X Maths B MP 2019

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle non linéaire à l'aide des sous/sur-différentiels
Principaux outils utilisés Équations différentielles, dérivée, borne supérieure/inférieure, fonction concave, limites
Mots clefs sous-différentiel, sur-différentiel, maximum local, minimum local, concave, sur-solution, sous-solution

Corrigé

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 X Maths B MP 2019 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) ; il a été relu par Hugues Zuber (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à l'université). Ce sujet propose une généralisation de l'étude qualitative des équations différentielles. En effet, la recherche moderne dans le domaine des équations différentielles introduit des notions généralisant la notion de dérivabilité vue et étudiée au lycée ou dans les études supérieures. Ainsi, il est possible de transformer la notion d'équation différentielle en une équation fonctionnelle où la dérivée ne figure plus. Ces outils arrivent parfois à montrer l'existence ou l'unicité des solutions là où le théorème de Cauchy-Lipschitz est impuissant. · Dans la première partie, on étudie une équation différentielle d'ordre 1 non linéaire (car une valeur absolue y est présente). On montre qu'elle n'a pas de solution de classe C 1 (cas de non existence) sur son domaine de définition. En revanche, elle admet deux solutions si on relâche la contrainte en 0 (cas de non unicité). Cette partie est plutôt facile, mais devait être rédigée avec rigueur. · La deuxième partie propose l'étude des sous-différentiels et des sur-différentiels d'une fonction. Ce sont des ensembles qui généralisent la notion de dérivée de cette fonction. On fait donc le lien entre ces nouvelles notions et la notion classique de dérivée. Lorsque les fonctions ne sont pas dérivables, le sujet propose de réécrire les sous-différentiels et sur-différentiels avec une définition utilisant les limites ainsi que les bornes supérieures et inférieures. Enfin, lorsque la fonction est concave, il existe une description encore plus simple des sur-différentiels. · L'équation différentielle du début du sujet peut être remplacée par une équation fonctionnelle. Pour cela, la dérivée est remplacée par les sous/sur-différentiels étudiés dans la partie précédente. Dans la troisième partie, cette équation fonctionnelle est scindée en deux inéquations fonctionnelles que l'on étudie. On établit une inégalité entre deux fonctions vérifiant chacune l'une des deux inéquations fonctionnelles. · Dans la dernière partie, un cas particulier de l'équation fonctionnelle est étudié. On se ramène ainsi à l'équation différentielle étudiée dans la première partie. On montre l'unicité de la solution en utilisant les résultats de la partie précédente. C'est un sujet long et technique ; la rédaction de certaines questions est longue et pénible si on veut la faire proprement. De plus, quelques questions demandent de prendre beaucoup d'initiatives. Une des difficultés majeures est qu'il faut savoir appréhender de nouvelles notions, comme les sur/sous-différentiels ou les sur/soussolutions, dans un temps court. Une excellente maîtrise des limites avec les quantificateurs, des bornes supérieures et du maniement des inégalités est indispensable pour bien traiter ce sujet. En revanche, ce problème propose une démarche très intéressante car utilisée en recherche mathématique : généraliser la notion de dérivabilité. Cette idée est l'un des fondements de la théorie des distributions et de l'optimisation convexe. Indications Partie I 1a Si u a un signe constant au voisinage de y simplifier la valeur absolue et dériver à nouveau l'équation. 1b Étudier le taux d'accroissement de u . 2 Résoudre u = u avec les conditions initiales. Partie II 4 Par double inclusion : pour la première inclusion, utiliser le fait que si une fonction f a un extremum en un point x0 intérieur à son domaine de définition, alors f (x0 ) = 0. Pour la seconde inclusion, poser = u. 5a Soit 1 tel que u - 1 ait un minimum local en x0 . Modifier 1 pour que sa valeur en x0 corresponde à ce qui est demandé. 5b Comparer les taux d'accroissement en x0 de 1 et 2 en séparant bien les cas x > x0 et x < x0 . Puis appliquer le théorème d'encadrement entre les taux d'accroissement de u, 1 et 2 en x0 . 6a Étudier u-x0 ,r en particulier ses limites aux extrémités de Ix0 (r) pour montrer que sa valeur maximum est atteinte sur Ix0 (r). 7a Écrire la définition de p D+ u(x0 ) avec une fonction puis utiliser le développement limité à l'ordre 1 de en x0 . 7b Comme (3) est supposée vraie, il existe au moins un 0 > 0 tel que la borne supérieure dans (3) existe bien. Quand varie, comparer ces bornes supérieures. Ne pas hésiter à introduire des notations supplémentaires. 7c Étudier la continuité à droite et à gauche de en tout point de R+ . 7d Entre r et 2r, minorer . 7e Utiliser l'inégalité démontrée en 7b et ce l'on sait sur pour construire une fonction tel que u - ait un maximum local en x0 . 9 Montrer que D+ u(x0 ) est convexe et appliquer la caractérisation séquentielle des fermés. 10c Utiliser le résultat de 10b ainsi que la décroissance des pentes montrée en 10a. Partie III 12 Appliquer le théorème de Heine à u et v et utiliser la continuité de en 0. 13 Comparer (x , y ) à (x0 , x0 ). 14b Supposer que |x | = 1, puis minorer/majorer |x -y | en utilisant ce qui précède pour trouver une contradiction. 14c Écrire que a un maximum en (x , y ) pour trouver une fonction dont la dérivée en x va satisfaire la définition de D+ u(x ). Partie IV 16d Montrer que 0 D- u1 (0). En déduire que u1 n'est pas sur-solution de (1). 16e Considérer une autre sur-solution et sous-solution et appliquer le résultat de la question 15. 18a Soit u une solution de (5), résoudre u sur des intervalles sur lesquels u a un signe constant. Puis considérer un point sur lequel u change de signe après avoir prouvé qu'un tel point existe. Partie I 1a Comme u est de classe C sur [ -1 ; 1 ], l'application x 7 |u (x)| = -u(x) l'est également. Soit y [ -1 ; 1 ] tel que u (y) 6= 0. Il y a deux cas : · Si u(y) > 0, alors, par continuité de u en y, il existe un voisinage J de y tel que pour tout x J I, u(x) > 0. Ainsi, pour tout x J I, u(x) + u (x) = 0. Par conséquent, u = -u sur J et comme u est C 1 sur J, on en déduit que u l'est également. Ainsi, u C 2 (J I), prouvant que u est de classe C 2 au voisinage de y. En dérivant la relation u = -u sur J I, on obtient u = -u . En particulier, 1 u (y) = -u (y) = -|u (y)| · De même, si u(y) < 0, alors, par continuité de u en y, il existe un voisinage J de y tel que pour tout x J I, u(x) < 0. Ainsi, u = u sur J et comme u est de classe C 1 , sur J, on en déduit que u l'est également. Par conséquent, u est de classe C 2 au voisinage de y et u = u . En particulier, u (y) = u (y) = -|u (y)|. La fonction x 7 |u (x)| est C 1 ([ -1 ; 1 ]). De plus, pour tout y [ -1 ; 1 ], si u (y) 6= 0, alors u est C 2 sur un voisinage de y et u (y) = -|u (y)|. 1b Soit y [ -1 ; 1 ]. Supposons u (y) = 0. En particulier, u(y) = -|u (y)| = 0. Calculons la valeur absolue du taux d'accroissement de u en y. Soit x [ -1 ; 1 ]r{y} : u (x) - u (y) |u (x)| u(x) u(x) - u(y) = = - = x-y x-y x-y x-y Or comme u est dérivable en y de dérivée u (y) = 0, on en déduit que lim xy u(x) - u(y) =0 x-y La valeur absolue étant continue, on en déduit que lim xy u (x) - u (y) u(x) - u(y) = lim =0 xy x-y x-y Ceci prouve que u est dérivable en y et que u (y) = 0. En conclusion Si u (y) = 0 alors la fonction u est dérivable en y et u (y) = 0. 2 Soit y [ -1 ; 1 ]. Alors · si u (y) 6= 0, alors en utilisant la question 1a, u (y) = -|u (y)| = u(y) ; · si u (y) = 0, alors d'après la question 1b, u (y) = 0 = -|u (y)| = u(y). Dans tous les cas, u (y) = u(y), d'où u = u. La fonction u = u étant continue, il vient que u est de classe C 2 sur [ -1 ; 1 ]. Finalement, La fonction u est de classe C 2 sur [ -1 ; 1 ] et vérifie u = u. Comme u = u, on peut affirmer qu'il existe (A, B) R2 tel que x [ -1 ; 1 ] u(x) = Ae x + Be -x En utilisant les conditions initiales et finales de u , il vient u(1) = Ae 1 + Be -1 = -1 Par différence, et u(-1) = Ae -1 + Be 1 = -1 u(1) - u(-1) = 2A sh (1) - 2B sh (1) = 0 Comme sh (1) 6= 0, il vient B = -A, ainsi u = 2A ch . En particulier, u(0) = 2A et u (0) = 0. En utilisant la relation u(0) + |u (0)| = 0, il en découle 2A + 0 = 0 puis A = 0. Dès lors, u est la fonction nulle. Ceci contredit la condition u(1) = -1. Pour conclure Il n'existe pas de fonction u C 1 ([ -1 ; 1 ]) vérifiant (2). 3 Montrons que u0 et u1 vérifient les propriétés demandées : · Les fonctions valeur absolue et exponentielle étant continues sur R, on en déduit, par composition, que u0 et u1 sont continues sur [ -1 ; 1 ]. · u0 (-1) = u0 (1) = -1 et u1 (-1) = u1 (1) = -1. · Pour tout x ] 0 ; 1 ], u0 (x) = -e -1+x et u1 (x) = -e 1-x . De même, pour tout x [ -1 ; 0 [, u0 (x) = -e -1-x et u1 (x) = -e 1+x . On en déduit par composition que u0 et u1 sont dérivables sur [ -1 ; 1 ] r {0} avec ( et u1 (x) = e 1-x si x ] 0 ; 1 ] u0 (x) = -e -1+x -1-x u0 (x) = e et u1 (x) = -e 1+x si x [ -1 ; 0 [ ( -1+x -e + e -1+x = 0 si x ] 0 ; 1 ] d'où, u0 (x) + |u0 (x)| = -e -1-x + e -1-x = 0 si x [ -1 ; 0 [ ( 1-x -e + e 1-x = 0 si x ] 0 ; 1 ] et, u1 (x) + |u1 (x)| = -e 1+x + e 1+x = 0 si x [ -1 ; 0 [ On peut en conclure que Les fonctions u0 et u1 sont des fonctions de C 0 ([ -1 ; 1 ]) vérifiant pour tout x [ -1 ; 1 ] r {0}, u(x) + |u (x)| = 0 ainsi que u(-1) = u(1) = -1. Partie II 4 Supposons u de classe C 1 au voisinage de x0 . Procédons par double inclusion. Soit p D+ u(x0 ) (respectivement p D- u(x0 )), alors il existe une fonction de classe C 1 au voisinage de x0 avec (x0 ) = p et telle que u - admet un maximum local (respectivement un minimum local) en x0 . Ainsi x0 est un extremum local de u - . De plus, u - est dérivable en x0 comme différence de fonctions dérivables en x0 . Notons, de plus, que x0 est un point intérieur à l'ensemble de définition de u-. Donc (u - ) (x0 ) = 0. Par conséquent p = (x0 ) = u (x0 ) {u (x0 )} Par suite, D+ u(x0 ) {u (x0 )} (respectivement D- u(x0 ) {u (x0 )}). Réciproquement, montrons que le réel u (x0 ) appartient à D+ u(x0 ) et à D- (x0 ). Posons = u. Dès lors, est de classe C 1 au voisinage de x0 , et u - étant la fonction nulle, x0 est bien un maximum local et un minimum local de u - . Ainsi, u (x0 ) = (x0 ) D+ u(x0 ) et u (x0 ) = (x0 ) D- u(x0 ) Ceci montre que {u (x0 )} D+ u(x0 ) et {u (x0 )} D- u(x0 ). Par double inclusion, il y a alors égalité entre ces trois ensembles. En conclusion, Si u est C 1 sur un voisinage de x0 , alors D+ u(x0 ) = D- u(x0 ) = {u (x0 )}.