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X Maths B MP 2018 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Juliette Brun Leloup (professeur en CPGE) ; il a été
relu par Sophie Rainero (professeur en CPGE) et Tristan Poullaouec (professeur
en CPGE).
L'objet du problème consiste à étudier la borne inférieure de la forme linéaire
AN - R
Z 1
L:
P(x) dx
P 7-
-1
définie sur le sous-ensemble AN convexe de RN [X], constitué des polynômes P à
valeurs positives sur [ -1 ; 1 ] tels que P(1) = P(-1) = 1.
· Les questions préliminaires sont consacrées à l'étude de l'existence de cette
borne inférieure et à montrer qu'elle est atteinte en au moins un polynôme
dont la fonction polynomiale est paire. Il s'agit de questions essentiellement
topologiques dont les résultats sont donnés dans l'énoncé.
· Dans la première partie, très classique, on étudie une famille de polynômes
orthogonaux pour le produit scalaire sur R[X] défini par
Z 1
hP | Qi =
P(x)Q(x) dx
-1
Le but est d'établir certaines propriétés de cette famille et de calculer les
normes
de ces polynômes pour pouvoir réutiliser certains résultats dans la troisième et
dernière partie. Elle n'a pas de lien avec les questions préliminaires et à elle
seule, elle peut constituer un entraînement intéressant en algèbre bilinéaire.
· La deuxième partie s'intéresse à la localisation des racines d'un polynôme
pair
de AN qui minimise la forme linéaire L. On montre que toutes les racines de ce
polynôme, noté RN , sont dans l'intervalle ] -1 ; 1 [. Les questions 7, 8 et 9
sont
abordables, traitant de décomposition de polynômes en produits de facteurs
irréductibles et utilisant des résultats des préliminaires. Les questions 10 et
11
sont en revanche plus ardues, avec l'étude de lieux géométriques, ce qui n'est
plus tout à fait dans l'esprit du programme actuel.
· Enfin, la dernière partie fait la synthèse des deux précédentes pour
déterminer
explicitement l'expression du polynôme RN en fonction des polynômes introduits
dans la première partie. Cette partie est tout à fait abordable et on peut la
traiter sans problème à condition d'admettre les résultats précédents et d'avoir
trouvé l'expression de la norme des polynômes de la famille introduite à la
première partie.
Mis à part la deuxième partie qui, sur certains points, est un peu technique,
l'ensemble du problème constitue un entraînement intéressant pour la préparation
aux écrits. Les questions sont parfois difficiles mais elles prennent leur sens
une fois
que l'on est bien rentré dans le sujet.
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Indications
Questions préliminaires
1.c Utiliser la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est fermé.
Considérer l'équivalence de la norme k · k1 et de la norme infinie sur
l'intervalle [ -1 ; 1 ]
pour montrer que la limite de la suite considérée est bien dans AN .
2.a Remarquer que L est continue et que la borne inférieure est atteinte sur le
compact Bf,k·k1 (0, 2).
2.b Montrer que, comme RN [X] est de dimension finie, BN est un fermé borné.
2.c Considérer le polynôme (P(X) + P(-X))/2 où P appartient à BN .
Première Partie
3.c Écrire (X2 - 1)j = (X - 1)j (X + 1)j et utiliser la formule de Leibniz pour
développer le polynôme Pj .
4 Considérer j < k et faire j intégrations par parties successives en dérivant successivement les polynômes issus de Pj . 5.a Reprendre la succession d'intégrations par parties de la question 4 avec j = k. 5.b Dans le calcul de Ij-1 - Ij , faire une intégration par parties en considérant une primitive de la fonction x 7- x(1 - x2 )j-1 et en dérivant la fonction x 7- x. Deuxième Partie 7 Utiliser la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] de RN puis la parité de RN , ses coefficients réels et enfin ses valeurs en 1 et en -1. 10.a Résoudre directement l'équation en considérant l'écriture algébrique de z. 10.b En remplaçant y par sa valeur obtenue à la question 10.a se ramener à une inégalité sur w qu'on démontre à l'aide de l'inégalité triangulaire sur la norme des complexes. La stricte égalité est obtenue en montrant que le cas d'égalité est absurde. 11 Faire la synthèse des questions 8, 9 et 10. · Supposer s > 1 et considérer le polynôme SN . Montrer qu'il est égal à RN
et aboutir à une absurdité.
· Raisonner de même pour montrer que pour tout 1 6 j 6 r, cj [ -1 ; 1 ].
· Pour le cas t > 1, considérer le polynôme
2
r
t 2
X2 - cj 2
X - y 2
VN (X) =
1-y 2
j=1 1 - cj 2 =1
et montrer que VN appartient à AN et vérifie L(VN ) < L(RN ) puis conclure. Troisième Partie 12 Raisonner par l'absurde en supposant que deg(RN ) = 2p avec p < n puis considérer le polynôme X2 RN . 13 Reprendre la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] du polynôme RN en distinguant 0 parmi les racines. Utiliser la positivité de la fonction polynomiale associée à RN sur [ -1 ; 1 ] pour conclure. 16 Montrer que la parité de n est la même que celle de UN . 17 Utiliser l'expression de UN de la question 14.c et les résultats de la question 16. © Éditions H&K Questions préliminaires 1.a Soient (P, Q) AN 2 et [ 0 ; 1 ]. On pose R = P + (1 - )Q. On a déjà R RN [X]. De plus, R(1) = P(1) + (1 - )Q(1) = + 1 - = 1. De même, on a également R(-1) = 1. Enfin, pour tout x [ -1 ; 1 ], comme P(x) > 0, Q(x) > 0 et [ 0 ; 1 ], il
vient R(x) > 0, d'où R AN . On en déduit que
AN est une partie convexe de RN [X].
1.b Soit P RN [X]. La fonction x 7- |P(x)| est continue sur le segment [ -1 ;
1 ].
Par conséquent, l'intégrale
Z 1
|P(x)| dx
-1
est bien définie. De plus, on vérifie les propriétés suivantes :
· Soient R et P RN [X]. Par linéarité de l'intégrale,
Z 1
Z 1
kPk1 =
|| |P(x)| dx = ||
|P(x)| dx = || kPk1
-1
-1
· Soit P RN [X]. Si kPk1 = 0, alors
Z 1
|P(x)| dx = 0
-1
La fonction x 7- |P(x)| est ainsi continue, positive et d'intégrale nulle sur le
segment [ -1 ; 1 ]. On en déduit qu'elle est nulle sur [ -1 ; 1 ]. Il s'ensuit
que le
polynôme P, nul sur [ -1 ; 1 ], a une infinité de racines, d'où P = 0RN [X] .
· Soit (P, Q) RN [X]2 . La valeur absolue |·| étant une norme sur R, on a
x [ -1 ; 1 ]
|P(x) + Q(x)| 6 |P(x)| + |Q(x)|
Par croissance et linéarité de l'intégrale, on en déduit
Z 1
Z 1
Z 1
|Q(x)| dx
|(P + Q)(x)| dx 6
|P(x)| dx +
-1
Par conséquent,
On peut conclure que
-1
-1
kP + Qk1 6 kPk1 + kQk1
k · k définit une norme sur RN [X].
1.c Utilisons la caractérisation séquentielle pour montrer que AN est un fermé
de (RN [X], k · k). Soient (Pr )rN une suite de polynômes de AN et P RN [X]
tels que
kPr - Pk1 ---- 0
r+
L'application
k · k,[ -1 ; 1 ] : Q 7- Sup |Q(x)|
[ -1 ; 1 ]
définit une norme sur RN [X]. En effet, pour Q RN [X], la fonction x 7- |Q(x)|
est continue sur le segment [ -1 ; 1 ]. Elle est donc bornée et atteint ses
bornes. Par
suite, la quantité kQk,[ -1 ; 1 ] est bien définie et en outre il existe x0 [
-1 ; 1 ] tel
que |Q| (x0 ) = kQk,[ -1 ; 1 ] .
· Si kQk,[ -1 ; 1 ] = 0, alors pour tout x [ -1 ; 1 ], Q(x) = 0. Le polynôme Q
ayant une infinité de racines sur [ -1 ; 1 ], c'est le polynôme nul.
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· Soit R. Pour tout x [ -1 ; 1 ], |Q| (x) 6 || kQk,[ -1 ; 1 ] . Dès lors,
kQk,[ -1 ; 1 ] 6 || kQk,[ -1 ; 1 ]
En outre,
|| kQk,[ -1 ; 1 ] = || |Q(x0 )| 6 kQk,[ -1 ; 1 ]
Finalement, on a
kQk,[ -1 ; 1 ] = || kQk,[ -1 ; 1 ]
· Soit R RN [X]. Pour tout x [ -1 ; 1 ],
|Q(x) + R(x)| 6 |Q(x)| + |R(x)| 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ]
On a donc kQ + Rk,[ -1 ; 1 ] 6 kQk,[ -1 ; 1 ] + kRk,[ -1 ; 1 ] .
L'espace RN [X] étant de dimension finie, les normes k · k1 et k · k,[ -1 ; 1 ]
sont
équivalentes. De plus,
r N
0 6 |Pr (1) - P(1)| 6 kPr - Pk,[ -1 ; 1 ]
Par théorème d'encadrement, on en déduit que lim Pr (1) = P(1), d'où P(1) = 1
r+
car pour tout r N, Pr (1) = 1.
On déduit de la même manière que P(-1) = 1 et que pour tout x [ -1 ; 1 ],
lim Pr (x) = P(x)
r+
Or, pour tout (x, r) [ -1 ; 1 ] × N, Pr (x) > 0, ainsi P(x) > 0. On peut donc
conclure
que P AN . Dès lors,
L'ensemble AN est fermé dans l'espace vectoriel normé (RN [X], k · k1 ).
2.a La partie AN est non vide puisque le polynôme constant égal à 1 en est un
élement. En outre, pour tout P AN , on a :
x [ -1 ; 1 ]
P(x) > 0
d'où L(P) > 0. On en déduit que l'ensemble {L(P) | P AN } est un ensemble non
vide minoré par 0. Par théorème de la borne inférieure, l'ensemble admet une
borne
inférieure aN .
On considère ensuite une suite (Pn )nN de polynômes de AN telle que (L(Pn ))nN
converge vers aN .
Pour rappel, on construit cette suite par exemple de la manière suivante à
l'aide de la définition de la borne inférieure. Soit n N :
1
1
>0
et
aN +
> aN
n+1
n+1
Par définition de la borne inférieure, il existe un polynôme Pn AN tel
que L(Pn ) 6 aN + 1/(n + 1). La suite (Pn )nN étant ainsi construite, on
remarque que pour tout n N,
0 6 L(Pn ) - aN 6
1
n+1
Par théorème d'encadrement, on en déduit que la suite (L(Pn ))nN converge
vers aN .
Considérons le cas où N > 2. On remarque que les polynômes P = 1 et Q = X2
sont deux polynômes de AN . De plus, L(P) = 2 et L(Q) = 2/3. Quitte à réindicer
