X Maths B MP 2016

Thème de l'épreuve Étude d'une marche aléatoire à pas positifs
Principaux outils utilisés variables aléatoires à valeurs dans N, inégalités de Bienaymé-Tchebychev et Markov, séries de fonctions, continuité uniforme
Mots clefs marche aléatoire, énumération, limite supérieure, équirépartition

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
                                      

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2016 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES -- B ---- (X) (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve. *** Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée. On considère une variable aléatoire réelle discrète X définie sur un espace probabilisé (Q, %,lP') dont la loi est donnée par : +oo ViEN, IP(X=w)=P1>O avec Zp,;=l, i=0 et où (xi)i>0 est une suite de réels strictement positifs. On suppose que X admet une espérance finie notée m := lE(X) > 0. Soit (X k) k>1 une suite de variables aléatoires discrètes définies sur (Q, %, IP), indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que X. On note (Sk)k>0 ses sommes partielles définies par 'n SO=O, et pourn>1, Sn=ZXk- k=1 L'objet de ce probléme est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite (Sn)n;0 qui appartiennent a l'intervalle [a, b], défini pour ou EUR il par +oo N(a, b)(w) = Oard{k E N | Sk(w) EUR [a, b]} = z ll 0 et n E N, (N(O,Æ) = n + 1) : (Sn { EUR < Sn+1). En déduire que (Sn < 6) = (N(O,Æ) > n + 1) et (S..., > 6) c (N(O,Æ) < n + 1). lb. On suppose dans cette question que X admet de plus une variance finie V. Montrer alors que V Ve > O, Vn) 1, lP(Sn  O, lP(Sn { EUR) { lE(exp(£ -- Sn)), puis que IP(S.. < EUR) < eÆE(exp(--X)>n- 3b. En déduire que lP(Sn < EUR) tend vers 0 quand n ----> +00 et que EUR lE(N(O,É)) < m- 3c. Montrer que pour tous oe E R, EUR > 0, k E N* et n E N*, R(Sn_1 < a: { S... N(æ,oe + EUR) > k) < lP(Sn_1 < a: < Sn)R(N(O,Æ) > k), puis que EUR E(N(OE,OE +Ë)) < @. Deuxième partie Soit f : R ----> R une fonction. Si f est bornée, on note llflloe = suplf(flî)l oeEURR sa norme uniforme. On appelle support de f l'adhérence de {$ E R \ f(oe) # 0}. En particulier, si a: n'appartient pas au support de f, alors f (ac) = 0. Soit K > 0 et g : R --> R une fonction positive bornée à support inclus dans [D, K ] On va étudier la suite de fonctions fn : R --% R définies pour n > 0 par fn(év) = ZE(g(OE -- Sk))-- k:=0 . 4a. Montrer que pour tout oe E R, la suite ( fn(az))n>0 est croissante. On note f (ac) sa limite dans R U {+oo}. 4b. Montrer que sig = ll[O,K], alors f(oe) = E(N(oe -- K, $)). 4c. En déduire que pour tous a: E R et n E N , EURK 0 < fn(æ) < ||9iloem-- 4d. Conclure que la suite de fonctions fn converge simplement vers une fonction f positive, bornée et dont le support est inclus dans R+. 5. Soit Y une variable aléatoire discrète, indépendante de X, et 90 : R2 --+ R une fonction bornée. Montrer que +oo E) i=0 Ga. Montrer que pour tous n E N et w E R, +oo fn+1<æ> = g(æ> + Zpifn<æ -- gaz-->. i=0 6b. Montrer que la fonction f vérifie l'égalité suivante sur R f = g<æ> + zpif<æ -- .... (E) +00 7. Soit h : R --> R une fonction bornée qui vérifie h(oe) = z p,;h(oe ---- a:,--) pour tout 512 E R. i=0 7a. Montrer que pour tous a: E lR et n E N, on a h(a:) = E(h(oe -- Sn)). 7b. En déduire que si de plus le support de h est inclus dans R+, alors pour tout a: E IR, h(oe) : O. 70. Conclure qu'il existe une unique fonction bornée a support dans R+ solution de (E). 8a. Montrer que l'ensemble A X := U {y E R | lP(Sn = y) > O} est dénombrab1e et inclus nEN dans R+. On se donne une énumération de cet ensemble : A X = {y, | i E N}. 8b. Montrer que pour tout ac E R, n+oo fng(æ -- yz-)-- k=0 i=0 80. En déduire qu'il existe une suite de réels positifs (q,-),;O telle que pour tout :12 E R, +oo f(æ) =Zq,g(æ--y,), et 2 q,- =lE(N(æ--K,oe)). 'L=Û iEURN7 y,EUR[oe--K,oel 931. Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est normale sur tout segment de R. On pourra utiliser la question $C. 9h. On suppose que g est continue. Montrer que f est uniformément continue. 9(:. On suppose que g est de classe % 1. Montrer que g' bornée. En déduire que f est de classe C(oâ1, que f' est bornée et uniformément continue et que pour tout a: E R, +oo f'(æ) : g'(oe) + ZpJ'(oe ---- aa). i=0 Troisième partie Soit A un sous--ensemble non vide de le tel que V(oe,y) EUR A2, a:+y EUR A. On dit que A est stable par addition. 103. Montrer si (oe,y) EUR A2, (km) E N2 et k { n, alors noe + k(y -- a:) E A. On définit l'= {z EUR lRî | El(oe,y) EUR A, z=y--oe}, et 7°(A) =ian'. 10b. Donner deux exemples de tels ensembles A, l'un pour lequel r(A) > 0 et l'autre pour lequel r(A) : O. 11. Dans cette question, on suppose que T(A) > O. 113. Montrer qu'il existe (a, I)) E A2 tels que I) -- a E [T(A), 27"(A)[. On noted=b--a. 11b. Soient k,n E N tels que le < n -- 1. Montrer que A O [na + lcd, na + (k + 1)d] : {na + lcd, na + (le + 1)d}. 11e. Montrer qu'il existe no E N tel que mm + ngd > (no + 1)a puis qu'il existe k E N tel que a : lcd. 11d. En déduire que A C dZ, où dZ = {led \ 16 EUR Z}. 12. On suppose maintenant que T(A) = O. 1231. Soit 77 > 0. Montrer qu'il existe A > 0 tel que pour pour tout oe > A, Am [æ,oe+n] # @. 12h. Soit f : lR --> R une fonction uniformément continue. On suppose que pour toute suite (oen)n>0 à valeurs dans A telle que OEn ----> +oo, f (:un) --> 0 quand n --> +oo. Montrer que f (cv) --> 0 quand a: --+ +oo._ Quatrième partie On suppose dans cette partie que pour tout d > O, ]P(X & dZ) < 1. 13. On considère une fonction h uniformément continue et bornée sur R telle que pour tout sv & R, W) < ...) et On rappelle que pour tous 58 EUR lR et 71 E N , h(æ) = lE(h(oe -- Sn)) (question 7 a). 13a. Montrer que pour tout n E N et a: > 0 tels que lP'(Sn = a:) > 0, on a h(--oe) : h(0). 13b. Montrer que l'ensemble A X défini a la question Sa est stable par addition et que T(Ax) = 0. 13e. En déduire que h(--oe) --> h(0) quand a: ----> +oo. 13d. Conclure que h est une fonction constante. On suppose dans toute la suite que g est de classe % 1, a support dans [D, K ] avec K > 0. On rappelle que f est la limite croissante des fonctions fn et l'unique solution bornée et uniformément continue de l'équation (E). 1431. Prouver que la fonction a: l--> sup f'(t) admet une limite finie quand 213 --> +oo. On note t>oe 14b. Montrer qu'il existe une suite yn --> +oo telle que f'(yn) ----> c quand n --> +oo. On admet qu'il existe une sous--suite (üç)k>0 de (yn)n>0 telle que la suite de fonctions (fik)k>0 définies par EURk1R-->R, É'-->EURk(t)=fl(t+tk) converge uniformément sur tout segment de R vers une fonction notée EUR . 14c. Montrer que 5 est constante, égale à c. 14d. Oonclure que c = 0. On montrerait de même que lim inf ]" (t) = 0, résultat que l'on admet dans toute la suite. oe-->+oo t>oe 14e. En déduire que f'(t) _) 0 quand t ----> +oo. 14f. Montrer alors que pour tout EUR > 0, f (t + EUR) -- f(t) --> 0 quand t --> +oo. On suppose dans toute la suite de cette partie qu'il existe a, > 0 tel que lP(X E [D, a] = 1 et on pose ' () lP(X>OE) sioe20, w: 90 0 sioe<0. . +oe On admet que go est intégrable sur R, et que / g0(t)dt = lE(X ) --OO On note 55 l'ensemble des fonctions continues par morceaux, positives, bornées et a support dans un segment de R+. En utilisant la deuxième partie, pour tout 9 EUR 33 , on note Lg l'unique solution de (E) bornée a support dans R+. Nous dirons que la suite (tk)k>0 satisfait la propriété ($") si tk --> +00 et s'il existe une unique fonction continue bornée ,u : R --> R+, telle que pour tout g E ÿ, +oo Lg(tk) --> / g(t)n(t)dt quand k: --> +oo. _oe _ On admet que pour toute suite (æn)n>0 tendant vers l'infini, il existe une sous suite (Üç)k>0 de (oen)n>0 qui satisfait la propriété (33) 153. Montrer, en utilisant la question 14f, que pour tous g E 35 fi %1(R, R+) et EUR > O, ]'°° g 0 et Lg0(oe) : 0 pour a: < 0. 1 16h. En déduire que u(t) = fiX--) pour tout t E R. 17. Conclure que pour tout g EUR 55, 1 00 ZlE(g(æ -- Sk)) --> lE(X) g(t)dt quand :c --> +oo. k=0 --°° 18. Soit EUR > 0 fixé. Déterminer le comportement de lE(N(oe, a: + EUR)) quand au --+ +oo. Interpréter le résultat. Ce résultat est--il vrai s'il existe d > 0 tel que lP(X EUR dZ) = 1 ?

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 X Maths B MP 2016 -- Corrigé Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE). Le but de ce problème est d'étudier une marche aléatoire à pas P toujours positifs, c'est-à-dire la suite (Sn )nN des sommes partielles d'une série Xn de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées. Notamment, on s'intéresse à la variable aléatoire N(a, b) égale au nombre de sommes partielles se trouvant entre a et b, et on montre que, sous certaines hypothèses, les sommes partielles ont asymptotiquement tendance à l'équirépartition, c'est-à-dire que N(x, x + ) tend vers /E(X) quand x tend vers +. · Dans la première partie, on établit, par des procédés élémentaires (mais pas toujours faciles !) de probabilités, une majoration uniforme de E N(a,b) . Cette partie est abordable dès que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev a été vue en cours. · Dans la deuxième partie, on définit la fonction Lg(x) = P k=0 E g(x - Sk ) (où g est positive, bornée et à support borné), qui a la propriété d'être égale à E N(x - , x) lorsque g = 1[ 0 ; ] . On montre alors que cette fonction est l'unique solution bornée, nulle sur R- , de l'équation fonctionnelle f (x) = g(x) + P P (X1 = xi ) f (x - xi ) (E) i=0 où {xi | i N} est l'ensemble des valeurs prises par X. On vérifie enfin que, si g est de classe C 1 , alors Lg est bornée et uniformément continue, grâce à la majoration uniforme de la partie 1. · L'ensemble des valeurs prises par l'ensemble des Sn étant stable par addition, la troisième partie est consacrée à des propriétés générales de tels ensembles. Cette partie ne nécessite que très peu de connaissances, mais requiert de réfléchir calmement. Elle est indépendante des deux parties précédentes. · La quatrième partie est consacrée à l'étude asymptotique de E N(x, x + ) quand x +, dans le cas où P(X dZ) < 1 pour tout réel d > 0. Elle demande de bien avoir en tête l'ensemble des résultats démontrés, et fait appel à de nombreux raisonnements fins d'analyse (en revanche, il n'y a pas de probabilités, sauf à une seule question). Les dernières questions sont plus délicates, d'autant que certaines imprécisions ou erreurs d'énoncé pouvaient perturber les candidats. Voici donc un problème à la fois intéressant, original (très original), long (très, très long) et difficile, mêlant intimement la théorie des probabilités à celle des séries de fonctions. Indications Première partie 1a Les trois propriétés se montrent de manière élémentaire, sans que les deux dernières se « déduisent » des premières. 1b Se ramener à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. 2 Écrire le membre de droite comme une double somme et invoquer le théorème de Fubini pour les familles positives pour permuter ces sommes. 3a On peut utiliser l'inégalité de Markov pour la variable positive e -Sn . 3b Utiliser le résultat de la question 2. 4b Utiliser le fait que E Deuxième partie P P g(x - Sk ) = E g(x - Sk ) k=0 k=0 La démonstration de cette propriété est assez délicate. 4c Utiliser la majoration 0 6 g 6 kgk 1[ 0 ; K ] . 5 Utiliser la formule de transfert pour (X, Y). 6a Montrer que P pi fn (x - xi ) = i=0 n P E g(x - X - Sk ) k=0 puis le fait que Sk + X a même loi que Sk+1 . 6b La convergence normale de la série des x 7 pi fn (x - xi ) autorise l'usage du théorème de la double limite. 7a Procéder par récurrence en utilisant la question 5. 7b Vérifier que h(x) 6 E |h(x - Sn )| 6 khk P (Sn 6 x). 8c Écrire f (x) sous la forme d'une double somme et invoquer le théorème de Fubini. Enfin, appliquer le résultat de la question 4b pour g = 1[ 0 ; K ] . 9c Appliquer la même méthode qu'en 8c pour montrer que f est bornée, et celle du 9b pour l'uniforme continuité. Troisième partie 10a Légère erreur d'énoncé, il faut prendre n N . 11b Tout élément de ] na + kd ; na + (k + 1)d [ est à distance strictement inférieure à d/2 d'une des bornes de l'intervalle. 11c Choisir le plus petit entier n0 tel que n0 d > a, et montrer que n0 a + (n0 - 1)d 6 (n0 + 1)a < n0 a + n0 d 11d Soit x . Noter n = x/a, r = x - na et k = r/d, et montrer na + kd 6 x < na + (k + 1)d Utiliser ensuite la question 11b quand x est suffisamment grand ; dans le cas général, considérer un multiple de x suffisamment grand. Quatrième partie 13a Montrer que h(0) = P qi h(-yi ) 6 i=0 P qi h(0) + qj h(-x) i6=j 13b L'énoncé comporte ici une petite erreur, puisque X contient le nombre 0, valeur à supprimer de la définition de X . 13c Appliquer la question 12b à x 7 h(-x) - h(0). 13d Montrer que h atteint son minimum sur R- en un point a, et appliquer les questions 13a et 13c à x 7- -h(a + x). 14c Dans la formule k (t) = g (t + tk ) + P pi k (t - xi ) i=0 remarquer que la série converge normalement et appliquer le théorème de la double limite. Appliquer ensuite les résultats des questions 13a à 13d. 14d Utiliser le théorème d'intégration d'une suite de fonctions uniformément convergente sur un intervalle de largeur L, et en déduire que |c| L 6 2kf k. 15a L'énoncé comporte quelques petites erreurs : notamment, il semble préférable de montrer Z + g(t) µ(t + ) - µ(t) dt = 0 - ce qui est confirmé par la version du sujet mise en ligne par l'École polytechnique, et qui diffère sur quelques points du sujet distribué en réalité. 15b S'il existe x et tels que µ(x + ) - µ(x) 6= 0, construire une fonction g positive, nulle sauf sur un voisinage de x, et de classe C 1 , pour obtenir une contradiction. 16b Nouvelle petite erreur : faire comme si g0 était élément de F . Z + 1 f. E(X) - Montrer par l'absurde que f tend vers en l'infini en construisant une suite de terme général f (tk ) qui converge vers une autre limite (on n'oubliera pas que l'image de f est bornée et que de toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente). 17 Pour toute suite (tk )kN vérifiant (P), on sait que f (tk ) = 18 Appliquer le résultat de la question 17 à la fonction g = 1[ 0 ; ] . I. Première partie Signalons, avant de commencer, que l'énoncé ne précise pas que les xi sont deux à deux distincts, mais que c'est bien l'hypothèse naturelle à prendre ici. 1a Remarquons avant toute chose que, pour tout , la suite Sn () n>0 est strictement croissante, car les Xn sont à valeurs dans ] 0 ; + [. Soit > 0 fixé ; soit n un entier naturel. Soit un élément de tel que N(0, )() = n + 1. Alors les n + 1 indices k tels que 0 6 Sk () 6 ne peuvent être que les premiers de la suite, c'est-à-dire que 0 = S0 () < S1 () < · · · < Sn () 6 < Sn+1 () (1) Notamment, (Sn 6 < Sn+1 ). Réciproquement, si (Sn 6 < Sn+1 ), les inégalités (1) ont lieu, ce qui montre que N(0, )() = n + 1. N(0, ) = n + 1 = (Sn 6 < Sn+1 ) De la même façon, l'inégalité Sn () 6 implique qu'il y a au moins n + 1 sommes partielles entre 0 et ; réciproquement, dire qu'il y a au moins n+1 sommes partielles entre 0 et implique que la somme d'indice n est dans l'intervalle [ 0 ; ]. (Sn 6 ) = N(0, ) > n + 1 Enfin, si la somme partielle d'indice n vérifie Sn > , alors, par stricte croissance, toutes les sommes partielles d'indice supérieur à n + 1 sont strictement plus grandes que ; ainsi N(0, ) vaut, au maximum, n + 1. (Sn > ) N(0, ) 6 n + 1 1b Soit n > 1. Soit > 0. Par linéarité de l'espérance, E(Sn ) = n E(X) = nm. (Rappelons en effet que deux variables ayant même loi ont même espérance et, plus généralement, mêmes moments.) Par indépendance mutuelle, les variances s'ajoutent : V(Sn ) = V(X1 ) + · · · + V(Xn ) = n V Majorons P(Sn 6 n(m - )) = P(Sn - mn 6 -n) 6 P |Sn - mn| > n Puisque Sn admet une variance, utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : V(S ) V n P |Sn - mn| > n = P Sn - E(Sn ) > n 6 = 2 (n) n 2 Conclusion : P(Sn 6 n(m - )) 6 V n 2 2 D'unePpart, la variable aléatoire Y admet une espérance, c'est-à-dire que la série positive n P (Y = n) converge et a pour somme E(Y). D'autre part, la série P 1[ 0 ; n ] (k) P(Y = n) k>1