouve
P[Sn > t] 6 exp(- t n) ch ()n
Notons que ch () > 1 > 0. En outre, le logarithme est une fonction strictement
croissante de R+ vers R {-}, il vient
log(P[Sn > t]) 6 log(exp(- t n) ch ()n ) = - t n + n log(ch ())
On rappelle que log(0) = - par convention du sujet. Par conséquent, on n'a
pas besoin de séparer les cas P[Sn > t] = 0 et P[Sn > t] > 0.
En divisant par n > 1, on obtient
1
log(P[Sn > t]) 6 () - t
n
Et ce pour tout > 0. De plus, pour = 0, puisque P[Sn > t] 6 1,
1
log(P[Sn > t]) 6 0 = (0) - 0t
n
