X Maths B MP 2019

Thème de l'épreuve Étude d'une équation différentielle non linéaire à l'aide des sous/sur-différentiels
Principaux outils utilisés Équations différentielles, dérivée, borne supérieure/inférieure, fonction concave, limites
Mots clefs sous-différentiel, sur-différentiel, maximum local, minimum local, concave, sur-solution, sous-solution

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE POLYIECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE MP - Epreuve n° 3

MATHEMATIQUES B
(X

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Notations

Si n E N'est un entier naturel et 1 un intervalle de R, on note #"(1) l'espace 
vectoriel des
fonctions sur 1, à valeurs réelles, de classe EUR", c'est à dire n fois 
dérivables sur J et dont la
n-ième dérivée est continue sur f.

On munit EUR°([-1,1]) de la norme ||: ||£ définie par :
lle = sup 1f(6)|:
tE[--1,1|

Soit y EUR I. On dira qu'une fonction u : 1 -- R est de classe 6" au voisinage 
de y s'il existe
un intervalle J ouvert non vide tel que y EUR J'etue E"(1NJ).

Soit (x,p) - H(x,p) une fonction continue sur [--1,1] x R à valeurs réelles. Le 
but de ce
problème est d'étudier certaines fonctions u vérifiant l'équation fonctionnelle

Vr e[-1,1|, u(x) + H(x,u'(x)) = 0. (1)

Partie I

On suppose dans cette partie qu'il existe une fonction u EUR EUR!([---1,1]) 
vérifiant

me + lju'(x)| =0 pour tout x EUR [-1,1|, o)

u(--1) = u(1) = ---1.

la. Justifier que l'application x + [u/(x)| est une fonction de #1([--1,1]) et 
en déduire
que u est de classe #7 au voisinage de tout point y EUR [--1,1] tel que w/(y) 
0. Calculer
l'expression de u"(y) en fonction de u'(y) en de tels points.

1b. Montrer que si y EUR [---1,1] est tel que w/(y) = 0, alors u' est dérivable 
en y et u"(y) = 0.

2. En déduire que u est une fonction de #?([--1,1]), qu'elle vérifie sur [1,1] 
l'équation
différentielle

1
U --UÙU

et conclure qu'une telle fonction uw n'existe pas.

3. Montrer que les fonctions wo et u1 définies par uo(x) -- --e7 tir et u1(x) = 
el sur
[1,1] sont des fonctions de EUR°([-1,1]) et vérifient

qe + ju'(x)| = 0, pour tout x EUR [---1,1]\ {0},

Partie II

Soit u EUR °([-1,1]).

On définit le sur-différentiel de u en x EUR |--1,1|] comme l'ensemble des p 
EUR R pour lesquels
il existe une fonction ÿ de classe #! au voisinage de x, avec w/(x) = p et 
telle que u --
admet un maximum local en x. On note cet ensemble D'u(x).

On définit le sous-différentiel de u en x EUR |--1,1] comme l'ensemble des p 
EUR R pour lesquels
il existe une fonction 4 de classe #1 au voisinage de x, avec w/(x) = p et 
telle que u --
admet un minimum local en x. On note cet ensemble Du(x).
4. Soit xo EUR |-1,1[. Montrer que si u est de classe #! au voisinage de 9 alors
D'u(xo) = D'u(xo) = {u'(xo)}.

5. Soit z0 EUR ]---1,1[. On suppose que D'u(xo) et D u(xo) sont non vides.

5a. Prouver qu'il existe 41,42 de classe #! au voisinage de x0 et 6 > 0 tels que

u(to) = p1(x0) = p2(t0)

et pour tout [x -- xo| < 6, 5b. En déduire que « est dérivable en 0. Déterminer DTu(xo) et D u(xo). Ga. Soit zo EUR |--1,1|. Soit 0 < r < min(|1---x0|,|[1+x0l). En considérant la fonction définie Par Pror(T) = EE sur l'intervalle ouvert 1,,(r) = to -- r,xo +r|, montrer qu'il existe y EUR Lxotr) tel que D'u(y) £ Ü. 6b. Démontrer que l'ensemble {y EUR |---1,1[, D'u(y) £ D} est dense dans ]-1,1{. 7a. Soit xo EUR |---1,1][ tel que DTu(xo) £ 0. Soit p EUR D'u(xo). Montrer que u(y) -- u(xo) -- p(y -- xo) lim sup < 0. (3) E0T yelro--e,ro+eln[-1,1] y = To YÆXO Dans les sous-questions 7b à 7e, on considère x9 EUR [---1,1[et p ER satisfaisant (3). Le but est de montrer qu'alors réciproquement p EUR D'u(xo). 7b. On pose, pour r > O0,

p(r) = max 4 O, sup u(y) -- u(xo) -- p(y -- xo)

yElro--r,zo+r[N|-1,1] y -- To)
YÆXO

et w(0) = 0. Justifier que, pour tout r > 0, w(r) est un nombre réel bien 
défini, puis que,
pour tout x E |-1,1|},

u(x) < u(xo) + pÜx -- to) + px -- rol)lx -- ol. 7c. Montrer que la fonction p définie sur [0,+oo[ par p(r) = f, (s)ds appartient à Æ1([0,+oo[) et vérifie 7d. Prouver que Vr >0, p(2r) > v(r)r.

7e. Conclure que p EUR DTu(xo) et que, pour tout xo EUR [---1,1{,

D'u(xo) = {p ER, lim sup u(y) Z u(æo) © p{y -- %0) < 0}. e--0T vero eme Li y HE To | YF-X0 On peut montrer de même (mais on ne demande pas de le vérifier) que pour tout x0 EUR |---1,1|, D'u(xo) = {p ER, lim inf u(y) Z u(to) © p{y 7 to) > 0}.
e--0+ peter ete RE y -- xo|
VF XO

8. Soit xo EUR |--1,1|. Montrer que le résultat de la question 4 est toujours 
valable en suppo-
sant uniquement w dérivable en xo.

9. Soit xo EUR ]---1,1[ tel que D'u(xo)  Ü. Démontrer que D'u(xo) est un 
intervalle fermé.

10. On suppose dans cette question que u est concave sur [--1,1]. Soit xo EUR | 
---1,1{.

10a. Soient y1,y2 EUR [---1,1] \ {xo} avec y1 < y2. Prouver que u(y1) -- u(xo) s u(y2) -- u(xo) Y1 -- XO T 2 -- 20 10b. Montrer que lim u(y)  u(ro) -- W(ro) =: {7 et lim u(y) -- u(vo)  U(wo) --: {T Y--T) Y -- LO TS Y -- LO sont bien définies et que DTu(xo) = [£7, EUR]. 10c. Démontrer que D'u(xo) -- {p ER, Vr E [-1,1}, u(x) < u(xo) + p(x -- vo)}. En déduire que uw admet un maximum en x9 si et seulement si 0 EUR D'u(xo). Partie III Soit (x,p) + H(x,p) une fonction continue sur |[---1,1] XR à valeurs réelles. On suppose qu'il existe une fonction continue croissante w : R° -- R*, vérifiant w(0) = 0, telle que, pour tous x,y El-1,1],et pour tout pER, H(x,p) -- H(y,p)l < w(Ix -- yI(1 + Ip). (4) On dit que u EUR 6V([-1,1]) est une sur-solution de (1) si pour tout x EUR |-1,1[, pour tout p EUR D'u(x), u(x) + H{(x,p) > 0.

On dit que u EUR 6° ([-1,1]) est une sous-solution de (1) si pour tout x EUR 
|---1,1[, pour tout
p EUR D'u(x),
u(x) + H{(x,p) < 0. 11a. Montrer que si u EUR 6 !(|[-1,1]) vérifie Vx E |-1,1{, u(x) + H(x,u'(x)) = 0, alors u est sur-solution et sous-solution de (1). 11b. Montrer que si u est à la fois sur-solution et sous-solution de (1), alors en tout point x EUR ]-1,1[ au voisinage duquel u est de classe EUR!, on a u(x) + H(x,u'(x)) = 0. On souhaite démontrer que si u est une sous-solution et v une sur-solution de (1) telles que u(y)  v(yo):

12. Montrer que la fonction u -- v atteint son maximum sur [--1,1] en un point 
xo EUR [---1,1|
et M := max;e[_1 1(u(x) -- v(x)) > 0. Montrer qu'il existe 7 > 0 tel que pour 
tout (x,y) EUR
[1,1]? vérifiant

im -- yl < V2(|ulls + [vlloe)r: ur) -- u(y)| + ju(x) -- v(y)| < M/2 et W(|x -- y| +2lu(x) -- v(y)|) < M7/2, où w est la fonction intervenant en (4). Pour un paramètre 7 obtenu grâce à la question précédente, on considère la fonction ®, : [1,1] -- R, définie par fm yf PA(e,0) = u() -- 0) -- 13. Démontrer que ® atteint son maximum sur [--1,1]? en un point (x,,yn) EUR [---1,1/* tel que BP, (Zn, Yn) 2 M. 14a. Montrer que En -- Ynl < V2(ullse + Ilvilse)n: 14b. En déduire que |x,| £ 1 et [y] # 1. 14c. Conclure que = EUR D'u(xy)N Do (yn). 15. Prouver que Un) -- (Un)  

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X Maths B MP 2019 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Loïc Devilliers (professeur en CPGE) ; il a été relu 
par
Hugues Zuber (professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (enseignant-chercheur à
l'université).

Ce sujet propose une généralisation de l'étude qualitative des équations 
différentielles. En effet, la recherche moderne dans le domaine des équations 
différentielles
introduit des notions généralisant la notion de dérivabilité vue et étudiée au 
lycée ou
dans les études supérieures. Ainsi, il est possible de transformer la notion 
d'équation
différentielle en une équation fonctionnelle où la dérivée ne figure plus. Ces 
outils
arrivent parfois à montrer l'existence ou l'unicité des solutions là où le 
théorème de
Cauchy-Lipschitz est impuissant.
· Dans la première partie, on étudie une équation différentielle d'ordre 1 non
linéaire (car une valeur absolue y est présente). On montre qu'elle n'a pas de
solution de classe C 1 (cas de non existence) sur son domaine de définition.
En revanche, elle admet deux solutions si on relâche la contrainte en 0 (cas de
non unicité). Cette partie est plutôt facile, mais devait être rédigée avec 
rigueur.
· La deuxième partie propose l'étude des sous-différentiels et des 
sur-différentiels
d'une fonction. Ce sont des ensembles qui généralisent la notion de dérivée de
cette fonction. On fait donc le lien entre ces nouvelles notions et la notion 
classique de dérivée. Lorsque les fonctions ne sont pas dérivables, le sujet 
propose de
réécrire les sous-différentiels et sur-différentiels avec une définition 
utilisant les
limites ainsi que les bornes supérieures et inférieures. Enfin, lorsque la 
fonction
est concave, il existe une description encore plus simple des sur-différentiels.
· L'équation différentielle du début du sujet peut être remplacée par une 
équation
fonctionnelle. Pour cela, la dérivée est remplacée par les 
sous/sur-différentiels
étudiés dans la partie précédente. Dans la troisième partie, cette équation 
fonctionnelle est scindée en deux inéquations fonctionnelles que l'on étudie. 
On établit une inégalité entre deux fonctions vérifiant chacune l'une des deux 
inéquations fonctionnelles.
· Dans la dernière partie, un cas particulier de l'équation fonctionnelle est 
étudié.
On se ramène ainsi à l'équation différentielle étudiée dans la première partie.
On montre l'unicité de la solution en utilisant les résultats de la partie 
précédente.
C'est un sujet long et technique ; la rédaction de certaines questions est 
longue
et pénible si on veut la faire proprement. De plus, quelques questions demandent
de prendre beaucoup d'initiatives. Une des difficultés majeures est qu'il faut 
savoir
appréhender de nouvelles notions, comme les sur/sous-différentiels ou les 
sur/soussolutions, dans un temps court. Une excellente maîtrise des limites 
avec les quantificateurs, des bornes supérieures et du maniement des inégalités 
est indispensable
pour bien traiter ce sujet.
En revanche, ce problème propose une démarche très intéressante car utilisée en
recherche mathématique : généraliser la notion de dérivabilité. Cette idée est 
l'un des
fondements de la théorie des distributions et de l'optimisation convexe.

Indications
Partie I
1a Si u a un signe constant au voisinage de y simplifier la valeur absolue et 
dériver
à nouveau l'équation.
1b Étudier le taux d'accroissement de u .
2 Résoudre u = u avec les conditions initiales.

Partie II
4 Par double inclusion : pour la première inclusion, utiliser le fait que si 
une fonction f a un extremum en un point x0 intérieur à son domaine de 
définition,
alors f  (x0 ) = 0. Pour la seconde inclusion, poser  = u.
5a Soit 1 tel que u - 1 ait un minimum local en x0 . Modifier 1 pour que sa
valeur en x0 corresponde à ce qui est demandé.
5b Comparer les taux d'accroissement en x0 de 1 et 2 en séparant bien les
cas x > x0 et x < x0 . Puis appliquer le théorème d'encadrement entre les taux d'accroissement de u, 1 et 2 en x0 . 6a Étudier u-x0 ,r en particulier ses limites aux extrémités de Ix0 (r) pour montrer que sa valeur maximum est atteinte sur Ix0 (r). 7a Écrire la définition de p  D+ u(x0 ) avec une fonction  puis utiliser le développement limité à l'ordre 1 de  en x0 . 7b Comme (3) est supposée vraie, il existe au moins un 0 > 0 tel que la borne
supérieure dans (3) existe bien. Quand  varie, comparer ces bornes supérieures.
Ne pas hésiter à introduire des notations supplémentaires.
7c Étudier la continuité à droite et à gauche de  en tout point de R+ .
7d Entre r et 2r, minorer .
7e Utiliser l'inégalité démontrée en 7b et ce l'on sait sur  pour construire une
fonction  tel que u -  ait un maximum local en x0 .
9 Montrer que D+ u(x0 ) est convexe et appliquer la caractérisation 
séquentielle des
fermés.
10c Utiliser le résultat de 10b ainsi que la décroissance des pentes montrée en 
10a.
Partie III
12 Appliquer le théorème de Heine à u et v et utiliser la continuité de  en 0.
13 Comparer  (x , y ) à  (x0 , x0 ).
14b Supposer que |x | = 1, puis minorer/majorer |x -y | en utilisant ce qui 
précède
pour trouver une contradiction.
14c Écrire que  a un maximum en (x , y ) pour trouver  une fonction dont la
dérivée en x va satisfaire la définition de D+ u(x ).
Partie IV
16d Montrer que 0  D- u1 (0). En déduire que u1 n'est pas sur-solution de (1).
16e Considérer une autre sur-solution et sous-solution et appliquer le résultat 
de la
question 15.
18a Soit u une solution de (5), résoudre u sur des intervalles sur lesquels u a 
un
signe constant. Puis considérer un point sur lequel u change de signe après 
avoir
prouvé qu'un tel point existe.

Partie I
1a Comme u est de classe C sur [ -1 ; 1 ], l'application x 7 |u (x)| = -u(x) 
l'est
également. Soit y  [ -1 ; 1 ] tel que u (y) 6= 0. Il y a deux cas :
· Si u(y) > 0, alors, par continuité de u en y, il existe un voisinage J de y 
tel
que pour tout x  J  I, u(x) > 0. Ainsi, pour tout x  J  I, u(x) + u (x) = 0.
Par conséquent, u = -u sur J et comme u est C 1 sur J, on en déduit que u
l'est également. Ainsi, u  C 2 (J  I), prouvant que u est de classe C 2 au
voisinage de y. En dérivant la relation u = -u sur J  I, on obtient u = -u .
En particulier,
1

u (y) = -u (y) = -|u (y)|
· De même, si u(y) < 0, alors, par continuité de u en y, il existe un voisinage J de y tel que pour tout x  J  I, u(x) < 0. Ainsi, u = u sur J et comme u est de classe C 1 , sur J, on en déduit que u l'est également. Par conséquent, u est de classe C 2 au voisinage de y et u = u . En particulier, u (y) = u (y) = -|u (y)|. La fonction x 7 |u (x)| est C 1 ([ -1 ; 1 ]). De plus, pour tout y  [ -1 ; 1 ], si u (y) 6= 0, alors u est C 2 sur un voisinage de y et u (y) = -|u (y)|. 1b Soit y  [ -1 ; 1 ]. Supposons u (y) = 0. En particulier, u(y) = -|u (y)| = 0. Calculons la valeur absolue du taux d'accroissement de u en y. Soit x  [ -1 ; 1 ]r{y} : u (x) - u (y) |u (x)| u(x) u(x) - u(y) = = - = x-y x-y x-y x-y Or comme u est dérivable en y de dérivée u (y) = 0, on en déduit que lim xy u(x) - u(y) =0 x-y La valeur absolue étant continue, on en déduit que lim xy u (x) - u (y) u(x) - u(y) = lim =0 xy x-y x-y Ceci prouve que u est dérivable en y et que u (y) = 0. En conclusion Si u (y) = 0 alors la fonction u est dérivable en y et u (y) = 0. 2 Soit y  [ -1 ; 1 ]. Alors · si u (y) 6= 0, alors en utilisant la question 1a, u (y) = -|u (y)| = u(y) ; · si u (y) = 0, alors d'après la question 1b, u (y) = 0 = -|u (y)| = u(y). Dans tous les cas, u (y) = u(y), d'où u = u. La fonction u = u étant continue, il vient que u est de classe C 2 sur [ -1 ; 1 ]. Finalement, La fonction u est de classe C 2 sur [ -1 ; 1 ] et vérifie u = u. Comme u = u, on peut affirmer qu'il existe (A, B)  R2 tel que x  [ -1 ; 1 ] u(x) = Ae x + Be -x En utilisant les conditions initiales et finales de u , il vient u(1) = Ae 1 + Be -1 = -1 Par différence, et u(-1) = Ae -1 + Be 1 = -1 u(1) - u(-1) = 2A sh (1) - 2B sh (1) = 0 Comme sh (1) 6= 0, il vient B = -A, ainsi u = 2A ch . En particulier, u(0) = 2A et u (0) = 0. En utilisant la relation u(0) + |u (0)| = 0, il en découle 2A + 0 = 0 puis A = 0. Dès lors, u est la fonction nulle. Ceci contredit la condition u(1) = -1. Pour conclure Il n'existe pas de fonction u  C 1 ([ -1 ; 1 ]) vérifiant (2). 3 Montrons que u0 et u1 vérifient les propriétés demandées : · Les fonctions valeur absolue et exponentielle étant continues sur R, on en déduit, par composition, que u0 et u1 sont continues sur [ -1 ; 1 ]. · u0 (-1) = u0 (1) = -1 et u1 (-1) = u1 (1) = -1. · Pour tout x  ] 0 ; 1 ], u0 (x) = -e -1+x et u1 (x) = -e 1-x . De même, pour tout x  [ -1 ; 0 [, u0 (x) = -e -1-x et u1 (x) = -e 1+x . On en déduit par composition que u0 et u1 sont dérivables sur [ -1 ; 1 ] r {0} avec ( et u1  (x) = e 1-x si x  ] 0 ; 1 ] u0  (x) = -e -1+x -1-x u0 (x) = e et u1  (x) = -e 1+x si x  [ -1 ; 0 [ ( -1+x -e + e -1+x = 0 si x  ] 0 ; 1 ] d'où, u0 (x) + |u0 (x)| = -e -1-x + e -1-x = 0 si x  [ -1 ; 0 [ ( 1-x -e + e 1-x = 0 si x  ] 0 ; 1 ] et, u1 (x) + |u1 (x)| = -e 1+x + e 1+x = 0 si x  [ -1 ; 0 [ On peut en conclure que Les fonctions u0 et u1 sont des fonctions de C 0 ([ -1 ; 1 ]) vérifiant pour tout x  [ -1 ; 1 ] r {0}, u(x) + |u (x)| = 0 ainsi que u(-1) = u(1) = -1. Partie II 4 Supposons u de classe C 1 au voisinage de x0 . Procédons par double inclusion. Soit p  D+ u(x0 ) (respectivement p  D- u(x0 )), alors il existe  une fonction de classe C 1 au voisinage de x0 avec  (x0 ) = p et telle que u -  admet un maximum local (respectivement un minimum local) en x0 . Ainsi x0 est un extremum local de u - . De plus, u -  est dérivable en x0 comme différence de fonctions dérivables en x0 . Notons, de plus, que x0 est un point intérieur à l'ensemble de définition de u-. Donc (u - ) (x0 ) = 0. Par conséquent p =  (x0 ) = u (x0 )  {u (x0 )} Par suite, D+ u(x0 )  {u (x0 )} (respectivement D- u(x0 )  {u (x0 )}). Réciproquement, montrons que le réel u (x0 ) appartient à D+ u(x0 ) et à D- (x0 ). Posons  = u. Dès lors,  est de classe C 1 au voisinage de x0 , et u -  étant la fonction nulle, x0 est bien un maximum local et un minimum local de u - . Ainsi, u (x0 ) =  (x0 )  D+ u(x0 ) et u (x0 ) =  (x0 )  D- u(x0 ) Ceci montre que {u (x0 )}  D+ u(x0 ) et {u (x0 )}  D- u(x0 ). Par double inclusion, il y a alors égalité entre ces trois ensembles. En conclusion, Si u est C 1 sur un voisinage de x0 , alors D+ u(x0 ) = D- u(x0 ) = {u (x0 )}.