ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2018
FILIÈRE MP
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES B
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Samedi 5 mai 2018, 9h00 13h00
Page 1
Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux
entiers naturels
distincts n (minuscule) et N (majuscule). Les candidats sont priés de respecter
les notations
de l'énoncé.
On désigne par Rn [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de
degré inférieur ou égal à n.
Le sous-espace de Rn [X] formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant P
(-X) = P (X)) est noté n , et
celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant P (-X) = -P (X)) est noté
Jn .
On définit l'ensemble AN formé des P RN [X], tels que P (-1) = P (1) = 1, qui
satisfont de plus
P (x) > 0 pour tout x dans l'intervalle [-1, 1]. On définit sur RN [X] une
forme linéaire L par
L(P ) =
Z
1
P (x) dx.
-1
L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure aN sur le sous-ensemble
AN :
aN = inf{L(P ) | P AN }.
Questions préliminaires
1. (a) Vérifier que AN est une partie convexe de RN [X].
(b) Montrer que l'expression
kP k1 =
Z
1
|P (x)| dx
-1
définit une norme sur RN [X].
(c) Montrer que AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ).
2. (a) Montrer que la borne inférieure de L sur AN est atteinte.
Dans la suite, on notera BN l'ensemble des P AN tels que L(P ) = aN .
(b) Montrer que BN est une partie convexe compacte.
(c) Vérifier que BN contient un polynôme pair.
Première Partie
On munit Rn [X] du produit scalaire défini par
hP, Qi =
Z
1
P (x)Q(x) dx,
-1
et de la norme associée
kP k2 =
p
hP, P i
(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une
norme).
Pour j N, on définit le polynôme
Pj (X) =
1
dj 2
(X - 1)j .
j
j! dX
2j
Par convention, P0 = 1.
Page 3
3. (a) Quel est le degré de Pj ?
(b) Montrer que Pj est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de j.
(c) Montrer que Pj (1) = 1 et Pj (-1) = (-1)j .
4. Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille (Pj )06j6n est
orthogonale dans Rn [X].
5. On note
gj =
Z
1
Pj (x)2 dx,
Ij =
-1
Z
1
(1 - x2 )j dx.
-1
(a) Établir une relation entre gj et Ij .
(b) Trouver une relation entre Ij et Ij-1 - Ij , et en déduire une relation de
récurrence pour la suite
(Ij )jN .
(c) En déduire la valeur de Ij , puis celle de gj .
6. (a) Montrer que la famille (Pj )06j6n est une base de Rn [X].
(b) En déduire que la famille (P2j )06j6 n2 est une base de n , tandis que la
famille (P2j+1 )06j6 n-1 est
2
une base de Jn .
Deuxième Partie
On choisit un polynôme pair dans BN (voir la question 2.c), et on le note RN .
7. Montrer qu'il existe des nombres entiers r, s, t > 0, des nombres réels c1 ,
. . . , cr différents de ±1, des réels
non nuls 1 , . . . , s et des nombres complexes w1 , . . . , wt qui ne sont ni
réels ni imaginaires purs, tels que
RN (X) =
s
t
r
Y
X 2 - c2j Y
X 2 + 2k Y X 2 - w2 X 2 - w 2
·
.
1 - c2j
1 + 2k
1 - w2
1 - w 2
j=1
k=1
=1
8. On décide de remplacer tous les k par des zéros. On remplace donc les
facteurs correspondants de RN ,
X 2 + 2k
,
1 + 2k
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme SN de même degré
que RN .
Montrer que 0 6 SN (x) 6 RN (x) pour tout x [-1, 1], puis que SN BN .
9. De même, dans la liste des cj , on décide de remplacer ceux qui
n'appartiennent pas à [-1, 1] par des
zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de SN ,
X 2 - c2j
,
1 - c2j
par des facteurs X 2 . On obtient ainsi un nouveau polynôme TN .
Montrer que 0 6 TN (x) 6 SN (x) pour tout x [-1, 1], puis que TN BN .
10. Soit w C un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur.
Page 4
(a) Montrer que l'équation
z-1
w-1
=
z+1
w+1
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par w. Vérifier que
l'intervalle ] - 1, 1[ coupe ce
cercle en un point unique ; on notera y ce point. On exprimera y en fonction du
nombre
=
w-1
.
w+1
(b) Montrer l'inégalité
1-w
> 1.
1-y
(c) Montrer que l'équation
1-w
z-w
=
z-y
1-y
définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par 1 et par -1.
En déduire que, pour tout x [-1, 1] \ {y}, on a
w-x
w-1
w+1
>
=
.
y-x
y-1
y+1
11. Conclure que RN a toutes ses racines dans l'intervalle [-1, 1].
Troisième Partie
On note n la partie entière de
N
2.
On poursuit l'étude du polynôme RN .
12. Montrer que deg RN = 2n.
13. Montrer que RN est le carré d'un polynôme : RN (X) = UN (X)2 où UN (1) = 1
et UN (-1) = ±1. Que
peut-on dire de la parité de UN ?
14. On suppose dans cette question que UN est pair ; on a donc UN n . Dans n ,
l'équation P (1) = 1
définit un sous-espace affine noté Hn .
(a) Montrer que
kUN k2 = min{kP k2 | P Hn }.
(b) En déduire qu'il existe un nombre réel µ tel que pour tout entier 0 6 j 6
n2 , on a hUN , P2j i = µ.
(On pourra considérer des polynômes P Hn de la forme UN + t(P2j - P2k ) avec t
R.)
(c) Exprimer UN dans la base des P2j . En déduire que
X 1
1
.
=
µ
n g2j
06j6 2
(d) Établir dans ce cas la formule
aN =
X
06j6 n
2
-1
1
g2j
.
15. On suppose maintenant que UN est impair. Exprimer encore aN en fonction des
g .
16. Discuter, en fonction de la parité de n, la valeur de aN . On en donnera la
valeur explicite.
17. Donner la formule explicite de RN , en fonction des polynômes Pj .
Page 5
