X Maths B MP 2018

Thème de l'épreuve Étude de la borne inférieure d'une forme linéaire sur un sous-ensemble convexe de polynômes
Principaux outils utilisés topologie, polynômes orthogonaux, résolution d'équations dans les complexes, étude de polynômes, intégration, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs polynômes, étude de fonctions

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2018

FILIÈRE MP

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Samedi 5 mai 2018, 9h00 ­ 13h00

Page 1

Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux 
entiers naturels
distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter 
les notations
de l'énoncé.
On désigne par Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de 
degré inférieur ou égal à n.
Le sous-espace de Rn [X] formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant P 
(-X) = P (X)) est noté n , et
celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant P (-X) = -P (X)) est noté 
Jn .
On définit l'ensemble AN formé des P  RN [X], tels que P (-1) = P (1) = 1, qui 
satisfont de plus
P (x) > 0 pour tout x dans l'intervalle [-1, 1]. On définit sur RN [X] une 
forme linéaire L par
L(P ) =

Z

1

P (x) dx.
-1

L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure aN sur le sous-ensemble 
AN :
aN = inf{L(P ) | P  AN }.

Questions préliminaires
1. (a) Vérifier que AN est une partie convexe de RN [X].
(b) Montrer que l'expression
kP k1 =

Z

1

|P (x)| dx
-1

définit une norme sur RN [X].
(c) Montrer que AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ).
2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur AN est atteinte.
Dans la suite, on notera BN l'ensemble des P  AN tels que L(P ) = aN .
(b) Montrer que BN est une partie convexe compacte.
(c) Vérifier que BN contient un polynôme pair.

Première Partie
On munit Rn [X] du produit scalaire défini par
hP, Qi =

Z

1

P (x)Q(x) dx,
-1

et de la norme associée
kP k2 =

p
hP, P i

(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une 
norme).
Pour j  N, on définit le polynôme
Pj (X) =

1
dj  2
(X - 1)j .
j
j! dX

2j

Par convention, P0 = 1.

Page 3

3. (a) Quel est le degré de Pj ?
(b) Montrer que Pj est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j.
(c) Montrer que Pj (1) = 1 et Pj (-1) = (-1)j .
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille (Pj )06j6n est 
orthogonale dans Rn [X].
5. On note
gj =

Z

1

Pj (x)2 dx,

Ij =

-1

Z

1

(1 - x2 )j dx.
-1

(a) Établir une relation entre gj et Ij .
(b) Trouver une relation entre Ij et Ij-1 - Ij , et en déduire une relation de 
récurrence pour la suite
(Ij )jN .
(c) En déduire la valeur de Ij , puis celle de gj .
6. (a) Montrer que la famille (Pj )06j6n est une base de Rn [X].
(b) En déduire que la famille (P2j )06j6 n2 est une base de n , tandis que la 
famille (P2j+1 )06j6 n-1 est
2
une base de Jn .

Deuxième Partie
On choisit un polynôme pair dans BN (voir la question 2.c), et on le note RN .
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers r, s, t > 0, des nombres réels c1 , 
. . . , cr différents de ±1, des réels
non nuls 1 , . . . , s et des nombres complexes w1 , . . . , wt qui ne sont ni 
réels ni imaginaires purs, tels que
RN (X) =

s
t
r
Y
X 2 - c2j Y
X 2 + 2k Y X 2 - w2 X 2 - w 2
·
.
1 - c2j
1 + 2k
1 - w2
1 - w 2
j=1
k=1
=1

8. On décide de remplacer tous les k par des zéros. On remplace donc les 
facteurs correspondants de RN ,
X 2 + 2k
,
1 + 2k
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme SN de même degré 
que RN .
Montrer que 0 6 SN (x) 6 RN (x) pour tout x  [-1, 1], puis que SN  BN .
9. De même, dans la liste des cj , on décide de remplacer ceux qui 
n'appartiennent pas à [-1, 1] par des
zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de SN ,
X 2 - c2j
,
1 - c2j
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme TN .
Montrer que 0 6 TN (x) 6 SN (x) pour tout x  [-1, 1], puis que TN  BN .
10. Soit w  C un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur.

Page 4

(a) Montrer que l'équation
z-1
w-1
=
z+1
w+1
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que 
l'intervalle ] - 1, 1[ coupe ce
cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du 
nombre
=

w-1
.
w+1

(b) Montrer l'inégalité
1-w
> 1.
1-y
(c) Montrer que l'équation
1-w
z-w
=
z-y
1-y
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1.
En déduire que, pour tout x  [-1, 1] \ {y}, on a
w-x
w-1
w+1
>
=
.
y-x
y-1
y+1
11. Conclure que RN a toutes ses racines dans l'intervalle [-1, 1].

Troisième Partie
On note n la partie entière de

N
2.

On poursuit l'étude du polynôme RN .

12. Montrer que deg RN = 2n.
13. Montrer que RN est le carré d'un polynôme : RN (X) = UN (X)2 où UN (1) = 1 
et UN (-1) = ±1. Que
peut-on dire de la parité de UN ?
14. On suppose dans cette question que UN est pair ; on a donc UN  n . Dans n , 
l'équation P (1) = 1
définit un sous-espace affine noté Hn .
(a) Montrer que
kUN k2 = min{kP k2 | P  Hn }.
(b) En déduire qu'il existe un nombre réel µ tel que pour tout entier 0 6 j 6 
n2 , on a hUN , P2j i = µ.
(On pourra considérer des polynômes P  Hn de la forme UN + t(P2j - P2k ) avec t 
 R.)
(c) Exprimer UN dans la base des P2j . En déduire que
X 1
1
.
=
µ
n g2j
06j6 2

(d) Établir dans ce cas la formule

aN = 

X

06j6 n
2

-1

1 
g2j

.

15. On suppose maintenant que UN est impair. Exprimer encore aN en fonction des 
g .
16. Discuter, en fonction de la parité de n, la valeur de aN . On en donnera la 
valeur explicite.
17. Donner la formule explicite de RN , en fonction des polynômes Pj .

Page 5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (professeur
en CPGE).

L'objet du problème consiste à étudier la borne inférieure de la forme linéaire

AN - R
Z 1
L:

P(x) dx
 P 7-
-1

définie sur le sous-ensemble AN convexe de RN [X], constitué des polynômes P à
valeurs positives sur [ -1 ; 1 ] tels que P(1) = P(-1) = 1.
· Les questions préliminaires sont consacrées à l'étude de l'existence de cette
borne inférieure et à montrer qu'elle est atteinte en au moins un polynôme
dont la fonction polynomiale est paire. Il s'agit de questions essentiellement
topologiques dont les résultats sont donnés dans l'énoncé.
· Dans la première partie, très classique, on étudie une famille de polynômes
orthogonaux pour le produit scalaire sur R[X] défini par
Z 1
hP | Qi =
P(x)Q(x) dx
-1

Le but est d'établir certaines propriétés de cette famille et de calculer les 
normes
de ces polynômes pour pouvoir réutiliser certains résultats dans la troisième et
dernière partie. Elle n'a pas de lien avec les questions préliminaires et à elle
seule, elle peut constituer un entraînement intéressant en algèbre bilinéaire.
· La deuxième partie s'intéresse à la localisation des racines d'un polynôme 
pair
de AN qui minimise la forme linéaire L. On montre que toutes les racines de ce
polynôme, noté RN , sont dans l'intervalle ] -1 ; 1 [. Les questions 7, 8 et 9 
sont
abordables, traitant de décomposition de polynômes en produits de facteurs
irréductibles et utilisant des résultats des préliminaires. Les questions 10 et 
11
sont en revanche plus ardues, avec l'étude de lieux géométriques, ce qui n'est
plus tout à fait dans l'esprit du programme actuel.
· Enfin, la dernière partie fait la synthèse des deux précédentes pour 
déterminer
explicitement l'expression du polynôme RN en fonction des polynômes introduits 
dans la première partie. Cette partie est tout à fait abordable et on peut la
traiter sans problème à condition d'admettre les résultats précédents et d'avoir
trouvé l'expression de la norme des polynômes de la famille introduite à la
première partie.
Mis à part la deuxième partie qui, sur certains points, est un peu technique,
l'ensemble du problème constitue un entraînement intéressant pour la préparation
aux écrits. Les questions sont parfois difficiles mais elles prennent leur sens 
une fois
que l'on est bien rentré dans le sujet.

Indications
Questions préliminaires
1.c Utiliser la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est fermé. 
Considérer l'équivalence de la norme k · k1 et de la norme infinie sur 
l'intervalle [ -1 ; 1 ]
pour montrer que la limite de la suite considérée est bien dans AN .
2.a Remarquer que L est continue et que la borne inférieure est atteinte sur le
compact Bf,k·k1 (0, 2).
2.b Montrer que, comme RN [X] est de dimension finie, BN est un fermé borné.
2.c Considérer le polynôme (P(X) + P(-X))/2 où P appartient à BN .
Première Partie
3.c Écrire (X2 - 1)j = (X - 1)j (X + 1)j et utiliser la formule de Leibniz pour
développer le polynôme Pj .
4 Considérer j < k et faire j intégrations par parties successives en dérivant
successivement les polynômes issus de Pj .
5.a Reprendre la succession d'intégrations par parties de la question 4 avec j 
= k.
5.b Dans le calcul de Ij-1 - Ij , faire une intégration par parties en 
considérant une
primitive de la fonction x 7- x(1 - x2 )j-1 et en dérivant la fonction x 7- x.
Deuxième Partie
7 Utiliser la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] de RN
puis la parité de RN , ses coefficients réels et enfin ses valeurs en 1 et en 
-1.
10.a Résoudre directement l'équation en considérant l'écriture algébrique de z.
10.b En remplaçant y par sa valeur obtenue à la question 10.a se ramener à une
inégalité sur w qu'on démontre à l'aide de l'inégalité triangulaire sur la norme
des complexes. La stricte égalité est obtenue en montrant que le cas d'égalité
est absurde.
11 Faire la synthèse des questions 8, 9 et 10.
· Supposer s > 1 et considérer le polynôme SN . Montrer qu'il est égal à RN
et aboutir à une absurdité.
· Raisonner de même pour montrer que pour tout 1 6 j 6 r, cj  [ -1 ; 1 ].
· Pour le cas t > 1, considérer le polynôme
2
r
t  2
X2 - cj 2
X - y 2
VN (X) = 

j=1 1 - cj 2 =1
1 - y 2
et montrer que VN appartient à AN et vérifie L(VN ) < L(RN ) puis conclure.
Troisième Partie
12 Raisonner par l'absurde en supposant que deg(RN ) = 2p avec p < n puis
considérer le polynôme X2 RN .
13 Reprendre la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] du
polynôme RN en distinguant 0 parmi les racines. Utiliser la positivité de la
fonction polynomiale associée à RN sur [ -1 ; 1 ] pour conclure.
16 Montrer que la parité de n est la même que celle de UN .
17 Utiliser l'expression de UN de la question 14.c et les résultats de la 
question 16.

Questions préliminaires
1.a Soient (P, Q)  AN 2 et   [ 0 ; 1 ]. On pose R = P + (1 - )Q. On a
déjà R  RN [X]. De plus, R(1) = P(1) + (1 - )Q(1) =  + 1 -  = 1. De même, on
a également R(-1) = 1.
Enfin, pour tout x  [ -1 ; 1 ], comme P(x) > 0, Q(x) > 0 et   [ 0 ; 1 ], il
vient R(x) > 0, d'où R  AN . On en déduit que
AN est une partie convexe de RN [X].
1.b Soit P  RN [X]. La fonction x 7- |P(x)| est continue sur le segment [ -1 ; 
1 ].
Par conséquent, l'intégrale
Z 1
|P(x)| dx
-1

est bien définie. De plus, on vérifie les propriétés suivantes :
· Soient   R et P  RN [X]. Par linéarité de l'intégrale,
Z 1
Z 1
kPk1 =
|| |P(x)| dx = ||
|P(x)| dx = || kPk1
-1

-1

· Soit P  RN [X]. Si kPk1 = 0, alors
Z 1
|P(x)| dx = 0
-1

La fonction x 7- |P(x)| est ainsi continue, positive et d'intégrale nulle sur le
segment [ -1 ; 1 ]. On en déduit qu'elle est nulle sur [ -1 ; 1 ]. Il s'ensuit 
que le
polynôme P, nul sur [ -1 ; 1 ], a une infinité de racines, d'où P = 0RN [X] .
· Soit (P, Q)  RN [X]2 . La valeur absolue |·| étant une norme sur R, on a
x  [ -1 ; 1 ]

|P(x) + Q(x)| 6 |P(x)| + |Q(x)|

Par croissance et linéarité de l'intégrale, on en déduit
Z 1
Z 1
Z 1
|Q(x)| dx
|(P + Q)(x)| dx 6
|P(x)| dx +
-1

Par conséquent,
On peut conclure que

-1

-1

kP + Qk1 6 kPk1 + kQk1
k · k définit une norme sur RN [X].

1.c Utilisons la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est un fermé
de (RN [X], k · k). Soient (Pr )rN une suite de polynômes de AN et P  RN [X] 
tels que
kPr - Pk1 ---- 0
r+

L'application

k · k,[ -1 ; 1 ] : Q 7- Sup |Q(x)|
[ -1 ; 1 ]

définit une norme sur RN [X]. En effet, pour Q  RN [X], la fonction x 7- |Q(x)|
est continue sur le segment [ -1 ; 1 ]. Elle est donc bornée et atteint ses 
bornes. Par
suite, la quantité kQk,[ -1 ; 1 ] est bien définie et en outre il existe x0  [ 
-1 ; 1 ] tel
que |Q| (x0 ) = kQk,[ -1 ; 1 ] .
· Si kQk,[ -1 ; 1 ] = 0, alors pour tout x  [ -1 ; 1 ], Q(x) = 0. Le polynôme Q
ayant une infinité de racines sur [ -1 ; 1 ], c'est le polynôme nul.

· Soit   R. Pour tout x  [ -1 ; 1 ], |Q| (x) 6 || kQk,[ -1 ; 1 ] . Dès lors,
kQk,[ -1 ; 1 ] 6 || kQk,[ -1 ; 1 ]
En outre,

|| kQk,[ -1 ; 1 ] = || |Q(x0 )| 6 kQk,[ -1 ; 1 ]

Finalement, on a

kQk,[ -1 ; 1 ] = || kQk,[ -1 ; 1 ]

· Soit R  RN [X]. Pour tout x  [ -1 ; 1 ],
|Q(x) + R(x)| 6 |Q(x)| + |R(x)| 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ]
On a donc kQ + Rk,[ -1 ; 1 ] 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ] .
L'espace RN [X] étant de dimension finie, les normes k · k1 et k · k,[ -1 ; 1 ] 
sont
équivalentes. De plus,
r  N

0 6 |Pr (1) - P(1)| 6 kPr - Pk,[ -1 ; 1 ]

Par théorème d'encadrement, on en déduit que lim Pr (1) = P(1), d'où P(1) = 1
r+

car pour tout r  N, Pr (1) = 1.
On déduit de la même manière que P(-1) = 1 et que pour tout x  [ -1 ; 1 ],
lim Pr (x) = P(x)

r+

Or, pour tout (x, r)  [ -1 ; 1 ] × N, Pr (x) > 0, ainsi P(x) > 0. On peut donc 
conclure
que P  AN . Dès lors,
L'ensemble AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ).
2.a La partie AN est non vide puisque le polynôme constant égal à 1 en est un
élement. En outre, pour tout P  AN , on a :
x  [ -1 ; 1 ]

P(x) > 0

d'où L(P) > 0. On en déduit que l'ensemble {L(P) | P  AN } est un ensemble non
vide minoré par 0. Par théorème de la borne inférieure, l'ensemble admet une 
borne
inférieure aN .
On considère ensuite une suite (Pn )nN de polynômes de AN telle que (L(Pn ))nN
converge vers aN .
Pour rappel, on construit cette suite par exemple de la manière suivante à
l'aide de la définition de la borne inférieure. Soit n  N :
1
1
>0
et
aN +
> aN
n+1
n+1
Par définition de la borne inférieure, il existe un polynôme Pn  AN tel
que L(Pn ) 6 aN + 1/(n + 1). La suite (Pn )nN étant ainsi construite, on
remarque que pour tout n  N,
0 6 L(Pn ) - aN 6

1
n+1

Par théorème d'encadrement, on en déduit que la suite (L(Pn ))nN converge
vers aN .
Considérons le cas où N > 2. On remarque que les polynômes P = 1 et Q = X2
sont deux polynômes de AN . De plus, L(P) = 2 et L(Q) = 2/3. Quitte à réindicer