X Maths B MP 2018

Thème de l'épreuve Étude de la borne inférieure d'une forme linéaire sur un sous-ensemble convexe de polynômes
Principaux outils utilisés topologie, polynômes orthogonaux, résolution d'équations dans les complexes, étude de polynômes, intégration, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs polynômes, étude de fonctions

Corrigé

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2018 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B Durée : 4 heures L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve Samedi 5 mai 2018, 9h00 ­ 13h00 Page 1 Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux entiers naturels distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter les notations de l'énoncé. On désigne par Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à n. Le sous-espace de Rn [X] formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant P (-X) = P (X)) est noté n , et celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant P (-X) = -P (X)) est noté Jn . On définit l'ensemble AN formé des P RN [X], tels que P (-1) = P (1) = 1, qui satisfont de plus P (x) > 0 pour tout x dans l'intervalle [-1, 1]. On définit sur RN [X] une forme linéaire L par L(P ) = Z 1 P (x) dx. -1 L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure aN sur le sous-ensemble AN : aN = inf{L(P ) | P AN }. Questions préliminaires 1. (a) Vérifier que AN est une partie convexe de RN [X]. (b) Montrer que l'expression kP k1 = Z 1 |P (x)| dx -1 définit une norme sur RN [X]. (c) Montrer que AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ). 2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur AN est atteinte. Dans la suite, on notera BN l'ensemble des P AN tels que L(P ) = aN . (b) Montrer que BN est une partie convexe compacte. (c) Vérifier que BN contient un polynôme pair. Première Partie On munit Rn [X] du produit scalaire défini par hP, Qi = Z 1 P (x)Q(x) dx, -1 et de la norme associée kP k2 = p hP, P i (on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une norme). Pour j N, on définit le polynôme Pj (X) = 1 dj 2 (X - 1)j . j j! dX 2j Par convention, P0 = 1. Page 3 3. (a) Quel est le degré de Pj ? (b) Montrer que Pj est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j. (c) Montrer que Pj (1) = 1 et Pj (-1) = (-1)j . 4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille (Pj )06j6n est orthogonale dans Rn [X]. 5. On note gj = Z 1 Pj (x)2 dx, Ij = -1 Z 1 (1 - x2 )j dx. -1 (a) Établir une relation entre gj et Ij . (b) Trouver une relation entre Ij et Ij-1 - Ij , et en déduire une relation de récurrence pour la suite (Ij )jN . (c) En déduire la valeur de Ij , puis celle de gj . 6. (a) Montrer que la famille (Pj )06j6n est une base de Rn [X]. (b) En déduire que la famille (P2j )06j6 n2 est une base de n , tandis que la famille (P2j+1 )06j6 n-1 est 2 une base de Jn . Deuxième Partie On choisit un polynôme pair dans BN (voir la question 2.c), et on le note RN . 7. Montrer qu'il existe des nombres entiers r, s, t > 0, des nombres réels c1 , . . . , cr différents de ±1, des réels non nuls 1 , . . . , s et des nombres complexes w1 , . . . , wt qui ne sont ni réels ni imaginaires purs, tels que RN (X) = s t r Y X 2 - c2j Y X 2 + 2k Y X 2 - w2 X 2 - w 2 · . 1 - c2j 1 + 2k 1 - w2 1 - w 2 j=1 k=1 =1 8. On décide de remplacer tous les k par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de RN , X 2 + 2k , 1 + 2k par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme SN de même degré que RN . Montrer que 0 6 SN (x) 6 RN (x) pour tout x [-1, 1], puis que SN BN . 9. De même, dans la liste des cj , on décide de remplacer ceux qui n'appartiennent pas à [-1, 1] par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de SN , X 2 - c2j , 1 - c2j par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme TN . Montrer que 0 6 TN (x) 6 SN (x) pour tout x [-1, 1], puis que TN BN . 10. Soit w C un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur. Page 4 (a) Montrer que l'équation z-1 w-1 = z+1 w+1 définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que l'intervalle ] - 1, 1[ coupe ce cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du nombre = w-1 . w+1 (b) Montrer l'inégalité 1-w > 1. 1-y (c) Montrer que l'équation 1-w z-w = z-y 1-y définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1. En déduire que, pour tout x [-1, 1] \ {y}, on a w-x w-1 w+1 > = . y-x y-1 y+1 11. Conclure que RN a toutes ses racines dans l'intervalle [-1, 1]. Troisième Partie On note n la partie entière de N 2. On poursuit l'étude du polynôme RN . 12. Montrer que deg RN = 2n. 13. Montrer que RN est le carré d'un polynôme : RN (X) = UN (X)2 où UN (1) = 1 et UN (-1) = ±1. Que peut-on dire de la parité de UN ? 14. On suppose dans cette question que UN est pair ; on a donc UN n . Dans n , l'équation P (1) = 1 définit un sous-espace affine noté Hn . (a) Montrer que kUN k2 = min{kP k2 | P Hn }. (b) En déduire qu'il existe un nombre réel µ tel que pour tout entier 0 6 j 6 n2 , on a hUN , P2j i = µ. (On pourra considérer des polynômes P Hn de la forme UN + t(P2j - P2k ) avec t R.) (c) Exprimer UN dans la base des P2j . En déduire que X 1 1 . = µ n g2j 06j6 2 (d) Établir dans ce cas la formule aN = X 06j6 n 2 -1 1 g2j . 15. On suppose maintenant que UN est impair. Exprimer encore aN en fonction des g . 16. Discuter, en fonction de la parité de n, la valeur de aN . On en donnera la valeur explicite. 17. Donner la formule explicite de RN , en fonction des polynômes Pj . Page 5

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 X Maths B MP 2018 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (professeur en CPGE). L'objet du problème consiste à étudier la borne inférieure de la forme linéaire AN - R Z 1 L: P(x) dx P 7- -1 définie sur le sous-ensemble AN convexe de RN [X], constitué des polynômes P à valeurs positives sur [ -1 ; 1 ] tels que P(1) = P(-1) = 1. · Les questions préliminaires sont consacrées à l'étude de l'existence de cette borne inférieure et à montrer qu'elle est atteinte en au moins un polynôme dont la fonction polynomiale est paire. Il s'agit de questions essentiellement topologiques dont les résultats sont donnés dans l'énoncé. · Dans la première partie, très classique, on étudie une famille de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire sur R[X] défini par Z 1 hP | Qi = P(x)Q(x) dx -1 Le but est d'établir certaines propriétés de cette famille et de calculer les normes de ces polynômes pour pouvoir réutiliser certains résultats dans la troisième et dernière partie. Elle n'a pas de lien avec les questions préliminaires et à elle seule, elle peut constituer un entraînement intéressant en algèbre bilinéaire. · La deuxième partie s'intéresse à la localisation des racines d'un polynôme pair de AN qui minimise la forme linéaire L. On montre que toutes les racines de ce polynôme, noté RN , sont dans l'intervalle ] -1 ; 1 [. Les questions 7, 8 et 9 sont abordables, traitant de décomposition de polynômes en produits de facteurs irréductibles et utilisant des résultats des préliminaires. Les questions 10 et 11 sont en revanche plus ardues, avec l'étude de lieux géométriques, ce qui n'est plus tout à fait dans l'esprit du programme actuel. · Enfin, la dernière partie fait la synthèse des deux précédentes pour déterminer explicitement l'expression du polynôme RN en fonction des polynômes introduits dans la première partie. Cette partie est tout à fait abordable et on peut la traiter sans problème à condition d'admettre les résultats précédents et d'avoir trouvé l'expression de la norme des polynômes de la famille introduite à la première partie. Mis à part la deuxième partie qui, sur certains points, est un peu technique, l'ensemble du problème constitue un entraînement intéressant pour la préparation aux écrits. Les questions sont parfois difficiles mais elles prennent leur sens une fois que l'on est bien rentré dans le sujet. Indications Questions préliminaires 1.c Utiliser la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est fermé. Considérer l'équivalence de la norme k · k1 et de la norme infinie sur l'intervalle [ -1 ; 1 ] pour montrer que la limite de la suite considérée est bien dans AN . 2.a Remarquer que L est continue et que la borne inférieure est atteinte sur le compact Bf,k·k1 (0, 2). 2.b Montrer que, comme RN [X] est de dimension finie, BN est un fermé borné. 2.c Considérer le polynôme (P(X) + P(-X))/2 où P appartient à BN . Première Partie 3.c Écrire (X2 - 1)j = (X - 1)j (X + 1)j et utiliser la formule de Leibniz pour développer le polynôme Pj . 4 Considérer j < k et faire j intégrations par parties successives en dérivant successivement les polynômes issus de Pj . 5.a Reprendre la succession d'intégrations par parties de la question 4 avec j = k. 5.b Dans le calcul de Ij-1 - Ij , faire une intégration par parties en considérant une primitive de la fonction x 7- x(1 - x2 )j-1 et en dérivant la fonction x 7- x. Deuxième Partie 7 Utiliser la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] de RN puis la parité de RN , ses coefficients réels et enfin ses valeurs en 1 et en -1. 10.a Résoudre directement l'équation en considérant l'écriture algébrique de z. 10.b En remplaçant y par sa valeur obtenue à la question 10.a se ramener à une inégalité sur w qu'on démontre à l'aide de l'inégalité triangulaire sur la norme des complexes. La stricte égalité est obtenue en montrant que le cas d'égalité est absurde. 11 Faire la synthèse des questions 8, 9 et 10. · Supposer s > 1 et considérer le polynôme SN . Montrer qu'il est égal à RN et aboutir à une absurdité. · Raisonner de même pour montrer que pour tout 1 6 j 6 r, cj [ -1 ; 1 ]. · Pour le cas t > 1, considérer le polynôme 2 r t 2 X2 - cj 2 X - y 2 VN (X) = j=1 1 - cj 2 =1 1 - y 2 et montrer que VN appartient à AN et vérifie L(VN ) < L(RN ) puis conclure. Troisième Partie 12 Raisonner par l'absurde en supposant que deg(RN ) = 2p avec p < n puis considérer le polynôme X2 RN . 13 Reprendre la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] du polynôme RN en distinguant 0 parmi les racines. Utiliser la positivité de la fonction polynomiale associée à RN sur [ -1 ; 1 ] pour conclure. 16 Montrer que la parité de n est la même que celle de UN . 17 Utiliser l'expression de UN de la question 14.c et les résultats de la question 16. Questions préliminaires 1.a Soient (P, Q) AN 2 et [ 0 ; 1 ]. On pose R = P + (1 - )Q. On a déjà R RN [X]. De plus, R(1) = P(1) + (1 - )Q(1) = + 1 - = 1. De même, on a également R(-1) = 1. Enfin, pour tout x [ -1 ; 1 ], comme P(x) > 0, Q(x) > 0 et [ 0 ; 1 ], il vient R(x) > 0, d'où R AN . On en déduit que AN est une partie convexe de RN [X]. 1.b Soit P RN [X]. La fonction x 7- |P(x)| est continue sur le segment [ -1 ; 1 ]. Par conséquent, l'intégrale Z 1 |P(x)| dx -1 est bien définie. De plus, on vérifie les propriétés suivantes : · Soient R et P RN [X]. Par linéarité de l'intégrale, Z 1 Z 1 kPk1 = || |P(x)| dx = || |P(x)| dx = || kPk1 -1 -1 · Soit P RN [X]. Si kPk1 = 0, alors Z 1 |P(x)| dx = 0 -1 La fonction x 7- |P(x)| est ainsi continue, positive et d'intégrale nulle sur le segment [ -1 ; 1 ]. On en déduit qu'elle est nulle sur [ -1 ; 1 ]. Il s'ensuit que le polynôme P, nul sur [ -1 ; 1 ], a une infinité de racines, d'où P = 0RN [X] . · Soit (P, Q) RN [X]2 . La valeur absolue |·| étant une norme sur R, on a x [ -1 ; 1 ] |P(x) + Q(x)| 6 |P(x)| + |Q(x)| Par croissance et linéarité de l'intégrale, on en déduit Z 1 Z 1 Z 1 |Q(x)| dx |(P + Q)(x)| dx 6 |P(x)| dx + -1 Par conséquent, On peut conclure que -1 -1 kP + Qk1 6 kPk1 + kQk1 k · k définit une norme sur RN [X]. 1.c Utilisons la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est un fermé de (RN [X], k · k). Soient (Pr )rN une suite de polynômes de AN et P RN [X] tels que kPr - Pk1 ---- 0 r+ L'application k · k,[ -1 ; 1 ] : Q 7- Sup |Q(x)| [ -1 ; 1 ] définit une norme sur RN [X]. En effet, pour Q RN [X], la fonction x 7- |Q(x)| est continue sur le segment [ -1 ; 1 ]. Elle est donc bornée et atteint ses bornes. Par suite, la quantité kQk,[ -1 ; 1 ] est bien définie et en outre il existe x0 [ -1 ; 1 ] tel que |Q| (x0 ) = kQk,[ -1 ; 1 ] . · Si kQk,[ -1 ; 1 ] = 0, alors pour tout x [ -1 ; 1 ], Q(x) = 0. Le polynôme Q ayant une infinité de racines sur [ -1 ; 1 ], c'est le polynôme nul. · Soit R. Pour tout x [ -1 ; 1 ], |Q| (x) 6 || kQk,[ -1 ; 1 ] . Dès lors, kQk,[ -1 ; 1 ] 6 || kQk,[ -1 ; 1 ] En outre, || kQk,[ -1 ; 1 ] = || |Q(x0 )| 6 kQk,[ -1 ; 1 ] Finalement, on a kQk,[ -1 ; 1 ] = || kQk,[ -1 ; 1 ] · Soit R RN [X]. Pour tout x [ -1 ; 1 ], |Q(x) + R(x)| 6 |Q(x)| + |R(x)| 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ] On a donc kQ + Rk,[ -1 ; 1 ] 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ] . L'espace RN [X] étant de dimension finie, les normes k · k1 et k · k,[ -1 ; 1 ] sont équivalentes. De plus, r N 0 6 |Pr (1) - P(1)| 6 kPr - Pk,[ -1 ; 1 ] Par théorème d'encadrement, on en déduit que lim Pr (1) = P(1), d'où P(1) = 1 r+ car pour tout r N, Pr (1) = 1. On déduit de la même manière que P(-1) = 1 et que pour tout x [ -1 ; 1 ], lim Pr (x) = P(x) r+ Or, pour tout (x, r) [ -1 ; 1 ] × N, Pr (x) > 0, ainsi P(x) > 0. On peut donc conclure que P AN . Dès lors, L'ensemble AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ). 2.a La partie AN est non vide puisque le polynôme constant égal à 1 en est un élement. En outre, pour tout P AN , on a : x [ -1 ; 1 ] P(x) > 0 d'où L(P) > 0. On en déduit que l'ensemble {L(P) | P AN } est un ensemble non vide minoré par 0. Par théorème de la borne inférieure, l'ensemble admet une borne inférieure aN . On considère ensuite une suite (Pn )nN de polynômes de AN telle que (L(Pn ))nN converge vers aN . Pour rappel, on construit cette suite par exemple de la manière suivante à l'aide de la définition de la borne inférieure. Soit n N : 1 1 >0 et aN + > aN n+1 n+1 Par définition de la borne inférieure, il existe un polynôme Pn AN tel que L(Pn ) 6 aN + 1/(n + 1). La suite (Pn )nN étant ainsi construite, on remarque que pour tout n N, 0 6 L(Pn ) - aN 6 1 n+1 Par théorème d'encadrement, on en déduit que la suite (L(Pn ))nN converge vers aN . Considérons le cas où N > 2. On remarque que les polynômes P = 1 et Q = X2 sont deux polynômes de AN . De plus, L(P) = 2 et L(Q) = 2/3. Quitte à réindicer