X Maths B MP 2017

Thème de l'épreuve Mesures sur R et entropie
Principaux outils utilisés intégrales généralisées, intégrales à paramètre, fonctions de plusieurs variables
Mots clefs entropie, mesure, variance, inégalités fonctionnelles, mesure gaussienne

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIERE MP

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ B ­ (X)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.

On utilise la notation allegee pour l'integrale d'une fonction f : R  R 
continue par morceaux
et integrable sur R
Z
Z +
f (x)dx =
f (x)dx.
-

Si f est une fonction de deux variables reelles t, x, on note t f =
les derivees partielles de f (sous reserve de leur existence).

f
2f
f
, x f =
, xx f =
t
x
x2

Si n est un entier naturel, on note Cbn l'ensemble des fonctions f : R  R de 
classe C n et dont
toutes les derivees f , f  , . . . , f (n) , jusqu'a l'ordre n, sont bornees.
On dit qu'une fonction m : R  R est une mesure si elle est continue, positive, 
integrable sur R
et telle que
Z
m(x)dx = 1.
On considere la fonction h : [0, +[  R definie par h(0) = 0 et pour x > 0,
h(x) = x ln(x).
On dit qu'une fonction f : R  R admet une entropie relativement a une mesure m 
si f est
continue et h(f 2 )m est integrable sur R. De meme, on dit que f admet une 
variance relativement
a m si f est continue et f 2 m est integrable sur R.
On admet que la fonction µ definie sur R par
1
2
µ(x) =  e-x

est une mesure.
Ce probleme etudie certaines inegalites fonctionnelles. Dans les parties I et 
II, on etudie un
operateur differentiel lie a la mesure µ et on demontre une inegalite pour 
cette mesure. Dans la
partie III, on voit comment une telle inegalite en entraine une seconde, et on 
etudie une forme
de reciproque. La partie IV est independante des autres, et s'interesse a une 
inegalite pour les
fonctions caracteristiques.
1

Preliminaires
Soit m une mesure.
1. Soit f : R  R une fonction qui admet une variance relativement a m. Montrer 
que f m est
integrable. En consequence, le reel
Varm (f ) =

Z

2

f (x) m(x)dx -

Z

f (x)m(x)dx

2

est bien defini. Montrer que Varm (f ) > 0.

2.

Soit f : R  R une fonction qui admet une entropie relativement a m.

2a.

Montrer que f 2 m est integrable. En consequence, le reel
Z

Z
2
2
f (x) m(x)dx
Entm (f ) = h(f (x) )m(x)dx - h

est bien defini.
2b.

Soit a > 0. Montrer que
x > 0,

h(x) > (x - a)h (a) + h(a),

avec inegalite stricte si x 6= a.
2c.

Montrer que Entm (f ) > 0.

On pourra utiliser la question precedente avec a =

Z

f (x)2 m(x)dx.

2d. On suppose ici que pour tout x  R, m(x) > 0. Caracteriser les fonctions f 
telles que
Entm (f ) = 0.

Partie I
On note L l'operateur qui a une fonction f : R  R de classe C 2 , associe la 
fonction Lf definie
par
1
x  R, Lf (x) = f  (x) - xf  (x).
2
On etend egalement cette definition aux fonctions f (t, x) de deux variables, 
en posant
1
Lf (t, x) = xx f (t, x) - xx f (t, x),
2
sous reserve que ces quantites soient definies au point (t, x)  R2 .
On rappelle que la mesure µ a ete definie dans l'introduction.
2

1 !  
µf .
2µ

3a.

Soit f : R  R de classe C 2 . Montrer que Lf =

3b.

Soient h1 , h2 deux fonctions de Cb2 . Montrer que
Z
Z
1
h1 (x)(Lh2 )(x)µ(x)dx = -
h1 (x)h2 (x)µ(x)dx,
2

apres avoir justifie l'existence de chacun des termes de la formule.
On considere une fonction f  Cb0 . On definit pour (t, x)  R2
Z
f (t, x) = f (x cos t + y sin t)µ(y)dy.
4.

Montrer que la fonction f : R2  R est bien definie et continue.

5.

On suppose que f  Cb2 .

5a.

Montrer que, sur R2 , f est de classe C 1 et xx f est bien definie, continue et 
bornee.

5b.

Soit (t, x)  R2 . Trouver une relation entre x f (t, x) et f  (t, x).

5c.

Montrer que pour tout (t, x)  R2 , on a t f (t, x) cos t = Lf (t, x) sin t.

5d.

Z

Montrer que pour tout t  R, on a

f (t, x)µ(x)dx =

Z

f (x)µ(x)dx.

On admet pour la suite du probleme que cette egalite reste vraie pour tout f  
Cb0 .

Partie II
Soit f : R  R+ une fonction de Cb0 positive. On definit pour t  R
Z
J(t) = h(f (t, x))µ(x)dx.

6.

Montrer que J : R  R est continue, et calculer J(0) et J

7.

On suppose dans toute cette question que f  Cb2 et qu'il existe  > 0 tel que
x  R,

7a.

2

.

f (x) > .

Montrer que J est alors de classe C 1 sur R et que
Z
(x f (t, x))2
sin t
t  R, J  (t) cos t = -
µ(x)dx.
2
f (t, x)

On note g = (f  )2 /f .
3

Soit (t, x)  R2 . Montrer que

7b.

f  (t, x)2 6 f (t, x)g (t, x).
Conclure que
Z

7c.

8.

h(f (x))µ(x)dx - h

Z

f (y)µ(y)dy

6

1
4

Z

g(x)µ(x)dx.

Montrer que pour tout f  Cb2 , f admet une entropie relativement a µ et que
Z
Entµ (f ) 6 |f  (x)|2 µ(x)dx.

On pourra considerer la famille de fonctions definies par f =  + f 2 pour  > 0.

Partie III
Soit m une mesure. On suppose dans cette partie qu'il existe une constante C > 
0 telle que, si
f : R  R est de classe C 1 et de derivee f  bornee, alors f admet une entropie 
relativement a
m et
Z
Entm (f ) 6 C |f  (x)|2 m(x)dx.
(1)
9.

Montrer que

10.

Z

(1 + |x| + x2 )m(x)dx < +.

Soit f  Cb1 . On souhaite montrer que f admet une variance relativement a m et 
que
Z
C
|f  (x)|2 m(x)dx.
(2)
Varm (f ) 6
2

Montrer
que f m et f 2 m sont
integrables, et qu'il suffit de montrer (2) dans le cas ou on
Z
Z
a de plus
f (x)m(x)dx = 0 et
f (x)2 m(x)dx = 1.

10a.

10b.

Sous les hypotheses de la question precedente, montrer (2).

On pourra appliquer (1) a la famille de fonctions f = 1 + f pour  > 0.
11. Soit f une fonction de Cb1 , telle que pour tout x  R, on a |f  (x)| 6 1. 
On note, pour
  R,
Z
H() = ef (x) m(x)dx.
On admet que H est de classe C 1 et que l'on obtient une expression de H  () en 
derivant sous
le signe integral de maniere usuelle (on pourrait le demontrer comme 
precedemment).

4

11a.

Montrer que pour tout   R,
H  () - H() ln H() 6

11b.

C2
H().
4

En deduire que pour  > 0,
 Z

Z
C2
f (x)
e
m(x)dx 6 exp  f (x)m(x)dx +
.
4

On pourra etudier la fonction  7

(3)

1
ln H().

Montrer que l'inegalite (3) s'applique a la fonction definie par f (x) = x.
x
.
On pourra utiliser la suite de fonctions definies par fn (x) = n arctan
n

12.

13a.

Soient M =

Z

xm(x)dx et a > M . Montrer que

Z
13b.

+
a

Conclure que pour tout  <

(a - M )2
m(x)dx 6 exp -
C

.

1
2
, la fonction x 7 ex m(x) est integrable sur R.
C

Partie IV
14. Soient p, q, r : R  R+
 trois fonctions continues, a valeurs strictement positives et
integrables sur R.
14a.

Montrer qu'il existe une fonction u : ]0, 1[  R de classe C 1 bijective telle 
que
Z

t  ]0, 1[ , u (t)p(u(t)) = p(x)dx.

De meme, il existe une fonction analogue v : ]0, 1[  R pour q.
14b.

On suppose que
x, y  R,

2
x+y
.
p(x)q(y) 6 r
2

(4)

Montrer que

Z

p(x)dx

 Z

q(x)dx

6

Z

r(x)dx

2

.

(5)

On pourra utiliser, apres avoir justifie son caractere licite, le changement de 
variable defini par
u(t) + v(t)
x=
dans le membre de droite de l'inegalite (5).
2
5

On admet pour la suite du probleme que l'inegalite (5) reste vraie en supposant 
uniquement que
p, q, r : R  R+ sont des fonctions a valeurs positives, continues par morceaux, 
integrables sur
R, et qui verifient (4).
Si A  R, on note A sa fonction caracteristique definie par A (x) = 1 si x  A et
x
/ A. On note d(x, A) = inf{|x - y| : y  A} la distance de x  R a A.

A (x) = 0 si

On note Int le sous-ensemble de P(R) dont les elements sont les reunions finies 
d'intervalles de
R. Si A  Int, alors A est continue par morceaux, et on definit le reel
Z
µ(A) = A (x)µ(x)dx  [0, 1].
15.

Soit A  R.

15a.

Montrer que pour tous x, y  R, on a

! 2
1
(x + y)2
2
2
d(x, A) - x A (y) exp -y 6 exp -
.
exp
2
2

15b.

On suppose que A  Int et que µ(A) > 0. En deduire que

Z
1
1
2
d(x, A) µ(x)dx 6
.
exp
2
µ(A)

16.

Soit A  Int. Pour t > 0, on definit l'ensemble At = {x  R : d(x, A) 6 t}.

16a.

Montrer que At  Int pour tout t > 0.

16b.

On suppose de plus que µ(A) > 0. Montrer que pour tout t > 0, on a
2

1 - µ(At ) 6

6

e-t /2
.
µ(A)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X Maths B MP 2017 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Matthias Moreno Ray (professeur en CPGE) ; il a
été relu par Émilie Liboz (professeur en CPGE) et Guillaume Batog (professeur en
CPGE). L'auteur remercie Denis Choimet pour son aide précieuse.
Le problème étudie des inégalités fonctionnelles issues de la théorie des lois 
de probabilités continues. Une loi continue sur R est définie à partir d'une 
mesure m : R  R
continue, positive, intégrable et d'intégrale valant
1 sur R. Le problème met en valeur
2 
le rôle de la mesure gaussienne 
µ(x) = e -x /  pour x  R, qui correspond à la loi
normale centrée d'écart-type 1/ 2. Les inégalités à démontrer portent sur la 
variance
Varm (f ) et l'entropie Entm (f ) d'une fonction f : R  R continue relativement 
à une
mesure m. Ces quantités sont définies en cas d'intégrabilité par
2

Varm (f ) = Em (f 2 ) - Em (f )
et
Entm (f ) = Em (h  f 2 ) - h Em (f 2 )
Z +
g(x)m(x) dx
avec
 x > 0 h(x) = x ln x
et
Em (g) =
pour g continue intégrable sur R.

-

· La partie préliminaire établit des liens entre l'intégrabilité d'une fonction 
sur R
et l'existence d'une variance ou d'une entropie. On y caractérise également les
fonctions d'entropie nulle dans le cas d'une mesure qui ne s'annule pas. Les
questions sont proches de démonstrations du cours.
· La partie I étudie la mesure µ. On introduit un opérateur différentiel L et
un opérateur intégral  qui présentent des propriétés d'invariance vis-à-vis
de µ (caractère symétrique de L, invariance de la moyenne par ). Certaines
questions sont techniques et utilisent plusieurs théorèmes relatifs aux 
intégrales
à paramètres.
· La partie II prolonge la précédente en établissant que, pour toute fonction
2
f  Cb2 (de classe C 2 sur R à dérivées bornées sur R), on a Entµ (f ) 6 Eµ (f  
).
2

· La partie III s'intéresse à l'inverse aux mesures m vérifiant Entm (f ) 6 Em 
(f  )
2
pour f  Cb1 . D'une part, on montre que Varm (f ) 6 Em (f  )/2. D'autre part,
2
on établit que x 7- e  x m(x) est intégrable sur R pour tout  < 1. Si cette
fonction est de plus bornée, cela implique que m est dominée par la mesure
gaussienne µ au voisinage de l'infini.
· La partie IV est indépendante et se termine par une majoration de la 
probabilité, pour la mesure µ, qu'un réel soit à distance au moins t d'une 
union finie
d'intervalles donnés.

Ce problème couvre plusieurs points du programme d'analyse : les intégrales à 
paramètre, les intégrales généralisées et plusieurs inégalités fondamentales de 
l'analyse
(convexité, accroissements finis, Cauchy-Schwarz, Taylor reste intégrale). 
Quelques
questions portent sur l'étude de fonctions auxiliaires à deux variables.
Il constitue un bon test des capacités de rédaction et de persévérance, 
certaines
questions demandant de lier de nombreux résultats intermédiaires entre eux. Bien
que des formules-étapes non fournies par l'énoncé soient vitales pour résoudre 
les
questions de synthèse, suffisamment de résultats sont donnés pour que l'on 
puisse
poursuivre l'étude du problème sans l'avoir entièrement résolu.

Indications
Préliminaires
1 Pour l'intégrabilité de f m, utiliser la majoration de |u| par u2 + 1 valable 
pour
tout réel u. Pour
la deuxième partie de la question, calculer la variance de la
Z
fonction f -

f (x) m(x) dx.

2a Montrer que, pour tout réel u positif, u - 1 6 h(u) et évaluer cette 
inégalité
en f (x)2 .
2c Dans le cas où a > 0, utiliser l'indication de l'énoncé. Dans le cas où a = 
0,
montrer que Entm (f ) = 0.
2d Montrer que Entm (f ) = 0 si, et seulement si, f est constante.
Partie I
3b Remplacer Lh2 par l'expression obtenue à la question 3a. Effectuer ensuite 
une
intégration par parties.
4 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale.
5a Utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour montrer 
l'existence
et obtenir l'expression des dérivées partielles. Utiliser ensuite le théorème de
continuité sous le signe intégrale pour justifier que ces dérivées partielles 
sont
continues sur R2 .
5b Déduire la formule demandée de l'expression de x f obtenue à la question 5a.
5c Calculer d'une part Lf (t, x) grâce aux résultats des questions 5a et 5b. 
Transformer d'autre part l'expression de t f obtenue à la question 5a en 
intégrant
par parties (primitiver y 7- y µ(y) et dériver y 7- f  (x cos(t) + y sin(t))).
Z
5d Montrer que t 7- f (t, x) µ(x) dx est dérivable sur R et de dérivée nulle.
Partie II
6 Utiliser le théorème de continuité sous le signe intégrale.
7a Justifier que J est de classe C 1 grâce au théorème de dérivation sous le 
signe
intégrale. Simplifier ensuite l'expression de J grâce à la question 3b.
7b Reconnaître une inégalité de Cauchy-Schwarz.
7c Exprimer l'accroissement de J entre 0 et /2 sous forme d'une intégrale et le
majorer grâce aux questions 7b et 5d.
8 Suivre l'indication de l'énoncé. Utiliser le théorème de convergence dominée 
pour
calculer les limites lorsque   0.
Partie III
10a Composer f par une fonction affine pour se ramener à
Varm (f ) = 1.

Z

f (x) m(x)dx = 0 et

10b Appliquer à la fonction h la formule de Taylor avec reste intégrale à 
l'ordre 4.
Montrer que le reste intégrale est positif. Évaluer l'inégalité obtenue en f (y)
avec y réel et  voisin de zéro.
11a Utiliser l'inégalité (1) de l'énoncé avec g(x) = e  f (x)/2 .

11b Calculer la dérivée de ln H()/ et majorer avec la question 11a. Intégrer 
l'inégalité obtenue sur le segment [  ;  ] avec  > 0. Montrer que ln H()/ tend
vers H (0) lorsque   0+ .

12 Suivre l'indication de l'énoncé. Utiliser le théorème de convergence dominée 
sur R
pour justifier que
Z
Z
fn (x) m(x) dx ---- x m(x) dx
n

Z

Montrer que  A > 0
Utiliser enfin que

A

-A

Z

e  fn (x) m(x) dx ----
n

A

e

 fn (x)

m(x) dx 6

-A

Z

Z

A

e  f (x) m(x) dx

-A

e  fn (x) m(x) dx

et l'inégalité (3) de l'énoncé.
13a Prendre  = 2(a - M)/C et utiliser la question 12.
Z +
13b Justifier que la fonction  : x 7-
m(t) dt est une primitive de -m
x

sur R. Utiliser  pour effectuer une intégration par parties dans l'intégrale
Z A
2
e  x m(x) dx. Majorer les termes obtenus pour justifier l'intégrabilité de
0

la fonction sur R+ . Appliquer ensuite ce résultat à la mesure m(x)
e
= m(-x).

Partie IV
Z x
14a Montrer que la fonction x 7-
p(t) dt est de classe C 1 et strictement crois-

sante. Normaliser cette fonction pour obtenir une bijection entre R et ] 0 ; 1 
[.

14b Réaliser le changement de variable indiqué par l'énoncé. Minorer
l'intégrale avec

l'hypothèse (4) puis avec une inégalité de type a + b > 2 ab.
2

2

2

15b Poser p(x) = e d(x,A)/2-x , q(x) = 1A (x)e -x et r(x) = e -x et utiliser la
question 15a.
16a Si I est un intervalle, alors It est un intervalle, pour t réel.

Préliminaires
1 Soit x  R. Si |f (x)| > 1 alors |f (x)| 6 f (x)2 . On a donc dans tous les cas
|f (x)| 6 f (x)2 + 1

d'où

|f (x)| m(x) 6 f (x)2 m(x) + m(x)

Supposons que f admette une variance relativement à m. Dans ce cas, la fonction
f 2 m est intégrable sur R. Par définition d'une mesure, la fonction m est 
intégrable
sur R. L'inégalité précédente prouve donc que
Si f admet une variance relativement à m, alors f m est intégrable sur R.
Z
Notons I = f (x) m(x) dx. Pour x  R, on a
(f (x) - I)2 m(x) = f (x)2 m(x) - 2If (x)m(x) + I2 m(x)

ce qui prouve que x 7- (f (x)-I)2 m(x) est intégrable sur R en tant que 
combinaison
linéaire de fonctions intégrables. Il vient en outre, par linéarité de 
l'intégrale,
Z
Z
Z
Z
(f (x) - I)2 m(x) dx = f (x)2 m(x) dx - 2I f (x)m(x) dx + I2 m(x) dx
=
Z

(f (x) - I)2 m(x) dx =

Z

Z

f (x)2 m(x) dx - 2I2 + I2

(car

Z

m(x) dx = 1)

f (x)2 m(x) dx - I2 = Varm (f )

Comme la fonction x 7- (f (x) - I)2 m(x) est positive sur R, l'intégrale de 
gauche
est positive, ce qui prouve que
Varm (f ) > 0
Comme f est continue et que (f - I)2 est de signe constant, on peut
observer que, dans le cas où m ne s'annule pas, la variance de f est nulle si
et seulement si (f - I)2 est nulle, ce qui équivaut à f constante.
L'intégrabilité de f m s'obtient
aussi avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz

appliquée aux fonctions |f | m et m dans l'espace préhilbertien

E = f  C 0 (R, R) | f 2 est intégrable sur R
Z
muni du produit scalaire (f | g) = f (x)g(x) dx. Ce produit scalaire est bien
défini sur E × E car

|f (x)g(x)| 6 (f (x)2 + g(x)2 )/2

L'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée à f m et m montre ensuite la
positivité de la variance.
y
2a Pour comparer f 2 et h(f 2 ), étudions la fonction h. Elle
est de classe C 2 sur ] 0 ; + [, et pour t > 0, on a h (t) = 1/t
qui est strictement positif. La fonction h est donc convexe. Sa
tangente au point d'abscisse 1 a pour équation y = t - 1 d'où
1
x
0
t > 0
h(t) > t - 1

y=

h(
x)

x  R

Cette inégalité est par ailleurs également vraie lorsque t = 0.
Pour toute fonction f , on a donc

-1